Entropía y la SEGUNDA LEY DE LA Termodinámica
9.1 INTRODUCCIÓN
En el capítulo anterior se estudió la primera ley de la termodinámica la cual establece que la energía siempre se conserva. Sin embargo, esta ley no explica la dirección de La energía solar se concentra y se recoge individualmente para producir electricidad mediante estos heliostatos que están ensayando en el Sandia National Laboratory (Estados Unidos)
muchos procesos termodinámicos. Por ejemplo, cuando un bloque de material es lanzado con cierta energía cinética inicial sobre una superficie rugosa, él deslizará hasta cierta distancia y finalmente se detiene, en éste caso la energía mecánica se convierte en energía interna del bloque y la superficie (se calientan). Por el contrario, el proceso inverso nunca sucede. Es decir, la energía interna del bloque y la superficie nunca se convierte en energía cinética que haga desliza al bloque sobre la superficie mientras la superficie y el bloque se enfrían. No obstante éste fenómeno no violaría la primera ley ni ninguna otra ley física.
La direccionalidad de un proceso termodinámico es tema de la segunda ley de la termodinámica. Enunciada de forma simple afirma que es fácil convertir trabajo o energía interna de un sistema completamente en calor sin ningún otro cambio, pero es imposible extrae calor o energía térmica de un sistema y convertirlo completamente en trabajo mecánico sin ningún otro cambio adicional. Esta ley también establece limitaciones sobre la eficiencia de una máquina o planta generadora de potencia, así como en el aporte de energía mínima necesaria para operar un refrigerador.
Por otro lado, la segunda ley de la termodinámica se puede expresar en términos de la entropía, la cual expresa el grado de desorden de un sistema. La noción de la entropía ayuda a explicar el porqué la tinta mezclada con agua no se separan espontáneamente y el porqué una gran cantidad de procesos al parecer posibles nunca ocurren.
9.2 PROCESOS REVERSIBLES E IRREVERSIBLES.
Es sabido que cuando se ponen en contacto dos cuerpos a diferentes temperaturas fluye calor del cuerpo más caliente hacia el más frío hasta que alcancen la misma temperatura. Sin embargo el proceso inverso nunca sucede espontáneamente. Otro ejemplo es el movimiento de un cuerpo lanzado con una velocidad inicial sobre una superficie rugosa, éste se deslizará hasta que finalmente se detiene, una vez más el proceso inverso nunca ha sido observado. A estos procesos se les llama procesos irreversibles. Entonces se dice que un proceso es irreversible si el sistema y su entorno no pueden regresare a su estado inicial.
A pesar de la dirección preferida por un conjunto de procesos naturales, se puede imaginar un tipo de proceso idealizado denominado reversible. En este proceso, el sistema siempre está en equilibrio termodinámico dentro de sí mismo y con su entorno. Cualquier cambio de estado que ocurra podrá invertirse modificando infinitesimalmente las condiciones del sistema. Por ejemplo podemos analizar la compresión cuasiestática de un gas encerrado en un cilindro como se muestra en la figura 9.. La presión, el volumen y la temperatura se encuentran definidos completamente. El proceso es isotérmico dejando que la energía fluya lentamente desde la fuente térmica hacia el gas. Cada vez que se agrega un grano de arena al pistón el volumen disminuye un poco mientras que la presión aumenta ligeramente. Al agregar la arena provoca un cambio a un nuevo estado de equilibrio. El proceso puede invertirse si se extrae sucesivamente granos de arena.
Figura 9.1 Compresión isotérmica de un gas en el interior de cilindro se logra dejando caer lentamente granos de arena sobre el émbolo.
Debido a que un proceso reversible se expresa como una sucesión de estados de equilibrio dicho proceso puede representarse mediante una línea en el diagrama p-V como se muestra en la figura 9.2. Por el contrario, un proceso irreversible es aquel que pasa de un estado inicial a otro final a través de una serie de estados de no equilibrio. Por tanto, un proceso reversible se desarrolla cuasiestáticamente y en éstos no puede haber procesos disipativos que produzcan calor. Tampoco deben existir otros procesos que puedan perturbar el equilibrio, como la conducción de calor debido a la diferencia de temperaturas. En general es muy complicado eliminar por completo estos efectos por ello no es de sorprenderse que los procesos que ocurren en la naturaleza son irreversibles. Sin embargo bajo procedimientos cuidadosamente controlados se puede obtener procesos reversibles.
9.3 MAQUINAS TÉRMICAS
9.3.1. Máquina térmica.
Una máquina térmica es un dispositivo que transforma energía térmica en otras formas útiles de energía, como la energía eléctrica y/o mecánica. De manera explícita, una máquina térmica es un dispositivo que hace que una sustancia de trabajo recorra un proceso cíclico durante el cual: i) se absorbe calor de una fuente a una temperatura relativamente alta, ii) la maquina realiza trabajo mecánico y iii) desecha o rechaza algo de calor a una fuente a temperatura más baja.
Por ejemplo, en una máquina de vapor típica (figura 9.2), se calienta agua a una presión muy elevada (varios cientos de atmósferas) hasta que se vaporiza dando vapor de agua a alta temperatura (del orden de 500°C), el vapor se expansiona contra un pistón realizando trabajo. El vapor escapa después a temperatura mucho menor y se enfría aún más hasta que se condensa. El agua se bombea y se introduce de nuevo en la caldera donde se calienta nuevamente.
453 Fuente de calor
Figura 9.2 Esquema de una máquina de vapor
En un motor de combustión interna utilizado en los automóviles (figura 9.3). Estando cerrada la válvula de escape, entra en la cámara de combustión una mezcla de vapor de gasolina y aire según va descendiendo el pistón durante el proceso de admisión. La mezcla se comprime a continuación y al final entra en ignición debido a una chispa que se produce en la bujía. Entonces los gases calientes se expansionan empujando el pistón y realizando trabajo. Luego se expulsan los gases a través de la válvula de escape y el ciclo se repite
Figura 9.3 Esquema del motor de combustión interna.
Sustancia de trabajo. Es aquella cantidad de materia dentro de la máquina que
experimenta entrada y salida de energía térmica, expansión o compresión y a veces cambios de fase. En los motores de combustión interna la sustancia de trabajo es una mezcla de aire y combustible; en una turbina de vapor es el agua.
Foco térmico caliente. Representa la fuente de calor; puede dar a la sustancia de trabajo grandes cantidades de calor a temperatura constante TH sin cambiar su propia temperatura.
Foco térmico frio. Es aquel que absorbe grandes cantidades de calor desechado por la
máquina a temperatura constante mucho menor TC. 454
En la operación de cualquier máquina térmica, se extrae una cierta cantidad de calor del foco a alta temperatura, se hace algún trabajo mecánico y se libera otra cantidad de calor a un depósito a baja temperatura. Esta situación puede representarse esquemáticamente en la forma mostrada en la figura 9.4. La máquina representada por un cuadrado absorbe cierta cantidad de calor QH tomado del foco caliente. Hace un trabajo W y finalmente libera calor QC a la fuente de temperatura más baja.
Figura 9.4 Representación esquemática de una máquina térmica.
Debido a que la sustancia de trabajo se lleva a través de un ciclo, su energía interna inicial y final es la misma es decir ΔU = 0. Entonces de acuerdo a la primera ley de la termodinámica se observa que
0 (9.1) U Q W Q W Q W
La ecuación (9.1) expresa que el trabajo neto W realizado por la máquina es igual al calor neto que fluye hacia la misma
De la figura 9.4 puede observarse que N
Q QH QC
, entonces el trabajo será (9.2)
H C
W Q Q
Las cantidades QH y QC se consideran positivas. Si el sistema es un gas el trabajo neto durante un ciclo el trabajo será igual al área encerrada por la curva que representa el ciclo en un diagrama p-V.
9.3.2 Eficiencia térmica.
La eficiencia térmica de una máquina denotada por ε se define como el cociente entre el trabajo neto realizado por la máquina y el calor absorbido del foco térmico caliente durante un ciclo.
1 H C C H H H Q Q Q W Q Q Q (9.3)
Según la primera ley de la termodinámica, la eficiencia puede ir de 0 a 1. Cuando la eficiencia es 1 (100%), toda la energía interna que se toma del depósito caliente se convierte en trabajo mecánico, esto coincide con la conservación de la energía que es la primera ley. Sin embargo como veremos a continuación según la segunda ley de la termodinámica es imposible alcanzar una eficiencia del 100%. En la práctica por ejemplo en un motor de automóvil solo se alcanza el 20% mientras que en un motor diesel se alcanza eficiencia en el rango de 35% a 40%.
9.4 REFRIGERADORES.
Un refrigerador es esencialmente una máquina de calor operando en sentido inverso. En este caso hay que realizar trabajo sobre el refrigerador para extraer calor de un foco frio y transferirlo a un foco caliente. El la figura 9.5 se muestra una representación esquemática de un refrigerador. El refrigerador necesita de una entrada neta de trabajo mecánico. Si se usa la convención de signos para W y Q. En este caso QC es positivo y QH y W son negativos. Por tanto de acuerdo a la primera ley de la termodinámica se tiene 0 H C H C Q Q W Q Q W
O bien como QH y W son negativos, se tiene
(9.4)
H C
Q Q W
Desde un punto de vista económico, el mejor refrigerador es aquel que saca el máximo calor
|
QC| del interior del refrigerador con el menor gasto de trabajo mecánico|W| . Por tanto, la relación pertinente
|
QC||W| ; cuanto mayor sea mejor será el
refrigerador. Esta relación se le llama coeficiente de eficiencia (η) y esta dado por:
(9.5) C C H C Q Q W Q Q 456
Cuanto mayor es el coeficiente de eficiencia, mejor es el refrigerador. Los refrigeradores ordinarios tienen eficiencias del orden de 5 a 6 aproximadamente.
Figura 9.5 Representación esquemática de un refrigerador.
457 Ejemplo 9.1
a) Determine la eficiencia de una máquina que usa 2000 J de calor durante la fase de combustión y pierde 1500 J por escape y por fricción. (b) Si otra máquina tiene una eficiencia de 20% y pierde 3000 J de calor por fricción, determine el trabajo que realiza.
Solución
Parte (a) La eficiencia de una máquina está dada por la ecuación 1500 5 1 1 2000 20 25% C H Q J Q J
Parte (b). Usando la definición de eficiencia se pude escribir 1 3000 1 3750 1 1 0, 2 C H H C C H H Q W Q Q Q Q J Q Q
El trabajo se determina en la forma
0, 2(3750) 750 H H W W Q Q W J
458 Ejemplo 9.2
Un motor de gasolina recibe 8000 J de calor y produce 2000 J de trabajo por ciclo. El calor proviene de quemar gasolina con LC = 4,6.104 J/g. (a) determine la eficiencia de la máquina, (b) ¿Cuánto calor se desecha en cada ciclo?. (c) ¿Qué masa de gasolina se quema en cada ciclo?. (d) Si el motor opera a 80 ciclos/s ¿Cuál es su potencia de salida en watts y en hp
Solución
Parte (a) La eficiencia se determina a partir de la ecuación 2000 2 1 1 8000 8 25% C H Q J Q J
Parte (b). De la definición de máquina térmica se obtiene
8000 2000 6000 H C C H C Q W Q Q Q W J J Q J
Parte (c). La masa de gasolina quemada en cada ciclo se determina a partir de la ecuación 4 8000 4, 6.10 / 0,174 H gas C H gas C gas Q m L Q J m L J g m g
Parte (d). La potencia P de la máquina se determina multiplicando el trabajo por cicclo por el número de ciclos que tabaja la máquina, esto es
2000 /
80 /
160 160000 (1 / 746 ) 214 P J ciclo ciclos s P kW P W hp W P hp Ejemplo 9.3.Un refrigerador tiene un coeficiente de eficacia de 2,2. Durante un ciclo, absorbe 3.104 J del foco frio . (a) ¿Cuánta energía mecánica se requiere en cada ciclo para operar el refrigerador?. (b) Durante cada ciclo, ¿cuánto calor se desecha al foco caliente.
9.5 LA SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICA.
En esta sección se presentara dos enunciados equivalentes de la segunda ley de la termodinámica, útiles para comprender los procesos de conversión de calor en energía mecánica.
Forma de Kelvin-Planck. Es imposible construir una máquina cíclica cuyo único efecto sea convertir la energía térmica de un cuerpo a determinada temperatura, en una cantidad equivalente de trabajo mecánico.
Esto es equivalente a afirmar que es imposible construir una máquina de movimiento perpetuo de segunda clase, es decir una máquina que trabajando cíclicamente convierta todo el calor absorbido en trabajo. La figura 9.6, muestra la máquina “perfecta” que según la segunda ley es imposible construirla.
459
Solución
Parte (a) De la definición de coeficiente de eficacia de un refrigerador se tiene 4 3.10 2, 2 13636 Rta C C C H C Q Q Q J W Q Q W W W J
Parte (b) Calor desechado al foco caliente
4 4 4 3.10 2, 2 3.10 4,36.10 Rta C H C H H Q Q Q Q Q J
Figura 9.6 Representación esquemática de la máquina “perfecta”. Es imposible construir esta máquina pues viola la segunda ley de la termodinámica. Enunciado de Clausius. Es imposible construir una máquina cíclica que no tenga otro efecto que transferir calor continuamente de un foco frio a otro que se encuentra a una temperatura más elevada.
En términos de más sencillos, ese enunciado dice que el calor no puede fluir
espontáneamente de un foco frio hacia otro caliente. En efecto este enunciado
gobierna la dirección del flujo de calor entre dos sistemas a diferentes temperaturas. El calor sólo fluirá del sistema frio hacia el más caliente sólo si se hace trabajo sobre el sistema
Figura 9.7 Diagrama esquemático de un refrigerador “ideal “. Esta construcción es imposible ya que contradice a la segunda ley.
9.6 MÁQUINA DE CARNOT.
Se ha visto anteriormente que, de acuerdo a la segunda ley de la termodinámica, es imposible que una máquina que trabaja cíclicamente entre dos focos térmicos tenga una eficiencia del 100%. Pues entonces cave la siguiente pregunta ¿Cuánta eficiencia puede tener una máquina de calor que trabaja entre dos temperaturas TH y TC?. El ingeniero francés Sadi Carnot (1796-1832) contestó esta pregunta inventando en 1824 una máquina idealizada que posee una eficiencia concordante con la segunda ley. El ciclo de funcionamiento se llama ciclo de Carnot. Carnot dedujo que dos máquinas que trabajan cíclicamente entre dos mismos focos térmicos tienen la misma eficiencia y que no existe máquina alguna que tenga mayor eficiencia que la máquina de Carnot. Esta conclusión se conoce como Teorema de Carnot enunciado en la forma.
Ninguna máquina térmica que trabaje entre dos focos térmicos dados puede tener una eficiencia mayor que una máquina reversible que trabaje entre los mismos focos.
Una máquina térmica reversible que trabaje entre dos focos térmicos se denomina máquina de Carnot y el ciclo correspondiente Ciclo de Canot.
Las condiciones necesarias para que el proceso sea reversible son:
1. No debe realizarse trabajo por rozamiento, fuerzas viscosas u otras fuerzas disipativas que generan calor.
2. No puede existir conducción de calor debido a una diferencia de temperatura finita.
3. El proceso debe ser cuasi estático, de manera que el sistema se encuentre en un estado de equilibrio (o infinitesimalmente cerca de un estado de equilibrio).
Todo proceso que no cumpla con las condiciones anteriores es irreversible.
A continuación presentamos el ciclo de Carnot, el cual consta de dos procesos isotérmicos y dos adiabáticos, todos reversibles. La figura 9.8 muestra el ciclo de Carnot el cual emplea como sustancia de trabajo a un gas ideal en un cilindro con pistón y consta de cuatro etapas.
Figura 9.8. Ciclo de Carnot el cual consta de dos isotermas a→b y c→d y de dos adiabáticas b→c y d→a
En la figura 9.10 se muestra el diagrama p-V para el ciclo de Carnot
462 QH
TH
Figura 9.10 Diagrama p-V para el ciclo de Carnot.
Etapa 1. El gas se encuentra en un estado de equilibrio inicial representado por
p V T1, ,1 H
, punto a de la figura 9.10. Cocamos el cilindro en una fuente de calor a la temperatura TH y se deja que el gas se dilate lentamente hasta
p V T2, ,2 H
, punto b del diagrama p-V. Durante el proceso el gas absorbe calor QH por conducción a través de la base. La dilatación es isotérmica a una temperatura TH y el gas hace trabajo al levantar el pistón y su carga. Etapa 2. Coloquemos ahora el cilindro en la base no conductora y dejemos que el gas
se dilate lentamente hasta el punto c
p V T3, ,3 C
. Este proceso es adiabático porque no existe flujo de calor del ni hacia el sistema. El gas hace trabajo sobre el émbolo y su temperatura desciende hasta TC.
Etapa 3 Coloquemos ahora el cilindro en la fuente de calor TC (más frio) y se comprime lentamente al gas hasta el punto d. Durante este proceso hay un flujo de calor QC del gas hacia la fuente térmica a través de la base. La
compresión es isotérmica a una temperatura TC y el pistón más la carga hacen trabajo sobre el sistema.
Etapa 4 Ahora se coloca el cilindro sobre una base aislante y se comprime el gas lentamente hasta las condiciones iníciales, punto a
p V T1, ,1 H
. La compresión es adiabática ya que no existe flujo de calor del o hacia el sistema. Se hace trabajo sobre el gas y su temperatura se eleva hasta TH. El trabajo neto realizado por el gas durante el ciclo está representado por el área de la región sombreada de la figura 9.10. Para determinar el rendimiento del ciclo, calculemos el calor absorbido del foco caliente y el que desecha al foco frio. Para ello, consideremos el proceso isotérmico a→b. Debido a que en un proceso isotérmico no hay variación de la energía interna, el trabajo realizado por el gas es igual al calor absorbido del foco caliente. Entonces se tiene
2 1 2 1 ln (a) V H H V H H nRT Q W dV V V Q nRT V
En forma análoga, el calor cedido al foco frio es igual al trabajo realizado sobre el gas 463
durante la compresión isotérmica a la temperatura TC desde el estado c hasta el estado
d . Este trabajo está dado por
4 3 4 3 ln (b) V C C V C C nRT Q W dV V V Q nRT V
Debido a que V3es mayor que V4 la cantidad de calor es negativo. El valor del calor cedido es 3 4 ln (c) C C V Q nRT V
La razón entre estas cantidades de calor es
3 4 2 1 ln (d) ln C C H H V T Q V Q V T V
Los volúmenes V1, V2, V3 y V4 se relacionan mediante la ecuación para un proceso adiabático cuasiestático
1 1
2 3 (e)
H C
T V T V
Análogamente, en el caso de la compresión adiabática d→a se tiene
1 1
1 4 (f)
H C
T V T V
Dividendo ambas ecuaciones resulta
1 1 3 2 1 4 3 2 4 1 (g) V V V V V V V V
Remplazando la ecuación (g) en (d), se tiene que
(h) C C H H Q T Q T 464
Por lo tanto, el rendimiento de la máquina de Carnot será 1 C 1 C C H C Q T Q T (9.6)
La ecuación (9.6) es válida para cualquier máquina reversible que trabaje entre dos focos térmicos cutas temperaturas son TH y TC. Así mismo, esta expresión nos da el mayor rendimiento que se puede alcanzar por cualquier máquina que trabaje entre estas temperaturas. Debe observarse además que ninguna máquina puede tener mayor eficiencia que la máquina de Carnot, debido a que se violaría la segunda ley de la termodinámica.
Debido a que cada paso del ciclo de Carnot es reversible se puede invertir, todo el ciclo convirtiendo la máquina en un refrigerador. Entonces el coeficiente de eficiencia del refrigerador será
1 (9.7) C C H carnot H C C H C carnot H C Q Q Q Q Q Q Q T T T
9.7 LA ESCALA DE TEMPERATURAS KELVIN
En el capítulo 6 se habló de la necesidad de contar con una escala que no dependa de las propiedades del material. Ahora podemos utilizar el ciclo de Carnot para definir tal escala. El rendimiento de una máquina de calor que opera cíclicamente entre dos focos térmicos a temperaturas TH y TC está dado por la ecuación
1 C 1 C C H H Q T Q T
Por lo tanto la relación
C H
Q Q
es la misma para las máquinas de Carnot que operan entre dos temperaturas TH y TC. Kelvin propuso que, por definición, la relación
C H
T T
fuera igual a la magnitud de
C H
Q Q
de las cantidades de calor cedidas y absorbidas. (9.8) C C H H Q T T Q
Esto es, dos temperaturas en esta escala guardan relación la misma relación que las 465
cantidades de calor cedidas y absorbidas, respectivamente por una máquina de Carnot que trabaja entre éstas temperaturas. Esta escala se denomina escala de temperaturas
Kelvin
Para completar la definición de la escala de temperaturas Kelvin asignamos el valor de 273,16 K a la temperatura del punto triple del agua. Por tanto,
273,16 tr
T K
, entonces para cualquier máquina que trabaje entre depósitos a temperaturas T y Ttr se tiene 273.16 tr tr tr T Q Q T K T Q Q
Bajo esta circunstancia el rendimiento de una máquina queda escrito en la forma
(9.10) H C H T T T
El punto cero de la escala kelvin se denomina cero absoluto y se puede interpretar a nivel molecular como: en el cero absoluto el sistema tiene su mínima energía interna total posible. Sin embargo, a causa de los efectos cuánticos no es verdad que en T = 0 cese todo el movimiento molecular. Existen razones teóricas que indican que es imposible alcanzar el cero absoluto experimentalmente aun cuando se han alcanzado temperaturas del orden de 10-7 K. Cuanto más nos acercamos al cero absoluto más difícil es acercarse más. Un enunciado de la tercera ley de la termodinámica indica que es imposible alcanzar el cero absoluto en un número finito de pasos termodinámicos.
466 Ejemplo 9.4
Una máquina de Carnot trabaja entre dos focos térmicos a temperaturas TH = 300 K y TC = 200 K. (a) ¿Cuál es el rendimiento?. (b) Si absorbe 100 J del foco caliente durante cada ciclo, ¿cuánto trabajo realiza?. (c) ¿Cuánto calor cede en cada ciclo?. (d) ¿Cuál sería el coeficiente de eficacia si trabajase como un refrigerador entre estos mismos focos térmicos?
467
Solución
Parte (a) Como se trata de una máquina de Carnot, la eficiencia se determina a partir de la ecuación 200 1 1 1 300 33% C C C H C C Q T K Q T K
Parte (b) Para calcular el trabajo se usa la definición de eficiencia
1 100 3 33,3 H H W W Q J Q W J Parte (c) El calor cedido se determina a partir de la ecuación
100 33,3 66, 7 H C C H C Q W Q Q Q W J J Q J
Pate (d) Si esta máquina trabajase como refrigerador su coeficiente de eficacia será.
200 300 200 2 C carnot H C carnot T K T T K K Ejemplo 9.5
Una máquina que utiliza 1 mol de un gas ideal diatómico, efectúa un ciclo de tres etapas; (1) una expansión adiabática desde una presión inicial de 2,64 atm y un volumen de 10 L hasta una presión de 1 atm y un volumen de 20 L; (2) una compresión a presión constante hasta su volumen original de 10 L, y (3) un calentamiento a volumen constante hasta su presión original de 2,64 atm. Determine el rendimiento del ciclo
Solución
En primer lugar se dibuja el ciclo de acuerdo a las condiciones del problema
En primer lugar se puede determinar la temperatura en el punto a, utilizando la ecuación de estado, esto es
2
3 3
2,64 101325 / 10.10 1 8,31 / 322 a a pV nRT N m m mol J molK T T K En forma análoga se determina la temperatura del punto b
2
3 3
1 101325 / 20.10 1 8,31 / 244 a a pV nRT N m m mol J molK T T K La temperatura en el punto c será
2
3 3
1 101325 / 10.10 1 8,31 / 122 a a pV nRT N m m mol J molK T T K El calor absorbido durante el proceso a volumen constante será
5 5 1 8,31 / 322 122 2 2 4155 c a V c a R Q nC T n T mol J molK K K Q J 468
P(at)
2.64 a
1,00 c b
10 20 V(L)
En el proceso b→c proceso a presión constante el calor será
7 7 1 8,31 / 122 244 2 2 3548 3548 b c P b c b c R Q nC T n T mol J molK K K Q J Q J Se procede a determinar el trabajo para cada proceso
Para el proceso a volumen constante c→a, el trabajo es nulo (W = 0) Para el proceso adiabático
3 3 1 1 2,67 10 1 20 1 1, 4 1 16.75 . 16.75(101325 / )(10 ) 1697 a a b b W p V p V atm l atm l W atm l N m m W J En el proceso isobárico b→c, el trabajo será
1
10 20
10 . 10 101325 /
2
10 3 3
1013 b c b C b b c W p V V atm l l atm l N m m W J El rendimiento del ciclo será
1697 1013 4155 16% a b b c c a W W J J Q J
9.8 ENTROPIA.
9.8.1 Desigualdad de Clausius.
La desigualdad de Clausius es una relación entre las temperaturas de un número arbitrario de fuentes térmicas y las cantidades de calor entregadas o absorbidas por ellas cuando a una sustancia de trabajo se le hace recorrer un proceso cíclico arbitrario durante el cual intercambia calor con las fuentes.
Para determinar ésta desigualdad consideremos tres fuentes a temperaturas T0; T1 y T2. Tal como se muestra en la figura 9.11. El rectángulo “sistema” se refiere a cualquier dispositivo (tal como un gas encerrado en un cilindro) que puede absorber o desechar calor con las correspondientes variaciones de volumen. Los procesos que tienen lugar no son necesariamente reversibles.
469 Q1A Q1 Q2 Q2B WA W WB Refrigerador A Refrigerador B Sistema Q0A Q0 Q0B T T
Figura 9.10 Esquema para mostrar la desigualdad de Clausius.
Consideremos un proceso arbitrario cualquiera en el que el sistema realiza un ciclo cerrado de tal forma que el estado final coincida con el inicial. Supongamos además que Q0; Q1 y Q2 son las cantidades de calor intercambiadas entre el sistema y los focos térmicos y W es la cantidad de trabajo realizada por el sistema. En el diagrama se observa que el sistema absorbe calor de los focos a temperaturas T1 y T2 y que entrega calor a la fuente a una temperatura T0 y a la vez realiza un trabajo mecánico denotado por W.
En general no existen restricciones para los sentidos del flujo de calor la única condición es que debe cumplirse con la primera y segunda ley de la termodinámica, lo cual se logra comparando con el segundo principio de Kelvin o de Clausius.
Ahora introduzcamos como equipos auxiliares dos máquinas de Carnot que funcionan entre el par de fuentes mostradas en la figura. La maquina A entrega a la fuente de temperatura T1 una cantidad de calor Q1A igual a la que entrega ésta fuente en su ciclo original. Esta máquina retira una cierta cantidad de calor Q0A del foco a temperatura T0 y se le entrega trabajo WA. Mediante este proceso eliminamos cualquier cambio en el foco térmico T1.
La máquina B entrega a la fuente de temperatura T2 una cantidad de calor Q2B, en una cantidad en la que cedió al sistema. Esta máquina extrae calor Q0B de la fuente a temperatura T0 y recibe un trabajo WB. Por lo tanto no existe cambio en el foco térmico a temperatura T2.
Debido a que el proceso era cíclico, todo está como al comienzo, excepto la fuente a temperatura T0 y el sistema mecánico que ha entregado o recibido trabajo a menos que Q0 sea igual a la suma de Q0A y Q0B, la fuente a temperatura T0 habrá ganado o perdido calor y a menos que W y (WA + WB) sean iguales, el sistema habrá ganado o perdido trabajo.
Según la primera ley de la termodinámica el flujo total de calor intercambiado con la fuente T0 debe ser igual al trabajo mecánico total entregado o recibido. Desde el punto
470
de vista de la segunda ley se observa que éste no se cumplirá si el sistema entrega calor y a la vez realiza igual cantidad de trabajo mecánico. Por lo tanto, la fuente térmica debe haber ganado calor y el sistema mecánico entrega trabajo, excepto en el caso de que ambos no hayan perdido o ganado nada. Es decir, el calor Q0 debe ser mayor que (Q0A +Q0B) o en el límite ambos deben ser iguales.
Teniendo en cuenta los signos del flujo de calor se obtiene la siguiente ecuación 0 1 1 0 0 2 2 0 0 (9.11) 0 (9.12) A A B B Q Q T T Q Q T T
Debe tenerse en cuenta que Q1 y Q2 son positivos; Q0 es negativo; Q1A es negativo; Q0A es positivo; Q2B es negativo y Q0B es positivo. Teniendo en cuenta lo último las ecuaciones (9.11) y (9.12) se escriben en la forma
0 0A 1 1 0 0B 1 2 Q (9.13) Q (9.14) A A T Q T T Q T
La cantidad de calor total tomada de la fuente a temperatura T0 es 0 0 0
Q QAQB (9.15)
Pero la segunda ley requiere que las fuentes sólo reciban calor y no la entreguen. Por lo tanto, la suma dada por la ecuación (9.15) debe ser negativa o en el límite debe ser cero, entonces se tiene
0 0 0
Q QAQB 0 (9.16)
Remplazando las ecuaciones (9.14) y (9.14) en la ecuación (9.16), resulta
0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 0 1 2 Q 0 0 (9.17) A B A B T T Q Q T T Q Q Q T T T
Resulta evidente que empleando un número suficientemente grande de máquinas de Carnot, podría reducirse un proceso en el cual el sistema de la figura intercambie calor con cualquier número de focos térmicos. Es decir.
i i Q 0 (9.18) T
Para un número infinito de focos térmicos, el sistema puede intercambiar únicamente cantidades infinitesimales de calor con cada una, de tal suerte que la sumatoria se convierte en una integral, esto es
dQ
0 (9.19) T
9.8.2 EntropíaAl hacer la deducción de la desigualdad de Clausius no hemos supuesto restricciones sobre la reversibilidad o irreversibilidad del ciclo recorrido por el sistema. Supongamos ahora que el calor intercambiado es reversible, y que lo recorra el sistema primero en un sentido y luego en el sentido opuesto. Sea dQ1 el calor que fluye hacia el sistema en cualquier punto del primer ciclo y dQ2 el calor que fluye hacia el sistema en el segundo ciclo. Puesto que todas las trasformaciones del segundo ciclo son las inversas de primero resulta que
1 2
dQ dQ (9.20)
Si el ciclo es reversible, la temperatura del sistema mientras intercambia calor con una fuente térmica es igual a la temperatura de ésta. Entonces, se puede escribir la desigualdad de Clausius para los dos ciclos en la forma.
1 2 dQ dQ 0 o 0 (9.21) T T
Ñ
Ñ
Teniendo en cuenta la ecuación (9.20), la ecuación (9.21) se escribe
1 1 dQ dQ 0 o - 0 (9.22) T T
Ñ
Ñ
Pero la única forma para que estas relaciones se cumplan es que se cumpla con la igualdad.
* dQ 0 (9.23) T rev
Ñ
La ecuación (9.23) es un resultado que tiene mucha importancia en termodinámica y expresa que cuando un sistema recorre un ciclo reversible y se divide la cantidad de calor dQ suministrado al sistema en cada punto, por su temperatura en este punto, la suma de todos los cocientes es nula.
Consideremos ahora un ciclo reversible arbitrario tal como muestra la curva en la figura 9.11.
Figura.9.11 Trayectoria cíclica para un proceso reversible.
La integral a lo largo de la trayectoria será.
2 1 1 2 0 (9.24) I II dQ dQ dQ T T T
Ñ
Si el camino II de 2 a 1 se recorre en sentido opuesto, tenemos
1 2 2 1 (9.25) II II dQ dQ T T
Combinando las ecuaciones (9.24) y (9.25), resulta
2 2 1 1 (9.26) I II dQ dQ T T
Es decir la integral es la misma para los dos caminos reversibles. De otro lado, debido a que el ciclo escogido es arbitrario, se deduce que la integral es la misma a lo largo de todos los caminos reversibles que se sigan para llegar de 1 a 2.
Por tanto diremos que la dQ/T es una diferencial exacta de una cierta función S que en adelante le llamaremos entropía y está dada por
2 1
S S dS dQ (9.27)
T
Debido a que la integral de una diferencial exacta a lo largo de cualquier camino es igual a la diferencial entre los valores extremos de la función. La cantidad S de la ecuación (9.27) recibe el nombre de Entropía del sistema y establece que: La variación de entropía de un sistema entre dos estados de equilibrio cualquiera se obtiene llevando al sistema a lo largo de cualquier camino reversible que une dichos estados, dividiendo el calor que se entrega al sistema en cada punto del camino por la temperatura del sistema y sumando los cocientes así obtenidos.
Así, mientras que dQ no es una diferencial exacta, se transforma en una diferencial exacta dividiendo entre la temperatura, esto es
(9.28) rev dQ dS T La ecuación (9.28), establece
El cambio en la entropía, dS, entre dos estados de equilibrio está dado por el calor transferido, dQ, dividido entre la temperatura absoluta, T, del sistema en este intervalo.
El subíndice rev sirve para enfatizar que la definición sólo se aplica a procesos reversibles. Cuando el sistema absorbe calor, dQ, es positivo y la entropía aumenta, por el contrario si el sistema cede calor, dQ, es negativo en este caso la entropía disminuye. Debe observarse además que la ecuación (9.28) no define a la entropía sino a la variación de entropía.
Para calcular la variación de entropía de un proceso finito, debe observarse que en general la temperatura T no es constante. Si dQrev es el calor transferido cuando el sistema se encuentra a una temperatura T, entonces la variación de entropía en un proceso reversible cualquiera entre un estado inicial y otro final es
f 1
S= dQrev (9.29)
T
Debe observarse además que la variación de entropía de un sistema al ir de un estado a otro tiene el mismo valor para todas las trayectorias que conecten dichos estados. Es decir
La variación de entropía de un sistema sólo depende de las propiedades de los estados de equilibrio inicial y final
9.8.3 Entropía en procesos cíclicos.
En primer lugar consideremos un proceso reversible adiabático, en éste proceso no existe transferencia de calor entre el sistema y sus alrededores por tanto ΔS = 0.
Debido a que el cambió de entropía es nulo entonces a este proceso se le conoce como isentrópico.
Consideremos ahora los cambios de entropía que ocurren en una máquina de Carnot que opera entre las temperaturas TH y TC. En este caso la máquina absorbe calor QH del foco a alta temperatura y desecha calor QC al foco frío. La variación de entropía durante un ciclo será
H C H C Q Q S= T T
El sigo negativo se debe a que el calor sale del sistema. De otro lado, se observa que de la deducción de rendimiento del ciclo de Carnot se cumple
C C H H Q T T Q Usando este resultado y la expresión anterior se tiene
0
S
En consecuencia la variación de entropía para una máquina de Carnot que opera en un ciclo se nula.
Si ahora consideramos un sistema que es llevado a través de cualquier ciclo reversible la variación de entropía será nula debido a que la función entropía es una función de estado y solo depende del estado inicial y final. En general lo descrito se formula en la ecuación 0 (9.30) rev dQ S T
Ñ
Otra propiedad importante de la entropía es
En todos los procesos reversibles la entropía del universo permanece constante.
9.8.4 Entropía y gases ideales
Si un sistema es un gas ideal la variación de entropía se puede determinar si se conoce las transformaciones y el tipo de proceso seguido por el gas siempre y cuando el proceso sea reversible. Para ilustrar esto, consideremos un proceso isotérmico en el cual el gas es llevado desde A hasta el punto B. n este proceso la energía interna no cambia pues es a temperatura constante. Por lo tanto de acuerdo a la primera ley de la termodinámica dQ = dW, entonces, la variación de entropía será
B S A AB AB dQ dW S T T
El trabajo infinitesimal en cualquier punto a lo largo de la trayectoria es nRT
dW pdV dV
V
Remplazando esta cantidad en la ecuación anterior se obtiene
B B S S ln (9.31) B B A A A B A A nRTdV dV S nR VT V V S nR V
De igual forma se puede evaluar la variación de entropía para un proceso a volumen constante. En este caso el gas se lleva desde A(TA, VA) a B(TB, VA). En este proceso el trabajo es nulo y según la primera ley de la termodinámica dQ = dU = nCVdT.
Entonces la variación de entropía será
B B S S ln (9.32) B B B B V A A A A V A B A V A nC dT dQ dU dT S nC T T T T T S nC T
La ecuación (9.31) expresa el cambio de entropía para T constante y la ecuación (9.32) el cambio de entropía para V constante. En general se puede calcular el cambio de entropía al pasar de cualquier estado de referencia (TA, VA) hasta el estado (TB , VB ). De la primera ley de la termodinámica se tiene
V V
dV dQ dU dW nC dT pdV nC dT nRT
V
La variación de entropía será
B B S S ln ln (9.33) V B B B B V A A A A A B B A V A A dV nC dT nRT nC dT dQ V nRdV S T T T V T V S nC nR T V
476Esta ecuación demuestra que la entropía es independiente de la trayectoria seguida y solo depende de los estados inicial y final.
9.8.5 Variación de entropía en procesos irreversibles
La desigualdad de Clausius deducida anteriormente es una ecuación general válida para bombas térmicas y maquinas térmicas y está dada por
* dQ 0 (9.34) T
Ñ
En esta ecuación la igualdad se usa cuando el proceso es reversible y la desigualdad cuando existen procesos irreversibles. La ecuación (9.34) se puede utilizar para determinar los cambios de entropía en procesos irreversibles. En la figura 9.12 se muestra un ciclo compuesto por un camino reversible y otro irreversible.
Figura 9.12 Ciclo que contiene una trayectoria irreversible A-B y otra trayectoria reversible B-A
De acuerdo con la relación (9.34), se tiene
0 B A A B irrev rev dQ dQ dQ T T T
Ñ
La integral del lado derecho es la variación de entropía SA – SB debido a que se evalúa en una trayectoria reversible. Por tanto la ecuación anterior se escribe
0 ( ) (9.35) B A B A irrev B B A A irrev dQ dQ S S T T dQ S S T
Ñ
477Por lo tanto, la variación de entropía entre dos puntos es mayor que la integral de dQ
T , cuando el cambio es irreversible. Entonces para calcular la variación de la entropía de un proceso irreversible se escoge una trayectoria reversible que una dichos estados y se determina el cambio de entropía ya que ésta es una función de estado que depende de los estados inicial y final únicamente
9.8.6 Entropía en la conducción de calor.
Consideremos la transferencia de calor desde una fuente caliente a TH a otra fría a TC. Debido a que la fuente fría recibe calor su entropía aumenta, por el contrario la fuente caliente pierde calor entonces su entropía disminuye. El aumento de entropía en la fuente fría es mayor que la disminución de la entropía de la fuente caliente. Por lo tanto la variación de entropía será
(9.36) C H U C H Q Q S T T
9.8.7 Entropía en una expansión libre.
Consideremos un gas ideal de volumen Vi encerrado en un depósito dividido por una membrana y curas paredes son rígidas y adiabáticas tal como se muestra en la figura 9.13. Si en forma repentina se rompe la membrana el gas experimenta una expansión libre irreversible hasta ocupar todo el volumen del depósito Vf. Es evidente no es reversible ni cuasiestático. El trabajo es nulo, y la transferencia de calor es nula. Si se usa la primera ley de la termodinámica se observa que la energía interna inicial es igual a la final. Debido a que la energía interna depende únicamente de la temperatura se concluye que Ti = Tf.
Figura 9.13. Expansión libre de un gas
En principio se debe indicar que no se puede aplicar la ecuación (9.29) ya que esta vale solo para procesos reversibles. Además no se puede aseverar que ΔS = 0 a pesar de ser un proceso adiabático. Para evaluar la variación de entropía asumimos que este proceso es a temperatura constante (isotermo) entonces se tiene
1 1 1 1 ln (9.37) rev rev f i dQ dV S dQ dW pdV nRT T T T T T V V S nR V
Debido a que Vf > Vi se concluye que ΔS es positivo entonces la entropía aumenta como resultado de la expansión.
9.8.8 Entropía en la transferencia irreversible de calor.
Consideremos una sustancia de masa mA, calor específico cA a una temperatura
TA en contacto térmico con otra sustancia de masa mB, calor específico cB a una temperatura TB siendo TA > TB. Las dos sustancias se encuentran en un depósito aislante de tal manera que no existe transferencia de calor con el entorno y se permite de esta manera que alcancen el equilibrio térmico.
Para determinar la variación de entropía se determina primero la temperatura de equilibrio utilizando un balance energético. Esto es
ganado Q perdido A A A B B B A A E A B B E B A A A B B B E A A B B Q m c T m c T m c T T m c T T m c T m c T T m c m c De hecho este proceso es irreversible. Por lo tanto para evaluar la variación de entropía se asume que la sustancia B experimenta una serie de procesos infinitesimales de tal manera que lentamente se lleva hasta la temperatura de equilibrio de igual forma se procede con la sustancia A, de tal manera que esta secuencia es un proceso reversible. Entonces ln ln E E A B T T A B A A B B A B T T E E A A B B A A dQ dQ m c dT m c dT S T T T T T T S m c m c T T
479Al remplazar el valor de TE en la variación de la entropía se obtiene que un término es positivo y el otro negativo siendo el término positivo mayor que el negativo en conclusión se obtiene
En un proceso irreversible la entropía del universo aumenta.
Problemas resueltos sobre la segunda ley de la termodinámica.
Problema 01
Una máquina térmica absorbe 360 J de calor y realiza un trabajo de 25 J en cada ciclo. Determine: (a) la eficiencia de la máquina; (b) el calor liberado en cada ciclo.
Solución
En la figura se muestra un esquema de la máquina
Parte (a) La eficiencia de la máquina es
25 0,069 360 6,9% H W J Q J 480
Parte (b) Calor liberado. Del diagrama se observa que 360 25 335 H C C C Q W Q J J Q Q J Problema 02
Una máquina térmica realiza 200 J de trabajo en cada ciclo y tiene una eficiencia de 30%. Para cada ciclo de operación, determine: (a) el calor absorbido y (b) el calor que se libera.
Solución
Parte (a) Calor absorbido. De la definición de
eficiencia se tiene 200 0,3 667 H H H W Q J Q Q J
Parte (b) Calor liberado. Del diagrama de la
máquina se tiene. 667 200 467 H C C C Q W Q J J Q Q J Problema 03
Un refrigerador tiene un coeficiente de operación de igual a 5. Si el refrigerador absorbe 120 J de calor de una fuente fría en cada ciclo. Determine: (a) el trabajo hecho en cada ciclo y (b) el calor transferido hacia la fuente caliente.
Solución
En la figura se muestra el diagrama del refrigerador
Parte (a) Trabajo hecho en cada ciclo
120 5 24 C Q J W W W J
Parte (b) Calor transferido a la caliente
120 24 144 C H H H Q W Q J J Q Q J Problema 04
Cierta máquina tiene una potencia de salida de 5 kW y una eficiencia de 25%. Si la máquina libera 8000J de calor en cada ciclo. Determine: (a) el calor absorbido en cada ciclo; (b) el tiempo para cada ciclo.
Solución
En la figura se muestra un esquema de la máquina
Parte (a) Del diagrama se tiene 481
(1) H C H C Q W Q W Q Q
De la definición de eficiencia se tiene
8000 1 1 0, 25 10667 H C H H C H H Q Q W Q Q Q J Q Q J
Parte (b) Tiempo para cada ciclo. Primero se
determina el trabajo
0, 25 10667 2667 (2) H H W W Q Q W J W J De la definición de potencia 2667 5000 0,53 W J P W t t t s Problema 05En cada ciclo de su operación, cierto refrigerador absorbe 100 J de la fuente fría y libera 130 J. (a) ¿Cuál es la potencia requerida para operar el refrigerador si trabaja a 60 ciclos/s?. (b) ¡Cuál es el coeficiente de operación del refrigerador?.
Solución
En la figura se muestra el diagrama del refrigerador
Del diagrama se determina el trabajo
130 100 30 H C Q W Q J W J W J
Se procede a determinar el tiempo de un ciclo
1 1 1 0,016 60 f T T f t T s
Parte (a) Cálculo de la potencia 30 0, 016 1,8 W J P t s P kW
Parte (b) Cálculo del coeficiente de operación 100 30 3,33 C Q J W J Problema 06
Una máquina absorbe 1600 J de una fuente caliente y libera 1000 J a la fuente fría en cada ciclo. (a) ¿Cuál es la eficiencia de la máquina?. (b) ¿Cuánto trabajo se hace en cada ciclo?. (c) ¿Cuál es la
potencia de salida de la máquina si cada ciclo dura 0,3 s?.
Solución
En la figura se muestra un esquema de la máquina
Parte (b) En primer lugar se determina el trabajo
1600 1000 600 H C Q W Q J W J W J
Parte (a) Cálculo de la eficiencia
600 1600 37,5% H W J Q J
Parte (c) Potencia de la máquina
600 0,3 2 W JJ P t s P kW Problema 07
Una máquina térmica opera entre dos fuentes a temperaturas de 20°C y 300°C. ¿Cuál es la máxima eficiencia posible para esta máquina?.
Solución
En la figura se muestra un esquema de la máquina
De acuerdo a la segunda ley de la termodinámica “Ninguna máquina puede ser más eficiente que una máquina de Carnot”. Por tanto se tiene
293 1 1 573 49% C H T K T K Problema 08
La eficiencia de una máquina de Carnot es de 30%. La máquina absorbe 800 J de calor por cada ciclo de una fuente caliente a 500 K. determine: (a) el calor liberado por ciclo y (b) la temperatura de la fuente fría.
Solución
Parte (b) cálculo de la temperatura de la fuente fría
1 0,3 1 500 350 C C H C T T T K T K
Parte (a) Cálculo del calor liberado
350 800 500 560 C C C H H C Q T Q K Q T J K Q J Problema 09
Una máquina de Carnot tiene una potencia de salida de 150 kW. La máquina opera entre dos fuentes a
20°C y 500°C. (a) ¿Cuánta energía calorífica se absorbe por hora?. (b) ¿Cuánta energía calorífica se pierde por hora?.
Solución
La eficiencia de la máquina será
293 1 1 773 62% C H C T T K T
El trabajo por ciclo será
6 150000 3600 540.10 W Pt Watts s W J Parte (a) Energía térmica absorbida
6 6 540.10 0,62 870.10 H H H W J Q Q Q J
Parte (b) Energía térmica perdida
6 6 6 870.10 540.10 330.10 H C C C Q W Q J J Q Q J Problema 10
Se ha propuesto una planta de potencia que haga uso del gradiente de temperatura en el océano. El sistema se diseñó para operar entre 20°C (temperatura de la superficie del agua) y 5°C (temperatura del agua a una profundidad de casi 1 km). (a) ¿Cuál es la máxima eficiencia de dicho sistema. (b) si la potencia de salida de la planta es de 7,5 MW, ¿cuánta energía térmica se absorbe por hora?. (c) en vista de los resultados del inciso (a), ¿piensa que se deba tomar en cuenta dicho sistema?.
Solución
Parte (a) La máxima eficiencia es la de la máquina
de Carnot. 278 1 1 293 5% C H C T K T K T
Parte (b) Energía térmica absorbida.
En primer lugar se determina el trabajo
6 9 7,5.10 / 3600 27.10 W W P J s t s W J
La energía térmica absorbida es
9 9 27.10 0, 05 540.10 H H H W J Q Q Q J
Parte (c) Por ser la eficiencia muy pequeña se
descarta esta posibilidad
Problema 11
Una máquina térmica opera en un ciclo de Carnot entre 80°C y 350°C. Absorbe 2.104 J de calor de la fuente caliente por ciclo. Cada ciclo dura 1 s. (a) ¿Cuál es la máxima potencia de salida de esta máquina?. (b) ¿Cuánto calor libera en cada ciclo?.
Solución Parte (a) Máxima potencia de salida
Primero se determina la eficiencia
353 1 1 623 43% C H T K T K
El trabajo de salida será
4 0, 43 2.10 8600 H W W Q J W J
La potencia de salida será
8600 1 8,6 W J P t s P kW
Parte (b) Calor liberado en cada ciclo
4 2.10 8600 11400 H C C C Q W Q J J Q Q J Problema 12
Una de las máquinas más eficientes que se han construido opera entre 430°C y 1870°C. Su eficiencia actual es 42%. (a) ¿Cuál es su eficiencia teórica?. (b) ¿Cuál es su potencia de salida si absorbe 1,4.105 J de calor cada segundo?.
Solución
Parte (a) La eficiencia eórica de esta máquina es la
correspondiente a la máquina de Carnot
703 1 1 2143 67% C H T K T K
Parte (b) Potencia de salida
En primer lugar se determina el trabajo desarrollado por la máquina 5 5 0, 42 1, 4.10 0,588.10 acual H W W Q J W J La potencia será 5 0,588.10 1 58,8 W J P t s P kW Problema 13
Una planta generadora de electricidad tiene una potencia de salida de 500MW. La planta usa vapor a 200°C y agua de salida a 40°C. Si el sistema opera con la mitad de la máxima eficiencia (Carnot). (a) ¿A qué rapidez se libera calor al medio ambiente?. (b) Si el calor desperdiciado va a un rio con una rapidez de flujo de 1,2.106 kg/s, ¿cuál es el aumento en la temperatura del río?.
Solución Parte (a) rapidez del calor liberado
En primer lugar se determina la eficiencia teórica (máquina de Carnot) 313 1 1 473 34% C H T K T K
Como la planta funciona a la mitad de la eficiencia de la máquina de Carnot, se tiene
1 1 34% 2 2 17% planta Carnot planta El calor absorbido es
6 6 500.10 / 1 . 0,17 2941.10 planta H H H H J s s W P t Q Q Q Q J El calor liberado será
6 6 6 2941.10 500.10 2441.10 H C C C Q W Q J J Q Q J
Rapidez de flujo de calor es
6 6 2441.10 2441.10 / 1 C Q J H J s t s
Parte (b) Aumento de temperatura del rio
, 6 6 2441.10 1, 2.10 4190 / 0, 49 C e w Q mc T J kg J kg C T T C Problema 14Un aparato de aire acondicionado absorbe calor de su embobinado de enfriamiento a 13°C y libera calor al exterior a 30°C. (a) ¿Cuál es el máximo coeficiente de operación del aparato?. (b) Si el coeficiente de operación actual es de la tercera parte del valor máximo y si el aparato remueve 8.104 J de energía calorífica cada segundo, ¿qué potencia debe desarrollar su motor?.
Solución
Parte (a) El máximo coeficiente de operación del
equipo corresponde al refrigerador de Carnot
1 286 303 286 17 C C H carnot H C C H C carnot H C carnot Q Q Q Q Q Q Q T K T T K K
Parte (b) Cálculo de la potencia del motor
Se sabe del enunciado que
1 17 3 3 5, 7 actual carnot actual
Por definición de coeficiente de operación
4 4 8.10 5, 7 1, 4.10 C actual Q J W W W J
La potencia del motor será
4 1, 4.10 1 14 W J P t s P kW Problema 15
Una bomba de calor impulsada por un motor eléctrico absorbe calor del exterior a 5°C y libera calor en el interior en forma de aire caliente a 40°C. (a) ¿Cuál es el máximo coeficiente de operación de la bomba de calor?. (b) Si el coeficiente de operación actual es 3,2 ¿Qué fracción del trabajo teórico máximo (energía eléctrica) se realiza?.
Solución
Parte (a) El máximo coeficiente de operación es
278 313 278 7,94 C H C T K T T K K
Parte (b) Fracción de trabajo teórico
Cuando el coeficiente de operación es 3,2 entonces tenemos 7,94 7,94 3, 2 3, 2 3, 2 7,94 2, 48 C Teorico C Teórico C operación operación C operación operación Teórico operación Teórico Q W Q W Q W Q W W W W W Problema 16
Una máquina que utiliza 1 mol de un gas ideal monoatómico, efectúa un ciclo que consta de tres etapas: (1) una expansión adiabática desde una presión inicial de 2,64 atm y un volumen de 10 L hasta una presión final de 1 atm y un volumen de 20 L, (2) una compresión a presión constante hasta su volumen original de 10 L, y (3) calentamiento a volumen constante hasta su presión original de 2,64 atm. Determine el rendimiento del ciclo.
Solución
En la figura se muestra el ciclo realizado por la máquina
Cálculo de la temperatura T1
1 1
1 5 2 3 3 1 1 2,64(1, 013.10 / ) 10.10 1(8,315 / . ) 322 p V nRT N m m J mol K T T K Se determina la temperatura en el punto 2
2 2
2 5 2 3 3 1 2 1(1,013.10 / ) 20.10 1(8,315 / . ) 244 p V nRT N m m J mol K T T K La temperatura en el punto 3 es
3 3
3 5 2 3 3 1 3 1(1,013.10 / ) 10.10 1(8,315 / . ) 122 p V nRT N m m J mol K T T K Transferencia de calor y trabajo Proceso adiabático 1 2 0 Q 1 1 2 2 1 2 5 2 3 3 1 2 1 2 2, 64 (10 ) 1 (20 ) 1 1, 4 1 16 . 16(1,013.10 / )(10 ) 1621 p V p V at l at l W W atm l N m m W J Proceso isobárico
2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 5 2 3 3 2 3 7 2 7(8,315 / . 1 122 244 2 3551 (Calor cedido) 1 10 20 10 . 10(1, 013.10 / )(10 ) 1013 P Q nC T T n R T T J mol K mol K K Q J W p V V atm l l atm l N m m W J Proceso isócoro
3 1 3 2 1 3 3 1 5 2 5 8,315 / 1 322 122 2 4158 (Calor absorbido) P Q nC T T n R T T J molK mol K K Q J 3 1 0 W El trabajo neto será
1 2 2 3 3 1 1621 1013 0 608 neto neto W W W W J J W J
El rendimiento del ciclo será
608 4158 14, 6% neto absorbido W J Q J Problema 17
Se dispone de gas helio (γ = 1,67) a una temperatura inicial de 16 atm, que ocupa un volumen 1 L y cuya temperatura es de 600 K. Se expansiona isotérmicamente hasta que su volumen es de 4 L y luego se comprime a presión constante hasta que su volumen y temperatura son tales que una compresión adiabática devuelve al gas a su estado original. (a) Dibujar el ciclo en un diagrama p-V. Determine: (b) el volumen y la temperatura después de una compresión isobárica, (c) el trabajo
