AP-FL

LOGICA II

Deducción y forma lógica

1. Problemas en la caracterización de la validez

En la Unidad 1 se ofreció una caracterización de la noción de razonamiento válido en términos de la transmisión de verdad de las premisas a la conclusión. Los razonamientos deductivos conservan la verdad de las premisas en la conclusión. Esto significa: cualquier circunstancia que haga verdaderas a las premisas también hará verdadera a la conclusión. (Así se expresa el carácter necesario o forzoso de la inferencia.) En este caso se dice que las premisas ofrecen un fundamento concluyente

para la conclusión y que estamos frente a razonamientos deductivos (válidos).

Tomemos el siguiente caso de un razonamiento válido que contiene premisas y conclusión (supuestamente) verdaderas:

Todos los océanos contienen agua salada. El Río de la Plata no contiene agua salada. ___________________________________ El Río de la Plata no es un océano.

En su forma regimentada, mediante los símbolos lógicos, el razonamiento queda así: (1a)

∀x (x es océano → x contiene agua salada)

¬ El Río de la Plata contiene agua salada. ___________________________________

¬ El Río de la Plata es un océano.

En este caso, de la verdad de las premisas se sigue la verdad de la conclusión, de acuerdo con la caracterización que se acaba de ofrecer. Pero aquí surge un problema, ya mencionado al final de la Unidad 1. En efecto, también puede encontrarse un razonamiento válido con, por ejemplo, alguna premisa falsa y conclusión verdadera, tal como el siguiente:

Todos los metales preciosos son bienes comercializables El petróleo no es un bien comercializable

______________________________________________ El petróleo no es un metal precioso

(1b)

∀x (x es un metal precioso→ x es un bien comercializable)

¬El petróleo es un bien comercializable

______________________________________________

¬El petróleo es un metal precioso

La segunda premisa es, de acuerdo con el conocimiento común sobre el tema, falsa y la conclusión es verdadera. Asimismo, pueden encontrarse casos de razonamientos

válidos con todas sus premisas falsas y conclusión verdadera y, finalmente, casos en

los cuales tanto las premisas y como la conclusión sean falsas.

La validez es una propiedad de los razonamientos independiente de la verdad o la falsedad de las premisas y la conclusión. Por ello, la caracterización que demos de esta propiedad también debe prescindir de la apelación a la verdad o la falsedad de las premisas y la conclusión de los razonamientos. Esto es, hay que buscar una definición más general, que no dependa de que, de hecho, ciertos enunciados sean verdaderos o falsos.

Ahora bien, si nos encontramos frente a un razonamiento cuyas premisas son todas verdaderas y cuya conclusión es falsa, no tenemos dudas de que estamos frente a un razonamiento inválido. Hemos visto anteriormente, en la Unidad 1 (4.1.5), que la validez de los razonamientos excluye la posibilidad de premisas verdaderas y conclusión falsa. Pero tenemos el siguiente problema: en todos los restantes casos (es decir, si estamos frente a razonamientos que tienen premisas verdaderas y conclusión verdadera, o razonamientos con al menos una premisa falsa y conclusión falsa, o con al menos una premisa falsa y conclusión verdadera), el hecho de haber determinado la verdad o falsedad de los enunciados no alcanza para establecer si los razonamientos son válidos o no.

2. Forma lógica

En suma, se tiene hasta aquí lo siguiente: De un lado, para determinar si un razonamiento es válido o no, resulta insuficiente determinar el valor de verdad de las premisas y la conclusión. De otro lado, necesitamos prescindir de la referencia a la verdad o falsedad de los enunciados que componen los razonamientos para

caracterizar la noción de validez.

2.1. Forma lógica de un enunciado

Si definimos la noción de validez de los razonamientos en relación con la noción de verdad, sólo podemos afirmar que dado un razonamiento válido, si las premisas

llegaran a ser verdaderas en una situación cualquiera, entonces la conclusión también

lo sería. Pero no podemos afirmar nada más. Esta idea conduce a una caracterización

más general en la que no se considera el contenido descriptivo de los enunciados que

los hacen verdaderos o falsos en determinada circunstancia. Es decir, se van a dejar de lado aquellas expresiones que no tengan un contenido lógico. Esto se logra reemplazando las letras para predicados y para constantes de individuo por símbolos que indican solamente el lugar vacío que antes ocupaban aquellas letras. Estos símbolos serán puramente esquemáticos, indicando simplemente que en la posición donde se encuentra ese símbolo, había una letra para predicado o para constante de individuo.

enunciado. En ella, toda expresión no lógica es formal, ya que sólo nos indica qué tipo o categoría de símbolo reemplaza (es decir, sólo podemos saber si está en lugar de una constante de individuo o de un predicado).

Tómese el par de enunciados:

(1) ∀x (x es un metal precioso→ x es un bien comercializable) (2) ¬El petróleo es un bien comercializable

Dado el código

Qx: x es metal precioso Tx: x es bien comercializable b: petróleo

se obtiene la simbolización

(1’) ∀x (Qx → Tx) (2’) ¬ Tb

Nótese, una vez más, que en el código se simbolizan exclusivamente las expresiones descriptivas, las demás son constantes lógicas. Así, al predicado “x es metal precioso” se le hace corresponder “Qx”, al predicado “x es bien comercializable” “Tx” y a “petróleo” la constante de individuo “b”. De este modo, “Qx”, “Tx” y “b” tienen, en esta simbolización, un significado determinado.

La forma lógica de los enunciados (1) y (2), en la cual no se considera su contenido descriptivo, se expresa de un modo más general de la siguiente manera gráfica

(F1) ∀x ( [ ]x →〈 〉x ) (F2) ¬〈 〉○

Los símbolos “[ ]“ y ”〈 〉” se usan para indicar meros espacios vacíos que pueden ser ocupados por letras de predicado: “P”, “Q”, ”R”, etc., o por expresiones tales como “ … es bien comercializable”. El símbolo “○” se usa para indicar el lugar vacío en el que puede colocarse cualquier constante de individuo, ya sean letras minúsculas (“a”, “b”, “c”, etc.), o palabras del lenguaje cotidiano como “petróleo”.

Lo esencial en una forma lógica de enunciado son los símbolos lógicos que en ella aparecen. Su disposición es la que caracteriza la estructura lógica del enunciado. En ella es irrelevante a que se adopten “P” o “Q” como letras de predicado, o “a” o “b” como constantes de individuo; lo importante es lo que permanece invariante en cada uno de ellos. Como se verá más adelante esto es lo fundamental para caracterizar la validez de un razonamiento y otras propiedades lógicas.

En la forma lógica de un enunciado, es fundamental la disposición de los símbolos lógicos, cuantificadores, conectivas y variables de individuo. Considérense, por ejemplo, los enunciados:

(3) No es cierto que El Río de la Plata contenga agua salada y sea un océano. (4) El Río de la Plata no contiene agua salada y es un océano.

Dado el código

Sx: x contiene agua salada a: Rio de la plata

cada uno de estos enunciados se pueden simbolizar así: (3’) ¬( Sa ∧ Pa )

(4’) ( ( ¬Sa ) ∧ Pa )

Ambos enunciados tienen los mismos símbolos lógicos (negación y conjunción) y en la misma cantidad. No obstante, la manera en que están dispuestos o combinados estos símbolos es distinta. Y esto es muy importante. En efecto, mientras, en las circunstancias actuales, que (3’) es verdadero, (4’) es falso. Las formas lógicas de enunciado respectivas son, por lo tanto, distintas:

(F3) ¬( 〈 〉○ ∧ [ ]○ ) (F4) ( ( ¬〈 〉○ ) ∧ [ ]○ )

(Nótese que una simbolización más exhaustiva – y que es la correcta respecto del contenido descriptivo - sería considerar en lugar de en lugar del predicado de grado 1 “x contiene agua salada”, un predicado de grado dos y una constante de individuo, es decir,

Qxy: x contiene y b: agua salada

De este modo, se obtienen los enunciados (3’’) ¬( Qab ∧ Pa ) (4’’) ( ( ¬Qab ) ∧ Pa )

No obstante, la estructura estrictamente lógica es la misma en cada caso: aparecen los mismos símbolos lógicos la misma cantidad de veces y en el mismo orden. En suma:

(F3) es la forma lógica de (3’) y también de (3’’) y

(F4) es la forma lógica de (4’) y también de (4’’)

Finalmente, el concepto de forma lógica de enunciado se define como sigue:

2.1.1. Definición.

FORMA LOGICA DE ENUNCIADO: La forma lógica de enunciado es la expresión que se obtiene al reemplazar en la simbolización del enunciado todos

2.2. Forma lógica común a varios enunciados

Considérese el enunciado

(5) Todos los aztecas adoraban a Tezcatlipoca Si se adopta el siguiente código

Sx: x es azteca Rxy: x adora a y d: Tezcatlipoca se tendrá

(5’) ∀x ( Sx → Rxd ) y puede decirse sin más que

(F1) ∀x ( [ ]x →〈 〉x )

es la forma lógica común que comparten el enunciado (1)

∀x (x es un metal precioso→ x es un bien comercializable) y (5).

Se puede ir más lejos y observar lo siguiente. Dado el enunciado (6) Cualquier azteca adoraba algún dios

y adoptando el código Px: x es un dios resulta la simbolización

(6’) ∀x ( Sx →∃y ( Py ∧ Rxy ) ) La forma lógica correspondiente es:

(F6) ∀x ( [ ]x → ∃y( { }y ∧  xy) ).

No hay duda de que la forma lógica (F6) es diferente de (F1). Sin embargo también puede verse que (F1) es más general que (F6): esta forma está contenida en (F1), en la medida en que la expresión “∃y( { }y ∧  xy )“ tiene una estructura lógica más compleja que “〈 〉x”. De este modo, (F1) es la forma lógica de enunciado común a (1) y (6). Asimismo, si se compara la forma lógica de los enunciados simbolizados (7) ∀x ∀y( ( ¬Sxy ) → ( ¬Rxy) )

se verá que la formas lógicas correspondientes son diferentes. Sin embargo, ambos tienen una forma lógica común, a saber,

(F7-8) ∀x ∀y ( [ ]xy → { }xy )

Nótese que al construir la forma lógica común la variable x aparece menos veces que en (8). En realidad, en el gráfico [ ]xy las variables x e y indican que pueden tener una cantidad finita de apariciones, es decir, aparece n veces dentro de [ ].

Otros ejemplos son:

Enunciado expresado simbólicamente Forma lógica común

∀x Raxc →∀y ¬Scy

∀x Px →∀y Tybd

∀x 〈 〉x →∀y [ ]y

¬(∃zQx ∧ Rab) ∨ ¬(Qc → Pc) ¬(∀xPx →∀xSx) ∨ ¬Sc

¬[ ] ∨ ¬〈 〉

∃x ( (Txa ∨ Txb) ∧ ¬Qx)

∃x (¬∀yPxy ∧ (Sax → Sdx))

∃x ( [ ]x ∧〈 〉x )

Adviértase que, en los tres ejemplos, la forma lógica no incluye los símbolos lógicos (cuantificadores o conectivas) que no son comunes a cada uno de los enunciados. Obsérvese, también, que en los casos primero y tercero tanto “[ ]” como “〈 〉” sirven para expresar predicados. Sin embargo, en el segundo caso, corresponden a enunciados, y además en la forma lógica común sólo aparecen conectivas como símbolos lógicos. Se conservará esta indeterminación en los símbolos “[ ]”, “〈 〉”, “{ }”, etc. ya que no genera problemas de interpretación. Por otra parte, en los casos aquí considerados no fue necesario destacar las constantes de individuos, pues estas no integran lo que es común a los dos enunciados correspondientes a cada par.

2.3. Ejemplos ulteriores de aplicación

Dado el enunciado

I. Es condición necesaria que haya números pares que sean divisibles por tres, para que algunos números naturales sean divisibles por seis y algunos números naturales sean divisibles por doce.

c: (el número) doce

y la respectiva simbolización

( ∃y ( Ry ∧ Qyb) ∧∃z (Rz ∧ Qzc) )

→

II. La Cúpula de la Roca es un santuario musulmán pero está cerca de la Basílica del Santo Sepulcro o del Muro de los Lamentos, sólo si hay santuarios musulmanes que no están ubicados en La Meca ni en Medina.

a. Código:

Px: x es santuario musulmán Qxy: x está cerca de y Rxy: x está ubicado en y a: La Cúpula de la Roca

b: La Basílica del Santo Sepulcro c: El Muro de los lamentos d: La Meca

e: Medina

( Pa ∧ ( Qab ∨ Qac ) )

→

b. estructura lógica compartida porI y II:

(   ∧ 〈 〉 )

→

Ejemplo 2.

I. Todos los años divisibles por cuatro son bisiestos si no se da que son seculares pero no divisibles por cuatrocientos.

a. Código: Tx: x es año

Sxy: x es divisible por y Rx: x es bisiesto

Qx: x es secular c: (el número ) cuatro

b: (el número ) cuatrocientos

∀x ( ( Tx ∧ Sxc ) → (¬ ( Qx ∧¬Sxb ) → Rx) )

II. Los zigurats que se erigieron en la Mesopotamia eran templos sólo si estaban consagrados a alguna deidad babilónica.

a. Código: Px: x es zigurat Qxy: x se erigió en y Rx: x es templo

a: Mesopotamia

∀x ( (Px ∧ Qxa) → ( Rx →∃y (Ty ∧ Sxy) ) )

b. estructura lógica compartida por I y II:

∀x ( ( [ ]x ∧ 〈 〉xο) → (  x → { }x) )

2.4. Forma lógica de razonamientos

Cabe observar que, dado el código empleado en la sección anterior para simbolizar los enunciados (3) y (4)

Px: x es océano

Sx: x contiene agua salada a: Rio de la plata

el razonamiento (1a) formulado en lenguaje regimentado como

∀x (x es océano → x contiene agua salada)

¬ El Río de la Plata contiene agua salada. ___________________________________

¬ El Río de la Plata es un océano. queda simbolizado del siguiente modo

(1a’)

∀x (Px → Sx)

¬ Sa

_____________

¬ Pa

En cuanto al razonamiento (1b)

∀x (x es un metal precioso→ x es un bien comercializable)

¬El petróleo es un bien comercializable

______________________________________________

¬El petróleo es un metal precioso dado el código

Qx: x es metal precioso Tx: x es bien comercializable b: petróleo

se obtiene la siguiente versión simbólica (1b’)

∀x (Qx → Tx)

¬ Tb

_____________

Una rápida inspección de las simbolizaciones de los razonamientos (1a’) y (1b’) permite ver que cada uno de los enunciados de (1a’) tiene la misma forma lógica que los enunciados correspondientes de (1b’). De aquí se sigue que ambos razonamientos tienen una forma lógica común, que expresaremos así:

(1)

∀x ( [ ]x →〈 〉x )

¬〈 〉○

_____________

¬ [ ]○

Gráficamente, esta situación puede representarse como

( 1 ) / \ / \ /

( 1a’ )

\ ( 1b’ )

En una forma de razonamiento todo símbolo que no sea lógico es una mera forma vacía, que debe ser ocupada por expresiones de la categoría correspondiente. Tal como ocurría con los enunciados, en la forma lógica de un razonamiento lo único que tiene contenido son los símbolos que tienen significado lógico: los cuantificadores, las conectivas y las variables de individuo. Pueden concebirse incontables razonamientos que tengan la forma indicada en (1). Cada uno de ellos será un caso concreto de esa forma de razonamiento, que es el resultado de darle contenido a los símbolos formales, reemplazándolos por expresiones no lógicas.

Así, se llega fácilmente a la siguiente definición:

2.4.1. Definición.

FORMA LOGICA DE RAZONAMIENTO: Una forma lógica de

razonamiento es la expresión que se obtiene al reemplazar en la

simbolización del razonamiento todos los enunciados por formas de enunciados. Es decir, al sustituir los símbolos descriptivos (no lógicos) que aparecen en los enunciados constitutivos del razonamiento por símbolos puramente formales para indicar el lugar vacío de la categoría correspondiente (predicado, constante de individuo o enunciado)

.

Esta noción de forma lógica de razonamiento permite formular una nueva y más adecuada definición de validez, que se considerará la definitiva:

2.4.2. Definición.

RAZONAMIENTO VALIDO: Un razonamiento es válido si y sólo si su forma lógica es válida.

de (1a) y (1b) no tiene que ver directamente con la verdad o falsedad de los enunciados que lo componen, ya que ambos son casos de razonamiento válidos porque la forma (1) es válida. De esto se sigue:

2.4.3. Si una forma de razonamiento es válida, entonces todos los razonamientos que son casos de esta forma son válidos.

Un ejemplo más servirá para dejar en claro esta idea. Obsérvese que los razonamientos

(2a)

¬Rab ∨ ¬Sc Sc

___________ ¬Rab

(2b)

¬Tdbc ∨ ¬(Pa ∧ Qb) Pa ∧ Qb

____________________ ¬Tdbc

tienen la misma forma lógica que, además, es una forma válida: (2)

¬[ ] ∨ ¬〈 〉 〈 〉

___________ ¬[ ]

Nótese que aquí tanto [ ] como 〈 〉 sirven para expresar enunciados. En este caso no es necesario destacar las constantes de individuos, pues no aparecen cuantificadores en la forma (2). Asimismo, obsérvese que en el caso de (2b) 〈 〉 se abstrae de un enunciado que contiene a su vez una conectiva, una conjunción, pero esto no es relevante para obtener la forma lógica común a ambos razonamientos (2a) y (2b). Más precisamente, puesto que (2) es una forma válida, (2b) también lo será y la conjunción en Pa ∧ Qb no es relevante para su validez.

Así, el resultado de la introducción de la noción de forma lógica es un

desplazamiento del problema de la validez de un razonamiento al problema de la

validez de su forma lógica: se pasa del plano de los razonamientos concretos al plano de su forma lógica. Si uno sabe que una forma de razonamiento es válida, entonces tendrá la certeza de que todos sus casos son válidos. En el ejemplo anterior la forma lógica (1) es válida, de modo que los razonamientos (1a) y (1b) son ambos válidos. La situación puede presentarse gráficamente como sigue

Forma de razonamiento válida

Determinar si una forma de razonamiento es válida es uno de los objetivos centrales de la lógica. Así, la lógica se ocupa de formas lógicas de razonamiento más que de razonamientos concretos. Por eso, en los métodos para determinar validez no se hará referencia a contenidos específicos de los razonamientos, sino a su forma. Este es uno de los sentidos en los que se dice que la lógica deductiva es lógica formal. Pero, ¿cómo se determina que una forma de razonamiento es válida? No es cuestión meramente de tener una lista de las formas válidas, pues ¿de dónde se extrae que los miembros de esa hipotética lista son realmente formas válidas de razonamiento? De hecho, la determinación de la validez de las formas de razonamiento se hará por medio de métodos, que por sus características, se denominan “métodos formales”. Es tarea de la lógica elaborar estos métodos. Más adelante, veremos el caso específico del método de deducción natural.

2.5. Ejemplos ulteriores de aplicación: forma común de razonamientos

Ejemplo 1

I. Si el Mahabharata fue escrito en sánscrito védico, entonces es un texto hindú. Y el Mahabharata fue escrito en sánscrito clásico sólo si es un texto hindú. Pero el Mahabharata fue escrito en sánscrito védico o en sánscrito clásico. Por lo tanto, el Mahabharata es un texto hindú

a. Si el Mahabharata fue escrito en sánscrito védico, entonces es un texto hindú. Y el Mahabharata fue escrito en sánscrito clásico sólo si es un texto hindú. Pero el Mahabharata fue escrito en sánscrito védico o en sánscrito clásico. Por lo tanto, el Mahabharata es un texto hindú

b. Código Simbolización:

Pxy: x fue escrito en (el lenguaje) y Qx: x es texto hindú

a: El Mahabharata

b: el (lenguaje) sánscrito védico c: el (lenguaje) sánscrito clásico

Pab → Qa Pac → Qa Pab ∨ Pac Qa

II. Todos los toltecas veneraban a Tlaloc o todos ellos veneraban a Chaac. En consecuencia, algunos toltecas hacían sacrificios humanos. Pues los toltecas veneraban a Tlaloc, sólo si algunos de ellos hacían sacrificios humanos. Además, para que los toltecas venerasen a Chaac, es condición necesaria que algunos de ellos hicieran sacrificios humanos.

b. Código Simbolización:

Px: x es tolteca Qxy: x venera a y

Rx: x hace sacrificios humanos a: Tlaloc

b: Chaac

∀x(Px → Qxa) ∨∀x(Px → Qxb) ∀x(Px → Qxa) →∃x (Px ∧ Rx) ∀x(Px → Qxb) →∃x (Px ∧ Rx) ∃x (Px ∧ Rx)

c: estructura lógica compartida por I y II.

 ∨[ ]

 →〈 〉 [ ]→〈 〉

〈 〉

Ejemplo 2

I. La tribu de los guaycurúes habitaba en Paraguay o en Nicaragua. De modo que, esta tribu era sudamericana o centroamericana; pues es necesario que haya sido sudamericana para que habitara en Paraguay. Pero si habitaba en Nicaragua, entonces era centroamericana.

a. La tribu de los guaycurúes habitaba en Paraguay o en Nicaragua. De modo que, esta tribu era sudamericana o centroamericana; pues es necesario que haya sido sudamericana para que habitara en Paraguay. Pero si habitaba en Nicaragua, entonces era centroamericana.

b. Código Simbolización:

Pxy: x habitaba en y Qx: x es sudamericana Rx: x es centroamericana a: La tribu de los guaycurúes b: Paraguay

c: Nicaragua

Pab ∨ Pac Pab → Qa Pac → Ra Qa ∨ Ra

II. Kukulkan era una serpiente emplumada, sólo si algún animal mitológico era una deidad maya. Es condición suficiente que Quetzalcóatl fuera una serpiente emplumada para que algún animal mitológico fuera una deidad azteca. Así que algún animal mitológico era una deidad maya o algún animal mitológico era una deidad azteca. Pues Kukulkan era una serpiente emplumada, o lo era Quetzalcóatl. a. Kukulkan era una serpiente emplumada, sólo si algún animal mitológico era una

b. Código: Simbolización:

Px: x es serpiente emplumada Qx: x es un animal mitológico Rx: x es deidad maya

Sx: x es deidad azteca a: Kukulkan

b: Quetzalcóatl

Pa →∃x (Qx ∧ Rx) Pb →∃y (Qy ∧ Sy) Pa ∨ Pb

∃x (Qx ∧ Rx) ∨∃y (Qy ∧ Sy)

c: estructura lógica compartida por I y II

{ } ∨[ ] { } →〈 〉 [ ]→  〈 〉∨ 

2.6. Interpretación de formas de razonamiento

En la sección anterior, nos ocupamos de abstraer la forma lógica común a varios razonamientos. Ahora, estudiaremos el proceso inverso: partiremos una forma de razonamiento y proporcionaremos un ejemplo de ella. El resultado obtenido será una interpretación de esa forma de razonamiento en lenguaje simbólico o en el lenguaje cotidiano). Ya ha quedado claro que, si la forma de razonamiento es válida, el razonamiento concreto resultante de la interpretación será también válido.

Considérese la siguiente de forma de razonamiento (que es una forma válida)

∃x 〈 〉x

∀x ( [ ]x →¬〈 〉x ) _____________

¬∀x [ ]x

Sustituyendo “〈 〉x” por “Px” y “[ ]x” por “Qx”, obtenemos el siguiente caso de esta forma, expresado en el lenguaje lógico

∃x Px

∀x ( Qx →¬Px ) _____________

¬∀x Qx que, si se emplea el código

Px: x vuela Qx: x es elefante

Algo vuela.

Ningún elefante vuela. _____________________ No todo es elefante.

Pero si cambiamos la interpretación de las letras de predicado como sigue: Px: x es número

Qx: x es material

se puede formular en castellano otro razonamiento, referido a un tipo muy diferente de entidades que en el caso anterior:

Hay números.

Nada material es un número. ________________________ No todo es material.

De este modo, una forma de razonamiento puede recibir muy variadas

interpretaciones, que son razonamientos concretos, cada uno de los cuales son

casos de esa forma.

2.7. Ejemplos de interpretación de formas lógicas

Ejemplo 1

¬∃x ( [ ]x ∧ ¬ 〈 〉x )

caso I.

a. en lenguaje regimentado

¬∃x (x es calendario mesoamericano ∧ ¬(x es más preciso que el Calendario Gregoriano))

b. en el simbolismo lógico

¬∃x ( (Px ∧ Qx) ∧¬ Rxa ) Código:

Px: x es calendario Qx: x es mesoamericano Rxy: x es mas preciso que y a: Calendario Gregoriano

c. en castellano

No es verdad que algunos calendarios mesoamericanos no fueran más precisos que el Calendario Gregoriano.

caso II.

a. en lenguaje regimentado

¬∃x (x nativo de la Isla de Pascua ∧ ¬ ∀y ( y es moai → x conoce y ) ).

b. en el simbolismo lógico

¬∃x (Pxa ∧ ¬ ∀y ( Ry → Qxy ) ). Código:

Qxy: x conoce y Rx: x es moai a: Isla de Pascua

c. en castellano

No hay nativos de la Isla de Pascua que no conozcan todos los moai.

Ejemplo 2

¬∀x ( [ ]x → ¬ 〈 〉 x)

caso I.

a. en lenguaje regimentado

¬∀x (x es obra de Prokófiev → ¬ ( x es censurada por Stalin) )

b. en el simbolismo lógico

¬∀x ( Px → ¬ Qxb) Código:

Px: x es obra de Prokófiev Qxy: x es censurada por y b: Stalin

c. en castellano

No es cierto que ninguna obra de Prokófiev haya sido censurada por Stalin

caso II.

a. en lenguaje regimentado

¬∀x( (x es río ∧ x está conectado con el Orinoco) → ¬∃y (x desemboca en y ∧ y es afluente del Amazonas) )

b. en el simbolismo lógico

¬∀x ( (Px ∧ Qxa) → ¬∃y (Rxy ∧ Syb) ) Código:

Px: x es río

Qxy: x está conectado con y Rxy: x desemboca en y Sxy: x es afluente de y a: (el río) Orinoco b: (el río) Amazonas

c. en castellano

Es falso que ningún río conectado con el Orinoco desemboque en algún afluente del Amazonas.

Ejemplo 3: forma de razonamiento

caso I.

a.

∀x ( x era cultura prehispánica → x era politeísta )

______________________________________________________ la cultura chichimeca era una cultura prehispánica → la cultura chichimeca era politeísta

b.

Px: x es cultura prehispánica Qx: x es politeísta

a: la cultura chichimeca

∀x(Px → Qx) ________________ Pa → Qa

c. (una formulación entre las muchas posibles)

Todas las culturas prehispánicas eran politeístas. Así que la cultura chichimeca era politeísta, si ésta era una cultura prehispánica.

caso II.

a.

∀x (x es crómlech → x es monumento megalítico prehistórico)

_________________________________________________________________ Stonehenge es crómlech → Stonehenge es monumento megalítico prehistórico

b.

Rx: x es crómlech:

Sx: x es monumento megalítico prehistórico b: Stonehenge

∀x(Rx → Sx) ___________

Rb → Sb

c. (una formulación de las muchas posibles)

Los crómlech son monumentos megalíticos prehistóricos. De modo que Stonehenge es un crómlech, sólo si es un monumento megalítico prehistórico.

3. Formas lógicas y contraejemplos

Para aproximarnos al problema de determinar la validez de formas de razonamiento, explicaremos a continuación una manera de entender cómo establecer la validez de una forma de razonamiento.

Consideremos la forma de razonamiento (2)

¬∃x ( [ ]x ∧〈 〉x )

¬〈 〉○

______________ [ ]○

Recordemos que, de acuerdo con lo que se indicó anteriormente, en el caso en que esta forma fuera válida todos sus casos serían razonamientos válidos.

(2a)

¬∃x (x es monarquía ∧ x es república)

¬ Holanda es una república

__________________________________ Holanda es una monarquía

La representación simbólica de este razonamiento es (2a’)

¬∃x (Qx ∧ Rx )

¬ Rc

________________ Qc

y, adoptando el código

Qx: x es una monarquía Rx: x es una república c: Holanda

se puede expresar adecuadamente en el lenguaje cotidiano como No hay una monarquía que sea república Holanda no es una república

__________________________________ Holanda es una monarquía

(o cualesquiera variantes sinónimas de los enunciados que lo integran).

El razonamiento (2a) tiene ambas premisas verdaderas y conclusión verdadera. Pero considérese, ahora, el caso siguiente de la misma forma (2)

(2b)

¬∃x (x recibió el premio Nobel de la paz ∧ x es belicista)

¬ Bertrand Russell era belicista

______________________________________________ Bertrand Russell recibió el premio Nobel de la paz

que podría simbolizarse así (2b’)

¬∃x (Px ∧ Sx)

¬ Sd

_______________ Pd

sobre la base del código

Px: x recibió el premio Nobel de la paz Sx: x es belicista

d: Bertrand Russell

Nadie que haya recibido el premio Nobel de la paz es belicista. Bertrand Russell no era belicista

____________________________________________________ Bertrand Russell recibió el premio Nobel de la Paz

(Nótese que las diferencias en los tiempos verbales son irrelevantes desde el punto de vista lógico).

El caso (2b) de la forma de razonamiento (2) tiene premisas verdaderas y

conclusión falsa y por ello constituye un ejemplo en contrario o contraejemplo para

esta forma de razonamiento. No puede considerarse esta forma de razonamiento como válida y, por lo tanto, ningún caso de esta forma puede ser considerado válido,

independientemente de que tenga premisas y conclusión verdadera (tal como sucede

en el caso (2a)).

Para que quede bien claro: el caso (2b) tiene premisas verdaderas y conclusión falsa, lo que va en contra de la idea básica de que los razonamientos válidos deben transmitir verdad de las premisas a la conclusión. De este modo, no puede suceder que la forma de razonamiento (2) sea considerada válida. En otras palabras, la situación se puede describir así: Si una forma de razonamiento es válida todo caso con premisas verdaderas deberá tener conclusión verdadera. Pero si esto no se cumple en al menos un caso, entonces la forma de razonamiento no puede considerarse válida. El razonamiento (2b) es, entonces, un contraejemplo de la validez de la forma de razonamiento (2).

Así, se puede afirmar:

3.1. Una forma de razonamiento es válida si no tiene contraejemplo.

3.2. Si una forma de razonamiento es inválida, entonces tiene al menos un contraejemplo.

3.3. Ejemplos de aplicación con formas de razonamiento inválidas.

Forma de razonamiento 1

∀x( [ ]x → { }x )

∀x( { }x →〈 〉x )

∃x ( [ ]x ∧〈 〉x )

Interpretación con conclusión verdadera: a.

Pxy: x es enemigo de y Qxy: x es partidario de y Rxy: x conspiró contra y a: Mariano Moreno b: Cornelio Saavedra

∀x(Pxa → Qxb)

∀x(Qxb → Rxa)

∃x (Pxa ∧ Rxa)

Los enemigos de Mariano Moreno eran partidarios de Cornelio Saavedra. Así que, algunos enemigos de Mariano Moreno conspiraron contra él. Pues, los partidarios de Cornelio Saavedra conspiraron contra Mariano Moreno.

[ ] →{ } { } →〈 〉 ¬[ ]

¬〈 〉 Ejemplo:

a.

Pxy: x conoció a y Qxy: x atravesó y Rxy: x pasó por y a: Marco Polo b: Kublai Kahn c: el desierto de Gobi d: el estrecho de Ormuz

Pab → Qac Qac → Rad ¬Pab ¬Rad

b.

Si Marco Polo conoció a Kublai Kahn, entonces atravesó el desierto de Gobi. Pero atravesó el desierto de Gobi sólo si pasó por el estrecho de Ormuz. Por lo tanto, Marco Polo no pasó por el estrecho de Ormuz, ya que no conoció a Kublai Kahn. Ejemplo de forma válido

[ ] →{ } { } →〈 〉

[ ]

〈 〉

Interpretarción con conclusión falsa:

a.

Px: x es emperador Qx: x es romano Rxy: x capturó a y Sxy: x fue anexada a y a: Vercingetórix

b: Julio César c: Galia

d: el Imperio Romano

¬Rba →∀x( (Px ∧ Qx )→¬Rxa)

∀x( (Px ∧ Qx )→¬Rxa) ) →¬Scd ¬Rba

¬Scd

b.

Ningún emperador romano capturó a Vercingetórix, si Julio César no lo capturó. Pero era condición suficiente que ningún emperador romano capturara a Vercingetórix para que Galia no fuera anexada al Imperio Romano. En consecuencia, Galia no fue anexada al Imperio Romano, pues Julio César no capturó a Vercingetórix.

4. El concepto de regla lógica (regla de inferencia deductiva)

este sentido, generales: hacen válido todo caso al que se apliquen. De este modo, toda forma válida de razonamiento puede emplearse como una regla de inferencia, o regla lógica. Se la llama “regla” porque prescribe la afirmación de la conclusión a partir de las premisas. Así, se puede decir “A partir de las premisas P1, P2 ..., Pn es correcto

inferir la conclusión C”. Siendo una forma de razonamiento, una regla puede expresarse gráficamente del siguiente modo:

[ ]1

[ ]2 :

[ ]n

────

〈 〉,

donde la línea horizontal indica, como siempre, la relación de inferencia deductiva, y [ ]1, [ ]2 ,..., [ ]n y 〈 〉 son aquí formas de enunciado, que es posible sustituir por

enunciados (los subíndices en las premisas sirven para simplemente diferenciarlas e indicar que puede haber un número finito cualquiera de premisas). De este modo, puede formularse la definición:

4.1. Definición.

REGLA DE INFERENCIA. Una regla de inferencia deductiva es una forma válida de razonamiento que se aplica a casos concretos para deducir un enunciado a partir de otro (u otros).

Los casos concretos son interpretaciones (o aplicaciones) de la regla.

Hay potencialmente tantas reglas de inferencia como formas válidas de razonamiento. Entre las innumerables reglas de inferencia se cuentan (1) y muchísimas otras. La cantidad de reglas de inferencia posibles es infinita (del mismo modo que lo es el número de formas de razonamiento válidas).

Las reglas de inferencia o reglas lógicas parecen constituir el núcleo de la lógica,

sus entidades básicas por así decirlo. Recuérdese que al ser formas de razonamiento,

todos los símbolos de una regla, excepto los símbolos lógicos, son esquemáticos.

4.2. Nota. En realidad, lo que distingue una regla de inferencia de una forma válida de razonamiento es su uso. Las reglas de inferencia son formas válidas de razonamiento que se destacan porque siempre se han considerado ejemplos típicos de inferencia, por su carácter evidente (su validez salta a la vista), o porque tienen un valor especial dentro de un sistema de reglas. A lo largo de la historia, los lógicos han propuesto diferentes conjuntos finitos de reglas, seleccionadas por su evidencia, simplicidad, utilidad o conveniencia sistemática. Estos conjuntos constituyen sistemas

de reglas elementales, que pueden ser vistos como máquinas lógicas cuya función es

permitirnos realizar inferencias a partir de información dada, determinando la validez (o, a veces, la invalidez) de un razonamiento, la consistencia (o inconsistencia) de un conjunto de enunciados. Un sistema de reglas se verá en detalle en el cuarto capítulo.

4.3. Ejemplos de reglas de inferencia

válidas de razonamiento, no es posible formular contraejemplos para ellas. En cada caso se da un ejemplo, pero se sugiere construir, además, otros. Más ejemplos se encuentran en el “Apéndice: Leyes y reglas lógicas”.

4.3.1. Reglas de inferencia exclusivamente con conectivas

Presentamos las siguientes reglas de inferencia (a) Modus Tollens

[ ] →〈 〉

¬〈 〉

___________ ¬[ ]

Un ejemplo, en lenguaje regimentado, de esta forma de razonamiento es: Laura es Licenciada en Filosofía → Laura es graduada universitaria ¬ Laura es graduada universitaria

______________________________________________________ ¬ Laura es Licenciada en Filosofía

Determinando el código

A: Laura es Licenciada en Filosofía B: Laura es graduada universitaria podemos representar el razonamiento así

A → B ¬B

___________ ¬A.

(b) Silogismo Hipotético [ ] →〈 〉 〈 〉→  ____________ [ ] → 

Siguiendo con el mismo contexto que en el caso anterior, un ejemplo de esta regla es: Laura es Licenciada en Filosofía → Laura es graduada universitaria

Laura es graduada universitaria → Laura cursó estudios universitarios _____________________________________________________ Laura es Licenciada en Filosofía → Laura cursó estudios universitarios Agregando al código anterior la siguiente correspondencia

se puede representar este razonamiento simbólicamente como A → B

B → C _______ A → C

(c) Silogismo disyuntivo [ ] ∨〈 〉

¬[ ] _________

〈 〉

Un ejemplo, en lenguaje regimentado, de esta regla es el razonamiento: Damián estudia Filosofía ∨ Damián estudia Comunicación ¬ Damián estudia Filosofía

___________________________________________________ Damián estudia comunicación

que, empleando el código:

A: Damián estudia Filosofía B: Damián estudia Comunicación da lugar a la siguiente versión en símbolos

A ∨ B ¬A

_________ B

4.3.2. Reglas que incluyen cuantificadores

(a) Eliminación del cuantificador universal

∀x [ ]x _______ [ ]○

Un caso o ejemplo de esta forma es:

∀x (x es material) ______________ el Sol es material que, de acuerdo con el código:

a: el Sol se simboliza

∀x Px _______ Pa

(b) Silogismo Barbara

∀x ( 〈 〉x → x )

∀x ( [ ]x →〈 〉x ) __________________

∀x ( [ ]x → x )

Esta regla es la formulación que en el lenguaje de la lógica matemática recibe la forma

barbara, fundamental en la teoría del silogismo categórico. Un caso concreto de

razonamiento que sigue esta regla es el siguiente, que suele aparecer como un ejemplo típico de razonamiento en los manuales de lógica

∀x (x es ser humano → x es mortal )

∀x (x es griego → x es ser humano) _______________________________

∀x (x es griego → x es mortal ) que, en el lenguaje cotidiano, corresponde a:

Todos los seres humanos son mortales Todos los griegos son seres humanos ________________________________ Todos los griegos son mortales.

Estableciendo como código Qx: x es ser humano Px: x es mortal Sx: x es griego el razonamiento se simboliza:

∀x (Qx → Px)

∀x (Sx → Qx) ______________

∀x (Sx → Px)

contexto de expresiones del tipo “[ ]○” no cabe duda de que el símbolo “[ ]” debe ser reemplazado por predicados.

5. Leyes lógicas

Además de las reglas lógicas, son de particular interés ciertas formas de enunciado cuyos casos son siempre enunciados verdaderos. Es decir, los enunciados concretos que son ejemplos de estas leyes nunca pueden ser falsos, son verdaderos en toda circunstancia. A enunciados de este tipo se los llama “verdades lógicas”. Pueden ser entendidos como casos extremos de reglas de inferencia, en los que no hay premisas. Tal como sucede con las reglas lógicas, las leyes lógicas pueden contener exclusivamente conectivas, exclusivamente cuantificadores, o ambos tipos de constantes lógicas.

Tomemos la siguiente forma de enunciado (1) Principio de no contradicción

¬( [ ] ∧ ¬ [ ] ).

La ley se formula en palabras como “no se da el caso de que un enunciado y su negación sean conjuntamente verdaderos”, y es unos de los principios lógicos clásicos. Un ejemplo de esta ley es el siguiente enunciado, en su forma regimentada:

(Damián estudia Filosofía ∧ ¬ Damián estudia Filosofía), donde la correspondencia

A: Damián estudia Filosofía da lugar a la simbolización

¬(A ∧ ¬A).

Este enunciado es siempre verdadero (independientemente de que Damián estudie Educación o no estudie, e incluso independientemente de que exista Damián). Por ello es una verdad formal, ya que su valor de verdad no depende del contenido. Es lo que usualmente se llama “verdad lógica”.

Otro caso de ley lógica es

(2) Descenso cuantificacional

∀x [ ]x →∃x [ ]x

que expresa en el lenguaje cotidiano : “Lo que se dice de todos se dice de alguno”; y tiene como uno de sus innumerables ejemplos

∀x (x es sólido) →∃x (x es sólido).

Este enunciado se lee así: “Si todo es sólido, entonces algo es sólido”, y según el código

se simboliza del siguiente modo:

∀x Px →∃x Px

obteniéndose, entonces, un enunciado que también es una verdad lógica. Para resumir, puede decirse:

5.1. Definición.

LEY LÓGICA: una ley lógica es una forma o esquema de enunciado cuyos casos son todos enunciados verdaderos.

5.2. Ley lógica como caso especial de regla lógica.

Una manera de entender la naturaleza de una ley lógica, y el carácter de verdad lógica de sus interpretaciones, consiste en vincular las leyes lógicas con la idea de validez. Una ley lógica nunca puede tener casos que sean falsos, o sea nunca tiene contraejemplos. Sus casos son verdaderos bajo cualquier condición. De este modo, una ley lógica podría verse como la conclusión de una regla lógica en la cual cualquier enunciado puede ser adoptado como premisa. Esto es lo mismo que decir que sus casos son enunciados verdaderos no importa cuáles sean sus premisas. De aquí:

5.2.1. Una ley lógica puede considerarse como una regla de inferencia que carece de premisas.

Más ejemplos de leyes lógicas se encontrarán en el “Apéndice: Reglas y leyes lógicas”.

6. Forma lógica y consistencia

La cuestión de la forma lógica también es importante en el caso de la consistencia. Tómese el siguiente conjunto de enunciados

∀x (x es sólido ∨ x es líquido) ¬∃y (y es sólido)

¬∃z (z es líquido) que, adoptando el código

Px: x es sólido Qx: x es líquido

se representa simbólicamente como

En esta simbolización queda en evidencia claramente la forma que tienen estos enunciados, forma que puede expresare gráficamente así:

∀x ( [ ]x ∨〈 〉x ) ¬∃y [ ]y

¬∃z 〈 〉z

Se advierte rápidamente que estos enunciados no pueden ser todos conjuntamente verdaderos. Concebir conjuntamente que todo sea sólido o líquido, que nada es sólido y también que nada es líquido lleva a una contradicción. Es decir, si se asume que es verdadero que todo es sólido o líquido, entonces no puede considerarse verdadero que no haya algo sólido ni haya algo líquido. De este modo, el conjunto es