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(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES

DEFINICIÓN. Una sucesión infinita, o simplemente sucesión, es una función cuyo dominio está constituido por el conjunto de los números naturales y cuyo recorrido, que es un subconjunto de los números reales, se expresa en un listado como sigue:

( ) ( ) ( )

( )

f f f f n

Como variable independiente se acostumbra usar la letra

" "n para indicar que, a diferencia de las funciones cuyos dominios son denotados con las últimas letras del abecedario y que consideran valores reales, en las sucesiones el dominio son los números naturales. Al enésimo término de la Sucesión

( )

f n también se le identifica con a n

( )

{ }

Ejemplo. Dar los primeros cinco términos y el término enésimo de las siguientes Sucesiones Infinitas:

( )

( )

( )

{ }

1

2

1

) 1 ; ) 1

1

) 1 ; ) 5

2 1

n n

n n

i a n n ii a

n n

iii b iv

n

+

= + = −

+

= −

2

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Como las funciones, las sucesiones también se pueden graficar, correspondiendo sus valores funcionales a cada uno de los números naturales sustituido en su regla de correspondencia.

LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

Teorema. Sea una sucesión { }an . Se dice entonces que tiene

límite, denotado como L y expresado como

lim _n

n→ ∞ a = L

si para toda ε > 0 y tan pequeña como se desee, existe un

número entero N tal que

n

a − <L ε siempre que n N>

Si existe el límite, entonces la sucesión es convergente y en caso contrario se llama divergente.

Representación geométrica:

Los límites de las sucesiones infinitas también cumplen las propiedades de los límites de las funciones. Además es importante hacer ver que como los términos de la sucesión son valores funcionales, al estudiar su convergencia o divergencia se puede aplicar la Regla de L’Hopital. Al respecto, resulta conveniente enunciar aquí el teorema correspondiente a esta regla para poder contar con una herramienta valiosa en el Cálculo del límite de una sucesión.

1 2 3 " N n

L

y L= +ε

y L= −ε

y

x

( )

(

)

(

)

3

Teorema. Regla de L’hopital. Supónganse las funciones

f y g diferenciables en cada punto de un intervalo abierto

(

)

( )

en el intervalo. Sea también L que denota tanto un valor

real o bien +∞ o −∞, y supóngase que

( )

( )

f x

g x es una forma

indeterminada en " "c . Luego, si

( )

( )

'

x c f x

L g x

→ = entonces

( )

( )

x c f x

L g x

→ =

De acuerdo con este teorema, el límite del cociente de dos funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas. Y si al derivar numerador y denominador de la expresión original se vuelve a presentar una indeterminación de las formas

0 0 ó

∞

∞, se repite nuevamente la Regla hasta que el

resultado está determinado o no existe el límite.

Ejemplo. Calcular el valor numérico de los límites de las siguientes sucesiones y determinar con ello su naturaleza (utilizar la Regla de L’Hopital cuando se considere necesario o para verificar el resultado e ilustrar la técnica).

( )

3 2 3

2

3 2 2 2

2 5 4 3 2

) ; ) ; ) 1

10 8 1

n

n n n n

i ii n sen iii

n n n n n

⎧ + − − ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ₋ ⎫

⎨ _{+ − +} ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ₊ ⎬

⎩ ⎭

4

En ocasiones el límite resulta difícil y entonces es conveniente utilizar la propiedad del “emparedado”, teorema cuyo enunciado es el siguiente:

Teorema. Sean las sucesiones definidas por

{ } { } { }

para las cuales se cumple que a_n ≤b_n ≤ c_n ∀n y además,

se sabe que lim _n lim _n

n→∞a = =L n→∞c . Entonces

lim _n

5

Ejemplo. Calcular el límite de la sucesión cos n

n

⎧ ⎫

⎨ ⎬

⎩ ⎭.

Teorema. Sea una sucesión cuyo término enésimo es _{r .} n

Entonces:

) lim 0 1

) lim 1

n n

n n

i r si r

ii r si r

→∞ →∞

= <

→ ∞ >

Ejemplo. Calcular el límite de las sucesiones:

(

)

{

}

1

) ; ) 1.02

2

n

n

i ⎧⎪_⎨⎛_⎜− ⎞_⎟ ⎫⎪_⎬ ii

⎝ ⎠

⎪ ⎪

6

Teorema. Si para una sucesión

{ }

n→∞ b = ,

entonces

lim _n 0

n→∞b =

Ejemplo. Verificar que lim _n 0

n→∞a = para:

( )

1 n

n

a

n

+ ⎛ ⎞

= − _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠

Definición. Sucesión monótona

Una sucesión es monótona creciente si sus términos consecutivos no decrecen y es monótona decreciente si sus términos sucesivos no crecen.

Definición. Sucesión acotada

Se dice que una sucesión es acotada si existe un valor real positivo " "C tal que:

n

a ≤ C ∀n

Teorema. Si se tiene una sucesión monótona (creciente o decreciente) y está acotada, entonces tiene límite, por lo que es convergente.

Ejemplo. La sucesión 1

n ⎧ ⎫ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ es acotada y es monótona

decreciente, por lo que es convergente y su límite es:

1 1

lim 0

7

SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS

DEFINICIÓN. Considérese la sucesión

{ }

sus términos. A la expresión obtenida que es:

1 2 3 n

a + a + a +" + a +"

se le llama “serie infinita” o simplemente “serie” y se denota con

1 n

n a

∞ =

∑

Como se trata de un número infinito de sumandos, es necesario definir lo que se entiende por “suma infinita” y para ello es conveniente formar una sucesión con las sumas parciales de los términos de las series, que se expresa como:

1, , ,..., ,...2 3 n

S S S S

en donde

1 1

S = a

2 1 2

S = a a+

3 1 2 3

S = a a+ +a

#

1 2 3

n n

S = a a+ +a +"+a

#

DEFINICIÓN. Considérese la serie infinita

1 2 3

1 n

n n

n

a a a a a

=∞ =

= + + + + +

∑

y sea la sucesión de sus sumas parciales 1, , ,..., ,...2 3 n

S S S S

Entonces la serie dada es convergente si el límite de su suma parcial enésima existe, es decir, si

lim _n ;

n→ ∞ S = S S∈ \

8

Si fuera posible siempre determinar el límite de la suma parcial enésima, todo se concretaría a calcularlo y así determinar su naturaleza. Pero en la mayoría de los casos es complicado.

Ejemplo. Sea la serie infinita 1

1 2 3

n

n n

∞ =

= + + + + +

∑

Algunas de sus sumas parciales, incluyendo la suma parcial enésima, que recuerda al “príncipe de las matemáticas” Gauss, por la anécdota que de él se cuenta al respecto, son:

1 1

S =

2 1 2 3

S = + =

3 1 2 3 6

S = + + =

#

(

)

n

n n

S = +

Se obtiene el límite de la suma parcial enésima y se ve que:

(

)

→ ∞ por lo que la serie es divergente.

Ejemplo. (Serie telescópica). Sea la serie

(

)

1

1 1

n n n

∞

= +

∑

escriben algunos de sus sumandos y sus respectivas sumas parciales se obtiene lo siguiente:

(

)

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110

n n n

∞ = = + + + + + + + + + + +

∑

S = =

2

1 1 _0.666666666 2 6

S = +

3

1 1 1 _0.75 2 6 12

S = + + =

4

1 1 1 1

0.8 2 6 12 20

S = + + + =

5

1 1 1 1 1 _0.833333333 2 6 12 20 30

9

6

1 1 1 1 1 1 _0.857142857 2 6 12 20 30 42

S = + + + + + =

7

1 1 1 1 1 1 1 _0.875

2 6 12 20 30 42 56

S = + + + + + + =

8

1 1 1 1 1 1 1 1 _0.888888888 2 6 12 20 30 42 56 72

S = + + + + + + + =

9

1 1 1 1 1 1 1 1 1 _0.9

2 6 12 20 30 42 56 72 90

S = + + + + + + + + =

10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 _0.909090909

2 6 12 20 30 42 56 72 90 110

S = + + + + + + + + + =

El término enésimo se puede escribir de la siguiente forma, al descomponerlo en dos fracciones racionales:

(

)

0 1

1 1

A B _{An A Bn}

n n n n

A B A

A B = + ⇒ = + + + + = + = ⇒ ⇒ = = −

(

)

n n n n

∴ = −

+ +

y entonces, los términos de la serie se pueden escribir como sigue:

(

)

1 1

1 1 1

1 1

n n n n n n

∞ ∞ = = ⎛ ⎞ = _⎜ − _⎟ + _⎝ + _⎠

∑

∑

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 n n 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=_⎜ − _{⎟ ⎜}+ − _{⎟ ⎜}+ − _{⎟ ⎜}+ − _{⎟ ⎜}+ − _⎟+ +_⎜ − _⎟+

+

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " ⎝ ⎠ "

Como se ve, todos los términos menos dos se cancelan y la suma parcial enésima queda como:

1 1 1 n S n = − +

y el límite de esta suma parcial enésima es

1

lim lim 1 1

1

n

n→ ∞S n→ ∞ n

⎛ ⎞

= _⎜ − _⎟ =

+

⎝ ⎠

10

Ejemplo. (Serie telescópica). Analizar la serie infinita

2 1

1

9 3 2

n n n

∞

= − −

∑

Serie Geométrica . Sea la serie infinita

2 1

0

n n

n

ar a ar ar ar

∞

− =

= + + + + +

∑

Cada término se obtiene al multiplicar el término inmediato anterior por un término conocido como la “razón” de la serie.

2

ar ar _r

11

Ejemplo. Supóngase que se tienen los siguientes términos de una serie y se pretende saber si se trata de una serie geométrica:

2 4 8_{, , ,} 16 _, 32 5 5 25 125 625

Solución

Se divide cada término entre el anterior y,

4 8 16

40 2 400 2

5 _{2 ;} 25 _; 125

2 4 _{100 5} 8 _{1000 5}

5 5 25

= = = = =

32

4000 2 625

16 _{10000 5} 125

= =

Luego se trata de una serie geométrica con 2 2

5

r = y a = ,

por lo que su término general es: 0 2 2 5 n n ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

TEOREMA. La serie geométrica

2 1

0

n n

n

ar a ar ar ar

∞

− =

= + + + + +

∑

)

i Converge y su suma es

1

a S

r

=

− si r < 1

)

ii Diverge si r ≥1

PRUEBA. Sea la suma parcial enésima

2 n 1

n

S _{= +}a ar ar_{+ +"+} ar −

Si se multiplican los dos miembros por la razón " "r

2 3 n

n

rS = ar ar+ + ar +" + ar Si se restan ambas expresiones se tendrá:

(

) (

)

n n

S ₋ rS ₌ a ar ar_{+ + +"+} ar − ₋ ar ar_{+ +} ar _+"+ ar

(

)

1 1

n n

n n

a a

r S a ar S r

r r

− = − ⇒ = −

12

Si se calcula el límite de la suma parcial enésima se llega a:

lim lim

1 1

n n

n n

a a

S S r

r r

→∞ →∞

⎛ ⎞

= = _⎜ − _⎟

− −

⎝ ⎠

lim lim lim

1 1 1 1

n n

n n n

a a _r a a _r

r r r r

→∞ →∞ →∞

= − = −

− − − −

De acuerdo con un teorema tratado en las Sucesiones, si

1

r < entonces lim n 0

n→∞r = por lo que 1

a S

r =

− y la serie es

convergente. Si r ≥1 el límite no existe y la serie es

divergente.

Ejemplo. Dadas las siguientes series, determinar si son convergentes (dado el caso dar su suma) o divergentes:

8 16 32 2 2 2 2

) 4 ; )

5 25 125 3 9 27 81

i + + + +" ii − + − +"

1 ₁

1 0 1

3 5 8

) 2 ; ) ; )

4 8 3

n _{n n}

n n

n n n

iii iv v

− ₊

∞ ∞ ∞

= = =

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

13

Ejemplo. Expresar el decimal periódico 8.353535... como la

razón de dos números enteros. Solución.

2 3

35 35 35

8.353535... 8

100 100 100

= + + + +"

2

35 1 1

8 1

100 100 100

⎛ _{⎛ ⎞} ⎞

= + ⎜_⎜ + +_{⎜ ⎟} + ⎟_⎟

⎝ ⎠

⎝ ⎠

"

La serie

2

1 1

1

100 100

⎛ ⎞

+ +_{⎜ ⎟} +

⎝ ⎠ " es una serie geométrica con 1

1 1

100

a = y r = < luego es convergente y su suma es

1 1

1 1 0.01 0.99

a S

r

= = =

− − . Se sustituye este valor y se tiene:

35 1 35

8.353535... 8 8

100 0.99 99

⎛ ⎞

= + _{⎜ ⎟} = +

⎝ ⎠

827 8.353535...

99

14

CONDICIÓN NECESARIA PARA LA CONVERGENCIA

TEOREMA. Considérese la serie infinita

1 n n

a

∞ =

∑

convergente, entonces se cumple que lim _n 0

n→∞a = .

COROLARIO. Sea la serie infinita

1 n n

a

∞ =

∑

lim _n 0

n→∞a ≠ , la serie es divergente.

El corolario es más útil que el teorema mismo ya que implica que lo primero que se debe hacer al analizar una serie es obtener el límite del término enésimo y si resulta diferente de cero, se concluye que la serie es divergente.

Ejemplo. Determinar el carácter de cada una de las siguientes series:

3 2

3

3

1 0 1

! 2 1

) ) 6 )

3 ! 4 8 4

n

n n n

n n n

i ii iii

n n

∞ ∞ ∞

= = =

+ +

+ +

∑

∑

∑

TEOREMA. El carácter convergente o divergente de una serie infinita no cambia si se suprime o se agrega un número finito de términos al principio de ésta.

IGUALDAD DE SERIES. Dos Series infinitas,

1 n 1 n

n n

a y b

∞ ∞

= =

∑

∑

15

1 n 1 n n n

n n

a b si a b n N

∞ ∞

= =

= = ∀ ∈

∑

∑

SUMA DE SERIES. Para definir la suma de dos series infinitas, basta con sumar los términos enésimos, es decir,

(

)

1 n 1 n 1 n n

n n n

a b a b

∞ ∞ ∞

= = =

+ = +

∑

∑

∑

TEOREMA.

)i Sean dos series infinitas convergentes

1 n 1 n

n n

a y b

∞ ∞

= =

∑

∑

con sumas A y B respectivamente. Entonces

(

)

1 n n

n a b ∞ = +

∑

es convergente y su suma equivale a S A B= +

)

ii Sean dos series infinitas, una

1 n n

a

∞ =

∑

1 n n

b

∞ =

∑

(

)

1 n n

n

a b

∞ =

+

∑

)

iii Sean

1 n n

a

∞ =

∑

producto de

1 n 1 n

n n

c a∞ ∞ c a

= =

=

∑

∑

suma " "A , entonces la serie

1 n

n

c a

∞ =

∑

suma es S c A=

Ejemplo. Investigar la naturaleza de la siguiente serie y en caso de ser convergente, calcular su suma:

(

)

n n n

16

SERIE ARMÓNICA. La serie

1

1 1 1 1 1

1

2 3 4

n n n

∞ =

= + + + + + +

∑

conoce como la “serie armónica divergente”. Ahora se verá el por qué diverge. Se analizarán las sumas parciales en potencias de “dos”, es decir,

2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; ...

S S S S S

Entonces se ,puede escribir:

2

1 1

2

S = +

4

1 1 1 1 1 1 2

1 1 1

2 3 4 2 4 4 2

S = + + ⎛_⎜ + ⎞_⎟ > + + ⎛_⎜ + ⎞_⎟ = +

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8

1 1 1 1 1 1 1

1

2 3 4 5 6 7 8

S = + +⎛_⎜ + ⎞ ⎛_{⎟ ⎜}+ + + + ⎞_⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 1 1 1 1 1 3

1 1

2 4 4 8 8 8 8 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

> + +_⎜ + _{⎟ ⎜}+ + + + _⎟ = +

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

16

1 1 1 1 1 1 1

1

2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 1 1

9 10 11 12 13 14 15 16

1 1 1 1 1 1 1

1

2 4 4 8 8 8 8

1 1 1 1 1 1 1 1 4

1 16 16 16 16 16 16 16 16 2

S = + + ⎛_⎜ + ⎞ ⎛_{⎟ ⎜}+ + + + ⎞_⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞

+_⎜ + + + + + + + _⎟ >

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

> + +_⎜ + _{⎟ ⎜}+ + + + _⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞

+_⎜ + + + + + + + _⎟ = +

17

De la misma forma se tendría que:

32 64 128 ₂

5 6 7

1 ; 1 ; 1 ; ; 1

2 2 2 n 2

n

S > + S > + S > + " S > +

Si se calcula el límite de 1

2

n

+ se obtiene que:

lim 1 2 n n → ∞ ⎛ ₊ ⎞ _{→ ∞} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Finalmente, lim ₂n

n→ ∞ S → ∞ y por lo tanto la serie armónica es

divergente.

SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS POSITIVOS

Si en una serie infinita

1 n n

a

∞ =

∑

entonces sus sumas parciales cumplen que

1 2 3 n

S < S < S < " < S < "

Esta sucesión de sus sumas parciales es monótona creciente; luego se deduce que para que esta serie de términos positivos sea convergente, debe ser además acotada.

En múltiples aplicaciones de las series infinitas, lo importante no es conocer su suma sino solamente saber si son convergentes o divergentes.

Se verá la serie de gran utilidad conocida como serie " "p .

Teorema (Serie " "p ). La serie infinita

1

1 1 1 1 1

1 2 3

p p p p p

n n n

∞ =

= + + + + +

∑

)i Si 1p > es convergente.

)

ii Si p≤1 es divergente.

) iii Si 1 1 p n S n ∞ = =

∑

(

)

N − p

< <

18

Ejemplo. Investigar la naturaleza de las siguientes series:

3 ₃

1 1

1 1

) )

n n

i ii

n n

∞ ∞

= =

∑

∑

Ejemplo. Verificar que la serie siguiente es convergente y determinar entre qué valores está su suma si se consideran siete términos

2 1

1

n n

∞ =

19

Ejemplo. Investigar si la siguiente serie es convergente o divergente:

2

1 ln

n n

∞ =

∑

TEOREMA. CRITERIO DE LA COMPARACIÓN

Sean las dos series infinitas con términos positivos

1 n 1 n

n n

a y b

∞ ∞

= =

∑

∑

)

i Si 0 ≤ a_n ≤ b_n y

1 n n

b

∞ =

∑

1 n n

a

∞ =

∑

convergente y se dice que es dominada por la serie

1 n n

b

∞ =

∑

)

ii Si a_n ≥ b_n y

1 n n

b

∞ =

∑

1 n n

a

∞ =

∑

divergente y se dice que domina a la serie

1 n n

b

∞ =

20

Ejemplo. Investigar si las siguientes series son convergentes o divergentes:

1 2

1 5

) ; )

1 3n ₁

n n

i ii

n

∞ ∞

= + = −

∑

∑

EJEMPLO. Determinar la naturaleza de la siguiente serie:

1

1 3 2 4

n n n

∞ =

+ +

21

TEOREMA. CRITERIO DEL LÍMITE DEL COCIENTE DE LA COMPARACIÓN

Sean

1 n 1 n

n n

a y b

∞ ∞

= =

∑

∑

un valor real. Si se cumple que:

lim n 0

n

n

a _L

b

→∞ = >

entonces las dos series son convergentes o las dos son divergentes.

Ejemplo. Investigar la naturaleza de las siguientes series infinitas:

(

)

4 3

5 3 4

1 ₄ 1 1

1 1 8 2

) ; ) ; )

2 11 9 7

3 6 n

n n n

n n n

i ii iii

n n

n

∞ ∞ ∞

= = =

+ +

+ +

+

22

Ejemplo. Investigar si la siguiente serie es convergente o divergente:

1

3 4

9 5 1

1 _{2 2 2}

5 1

2 3 7

n

n n

n n n

∞ =

+ −

− +

23

SERIES ALTERNADAS

Se conocen como series alternadas a aquellas cuyos términos cambian de signo de manera alternada, pudiendo ser la alternancia uno a uno o de manera irregular. Se denotan como:

( )

( )

1 2 3 4

1

1n _n 1n _n

n

a a a a a a

∞

− −

=

− = − + − + + − +

∑

TEOREMA. CRITERIO DE LA SERIE ALTERNADA

La serie alternada

( )

1

1n _n

n a ∞ − = −

∑

siguientes condiciones:

) lim _n 0

n

i a

→∞ =

1

) _{n n}

ii a ₊ ≤ a para todo valor entero positivo " "n

Nota. Otras formas alternativas equivalentes a la segunda condición son:

- f x'

( )

(

)

- a_n −a_n+1≥ 0 ∀ n, entero positivo

- n 1 _{1 , entero positivo} n

a _n

a

+ _{≤ ∀}

Ejemplo. Determinar la naturaleza de las siguientes series alternadas:

( )

( )

₍

₎

( )

2

1 1 1

1 5

) 1 ; ) 1 ; ) 1

1 7 4

n n n

n n n

n n

i ii iii

n n n n

∞ ∞ ∞ − − − = = = + − − − + −

∑

∑

∑

( )

( )

( )

0 1 1

1 5 1

) 1 ; ) 1 ; ) 1

10 6 !

1 2

n n n

n

n n n

n

iv v vi

25

TEOREMA. ERROR ESTIMADO PARA UNA SERIE ALTERNADA CONVERGENTE

La suma parcial S_n de una serie alternada convergente

difiere de la suma S de la serie en un error estimado E_n

menor al valor absoluto del término a_n+1 , esto es, 1

n n

E < a ₊

Ejemplo. Verificar que la siguiente serie alternada es convergente y calcular la suma " "S con una aproximación de cuatro cifras decimales.

( ) ( )

1 1

2 1 !

n

n n

∞ ₋

=

−