Las palabrasecuaciones ydiferenciales nos hacen pensar en la solución de cierto tipo de ecuación que contenga derivadas. Así como al estudiar álgebra y trigonometría se invierte bastante tiempo en resolver ecuaciones, en este curso vamos a resolver ecuaciones diferenciales, como por ejemplo
y00+2y0+y =0
dx
la funcióny =Φ(x) es en sí, otra función dex que se determina siguiendo las reglas adecuadas; por ejemplo, si
y =ex2
entonces
dy dx =2xe
x2
Al reemplazarex2 por el símboloy se obtiene
El problema al que enfrentaremos en este curso no es “dada una funcióny =Φ(x), determinar su derivada”. El problema es “dada una ecuación diferencial, como la ecuación anterior, ¿hay algún método por el cual podamos llegar a la función desconocida
y =Φ(x)?”.
De…nición: Una ecuación que contiene una o más variables
Primera unidad: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y de orden superior.
Clasi…cación de las ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales se clasi…can de acuerdo a
Tipo
Orden
Linealidad
Por Tipo, se subdividen en ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y ecuaciones diferenciales parciales (EDP) .
Primera unidad: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y de orden superior.
Clasi…cación de las ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales se clasi…can de acuerdo a
Tipo
Orden
Linealidad
Por Tipo, se subdividen en ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y ecuaciones diferenciales parciales (EDP) .
El Orden de una ecuación diferencial es igual al orden de las derivadas de mayor orden presentes en la ecuación.
Tipo
Orden
Linealidad
Por Tipo, se subdividen en ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y ecuaciones diferenciales parciales (EDP) .
El Orden de una ecuación diferencial es igual al orden de las derivadas de mayor orden presentes en la ecuación.
Si una ecuación sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo
derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo
dy
dx +10y =e
x ; d
2y dx2
dy
dx +6=0
Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes, respecto de dos o mgs variables independientes, se llamaecuación en derivadas parciales. Por ejemplo
∂u
∂y =
∂v ∂x ;
∂2u ∂x2
El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo
d2y dx2 +5
dy dx
3
4y =ex
Una ecuación diferencial ordinaria general de ordenn se suele representar mediante los símbolos
Se dice que una ecuación diferencial de la forma
y(n) =f x,y,y0,y00, ...,y(n 1)
es lineal cuandof es una función lineal dey,y0,y00, ...,y(n 1), Esto
signi…ca que una ecuación es lineal si se puede escribir en la forma
an(x)
dny
dxn +an 1(x)
dn 1y
dxn 1 +...+a1(x) dy
En la última ecuación, se ven las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales
lineales:
La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado, esto es, la potencia de todo término donde aparece y
es 1.
Primera unidad: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y de orden superior.
Ejemplos
Las ecuaciones
(y x)dx+4xdy = 0 ;
y00 2y0+y = 0 ;
x3d 3y dx3
dy
dx +6y = e
x
son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente.
Las ecuaciones
(y x)dx+4xdy = 0 ;
y00 2y0+y = 0 ;
x3d 3y dx3
dy
dx +6y = e
x
son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente.
La ecuación
(1+y)y0+2y =ex,
Con frecuencia se desea describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real en términos matemáticos, dicho sistema puede ser físico, sociológico o hasta económico.
La descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama
modelo matemáticoy se forma con ciertos objetivos en mente;
por ejemplo
- podríamos tratar de comprender los mecanismos de cierto ecosistema estudiando el crecimiento de las poblaciones de animales
La formulación de un modelo matemático de un sistema se inicia:
i)Mediante la identifcación de las variables causantes del cambio del sistema. Podremos elegir no incorporar todas las variables en el modelo desde el comienzo. En este paso especifìcamos el nivel de resolución del modelo.
Con frecuencia, el modelo matemático de un sistema físico inducirá la variablet, el tiempo.
En este caso, una solución del modelo expresa el estado del sistema; en otras palabras, para valores adecuados det, los valores de la o las variables dependientes describen el sistema en el pasado, presente y futuro.
Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento demográ…co humano lo hizoThomas Malthus, economista y sacerdote inglés en 1798.
En esencia, la idea del modelo malthusiano es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población totalP(t)de ese país en cualquier momentot.
En otras palabras, mientras más personas haya en el momentot, habrá más en el futuro.
Matemáticamente:
dP
dt =kP(t)
El interés que gana una cuenta de ahorros, a menudo se capitaliza o se compone trimestralmente o hasta mensualmente. No hay razón para detenerse en esos intervalos, el interés también podría componerse cada día, hora, minuto, segundo, medio segundo, etc.es decir, se podría componer continuamente.
Sih>0 representa un incremento en el tiempo, el interés que se obtiene en el intervalo [t,t+h]es igual a la diferencia entre las cantidades acumuladas:
S(t+h) S(t)
Dado que el interés está de…nido por(tasa) x (tiempo) x (capital inicial), podemos determinar el interés ganado en ese mismo intervalo mediante
rhS(t)
o también mediante
Vemos intuitivamente que las cantidades anetriores son las cotas inferior y superior, respectivamente, del interés real en la expresión, esto es
rhS(t) S(t+h) S(t) rhS(t+h)
rS(t) S(t+h) S(t)
h rS(t+h)
Como queremos queh sea cada vez menos, podemos tomar el límite cuandoh!0, obteniendo
rS(t) lim
h!0
S(t+h) S(t)
De este modo se debe cumplir
lim
h!0
S(t+h) S(t)
h =rS(t)
es decir
dS
dt =rS(t)
El cual es el mismo modelo del crecimiento poblacional. Esto nos muestra que:
La desintegración de una sustancia radiactiva, caracterizada por la ecuación diferencial, es una reacción de primer orden. En química hay algunas reacciones que se apegan a la siguiente ley empírica: si las moléculas de la sustanciaAse descomponen y forman
Esto es, siX(t)es la cantidad de la sustancia Aque queda en cualquier momento, entonces
dX dt =kX
La rapidez de la reacción está determinada tan sólo por la concentración del cloruro de terbutilo.
Ahora bien, en la reacción
por cada molécula de cloruro de metilo se consume una molécula de hidróxido de sodio paraformar una molécula de alcohol metílico y una de cloruro de sodio.
SiX representa la cantidad deCH3OH que se forma, y ayb son las cantidades dadas de las dos primeras sustancias,AyB, las cantidades instantáneas que no se han convertido enC sona X
yb X, respectivamente; por lo tanto, la razón de formación de
C está expresada por
dX
dt =k(a X) (b X)
SiT(t)representa la temperatura del objeto en el momentot,Tm
es la temperatura constante del medio que lo rodea y dT
dt es la
rapidez con que se enfría el objeto, la ley de Newton del enfriamiento se traduce en el enunciado matemático
dT
dt =k(T Tm)
en dondek es una constante de proporcionalidad. Como
supusimos que el objeto se enfría, se debe cumplir queT >Tm, en
cantidad de sal que contiene la mezcla.
Supongamos que un tanque mezclador grande contiene 300 galones de agua, en donde se ha disuelto sal. Otra solución de salmuera se bombea al tanque a una tasa de 3 galones por minuto. El
SeaA(t) la cantidad de sal (en libras) en el tanque en cualquier momentot. En este caso, la rapidez con qxe cambiaA(r)es la tasa neta:
dA
dt = tasa de entrada tasa de salida
= R1 R2
Ahora bien, la razón,R1, con que entra la sal al tanque, en lb/min, es
mientras que la razón,R2, con que sale la sal es
R2= (3gal/min) A
300lb/gal =
A
100lb/min Entonces, la ecuación se transforma en
dA dt =6
A
En hidrodinámica, la ley de Torricelli establece que la velocidadv
de ‡ujo (o salida) del agua a través de un agujero de bordes agudos en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura (o profundidad)h es igual a la velocidad de un objeto (en este caso una gota de agua), que cae libremente desde una alturah; esto es,
v =p2gh
2mv con la energía potencial,
mgh
Si el área transversal del agujero esA0, en pies cuadrados, y la
velocidad del agua que sale del tanque es
v =p2gh
en pies por segundo, el volumen de agua que sale del tanque, por segundo, es
A0 p
2gh
en pies cúbicos por segundo. Así, siV(t)representa al volumen del agua en el tanque en cualquier momentot
dV
dt = A0 p
2gh
Como se ve en la …gura
consideremos que su posición respecto al suelo ess(t).La aceleración de la piedra es la segunda derivada
Si suponemos que la dirección hacia arriba es positiva, que la masa de la piedra esm y que no hay otra fuerza, además de la de la gravedadg, actuando sobre la piedra, la segunda ley de Newton establece que
mg =md 2s dt2
o de otra manera
d2s dt2 = g
Si la altura del edi…cio ess0 y la velocidad inicial de la piedra es v0,s queda determinada mediante el problema de valor inicial
d2s
dt2 = g s(0) = s0 s0(0) = v0
Examinemos el circuito en serie simple que contiene un inductor, un resistor y un capacitor
En un circuito con el interruptor cerrado, la corriente se representa coni(t)y la carga en el capacitor, cuando el tiempo est, la corrienteI se denota con q(t). Las letras L,C yR son constantes denominadas inductancia, capacitancia y resistencia,
circuito cerrado debe ser igual a las caídas de voltaje en el mismo. Como la corrientei(t) se relaciona con la cargaq(t)en el
capacitar mediante
i = dq
dt
sumamos las caídas de voltaje
inductor = Ldi dt =L
d2q dt2 resistor = iR =Rdq
dt capacitor = 1
igualamos la suma al voltaje total para llegar a la ecuación diferencial de segundo orden
Ld 2q dt2 +R
dq dt +
1
Ahora resolveremos ecuaciones diferenciales, comenzando con las de primer orden y veremos cómo hacerlo.El método dependerá del tipo de ecuación.
Solución por integración
Se comenzará el estudio de la metodología para resolver EDO de primer orden por la ecuación diferencial más simple de todas, esto es cuandof es independiente dey , es decir
f (x,y) =g(x)
La ecuación diferencial
dy
dx =g(x)
Sig(x)es una función continua, al integrar ambos lados de
dy
dx =g(x)
se llega a la solución
y =
Z
g(x)dx
= G(x) +C
Si
dy
dx =1+e 2x
entonces
y =
Z
1+e2xdx
= x+1
2e
2x+c.
se puede escribir de la forma
dy
dx =g(x)h(y)
Obsérvese que al dividir entre la funciónh(y), una ecuación separable se puede escribir en la forma
P(y)dy
dx =g(x)
donde
P(y) = 1
Método de solución:
siy =φ(x)representa una solución de la ec. diferencial, se debe
cumplir Z
P(φ(x))φ0(x)dx =
Z
g(x)dx
perody = φ0(x)dx, de modo que la ecuación anterior es lo mismo
que
Z
P(y)dy =
Z
g(x)dx H(y) = G(x) +C
La ecuación indica el procedimiento para resolver las ecuaciones separables. Al integrar ambos lados de
P(y)dy =g(x)dx
Ejemplo:
Resolver
(1+x)dy ydx=0
Solución:
Dividimos por(1+x)y y escribimos
dy y =
dx
(1+x)
de donde Z
dy y =
Z dx
Z dy y =
Z dx
(1+x)
lnjyj+c1 = lnjx+1j+c2
lnjyj = lnjx+1j+C y = elnjx+1j+C y = elnjx+1jeC y = jx+1jeC
llamandok =eC la solución queda
Ejemplo:
Resolver el problema de valor inicial
dy dx =
x y y(4) = 3
Solución:
Partimos de
ydy = xdx
para obtener Z
ydy =
Z
ydy =
Z xdx y2
2 =
x2
2 +c La solución anterior se puede escribir de la forma
y2+x2 =C
Cuandox =4,y =3, de modo que 16+9=25 =c2. Así, el problema de valor inicial determina que
De…nición: Cuando una función φ, de…nida en algún intervaloI,
se sustituye en una ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una solución de Ia ecuación diferencial en el intervalo.
Dicho de otra forma, una función φcon al menosn derivadas que
cumple con la igualdad
F x,φ(x),φ(x)0,φ(x)00, ...,φ(x)(n)) =0 8x 2I
Comprobación de una solución
Comprobar que
y = x
4
16
es una solución de la ecuación diferencial ordinaria no lineal
dy dx =x
py
Solución
Un modo de comprobar que la función dada es una solución es escribir la ecuación diferencial en la forma
dy dx x
py =0
Se puede observar que
dy dx =
4x3
16 =
x3
4
xpy = x r
x4
16 =x
x2 4 = x3 4 luego dy dx x
py = x3
4
x3
4
= 0
Llamaremos solución explícita de una ecuación diferencial a una funciónφ(x)tal que al sustituirla en vez de y en la ecuación
F x,y,y00, ...,y(n)) =0
satisface la ecuación8x 2I , dondeI es un intervalo.
En una solución explícita la variable dependiente se expresa tan solo en términos de la variable independiente y constantes.
Por ejemploy = x
4
16 es una solución explícita de la ecuación diferencial dy
dx =x
Solución implícita
Una relaciónG(x,y) =0 es una solución implícita de una ecuación diferencial en el intervaloI si de…ne una o más soluciones explícitas enI.
Por ejemplo, en el intervaloI = ] 2,2[, la relación
x2+y2 4=0 es una solución implícita de la ecuación diferencial
dy dx =
La relaciónx +y 4=0 es una solución implícita de la ecuación diferencial dy dx = x y
en el intervalo ] 2,2[
Solución
Derivando implícitamente obtenemos
d dx x
2
+y2 4 = d
dx (0)
2x+2ydy
Al despejar dy
dx en la última ecuación, se tiene
2x+2ydy
dx = 0
2ydy
dx = 2x dy
dx = x y
También se debe comprobar que las funcionesy1=
p
4 x2 y y2 =
p
4 x2 satisfacen la relación y son soluciones de la
Toda relación de la formax2+y2 c =0 satisface formalmente la ecuación para cualquier constantec; sin embargo, se
A veces, a una solución se le llamaintegral de la ecuación y a su grá…ca,curva integral o curva de solución. En cálculo, al evaluar una antiderivada o una integral inde…nida empleamos una sola constantec de integración. En forma parecida, al resolver una ecuación diferencial de primer orden,F(x,y,y0) =0, por lo general obtenemos una solución con una sola constante arbitraria, o parámetroc. Una solución con una constante arbitraria
representa un conjuntoG(x,y,c) =0 de soluciones y se llama
Al resolver una ecuación diferencial de ordenn,
F(x,y,y0, .,y(n)) =0, se busca una familian-paramétrica de solucionesG(x,y,c1,c2, , ..,cn) =0.Esto sólo quiere decir que
una sola ecuación diferencial puede tener una cantidad in…nita de soluciones que corresponden a las elecciones ilimitadas del
podemos demostrar que, por sustitución directa, toda función de la familia monoparamétricay =cex2; también satisface la ecuación
dy
dx =2xy. La solución originaly =e
x2
Soluciones particulares
La funcióny =c1ex+c2e x es una familia biparamétrica de soluciones de la ecuación lineal de segundo orden
y00 y =0
Algunas de las soluciones particulares son
y = 0 (c1 =c2 =0) y = ex (c1=1,c2 =0)
Demostraremos mas adelante quey = x
2
4 +c
2
proporciona
una familia monoparamétrica de soluciones de
y0 =xpy
Cuandoc =0, la solución particular que resulta esy = x
4
Si toda solución de una ecuación de ordenn,
F(x,y,y0, .,y(n)) =0, en un intervalo I, se puede obtener partiendo de una familian-paramétricaG(x,y,c1,c2, , ..,cn) =0
con valores adecuados de los parámetrosci(i =1,2, ...,n), se dice
Se debe comprobar que toda función de la familia monoparamétrica
y =cx4 es una solución de la ecuación diferencial xy0 4y =0 en el intervalo] ∞,∞[. La función de…nida por tramos
y = x
4 x <0 x4 x 0
es una solución particular de la ecuación, pero no se puede obtener a partir de la familiay =cx4 escogiendo sólo unac.
La funcióny = (
4 +c)proporciona una familia
monoparamétrica de soluciones dey0 =xy12. Cuandoc =0, la
solución particular que resulta esy = x
4
16.
En este caso, la solución trivialy =0 es una solución singular de la ecuacion porque no se puede obtener partiendo de la familia y eligiendo algún valor del parámetroc.
A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen a
y(x)o a sus derivadas. En algún intervalo I que contenga ax0, el
problema
Resolver d
ny
dxn = f x,y,y0, ...,y (n)
Sujeto a y(x0) = y0,y0(x0) =y1, ...,y(n 1)(x0) =yn 1
en dondey0,y1, ...,yn 1 son constantes reales especi…cadas
Los valores dados de la función desconocida,y(x), y de sus primerasn 1 derivadas en un solo punto x0,
y(x0) =y0,y0(x0) =y1, ...,y(n 1)(x0) =yn 1 se llaman condiciones iniciales.
EI problema enunciado con las ecuaciones aneriores también se denominaproblema de valor inicial de enésimo orden,por ejemplo
Resolver dy
dx = f (x,y)
(1) Sujeto a y(x0) = y0
Resolver d
2x
dy2 = f x,y,y0
(2) Sujeto a y(x0) = y0,y0(x0) =y1
es un problema de valor inicial de segundo orden.
Son fáciles de interpretar en términos geométricos. Para las ecuaciones (1), estamos buscando una solución de la ecuación diferencial en un intervaloI que contenga ax0, tal que una curva
ecuación diferencial cuya grá…ca no sólo pase por(x0,y0), sino que
Problema de valor inicial de primer orden
Se comprueba fácilmente quey =cex es una familia
monoparamétrica de soluciones de la ecuacióny0 =y, de primer orden, en el intervalo] ∞,∞[. Si especi…camos una condición inicial, por ejemplo,y(0) =3, al sustituir x=0, y =3 en la familia, se determina la constante 3=ce0 =c; por consiguiente,
la funcióny =3ex es una solución del problema de valor inicial
y0 = y,
Ahora bien, si pedimos que una solución de la ecuación diferencial pase por el punto(1, 2)y no por (0,3), entonces y(1) = 2 dará como resultado 2=ce; o sea,c = 2e 1. La funcióny =
2ex 1 es una solución del problema de valor inicial
dy dx =x
py tiene cuando menos dos soluciones cuyas grá…cas
pasan por(0,0). Al examinar las funciones
f(x,y) = xpy df
dy = x
2py
se advierte que son continuas en el semiplano superior de…nido por
y >0; por consiguiente, el teorema permite llegar a la conclusión de que para cada punto(x0,y0),y0 >0 de ese semiplano, hay un
Al principio del curso de…nimos la forma general de una ecuación diferencial lineal de ordenn como
sigue:
an(x)
dny
dxn +an 1(x)
dn 1y
dxn 1 +...+a1(x) dy
dx +ao(x)y =g(x)
Una ecuación diferencial de primer orden, de la forma
a1(x) dy
dx +ao(x)y =g(x)
es una ecuación lineal.
Al dividir ambos lados de la ecuación entre el primer coe…ciente,
a1(x), se obtiene una forma más útil, laforma estandar o forma normal de una ecuación lineal
dy
dx +P(x)y =f(x)
Sif (x) =0 la ecuación es llamada homogenea, en caso contrario es llamada no homogenea.
Se puede comprobar por sustitución directa que la ecuación diferencial lineal tiene la propiedad de que su solución es la suma de las dos soluciones,y =yc +yp, dondeyc es una solución de la
ecuación diferencial homogenea
dy
dx +P(x)y =0
yyp es una solución particular de la ecuación diferencial lineal no
Podemos determinaryc mediante el método de separación de
variables. Escribiendo la ecuación homogenea de la forma
dy
y = P(x)dx
al integrar y despejary obtenemos
yc =ce
R
Por comodidad de…niremosyc(x) =cy1(x), en donde
y1(x) =e RP(x)dx
Aplicaremos de inmediato el hecho que dyc
dx +P(x)yc =0, para
Ahora podemos de…nir una solución particular de la ecuación diferencial lineal, siguiendo un procedimiento llamadovariación de parámetros.
Aquí, la idea básica es considerar la constantec como una función, es decirc =c(x), tal que yp =c(x)y1(x)sea una solución de la
ecuación. En otras palabras, nuestra hipótesis deyp equivale
yp =cy1(x),excepto que el“parámetro variable” c(x)reemplaza
Si tenemos la ecuación diferencial lineal
dy
dx +P(x)y =f(x)
y reemplazamosy =c(x)y1(x)se obtiene d
dx [c(x)y1(x)] +P(x) [c(x)y1(x)] = f(x) dc(x)
dx y1(x) +c(x)
dy1(x)
dx +c(x)P(x)y1(x) = f(x) dc(x)
dx y1(x) +c(x)
dy1(x)
dx +P(x)y1(x) = f(x) dc(x)
En la igualdad anterior
dc(x)
dx y1(x) =f(x)
separando variables e integrando se obtiene
dc(x) = f(x)
y1(x) dx
c(x) =
De acuerdo con la de…nición deyp, se tiene
yp(x) = c(x)y1(x) =y1(x)c(x)
= y1(x)
Z f(x) y1(x)dx = e RP(x)dx
Z
Luego la solución general de la ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma
y = yc +yp
= cy1(x) +c(x)y1(x)
= ce RP(x)dx +e RP(x)dx Z
eRP(x)dxf(x)dx
Encuentre la solución general de la ecuación
y0 = y
Primero se debe escribir la ecuación en la forma normal
y0 1 xy =x
3
claramente se puede ver quep(x) = 1x yf (x) =x3. Luego se debe solucionar la ecuación diferencial homogenea
y0 1 xy =0
Escribiendo el sistema como
1
yy 0 = 1
x
e integrando a ambos lados se obtiene
ln(y) = ln(x) +c y = xec y = Cx
Ahora, se debe utilizar el método de variación de parámetros para encontrar una solución particular de la ecuación diferencial. Para ello, de…nimos
y =C (x)x
y sustituimos en la ecuación diferencial
(C(x)x)0 1
xC(x)x = x 3
Por ende
C(x) =
Z x2dx
= x
3
3 +K y la solución general queda determinada por
y = yc +yp
= Cx+ x
3
3 +K x
= x
4
3 +Sx
Considere un circuito eléctrico RC donde la resistencia esR=1 y la capacitancia esC =0.5. Inicialmente, la carga del capacitor es
q(0) =5. La corriente es conducida por una fuerza
La ecuación diferencial que gobierna la cargaq(t) del capacitor es
Rq0+ 1
Cq =sin(t)
sustituyendo los valores de parámetros se obtiene
q0+2q =0
tiene como soluciónqc =Ce 2t.Se asume que una solución de la
ecuación no homogenea tiene la formaq =C(t)e 2t . Sustituyendo en la ecuación diferencial original se obtiene
C (t)e 2t 0+2C(t)e 2t = sin(t)
C0(t)e 2t 2C(t)e 2t +2C(t)e 2t = sin(t)
C0(t)e 2t = sin(t)
Integrando la igualdad anterior se obtiene
C(t) =
Z
e2tsin(t)dt
= e2t 2
5sin(t) 1
5cos(t) +K luego, la solución general viene dada por
q = C(t)e 2t
= e2t 2
5sin(t) 1
5cos(t) +K e
2t
= 2
5sin(t) 1
5cos(t) +Ke
Ahora, aplicando la condición inicialq(0) =5 se obtiene que
K = 265, por lo que la solución del problema de valor inicial es dado por
q(t) = 2
5sin(t) 1
5cos(t) + 26
5 e
Hay un modo equivalente y distinto de resolver la ecuación diferencial lineal de primer orden. Si se tiene la solución
y =ce RP(x)dx +e RP(x)dx Z
eRP(x)dxf(x)dx
multiplicando poreRP(x)dx a ambos lados de la igualdad, se tiene
eRP(x)dxy =c+
Z
Si la ecuación anterior se deriva, obtenemos
d dx e
R
P(x)dxy = eRP(x)dxf(x)
P(x)eRP(x)dxy+eRP(x)dxdy
dx = e
RP(x)dx
f(x)
si ahora se divide poreRP(x)dx se obtiene
P(x)y+ dy
dx =f(x)
Método de solución:
El método para resolver las ecuaciones lineales de primer orden consiste, en realidad, en realizar el proceso antes visto en orden inverso. Como podemos resolver la ecuación por integración, después de multiplicar por
eRP(x)dx
A continuación se enumeran los pasos del proceso i) Primero, la ecuación se escribe en la forma
dy
dx +P(x)y =f(x)
ii) Hay que identi…carP(x) y de…nir el factor integrante,eRP(x)dx
iii) La ecuación obtenida en el paso i) se multiplica por el factor integrante:
eRP(x)dxdy dx +e
R
P(x)dxP(x)y =eRP(x)dxf(x)
iv) El lado izquierdo de la ecuación obtenida en el paso iii) es la derivada del producto del factor integrante por la variable dependientey, esto es,
d dx e
RP(x)dx
y =eRP(x)dxf(x)
Ejemplo:
Resolver
xdy
dx 4y =x 6ex
Solución:
Al dividir entrex llegamos a la forma normal
dy dx
4
Así escrita, reconocemos queP(x) = 4
x y entonces el factor
integrante es
eR 4xdx = e 4
R 1 xdx
= e 4 lnjxj
= eln(x 4)
= x 4
= 1
Ahora multiplicamos la ecuación por este término 1 x4 dy dx 4
xy =
1
x4 x 5ex
1
x4 dy dx
4
x5y = xe
x
lo cual no es mas que
d dx
1
x4y =xe
Finalmente, si integramos por partes la expresión
d dx
1
x4y =xe
x
se obtiene
1
x4y = Z
xexdx
= xex ex+c
Por lo tanto
y =x5ex x4ex+x4c
Solución General:
Si se supone queP(x)yf(x)son continuas en un intervalol y quex0 es cualquier punto del intervalo, entonces, según el teorema
de existencia y unicidad, existe sólo una solución del problema de valor inicial
dy
Pero habíamos visto que la ecuación posee una familia de
soluciones y que toda solución de la ecuación en el intervaloI tiene la forma
y =ce RP(x)dx +e RP(x)dx Z
eRP(x)dxf(x)dx
Ejemplo:
Determinar la solución general de
1
(x2+9)+ dy dx
1
xy =0
Solución:
Escribimos la ecuación en la forma normal
x
La función
P(x) = x
x2+9
es continua enR. Entonces, el factor integrante para la ecuación es
e
R x
x2+9dx = e 1
2ln(x2+9)
= eln( p
x2+9)
Multiplicando la ecuación por el factor integrante se obtiene
p
x2+9 x x2+9y+
dy
dx = 0 x
p
x2+9y+
p
x2+9dy
dx = 0 d
dx
p
Al integrar se obtiene
Z d dx
p
x2+9y dx = Z
0dx
p
x2+9y = c y = p c
Resolver
xdy
dx +y = 2x y(1) = 0
Solución:
Escribimos la ecuación dada en la forma
dy dx +
1
Vemos queP(x) = 1
x es continua en cualquier intervalo que no
contenga al origen. En vista de la condición inicial, resolveremos el problema en el intervalo]0,∞[.
El factor integrante es
eR 1xdx =e ln(x)=x
multiplicando la ecuación porx se tiene
xdy
dx +y = 2x d
xy = 2
Z xdx xy = x2+c
despejandoy se obtiene la solución general
y =x+c
x
peroy(1) =0 implica quec = 1 por ende la solución es
y =x 1
dy
dx +y =f (x)
donde
f (x) = 1 0 x 1
En la …gura vemos quefes continua en intervalos, con una discontinuidad enx =1. En consecuencia, resolveremos el problema en las dos partes que corresponden a los dos intervalos en quef está de…nida.
Para 0 x <1
dy
dx +y =1
o, lo que es igual,
d dx (e
xy) =ex
Al integrar la última ecuación y despejary, obtenemos
y =1+c1e x. Comoy(0) =0, se debe cumplir quec1 = 1 y,
por consiguiente,
Parax >1
da como resultadoy =c2e x. Por lo anterior podemos escribir
y = 1 e
x 0 x 1
c2e x x >1
ahora, para quey sea función continua, necesitamos que limx!1+y(x) =y(1), Este requisito equivale a
Al resolver un problema de valor inicial surgen dos asuntos fundamentales:
Un problema de valor inicial puede tener varias soluciones, por ejemplo, las funciones
y = 0
y = x
4
16
Satisfacen el problema de valor inicial
dy
dx = x
py
Teorema: Existencia de solución única
SeaR una región rectangular del planoxy, de…nida por
a x b,c y d, que contiene al punto (x0,y0).
Sif (x,y)y df
dy son continuas enR, entonces existe un intervaloI,
enx0, y una función única, y(x) de…nida enI, que satisface el
problema de valor inicial expresado por
Resolver dy
dx = f (x,y)
existencia y unicidad para ecuaciones de primer orden, ya que es bastante fácil comprobar los criterios de continuidad def(x,y)y
df
dy. En la …gura podemos ver la interpretación geométrica del
El problema de valor inicial
dx
dt = kx x(t0) = x0
en dondek es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos donde intervienen crecimiento o decrecimiento. En biología, se ha observado que en cortos periodos la tasa de crecimiento de algunas poblaciones (como las de
Ejemplo
Un cultivo tiene una cantidad inicialN0 de bacterias. Cuando t=1, la cantidad medida de bacterias es 32N0. Si la razón de
Solución
Primero se resuelve la ecuación diferencial
dN dt =kN
sujeta aN(0) =N0. A continuación se de…ne la condición empírica N(1) = 32N0 para hallar k, la constante de proporcionalidad. Con ello, la ecuación es separable y lineal, a la vez. Si se escribe en la forma
dN
podemos ver por inspección que el factor integrante ese kt . Multiplicamos ambos lados de la ecuación por ese factor y el resultado inmediato es
d dt
h
e ktNi=0
Integramos ambos lados de la última ecuación para llegar a la solución general
N0 =ce0 =c
y, por consiguiente,
N(t) =N0ekt
Cuandot =1, entonces : 3
2N0 = N0e
k
ek = 3
2
k = ln 3 2
Por lo tanto
N(t) =N0e0.405 47t
Para establecer el momento en que se triplica la cantidad de bacterias, despejamost de
3N0= N0e0.405 47t
por consiguiente,
0.4055t = ln(3)
t = ln(3)
0.405 47
En el ejemplo obsérvese que la cantidad real,N0, de bacterias presentes en el momentot=0, no in‡uyó para la de…nición del tiempo necesario para que el cultivo se triplicara. El tiempo requerido para triplicar una población inicial de 100 o 1.000.000 bacterias siempre es de unas 2.71 horas.
La función exponencialekt se incrementa al aumentart, cuando
valor positivo dek, mientras que cuando interviene un
EjemploEnfriamiento de un pastel
Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300 F. Después de 3 minutos, 200oF. ¿En cuanto tiempo se enfriará hasta la
Solución
En la ecuación que representa la ley vemos queTm =70. Por
consiguiente, debemos resolver el problema de valor inicial
dT
dt = k(T 70) T(0) = 300
La ecuación es lineal y separable, a la vez. Al separar las variables,
1
(T 70)dT =kdt
integrando se obtiene
lnjT 70j=kt+c1
por lo que
T =ekt+c1+70
Cuandot =0,T =300, de modo que 300=ec1 +70 de…ne
Luego
T =ekt+5.438 1+70 ahora, comoT(3) =200 se tiene que
por lo que
k = ln(130) 5.438 1
3
= 0.190 19
por lo tanto
T (t) =e 0.190 19t+5.438 1+70 o de otra forma
Observamos que la ecuación no tiene una solución …nita a
T(t) =70 porque
lim
t!∞T(t) =70
Con lo anterior se obtiene la ecuación diferencial lineal que describe la corrientei(t)
Ldi
dt +Ri =E(t)
La caída de voltaje a través de un capacitar de capacitanciaC es
q(t)
C , dondeq es la carga del capacitor; por lo tanto, para el
circuitoRC, la segunda ley de Kirchho¤ establece
Ri+ q
C =E(t)
Pero la corrientei y la cargaq se relacionan mediante i = dqdt, así, la ecuación se transforma en la ecuación diferencial lineal
Rdq dt +
q
Ejemplo
Un acumulador de 12volts se conecta a un circuito en serieLR, con una inductancia de 1
Solución
Lo que debemos resolver, según la ecuación para el circuitoLR es 1
2
di
dt +10i =12
sujeta ai(0) =0. Primero multiplicamos la ecuación diferencial por 2, y vemos que el factor integrante ese20t. A continuación lo
sustituimos
d dt e
Al integrar cada lado de esta ecuación y despejari obtenemos
i = 6
5 ce
20t
. Sii(0) =0, entonces
c = 6
5 por consiguiente, la respuesta es
i(t) = 6
5 + 6 5e
Teorema: Existencia y unicidad para ecuaciones de orden superior
Para el problema de valores iniciales
an(x)
dny
dxn +an 1(x)
dn 1y
dxn 1 +...+a1(x) dy
dx +a0(x)y =g(x) y(x0) =y0, y0(x0) =y1, ...,y(n 1)(x0) =yn 1
seanan(x),an 1(x), ..., a1(x),ao(x)yg(x) continuas en un
intervaloI, y sea an(x)6=0 para todox del intervalo.
Six =x0 es cualquier punto en el intervalo, existe una solución
Ejemplosolución única de un problema de valores iniciales El problema de valores iniciales
3y000+5y00 y0+7y =0
y(1) =0,y0(1) =0,y00(1) =0
tiene la solución trivialy =0. Como la ecuación de tercer orden es lineal con coe…cientes constantes, se satisfacen todas las
Problema de valor en la frontera
Otro tipo de problema es resolver una ecuación diferencial lineal de segundo orden o mayor en la que la variable dependiente y, o sus derivadas, estén especi…cadas en puntos distintos. Un problema como
a2(x) d2y
dx2 +a1(x) dy
dx +a0(x)y =g(x) y(a) =y0,y(b) =y1
se llamaproblema de valores en la frontera. Los valores necesarios,
Ejemplo
anteriormente se vió que la familia a dos parámetros de soluciones de la ecuación diferencial
x00+16x =0
es
x =c1cos(4t) +c2sin(4t)
a) Supongamos que queremos determinar la solución de la ecuación que además satisfaga las condiciones de frontera
x(0) = 0
x(π
Obsérvese que la primera condición
0=c1cos(0) +c2sin(0)
implica quec1 =0, de modo quex =c2sin(4t). Pero cuandot =
π
2, 0=c2sin(2π)es satisfactoria para cualquier elección dec2, ya
que sin(2π) =0. Entonces, el problema de valores en la frontera
b) Si se modi…ca como sigue el problema de valores en la frontera por
x00+16x =0
x(0) = 0
x(π
8) = 0
Pero al aplicarx(π
8) =0 a x =c2 sin(4t)se requiere que
0=c2sin
π
2 =c2
c) Por último, al transformar el problema en
x00+16x =0
x(0) = 0
x(π
2) = 1
Pero, al aplicarx π
2 =1 a x =c2sin(4t), llegamos a la
contradicción
1=c2sin(2π) =c20=0
Ecuaciones homogéneas
Una ecuación lineal de ordenn de la forma
an(x)
dny
dxn +an 1(x)
dn 1y
dxn 1 +...+a1(x) dy
dx +a0(x)y =0
se llamahomogénea, mientras que una ecuación
an(x)
dny
dxn +an 1(x)
dn 1y
dxn 1 +...+a1(x) dy
dx +a0(x)y =g(x)
Por ejemplo,
2y00+3y0 5y =0
es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea, mientras que
x3y000+6y0+10y =ex
Teorema:Principio de superposición
Seany1,y2, ..,yk soluciones de la ecuación diferencial homogénea
de ordenn, donde x está en un intervalo I. La combinación lineal
y =c1y1(x) +c2y2(x) +...+ckyk(x)
en donde lasci,i =1,2, ...,k son constantes arbitrarias, también
es una solución cuandox está en el intervalo.
Corolario
a) Un múltiplo constantey =c1y1(x), de una solución y1(x)de
Ejemplo
Las funciones
y1 = x2 y2 = x2ln(x)
son soluciones de la ecuación lineal homogénea
x3y000 2xy0+4y =0
parax en el intervalo ]0,∞[. Según el principio de superposición, la combinación lineal
y =c1x2+c2x2ln(x)
De…niciónDependencia e independencia lineal
Se dice que un conjunto de funcionesf1(x),f2(x), ...,fn(x)es
linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes
c1,c2, ...,cn no todas cero, tales que
c1f1(x) +c2f2(x) +...+cnfn(x) =0
Ejemplo
Las funciones
f1(x) = cos2(x), f2(x) =sin2(x) f3(x) = sec2(x), f4(x) =tan2(x)
son linealmente dependiente en el intervaloi π 2,
π
2
h
porque
c1cos2(x) +c2sin2(x) +c3sec2(x) +c4tan2(x) =0
Suponga que cada una de las funcionesf1(x),f2(x), ..., fn(x)
poseen 1 derivadas al menos. El determinante
Teoremacriterio para soluciones linealmente independientes
Seann soluciones,y1,y2, ...,yn, de la ecuación diferencial, lineal,
homogénea y de ordenn, en un intervaloI. Entonces, el conjunto de soluciones es linealmente independiente enI si y solo si
W (y1,y2, ...,yn)6=0
De…niciónConjunto fundamental de soluciones
Todo conjuntoy1,y2, ...,yn, den soluciones linealmente
independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de ordenn, la ecuación en un intervalo I, se llama conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.
TeoremaExistencia de un conjunto fundamental
TeoremaSolución general, ecuaciones homogéneas
Seany1,y2, ...,yn, un conjunto fundamental de soluciones de la
ecuación diferencial lineal homogénea de ordenn, en un intervalo
I. La solución general de la ecuación en el intervalo es
y =c1f1(x) +c2f2(x) +...+cnfn(x)
Ejemplo Solución general de una ecuación diferencial homogénea
Las funciones
y1 = e3x y2 = e 3x
son soluciones de la ecuación lineal homogénea
y0 9y =0
Por inspección, las soluciones son linealmente independientes en todos los reales o en todoR. Podemos corroborar esto al observar que el wronskiano
W e3x,e 3x = e
3x e 3x
3e3x 3e 3x = 66=0
para todax. Llegamos a la conclusión de que y1 yy2 forman un
conjunto fundamental de soluciones y, en consecuencia
y =c1e3x +c2e 3x
Las funcionesy1 =e ,y2 =e yy3 =e satisfacen la ecuación de tercer orden
d3y dx3 6
d2y dx2 +11
dy
dx 6y =0
Como
W(ex,e2x,e3x) =
ex e2x e3x ex 2e2x 3e3x ex 4e2x 9e3x
=2e6x 6=0
por lo tanto
y =c1ex+c2e2x+c3e3x
Ecuaciones no homogeneas
Toda funciónyp libre de parámetros arbitrarios que satisface la
ecuación se llama solución particular o integral particular de la ecuación; por ejemplo, se puede demostrar directamente que la función constanteyp =3 es una solución particular de la ecuación
no homogénea
Siy1,y2, ...,yk son soluciones de la ecuación homogenea en un
intervaloI e yp es cualquier solución particular de la ecuación no
homogenea enI, entonces, la combinación lineal
y =c1y1(x) +c2y2(x) +...+ckyk(x) +yp(x)
TeoremaSolución general, ecuaciones no homogéneas
Seayp, cualquier solución particular de la ecuación diferenciai
lineal, no homogénea, de ordenn, ecuación, en un intervaloI, y seany1,y2, ...,yn un conjunto fundamental de soluciones de la
ecuación diferencial homogénea asociada, enI. Entonces, la solución general de la ecuación en el intervalo es
y =c1y1(x) +c2y2(x) +...+ckyk(x) +yp(x)
Función complementaria
En el teorema vemos que la solución general de una ecuación lineal no homogénea consiste en la suma de dos funciones:
y =c1y1(x) +c2y2(x) +...+cnyn(x) +yp(x) =yc (x) +yp(x)
La combinación linealy =c1y1(x) +c2y2(x) +...+cnyn(x), que
Ejemplo
Se demuestra fácilmente por sustitución que la funciónyp =
11 2
1
2x es una solución particular de la ecuación no homogénea d3y
dx3 6 d2y dx2 +11
dy
dx 6y =3x
Para llegar a la solución general, también debemos resolver la ecuación homogénea asociada
d3y dx3 6
d2y dx2 +11
dy
pero la solución general de esta última ecuación es
y =c1ex+c2e2x+c3e3x
por lo que la solución general en este caso es
y =c1ex +c2e2x+c3e3x 11
Ecuaciones lineales homogeneas con coe…cientes constantes
Hemos visto que la ecuación lineal de primer orden,
dy
dx +uy =0
donde a es una constante, tiene la solución exponencial
y =c1e ax enR, por consiguiente, lo más natural es tratar de determinar si existen soluciones exponenciales enR de las ecuaciones lineales homogéneas de orden superior del tipo
an
dny
dxn +an 1
dn 1y
dxn 1 +...+a1 dy
en donde los coe…cientesai,i =0,1, ...,n son constantes reales y
an 6=0. Para nuestra sorpresa, todas las soluciones de la ecuación
Método de solución
Comenzaremos con el caso especial de la ecuación de segundo orden
ay00+by0+cy =0
Si probamos con una solución de la formay =emx, entonces
y0 =memx yy00 =m2emx de modo que la ecuación se transforma en
am2emx+bmemx+cemx = 0
Comoemx nunca es cero cuando x tiene valor real, la única forma
en que la función exponencial satisface la ecuación diferencial es eligiendo unamtal que sea una raíz de la ecuación cuadrática
am2+bm+c =0
Esta ecuación se llamaecuacián auxiliar o ecuación característica
CASO 1: Raíces reales distintas
Si la ecuación diferencial homogenea de segundo orden con coe…cientes constanes tiene dos raíces reales distintas,m1 ym2,
llegamos a dos soluciones,y1 =em1x yy2 =em2x. Estas funciones
son linealmente independientes enR, puesto que
W (em1x,em2x) = det e
m1x em2x
m1em1x m2em2x
= (m2 m1)e(m1+m2)x 6=0
y, en consecuencia, forman un conjunto fundamental. Entonces, la solución general de la ecuación en ese intervalo es
Reducción de orden
Uno de los hechos matemáticos más interesantes al estudiar ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden es que podemos formar una segunda solución,y2, de
a2(x)y00+a1(x)y0+a0(x)y =0
en un intervaloI a partir de una solucióny1 no trivial.
Buscamos una segunda solución,y2 , de la ecuación tal quey1 yy2
Siy1 yy2 son linealmente independientes, su cuociente y2 y1 no es
constante enI; esto es,
y2 y1
= u(x)
y2(x) = u(x)y1(x)
La idea es determinar la funciónu(x)sustituyendo
y2(x) =u(x)y1(x)en la ecuación diferencial dada. Este método
Ejemplo Segunda solución por reducción de orden
Siy1=ex es una solución de
y00 y =0
Solución
Si
y =u(x)y1(x) =u(x)ex
según la regla del producto
y0 = u(x)ex+exu0(x)
y00 = u(x)ex+2exu0(x) +exu00(x)
por lo cual
y00 y = u(x)ex+2exu0(x) +exu00(x) u(x)ex
Comoe 6=0 se tiene que
u00(x) +2u0(x) =0
con la sustituciónw(x) =u0(x)la ecuación queda
w0(x) +2w(x) =0
una ecuación lineal de primer orden enw. Usamos el factor integrantee2x y así podemos escribir
d dx e
Después de integrar se obtienew(x) =c1e 2x, o sea que u0(x) =c1e 2x. Integramos de nuevo y llegamos a
u(x) = c1
2e
2x+c
2
Por consiguiente
y(x) = u(x)ex
= c1
2e
2x
+c2 ex
= c1
2e
Al elegirc2=0 y c1 = 2 obtenemos la segunda solución que
buscábamos,y2(x) =e x. Dado que
W(ex,e x)6=0
Caso general
Se tiene la ecuación diferencial lineal de segundo orden
a2(x)y00+a1(x)y0+a0(x)y =0
Si dividimos pora2(x)para llevar la ecuación a la forma estándar
y00+P(x)y0+Q(x)y =0
