C ´ ALCULO
Bolet´ın I. C´alculo diferencial de funciones de una variable
Ejercicios b´asicos 1. Demuestra que la ecuaci´on x + sin x = 1
√x + 3 tiene al menos una ra´ız en [0, π].
2. Justifica la existencia de una soluci´on en el intervalo [1, 2] de la ecuaci´on ex + 2−x+ 2 cos x = 6.
Determina el n´umero de iteraciones necesarias para aproximar la ra´ız, mediante el m´etodo de dicotom´ıa, con un error inferior a 10−5 y calcula las dos primeras iteraciones.
3. Sea f : IR −→ IR dada por:
f (x) =
(2x − 1 , si x ≤ −1 (x + 1)3+ 2x , si x > −1 Averigua si es derivable en x = −1.
4. Sea f (x) = arctan
sin x 1 + cos x
. Calcula la recta tangente a la gr´afica de f en x = 0.
5. Llamamos f (x) =√ x + 1.
(a) Halla el polinomio de Taylor de cuarto grado de f en x = 0.
(b) Aproxima√
1.02 con el polinomio de segundo grado y acota el error cometido.
6. (a) Dado c > 0, escribe el m´etodo de Newton–Raphson para aproximar√
c. Calcula tres iteraciones para aproximar√
2 tomando x0 = 1.
(b) Escribe el m´etodo de Newton–Raphson para aproximar 313 partiendo de x0 = 1.
7. Considera la siguiente tabla de valores:
xi -1 0 1 3 4
f (xi) 6 3 6 38 77 correspondientes a mediciones de una funci´on f .
(a) Calcula el polinomio p de interpolaci´on de Lagrange de grado 2 relativo a f en los nodos {1, 3, 4}.
(b) Calcula el polinomio q de interpolaci´on de Lagrange de grado 2 relativo a f en los nodos {−1, 0, 1}.
(c) Aproxima f (0.25) y f (2).
8. Sea la funci´on f dada por f (x) = 1
2x|x|. ¿Cu´al es la clase de f?
9. (SEP03)
(a) Construye el polinomio de Taylor, p, de primer orden de la funci´on g(x) = sin(x) centrado en el punto x0 = π/2.
(b) Consideramos ahora la funci´on f definida como sigue:
f (x) =
(sin(x) , si x ≤ π/2 p(x) , si x > π/2
siendo p el polinomio construido en el apartado anterior. ¿Cu´al es la clase de f en IR?
10. (JUN08) Calcula los extremos relativos y absolutos, si existen, de la funci´on definida en el intervalo
−12,32 por f(x) = x2− 2 |x| + 2.
11. (DIC08) Sea la funci´on dada por:
f : Dom (f ) ⊂ IR −→ IR
x −→ f(x) = x2
ex (a) Calcula el dominio m´aximo de f , Dom (f ).
(b) Calcula los extremos absolutos de f en el intervalo [0, 10], justificando previamente su existencia.
Soluci´on: fmin = 0, fmax= f (2) (c) Calcula los extremos absolutos de f en Dom (f ), justificando su existencia. Soluci´on: fmin = 0 12. Sea la funci´on f dada por f (x) = (4x + 1)(2+sin x2). Calcula su derivada en cualquier punto.
13. (JUN03) La relaci´on entre la presi´on P , el volumen V y la temperatura T de un gas espec´ıfico viene dada por la ecuaci´on de Van der Waals:
P + 5
V2
(V − 0.03) = 9.7 .
Considerando el volumen como una funci´on de la presi´on P , razona si la derivada de V en el punto (5, 1) vale 2.
14. (FEB05) Consideramos la funci´on f dada por:
f (x) =
sin(x) , si x ∈ (−∞, 0) arctan(x) , si x ∈ [0, 1]
πx3/4 , si x ∈ (1, +∞) . (a) Esboza la representaci´on gr´afica de f .
(b) Determina la clase de f en IR.
(c) Calcula, si es posible, la recta tangente a f en el punto x0= 0.
(d) Determina un intervalo en el que f sea de clase infinito.
15. (FEB01) Sea f la funci´on dada por:
f (x) = (√
x + 1 , si x ∈ (0, 1) ax2+ bx + 1 , si x ∈ [1, 2) (a) Determina a y b para que f sea derivable en (0, 2).
(b) ¿Qu´e condiciones deben verificar a y b para que f tenga un m´ınimo relativo en el punto x = 1?
16. Un rect´angulo cuya base est´a en el eje de abscisas tiene sus dos v´ertices superiores en la par´abola y = 12 − x2. ¿Cu´al es la mayor ´area que puede tener ese rect´angulo? Indica sus dimensiones.
17. (SEP03) Halla la condici´on que debe cumplir λ para que el polinomio x4+ x3+ λx2 sea c´oncavo en alg´un intervalo. Determina ese intervalo en funci´on de λ.
18. (a) Demuestra que la ecuaci´on x4− 4 x3− 1 = 0 tiene una ´unica ra´ız, α, en el intervalo [4, 5].
(b) Plantea el m´etodo de Newton–Raphson para resolver la ecuaci´on del apartado anterior. Partiendo de x0 = 4, obt´en la aproximaci´on x1.
Ejercicios complementarios 1. (FEB06) Halla la relaci´on entre a y b para que se verifique:
x→lim+∞
2x + a 2x + b
3x
= π .
2. (SEP07) Si la recta tangente a la gr´afica de la funci´on y = f (x) en el punto (4, 3) pasa por el punto (0, 2), calcula el valor de la funci´on f y su derivada en el punto cuya abscisa es x = 4.
3. (SEP09) Se desea construir un arco que describa la curva dada por f (x) =√
1 − x2. Para facilitar la construcci´on, se propone aproximar dicha funci´on por un polinomio de Taylor de segundo grado centrado en a = 0. Calcula dicho polinomio y aproxima f (1). Soluci´on: f (1) ≈ p(1) = 0.5 4. (FEB99) Durante la tos, el di´ametro de la tr´aquea disminuye. La velocidad v del aire en la tr´aquea
durante la tos viene relacionada con el radio mediante la ecuaci´on:
v = Ar2(r0− r) , A > 0 donde r0 es el radio en estado de relajaci´on.
(a) Halla el radio de la tr´aquea cuando la velocidad es m´axima, as´ı como esta velocidad.
(b) Justifica la existencia de un m´ınimo. Calc´ulalo.
5. Calcula el l´ımite:
x→lim0
(1 + x)1x − e
x .
6. Aproxima la soluci´on de x3− x − 1 = 0 en [1.3, 1.4] mediante los m´etodos de:
(a) dicotom´ıa, con un error menor que 10−5
(b) Newton–Raphson, partiendo de x0= 1 y realizando tres iteraciones.
7. Con una hoja cuadrada de cart´on, de lado a, se quiere hacer una caja abierta, recortando para ello cuatro cuadrados iguales en las esquinas de la hoja y doblando hacia arriba las pesta˜nas para formar los lados de la caja. ¿Qu´e dimensiones debe tener la caja para que su volumen sea m´aximo?
8. (FEB08) Obt´en el valor aproximado de cos pπ
3 en funci´on del seno y el coseno de 1, mediante un polinomio de Taylor de segundo grado para la funci´on cos (√
x).
9. Sea f : IR −→ IR dada por:
f (x) =
(x 1 + x2sinx1 , si x 6= 0
0, si x = 0 .
Averigua si la funci´on derivada es continua en x = 0.
10. (FEB03) Sea la funci´on real f dada por:
f (x) =
sin x
x − 1 , si x < 0 x3e−x2 , si x ≥ 0 . (a) Estudia la derivabilidad de f en IR.
(b) Calcula el polinomio de Taylor de segundo grado de la funci´on f en un entorno de x0 = 1.
(c) Determina razonadamente los extremos absolutos de f en [0, +∞).
11. Obt´en el polinomio de McLaurin de grado menor o igual que n relativo a f (x) = (1 − x)α, con α ∈ IR.
12. (a) Calcula el polinomio de interpolaci´on de Lagrange de grado tres relativo a la funci´on f (x) = 2x+1− 5 en los puntos x0= 1, x1 = 2, x2= 3 y x3= 4.
(b) Calcula, utilizando el apartado anterior, una aproximaci´on del n´umero r = 4√
2 − 5, y una aproximaci´on de la ra´ız de la ecuaci´on log2(y + 5) = 3.5.
13. (DIC03) Sea la funci´on f dada por:
f (x) =
sin x
x si x < 0
2 − cos x si x ≥ 0 . (a) Estudia la continuidad de f en IR.
(b) Determina, si existe, f′(0). En caso afirmativo, razona si f es de clase uno en IR.
(c) Calcula el polinomio de Taylor de segundo grado de f en x = −π.
14. (DIC03) Halla el radio y la altura de una lata cil´ındrica de refresco de 33 cm3que minimice la cantidad de material utilizado para su construcci´on (sup´on que el grosor del material empleado es uniforme en toda la lata y despreciable).
15. (JUN04) Se considera la funci´on f : IR −→ IR dada por:
f (x) =
1 − cos x
x2 , si x 6= 0
λ, si x = 0
(a) Calcula el valor de λ para el cual f es derivable en x = 0.
(b) Calcula f′′(0) para el valor de λ hallado en el apartado anterior.
16. (DIC04) Un barco B y dos ciudades A y C de la costa forman un tri´angulo rect´angulo en C. Las distancias del barco a las ciudades A y C son 13 km y 5 km, respectivamente. Un hombre situado en A desea llegar hasta el barco B. Sabemos que puede nadar a 3 km/h y caminar a 5 km/h. ¿A qu´e distancia de A debe abandonar la costa para llegar hasta B lo antes posible?
17. Sea f : IR −→ IR dada por:
f (x) =
1 −x2
2 , si x < 0 cos x , si x ≥ 0
¿Cu´antas veces es f derivable en el punto x = 0?
18. Comprueba que la funci´on F , dada por F (x) = 1
4x2 − ln x, tiene un m´ınimo relativo, xmin, en el intervalo (1, 3). Utiliza el algoritmo de dicotom´ıa, partiendo de x0 = 1 y x1= 3, para aproximar xmin
con un error menor que 17.
19. Consideramos la ecuaci´on xe−x= e−3.
(a) Comprueba que tiene exactamente dos soluciones en IR.
(b) Plantea el m´etodo de Newton–Raphson a partir de un punto en el intervalo [2, 5]. Calcula x2 a partir de x0 = 2.
20. Razona la respuesta de las siguientes cuestiones:
(a) Halla un n´umero racional y otro irracional situados entre 3500 y 3500+ 1.
(b) Dibuja la gr´afica de la funci´on tangente. Dibuja una funci´on inversa respecto a la operaci´on composici´on e indica su dominio.
(c) Consideramos la circunferencia de centro (0, 0) y de radio 2. Halla la ecuaci´on de la recta tangente a la circunferencia en x = 1.
(d) Construye el polinomio de Taylor de grado menor o igual que 3 de la funci´on f (x) = x2− 2x + 1 en un entorno del punto a = 1.
(e) Calcula la primera derivada de la funci´on y = ln(arcsin(x2− 1)).
(f) Dadas las funciones f y g, dadas por:
f (x) =
sin x x
, si x 6= 0
1, si x = 0
y g(x) =
|sin x|
x , si x 6= 0
1, si x = 0
¿son continuas en el punto x = 0?
21. Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
(a) (FEB04) Los n´umeros complejos 2π
5 y√ 3 + i√
2 son iguales.
(b) (FEB04) Sea f (x) = 2x− 3. El dominio de f−1 es [−3, ∞).
(c) (FEB04) Sea f una funci´on real de variable real tal que f (1) = 1, f′(1) = f′′(1) = 2, f′′′(1) = 0.
Entonces su polinomio de Taylor de grado 3 centrado en 1 es x2. (d) Sea f (x) = x3− ax2+ bx + c, con a, b, c ∈ IR. Entonces:
i. Para que f tenga un extremo relativo es necesario que 4a2− 12b = 0.
ii. Adem´as el punto x = a
3 es siempre un punto de inflexi´on de f .
(e) (JUN03) Si P (x) = 1 − 2(x + π)2− 3(x + π)3 es el polinomio de Taylor de orden 3 de una funci´on f en x0 = −π, entonces −π es un m´aximo relativo de f.
