Estadistica

19 

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(1)

1: Al estudiar la regresión lineal entre los ingresos medios (Y en $) y el número de hijos por familia (X), se obtuvo la siguiente información:

´X =3, ´Y =700,Sx=0.5 ×

Covxy

Estimar los ingresos de las familias con 4 hijos, ¿a cuántos hijos por familia correspondería un ingreso estimado en $712?

SOLUCION:

Usaremos la notación ^y para representar un valor de Y calculado de la ecuación Y=a+bX cuando X es igual a ^x . Esto es. ^y=a+b ^x .

Calculo de los parámetros a y b Covxy

Sx2 =b , a= ´Y −b ´X Calculo del parámetro b

S ¿ 0.5 ×

Covxy¿2Covxy Sx2 = 1 0.25=4 ¿ Sx=0.5 ×

Covxy¿ b=4

Calculo del parámetro a

a= ´Y −b ´X a=700−4 × 3 a=688

Por lo tanto, la recta de regresión es: Y =688+4 X

Calculo de ingreso de familias con 4 hijos: Y =688+4 × 4 Y =$ 704

(2)

712=688+4 X X =6 hijos

2: Si n valores (x1, y1), … ,(xn, yn) de (x, y) tienen índice de correlación r, compruebe que la recta de regresión en las variables estandarizados

ZY y Zx cuyos valores son

Zxi= xi−´x sx , Zyi= yi− ´y sy , para i=1,2,…,n, es ZY =r × Zx SOLUCION: Ecuacion lineal → Y = a + bx

La recta pasa por (x , y) entonces: x=

xi

n y=

yi

n

Por ecuación punto pendiente de una recta tenemos: y− y =b ( x−x )luego dividimos entre Sy

(Y −Y ) Sy = b Sy(X −X ) Zy = b Sy(X −X)→ Zy=b Sx Sy (X −X) Sx =b Sx Sy Zx … ….(I )

Por otro lado: b = Cov xy / (Sx) y r = Cov xy / (Sx.Sy) Se obtienen lo siguiente:

b=Sx . Sy . r Sx . Sx =

Sy .r Sx

(3)

r=bSxSy reemplazando esta igualadad en I Rpta: Zy = r . Zx

3: En el estudio de la producción diaria (Y) de un bien y los años de servicio (x) de los empleados de la fábrica se usó una recta de regresión lineal simple aplicando una muestra de 4 empleados. Si producciones observadas fueron 10, 8, 6, 14 y las producciones estimadas respectivas resultaron: 10.8, 8.2, 5.6, 13.4, ¿Qué porcentaje de la varianza de la producción es explicada por la recta de regresión?

SOLUCION:

Para determinar la recta de regresión de mínimos cuadrados a partir de los datos, es decir para calcular a y b se dispone del cuadro:

X Y X*Y X 2 Y2 10 10.8 108 100 116.64 8 8.2 65.6 64 67.24 6 5.6 33.6 36 31.36 14 13.4 187.6 196 179.56 38 38 394.8 396 394.8 De donde se obtiene: n=4,

x=38,

y=38,

x y=394.8

x2=396,

y2=394.8 ´X =38 4 =9.5 ´Y = 38 4 =9.5 Una forma de calcular b es:

Sxy=

x y

n − ´X ´Y Sxy= 394.8

(4)

S2x=

x 2 n − ´X 2 S2x=396 4 −9.5 × 9.5=8.75 b=Covxy Sx 2 = 8.45 8.75=0.96

a= ´Y −b ´X a=9.5−0.96 × 9.5 a=0.38

Por lo tanto, la recta de regresión es: Y =0.38+0.96 X Calculamos la varianza y− ´y¿2 ¿ 10.8−9.5¿2 ¿ ¿

1 4 ¿ ¿

1 n ¿ S2y=¿ 0.965 *100 = 96.5%

4: con el fin de tener un modelo de regresión lineal entre ingresos mensuales y gastos de educación de las familias, se obtuvo un coeficiente de determinación del 90.25%, medias respectivas de $420 y $120, y desviaciones estándar respectivas de $10 y 7$. Con el modelo de regresión obtenido

a) ¿En cuánto se estima los gastos por educación de una familia cuyo ingreso mensual es de $300?

b) Si una familia estima su gasto por educación en $370, ¿cuánto debería ser su ingreso mensual?

c) Si una familia tiene un aumento de $50, ¿en cuánto se incrementaría la estimación de sus gastos en educación?

(5)

SOLUCION: Datos: ´X =420 , ´Y =120, Sx=10, Sy=7 Calculamos r r2=90.25 ÷ 100=0.9025;r =0.95 r= Covxy Sx× Sy =Covxy 10 ×7=0.95;Covxy=66.5 b=r ×Sy Sx b=0.95 × 7 10=0.665

a= ´Y −b ´X a=120−0.665 ×420 a=−159.30

Por lo tanto, la recta de regresión es: Y =−159.30+0.665 X Gasto mensual: Y =−159.30+0.665 X ;Y =−159.30+0.665 (300) ;Y =$ 40.2 Ingreso mensual: Y =−159.30+0.665 X ;370=−159.30+0.665 X ; X =$ 795.93 Incremento de gastos: Y =0+0.665 X ;Y =0+0.665(50) ;Y =33.25

5: (taller de regresión lineal simple). Se realizó un estudio estadístico para determinar un modelo de regresión lineal simple con el fin de predecir el monto de las ventas semanales de un producto en función de la demanda. De una muestra de montos de ventas (Y en cientos de soles) y demandas semanales X (en unidades del producto) resultaron las siguientes estadísticas:

(6)

´X =50 , ´Y =300, Sx=4.487, Sy=175, Covxy=765.6 a) Obtenga el modelo de regresión planteado

b) ¿quetanto porciento de la variabilidad de Y es explicada por la regresión? ¿Qué opina Ud. Sobre la bondad de ajuste del modelo a los datos de la muestra?

c) Si el modelo obtenido es el adecuado, pronostique el monto de venta para una semana que tenga una demanda de 60 und del producto.

d) ¿Cuánto fue la demanda en una semana donde el monto de venta llego a 1060.536?

e) ¿es la variabilidad de las ventas menor que la variabilidad de la demanda? SOLUCION: ´X =50, ´Y =300, Sx=4.487, Sy=175, Covxy=765.6 b=Covxy Sx2 y r = Covxy Sx× Sy ;b=r ×Sy Sx r= 765.6 4.487 × 175=0.975 ;b=0.975× 175 4.487=38.02 a= ´Y −b ´X a=300−38 ×50 a=−1600

Por lo tanto, la recta de regresión es: Y =−1600+38 X Calculamos la varianza r= 765.6 4.487 × 175=0.975 ;r 2=0.95 Pronostico Yest: Y =−1600+38 (60)=680 Demanda: 1060.536=−1600+38 X ; x=70.01

(7)

6: Al estudiar la relación entre el costos(X) y las utilidades (Y) en dólares de ciertos productos a partir de una muestra se obtuvo la siguiente información:

Sx=5 Sy=4 ´X=100 ´Y =50Y =−26+0.76 X

a) ¿Qué porcentaje de la varianza de las utilidades es explicada por la regresión de utilidades sobre costos?

b) ¿es la variabilidad conjunta mayor que 20?

c) ¿se confirma que la variabilidad de los costos es mayor que la variabilidad de las utilidades?

SOLUCION:

De la ecuación tenemos: Y =−26+0.76 X ; a=-26 y b=0.76 b=r ×Sy Sx ;0.76=r ×4 5;r=0.95 a) porcentaje de variabilidad r=0.95;r2 =0.9025 ×100=90.25 b) La variabilidad conjunta r= Covxy Sx× Sy ;0.95=Covxy 4 ×5 ;Covxy=19

7: Una compañía de alimentos maneja una cadena de tiendas al menudeo. Para medir la eficiencia en las tiendas se estudio la relación del numero de empleados (X) y el promedio del volumen de ventas mensuales (Y) en cientos de dólares para todas las tiendas durante el año pasado. La grafica de los datos sugiere una relación lineal entre las variables. Se tienen la siguiente información.

2 2

100, 600, 1600, 13600, 5200, 37700

n

X

Y

XY

X

Y

a) Obtenga el modelo de regresión lineal simple para predecir las ventas a partir del numero de empleados. ¿en cuanto se estiman las ventas para una tienda de 8 empleados?

b) ¿Que porcentaje de la varianza de las ventas es explicada por la variabilidad del numero de empleados?

(8)

c) ¿Cuántos empleados tiene la tienda cuya venta promedio se estima en $1,100?

Solución

a) la ecuación de la regresión lineal esta dado por y a bx  Donde:

 

2 2 n xy x y b n x x a y bx       

 

Reemplazando datos hallamos b

  

 

 

  

 

2 100 13600 600 1600 100 5200 600 2.5 b b     Luego hallamos a 1600 600 2.5 100 100 1 a y bx a a           

Reemplazando los valores de a y b tenemos la ecuación de la regresión lineal 1 2.5

y  x

Luego: la estimación de ventas de 8 empleados será

 

1 2.5 1 2.5 8 21$ y x y y     

(9)

      

 

 

2 2 2 2 2 2 2 13600 100 6 16 5200 100 6 37700 100 16 0.909 0.826 xy nx y x y r x nx y n y r r r             

 

El porcentaje de varianza es de 82.6% c) el numero de empleados será

1 2.5 11 1 2.5 4 y x x x      

8: (taller de regresión lineal simple). En una muestra de 10 adultos se registraron las siguientes mediciones de edad en años (X) y la hipertensión arterial (HTA) (Y):

X 38 42 43 46 48 50 54 60 65 67

Y 120 124 135 138 135 140 143 150 160 170

a) Indique la tendencia y obtenga la línea recta de regresión de la HTA en función de la edad por el método de minimos cuadrados. ¿Qué opina usted de correlacion entre dos variables?

b) Compruebe la idoniedad del modelo lineal de regresión. Si el modelo es apropiado pronostique la HTA de un adulto de 70 años. c) De seguir la tendencia, ¿Cuánto se espera aumente la HTA para

el próximo año? Solución

De la tabla hallamos los siguientes valores

2 2

10, 513, 1415, 73913, 27207, 202319

n

X

Y

XY

X

Y

a) la ecuación de la recta de regresión de la HTA esta dado por y a bx 

(10)

Donde:

 

2 2 n xy x y b n x x a y bx       

 

Reemplazando datos hallamos b

  

 

 

  

 

10 73913 513 1415 10 27207 263169 1.4869 b b     Luego hallamos a 1415 513 2.5 100 100 65.222 a y bx a a           

Reemplazando los valores de a y b tenemos la ecuación de la regresión lineal 65.222 1.4869

y  x

Luego, calculamos el coeficiente de correlacion

   

 

2 2 2 2 2 2 73913 10 51.3 141.5 27207 10 51.3 202319 10 141.5 0.96885 0 xy nx y x y r x nx y n y r r            

 

Se dice que hay una correlacion directa positiva en ambas variables aumentan(disminuyen) simultaneamente

2 0.93867

r

 

Concluimos que se realizo un buen ajuste y es mas útil la recta de regresión como instrumento de prediccion

(11)

 

65.222 1.4869 65.222 1.4869 70 169.305 y x y y     

c) pronosticamos la HTA del próximo año

 

65.222 1.4869 65.222 1.4869 71 170.792 y x y y     

Entonces el aumento de la HTA es 170.792 169.305

1.487

  

 

9: Un editor tomo una muestra de 7 libros anotando el precio y el numero de paginas respectivo, obteniendo los siguientes datos:

No. De paginas 630 550 400 250 370 320 610 Precio ($) 10 8 7 4 6 6 9

a) determine una función lineal entre el precio y el número de páginas con el fin de predecir precios ¿ que porcentaje de la varianza total de precios se explica por esta función?.

b) ¿Estimar el precio de un libro de 300 páginas. Si este libro se le incrementa 20 páginas en una segunda edición, ¡en cuanto se incrementara su precio?

c) ¿Cuántas paginas debería tener un libro cuyo precio se estima en $12.277

Solución

De la tabla hallamos los siguientes valores

2 2

7, 3130, 50, 24130, 1533300, 382

(12)

a) la ecuación de la recta de regresión para predecir precios esta dado por y a bx  Donde:

 

2 2 n xy x y b n x x a y bx       

 

Reemplazando datos hallamos b

  

 

  

  

7 15333007 24130

 

3130 509796900

0.0133 b b     Luego hallamos a 50 3130 0.0133 7 7 1.2 a y bx a a           

Reemplazando los valores de a y b tenemos la ecuación de la regresión lineal 1.2 0.0133

y  x

Luego, calculamos el coeficiente de correlacion

   

 

 

 

2 2 2 2 2 2 2 24130 7 44.71 7.14 1533300 7 44.71 382 7 7.14 0.945 94.5% xy nx y x y r x nx y n y r r r             

 

(13)

b) estimamos el precio del libro de 300 paginas

1.2 0.0133 1.2 0.0133 300 5.19$ y x y y     

c) el numero de paginas sera 1.2 0.0133 1.2 0.0133 832.33 833 y x y x y paginas      

10: Una muestra de 5 varones adultos de quienes se observaron las estaturas (X en pies, pulgadas) y los pesos (Y en libras)ha dado los siguientes resultados

X 5’1” 5’2” 5’3” 5’4” 5’5”

Y 125 130 140 145 160

a) realice una regresión lineal y utilice los datos para verficar que la varianza total de Y es igual a la varianza residual mas la varianza explicada por la recta de regresión

b) usando la descripción de la varianza calcule

2

r

e interprete el resultado

Solución

12. un fabricante quiere obtener un modelo de regresión lineal simple entre la edad en años (X) de un tipo de maquinas que vende para producir un bien y el numero de artículos (Y) producidos. A partir de la muestra de la tabla siguiente:

a) obtenga la recta re regresión y realice la predicción de la producción para 4, 7 y 8 años

(14)

b) ¿en cuantos años aproximadamente las maquinas dejaran de producir por edad?

c) Si realmente en cada maquina de la muestra produce 10 artículos menos determinar la recta de regresión ¿Cuánto es el porcentaje de la varianza explicada por la regresión de la producción?

X Y 2 95 3 7,.8 0 4 …. 5 75 6 60 7 8 9 45,5 0 10 25 Solución

De la tabla hallamos los siguientes valores

2 2

6, 35, 371.3, 1796.9, 137863.69, 25957.89

n

X

Y

XY

X

Y

a) la ecuación de la recta de regresión para predecir precios esta dado por y a bx  Donde:

 

2 2 n xy x y b n x x a y bx       

 

(15)

  

   

  

 

6 1796.9 35 371.3 6 225 1225 7.259 b b      Luego hallamos a 35 371.3 7.259 6 6 455.04 a y bx a a           

Reemplazando los valores de a y b tenemos la ecuación de la regresión lineal 455.04 7.259

y  x

12: sea Y el índice de precion al consumidor, tomando como base al año 2000 (es decir 2000=100). Para los datos que siguen:

a) obtenga la recta de minimos cuadrados que se ajuste a los datos. b) Realice la predicción del índice de precios para el año 2008 y

compararlo con el valor verdadero (144.4). ¿en que año podemos esperar que el índice de precios sea 150.57, suponiendo que las tendencias presentes continúen?

Solución

De la tabla hallamos los siguientes valores

2 2

7, 14028, 841.4, 1686287.2, 28112140, 101670.54

n

X

Y

XY

X

Y

a) la ecuación de la recta de regresión para predecir precios esta dado por

(16)

Donde:

 

2 2 n xy x y b n x x a y bx       

 

Reemplazando datos hallamos b

  

 

 

  

7 281121407 110.1

 

14028 841.4196784784

4.3429 b b     Luego hallamos a 841.4 14028 4.3429 7 7 8582.97 a y bx a a            

Reemplazando los valores de a y b tenemos la ecuación de la regresión lineal 8582.97 4.3429

y   x

b) pronosticamos los beneficios para un gasto de 5%

8582.97 4.3429 8582.97 4.3429 150.57 ( ) 2010.99 2011 y x y y año        

13. los porcentajes en gastos de publicidad y los porcentajes de beneficios netos de ventas en una muestra de 9 negocios de pequeños comerciantes es como sigue:

a) Halle la ecuación de regresión lineal simpe para predecir beneficios netos.

(17)

b) ¿Es idóneo la recta de regresión propuesto?. Si lo es, pronostique el beneficio para un negocio que gasta 5% en publicidad.

Solución

De la tabla hallamos los siguientes valores

2 2

9, 22.2, 40.8, 110.1, 61.92, 197.98

n

X

Y

XY

X

Y

a)

la ecuación de la recta de regresión para predecir precios esta dado por y a bx  Donde:

 

2 2 n xy x y b n x x a y bx       

 

Reemplazando datos hallamos b

  

 

 

  

 

9 110.1 22.2 40.8 9 61.92 492.84 1.3212 b b     Luego hallamos a 40.8 22.2 1.3212 9 9 1.2744 a y bx a a           

Reemplazando los valores de a y b tenemos la ecuación de la regresión lineal 1.2744 1.3212

y  x

(18)

 

1.2744 1.3212 1.2744 1.3212 5 7.88 y x y y     

(19)

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CURSO : ESTADISTICA

TEMA : TRABAJO ENCARGADO

SEMESTRE : 3ERO “B”

DE : CHAYÑA SANDOVAL

JEHYSON ARNOL (Cod. 130359)

A : ING. NESTOR TIPULA QUISPE

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