Tex-Cal-1

Salom ´on Alarc ´on Araneda & Pablo Gonz´alez Lever

Prefacio

Estimados alumnos de carreras de la salud e ingiener´ıas en ejecuci ´on, este libro surge como una respuesta al constante requerimento que muchos de ustedes han manifestado por encontrar un texto de apoyo al curso de C´alculo I de sus respectivas carreras, que interprete de mejor forma sus necesidades acad´emicas y que concuerde con sus programas de estudios.

Nuestro inter´es es atender vuestros requerimientos de una forma adecuada, con el fin de apoyar y profundizar el estudio del C´alculo Diferencial, pero sin entrar en las sutilezas propias de las matem´aticas. Por esta raz ´on algunos de los temas aqu´ı presentados no est´an ordenados necesariamente de acuerdo a un enfoque cient´ıfico-matem´atico propiamente tal, sino que mas bien ellos son presentados en un orden de car´acter pr´actico. Aun as´ı, hemos decidido introducir algunos elementos formales de la matem´atica con el ´unico fin de ahondar en aquellos aspectos que son razonables en el contexto del curso y que requieren un nivel de abstracci ´on que conviene que ustedes desarrollen.

Debemos aclarar que esta es una versi ´on preliminar del texto, la cu´al a ´un debe ser mejorada en varios aspectos, lo que esperamos hacer durante el transcurso de este a ˜no. Por lo tanto, esta versi ´on se actualizar´a constantemente.

Finalmente, esperamos que este texto sea del agrado de ustedes y les sirva de apoyo al momento de estudiar.

´Indice general

Prefacio III

´Indice general V

I

Funciones Reales

1

1. El Cuerpo de los N ´umeros Reales 3

1.1. Axiomas de cuerpo enR . . . 3

1.1.1. Otras propiedades de los n ´umeros reales . . . 5

1.1.2. Ecuaciones de primer grado con una inc ´ognita . . . 7

1.2. Axiomas de orden . . . 11

1.2.1. Otras propiedades de las desigualdades enR . . . 14

1.2.2. Intervalos . . . 16

1.2.3. Valor absoluto . . . 17

1.2.4. Ecuaciones de segundo grado y ecuaciones radicales . . . 18

1.2.5. Inecuaciones . . . 18

1.2.6. Soluci ´on por Intervalos . . . 19

1.2.7. Construcci ´on de tablas . . . 19

1.2.8. Problemas con enunciado . . . 21

1.3. Axioma de completitud (*opcional) . . . 24

1.3.1. Propiedad caracter´ıstica del supremo . . . 24

1.3.2. Propiedad caracter´ıstica del ´ınfimo . . . 25

2. Funciones 27 2.1. Preliminares . . . 27

2.3. Propiedades eventuales de las funciones . . . 30

2.4. Funci ´on inversa . . . 32

2.5. Funci ´on compuesta . . . 33

2.6. Funciones reales . . . 35

2.6.1. Funci ´on Valor absoluto . . . 36

2.6.2. Funciones polinomiales . . . 37

2.6.3. Funci ´on constante . . . 37

2.6.4. Funci ´on lineal . . . 38

2.6.5. Funci ´on cuadr´atica . . . 39

2.6.6. Transformaciones . . . 41

2.6.7. Funciones Racionales . . . 43

2.6.8. Funci ´on exponencial . . . 45

2.6.9. Funci ´on logaritmo . . . 47

II

L´ımites y Continuidad

53

3.2. Definici ´on del l´ımite de una funci ´on . . . 60

3.3. Propiedades de los l´ımites . . . 64

3.4. Teoremas sobre algunos L´ımites relevantes . . . 66

3.5. Algunas T´ecnicas para calcular L´ımites . . . 66

3.5.1. Simplificaci ´on . . . 67

3.5.2. Racionalizaci ´on . . . 67

3.5.3. Sustituci ´on . . . 67

3.5.4. Uso de identidades trigonom´etricas . . . 67

3.5.5. Uso de l´ımites especiales . . . 68

3.6. L´ımites al infinito . . . 68

3.7. L´ımites en infinito . . . 72

4. Continuidad 75 4.1. Continuidad de una funci ´on . . . 75

4.2. Propiedades de las funciones continuas . . . 76

´INDICE GENERAL

4.4. Criterio para m´aximos y m´ınimos absolutos . . . 79

III

La Derivada y sus aplicaciones

81

5.2. Interpretaci ´on geom´etrica de la derivada . . . 85

5.3. Dos Teoremas Importantes . . . 89

5.4. La funci ´on derivada . . . 90

5.4.1. Derivadas de funciones algebraicas . . . 90

5.4.2. Derivadas de funciones trigonom´etricas . . . 91

5.4.3. Derivadas de funciones logar´ıtmicas y exponenciales . . . 91

5.5. Algebra de derivadas . . . .´ 92

5.6. Regla de la cadena . . . 93

5.7. Derivadas de orden superior . . . 96

5.8. Derivada de una funci ´on inversa . . . 97

5.9. Derivaci ´on impl´ıcita . . . 98

5.10. Ecuaciones param´etricas . . . 101

5.11. Variaciones relacionadas . . . 103

6. Aplicaciones de la Derivada 107 6.1. M´aximos y m´ınimos de una funci ´on . . . 107

6.2. Aplicaciones de M´aximos y m´ınimos en intervalos cerrados . . . 108

6.3. Teorema de Rolle y Teorema del valor medio . . . 109

6.4. Criterios de crecimiento y decrecimiento. Criterios de m´aximos y m´ınimos relativos . . . 110

6.5. Aplicaciones de m´aximos y m´ınimos en intervalos reales . . . 111

6.6. Concavidad. Puntos de Inflexi ´on. Trazado de curvas . . . 113

Parte I

Cap´ıtulo 1

El Cuerpo de los N ´umeros Reales

Desde la perspectiva del C´alculo el conjunto num´erico de mayor relevancia es el de los n ´umeros reales debido a la gran cantidad propiedades que verifican sus elementos. Estas propiedades se pueden separar en tres grupos:

1. axiomas de cuerpo

2. axiomas de orden

3. axioma de completitud

El conjunto de los n ´umeros reales se denota porRy antes de estudiar cada uno de los

grupos de axiomas mencionados anteriormente, es conveniente recordar algunos subcon-juntos notables deRy sus notaciones. Tenemos:

N={1,2,3, . . .}denota el conjunto de los n ´umeros naturales.

N0 =N∪ {0}.

Z={. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .}denota el conjunto de los n ´umeros enteros.

Q=pq :p, q ∈Z ∧ q 6= 0 denota el conjunto de los n ´umeros racionales.

Idenota a los n ´umeros irracionales.

OBSERVACION´ 1.1 Es conocido que _Q∩ _I = _∅ y _Q ∪_I = _R. M´as a ´un, _Q contiene a todos aquellos n ´umeros que tienen representaci ´on fraccionaria, es decir los n ´umeros con una cantidad finita de decimales o con una cantidad infinita peri ´odica; mientras queI

contiene a todos aquellos n ´umeros que poseen infinitos decimales y que no son peri ´odicos.

1.1.

Axiomas de cuerpo en

R

Ahora nos interesa estudiar algunas propiedades que verifican los n ´umeros reales y para ello consideramos las operaciones: adici ´on, que denotamos+, y multiplicaci ´on, que denotamos·, enR. El tr´ıo(R,+,·)denota aRdotado de est´as dos operaciones y verifica

PARA LA OPERACION ADICI´ ON EN´ _R. (A0) Propiedad de clausura:

(∀a, b∈_R)(a+b ∈_R)

(A1) Propiedad conmutativa:

(∀a, b∈_R)(a+b=b+a)

(A2) Propiedad asociativa:

(∀a, b, c∈_R) a+ (b+c) = (a+b) +c

(A3) Propiedad de existencia de elemento neutro aditivo (el cero):

(∃0∈_R)tal que(∀a∈_R)(0 +a=a+ 0 =a)

(A4) Propiedad de existencia de elemento inverso aditivo:

(∀a∈_R) ∃(−a)∈_R

tal que a+ (−a) = (−a) +a= 0.

PARA LA OPERACION MULTIPLICACI´ ON EN´ _R. (M0) Propiedad de clausura:

(∀a, b∈_R)(a·b ∈_R)

(M1) Propiedad conmutativa:

(∀a, b∈_R)(a·b=b·a)

(M2) Propiedad asociativa:

(∀a, b, c∈_R) a·(b·c) = (a·b)·c

(M3) Propiedad de existencia de elemento neutro multiplicativo (el uno):

(∃1∈_R)tal que(∀a∈_R)(1·a=a·1 = a)

(M4) Propiedad de elemento inverso multiplicativo salvo para el neutro aditivo:

(∀a∈_R\ {0})(∃a−1 ∈_R\ {0})tal que a·a−1 =a−1·a= 1

PROPIEDAD QUE RELACIONA LA ADICION Y LA MULTIPLICACI´ ON EN´ _R. (MA) Propiedad distributiva de la multiplicaci ´on con respecto a la adici ´on:

a·(b+c) = (b+c)·a=a·b+a·c ∀a, b, c∈_R

1.1. AXIOMAS DE CUERPO EN_R

1.1.1.

Otras propiedades de los n ´umeros reales

A partir de estos axiomas y usando las reglas de la l ´ogica formal, podemos obtener otras propiedades que cumplen los n ´umeros reales:

1. [0 es elemento absorvente multiplicativo](∀a∈_R)(a·0 = 0)

Demostraci ´on.

a·0 = a·0 + 0 propiedad (A3)

= a·0 + (a+ (−a)) propiedad (A4)

= (a·0 +a) + (−a) propiedad (A2)

= (a·0 +a·1) + (−a) propiedad (M3)

= a·(0 + 1) + (−a) propiedad (MA)

= a·1 + (−a) propiedad (A3)

= a+ (−a) propiedad (M3)

= 0 propiedad (A4).

2. (∀a, b∈_R)(a·b = 0⇔a= 0 ∨ b= 0)

Demostraci ´on.

(⇒)Queremos probar que el enunciado

(∀a, b∈_R)(a·b = 0⇒a= 0 ∨ b= 0)

es verdadero. Para ello argumentamos por reducci ´on al absurdo, esto es, asumamos que la negaci ´on del enunciado es verdadera y lleguemos a una contradicci ´on.

Asumamos que

a·b = 0 ∧ a6= 0 ∧ b6= 0.

Se sigue que

a = a·1 propiedad (A3)

= a·(b·b−1_{) propiedad (M4)}

= (a·b)·b−1 _{propiedad (M2)}

= 0·b−1 _{puesa·b = 0}

= 0 por 1. anterior.

(⇐)

(∀a, b∈_R)(a= 0 ∨ b = 0⇒a·b= 0)

es directo desde 1.

3. [Cancelaci ´on aditiva](∀a, b, c∈_R)(a+b=a+c⇔b=c)

Demostraci ´on.(⇒) b = b+ 0 propiedad (A3)

= b+ (a+ (−a)) propiedad (A4)

= (b+a) + (−a) propiedad (A2)

= (c+a) + (−a) puesa+b=a+c

= c+ (a+ (−a)) propiedad (A2)

= c+ 0 propiedad (A4)

= c propiedad (A3).

(⇐) Es directa desde la definici ´on de igualdad.

4. (∀a∈_R) −(−a) =a

Demostraci ´on.Seaaun n ´umero real, entonces(−a)es su inverso aditivo. A su vez,

[−(−a)]es el inverso aditivo de(−a). Entonces tenemos

−(−a) = 0 + [−(−a)] propiedad (A3)

= (a+ (−a)) + [−(−a)] propiedad (A4)

= a+ (−a) + [−(−a)]

propiedad (A2)

= a+ 0 propiedad (A4)

= a propiedad (A3).

Antes de continuar introducimos la siguiente notaci ´on:

1. Se define la operaci ´on sustracci ´on enR, la cual denotamos por−, como sigue: (∀a, b∈_R) a−b =a+ (−b)

2. Se define la operaci ´on divisi ´on enR, la cual denotamos por:, como sigue:

(∀a∈_R)(∀b∈_R\ {0})a:b =a·b−1 = a

b

3. Se define la operaci ´on potencia entera de un n ´umero real como sigue:

(∀a∈_R\ {0})(∀n∈_N)(an = a · a · . . . · a

| {z }

multiplicarnvecesa

)

1.1. AXIOMAS DE CUERPO EN_R

EJERCICIOS1.1 Demuestre cada una de las siguientes propiedades enR.

1. (∀a, b∈_R) a−(−b) = a+b

2. (∀a, b∈_R) a−b= 0 ⇔a=b

3. (∀a, b, c∈_R) a−(b+c) =a−b−c

4. [Cancelaci ´on multiplicativa](∀a, b, c∈_R)(a·b =a·c ∧ a6= 0 ⇔b=c)

5. (∀a∈_R) (a−1₎−1 _=a

6. (∀a, b∈_R) a−1·b−1 = (a·b)−1

7. (∀a∈_R) (−1)·a=−a

8. (∀a∈_R)a 1 =a

9. (∀a∈_R)a6= 0⇒ 1

a =a

−1

10. (−1)2 _{= 1}

11. (∀a∈_R) (−a)2 _=a2

12. (∀a, b, c, d∈_R)b6= 0 ∧ d6= 0 ⇒ha

b = c

d ⇔a·d =b·c

i

13. (∀a, b, c, d∈_R)

b6= 0 ∧ d6= 0 ⇒ a

b · c d =

a·c b·d

14. (∀a, b, c, d∈_R)b6= 0 ∧ d6= 0 ⇒ a

b ± c d =

a·d±b·c b·d

15. (∀a, b, c, d∈_R)b6= 0 ∧ c6= 0 d6= 0 ⇒ a

b : c d =

a·d b·c

1.1.2.

Ecuaciones de primer grado con una inc ´ognita

El siguiente teorema establece la existencia y unicidad de soluciones de una ecuaci ´on de primer grado con una inc ´ognita con coeficiente no nulo:

TEOREMA1.1 Seana, b, c∈_R,a6= 0. La ecuaci ´on de primer grado:

ax+b =c

Demostraci ´on.Para la existencia tenemos:

ax+b =c ⇒ax+b+ (−b) =c+ (−b)

⇒ax+ b+ (−b)=c−b

⇒ax+ 0 =c−b

⇒ax=c−b

⇒a−1·a·x=a−1·(c−b) ⇒ a−1·a)·x= c−b

a

⇒1·x= c−b

a

⇒x= c−b

a .

Para la unicidad supongamos que existe una segunda soluci ´on de la ecuaci ´on, la cual llamaremosz y probemos que en realidad se trata de la misma soluci ´on. Tenemos:

ax+b =c ∧ az+b =c ⇒ax+b =az +b

⇒ax=az

⇒x=z.

OBSERVACION´ 1.2 Antes de continuar es conveniente recordar los siguientes productos notables:

1. [Cuadrado de un binomio](x±a)2 =x2±2ax+a2 2. [Cubo de un binomio](x±a)3 _=x3_±3x2_{a+ 3a}2_x±a3 3. [Suma por su diferencia](x+a)(x−a) =x2 _−a2

4. [Producto de binomios con t´ermino com ´un](x+a)(x+b) = x2_{+ (a+b)x+ab} 5. [Diferencia de cubos]x3−a3 = (x−a)(x2+ax+a2)

6. [Suma de cubos]x3_+a3 _{= (x+a)(x}2_−ax+a2_). EJEMPLOS1.1 Resolver las siguientes ecuaciones parax.

1. 4x+ 16 = 14

2. (x+ 3)2 _{= (x−2)(x+ 1)}

3. (x−3)(x+ 1) = (x+√3)(x−√3)−2x

4. (x+ 1)2−2x=x2 5. 1

x−3− 3

x−2− 4

1−2x = 0 [x6= 2 ∧ x6= 3]

6. a) x+a

5 +

x+b

10 = 1

1.1. AXIOMAS DE CUERPO EN_R

7. a) (x−a)(x+a) = (x−2a)2 _{[a 6= 0]}

b) ¿Cu´al debe ser el valor deapara que la soluci ´on ena)sea 1 2? Soluciones.

1. 4x+ 16 = 14 ⇒4x= 14−16 ⇒4x=−2

⇒x=−2 4 =−

1

2

2. (x+ 3)2 _{= (x−2)(x+ 1) ⇒x}2_{+ 6x+ 9 =x}2 _−x−2

⇒6x+ 9 =−x−2

⇒7x=−11

⇒x=−11

7

3. (x−3)(x+ 1) = (x+√3)(x−√3)−2x ⇒x2−2x−3 = x2−3−2x

⇒0 = 0

Como hemos llegado a un resultado que es verdadero, tenemos que

∴cualquierx∈_Res soluci ´on de la ecuaci ´on.

4. (x+ 1)2 _−2x=x2 _⇒x2_{+ 2x+ 1−2x=x}2

⇒1 = 0

Como hemos llegado a un resultado que es falso, tenemos que

∴ning ´unx∈_Res soluci ´on de la ecuaci ´on.

5. 1 x−3 −

3

x−2 − 4

1−2x = 0 ⇒

(x−2)−3(x−3) (x−2)(x−3) =

4 1−2x

⇒ x−2−3x+ 9 (x−2)(x−3) =

4 1−2x

⇒ −2x+ 7 (x2_{−5x+ 6)} =

4 1−2x

⇒(7−2x)(1−2x) = 4(x2_{−5x+ 6)}

⇒7−16x+ 4x2 = 4x2−20x+ 24 ⇒4x= 17

⇒x= 17

4

6. a) x+a

5 +

x+b

10 = 1 ⇒

2(x+a) + (x+b)

10 = 1

⇒2x+ 2a+x+b = 10 ⇒3x= 10−2a−b

⇒x= 10−2a−b

b) Cuandoa= 5yb = 0, obtenemosx= 10−2a−b

3 =

10−10−0

3 = 0.

7. a) (x−a)(x+a) = (x−2a)2 _⇒x2 _−a2 _=x2_{−4ax+ 4a}2

⇒0 = −4ax+ 5a2

⇒4ax= 5a2

⇒x= 5a

2

4a (puesa6= 0)

⇒x= 5a

4

b) x= 1

2 ⇔

5a

4 =

1

2 ⇔a= 4 10 =

2

5

EJERCICIOS 1.2

1. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas:

a) 1

2a

2₊1

3b+ 1 4

·2 3a−

1 2

b) (12b+ 3a)2−(1−2b+ 3a)2

c) a+ 5b a2_{+ 6ab} :

ab+ 5b2 ax3_{+ 6a}2_b

d) 3ax

2_{+ 3a}2_x−6a2_x2 ax3_−a3_x

2. Verificar que se cumplen las siguientes igualdades

a) ab(x

2_+y2_{) +xy(a}2_+b2₎ ab(x2_−y2_{) +xy(a}2_−b2₎ =

ax+by

ax−by, siax6=by ∧ bx6=−ay

b) x−a x−b

3

−x−2a+b

x+a−2b = 0, six= a+b

2

3. Demuestre que sia6=−b,a 6=−cyb6=−c, entonces:

bc

(a+b)(a+c) +

ac

(b+c)(b+a)+

ab

(c+a)(c+b) +

2abc

(a+b)(a+c)(b+c) = 1

4. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) 2

4x−5 −

6x+ 5 16x2₋₂₅ =

3 4x+ 5

b) x x−3 −

x x+ 3 −

6x−4

x2_{−5x+ 6} = 0

5. Hallar el valor de a y b, de modo que para cada x ∈ _R \ {−3,4} se verifique la igualdad:

6x−2

x2_+x−12 = a x+ 4 +

1.2. AXIOMAS DE ORDEN

1.2.

Axiomas de orden

Para establecer una relaci ´on de orden en el conjunto de los n ´umeros reales, es conve-niente considerar un subconjunto deR, denotado porR+, el cual llamaremos conjunto de

los n ´umeros reales positivos. Este conjunto queda definido por los siguientes axiomas: (O1) Propiedad de invarianza para la adici ´on

La suma de n ´umeros positivos es un n ´umero positivo. Esto es:

(∀a, b∈_R)(a∈_R+ _{∧ b∈}

R+ ⇒a+b ∈R+)

(O2) Propiedad de invarianza para la multiplicaci ´on

El producto de n ´umeros positivos es un n ´umero positivo. Esto es:

(∀a, b∈_R)(a ∈_R+ _{∧ b∈}

R+ ⇒a·b ∈R+)

(O3) Propiedad de Tricotom´ıa

Un n ´umero real verifica una y s ´olo una de las siguientes posibilidades, o bien el n ´umero es positivo, o bien el n ´umero es cero, o bien su inverso aditivo es un n ´umero positivo. Esto es:

(∀a∈_R)(a∈_R+ _{∨ a= 0 ∨ −a∈}

R+)

DEFINICION´ 1.1 Sean a, bdos n ´umeros reales. Se definen las iguientes relaciones de de-sigualdadentreayb:

1. aes mayor queb, lo que denotamos pora > b, si y s ´olo sia−bes un n ´umero positivo; es decir:

a > b⇔a−b ∈_R+

2. a es mayor o igual queb, lo que denotamos pora _> b, si y s ´olo sia−bes un n ´umero positivo, ´oaes igual ab; es decir:

a_>b⇔a−b ∈_R+ _{∨ a=b}

3. aes menor queb, lo que denotamos pora < b, si y s ´olo sib−aes un n ´umero positivo; es decir:

a < b⇔b−a∈_R+

4. a es menor o igual queb, lo que denotamos pora ₆ b, si y s ´olo sib−aes un n ´umero positivo, ´oaes igual ab; es decir:

Notemos que por definici ´on de “mayor que”, tenemos que

a∈_R+ _{⇔a >0.}

Por otro lado, por propiedad de tricotom´ıa tenemos que, sia∈_R+_{, entonces}

−a∈/ _R+ ∧ a6= 0 ⇒ −a ≤0 ∧ −a6= 0 ⇒ −a <0.

De esta forma surge naturalmente otro subconjunto en R, denotado porR−, el cual

lla-mamos conjunto de los n ´umeros reales negativos. M´as a ´un,

a∈_R− ⇔a <0.

Es claro ahora queR−corresponde al conjunto de los inversos aditivos de los

elemen-tos enR+, y que la uni ´on de ambos conjuntos con cero resulta ser todoR. Es decir,

a ∈_R⇔a∈_R− ∨ a= 0 ∨a ∈_R+

En otras palabras,

R=R−∪ {0} ∪R+ ∧ ∅=R−∩R+ ∧ ∅={0} ∩R+ ∧ ∅=R−∩ {0}.

Gr´aficamente esta situaci ´on se puede representar en una recta horizontal, donde a cada punto de la recta se le asocia un n ´umero real, los cuales son ordenados de acuerdo a cri-terios ya conocidos por todos (siguiendo el esquema de los n ´umeros enteros), partiendo de izquierda a derecha por los negativos, continuando con el cero y finalmente los posi-tivos. Los n ´umeros se anotan en orden creciente de izquierda a derecha. El0es el punto de simetr´ıa entre un n ´umero positivo y su inverso aditivo (n ´umero negativo) correspon-diente. En cada extremo de la recta se agregan adem´as los s´ımbolos−∞(a la izquierda) y+∞(a la derecha), los cuales se leen “menos infinito” y “m´as infinito” respectivamente, con el fin de dar a entender que los n ´umeros continuan decreciendo o creciendo sin l´ımite (pues de acuerdo al Principio de Arqu´ımides los n ´umeros reales no poseen cota superior ni cota inferior).

Ahora, de acuerdo a los axiomas y definiciones dados previamente, no es dif´ıcil demos-trar que enRla relaci ´on “mayor o igual que” constituye una relaci ´on de orden; es decir,

1.2. AXIOMAS DE ORDEN

(O4) Propiedad reflexiva

(∀a∈_R)(a_>a)

(O5) Propiedad antisim´etrica

(∀a, b∈_R)(a_>b ∧ b_>a⇒a=b)

(O6) Propiedad transitiva

(∀a, b, c∈_R)(a _>b ∧ b_>c⇒a_>c)

Demostraci ´on.Seana, byctres n ´umeros reales cualesquiera. Entonces:

1. Para la reflexividad,

a=a ⇒a_>a.

2. Para la antisimetr´ıa,

a_>b ∧ b _>a ⇒(a−b∈_R+ _{∨ a=b) ∧ (b−a∈}

R+ ∨ b=a)

⇒       

(a−b ∈_R+ _{∨ a =b) ∧ a−b ∈}

R+ ∨

(a−b ∈_R+ _{∨ a=b) ∧ b =a}

⇒       

(a−b ∈_R+ _{∧ b−a∈}

R+) ∨ (a=b ∧ b−a∈R+) ∨

(a−b ∈_R+ _{∧ b =a) ∨ (a=b ∧ b =a)}

⇒(0∈_R+_{) ∨ (a=b)}

⇒a=b.

3. Para la transitividad,

a_>b ∧ b_>c ⇒(a−b∈_R+ _{∨ a=b) ∧ (b−c∈}

R+ ∨ b=c)

⇒       

(a−b ∈_R+ _{∨ a=b) ∧ c−b∈}

R+ ∨

(a−b ∈_R+ _{∨ a=b) ∧ b=c}

⇒       

(a−b ∈_R+ _{∧ b−c∈}

R+) ∨ (a=b ∧ b−c∈R+) ∨

(a−b ∈_R+ _{∧ b=c) ∨ (a=b ∧ b =c)}

⇒a−c∈_R+ _{∨ a=c}

Cambiando en (O4)–(O6) los signos>por signos6, tenemos que la relaci ´on “menor o igual que” tambi´en constituye una relaci ´on de orden enR.

1.2.1.

Otras propiedades de las desigualdades en

R

A continuaci ´on probaremos algunas propiedades de las desigualdades enR.

1. (∀a, b, c∈_R)(a > b ⇒a+c > b+c)

2. (∀a, b, c∈_R)(a > b ∧ c > 0⇒a·c > b·c)

3. (∀a, b, c∈_R)(a > b ∧ c < 0⇒a·c < b·c)

4. (∀a∈_R)(a 6= 0⇒a2 _>0) 5. (∀a∈_R)(a >0⇒a−1 >0)

6. (∀a, b∈_R)(a > b >0⇒b−1 _{> a}−1₎ 7. (∀a, b∈_R)(a > b_>0⇒a2 > b2)

Demostraci ´on.Seana, bycn ´umeros reales, entonces:

1. q a > b ⇒(a−b)∈_R+

⇒(a+c−c−b)∈_R+

⇒[(a+c)−(b+c)]∈_R+

⇒a+c > b+c

2. q a > b ∧ c >0 ⇒(a−b)∈_R+ _{∧ c∈}

R+ ⇒(a−b)·c∈_R+

⇒(a·c−b·c)∈_R+

⇒a·c > b·c

3. q a > b ∧ c <0 ⇒(a−b)∈_R+ _{∧ c∈}

R− ⇒(a−b)∈_R+ _{∧ (−c)∈}

R+ ⇒(a−b)·(−c)∈_R+

⇒(b·c−a·c)∈_R+

⇒a·c < b·c

4. q a >0 ⇒a∈_R+

⇒a·a =a2 _∈

R+ ⇒a2 _>0,

∧ a <0 ⇒a∈_R−

⇒(−a)∈_R+

⇒(−a)2 _{= (−a)·(−a) =a}2 _∈

1.2. AXIOMAS DE ORDEN

5. Antes de probar la propiedad, notar que 1 = 1·1 = 12 _{> 0. Ahora probaremos} la propiedad por reducci ´on al absurdo, esto es, supondremos que la negaci ´on del enunciado es verdadera y llegaremos a una contradicci ´on.

Supongamos que

a >0 ∧ a−1 ₆0.

Entonces por propiedad 3. tenemos que a·a−1 _{< 0, puesa}−1 _{6= 0, pero esto es una} contradicci ´on con el hecho quea·a−1 = 1 >0. Esto quiere decir que la negaci ´on del enunciado es falsa y luego el enunciado es verdadero.

6. q _{a > b >0 ⇒(a−b)∈R}+ _{∧ a}−1 _∈

R+ ∧ b−1 ∈R+ ⇒(a−b)∈_R+ _{∧ a}−1_·b−1 _∈

R+ ⇒(a−b)·a−1_·b−1 _∈

R+ ⇒(a·a−1_·b−1_−b·a−1 _·b−1_)∈

R+ ⇒(b−1_−a−1_)∈

R+ ⇒b−1 > a−1

7. q _{a > b >0 ⇒(a−b)∈R}+ _{∧ (a+b)∈}

R+ ⇒(a−b)·(a+b)∈_R+

⇒(a2_−b2_)∈

R+ ⇒a2 _{> b}2

EJERCICIOS1.3

1. Seana, b, c∈_R. Demuestre quea > b∧b > c⇒a > c

2. Seana, b, c∈_R. Demuestre quea < b∧c <0⇒a·c > b·c

3. Seana, b∈_R. Sia6=b, demuestre quea2+b2 >2ab

4. Seana, b, c∈_R. Sia6=b, b6=c, a6=c, demuestre quea2+b2+c2 > ab+bc+ac

5. Seana, b, c, d∈_R. Sia2 +b2 = 1yc2+d2 = 1, demuestre queac+bd≤1

6. Seana, b, m, n∈_R. Sia > bym, n∈_R+_{, demuestre queb <} ma+nb m+n < a

7. Seana, b, c∈_R. Sia6=b, b6=c, a6=c, demuestre que a+b c +

b+c a +

a+c b >6

8. Seanx, y, z ∈_R+_{. Pruebe que(x+y+z)}1 x +

1

y +

1

z

1.2.2.

Intervalos

Una forma de agradable de escribir y representar ciertos subconjuntos de los n ´umeros reales que involucran desigualdades en su definici ´on son los intervalos:

1. Llamamosintervalo abiertoal conjunto:

]a, b[:= {x∈_R:a < x < b}

Gr´aficamente, este conjunto se representa en una recta num´erica como sigue:

2. Llamamosintervalo cerradoal conjunto:

[a, b] :={x∈_R:a≤x≤b}

Gr´aficamente, este conjunto se representa en una recta num´erica como sigue:

3. Llamamosintervalo semi abierto por derechaal conjunto:

[a, b[:= {x∈_R:a ≤x < b}

Gr´aficamente, este conjunto se representa en una recta num´erica como sigue:

4. Llamamosintervalo semi abierto por izquierdaal conjunto:

]a, b] :={x∈_R:a < x≤b}

Gr´aficamente, este conjunto se representa en una recta num´erica como sigue:

5. Llamamosintervalo infinito abierto por derechaal conjunto:

]− ∞, b[:= {x∈_R:x < b}

1.2. AXIOMAS DE ORDEN

6. Llamamosintervalo infinito abierto por izquierdaal conjunto:

]a,+∞[:={x∈_R:x > a}

Gr´aficamente, este conjunto se representa en una recta num´erica como sigue:

7. Llamamosintervalo infinito cerrado por derechaal conjunto:

]− ∞, b] :={x∈_R:x≤b}

Gr´aficamente, este conjunto se representa en una recta num´erica como sigue:

8. Llamamosintervalo infinito cerrado por izquierdaal conjunto:

[a,+∞[:= {x∈_R:x≥a}

Gr´aficamente, este conjunto se representa en una recta num´erica como sigue:

1.2.3.

Valor absoluto

Seaa∈_R. Llamaremosvalor absolutodeaa un valor real que denotamos por|a|y que definimos como sigue:

|a|=



  

  

a si a >0,

0 si a= 0,

−a si −a <0.

Algunas propiedades que verifica el valor absoluto de un n ´umero real son las siguientes:

1. (∀a, b∈_R)(|a·b|=|a| · |b|)

2. (∀a, b∈_R)

b6= 0 ⇒

a b

=

|a| |b|

3. (∀a, b∈_R) |a|−|b|

≤ |a±b| ≤ |a|+|b|

(Desigualdad triangular)

1.2.4.

Ecuaciones de segundo grado y ecuaciones radicales

Dada la ecuaci ´on de segundo grado:ax2_{+bx+c= 0, cona6= 0, se tiene que:}

1. Sib2_{−4ac > 0, la ecuaci ´on tiene dos ra´ıces o soluciones distintas dadas por:}

x= −b± √

b2_−4ac

2a

2. Sib2−4ac= 0, la ecuaci ´on tiene una ra´ız real ´unica dada por:

x= −b 2a

3. Sib2_{−4ac < 0, la ecuaci ´on no tiene ra´ıce reales, tiene ra´ıces complejas conjugadas.}

1.2.5.

Inecuaciones

Seanp∧q, expresiones algebraicas , las afirmaciones

1. p(x)≤q(x)

2. p(x)≥q(x)

se llaman inecuaciones o desigualdades. Si al reemplazar x por un valor , por ejemplo a se obtiene una expresi ´on verdadera, entonces a , recibe el nombre de soluci ´on de la

inecuaci ´on. Resolver una inecuaci ´on es determinar el intervalo de n ´umeros reales para los cuales la desigualdad se satisface. Tal conjunto de n ´umeros se llama conjunto soluci ´on de la inecuaci ´on.

EJEMPLO 1.1 Resolver la desigualdad:5x+ 1 >3x−3

Soluci ´on.5x+ 1 >3x−3 ⇒5x+ 1−(3x−3)>0 ⇒5x+ 1−3x+ 3 >0

1.2. AXIOMAS DE ORDEN

Luego el conjunto soluci ´on es :S ={x∈_R/x > −2}

1.2.6.

Soluci ´on por Intervalos

Una inecuaci ´on puede ser resuelta usando la teor´ıa de conjuntos, al final la soluci ´on resulta de la intersecci ´on o uni ´on de intervalos seg ´un corresponda.

EJEMPLO1.2 Hallar el conjunto soluci ´on en la inecuaci ´on que satisface las desigualdades:

3x >−9∧2x≤x+ 5.

Soluci ´on.3x >−9⇒x >−3∧2x≤x+ 5 ⇒x≤5

luego el conjunto soluci ´on es :x∈]3,5]}.

1.2.7.

Construcci ´on de tablas

Este m´etodo consiste en estudiar el signo+o−, en cada uno de los intervalos en una vecindad del punto cr´ıtico ( la denominaci ´on de punto cr´ıtico a los valores anuladores es convencional), luego se efect ´ua el producto , manteniendo la ley de los signos.

EJEMPLOS1.2

1. Determinar el conjunto soluci ´on de x+5

x(x+1) ≤0

Soluci ´on.En primer lugar determinamos los puntos cr´ıticos:

x+ 5 = 0⇒x=−5x+ 1 = 0⇒x=−1

x= 0

f actor/intervalo −∞< x <−5 −5< x <−1 −1< x < 0 0< x <∞

x − − − +

x+ 5 − + + +

x+ 1 − − + +

sol. − + − +

2. Encontrar el conjunto soluci ´on de:|x2_{−5x+ 5|<1}

Soluci ´on.De acuerdo con la definici ´on de valor absoluto, se tienen dos casos

a) Six2_{−5x+ 5 ≥0, entonces se resuelve la inecuaci ´on :x}2_{−5x+ 5<1} ordenando y factorizando se tiene:(x−4)(x−1)<0,

donde los puntos cr´ıticos son:x= 4∧x= 1

al construir la tabla para analizar el signo se tiene:

f actor/intervalo ∞− _{< x <1 1< x < 4 4< x <∞}+

x−1 − + +

x−4 − − +

sol. + − +

De acuerdo con esta tabla se observa que el conjunto soluci ´on es :]1,4[.

b) Six2_{−5x+ 5 <0, entonces se resuelve la inecuaci ´on :x}2_{−5x+ 5>−1} la que despues de ordenar y factorizar queda:(x−3)(x−2>0)

donde los puntos cr´ıticos son :x= 3∧x= 2

al construir la tabla para analizar el signo se tiene:

f actor/intervalo ∞− _{< x <2 2< x < 3 3< x <∞}+

x−3 − − +

x−2 − + +

sol. + − +

Finalmente se encuentra que el conjunto soluci ´on de la inecuaci ´on es:]1,2[∪]3,4[.

EJERCICIOS 1.4 Resuelva las siguientes inecuaciones:

1. 6x−2≤3x+ 10

2. 2≤ 4x−2 3 ≤6

3. 2

x −

2−x x−1 ≤1 4. x+ 1> _x4₊₁x

1.2. AXIOMAS DE ORDEN

6. |x|2_{+ 2|x| −3≤0}

7.

3x−2

x+1

>2

8. |x2_{− |3 + 2x||<4}

9. |x|+|x+ 2|<4

10. |x−1₃|−|_x−2₄x+3| ≥0

11. Sixsatisface la desigualdad 7

4 < x < 9

4. Determinar los posibles valores dey, cuando y = 4x−8

12. Siy= 3x+ 5, demostrar que|x−1|< ₁₀1 ⇒ |y−8|< ₁₀3

1.2.8.

Problemas con enunciado

1. Una Compa ˜n´ıa manufactura termostatos. El costo combinado de labor y material es

$4por termostato. El costo fijo que paga la compa ˜n´ıa en un mes (gastos de luz, agua,

arriendo, etc.) es de$60,000. Si el precio de venta de un termostato es de$7, ¿Cu´antos termostatos debe vender la compa ˜n´ıa para obtener ganancia en un mes?

2. La UNAB est´a considerando ofrecer un curso de gesti ´on en recursos medioambien-tales al personal de la compa ˜n´ıa ACME. Si ´este deja ganancias, se ofrecer´a a otras compa ˜n´ıas. El curso resulta econ ´omicamente factible si se matriculan al menos 30 personas pagando US$50 cada una. La UNAB, pensando en reducir los gastos de costo a cada persona, descontar´a US$1,25 por cada persona que se matricule por sobre los treinta. Como asesor financiero de la UNAB indique el tama ˜no l´ımite del grupo para que el dinero recibido por matr´ıculas nunca sea menor que el recibido por 30 personas.

3. Un inversionista tiene US$8000 colocados al 9 % de inter´es anual y desea invertir m´as dinero al16 %de inter´es anual a fin de obtener un monto final de al menos12 %

sobre la inversi ´on total en un a ˜no. ¿Cu´al es la cantidad m´ınima de dinero que debe invertir?

completan el trabajo en menos de 40 horas. Suponga que el trabajo les toma“t”horas. ¿Para qu´e valores de “t.el_{salario por hora es mejor?}

5. En biolog´ıa existe una regla aproximada, llamada regla bioclim´atica para zonas tem-pladas, que establece que en primavera y a principios de verano, fen ´omenos peri ´odi-cos tales como la aparici ´on de insectos y la maduraci ´on de frutas, por lo general se demoran alrededor de 4 d´ıas m´as por cada 1500 mts. de altura sobre el nivel del mar, esta regla bioclim´atica se resume en la siguiente expresi ´on d = ₁₅₀₀4n , donde d =demora en d´ıas;n =cambio de altura medida en metros. Si esta regla es v´alida para

0≤n≤4000. Determinar la m´ınima y la m´axima demora para que un fruto madure

entre los 1600 y 2300 mts. sobre el nivel del mar.

6. En un peque ˜no negocio familiar se emplean dos trabajadores que s ´olo laboran unas horas por semana. La cantidad total de los salarios que pagan a estos empleados var´ıa desde$128,000hasta$146,000por mes. Si un empleado gana$18,000m´as que el otro, determine las posibles cantidades ganadas mensualmente por cada empleado.

7. Un cliente se dirige a una farmacia y adquiere un paquete de algod ´on de 125 gramos. El vendedor le manifiesta que es de esperar no recibir un peso exacto de 125 gramos. Suponga que el peso real, “r”(en gramos) de un paquete de algod ´on marcado como de 125 gramos est´a dado por |r−125| ≤ 4. Si el cliente decide comprar 5 paquetes de algod ´on. ¿Cu´al es la cantidad m´axima y m´ınima de algod ´on que debe esperar obtener?

8. Se ha establecido que el virus sincicial que ataca preferentemente a los ni ˜nos, se debe a dos factores: 1) la posibilidad de contagio de acuerdo a la edad del ni ˜no, la cual obedece a la f ´ormulac(x) = 2x2−5x+ 4; y 2) la disminuci ´on de ciertas vitaminas en el organismo, tambi´en de acuerdo a su edad, dada por la f ´ormulaV(x) =x2+ 6x−8. Si se estima que los mayores transtornos producidos por este “virus”se producen cuando la diferencia entre ambos factores es menor que 12 . ¿Cu´ales son las edades de mayor riesgo para contraer la enfermedad?

9. Una resistencia de 7 Ohm y una resistencia variable R se instalan en paralelo. La resistencia resultante RT = ₇₊7R_R. Determine los valores de la resistencia variable R

para los cuales la resistencia resultante es mayor que 3 Ohm pero menor que 5 Ohm.

1.2. AXIOMAS DE ORDEN

11. La diferencia de dos n ´umeros es a su producto como 1:30. Si la suma de los valores rec´ıprocos de los n ´umeros es ₁₅2. ¿Cu´ales son los n ´umeros?

12. Dos n ´umeros est´an en la raz ´on de 5:3. Si se resta 10 del primero y se agrega 10 al segundo, resulta la raz ´on inversa. ¿Cu´ales son los n ´umeros?

13. La suma, la diferencia y el producto de dos n ´umeros son entre si como 5:3:16. ¿Cu´ales son los n ´umeros?

14. 10m de un g´enero de seda y 12m de uno de lana valen, con un 2 % de descuento, US$207,76; mientras que 4m del primer g´enero y 6m del segundo, con un 4 % de descuento, valen US$82,32. ¿Cu´al es el precio del metro de cada g´enero?

15. Un objeto compuesto de oro y plata pesa502g. Su volumen es de41cm3_{. Calcular el} peso del oro y la plata que contiene el objeto, sabiendo que 1cm3 de oro pesa19g y que1cm3 de plata pesa10,5g.

16. Dos conductos de agua llenan un dep ´osito, si el primero permanece abierto por

15min y el segundo por 18min. Si el primero se abre por 12min y el segundo por

15min, se alcanza a llenar41₅₀del dep ´osito. ¿En cu´antos minutos se llenar´ıa el dep ´osito por cada uno de los conductos separadamente?

17. Aumentando la base de un tri´angulo en6my la altura en4m, el ´area aumenta120m2 y aumentando la base en 2m y la altura en 9m el ´area aumenta 160m2_{. Calcular la} base y la altura.

18. Sobre la misma hipotenusa se construyen dos tri´angulos rect´angulos. Los catetos del segundo tri´angulo miden4mmenos y8mm´as, respectivamente, que los catetos correspondientes del primero. El ´area de segundo tri´angulo es 66m2 _{mayor que el}

´area del primero. Calcular los catetos del primer tri´angulo.

19. Un hombre tiene a lo menos 30 a ˜nos m´as que su hijo y a lo m´as 25 a ˜nos menos que su padre. ¿Qu´e edad podr´ıa tener si entre los tres suman a lo menos 100 a ˜nos?

(1)Al menos 20001. (2)El l´ımite es 40 personas. (3)US$6000. (4)Para t ≥ 36,52 (5)M´ın:4,2¯6d´ıas ; M´ax:6,1¯3d´ıas. (6)Entre$55,000y$64,000 recibe el que

gana menos. (7)M´ın: 605g; M´ax: 645g. (8)0-3 a ˜nos o 8-11 a ˜nos. (9)21

4ohm < R < 35₂ohm. (10)(24,40). (11)(20,12). (12)(25,15). (13)(16,4). (14)$14

y $6. (15)Oro: 361g ; Plata: 231g. (16)37,5min y30min. (17)b = 30m ; h = 16m. (18)24m;7m.

1.3.

Axioma de completitud (*opcional)

1. Un conjuntoS ⊂ _R, es acotado superiormente si existe un n ´umero realM tal que x≤M,∀x∈S, esto es:

Sacotado superiormente⇐⇒(∃M ∈_R)(∀x∈S)(x≤M)

2. Un conjunto S ⊂ _R es acotado inferiormente si existe un n ´umero real m tal que x≥m,∀x∈S, esto es:

Sacotado inferiormente⇔(∃m∈_R)(∀x∈S)(x≥m)

El n ´umero M o cualquier otro mayor que ´el se llama cota superior de s. El n ´umero m o cualquier otro menor que ´el se llama cota inferior deS.

SeaS un conjunto acotado, se llama supremo de S, lo que se anota sup(S)a la menor de las cotas superiores deS A la mayor de las cotas inferiores se le llama ´ınfimo deS, lo que se anota´ınf(S)

1.3.1.

Propiedad caracter´ıstica del supremo

SiM = sup(S), entonces se debe satisfacer que:

1. a≤M ,∀a∈S, puesM es cota superior deS

2. (∀ε >0)(∃k ∈S)(k > M −ε), puesM es el supremo deS

geom´etricamente esto es:

1.3. AXIOMA DE COMPLETITUD (*OPCIONAL)

1.3.2.

Propiedad caracter´ıstica del ´ınfimo

Seam = ´ınf(S), entonces:

1. a ≥M ,∀a∈S, puesmes cota inferior deS

2. (∀ε >0)(∃k ∈S)(k < m+ε), puesmes el ´ınfimo deS

Geom´etricamente esto es:

Si no existe talk, el n ´umeromno ser´ıa infimo.

Finalmente el axioma de completitud establece que paraS⊂_R: a) SiS est´a acotado superiormente, entoncesStiene supremo. b) SiS est´a acotado inferiormente, entoncesS tiene ´ınfimo

EJEMPLO1.3 SeaS =nx∈_R/x+3

x+2 ≤0

o

1. Pruebe queSes un conjunto acotado

2. Demuestre que´ınf(S) = −3

Soluci ´on.

a) x_x+3₊₂ ≤0 ⇔[(x+ 3)≥0∧(x+ 2) <0]∨[(x+ 3) ≤0∧(x+ 2)>0] ⇔(x≥ −3∧x <−2)∨(x≤ −3∧x >−2

⇔x∈[−3,−2[∪φ

⇔S = [−3,−2[

i) Cotas inferiores deS = (−∞,−3]⇒S, es acotado inferiormente

ii) Cotas superiores deS = [−2,∞)⇒S, es acotado superiormente. Por lo tanto de i) , ii) se tiene queS es un conjunto acotado.

b) P.D quem =−3es el ´ınfimo deS = [−3,−2[. Esto es :

∀ε >0 ∃m =−3∈_R /m+ε > x ∀x∈S.

En particular six=−3, se tiene que−3 +ε >−3. Seaε= 0,3 =⇒ −3 + 0,3>−3, esto es :

Cap´ıtulo 2

Funciones

2.1.

Preliminares

Antes de introducir el concepto de funci ´on examinaremos previamente algunos ideas b´asicas.

Variable: Es un s´ımbolo(x, y, z, u, ...)que representa a un elemento no especificado de un conjunto dado. Dicho conjunto es llamado universo de la variable, y cada elemento del conjunto es un posible valor de la variable.

EJEMPLO2.1 Sea xuna variable cuyo universo es el conjuntoA ={1,2,3,4}, entoncesx puede tomar cualquier valor de los elementos deA, esto es ;x= 1, x= 2, x= 3, x= 4.

Constante: Es un simbolo(a, b, c, ...k...etc)utilizado para designar al elemento de un con-junto que tiene un ´unico elemento, por lo que la constante tiene un valor ´unico.

EJEMPLO2.2 SiA={2}; entoncesx= 2 , SiB ={c} ; entoncesx=c

Par´ametro: Adem´as de las variables y las constantes, hay otras cantidades o simbolos que en cada caso particular son constantes, pero que en general funcionan como variables. Estas cantidades reciben el nombre de par´ametros y que definen en general una familia de curvas.

EJEMPLO2.3 Sea y = ax+b , a yb son par´ametros, pueden tomar cualquier valor pero en todo caso representa la ecuaci ´on de una recta.

Par ordenado: Es un conjunto de dos elementos(x, y), que satisfacen una proposici ´onPx,y,

dondexes la primera componente ey es la segunda componente. En general, el par or-denado(a, b)es diferente al par ordenado(b, a)

cuyos elementos son todos los pares ordenados tales que la primera componente pertenece al conjuntoA y la segunda componente pertenece al conjuntoB, esto se anota:

A×B ={(x, y)/x∈A∧y∈B}

Relaci ´on: Sean A y B conjuntos. Se define una relaci ´on R de A en B como cualquier subconjunto deAxB.

EJEMPLO 2.4 SeanA={a, b, c}yB ={1,2,3}entonces:

A×B={(a,1); (a,2); (a,3); (b,1); (b,2); (b,3); (c,1); (c,2); (c,3)},luego :

R1, R2, R3y R4 son relaciones deA×B, donde: R1 ={(a,1),(b,3)}

R2 ={(a,2),(b,3),(a,3),(c,1),(c,2),(c,3)} R3 ={(c,1)}

R4 ={(a,1); (a,2); (b,2); (b,3); (c,1); (c,3)}

Observe queR1, R2, R3, R4, son subconjuntos deA×B

EJEMPLO 2.5 SeanA={1,2,3};B ={1,3,4,5};N,

determine por extensi ´on las siguientes relaciones: R1 ={(x, y)/x+y es impar}

R2 ={(x, y)/x es par} R3 ={(x, y)/x2+y2 ≤8} R4 ={(x, y)/2x+y= 10} Soluci ´on.

A×B={(1,1),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,3),(3,4),(3,5)}

R1 ={(1,4),(2,1),(2,3),(2,5),(3,4)} R2 ={(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)} R3 ={(1,1),(2,1)}

R4 ={(3,4)}

DEFINICION´ 2.1 SeaR ⊆A×B={(x, y)/P(x, y)}es una relaci ´on entonces: 1. Dominio de la relaci ´on: Se anotaDom(R)y se define:

Dom(R) ={x∈A/∃y∈B tal que (x, y)∈R}

2.2. DEFINICIONES DE FUNCION´

2. Recorrido de la relaci ´on : Se anotaRec(R)y se define:

Rec(R) ={y∈B/∃x∈A tal que (x, y)∈R}

Luego el recorrido de una relaci ´on es el conjunto formado por las segundas compo-nentes de los pares ordenados que pertenecen a la relaci ´on

3. Relaci ´on inversa: Se anotaR−1 _{y se define:}

R−1 ={(x, y)/(y, x)∈R}

Luego la relaci ´on inversa esta formada por los pares ordenados reciprocos de los pares ordenados deR

2.2.

Definiciones de funci ´on

DEFINICION´ 2.2 f es una funci ´on entre dos conjuntosAyBsi y solo sif, es una relaci ´on especial entreAyB de modo que todo elemento deAtiene un ´unico elemento correspon-diente enB

DEFINICION´ 2.3 Una funci ´on f es el conjunto de pares ordenados de tal forma que la primera componente no se repite

DEFINICION´ 2.4 SeanA , B ⊆ R. Una funci ´onf, definida enAcon valores enB, es toda

De acuerdo con este esquema tenemos que : f(a) = 2, f(b) = 3,f(c) = 2,f(d) = 3

Esto se lee : la imagen deaes 2, la imagen debes 3, etc,.

EJERCICIOS 2.1 Seah={(−2,4),(−1,1),(0,0),(1,1)}

1. Indicar sihes funci ´on o no

2. Indicar el dominio deh

3. Indicar el recorrido deh

4. Dar forma o regla de correspondencia como una ecuaci ´on que contenga los s´ımbolos h(x), x

2.3.

Propiedades eventuales de las funciones

En algunos problemas que aparecen en matem´aticas y otras ciencias nos encontramos que el dominio y el codominio tienen restricciones, de acuerdo a dichas restricciones las funciones se clasifican en :

1. Funci ´on inyectiva

Una funci ´onf :A→B es inyectiva si y solo si se satisface la siguiente propiedad:

f(a) = f(b)⇒(a) = (b)

2. Funci ´on epiyectiva

Una funci ´onf :A→B es epiyectiva si y solo si se satisface la siguiente propiedad:

∀b ∈B,∃a∈Atal quef(a) = b

3. Funci ´on biyectiva

Una funci ´onf :A→B, es biyectiva si y solo si: i)f es inyectiva

2.3. PROPIEDADES EVENTUALES DE LAS FUNCIONES

EJEMPLO2.6 SeanA=_R−n− 1 2

o

; B =_R−n− 1 2

o

;f :A→B, definida por

f(x) = x−3 2x+ 1.

Verificar que la funci ´on es: 1. inyectiva

2. epiyectiva

Soluci ´on.

Primero verificaremos si la funci ´on es inyectiva, para ello aplicamos la definici ´on de in-yectividad, esto es:

i) f(a) = f(b)⇒a =b

f(a) = a−3

2a+ 1 ; f(b) =

b−3 2b+ 1

igualando ambas expresiones se tiene:

a−3 2a+ 1 =

b−3 2b+ 1

(a−3)(2b+ 1) = (b−3)(2a+ 1)

2ab+a−6ab−3 = 2ab+b−6ab−3

agrupando terminos semejantes se tiene que :a=b, luego la funci ´on es inyectiva. En segundo lugar se verifica si la funci ´on es epiyectiva:

ii) b= a−3

2a+ 1 ⇒b(2a+ 1) =a−3 ⇒2ab−a=−3−b

⇒a(2b−1) = −3−b

⇒a= 3 +b 1−2b

⇒f 3 +b

1−2b

=

3+b

1−2b −3

2₁3+₋₂b_b+ 1

⇒f 3 +b

1−2b

=

3+b−3+6b

1−2b

6+2b+1−2b

1−2b

.

agrupando terminos semejantes y simplificando se encuentra que:

f(a) =b

luego la funci ´on es epiyectiva.

2.4.

Funci ´on inversa

Sea f : A → B, una funci ´on biyectiva. Se llama funci´on inversa de f a la funci ´on f−1 : B → A tal que a cada elemento b ∈ B, le hace corresponder el ´unico elemento a∈A, de tal manera quef(a) =b

EJEMPLO 2.7 SeanA = {2,4,6};B = {1,5,9}y f : A → B definida por f(x) = 2x−3, hallarf−1_{(x)Soluci ´on.}

Se observa que

f(2) = 2·2−3 = 1

f(4) = 2·4−3 = 5

f(6) = 2·6−3 = 9

debemos encontrar si es que existe una funci ´onf−1_{(x)tal que :}

f−1(1) = 2

f−1(5) = 4

f−1(9) = 6

para ello procedemos de la siguiente forma:

Seay = 2x−3, de esta expresi ´on despejamosxen funci ´on dey, lo que nos queda:

x= y+ 3 2

, haciendo el cambio de variables correspondiente nos entrega la expresi ´on que buscamos, esto es:

f−1(x) = x+ 3 2

Verificaci ´on de la expresi ´on obtenida:

f−1(1) = 1 + 3

2.5. FUNCION COMPUESTA´

f−1(5) = 5 + 3

2 = 4

f−1(9) = 9 + 3

2 = 6

lo que comprueba el resultado esperado

2.5.

Funci ´on compuesta

Seanf :A→B,g :B →C funciones. La funci ´ong◦f :A→C tal que

(g◦f)(x) =g(f(x))se llama funci ´on compuesta defyg. Graficamente esto es:

EJEMPLO2.8 Seanf(x) = 3x+ 2yg(x) = 5x2_{+ 4, hallar}

1. (f ◦g)(x)

2. (g◦f)(x)

Soluci ´on.

1.

(f◦g)(x) =f[g(x)]

=f(5x2_{+ 4)}

= 3(5x2_{+ 4) + 2}

2.

(g◦f)(x) =g[f(x)]

=g(3x+ 2)

= 5(3x+ 2)2_{+ 4}

= 5(9x2+ 12x+ 4) + 4 = 45x2+ 60x+ 24

Se observa que, en general,(f ◦g)(x)6= (g ◦f)(x)

EJERCICIOS 2.2

1. Considere la funci ´on biyectivaf : _R− {1} →_R− {2} tal que f(x) = 2x+ 3

x−1

deter-minef−1_(x)

2. Considere la funci ´onf :_R→_R;definida porf(x) =x2_{−2x encontrar:}

a) f(1) ; f(0) ; f(−2)

b) f(1−√3); f(2m) ; f(m+n) ; 2f(m+n2)

3. Considere la funci ´onf(t) =t2_{+t−6 ;t∈}

R determinar:

a) La imagen de−2

b) Las primagenes de 0

c) Las primagenes de -10

4. Determinar el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) =√4−x2

b) f(x) = x+ 1

x3_−9x

c) f(x) =√3 +x+√x−1

5. Seanf(x) = 2x2_{+ 5x−1,g(x) =−x}2_{+ 5x−3 hallar}

a) f(2) ; f(−1) ,f(−2),g1

2

b) f(f(1)) ; g(g(−2)) ; f(x)·g(x)

2.6. FUNCIONES REALES

6. Sip(x) = 3

x+ 1 ; q(x) =

b

x2 ; r(x) =

3x2

2 +x2 , si(p◦q) = r(x)encuentra el valor deb 7. Dadof(x) =ax+by(f ◦f◦f)(x) = 64x+ 21 encuentra los valores deayb

8. Sif(x) = 1

1−x ,hallarf(f(f(x)))

9. Sif(x−1) =x2 _{hallarf(x+ 1)}

10. Sif(x) = 2

3−x resolver paraxla ecuaci ´onf(1−x) = 2

11. Considere las funcionesf, gtales quef(x) = x2 _{, g(x) = ax+ 1, a > 0, con dominio} real apropiado para que ambas sean biyectivas, si (f−1 _◦g−1₎3

2

= 1

2 determine (g◦f)(−2)

12. Dadas las funciones en R: f(x) = 2x2−3x+myg(x) = 3x+ 1. Para que valor de

dem ∈_Rexiste un ´unicoRxtal que :(f ◦g)(x) = (g◦f)(x)

2.6.

Funciones reales

Las funciones vistas haste el momento en general se llaman”aplicaciones ”

El termino funci ´on corresponde al caso en queAyB son conjuntos num´ericos que es el caso de las funcionesf :_R →_R,llamadas funciones reales. Como estas pueden represen-tarse en el sistema cartesiano, resultan de gran utilidad a la hora de visualizar propiedades de las funciones tales como paridad, monoton´ıa, acotamiento, etc. Agreguemos tambien que una funci ´on puede venir dada por una tabla, una f ´ormula matem´atica, un gr´afico , etc. En una funci ´on distinguimos los siguientes elementos o caracter´ısticas:

1. Dominio de la funci ´on :Dom(f)={x∈_R/∃y ∈_Rtal que y =f(x)}

2. Recorrido de la funci ´on :Rec(f) ={y∈_R/∃x∈_Rtal que y =f(x)}

3. Ceros de la funci ´on:{x∈Dom(f)/f(x) = 0}

4. Gr´afico de la funci ´on:Graf(f) ={(x, f(x))/x∈Dom(f)}

5. f es una funci ´on par si:f(−x) =f(x)∀x,−x∈Dom(f)

7. f es creciente enA⇐⇒x1 < x2 =⇒f(x1)< f(x2),∀x1, x2 ∈A

8. f es decreciente enA⇐⇒x1 < x2 =⇒f(x1)> f(x2)∀x1, x2 ∈A

9. f es peri ´odica de per´ıodop∈_R− {0} ⇐⇒f(x+p) = f(x)∀x, x+p∈Dom(f)

Con esta informaci ´on analicemos algunas funciones de uso habitual.

2.6.1.

Funci ´on Valor absoluto

La funci ´onf :_R→_R, tal quef(x) = |x|=

(

x si x >0

−x si x <0

se llama funci ´on valor absoluto , su gr´afica es :

El dominio de la funci ´on esR

El recorrido de la funci ´on esR+∪0

Se observa que es una funci ´on par, ya que:f(−x) =| −x|=|x|=f(x) ∀x∈_R

SeaI1 =]− ∞,0[ ,I2 =]0,∞[, entonces:

a) La funci ´on valor absoluto es decreciente enI1

b) La funci ´on valor absoluto es creciente enI2

2.6. FUNCIONES REALES

2.6.2.

Funciones polinomiales

Son aquellas que responden a la forma general:

f(x) =anxn+an−1xn−1 +...+a0, an6= 0, n∈N

dondean, an−1, .., a0 son n ´umeros reales o complejos, llamados coeficientes.

Ejemp-los :

f(x) = 3x6_{+ 5x}4_{+ 2x es una funci ´on polinomial de grado 5} f(x) =√2x−5x2_{+ 2 es una funci ´on polkinomial de grado 2} f(x) = 5√x−x3 _{no es una funci ´on polinomial ya quen=} 1

2

El dominio de todas las funciones polinomiales es el conjunto de todos los reales. El recorrido de una funci ´on polinomial depende de n, si este es par o impar y del valor del coeficientean, esto es:

a) Si an > 0 y n es par, entonces el recorrido es el intervalo [m,∞[, siendo m el

m´ınimo valor de la funci ´on. Por ejemplo, conan = 1 ;n = 2se tiene la par´abola

y=x2_{, que satisface esta propiedad.m = 0}

b) Sian <0ynes impar, el recorrido es el intervalo]−∞, M], siendoM el m´aximo

valor de la funci ´on. Por ejemplo, con an = −1, n = 2 se tiene la par´abolay =

−x2, que satisface esta propiedad.M = 0

c) Si n es impar , entonces el recorrido es el intervalo ]− ∞,∞[. En este caso la funci ´on no tiene valor m´ınimo ni m´aximo. Por ejemplo con n = 3 se tiene la par´abolay=x3, que satisface esta propiedad.

Casos particulares de la funci ´on polinomial son la funci ´on constante, la lineal , la cuadr´atica.

2.6.3.

Funci ´on constante

La funci ´on f : _R → _R tal que f(x) = K se llama funci ´on constante, donde K ∈

R,∀x∈R. Sus caracter´ısticas son:

b) Rec (f) = K

c) Ceros de f =φ∨_R

d) Graf (f) = {(x, K)/x∈_R}

e) f es par ya quef(−x) = f(x) = K

f) f no es creciente ni decreciente

g) f peri ´odica de per´ıodo p ya quef(x+p) =f(x) =K

Geom´etricamente es una recta paralela al eje de lasx,esto es :

2.6.4.

Funci ´on lineal

La funci ´onf : _R → _R, tal quef(x) = ax+b, cona, b, constantes,a 6= 0∀x, a, b ∈ _R, sus caracter´ısticas son:

a) Domf =_R

b) Recf =_R

c) Ceros def =−a

b, ya quef(x) = 0⇒ax+b = 0⇒x=− b a

d) La funci ´on lineal no es par ni impar, ya que: i)f(−x) =−ax+b6=f(x) = ax+b

ii)f(−x) =−ax+b6=−f(x) = −ax−b

e) Sia >0⇒f es creciente, esto porque:

2.6. FUNCIONES REALES

Sia >0⇒f, es decreciente, esto porque:

Seanx1, x2 ∈R,x1 < x2, por demnostrar quef(x1)> f(x2) x1 < x2 ⇒ax1 > ax2 ⇒ax1+b > ax2+b⇒f(x1)> f(x2)

f) La funci ´on lineal no es peri ´odica.

g) Graff ={(x, y)/y =ax+b, x∈_R}

eso es:

2.6.5.

Funci ´on cuadr´atica

La funci ´on f : _R → _R, tal que f(x) = ax2 _{+bx+c con a, b, c constantes,a 6= 0 se} llama funci ´on cuadr´atica sus caracter´ısticas son:

a) Dom(f) =_R, ya que∀x∈_R,∃y=ax2_{+bx+c ∈}

R

b) Rec(f) ={y ∈_R/∃x∈_R tal quey=f(x)Aqu´ı debemos considerar dos casos:

1) Sia >0⇒ Recf =ny∈_R/y ≥c− b

2

4a

o

2) Sia <0⇒ Recf =ny∈_R/y ≤c− b

2

4a

o

Esto es:

y=ax2+bx+c⇒ax2+bx+ (c−y) = 0

ax2+ b

ax+ c−y

a

x2+ b

ax=− c−y

a completando cuadrados se tiene

x2+ b

ax+ b2

4a2 = b2

4a2 − c−y

a

x+ b 2a

2

= b

2_−4a(c−y)

4a2 , luego al despejarxse tiene:

x= −b±

p

b2_−4a(c−y)

2a analizando esta expresi ´on se tiene

Sib2 ≥4a(c−y) entonces se tiene que:

a >0⇒y≥c− b

2

4a

y a >0⇒y≤c− b

2

4a

c) Ceros def ={x∈_R/y = 0}

Deax2+bx+c= 0⇒x2+ b

ax+ c a = 0

⇒x+ b 2a

2

+ c

a = b2

4a2

⇒x+ b 2a

2

= b

2_−4ac

4a2

⇒x= −b± √

b2_−4ac

2a luego:

1) sib2−4ac <0, entonces ceros def =φ

2) sib2_{−4ac >0, entonces ceros def =}n−b−

√

b2_−4ac

2a ;

−b+√b2_−4ac

2a

o

d) La funci ´on cuadr´atica no es par ni impar

e) Consideremos la siguiente gr´afica

2.6. FUNCIONES REALES

;

2)

Sean I1 =

i

∞−_,− b

2a

h

;I2 =

i

− b 2a,∞

h

, entonces se prsentan los siguientes casos:

1) a >0⇒

(

i) f es decreciente en I1 ii) f es creciente en I2

2) a <0⇒

(

i) f es creciente en I1 ii) f es decreciente en I2

Observaciones respecto de la funci ´on cuadr´atica

Si −b−

√

b2_−4ac

2a ;

−b+√b2_−4ac

2a , son ceros de la funci ´on: f(x) =ax2 _{+bx+c a, b, c ∈}

R , a6= 0 entonces:

a) x1+x2 =− c a

b) f(x) = ax2_{+bx+c=a(x−x}

1)(x−x2)

c) Sia <0, entonces:f tiene un m´aximo enx=− b 2a

d) Sia >0, entoncesf tiene un m´ınimo enx=− b 2a

e) El n ´umero real 4ac−b 2

4a , es el valor m´aximo ´o m´ınimo dependiendo del coefi-cientea.

f) Al punto− b 2a , f

− b 2a

, se le llama v´ertice de la par´abola

2.6.6.

Transformaciones

se presentan en el siguiente esquema.

Gr´afica original: y=f(x)

Traslaci ´onkunidades a la derecha y=f(x−k)

Traslaci ´onkunidades a la izquierda y=f(x+k)

Traslaci ´onkunidades hacia abajo y=f(x)−k Traslaci ´onkunidades hacia arriba y=f(x) +k Reflexi ´on en el ejex y =−f(x)

EJEMPLO 2.9 Funci ´on original.y=x2

2.6. FUNCIONES REALES

2.6.7.

Funciones Racionales

Si f(x) y g(x) son polinomios, entonces la funci ´on h(x) = f(x)

g(x) g(x) 6= 0, se llama

funci ´on racional. Para efectos de graficar esta funci ´on se debe considerar la busque-da de ceros, sus indeterminaciones, las intersecciones con los ejes y un elemento im-portante lo costituyen las as´ıntotas.Estas son rectas que limitan las curvas, pero sin intersectarlas, para su determinaci ´on se analizan los numeradores y denominadores de la funci ´on, tanto en terminos dexcomo dey.

Las as´ıntotas verticales se obtienen en : f(x, y) = 0 ⇒ y = Nx

Dx

; si D(x1) = 0, , en-toncesx1, es una as´ıntota vertical.

Las as´ıntotas horizontales se obtienen en: f(x, y) = 0 ⇒ x = Ny

Dy

si ,Dy1 = 0, entoncesy1, es una as´ıntota horizontal.

EJEMPLO2.11 Seaf(x, y) =y− x−1

x−2 = 0

Despejandox, yrespectivamente se obtiene:

y = x−1

x−2 ⇒x= 2 , es una as´ıntota vertical

x= 2y−1

2.6. FUNCIONES REALES

2.6.8.

Funci ´on exponencial

Seaa >0, a6= 1. La funci ´onf :_R→_R+_{, tal quef(x) = a}x_{se llama funci ´on}

exponen-cial de basea.Para un mejor entendimiento de la funci ´on exponencial consideremos a = 2 esto es:f(x) = 2x _{yf(x) = 2}−x_{,lo que graficamente es:}

Como la base es mayor que la unidad a medida quexcrece, la funci ´on exponencial crece sin cota, no hay ceros , esto es , la curva no cruza al eje x.Six crece negativa-mente, entonces la curva se aproxima al eje x teniendolo como as´ıntota horizontal. Cuandox=0 la curva corta al ejeyen el punto (0,1).

De la gr´afica de la funci ´on exponencial se puede deducir que es biyectiva, esto quiere decir que la funci ´on exponencial admite inversa. Por otra parte si a > 1, la funci ´on exponencial es creciente, y si 0 < a < 1, entonces es decreciente, en cualquier caso ella admite inversa.

como se resuelve una ecuaci ´on exponencial

EJEMPLO 2.12

4x−3(x−1/2) = 3(x+1/2)−2(2x−1)

22x+ 22x·2−1 = 3x·31/2+ 3x·3−1/2

2x1 + 1 2

= 3x(31/2 + 3−1/2)

22x3 2

= 3x√4 3

4

3

x

=√2 3

3

22

(√3)2

x

=√2 3

3

2

√ 3

2x

=√2 3

3

x= 3 2

EJEMPLO 2.13

9x+1−3x = 6534

9x·9−3x = 6534

9·32x−3x−65345 = 0

usando inc ´ognita auxiliar3x _=ttenemos

9t2−t−6534 = 0

resolviendo la ecuaci ´on cuadr´atica se encuentra que:

t1 = 27 ; t2 =−

484 18

3x= 27 ; 3x =−484 18

2.6. FUNCIONES REALES

2.6.9.

Funci ´on logaritmo

Seaa >0,a6= 1, la funci ´onf :_R+ →_R, conf(x) = log_ax, se llama funci ´on logaritmo en baseaSe observa que como operaci ´on entre las formas exponencial y logar´ıtmica se tiene que:y=ax _⇔log

ay=x.

Las funciones exponencialf(x) =ax _{y logaritmog(x) = log}

axson inversas.

Demostraci ´on

Debemos probar que la funci ´on compuesta, en ambos sentidos, es la identidad. Sean f(x) =ax_{y g(x) = log}

ax, entonces:

(f ◦g)(x) =f[g(x)] = f(log_ax) = alogax _=x (g◦f)(x) =g[f(x)] = g(ax) = log_aax =x

Cuandoa = 10 la funci ´on logaritmo de base 10, se denomina logaritmo decimal, lo que se anota:

y= log₁₀x= logx

. Cuando a = ela funci ´on logaritmo de base e, se denomina logaritmo natural, lo que se anota:

y= log_ex= lnx .

Se observa su simetr´ıa respecto de la rectay =x

Propiedades dey =ex

a) Dominio:∀x∈_R

b) Recorrido:∀y >0

c) Es una funci ´on creciente

d) Es una funci ´on biun´ıvoca, esto es: Siex1 _=ex2 _entoncesx 1 =x2

e) 0< ex <1, parax <0

e0 = 1

ex _{>1 parax >0}

f) ex1_ex2 _=ex1+x2

g) e

x1 ex2 =e

x1−x2

h) (ex1₎x2 _=ex1·x2

i) elnx =x

j) Ecuaci ´on de la as´ıntota horizontaly= 0

Propiedades dey = lnx

a) Dominio∀x >0

b) RecorridoR

c) Es una funci ´on creciente

d) Es una funci ´on biunivoca, esto es : Silnx1 = lnx2 entoncesx1 =x2

e) lnx <0 para0< x <1 ln 1 = 0

lnx >0 parax >1

f) lnx1·x2 = lnx1+ lnx2

g) lnx1

x2

= lnx1 −lnx2

h) ln(x1)x2 =x2·lnx1