GUIA DERIVADAS. es y = nx 1. . Si f (x) = 0 para todo x ( b) f (x) es constante. (x) = e x.

Texto completo

(1)

GUIA DERIVADAS

I.- Preguntas de Teoría

(1) La función y = f ( x ) es derivable en x = x0 ssi la función es continua en dicho punto.

(2) La derivada de la función y = xn es y ´ = nxn−−1 en que n

N. .

(3) Sea f una función derivable en

(( ))

a

,

b

. Si f ´(x) = 0 para todo x

(( ))

a

,

b

entonces

f (x) es constante.

(4) Si y = senx

y ´ = cosx y si y = cosx

y´ = senx. (5) Si y = uv

y´ = u´v + uv´.

(6) Si y =

v

u

y ´ = 2

v

v

u

v

u

′′

−−

′′

. (7) Si y = loga(x)

y ´ =

x

1

logae .

(8) Si f(x) no es continua entonces no es diferenciable.

(9) Si f(x) = ex entonces f(n)(x) = ex .

(10) Si una función es continua en el intervalo

[[ ]]

a

,

b

y derivable en todos los puntos

anteriores de este, existirá por lo menos un punto c,a < c < b , en el que f(b) – f(a) = f ´ (c) (b – a).

(11) Si f(x) es creciente en un intervalo entonces su derivada a lo largo de dicho intervalo es no negativa.

(12) Si f(x) es creciente y derivable en un intervalo CERRADO, entonces f ´(x) es positiva dentro del intervalo.

II EJERCICIOS DE APLICACIÓN

2.- Partiendo de la definición de derivada, hallar las derivadas de las siguientes funciones.

i) y = x3 ii) y =

x

1

iii) y = sen2(x) iv) y = x4+3x2- 6

v) y = 2 3

3

1

x

x

++

3.- Use límite por la derecha y por la izquierda para demostrar que f no es

(2)

4.- Suponiendo que f y g son funciones derivables tales que f(2) = 3, f ´(2) = -1, g(2) = -5 y g ´(2) = 2. Calcule:

a) ( f + g ) ´(2) b) (f

⋅⋅

g

) ´(2) c) (4f) ´(2) d) (f – g) ´(2)

e) ( f / g ) ´(2).

5.- Utilizando las reglas de la derivación calcule las derivadas de las siguientes funciones. i) y = 2 2 4

2

x

b

x

−−

ii) y = m m p

a

x

x

−−

iii) y = (a + x )

a

−−

x

iv) y =

x

x

−−

++

1

1

v) y = 2 2

1

1

2

x

x

x

++

−−

vi) y =

x

++

x

++

x

++

x

vii) y = ( 1 +

x

)3 viii) y = 2senx +cos3x ix) y = tg( ax + b )

x) y = cotg 25x xi) y = tsent + cost xii) y = sen3t

xiii) y =

x

x

g

x

2

cot

2

tg

++

xiv) y = a( 1- cos2

2

x

)2 xv) y = ln(cosx)

xvi) y = ln( sen2x ) xvii) y =

x

x

sec

1

tg

−−

xviii) y = ln













−−

++

x

x

sen

1

sen

1

xix) y = ln( tg(

4

π

π

+

2

x

) ) xx) y = sen( lnx ) xxi) y = ln3x xxii) y = ln(lnx)xxiii) y = ln

















++

−−

−−

++

x

x

x

x

1

1

2 2 xxiv) y = exx

xxv) y = xlnx xxvi) y = xsenx xxvii) y = sen

((

x

))

2

1

−−

.

6.- Determine la primera y la segunda derivada de.

a) f(x) =

3

x

++

1

b) g(t) =

((

4

t

++

7

))

5 c) h(s) = 3s4- 4s2 + s – 2

7.- Calcule las derivadas de las funciones siguientes hallando previamente sus

logaritmos. i) y = x5

((

))

x

a

++

3

3

((

a

−−

2

x

))

2 ii) y = arcsen

a

x

iii) y = arcsen

sen

x

iv) y = arctg













++

−−

x

x

cos

1

cos

1

, ( 0

≤≤

x

≤≤

π

π

) v) y = arctg

x

a

+ ln

a

x

a

x

++

−−

(3)

vi) y = arcsen(senx) vii) y = arcos









++

−−

1

1

2 2 n n

x

x

viii) y = ln









++

−−

++

++

2 2

2

1

2

1

x

x

x

x

+ 2arctg 2

1

2

x

x

−−

ix) y = x x arcsen

8.- Derivación de funciones implícitas, hallar y´ si:

i) y2 = 4px ii) b2x2 + a2y2 = a2b2 iii) y2 - 2xy + b2 = 0

iv) x3 + y3 - 3axy = 0 v) y = cos( x + y ) vi) y = cos(xy) 9.- Hallar y´(x) para las funciones dadas paramétricamente :

i) x = acost, y = bsent ii) x = a( t – sent ), y = a( 1 – cost )

10.- Demuestre que f satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo

[[ ]]

a

,

b

indicado y encuentre todos los números c en (a,b) para los que f´(c) =0

a) f(x) = 3x2 - 12x + 11,

[[ ]]

4

,

(4)

11.- Determine si la función f satisface las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo

[[ ]]

a

,

b

. Si es así, encuentre todos los números c en (a,b) para los que

f(b) – f(a) = f´(c )(b-a). a) f(x) = x3+1,

[[

]]

4

,

2

−−

b) f(x) = x+

x

4

,

 

1

,

4

c) f(x) = x3 2 ,

[[

−−

8

,

8

]]

d) f(x) = 4+

x

−−

1

,

[[ ]]

1

,

5

e) f(x) = x3-2x2+x+3 ,

[[ ]]

−−

1

,

1

12.- Calcule los mínimos y máximos locales de f. Describa los intervalos en los que f es creciente o decreciente y trace la gráfica de f.

a) f(x) = 5-7x-4x2 b) f(x) = 2x3+x2-20x+1 c) f(x) = x4-8x2+1 d) f(x) = x3 4 +4x3 1 f) f(x) = x2 3 2

4

−−

x

13.- Use el criterio de la segunda derivada, si es posible, para determinar los valores extremos de f. Analice la concavidad, halle la abscisa de los puntos de inflexión y trace la gráfica de f.

a) f(x) = x3-2x2+x+1 b) f(x) = 3x4-4x3+6 c) f(x) = 2x6-6x4

d) f(x) =

((

x

2

−−

1

))

2

14.- Trace la gráfica de la función continua y de la cual se sabe que: f(-2) = -2 ; f(0) = f(4)= 0 ; f(2) = f(8) = 3 ; no está definida en 2 ni 6 ; f´(0) =1 ; f´(x) > 0 en

(

,

0

)

y

(( ))

6

,

; f´ (x) < 0 si

x

−−

4

< 2 ; f´´(x) < 0 en

((

−−

,

0

))

, (4,6) y

(( ))

6

,

; f´´(x) > 0 en (0,2) y (2,4).

15.- Una ventana en forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero tiene 5 m de perímetro. Calcule las dimensiones de la ventana para que deje pasar la cantidad máxima de luz.

16.- Demuestre que el rectángulo de mayor área con un perímetro dado P es un

cuadrado.

17.- Una compañía inmobiliaria posee 180 departamentos que están todos ocupados cuando el arriendo es de U$ 300 al mes. La compañía calcula que por cada aumento de U$ 10 en el arriendo, le desocupan 5 departamentos. ¿Qué arriendo debe cobrar para obtener la mayor ganancia bruta ?.

18.- Encuentre la pendiente de la recta normal de la curva dada por:

x3 + 3x2y – 3xy2 - y3 en el punto ( 1,1 ).

19.- Determine si la función y = ln(cos(x –A)) + B con A Y B constantes es solución de la ecuación

(5)

y´´ + ( y´)2 + 1 = 0

PROBLEMAS DE PRUEBAS ANTERIORES

20.- De todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10, determinar las

condiciones que deben cumplir los catetos, para que la suma de sus longitudes sea máxima.

21.- Un bloque de hielo cúbico se funde de modo que su arista disminuye con

regularidad 2 cm/ hr. ¿ A qué razón disminuye su volumen cuando su arista mide 10 cm?. 22.- Calcular

dx

dy

para y = xln(x) 23.- Si h´(x) = ( x + 2 )2 y h(0) = 3. Encuentre ( h−−1)´(3)

(6)

24.- Dada la siguiente función f(x) =

2

x

++

2

a) Determine todos los puntos R en donde “ f “ es derivable b) Calcule : limh→→0

h

h

f

h

f

(

2

+

)

(

2

)

25.- Determine los valores de K en R , para que “ f “ sea continua en x = 1 donde

f(x) =







−−

−−

2 2

)

1

(

)

1

2

(

ln

x

x

si x

≠≠

1y K si x = 1

26.- Sea

h x

( )

==

cos(

2

x

)

. Determine

h n

( ) ( )

x

(derivada enésima) y demuestre la formula obtenida por inducción.

27- Haga un bosquejo de la gráfica de una función continua f que tiene las siguientes características cuando

x

[[

0

,

5

]]

1) f (2) = f (4) =0

2) f (x) > 0, si x < 3 ; f (x) < 0, si x > 3 ; f (3) no esta definida. 3) f (x) > 0 para todo x en el dominio de f

Justifique en base a 1) ; 2) y 3)

28 Dos partículas P1 y P2 parten desde un mismo punto en línea recta de modo que el camino

recorrido está dado por las funciones

S

1

( )

t

==

t

3

−−

4

t

2 ;

S

2

( )

t

==

3

t

2

−−

t

3

Determine el instante “t” tal que la aceleración de P1 sea igual a la aceleración de P2

29 Hallar la derivada de :

(

2

)

4

1

ln

4

1

)

2

(

x

x

arctan

x

y

=

+

30- Se desea hacer una caja rectangular de 100 cm3 de capacidad. El material del fondo y la

tapa cuesta dos veces más caro que el de los laterales. Construya la función costo que permita calcular las dimensiones de la caja más económica.

!!!NO DETERMINE ESTAS DIMENSIONES¡¡¡¡

31 -Sea

h

(

x

)

=

cos(

2

x

)

. Determine ( )

(

)

x

h

n (derivada enésima).

32- De la función y = f(x) se sabe que : a) f (0) = 1 ;

b) f (-1) = f (1) = 0

c) f (x) > 0 para todo x en ] - ∞ , 0 ]∪] 1, + ∞ [ d) f (x) > 0 para todo x en R

(7)

Haga un bosquejo de la gráfica de f en el intervalo [ -10, 10]

33- Se introduce una población de 500 bacterias en un cultivo, creciendo en número de

acuerdo con la ecuación

+

+

=

2

50

4

1

500

)

(

t

t

t

P

donde t se mide en horas. Hallar a que

(8)

34- Encuentre la derivada de          − + ⋅ = ( ) 1 1 ln 2 1 2 1 x Acrtan x x y

35- Una página ha de contener 30 (pulgadas)2 de impresión. Los márgenes superior e inferior

tienen un ancho de 2 pulgadas. Los márgenes laterales tienen sólo 1 pulgada de ancho. Hallar las dimensiones de la página para que se use la menor cantidad de papel.

36 Encuentre ,

y

, arctg(sen(x))

e

=

y

37 Encuentre la o las rectas tangentes a la curva :

2

=

y

x

+

ln(y)

2

+

)

sen(

x

y

en el punto donde x = 0

38 Un granjero dispone de 750 pies de material de cerca para limitar un área rectangular y luego dividirla en cinco potreros con cercas paralelas a uno de los lados del rectángulo . ¿Cuál es el área total máxima posible de los cinco potreros?

39 Una persona tiene un muro de piedra al costado de un terreno. Dispone de 1200 metros de material para cercar y desea hacer un corral rectangular, utilizando el muro como uno de sus costados.

¿Qué dimensiones debe tener el corral para que encierre la mayor área posible?

40 Hallar

d v

d t

dado u

4 +2u2v - v4 - 3v = 0 define a v implícitamente con respecto de u,

además u = t3 - 2t + 1

41 Dada

y

==

sen(sen( ))

x

. Determine si satisface la ecuación :

y

,,

++

tg( )

x

⋅⋅

y

,

++ ⋅⋅

y

cos ( )

2

x

= 0

42 Al calentar hasta el punto de fusión un lingote de plata en forma de ladrillo, se dilatan una milésima parte de cada uno de sus tres dimensiones por cada grado que aumentan la temperatura.

¿Cuánto aumenta por cada grado su volumen cuando las dimensiones son

2 x 3 x 6

decímetros?

43 De acuerdo con un modelo desarrollado por P.A. Sipley y C.F. Passel, la pérdida de calor H debido a la velocidad del viento v (m/seg) cuando la temperatura del aire permanece constante en T (0 C) está dada por

(

)

>

+

=

20

33

17

.

35

20

0

)

33

)(

10

45

.

10

(

)

(

v

T

v

T

v

v

v

H

a) ¿ Es H(v) una función continua para toda T y toda v >0 ?

(9)

44 Una alberca mide 20 pies de ancho, 40 de longitud, 3 de fondo en la parte baja y 9 en la parte honda (En la figura que sigue se ilustra una sección longitudinal) . Si se llena con un flujo de 0.8 pies3/ min, ¿Con qué velocidad sube el nivel del agua cuando la profundidad, respecto a

la parte honda, alcanza 5 pies?

45.- Supón que f es una función diferenciable tal que

f (1) = 1 f (2)= 2 f ‘ (1) = 1 f ‘ (2) = 2 y f‘ (3) = 3. Si g(x) = f ( x3+f (x2 + f (x)))

evalúa g ‘ (1)

46- La figura muestra una lámpara situada tres unidades a la derecha del eje y y la sombra que crea la región elíptica x2 +4y2

5 . Si el punto (-5,0 ) está en el borde de la sombra, ¿ a

qué altura sobre el eje x está la lámpara ?

47.Si

f

( )

2

=

3

y

f

,

( )

2

=

5

Encuentre la ecuación de la tangente y normal a la curva en el

punto donde x = 2

48.- Considere los siguientes gráficos de funciones derivadas :

0 100 20 0 20 f (x) x 20 0 20 10 0 10 g (x) x 2 0 2 10 0 10 h (x) x 200 0 200 5 0 5 t (z) z

Determine cuál de las derivadas anteriores corresponde a cada una de las siguientes funciones: 0 1 0 0 2 0 0 2 0 f (x) x 2 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 s (x) x 2 0 2 1 0 0 1 0 p (x) x 2 0 0 2 0 4 0 6 0 5 0 5 0 c (w) 0 w x 2..2

(10)

49 Grafique la función y = x2 , con el comando F5 seleccione TANGENT, elija el punto x=3/2

observa la recta tangente y determina la ecuación. Encuentra analiticamente la ecuación de esta recta y comprueba el resultado obtenido con la máquina.

50 Obtener la grafica de las siguientes funciones

x 1 y x y x = 2/3 = = y . Determinar

porque cada una de estas funciones no es derivable en cero.

51.- Supóngase que la utilidad de un fabricante por la venta de radios está dada por la función

) )( ( )

(x =40015−x x−2

p , donde x es el precio al que se venden los radios.

a) Encuentra la función utilidad b) Gráfica dicha función

c) ¿Donde crees tú que se encuentra el punto máximo?

d) ¿Que pendiente debería tener la recta tangente, en dicho punto ? e) Calcula utilizando la definición la derivada en dicho punto.

52- Demostrar que 1 1 x2 − − = x x f( ) no es derivable en “1”

Figure

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