Programación y Métodos Numéricos:
Integración Numérica – Fórmulas de
Newton-Cotes – Fórmulas de Gauss
Programación y Métodos Numéricos:
Integración Numérica – Fórmulas de
Newton-Cotes – Fórmulas de Gauss
Prof. Carlos Conde L
Prof. Carlos Conde L
á
á
zaro
zaro
Prof. Arturo Hidalgo L
Prof. Arturo Hidalgo L
ó
ó
pez
pez
Prof. Alfredo L
Programa
Programa
•
Generalidades
•
Fórmulas de integración numérica
•
Fórmulas de integración de tipo interpolatorio
•
Relación entre el orden de exactitud y los puntos
del soporte en las fórmulas de integración
numé-rica de tipo interpolatorio.
•
Análisis del error en las fórmulas de tipo
interpolatorio
Fórmulas de Newton-Cotes: definición
Fórmulas de Newton-Cotes: definición
Se denominan fórmulas de Newton-Cotes
a todas las fórmulas
de integración numérica de tipo interpolatorio construidas sobre
soportes equidistantes centrados en el intervalo de integración.
Las fórmulas de Newton-Cotes se clasifican en:
*
Fórmulas de Newton-Cotes cerradas
: El soporte
incluye a los dos extremos del intervalo de integración.
*
Fórmulas de Newton-Cotes abiertas:
los extremos
del intervalo de integración no se incluyen entre las
abscisas que forman el soporte.
Fórmulas de Newton-Cotes cerradas.
Fórmulas de Newton-Cotes cerradas.
h
h
h
h
h
h
h
x
0x
1………
x
ix
i+1………
x
n-1x
na =
= b
h = (b-a)/n
Fórmulas de Newton-Cotes cerradas.
Fórmulas de Newton-Cotes cerradas.
b
n
f
i
i
i 0
a
b a
f(x)dx
·f(
x
R
((a,b)
D
=
)
)
α
+
−
=
∑
∫
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 5 (iv 5 (iv 7 (vi 7 (vi 9 (viiih / 12 ·f''( )
h / 90 ·f ( )
3h / 80 ·f ( )
8h / 945
2
6
8
90
28
·f ( )
27
1
Trapec
5h / 12096 ·f
io
2
Simpson
3
Re gla 3
1
1
1
4
1
1
3
3
1
7
32
12 32
7
19 75
50 50
75 19
41
8
84
/
0
8
4
Mi ln e
5
6
Wedd
( )
9h / 1400 ·f
216 27 272 27 21
6 41
(
)
l
e
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
n
α
j(j=0, ..., n)
D
R
f((a,b))
Nombre
Fórmulas de Newton-Cotes cerradas.
Fórmulas de Newton-Cotes cerradas.
Las más usadas son la del trapecio y las que tienen un número impar
de puntos de soporte (pues añadir un punto más no reduce el orden
del error)
Las fórmulas de Newton-Cotes cerradas con más de 7 puntos son
muy sensibles a los errores de redondeo y por este motivo apenas
son utilizadas.
Fórmulas de Newton-Cotes abiertas.
Fórmulas de Newton-Cotes abiertas.
h = (b-a)/(n+2)
x
i
=
a
+ (i+1)·h
(i = 0, 1, ……, n)
h
h
h
h
h
h
h
x
0………
x
ix
i+1………
x
nFórmulas de Newton-Cotes abiertas.
Fórmulas de Newton-Cotes abiertas.
b
n
f
i
i
i 0
a
b a
f(x)dx
·f(
x
R
((a,b)
D
=
)
)
α
+
−
=
∑
∫
(
)
(
)
(
)
(
)
3
3
5
(iv
5
(iv
h / 3 ·f "( )
3h / 4 ·f "( )
14h /
1
1
1
2
1 2
11 1
1
2
3
24
45 ·f ( )
95h / 144 ·
0
f
1 11
2
( )
1
3
ξ
ξ
ξ
ξ
−
n
α
j
(j=0,..., n)
D
R
f
((a,b))
Fórmula del
Punto medio
(o de Poncelet)
Fórmulas de integración de Gauss
Fórmulas de integración de Gauss
b n 0 a
x·(x x )·...·(x x )·dx
−
−
=
0
∫
Se denominan fórmulas de integración de Gauss a toda
fórmula de integración de tipo interpolatorio construida
sobre soportes {x
0
, ……, x
n
} de (n+1) puntos que verifican
las (n+1) igualdades siguientes:
b n 0 a
