OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL DEL ÁREA DE MATEMÁTICAS

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1 Elaborado Por: Jairo Tovar Hernández martes, 6 de noviembre de 2018

ESTANDAR

Modelo situaciones de variación con funciones polinómica.

Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que las representan.

DESEMPEÑOS

Reconoce y analiza funciones polinómicas de tercer grado Resuelve ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

DERECHOS BASICOS DE APRENDIZAJES (DBA)

Utiliza procesos inductivos y lenguaje simbólico o algebraico para formular, proponer y resolver conjeturas en la solución de problemas numéricos, geométricos, métricos, en situaciones cotidianas y no cotidianas.

OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL DEL ÁREA DE MATEMÁTICAS

Desarrollar habilidades enmarcadas en el sustento conceptual del pensamiento matemático a través de situaciones problema contextualizadas que contribuyan al fortalecimiento de aptitudes en la comprensión y uso del conocimiento sobre los fenómenos sociales y científicos, generando una formación integral.

OBJETIVO DEL GRADO 9º

Construir el concepto de funciones algebraicas, número complejo y realizar demostraciones de teoremas básicos, mediante la aplicación de modelos matemáticos utilizando magnitudes discretas y continuas que le permitan solucionar ecuaciones

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lineales, cuadráticas y experimentos aleatorios para conocer y entender los fenómenos sociales y científicos propios de su entorno.

CONTENIDOS

1. ESTUDIO DE OTRA FUNCIONES

1.1 Funciones polinómicas de tercer grado. 1.2 Funciones racionales

1.3 Ecuaciones exponenciales 1.4 Función exponencial 1.5 Ecuaciones logarítmicas 1.6 Función logarítmica

1.7 Análisis de grafica de funciones

COMPETENCIAS

Capacidad del estudiante para dar cuenta del cómo y del porqué de los caminos que se siguen para llegar a concusiones, justificar estrategias y procedimientos puestos en acción en el tratamiento de situaciones problemas, formular hipótesis, hacer conjetura, explorar ejemplos y contraejemplos, probar y estructurar argumentos, generalizar propiedades y relaciones, identificar patrones y expresarlo matemáticamente y plantear preguntas, reconocer distintos tipos de razonamiento y distinguir y evaluar cadenas de argumentos.

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EVALUACIÒN

EVIDENCIAS DE EVALUACION

Trabajo personal: Son las actividades que realiza el estudiante en el desarrollo de la guía, la realización de las tareas, quices y los talleres propuestos, los cuales permitirán observar los avances en cuanto a la conceptualización, apropiación y aplicación.

Trabajo grupal: En éste se tiene en cuenta la participación de los estudiantes y el compromiso con el equipo con el fin de cumplir con los trabajos establecidos con la calidad requerida y de acuerdo con ello se determinará el nivel de logro alcanzado, en las diferentes actividades de la guía y talleres propuestos.

Evaluación Mensual - Semestral: A mitad del primer y tercer periodo se realizará una evaluación mensual de los desempeños teniendo en cuenta los referentes conceptuales que se hayan trabajado hasta el momento. Así mismo al finalizar el segundo y cuarto periodo se realizará una evaluación semestral que tenga en cuenta de manera acumulativa los referentes trabajados hasta el momento. Esta prueba se desarrollará a partir de preguntas tipo Pruebas Saber.

Actividad de Ingenio Matemático: Es una situación problema orientada por el docente y propuesta en la guía del periodo, en la cual los estudiantes relacionan los referentes conceptuales trabajados en contextos matemáticos, de otras ciencias o del contexto real, que permita procesos de conceptualización, apropiación y aplicación.

RECURSOS

(Descripción de los medios y ayudas didácticas específicas, usadas para el desarrollo e implementación de estrategias de la clase) Para el desarrollo de la clase se utilizarán:

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marcadores

libros o texto

guía

FUNCION EXPONENCIAL

Objetivos de aprendizaje

 Graficar ecuaciones exponenciales y funciones.

 Resolver problemas de aplicación usando problemas exponenciales y sus gráficas.

Derechos básicos de Aprendizajes (DBA)

 Reconoce el significado de los exponentes racionales positivos y negativos y utiliza las leyes de los exponentes.

 Conoce las propiedades y las representaciones gráficas de la familia de funciones exponenciales h(x) = kax _con_{a > 0}_{y distinto de}₁_{, al igual que los cambios de los}

parámetros a y k producen en la forma de sus gráficas.

Pre-saberes

Escribe el valor de cada potencia:

1.

3

₌

2.

10

3

₌

3.

7

2

₌

4.

5

2

₌

5.

8

4

₌

6.

6

4

₌

7.

10

5

₌

8.

3

2

₌

9.

2

6

₌

(5)

10.

10

1

₌

Toda potencia elevada a cero es igual a 1 a

0

_{= 1}

Introducción

Además de funciones lineales, cuadráticas, racionales y radicales, existen las funciones exponenciales.

Las funciones exponenciales tienen la forma f(x) = bx_{, donde}_{b > 0}_y_{b ≠ 1}_{. Al igual que}

cualquier expresión exponencial, b se llama base y x se llama exponente.

Un ejemplo de una función exponencial es el crecimiento de las bacterias. Algunas bacterias se duplican cada hora. Si comienzas con 1 bacteria y se duplica en cada hora, tendrás 2x_{bacterias después de x horas. Esto se puede escribir como f(x) = 2}x_.

Antes de empezar, f (0) = 2

0

_{= 1}

Después de 1 hora f (1) = 2

1

_{= 2}

Después de 2 horas f (2) = 2

2

_{= 4}

En 3 horas f (3) = 2

3

_{= 8}

(6)

Con la definición f(x) = bx_{y las restricciones de}_{b > 0}_y_{b ≠ 1,}_{el dominio de la función}

exponencial es el conjunto de todos los números reales. El rango es el conjunto de todos los números reales positivos. La siguiente gráfica muestra f(x) = 2x_.

Características

1) El dominio es el conjunto de los números reales.

2) El rango es el conjunto de los números reales positivos.

3) El valor de y se acerca a cero, pero nunca será cero, cuando x toma valores negativos.

4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1). 5) Son funciones continuas.

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Crecimiento exponencial

Como pudiste ver arriba, esta función exponencial tiene una gráfica que se acerca mucho al eje x porque se extiende a la izquierda (conforme x se vuelve más negativa), pero nunca toca el eje x. Conocer la forma general de las funciones exponenciales es útil para graficar ecuaciones o funciones exponenciales específicas.

Hacer una tabla de valores también es útil, porque puedes usar la tabla para encontrar la curva de la gráfica con más precisión. Algo que recordar es que la base tiene un exponente negativo, entonces tomas el recíproco de la base para hacer el exponente positivo. Por ejemplo, 4−2 _{= (}4

1) −2 = (1 4) 2

Ejemplo.

Graficar 𝑓(𝑥) = 3

𝑥

x

f(x)

-2

1

9 -1

1

3

0

1

3

2

9 Empieza con una tabla de valores, como la que hiciste en el ejemplo anterior.

x

f(x)

punto

-2

1

9 (−2,

1

9 )

-1

1

3 (−1,

1

3 )

0

1 (0,1)

1

3 (1,3)

2

9 (2,9)

Siempre es bueno incluir el 0, valores positivos y valores negativos, si es

posible.

(8)

Evalúa la función para cada valor de

x

y escribe el resultado en la columna

f(x)

junto al valor de

x

correspondiente. Por ejemplo, cuando

𝑥 = −2, 𝑓(𝑥) = 3

−2

=

(

1 3

)

2

=

1 9

entonces

1

9

va en la columna

f(x)

junto al

−2

de la columna x.

f(1) = 3

1

₌

3 y

3 va en la columna

f(x)

junto al

1 de la columna

x.

Si piensas en

f(x)

como

y

, cada fila forma un par ordenado que puedes graficar

en las coordenadas.

Conecta los puntos lo mejor que puedas, usando una curva suave (no una serie

de líneas rectas). Usa la forma de una gráfica exponencial para ayudarte: esta

gráfica se acerca mucho al eje

x

en la izquierda, pero nunca lo toca y se vuelve

más inclinada a la derecha.

(9)

Este es un ejemplo de un

crecimiento exponencial

. Conforme aumenta

x

,

f(x)

“crece” más rápido. Intentemos otro.

Ejemplo.

Graficar 𝑓(𝑥) = 4

𝑥

Empieza con una tabla de valores. Puedes escoger diferentes valores pero de

nuevo, es útil incluir el 0 y algunos valores positivos y negativos.

Recuerda que

4

−2

= (

4 1

)

−2

= (

1 4

)

2

x

f(x)

-2

1

16 -1

1

4

0

1

4

2

16

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Si piensas en

f(x)

como y, cada fila forma un par ordenado que puedes graficar

en las coordenadas.

Grafica los puntos.

Observa que la base más grande en este problema hizo que el valor de la función

se disparara. Incluso con un valor pequeño de

2 para

x

, el valor de la función es

tan grande que se sale de la escala que usaste antes. Puedes cambiar la escala,

pero entonces los valores quedan muy juntos uno con otro. También puedes

intentar con otros puntos, como cuando

𝑥 =

3

2

Porque conoces la raíz cuadrada

de 4, puedes encontrar el valor en este caso:

4

32

= (√4)

3

= 2

3

= 8

El punto es

(

3

2

. 8)

es el punto azul en la gráfica

Conecta los puntos lo mejor que puedas, usando una curva suave (no una serie de

líneas rectas). Usa la forma de una gráfica exponencial para ayudarte: esta

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gráfica se acerca mucho al eje

x

en la izquierda, pero nunca lo toca y se vuelve

más inclinada a la derecha.

Decaimiento exponencial

Recuerda que para las funciones exponenciales,

b > 0

, pero

b ≠ 1

. En los ejemplos

anteriores,

b > 1

. ¿Qué pasa cuando

b

está entre

0 y

1 ,

0 < b < 1

?

Ejemplo.

Graficar 𝑓(𝑥) = (

1

2

)

𝑥

Empieza con una tabla de valores.

(

1

2 )

−2

= (

2

1 )

2

= 2

2

= 4 𝑦 (

1

2 )

2

=

1

4 x

f(x)

-2

4 -1

2

0

1

2

(12)

2

1

4 Usa la tabla como pares ordenados y gráfica los puntos.

Como los puntos no están en una línea, no puedes usar una regla. Conecta los

puntos lo mejor que puedas usando una curva suave (no una serie de líneas

rectas).

Observa que la forma es similar a la forma cuando

b > 1

, pero esta vez la gráfica

se acerca al eje

x

cuando

x > 0

, en lugar de

x < 0

. Esto es un

decaimiento

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exponencial

. En lugar de que los valores de la función “crezcan” conforme

aumentan los valores de

x

, como sucedía antes, los valores de la función “decaen”

o disminuyen conforme los valores de

x

aumentan. Se acercan cada vez más a

0 .

Ejemplo.

Graficar 𝑓(𝑥) = (

1

4

)

𝑥

Empieza con una tabla de valores.

(

1

4 )

−2

= (

4

1 )

2

= 4

2

= 16

Crea una tabla de valores. De nuevo, en cuidado con los exponentes negativos.

Recuerda sacar el recíproco de la base para volver positivo el exponente. En este

caso.

x

f(x)

-2

16 -1

4

0

1

4

2

1

16 Observa que, en esta tabla, los valores de

x

aumentan. Los valores de

y

disminuyen.

Usa los pares de la tabla para graficar los puntos. Podrías incluir nuevos puntos,

especialmente cuando uno de los puntos de la tabla, aquí

(−2, 16)

no cabrá en la

gráfica. Como conoces la raíz cuadrada de

4 , intente

𝑥 = −

3

2

Puedes encontrar

ese valor en este caso

(

1 4

)

−23

= (

4 1

)

3 2

= 4

32

= (√4)

3

= 2

3

= 8

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El punto

(−

3

2

, 8)

ha sido incluido en azul. Podrías querer incluir puntos

adicionales. También puedes usar una calculadora, de pendiendo de la base.

Ejemplo.

Graficar 𝑓(𝑥) = 2

𝑥

Solución.

Construimos la tabla

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8

Para ver el comportamiento de x

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15 Elaborado Por: Jairo Tovar Hernández martes, 6 de noviembre de 2018 x= -3 𝑓(−3) = 2(−3)_{ley de} los exponentes 𝑓(−3) = 1 2(3) = 1 2.2.2= 1 8 = 𝑜, 125 x= -2 𝑓(−2) = 2(−2)_{ley de} los exponentes 𝑓(−2) = 1 2(2)= 1 2.2 =1 4= 0,25 x= -1 𝑓(−1) = 2(−1)_{ley de} los exponentes 𝑓(−1) = 1 2(1)= 1 2 =1 2= 0,5 x= 0 𝑓(0) = 2(0) ley de los exponentes 𝑓(0) = 2(0) = 1 x= 1 𝑓(1) = 2(1) ley de los exponentes 𝑓(1) = 2(1) = 2 x= 2 𝑓(2) = 2(2) ley de los exponentes 𝑓(2) = 2(2) = 2.2 = 4 x= 3 𝑓(3) = 2(3) ley de los exponentes 𝑓(3) = 2(3) = 2.2.2 = 8

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Para Practicar y entregar

Para realizar en grupos de dos estudiantes y entregar en forma de trabajo (hoja

milimetrada) el día 20 de noviembre del 2018.

1. Graficar las siguientes funciones exponenciales:

a. 𝑓(𝑥) = 3

𝑥

_{+ 2}

b. 𝑓(𝑥) = 𝑒

𝑥

c. 𝑓(𝑥) = 3. 5

𝑥

_{y 𝑔(𝑥) = 2. (}

1 3

)

𝑥

d. 𝑦 = 5

𝑥

e. 𝑦 = 0.5

𝑥

f. 𝑓(𝑥) = 2

𝑥−2