Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Sistemas de ecuaciones

diferenciales lineales

Estructura del capítulo

8.1

Teoría preliminar

8.2

Sistemas lineales homogéneos

8.2.1

Valores propios reales distintos

8.2.2

Valores propios repetidos

8.2.3

Valores propios complejos

8.3

Solución mediante diagonalización

8.4

Sistemas lineales no homogéneos

8.4.1

Coeficientes indeterminados

8.4.2

Variación de parámetros

8.4.3

Diagonalización

8.5

Matriz exponencial

Ejercicios de repaso del capítulo 8

En la sección 2.9 estudiamos por primera vez en este libro los

sistemas de ecuaciones diferenciales, y en las secciones 3.11 y 4.6

pudimos resolver algunos de estos sistemas. En el presente

capí-tulo vamos a concentrarnos únicamente en sistemas de ecuaciones

diferenciales lineales de primer orden. Mientras la mayor parte de los

sistemas considerados pudieron resolverse por medio de eliminación

(sección 3.11) o de la transformada de Laplace (sección 4.6), aquí

vamos a desarrollar una teoría general para este tipo de sistemas y,

para el caso de sistemas con coeficientes constantes, un método de

solución que utiliza algunos conceptos básicos del álgebra de

matri-ces. Advertiremos que esta teoría general y el procedimiento de

solu-ción son similares a los de ecuaciones diferenciales lineales de orden

superior que se estudiaron en las secciones 3.3 a la 3.5. El material

también resulta fundamental para efectuar el análisis de sistemas de

ecuaciones no lineales de primer orden (capítulo 9).

C A P Í T U L O

8.1

Teoría

preliminar

La notación y las propiedades matriciales se utilizarán ampliamente en este capítulo. El estudiante deberá revisar el capítulo 7 en caso de que no esté familiarizado con estos conceptos.

■

Introducción Recuerde que en la sección 3.11 ilustramos cómo resolver sistemas de n ecuaciones diferenciales en n incógnitas de la forma

P11(D)x1 P12(D)x2 . . .  P1n(D)xn b1(t) P21(D)x1 P22(D)x2 . . .  P2n(D)xn b2(t)

(1) 

P_n1(D)x1 Pn2(D)x2 . . .  Pnn(D)xn bn(t),

donde Pij eran polinomios de diferentes grados del operador diferencial D. En este

capí-tulo concentraremos nuestro estudio en las ecuaciones diferenciales de primer orden que representan casos especiales de sistemas que tienen la formulación normal

dx1 dt  g11t, x1, x2, p , xn2 dx2 dt  g21t, x1, x2, p , xn2 (2)  dxn dt  gn1t, x1, x2, p , xn2.

Un sistema de n ecuaciones de primer orden tal como (2) se denomina sistema de pri-mer orden.

■

Sistemas lineales Cuando cada una de las funciones g1, g2, . . . , gn incluidas en

(2) es lineal en las variables independientes x1, x2, . . . , xn , obtenemos la forma normal

de un sistema de primer orden de las ecuaciones lineales:

dx1 dt  a111t2x1 a121t2x2 p  a1n1t2xn f11t2 dx2 dt  a211t2x1 a221t2x2 p  a2n1t2xn f21t2 (3)  dxn dt  an11t2x1 an21t2x2 p  ann1t2xn fn1t2.

A un sistema de la forma presentada en (3) le llamamos simplemente sistema lineal. Asumimos que tanto los coeficientes aij(t) como las funciones fi(t) son continuos en un

intervalo común I. Cuando f_i(t)  0, i  1, 2, . . . , n, se dice que el sistema lineal es homogéneo; de lo contrario será no homogéneo.

■

Forma matricial de un sistema lineal Si X, A(t) y F(t) denotan las matrices res-pectivas X ± x11t2 x21t2 o xn1t2 ≤ , A1t2  ± a111t2 a121t2 p a1n1t2 a211t2 a221t2 p a2n1t2 o o an11t2 an21t2 p ann1t2 ≤ , F1t2  ± f11t2 f21t2 o fn1t2 ≤ ,

entonces el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden (3) se puede escribir como d dt± x1 x2 o xn ≤  ± a111t2 a121t2 p a1n1t2 a211t2 a221t2 p a2n1t2 o o an11t2 an21t2 p ann1t2 ≤ ± x1 x2 o xn ≤  ± f11t2 f21t2 o fn1t2 ≤ o simplemente X  AX  F. (4)

Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es entonces

X  AX. (5)

Ejemplo 1

Sistemas escritos en notación matricial

a) Si X  ax

yb, entonces la forma matricial del sistema homogéneo

dx dt ⫽ 3x ⫹ 4y dy dt ⫽ 5x ⫺ 7y es X¿ ⫽ a3 4 5 ⫺7b X. b) Si X  ° x y z

¢, entonces la forma matricial del sistema no homogéneo

dx dt ⫽ 6x ⫹ y ⫹ z ⫹ t dy dt ⫽ 8x ⫹ 7y ⫺ z ⫹ 10t dz dt ⫽ 2x ⫹ 9y ⫺ z ⫹ 6t es X¿ ⫽ ° 6 1 1 8 7 ⫺1 2 9 ⫺1 ¢ X ⫹ ° t 10t 6t ¢ . ❏

D E F I N I C I Ó N 8 .1

Vector

solución

En un intervalo I, un vector solución es cualquier matriz columna

X ± x11t2 x21t2 o xn1t2 ≤

cuyos elementos son funciones diferenciables que satisfacen el sistema (4) en el intervalo.

Desde luego, un vector solución de (4) es equivalente a n ecuaciones escalares x1 ␾1(t), x2 ␾2(t), . . . , xn ␾n(t), y se puede interpretar de manera geométrica como un

sistema de ecuaciones paramétricas de una curva espacial. En los casos n  2 y n  3, las ecuaciones x1 ␾1(t), x2 ␾2(t), y x1 ␾1(t), x2 ␾2(t), x3 ␾3(t) representan curvas en los espacios bidimensional y tridimensional, respectivamente. Solemos deno-minar a tal curva solución como trayectoria. El plano también se denomina plano de fase. Ilustraremos estos conceptos en la sección siguiente, así como en el capítulo 9.

Ejemplo 2

Verificación de soluciones

Compruebe que en el intervalo (



,



)

X1⫽ a 1 ⫺1be⫺2t⫽ a e⫺2t ⫺e⫺2tb y X2⫽ a 3 5be 6t_{⫽ a}3e 6t 5e6tb son soluciones de X¿  a1 3 5 3b X. (6) Solución A partir de X1¿ ⫽ a ⫺2e⫺2t 2e⫺2tb y X2¿ ⫽ a 18e6t

30e6tb vemos que

AX1a 1 3 5 3ba e2t e2tb  a 5e2t 3e2t 5e2t 3e2tb  a 2e2t 2e2tb  X1¿ y AX2a 1 3 5 3ba 3e6t 5e6tb  a 13e6t_{ 15e}6t 15e6t_{ 15e}6tb  a 18e6t 30e6tb  X2¿ . ❏

Gran parte de la teoría de sistemas de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden es similar a la de las ecuaciones diferenciales lineales de n-ésimo orden.

■

Problema de valor inicial Si t0 denota un punto en un intervalo I y

X1t02 ⫽ ± x11t02 x21t02 o xn1t02 ≤ y X0⫽ ± g1 g2 o gn ≤ ,

donde ␥i , i  1, 2, . . . , n son las constantes dadas. Entonces el problema

Resolver: X  A(t)X  F(t)

(7) Sujeto a: X(t0)  X0

es un problema de valor inicial en el intervalo.

T E O R E M A

8 .1

Existencia de una solución única

Sean las entradas de las matrices A(t) y F(t) funciones continuas en un intervalo común I que contienen el punto t0. Por lo tanto, existe una solución única para el problema de valor inicial (7) en el intervalo.

■

Sistemas homogéneos En las siguientes definiciones y teoremas nos enfocaremos sólo en los sistemas homogéneos. Aunque no se indique, siempre asumiremos que aij y fi

son funciones continuas de t en algún intervalo común I.

■

Principio de superposición El siguiente resultado es un principio de superposi-ción para soluciones de sistemas lineales.

T E O R E M A

8 . 2

Principio de superposición

Sea X1, X2, . . . , Xk un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo (5)

en un intervalo I. Entonces, la combinación lineal

X  c1X1 c2X2 . . .  ckXk ,

donde c_i , i  1, 2, . . . , k son constantes arbitrarias, es también una solución en el intervalo.

Del teorema 8.2 se desprende que una constante múltiple de cualquier vector solución de un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden es también una solución.

Ejemplo 3

Uso del principio de superposición

Compruebe que los dos vectores

X1⫽ ° cos t ⫺1 2cos t⫹ 1 2sen t ⫺cos t⫺ sen t ¢ y X2⫽ ° 0 et 0 ¢

son soluciones del sistema

X¿  °

1 0 1

1 1 0

2 0 1

¢ X. (8)

Mediante el principio de superposición, la combinación lineal

X⫽ c1X1⫹ c2X2⫽ c1° cos t ⫺1 2cos t⫹ 1 2sen t ⫺cos t⫺ sen t ¢ ⫹ c2° 0 et 0 ¢

es otra solución del sistema. _❏

■

Dependencia lineal e independencia lineal Estamos interesados principalmente en las soluciones del sistema homogéneo (5) que sean linealmente independientes.

D E F I N I C I Ó N 8 . 2

Dependencia lineal e independencia

lineal

Sea X1, X2, . . . , Xk un sistema de vectores solución del sistema homogéneo (5) en

un intervalo I. Decimos que este conjunto es linealmente dependiente en el inter-valo si existen constantes c1, c2, . . . , ck, que no son todas cero, de tal forma que

c1X1 c2X2 . . .  ckXk 0

para toda t en el intervalo. Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

El caso k  2 tiene que aclararse; dos vectores solución X1 y X2 son linealmente de-pendientes si uno es un múltiplo constante del otro, y viceversa. Para k > 2, un conjunto de vectores solución es linealmente dependiente si podemos expresar al menos un vector solución como una combinación lineal de los vectores restantes.

■

Wronskiano En una consideración previa relacionada con la teoría de una sola ecua-ción diferencial ordinaria, pudimos introducir el concepto del determinante wronskiano como una prueba de la independencia lineal. Establecemos el teorema siguiente sin probarlo.

T E O R E M A

8 . 3

Criterio para soluciones linealmente

independientes

Sean X1 ± x11 x21 o xn1 ≤ , X2 ± x12 x22 o xn2 ≤ , p , Xn ± x1n x2n o xnn ≤

n vectores solución del sistema homogéneo (5) en un intervalo I. Entonces el sistema de vectores solución es linealmente independiente en I si, y sólo si, el wronskiano

(continuación) W(X1, X2, . . . , Xn)  4 x11 x12 p x1n x21 x22 p x2n o o xn1 xn2 p xnn 4 0 (9)

para toda t incluida en el intervalo.

Es posible demostrar que si X1, X2, . . . , Xn son vectores solución de (5), entonces

para toda t en I, bien W(X1, X2, . . . , Xn)  0 o W(X1, X2, . . . , Xn)  0. Por lo tanto, si

podemos demostrar que W  0 para alguna t0 en I, entonces W  0 para toda t, de mane-ra que el conjunto de soluciones es linealmente independiente en el intervalo.

Observe que, a diferencia de la definición del wronskiano dada en la sección 3.1, aquí la definición del determinante (9) no requiere diferenciación.

Ejemplo 4

Soluciones linealmente independientes

En el ejemplo 2 vimos que X1 a

1

1be2t y X2 a

3 5be

6t _{son soluciones del sistema (6).} Resulta evidente que X1 y X2 son linealmente independientes en el intervalo (



,



) ya que ningún vector es un múltiplo constante del otro. Además, tenemos

W(X1, X2) 2

e2t 3e6t e2t _5e6t2 8e

4t_{ 0}

para todos los valores reales de t. _❏

D E F I N I C I Ó N 8 . 3

Conjunto fundamental de soluciones

Todo conjunto X1, X2, . . . , Xn de n vectores solución linealmente independientes

del sistema homogéneo (5) en un intervalo I se denomina conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.

T E O R E M A 8 . 4

Existencia de un conjunto

fundamental

Existe un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogéneo (5) en un intervalo I.

Los dos teoremas siguientes son los equivalentes del sistema lineal examinado en los teoremas 3.5 y 3.6.

T E O R E M A

8 . 5

Solución general: sistemas

homogéneos

Sea X1, X2, . . . , Xn un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogéneo

(5) en un intervalo I. Por lo tanto, la solución general del sistema en el intervalo es X  c1X1 c2X2 . . .  cnXn ,

donde ci , i  1, 2, . . . , n son constantes arbitrarias.

Ejemplo 5

Solución general del sistema (6)

A partir del ejemplo 2 sabemos que X1 a

1

1be2t y X2 a

3 5be

6t _{son soluciones de} (6) linealmente independientes en (



,



). Por lo tanto, X1 y X2 forman un conjunto

fundamental de soluciones en el intervalo. La solución general del sistema en el intervalo es entonces X  c1X1 c2X2 c1 a 1 1be 2t_{ c} 2 a 3 5be 6t_{. (10)} ❏

Ejemplo 6

Solución general del sistema (8)

Los vectores X1⫽ ° cos t ⫺1 2cos t⫹ 1 2sen t ⫺cos t⫺ sen t ¢ , X2⫽ ° 0 1 0 ¢ et_{, X} 3⫽ ° sen t ⫺1 2sen t⫺ 1 2cos t ⫺sen t⫹ cos t ¢

son soluciones del sistema (8) en el ejemplo 3 (vea el problema 16 en los ejercicios 8.1). Ahora W(X1, X2, X3)  3 cos t 0 sen t ⫺1 2cos t⫹ 1 2sen t e t _⫺1 2sen t⫺ 1 2cos t

⫺cos t⫺ sen t 0 ⫺sen t⫹ cos t

3  et_{ 0}

para todos los valores reales de t. Concluimos que X1, X2 y X3 forman un conjunto fun-damental de soluciones en (



,



). Por lo tanto, en el intervalo, la solución general del sistema es la combinación lineal X  cX1 c2X2 c3X3, es decir,

X⫽ c1° cos t ⫺1 2cos t⫹ 1 2sen t ⫺cos t⫺ sen t ¢ ⫹ c2° 0 1 0 ¢ et_{⫹ c} 3° sen t ⫺1 2sen t⫺ 1 2cos t ⫺sen t⫹ cos t ¢ . _❏

■

Sistemas no homogéneos Para los sistemas no homogéneos, una solución par-ticular Xp en un intervalo I es cualquier vector, libre de parámetros arbitrarios, cuyos

elementos son funciones que satisfacen el sistema (4).

T E O R E M A

8 . 6

Solución general: sistemas no

homogéneos

Sean X_p una solución dada del sistema no homogéneo (4) en un intervalo I, y Xc c1X1 c2X2 . . .  cnXn

denote la solución general en el mismo intervalo del sistema homogéneo asociado (5). Luego, la solución general del sistema no homogéneo en el intervalo es

X  Xc Xp.

La solución general X_c del sistema homogéneo (5) se denomina función com-plementaria del sistema no homogéneo (4).

Ejemplo 7

Solución general: sistema no homogéneo

El vector Xp a

3t 4

5t  6b es una solución particular del sistema no homogéneo

X¿  a1 3

5 3bX a

12t 11

en el intervalo (



,



). (Verifique esto.) La función complementaria de (11) en el mismo intervalo, o la solución general de X  a1 3

5 3bX, se estudió en la expresión (10) del

ejemplo 5 como Xc c1 a 1 1be 2t_{ c} 2 a 3 5be

6t_{. Por lo tanto, en virtud del teorema 8.6}

X Xc Xp c1a 1 1be2t c2a 3 5be 6t_a 3t 4 5t  6b es la solución general de (11) en (



,



). _❏

EJERCICIOS 8.1

Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-18.

En los problemas del 1 al 6, exprese el sistema lineal en forma matricial. 1. dx dt  3x  5y 2. dx dt  4x  7y dy dt  4x  8y dy dt  5x 3. dx dt  3x  4y  9z 4. dx dt  x  y dy dt  6x  y dy dt  x  2z dz dt 10x  4y  3z dz dt x  z 5. dx dt  x  y  z  t  1 dy dt  2x  y  z  3t 2 dz dt x  y  z  t 2_{ t  2} 6. dx dt  3x  4y  e t _{sen 2t} dy dt  5x  9z  4e t _{cos 2t} dz dt y  6z  e t

En los problemas del 7 al 10, escriba el sistema dado sin el uso de matrices. 7. X¿  a 4 2 1 3bX a 1 1bet 8. X¿  ° 7 5 9 4 1 1 0 2 3 ¢ X  ° 0 2 1 ¢ e5t_{ °} 8 0 3 ¢ e2t 9. d dt ° x y z ¢ ° 1 1 2 3 4 1 2 5 6 ¢ ° x y z ¢  ° 1 2 2 ¢ et_{ °} 3 1 1 ¢ t 10. d dta x yb ⫽ a 3 ⫺7 1 1ba x yb ⫹ a 4 8b sen t ⫹ a t⫺ 4 2t⫹ 1be 4t

En los problemas del 11 al 16, compruebe que el vector X es una solución del sistema dado.

11. dx dt  3x  4y dy dt  4x  7y; X  a 1 2be 5t 12. dx dt  2x  5y dy dt  2x  4y; X  a 5cos t 3cos t⫺ sen tbe t 13. X  a1 1 4 1 1bX; X  a 1 2be 3t/2 14. X¿  a 2 1 1 0bX; X  a 1 3be t_a 4 4btet 15. X¿  ° 1 2 1 6 1 0 1 2 1 ¢ X; X  ° 1 6 13 ¢ 16. X¿ ⫽ ° 1 0 1 1 1 0 ⫺2 0 ⫺1 ¢ X; X ⫽ ° sen t ⫺1 2sen t⫺ 1 2cos t ⫺sen t ⫹ cos t ¢

En los problemas del 17 al 20, los vectores dados son solucio-nes de un sistema X  AX. Determine si los vectores forman un conjunto fundamental en (



,



). 17. X1 a 1 1be 2t_{, X} 2 a 1 1be6t 18. X1 a 1 1bet, X2 a 2 6be t_ a 8 8btet 19. X1 ° 1 2 4 ¢  t ° 1 2 2 ¢ , X2 ° 1 2 4 ¢ , X3 ° 3 6 12 ¢  t ° 2 4 4 ¢

Analizaremos sólo sistemas lineales con coeficientes constantes. 20. X1 ° 1 6 13 ¢ , X2 ° 1 2 1 ¢e4t, X3 ° 2 3 2 ¢e3t En los problemas del 21 al 24, verifique si el vector Xp es una

solución particular del sistema dado.

21. dx dt  x  4y  2t  7 dy dt  3x  2y  4t  18; Xpa 2 1bt a 5 1b 22. X¿  a2 1 1 1bX a 5 2b; Xpa 1 3b 23. X¿  a2 1 3 4bX a 1 7be t_; Xpa 1 1be t_a 1 1btet 24. X¿ ⫽ ° 1 2 3 ⫺4 2 0 ⫺6 1 0 ¢ X ⫹ °⫺14 3 ¢sen 3t; Xp⫽ ° sen 3t 0 cos 3t ¢

25. Demuestre que la solución general de

X¿  ° 0 6 0 1 0 1 1 1 0 ¢ X en el intervalo (



,



) es X  c1° 6 1 5 ¢et c2° 3 1 1 ¢ e2t c3° 2 1 1 ¢ e3t_.

26. Demuestre que la solución general de

X¿  a1 1 1 1bX a 1 1bt 2_ a 4 6bt a 1 5b en el intervalo (



,



) es X c1a 1 1  22be22t c2a 1 1  22be22t a1 0bt 2_ a2 4bt a 1 0b.

8.2

Sistemas lineales homogéneos

■

Introducción En el ejemplo 5 de la sección 8.1, vimos que la solución general del sistema homogéneo X  a1 3 5 3bX es X  c1X1 c2X2 c1a 1 1be2t c2a 3 5be 6t_.

Puesto que ambos vectores solución tienen la forma Xi a

k1

k2

be␭ i t_{, i}  1, 2, donde k 1, k2, ␭1, y ␭2 son constantes, nos vemos impulsados a preguntar si siempre es posible encon-trar una solución de la forma

X  ± k1 k2 o kn ≤e␭t Ke␭t (1)

para el sistema general homogéneo de primer orden

X  AX, (2)

donde la matriz de coeficientes A es una matriz de constantes de orden n  n.

■

Valores propios y vectores propios Si (1) ha de ser un vector solución del siste-ma, entonces X  K␭e␭t de manera que (2) se convierta en K␭e␭t AKe␭t. Después de dividir e␭t y reordenar, obtenemos AK  ␭K o AK  ␭K  0. Como K  IK, la última ecuación es lo mismo que

La ecuación matricial (3) es equivalente a las ecuaciones algebraicas simultáneas (a11 ␭)k1 a12k2 . . .  a1nkn 0

a21k1 (a22 ␭)k2 . . .  a2nkn 0

 

an1k1 an2k2 . . .  (ann ␭)kn 0.

Por lo tanto, para encontrar una solución no trivial X de (2) debemos encontrar primero una solución no trivial del sistema citado; en otras palabras, primero tenemos que deter-minar un vector no trivial K que satisfaga (3). Pero con el fin de que (3) tenga soluciones distintas de la solución evidente k1 k2 . . .  kn 0, necesitamos tener

det (A  ␭I)  0.

Esta ecuación polinomial ␭ se denomina ecuación característica de la matriz A; sus so-luciones son los valores propios de A. Una solución K  0 de (3) correspondiente a un valor propio ␭ se denomina vector propio de A. Una solución del sistema homogéneo (2) es entonces X  Ke␭t.

En el siguiente análisis examinaremos tres casos: todos los valores propios son reales y distintos (es decir, no hay dos valores propios iguales), valores propios repetidos, y por último, valores propios complejos.

8.2.1

Valores propios reales distintos

Cuando la matriz A de orden n  n posee n valores propios reales distintos ␭1, ␭2, . . . , ␭n, entonces siempre se podrá encontrar un sistema de n vectores propios linealmente

independientes K1, K2, . . . , Kn y

X1 K1el1t, X2 K2el2t, p , Xn Knelnt

es un conjunto fundamental de soluciones de (2) en (



,



).

T E O R E M A

8 . 7

Solución general: sistemas

homogéneos

Sean ␭1, ␭2, . . . , ␭_n n valores propios reales distintos de la matriz de coeficientes A del sistema homogéneo (2), y sean K1, K2, . . . , Kn los vectores propios

correspon-dientes. Entonces, la solución general de (2) en el intervalo (



,



) está dada por X c1K1el1t c2K2el2t p  cnKnelnt.

Ejemplo 1

Valores propios distintos

Resuelva dx

dt  2x  3y

(4)

dy

dt  2x  y.

Solución Primero encontramos los valores propios y los vectores propios de la matriz de coeficientes.

A partir de la ecuación característica det (A  ␭I)  22⫺ l 3

2 1⫺ l2  ␭

2_{ 3␭  4  (␭  1)(␭  4)  0}

deducimos que los valores propios son ␭1 1 y ␭2 4. Ahora para ␭1 1, (3) es equivalente a

3k1 3k2 0 2k1 2k2 0.

x y 4 2 0 –2 –5 –6 –8 –10 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 6 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 0 1 2 3t x 6 4 2 –2 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 t 0 y a) Gráfica de x = e–t _{+ 3e}4t c) Gráfica de y = –e–t _{+ 2e}4t

c) Trayectoria definida por x = e–t _{+ 3e}4t_,

y = –e–t _{+ 2e4t en el plano fase}

y

x

Figura 8.2 Retrato de fase del sistema (4)

Figura 8.1 Una solución particular de (5) produce tres curvas diferentes en tres distintos planos coordenados

Por lo tanto, k1 k2. Cuando k2 1, el vector propio relacionado es K1a

1

1b.

Para ␭2 4, tenemos 2k1 3k2 0 2k1 3k2 0

de manera que k1 3k2 /2, y por lo tanto, con k2 2, el vector propio correspondiente es

K2 a

3 2b.

Puesto que la matriz de coeficientes A es una matriz de 2  2, y como hemos encontrado dos soluciones linealmente independientes de (4),

X1⫽ a 1 ⫺1be⫺t y X2⫽ a 3 2be 4t_,

concluimos que la solución general del sistema es X  c1X1 c2X2 c1 a 1 1be t_{ c} 2 a 3 2be 4t_{. (5)} ❏ Con fines de repaso, se debe tener muy presente que una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, cuando la expresamos en términos matriciales, simplemente es una alternativa al método empleado en la sección 3.11, es decir, listar las funciones individuales y las relaciones entre las constantes. Si sumamos los vectores incluidos en el lado derecho de (5) y después igualamos los elementos con los correspondientes del vector de la izquierda, obtenemos la expresión más conocida

x  c1et 3c2e

4t_{, y  c}

1et 2c2e 4t_.

Tal como fue señalado en la sección 8.1, podemos interpretar estas ecuaciones como ecuaciones paramétricas de una curva o trayectoria en el plano xy o plano de fase. Las tres gráficas se muestran en la figura 8.1: x(t) en el plano tx, y(t) en el plano ty, y la trayectoria en el plano de fase correspondiente a la elección de constantes c1 c2 1 en la solución. Un conjunto de trayectorias presentes en el plano de fase, como lo mues-tra la figura 8.2, es un remues-trato de fase del sistema lineal dado. Lo que en la figura 8.2 parecen ser dos líneas negras, en realidad son cuatro medias líneas definidas de manera paramétrica en el primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes mediante las soluciones X2, X1, X2 y X1, respectivamente. Por ejemplo, las ecuaciones cartesianas y 

2 3x, x > 0, y y  x, x > 0, de las medias líneas incluidas en el primero y cuarto cuadrantes se obtuvieron al eliminar el parámetro t en las soluciones x  3e4t_{, y  2e}4t_{, y x  e}t_, y  et, respectivamente. Además, cada vector propio se puede visualizar como un vector bidimensional tendido a lo largo de estas medias líneas. El vector propio K2 a

3 2b

descansa a lo largo de y 23x en el primer cuadrante y K1 a

1

1b a lo largo de y  x

en el cuarto cuadrante; cada vector comienza en el origen con K2 que termina en el punto (2, 3) y K1 que termina en (1, 1).

El origen no sólo es una solución constante, x  0, y  0, para todo sistema lineal homogéneo 2  2 X  AX sino que también es un punto importante en el estudio cua-litativo de tales sistemas. Si pensamos en términos físicos, las puntas de flecha marcadas en las trayectorias de la figura 8.2 indican la dirección en que se movería una partícula con coordenadas (x(t), y(t)) en una trayectoria en el tiempo t a medida que se presente un incremento en el tiempo. Observe que las puntas de flecha, salvo las de las medias líneas trazadas en el segundo y cuarto cuadrantes, indican que una partícula se alejaría de su origen conforme aumentara el tiempo. Si imaginamos que el tiempo varía desde 



hasta



, entonces el análisis de la solución x  c1et 3c2e

4t

, y  c1et 2c2e 4t

, c1 0, c2 0, muestra que una trayectoria, o partícula móvil, “comienza” por ser asin-tótica en relación con una de las medias líneas definidas mediante X1 o X1 (ya que e

es insignificante para t → 



) y “termina” siendo asintótica respecto a una de las me-dias líneas definidas por X2 y X2 (puesto que et es insignificante para t →



).

Dicho sea de paso, la figura 8.2 representa un retrato de fase que es característico de todos los sistemas lineales homogéneos X  AX de 2  2 con valores propios reales de signos opuestos. Vea el problema 17 en los ejercicios 8.2. Además, si los valores propios reales distintos tienen el mismo signo algebraico, los retratos de fase serán aquellos ca-racterísticos de todos los sistemas lineales de 2  2 de este tipo; la única diferencia sería que las puntas de flecha indicarían que una partícula se aleja del origen en cualquier tra-yectoria conforme t →



cuando ␭1 y ␭2 son positivos, y que se acerca al origen en cual-quier trayectoria cuando tanto ␭1 como ␭2 son negativos. En consecuencia, resulta muy común denominar al origen como repulsor en el caso ␭1 > 0, ␭2 > 0, y como atractor en el caso ␭1 < 0, ␭2 < 0. Vea el problema 18 en los ejercicios 8.2. En la figura 8.2, el origen no es ni un repulsor ni un atractor. La investigación sobre el caso restante, cuando ␭  0 sea un valor propio de un sistema lineal homogéneo de 2  2, se deja como ejercicio para el lector. Vea el problema 48 en los ejercicios 8.2.

Ejemplo 2

Valores propios distintos

Resuelva dx dt  4x 5y z dy dt  x 5y  z (6) dz dt y 3z.

Solución Mediante los cofactores del tercer renglón, encontramos

det (A  ␭I)  3

4  l 1 1

1 5 l 1

0 1 3  l

3 (␭  3)(␭  4)(␭  5)  0, y, por lo tanto, los valores propios son ␭1 3, ␭2 4, ␭3 5.

Para ␭1 3, la eliminación de Gauss-Jordan produce

1A ⫹ 3I|02 ⫽ ° ⫺1 1 1 1 8 ⫺1 0 1 0 3 0 0 0 ¢ 1 ° 1 0 ⫺1 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 ¢ .

Por lo tanto, k1 k3 y k2 0. La alternativa k3 1 produce un vector propio y el corres-pondiente vector solución

K1 ° 1 0 1 ¢, X1 ° 1 0 1 ¢e3t. (7)

De manera similar, para ␭2 4,

1A ⫹ 4I|02 ⫽ ° 0 1 1 1 9 ⫺1 0 1 1 3 0 0 0 ¢ 1 ° 1 0 ⫺10 0 1 1 0 0 0 3 0 0 0 ¢ .

implica que k1 10k3 y k2 k3. Al elegir k3 1, obtenemos un segundo vector propio y su vector solución K2 ° 10 1 1 ¢ , X2 ° 10 1 1 ¢ e4t_{. (8)} operaciones entre renglones operaciones entre renglones

Por último, cuando ␭3 5, las matrices aumentadas 1A ⫹ 5I|02 ⫽ °⫺9 1 1 1 0 ⫺1 0 1 ⫺8 3 0 0 0 ¢ 1 ° 1 0 ⫺1 0 1 ⫺8 0 0 0 3 0 0 0 ¢ producen K3 ° 1 8 1 ¢ , X3 ° 1 8 1 ¢ e5t_{. (9)}

La solución general de (6) es una combinación lineal de los vectores solución dados en (7), (8) y (9): X  c1° 1 0 1 ¢e3t c2° 10 1 1 ¢e4t c3° 1 8 1 ¢e5t_. ❏

■

Uso de computadoras Los paquetes de cómputo como MATLAB, Mathematica, Maple y DERIVE pueden ahorrarnos mucho tiempo cuando se trata de encontrar valores propios y vectores propios de una matriz. Por ejemplo, para encontrar los valores propios y los vectores propios de la matriz de coeficientes dada en (6) mediante Mathematica, primero ingresamos la definición de matriz por renglones:

m  { {4, 1, 1}, { 1, 5, 1}, { 0, 1, 3} }.

Los comandos Eigenvalues[m] y Eigenvectors[m] dados en secuencia generan {4, 3, 5} y { { 10, 1, 1}, { 1, 0, 1}, { 1, 8, 1} },

respectivamente. En Mathematica, los valores propios y los vectores propios también se pueden obtener al mismo tiempo mediante Eigensystem[m].

8.2.2

Valores propios repetidos

Desde luego, no todos los n valores propios ␭1, ␭2, . . . , ␭n de una matriz A de orden n  n

deben ser diferentes, es decir, algunos de los valores propios pueden estar repetidos. Por ejemplo, puede advertirse fácilmente que la ecuación característica de la matriz de coeficientes en el sistema

X  a3 18

2 9bX (10)

es (␭  3)2_{ 0, y por lo tanto ␭}

1 ␭2 3 es una raíz de multiplicidad dos. Para este valor encontramos el vector propio único

K1⫽ a 3 1b, de manera que X1⫽ a 3 1be ⫺3t ₍₁₁₎

es una solución de (10). Pero como estamos interesados en formar la solución general del sistema, debemos concentrarnos en encontrar una segunda solución.

En general, si m es un entero positivo y (␭  ␭1)m _{es un factor de la ecuación}

carac-terística pero (␭  ␭1)m1 no es un factor, entonces se dice que ␭1 es un valor propio de multiplicidad m. Los tres ejemplos presentados a continuación ilustran los siguientes

casos:

i) Para ciertas matrices A de orden n  n puede ser posible encontrar m vectores pro-pios linealmente independientes K1, K2, . . . , Kmcorrespondientes a un valor propio

␭1de multiplicidad m n. En este caso, la solución general del sistema contiene la combinación lineal

c1K1el1t c2K2el1t p  cmKmel1t. operaciones

entre renglones

ii) Si hay sólo un vector propio correspondiente al valor propio␭1de multiplicidad m, entonces siempre se pueden encontrar m soluciones linealmente independientes de la forma X1 K11el1t X2 K21tel1t K22el1t  Xm Km1 tm1 1m  12! el1t Km2 tm2 1m  22! el1t p  Kmmel1t,

donde K_ij son vectores columna.

■

Valor propio de multiplicidad dos Iniciemos considerando los valores propios de multiplicidad dos. En el primer ejemplo ilustramos una matriz para la cual podemos encontrar dos vectores propios que corresponden a un valor propio doble.

Ejemplo 3

Valores propios repetidos

Resuelva X  °

1 2 2

2 1 2

2 2 1

¢ X.

Solución Si se amplía la determinante en la ecuación característica

det (A  ␭I)  3

1 l 2 2

2 1 l 2

2 2 1 l

3 0 se produce (␭  1)2_{(␭  5)  0. Vemos que ␭1 ␭}

2 1 y ␭3 5.

Para ␭1 1, la eliminación de Gauss-Jordan inmediatamente da como resultado

1A ⫹ I|02 ⫽ ° 2 ⫺ 2 2 ⫺2 2 ⫺2 2 ⫺2 2 3 0 0 0 ¢ 1 ° 1 ⫺1 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 ¢ .

El primer renglón de la última matriz comprende k1 k2 k3 0 o k1 k2 k3. Las elecciones k2 1, k3 0 y k2 1, k3 1 producen, a su vez, k1 1 y k1 0. Por lo tanto, dos vectores propios que corresponden a ␭1 1 son

K1⫽ ° 1 1 0 ¢ y K2⫽ ° 0 1 1 ¢ .

Puesto que ningún vector propio es múltiplo constante del otro, hemos encontrado dos soluciones linealmente independientes, correspondientes al mismo valor propio

X1⫽ ° 1 1 0 ¢ e⫺t _{y X} 2⫽ ° 0 1 1 ¢ e⫺t_.

Por último, para ␭3 5, la reducción

1A ⫹ 5I|02 ⫽ °⫺4 ⫺2 2 ⫺2 ⫺4 ⫺2 2 ⫺ 2 ⫺4 3 0 0 0 ¢ 1 ° 1 0 ⫺ 1 0 1 1 0 0 0 3 0 0 0 ¢ . operaciones entre renglones operaciones entre renglones

implica k1 k3 y k2 k3. Al elegir k3 1 se tiene k1 1, k2 1, y por lo tanto un tercer vector propio es

K3 °

1 1 1

¢ .

Concluimos que la solución general del sistema es

X c1° 1 1 0 ¢ et_{ c °} 0 1 1 ¢ et_{ c} 3° 1 1 1 ¢ e5t_. ❏ La matriz de coeficientes A dada en el ejemplo 3 es una clase especial de matriz cono-cida como matriz simétrica. Se dice que una matriz A de orden n  n es simétrica cuando su matriz transpuesta AT _{(donde las columnas y los renglones están intercambiados) es la}

misma que A, es decir, si AT_{ A. Es posible demostrar que si en el sistema X  AX la}

matriz A es simétrica y tiene elementos reales, entonces siempre podremos encontrar n vectores propios linealmente independientes K1, K2, . . . , Kn, y la solución general de tal

sistema es como la presentada en el teorema 8.7. Tal como se ilustró en el ejemplo 3, este resultado también es válido cuando algunos de los valores propios están repetidos.

■

Segunda solución Ahora suponga que ␭1 es un valor propio de multiplicidad dos y que sólo hay un vector propio asociado con este valor. Se puede encontrar una segunda solución expresada en la siguiente forma

X2 Ktel1t Pel1t, (12) donde K⫽ ± k1 k2 o kn ≤ y P ⫽ ± p1 p2 o pn ≤ .

Para ver esto sustituimos (12) en el sistema X  AX y simplificamos:

1AK  l1K2tel1t 1AP  l˛1P K2e

l1t_{ 0.}

puesto que esta última ecuación es aplicable a todos los valores de t, debemos tener

(A  ␭1I)K  0 (13)

y (A  ␭1I)P  K. (14)

La ecuación (13) indica simplemente que K debe ser un vector propio de A asociado con ␭1. Cuando resolvemos (13), encontramos una solución X1 Ke␭1t. Para encontrar la se-gunda solución X2 sólo necesitamos resolver el sistema adicional (14) para el vector P.

Ejemplo 4

Valores propios repetidos

Encontrar la solución general del sistema dado en (10).

Solución A partir de (11) sabemos que ␭1 3 y que una solución es X1 a

3 1be 3t_. Cuando identificamos K  a3 1b y P  a p1 p2

b, con base en la expresión (14) encontramos que ahora debemos resolver

1A ⫹ 3I2P ⫽ K o 6p1⫺ 18p2⫽ 3

y

x

Figura 8.3 Retrato de fase del sistema (10)

Puesto que este sistema evidentemente equivale a una ecuación, tenemos un número infinito de elecciones para p1 y p2. Por ejemplo, si elegimos p1 1 obtenemos p2

1 6. No obstante, en aras de la simplicidad, elegiremos p1

1

2 de manera que p2 0. Por lo tanto, P  a

1 2

0b. Así que a partir de (12) encontramos

X2 a 3 1bte 3t_{ a}12 0be 3t_.

Entonces la solución general de (10) es X c1a 3 1be 3t_{ c} 2c a 3 1bte 3t_{ a}12 0be 3t_{d .} ❏ Si en la solución del ejemplo 4 asignamos diferentes valores a c1 y c2, podremos tra-zar trayectorias del sistema dado en (10). En la figura 8.3 se muestra un retrato de fase de (10). Las soluciones X1 y X1 determinan dos semirrectas y 

1

3x, x > 0 y y  1

3x, x < 0, respectivamente, las cuales se muestran en negro en la figura 8.3. Como el valor propio único es negativo y e3t→ 0 cuando t →



en cada trayectoria, tenemos que (x(t), y(t)) → (0, 0) cuando t →

_

. Esto es porque las puntas de flecha de la figura 8.3 indican que una partícula situada en cualquier trayectoria se mueve hacia el origen a medida que el tiempo aumenta y porque, en este caso, el origen es un atractor. Además, una partícula móvil ubicada en una trayectoria x  3c1e3t c2(te3t

1

2e3t), y  c1e3t c2te3t, c2 0, se acerca tangencialmente (0, 0) a una de las medias líneas conforme t →



. En contraste, cuando el valor propio repetido es positivo, la situación se invierte y el origen es un repulsor. Vea el problema 21 en los ejercicios 8.2. Parecida a la figura 8.2, la figura 8.3 es característica de todos los sistemas lineales homogéneos de 2  2 X  AX que tienen dos valores propios negativos repetidos. Vea el problema 32 en los ejercicios 8.2.

■

Valor propio de multiplicidad tres Cuando la matriz de coeficientes A tiene un solo vector propio asociado a un valor propio ␭1 de multiplicidad tres, podemos encon-trar una solución de la forma (12) y una tercera solución de la forma

X3 K t2 2 e l1t_{ Pte}l1t_{ Qe}l1t , donde K⫽ ± k1 k2 o kn ≤ , P ⫽ ± p1 p2 o pn ≤ y Q ⫽ ± q1 q2 o qn ≤ .

Al sustituir (15) en el sistema X  AX, encontramos que los vectores columna K, P y Q deben satisfacer

(A  ␭1I)K  0 (16)

(A  ␭1I)P  K (17)

y (A  ␭1I)Q  P. (18)

Por supuesto, las soluciones de (16) y (17) se pueden usar en la formación de las solu-ciones X1 y X2.

Ejemplo 5

Valores propios repetidos

Resolver X  °

2 1 6

0 2 5

0 0 2

Solución La ecuación característica (␭  2)3 0 muestra que ␭1 2 es un valor propio de multiplicidad tres. Al resolver (A  2I)K  0 encontramos el vector propio único

K °

1 0 0

¢ .

Después resolvemos en sucesión los sistemas (A  2I)P  K y (A  2I)Q  P y en-contramos que P⫽ ° 0 1 0 ¢ y Q ⫽ ° 0 ⫺6 5 1 5 ¢ .

A partir de (12) y (15), vemos que la solución general del sistema es

*Cuando la ecuación característica tiene coeficientes reales, los valores propios complejos siempre se pre-sentan en pares conjugados.

8.2.3

Valores propios complejos

Si ␭1 ␣  ␤i y ␭2 ␣  ␤i, ␤ > 0, i

2_{ 1, son valores propios complejos de la} matriz de coeficientes A, sin lugar a dudas podemos esperar que sus correspondientes vectores propios también tengan elementos complejos.*

Por ejemplo, la ecuación característica del sistema

dx dt  6x  y (19) dy dt  5x  4y es det 1A  lI2  26 l 1 5 4 l2  l 2_{ 10l  29  0.}

A partir de la fórmula cuadrática encontramos que ␭1 5  2i, ␭2 5  2i. Ahora para ␭1 5  2i debemos resolver

(1  2i)k1 k2 0

5k1 (1  2i)k2 0.

Comentarios

Cuando un valor propio ␭1 tiene multiplicidad m, entonces podemos encontrar m vectores propios linealmente independientes o el número de vectores propios corres-pondientes es menor que m. Por lo tanto, los dos casos previstos en la página 418 no representan todas las posibilidades de que ocurra un valor propio repetido. Podría suceder, digamos, que una matriz de 5  5 tenga un valor propio de multiplicidad 5, y que existan tres vectores propios linealmente independientes correspondientes. Vea los problemas 31 y 49 en los ejercicios 8.2.

X c1° 1 0 0 ¢e2t_{ c} 2£ ° 1 0 0 ¢te2t_ ° 0 1 0 ¢ e2t§  c 3£ ° 1 0 0 ¢ t2 2 e 2t_ ° 0 1 0 ¢te2t_ ° 0 6 5 1 5 ¢e2t§ . _❏

*Observe que la segunda ecuación es simplemente la primera multiplicada por (1  2i ).

Como k2 (1  2i)k1,* la elección k1 1 produce el siguiente vector propio y un vector solución: K1a 1 1 2ib, X1a 1 1 2ibe 152i2t_.

De manera similar, para ␭2 5  2i tenemos K2a 1 1 2ib, X2a 1 1 2ibe 152i2t_.

Mediante el wronskiano podemos comprobar que estos vectores solución son linealmen-te independienlinealmen-tes, y por lo tanto la solución general de (19) es

X c1a 1 1 2ibe 152i2t_{ c} 2a 1 1 2ibe 152i2t_{. (20)}

Observe que los elementos de K2 correspondientes a ␭2 son los conjugados de los ele-mentos de K1 correspondientes a ␭1. El conjugado de ␭1 es, por supuesto, ␭2. Expresamos esto como ␭2 l1 y K2 K1. Hemos ilustrado el siguiente resultado general.

T E O R E M A

8 . 8

Soluciones correspondientes

a un valor propio complejo

Sea A la matriz de coeficientes que tiene elementos reales del sistema homogéneo (2), y sea K1 un vector propio correspondiente al valor propio complejo ␭1 ␣  i␤, ␣ y ␤ son reales. Entonces

K1el1t y K1el1t

son soluciones de (2).

Es conveniente y relativamente fácil escribir de nuevo una solución como (20) en términos de funciones reales. Con este fin utilizamos primero la fórmula de Euler para escribir

e(52i)t e5te2ti e5t(cos 2t  i sen 2t) e(52i)t_{ e}5t_e2ti_{ e}5t

(cos 2t  i sen 2t).

Luego, después de multiplicar los números complejos, recabar términos y reemplazar c1 c2 por C1, y (c1 c2)i por C2, (20) se convierte en

X  C1X1 C2X2, (21) donde X1⫽ c a 1 1b cos 2t ⫺ a 0 ⫺2b sen 2t d e5t y X2⫽ c a 0 ⫺2b cos 2t ⫹ a 1 1b sen 2t d e 5t .

Ahora es importante darnos cuenta de que los dos vectores X1 y X2 presentados en (21) son en sí mismos soluciones reales linealmente independientes. En consecuencia, igno-rar la relación entre C1, C2 y c1, c2 está justificado, y podemos considerar C1 y C2 como completamente arbitrarios y reales. En otras palabras, la combinación lineal (21) es una solución general alternativa de (19).

El proceso descrito se puede generalizar. Sea K1 un vector propio de la matriz de coefi-cientes A (con elementos reales) correspondiente al valor propio complejo ␭1 ␣  i␤. Entonces los dos vectores solución presentados en el teorema 8.8 se pueden expresar como

K1el1t⫽ K1eateibt⫽ K1eat1cosbt ⫹ isen bt2

K1el1t⫽ K1eate⫺ibt⫽ K1eat1cos bt ⫺ isen bt2.

Con base en el principio de superposición, teorema 8.2, los siguientes vectores también son soluciones: X1⫽ 1 2 1K1e l1t⫹ K 1el1t2 ⫽ 1 21K1⫹ K12e at_{cos bt ⫺} i 2 1⫺K1⫹ K12e at_{sen bt} X2⫽ i 21⫺K1e l1t⫹ K 1el1t2 ⫽ i 2 1⫺K1⫹ K12 e at_{cos bt ⫹}1 2 1K1⫹ K12 e at_{sen bt.}

Para todo número complejo z  a  ib, tanto 1

21z  z2  a como i

21  z  z2  b son

números reales. Por lo tanto, los elementos incluidos en los vectores columna

1

2 1K1 K12 y i

2 1  K1 K12 son números reales. Al definir

B1⫽

1

21K1⫹ K12 y B2⫽

i

2 1 ⫺ K1⫹ K12, (22)

se llega al teorema siguiente.

T E O R E M A

8 . 9

Soluciones reales correspondientes

a un valor propio complejo

Sea ␭1 ␣  i␤ un valor propio complejo de la matriz de coeficientes A en el sistema homogéneo (2), y B1 y B2 denotan los vectores columna definidos en (22). Entonces

X1 [B1 cos ␤t  B2 sen ␤t]e␣t

(23)

X2 [B2 cos ␤t  B1 sen ␤t]e␣t

son soluciones linealmente independientes de (2) en (



,



). Las matrices B1 y B2 dadas en (22) a menudo se representan mediante

B1 Re(K1) y B2 Im(K1) (24)

puesto que estos vectores son, respectivamente, las partes reales e imaginarias del vector propio K1. Por ejemplo, (21) se deduce de (23) con

K1a 1 1 2ib  a 1 1b  ia 0 2b B1⫽ Re1K12 ⫽ a 1 1b y B2⫽ Im1K12 ⫽ a 0 ⫺2b.

Ejemplo 6

Valores propios complejos

Resolver el problema de valor inicial

X¿  a 2 8

1 2b X, X102  a

2

1b. (25)

Solución Primero obtenemos los valores propios de

det1A  lI2  22 l 8

y

x

Figura 8.4 Retrato de fase del sistema presentado en (26)

Los valores propios son ␭1 2i y ␭2 l1 2i. Para ␭1 el sistema

(2  2i) k1 8k2 0

k1 (2  2i )k2 0 da k1 (2  2i)k2. Si establecemos k2 1 obtenemos

K1a 2 2i 1 b  a 2 1b  ia 2 0b.

Ahora, con base en la expresión (24), formamos

B1⫽ Re1K12 ⫽ a

2

⫺1b y B2⫽ Im1K12 ⫽ a

2 0b.

Puesto que ␣  0, de (23) se deduce que la solución general del sistema es

X⫽ c1c a 2 ⫺1bcos 2t⫺ a 2 0bsen 2td ⫹ c2c a 2 0bcos 2t⫹ a 2 ⫺1bsen 2td ⫽ c1a 2cos 2t⫺ 2sen 2t ⫺cos 2t b ⫹ c2a 2cos 2t⫹ 2sen 2t ⫺sen 2t b. (26)

Algunas gráficas de las curvas o trayectorias definidas por la solución (26) del sistema se ilustran en el retrato de fase de la figura 8.4. Ahora la condición inicial X(0)  a 2

1b,

o, de manera similar, x(0)  2 y y(0)  1 producen el sistema algebraico 2c1 2c2 2, c1 1 cuya solución es c1 1, c2 0. Por lo tanto, la solución al problema es

X  a2 cos 2t⫺ 2 sen 2t

⫺cos 2t b. La trayectoria específica definida en forma paramétrica

mediante la solución particular x  2 cos 2t 2 sen 2t, y   cos 2t es la curva negra de la figura 8.4.

Observe que esta curva pasa por (2, 1). _❏

EJERCICIOS 8.2

Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-19.

8.2.1

_{Valores propios reales distintos}

En los problemas del 1 al 12, encuentre la solución general del sistema dado. 1. dx dt  x  2y 2. dx dt  2x  2y dy dt  4x  3y dy dt  x  3y 3. dx dt  4x  2y 4. dx dt   5 2x  2y dy dt   5 2x  2y dy dt  3 4x  2y 5. X  a10 51 8 12bX 6. X  a 6 2 3 1bX 7. dx dt  x  y  z 8. dx dt  2x  7y dy dt  2y dy dt  5x  10y  4z dz dt y  z dz dt 5y  2z 9. X  ° 1 1 0 1 2 1 0 3 1 ¢X 10. X  ° 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ¢X 11. X  ° 1 1 0 3 4  3 2 3 1 8 1 4  1 2 ¢X

12. X  °

1 5 2

4 1 2

0 0 6

¢X

En los ejercicios 13 y 14, resuelva el PVI dado.

13. X  a 1 2 0 1 12 bX, X(0)  a3 5b 14. X  ° 1 1 4 0 2 0 1 1 1 ¢X, X(0)  ° 1 3 0 ¢

Tareas para el laboratorio de cómputo

En los problemas 15 y 16, utilice un CAS o un programa de cómputo de álgebra lineal como apoyo para encontrar la solu-ción general del sistema dado.

15. X  ° 0.9 2.1 3.2 0.7 6.5 4.2 1.1 1.7 3.4 ¢X 16. X  ¥ 1 0 2 1.8 0 0 5.1 0 1 3 1 2 3 0 0 0 1 3.1 4 0 2.8 0 0 1.5 1 µX

17. a) Use un programa de cómputo para obtener el retrato de fase del sistema dado en el problema 5. Si fuera posible, incluya las puntas de flecha como en la fi-gura 8.2. También incluya cuatro medias líneas en su retrato de fase.

b) Obtenga las ecuaciones cartesianas de cada una de las cuatro medias líneas incluidas en el inciso a). c) Trace los vectores propios en su retrato de fase del

sistema.

18. Encuentre los retratos de fase para los sistemas dados en los problemas 2 y 4. Para cada sistema, encuentre todas las trayectorias de media línea e incluya estas líneas en su retrato de fase.

8.2.2

_{Valores propios repetidos}

En los problemas del 19 al 28, encuentre la solución general del sistema dado.

19. dx dt 3xy 20. dx dt 6x 5y dy dt 9x 3y dy dt5x 4y 21. Xa1 3 3 5bX 22. Xa 12 9 4 0bX 23. dx dt 3xyz 24. dx dt 3x 2y 4z dy dtx y z dy dt 2x 2z dz dtx yz dz dt 4x 2y 3z 25. X ° 5 4 0 1 0 2 0 2 5 ¢X26. X ° 1 0 0 0 3 1 0 1 1 ¢X 27. X ° 1 0 0 2 2 1 0 1 0 ¢X28. X ° 4 1 0 0 4 1 0 0 4 ¢X

En los ejercicios 29 y 30, resuelva el problema de valor inicial dado. 29. X  a 2 4 1 6bX, X(0)  a 1 6b 30. X  ° 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ¢ X, X(0)  ° 1 2 5 ¢ 31. Demuestre que la matriz de 5  5

A ¥ 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 µ

tiene un valor propio ␭1 de multiplicidad 5. Demuestre que se pueden encontrar tres vectores propios lineal-mente independientes correspondientes a ␭1.

Tareas para el laboratorio de cómputo

32. Encuentre los retratos de fase para los problemas 20 y

21. Para cada sistema, encuentre cualquier trayectoria de media línea e incluya estas líneas en su retrato de fase.

8.2.3

_{Valores propios complejos}

En los problemas del 33 al 44, encuentre la solución general para el sistema dado.

33. dx dt  6x  y 34. dx dt  x  y dy dt  5x  2y dy dt  2x  y 35. dx dt  5x  y 36. dx dt  4x  5y dy dt  2x  3y dy dt  2x  6y 37. X  a4  5 5  4bX 38. X  a 1  8 1  3bX 39. dx dt  z 40. dx dt  2x  y  2z dy dt  z dy dt  3x  6z dz dt y dz dt 4x  3z

41. X  ° 1 1 2 1 1 0 1 0 1 ¢X 42. X  ° 4 0 1 0 6 0 4 0 4 ¢X 43. X  ° 2 5 1 5 6 4 0 0 2 ¢X 44. X  ° 2 4 4 1 2 0 1 0 2 ¢X

En los ejercicios 45 y 46, resuelva el problema de valor inicial dado. 45. X  ° 1 12 14 1 2 3 1 1 2 ¢X, X(0)  ° 4 6 7 ¢ 46. X  a6 1 5 4bX, X(0)  a 2 8b

Tareas para el laboratorio de cómputo

47. Encuentre los retratos de fase para los sistemas dados en

los problemas 36, 37 y 38.

48. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas lineales. a) X  a1 1

1 1bX

b) X  a 1 1

1 1bX.

Encuentre un retrato de fase de cada sistema. ¿Cuál es el significado geométrico de la línea y  x en cada retrato?

Problemas de análisis

49. Considere la matriz de 5  5 dada en el problema 31. Resuelva el sistema X  AX sin ayuda de métodos ma-triciales, pero exprese la solución general mediante no-tación matricial. Utilice la solución general como base para su análisis sobre cómo se puede resolver el sistema con los métodos matriciales explicados en esta sección. Desarrolle sus ideas.

50. Obtenga una ecuación cartesiana de la curva definida pa-ramétricamente mediante la solución del sistema lineal del ejemplo 6. Identifique la curva que atraviesa (2, 1) en la figura 8.4. [Sugerencia: Calcule x2_{, y}2 _{y xy.]}

51. Examine sus retratos de fase del problema 47. ¿En qué condiciones el retrato de fase de un sistema lineal ho-mogéneo de 2  2 con valores propios complejos estará compuesto por una familia de curvas cerradas?, ¿por una familia de espirales? ¿En qué condiciones el origen (0, 0) es un repulsor?, ¿un atractor?

52. El sistema de ecuaciones diferenciales lineales de se-gundo orden

m1x–1 k1x1 k21x2 x12

(27)

m2x–2 k21x2 x12

describe el movimiento de dos sistemas acoplados re-sorte-masa (vea la figura 3.59). Ya hemos resuelto un caso especial de este sistema en las secciones 3.11 y 4.6. En este problema describimos aun otro método para resolver el sistema.

a) Demuestre que (27) se puede expresar como la ecuación matricial X  AX, donde

X⫽ ax1 x2 b y A ⫽ ± k1⫹ k2 m1 ⫺k2 m1 k2 m2 ⫺k2 m2 ≤ .

b) Si se asume que una solución es de la forma X  Ke␻t, demuestre que X  AX produce

(A  ␭I)K  0 donde ␭  ␻2. c) Demuestre que si m1 1, m2 1, k1 3 y k2 2,

una solución del sistema es X c₁a1 2be it_{ c} 2a 1 2be it_{ c} 3a 2 1be 26it_{ c} 4a 2 1be 26it_.

d ) Demuestre que la solución del inciso c) puede escri-birse como X⫽ b1a 1 2bcos t⫹ b2a 1 2bsen t ⫹ b3a ⫺2 1bcos 26t ⫹ b4a ⫺2 1bsen 26t.

8.3

Solución mediante diagonalización

■

Introducción En esta sección consideraremos un método alternativo para resolver un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Este método es aplicable a un sistema como X  AX siempre que la matriz de coeficientes A sea diago-nalizable.

■

Sistemas acoplados Un sistema lineal homogéneo X  AX,

± x1¿ x2¿ o xn¿ ≤  ± a11 a12 p a1n a21 a22 p a2n o o an1 an2 p ann ≤ ± x1 x2 o xn ≤ , (1)

en el cual cada xi se expresa como una combinación lineal de x1, x2, . . . , xn se dice que

está acoplado. Si la matriz de coeficientes A es diagonalizable, entonces el sistema se puede desacoplar en cada x_i únicamente en términos de x_i.

Si la matriz A tiene n vectores propios linealmente independientes entonces, con base en el teorema 7.27, sabemos que podemos encontrar una matriz P tal que P1AP  D, donde D es una matriz diagonal. Si sustituimos X  PY en el sistema X  AX, entonces

PY  APY o Y  P1APY o Y  DY. (2) La última ecuación dada en (2) es lo mismo que

± y1¿ y2¿ o yn¿ ≤  ± l1 0 0 p 0 0 l2 0 p 0 o o 0 0 0 p ln ≤ ± y1 y2 o yn ≤. (3)

Como D es diagonal, una inspección de (3) revela que este nuevo sistema no está acopla-do: cada ecuación diferencial presente en el sistema es de la forma y_i ␭_iy_i, i  1, 2, . . . , n. La solución de cada una de esas ecuaciones lineales es y_i c_ie␭ i t_{, i}  1, 2, . . . , n. Por lo tanto, la solución general de (3) se puede escribir como el vector columna

Y ± c1el1t c2el2t o cnelnt ≤ . (4)

Puesto que ahora conocemos Y, y como la matriz P se puede construir a partir de los vectores propios de A, la solución general del sistema original X  AX se obtiene a partir de X  PY.

Ejemplo 1

Desacoplamiento de un sistema lineal

Resolver X  °

2 1 8

0 3 8

0 4 9

¢X mediante diagonalización.

Solución Comenzaremos por encontrar los valores propios y los correspondientes vec-tores propios de la matriz de coeficientes.

A partir de (A  ␭I)  (␭  2)(␭  1)(␭  5), obtenemos ␭1 2, ␭2 1 y ␭3 5. Ya que los valores propios son distintos, los vectores propios son linealmente independientes. Cuando se resuelve (A  ␭iI)K  0 para i  1, 2 y 3 se obtiene,

respec-tivamente, K1 ° 1 0 0 ¢ , K2 ° 2 2 1 ¢ , K3 ° 1 1 1 ¢ . (5)

Por lo tanto, una matriz que diagonaliza la matriz de coeficientes es

P °

1 2 1

0 2 1

0 1 1

¢ .

Los elementos en la diagonal principal de D son los valores propios de A correspondien-tes al orden en que aparecen los vectores propios en P:

D °

2 0 0

0 1 0

0 0 5

Tal como ilustramos antes, la sustitución de X  PY en X  AX produce el sistema desacoplado Y  DY. La solución general de este último sistema es inmediata:

Y °

c1e2t

c2et

c3e5t

¢ .

Por lo tanto, la solución del sistema dado es

X PY  ° 1 2 1 0 2 1 0 1 1 ¢ ° c1e2t c2et c3e5t ¢  ° c1e2t 2c2et c3e5t 2c2et c3e5t c2et c3e5t ¢ . (6) _❏

Observe que (6) puede escribirse en la forma acostumbrada mediante la expresión de la última matriz como una suma de matrices columna:

X c1° 1 0 0 ¢ e2t_{ c} 2° 2 2 1 ¢ et_{ c} 3° 1 1 1 ¢ e5t_.

La solución mediante diagonalización funcionará siempre a condición de que poda-mos encontrar n vectores propios linealmente independientes de la matriz A de orden n  n; los valores propios de A pueden ser reales y distintos, complejos o repetidos. El método fracasa cuando A tiene valores repetidos y los n vectores propios linealmente independientes no se pueden encontrar. Desde luego, en esta última situación A no es diagonalizable.

Puesto que hemos encontrado valores propios y vectores propios de A, este método equivale básicamente al procedimiento presentado en la sección previa.

En la sección siguiente veremos que la diagonalización también se puede usar para resolver sistemas lineales no homogéneos del tipo X  AX  F(t).

EJERCICIOS 8.3

Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-19.

En los problemas del 1 al 10, utilice la diagonalización para resolver el sistema dado.

1. X¿  a5 6 3 2bX 2. X¿  a 1 2 1 2 1 2 1 2 bX 3. X¿  a1 1 4 1 1bX 4. X¿  a 1 1 1 1bX 5. X¿  ° 1 3 0 3 1 0 2 2 6 ¢ X 6. X¿  ° 1 1 2 1 2 1 2 1 1 ¢ X 7. X¿  ° 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ¢ X8. X¿  ± 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ≤ X 9. X¿  ° 3 2 2 6 5 2 7 4 4 ¢ X10. X¿  ° 0 2 0 2 0 2 0 2 0 ¢ X 11. En la figura 3.59 ilustramos cómo resolver un sistema

de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

que describe el movimiento de un sistema acoplado re-sorte-masa,

m1x–1 k1x1 k21x2 x12 m2x–2 k21x2 x12

(7) en tres formas diferentes (vea el ejemplo 4 en la sección

3.11, el problema 52 en los ejercicios 8.2, y el ejemplo 1 en la sección 4.6). En este problema se conduce al lector a través de todos los pasos relacionados con la manera de resolver (7) mediante diagonalización.

a) Exprese (7) en la forma MX  KX  0, donde

X  ax1

x2

b. Identifique las matrices M y K de 2  2. Explique por qué la matriz M tiene un inverso. b) Exprese el sistema del inciso a) como

X  BX  0. (8)

Identifique la matriz B.

c) Resuelva el sistema (7) en el caso especial en que m1 1, m2 1, k1 3 y k2 2 mediante la

resolu-ción de (8) usando el método de diagonalizaresolu-ción. En otras palabras, establezca X  PY, donde P es una matriz cuyas columnas son vectores propios de B.

8.4

Sistemas lineales no homogéneos

■

Introducción Los métodos de coeficientes indeterminados y de variación de parámetros que se utilizaron en el capítulo 3 para encontrar soluciones particulares de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas pueden adaptarse a la reso-lución de sistemas lineales no homogéneos. De estos dos métodos, la variación de pará-metros es la técnica más eficaz. No obstante, hay casos donde el método de coeficientes indeterminados ofrece un medio rápido para encontrar una solución particular.

En la sección 8.1, vimos que la solución general de un sistema lineal no homogéneo X  AX  F(t) en un intervalo I es X  X_c X_p donde X_c c1X1 c2X2 . . .  cnXn

es la función complementaria o solución general del sistema lineal homogéneo asociado X  AX y Xp es cualquier solución particular del sistema no homogéneo. Acabamos de

ver en la sección 8.2 cómo obtener X_c cuando A era una matriz de constantes de orden n  n; ahora consideraremos tres métodos para obtener X_p.

8.4.1

Coeficientes

indeterminados

■

Los supuestos Tal como vimos en la sección 3.4, el método de coeficientes inde-terminados consiste en establecer conjeturas informadas acerca de la forma de un vector de solución particular X_p; la conjetura está basada en los tipos de funciones que com-prenden las entradas de la matriz columna F(t). No sorprende que la versión matricial de coeficientes indeterminados sea sólo aplicable a X  AX  F(t) cuando los elementos de A son constantes y los de F(t) son constantes, polinomios, funciones exponenciales, senos y cosenos, o sumas finitas y productos de estas funciones.

Ejemplo 1

Coeficientes indeterminados

Resolver el sistema X  a1 2

1 1bX  a

8

3b en (



,



).

Solución Primero resolvemos el sistema homogéneo asociado

X¿  a1 2

1 1bX.

La ecuación característica de la matriz de coeficientes A,

det1A  lI2  21  l 2

1 1 l2  l

2_{ 1  0,}

produce los valores propios complejos ␭1 i y ␭2 l1  i. Mediante los procedi-mientos de la sección pasada, encontramos

Xc⫽ c1a

cos t⫹ sen t

cos t b ⫹ c2a

cos t⫺ sen t ⫺sen t b.

d) Demuestre que su solución X del inciso c) es la misma que la dada en el inciso d) del problema 52 en los ejercicios 8.2.