MATE 3031
Dr. Pedro V·squez
UPRM
MATE 3031
Problemas de optimizaciÛn
En las secciones anteriores han aprendido a hallar valores extremos, n˙meros crÌticos, intervalos de crecimiento, decrecimiento, cÛncava hacia arriba, cÛncava hacia abajo, puntos de ináexiÛn y la regla de LíHospital, en esta secciÛn se ponen en pr·ctica todo lo aprendido anteriormente para resolver problemas de la vida real. Por ejemplo: maximizar ·reas,
vol˙menes; minimizar costos, distancias, tiempos, etc. El gran reto es convertir el problema dado en forma verbal en un problema de
optimizaciÛn.
Pasos para resolver problemas de optimizaciÛn:
1 Entienda el problema: Recuerde leer el problema hasta entenderlo, ello incluye deÖniciÛn de variables, datos que se incluyen en
elproblema.
2 Haga un diagrama: En muchos problemas es importante que haga un diagrama para entender mejor al problema.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 2 / 13
MATE 3031
Problemas de optimizaciÛn
En las secciones anteriores han aprendido a hallar valores extremos, n˙meros crÌticos, intervalos de crecimiento, decrecimiento, cÛncava hacia arriba, cÛncava hacia abajo, puntos de ináexiÛn y la regla de LíHospital, en esta secciÛn se ponen en pr·ctica todo lo aprendido anteriormente para resolver problemas de la vida real.
Por ejemplo: maximizar ·reas, vol˙menes; minimizar costos, distancias, tiempos, etc. El gran reto es convertir el problema dado en forma verbal en un problema de
optimizaciÛn.
Pasos para resolver problemas de optimizaciÛn:
1 Entienda el problema: Recuerde leer el problema hasta entenderlo, ello incluye deÖniciÛn de variables, datos que se incluyen en
elproblema.
2 Haga un diagrama: En muchos problemas es importante que haga un diagrama para entender mejor al problema.
MATE 3031
Problemas de optimizaciÛn
En las secciones anteriores han aprendido a hallar valores extremos, n˙meros crÌticos, intervalos de crecimiento, decrecimiento, cÛncava hacia arriba, cÛncava hacia abajo, puntos de ináexiÛn y la regla de LíHospital, en esta secciÛn se ponen en pr·ctica todo lo aprendido anteriormente para resolver problemas de la vida real. Por ejemplo: maximizar ·reas,
vol˙menes; minimizar costos, distancias, tiempos, etc. El gran reto es convertir el problema dado en forma verbal en un problema de
optimizaciÛn.
Pasos para resolver problemas de optimizaciÛn:
1 Entienda el problema: Recuerde leer el problema hasta entenderlo, ello incluye deÖniciÛn de variables, datos que se incluyen en
elproblema.
2 Haga un diagrama: En muchos problemas es importante que haga un diagrama para entender mejor al problema.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 2 / 13
MATE 3031
Problemas de optimizaciÛn
En las secciones anteriores han aprendido a hallar valores extremos, n˙meros crÌticos, intervalos de crecimiento, decrecimiento, cÛncava hacia arriba, cÛncava hacia abajo, puntos de ináexiÛn y la regla de LíHospital, en esta secciÛn se ponen en pr·ctica todo lo aprendido anteriormente para resolver problemas de la vida real. Por ejemplo: maximizar ·reas,
vol˙menes; minimizar costos, distancias, tiempos, etc. El gran reto es convertir el problema dado en forma verbal en un problema de
optimizaciÛn.
Pasos para resolver problemas de optimizaciÛn:
1 Entienda el problema: Recuerde leer el problema hasta entenderlo, ello incluye deÖniciÛn de variables, datos que se incluyen en
elproblema.
2 Haga un diagrama: En muchos problemas es importante que haga un diagrama para entender mejor al problema.
MATE 3031
Problemas de optimizaciÛn
En las secciones anteriores han aprendido a hallar valores extremos, n˙meros crÌticos, intervalos de crecimiento, decrecimiento, cÛncava hacia arriba, cÛncava hacia abajo, puntos de ináexiÛn y la regla de LíHospital, en esta secciÛn se ponen en pr·ctica todo lo aprendido anteriormente para resolver problemas de la vida real. Por ejemplo: maximizar ·reas,
vol˙menes; minimizar costos, distancias, tiempos, etc. El gran reto es convertir el problema dado en forma verbal en un problema de
optimizaciÛn.
Pasos para resolver problemas de optimizaciÛn:
1 Entienda el problema:
Recuerde leer el problema hasta entenderlo, ello incluye deÖniciÛn de variables, datos que se incluyen en
elproblema.
2 Haga un diagrama: En muchos problemas es importante que haga un diagrama para entender mejor al problema.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 2 / 13
MATE 3031
Problemas de optimizaciÛn
En las secciones anteriores han aprendido a hallar valores extremos, n˙meros crÌticos, intervalos de crecimiento, decrecimiento, cÛncava hacia arriba, cÛncava hacia abajo, puntos de ináexiÛn y la regla de LíHospital, en esta secciÛn se ponen en pr·ctica todo lo aprendido anteriormente para resolver problemas de la vida real. Por ejemplo: maximizar ·reas,
vol˙menes; minimizar costos, distancias, tiempos, etc. El gran reto es convertir el problema dado en forma verbal en un problema de
optimizaciÛn.
Pasos para resolver problemas de optimizaciÛn:
1 Entienda el problema: Recuerde leer el problema hasta entenderlo, ello incluye deÖniciÛn de variables, datos que se incluyen en
el
problema.
2 Haga un diagrama: En muchos problemas es importante que haga un diagrama para entender mejor al problema.
MATE 3031
Problemas de optimizaciÛn
En las secciones anteriores han aprendido a hallar valores extremos, n˙meros crÌticos, intervalos de crecimiento, decrecimiento, cÛncava hacia arriba, cÛncava hacia abajo, puntos de ináexiÛn y la regla de LíHospital, en esta secciÛn se ponen en pr·ctica todo lo aprendido anteriormente para resolver problemas de la vida real. Por ejemplo: maximizar ·reas,
vol˙menes; minimizar costos, distancias, tiempos, etc. El gran reto es convertir el problema dado en forma verbal en un problema de
optimizaciÛn.
Pasos para resolver problemas de optimizaciÛn:
1 Entienda el problema: Recuerde leer el problema hasta entenderlo, ello incluye deÖniciÛn de variables, datos que se incluyen en
elproblema.
2 Haga un diagrama:
En muchos problemas es importante que haga un diagrama para entender mejor al problema.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 2 / 13
MATE 3031
Problemas de optimizaciÛn
En las secciones anteriores han aprendido a hallar valores extremos, n˙meros crÌticos, intervalos de crecimiento, decrecimiento, cÛncava hacia arriba, cÛncava hacia abajo, puntos de ináexiÛn y la regla de LíHospital, en esta secciÛn se ponen en pr·ctica todo lo aprendido anteriormente para resolver problemas de la vida real. Por ejemplo: maximizar ·reas,
vol˙menes; minimizar costos, distancias, tiempos, etc. El gran reto es convertir el problema dado en forma verbal en un problema de
optimizaciÛn.
Pasos para resolver problemas de optimizaciÛn:
1 Entienda el problema: Recuerde leer el problema hasta entenderlo, ello incluye deÖniciÛn de variables, datos que se incluyen en
elproblema.
2 Haga un diagrama: En muchos problemas es importante que haga un diagrama para entender mejor al problema.
MATE 3031
3 Introduzca notaciÛn:
Asigne una variable a la cantidad que va a ser optimizada (variable dependiente) y seleccione otras variables a las cantidades desconocidas.
4 Variable dependiente: Exprese a la variable dependiente en tÈrminos de las otras variables.
5 SimpliÖcar variable dependiente: Si la variable dependiente depende de m·s de una variable independiente, trate de encontrar la relaciÛn entre ellas, tal que la variable dependiente dependa de una sola variable.
6 Valores m·ximos y mÌnimos locales: Determine los n˙meros crÌticos de f , y use el criterio de la primera o segunda derivada. 7 Resolver el problema: Use los mÈtodos de las secciones 4.1 y 4.3
para hallar los m·ximos o mÌnimos absolutos o locales, dependiendo del problema.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 3 / 13
MATE 3031
3 Introduzca notaciÛn: Asigne una variable a la cantidad que va a ser optimizada (variable dependiente) y seleccione otras variables a las cantidades desconocidas.
4 Variable dependiente: Exprese a la variable dependiente en tÈrminos de las otras variables.
5 SimpliÖcar variable dependiente: Si la variable dependiente depende de m·s de una variable independiente, trate de encontrar la relaciÛn entre ellas, tal que la variable dependiente dependa de una sola variable.
6 Valores m·ximos y mÌnimos locales: Determine los n˙meros crÌticos de f , y use el criterio de la primera o segunda derivada. 7 Resolver el problema: Use los mÈtodos de las secciones 4.1 y 4.3
para hallar los m·ximos o mÌnimos absolutos o locales, dependiendo del problema.
MATE 3031
3 Introduzca notaciÛn: Asigne una variable a la cantidad que va a ser optimizada (variable dependiente) y seleccione otras variables a las cantidades desconocidas.
4 Variable dependiente:
Exprese a la variable dependiente en tÈrminos de las otras variables.
5 SimpliÖcar variable dependiente: Si la variable dependiente depende de m·s de una variable independiente, trate de encontrar la relaciÛn entre ellas, tal que la variable dependiente dependa de una sola variable.
6 Valores m·ximos y mÌnimos locales: Determine los n˙meros crÌticos de f , y use el criterio de la primera o segunda derivada. 7 Resolver el problema: Use los mÈtodos de las secciones 4.1 y 4.3
para hallar los m·ximos o mÌnimos absolutos o locales, dependiendo del problema.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 3 / 13
MATE 3031
3 Introduzca notaciÛn: Asigne una variable a la cantidad que va a ser optimizada (variable dependiente) y seleccione otras variables a las cantidades desconocidas.
4 Variable dependiente: Exprese a la variable dependiente en tÈrminos de las otras variables.
5 SimpliÖcar variable dependiente: Si la variable dependiente depende de m·s de una variable independiente, trate de encontrar la relaciÛn entre ellas, tal que la variable dependiente dependa de una sola variable.
6 Valores m·ximos y mÌnimos locales: Determine los n˙meros crÌticos de f , y use el criterio de la primera o segunda derivada. 7 Resolver el problema: Use los mÈtodos de las secciones 4.1 y 4.3
para hallar los m·ximos o mÌnimos absolutos o locales, dependiendo del problema.
MATE 3031
3 Introduzca notaciÛn: Asigne una variable a la cantidad que va a ser optimizada (variable dependiente) y seleccione otras variables a las cantidades desconocidas.
4 Variable dependiente: Exprese a la variable dependiente en tÈrminos de las otras variables.
5 SimpliÖcar variable dependiente:
Si la variable dependiente depende de m·s de una variable independiente, trate de encontrar la relaciÛn entre ellas, tal que la variable dependiente dependa de una sola variable.
6 Valores m·ximos y mÌnimos locales: Determine los n˙meros crÌticos de f , y use el criterio de la primera o segunda derivada. 7 Resolver el problema: Use los mÈtodos de las secciones 4.1 y 4.3
para hallar los m·ximos o mÌnimos absolutos o locales, dependiendo del problema.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 3 / 13
MATE 3031
3 Introduzca notaciÛn: Asigne una variable a la cantidad que va a ser optimizada (variable dependiente) y seleccione otras variables a las cantidades desconocidas.
4 Variable dependiente: Exprese a la variable dependiente en tÈrminos de las otras variables.
5 SimpliÖcar variable dependiente: Si la variable dependiente depende de m·s de una variable independiente, trate de encontrar la relaciÛn entre ellas, tal que la variable dependiente dependa de una sola variable.
6 Valores m·ximos y mÌnimos locales: Determine los n˙meros crÌticos de f , y use el criterio de la primera o segunda derivada. 7 Resolver el problema: Use los mÈtodos de las secciones 4.1 y 4.3
para hallar los m·ximos o mÌnimos absolutos o locales, dependiendo del problema.
MATE 3031
3 Introduzca notaciÛn: Asigne una variable a la cantidad que va a ser optimizada (variable dependiente) y seleccione otras variables a las cantidades desconocidas.
4 Variable dependiente: Exprese a la variable dependiente en tÈrminos de las otras variables.
5 SimpliÖcar variable dependiente: Si la variable dependiente depende de m·s de una variable independiente, trate de encontrar la relaciÛn entre ellas, tal que la variable dependiente dependa de una sola variable.
6 Valores m·ximos y mÌnimos locales:
Determine los n˙meros crÌticos de f , y use el criterio de la primera o segunda derivada. 7 Resolver el problema: Use los mÈtodos de las secciones 4.1 y 4.3
para hallar los m·ximos o mÌnimos absolutos o locales, dependiendo del problema.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 3 / 13
MATE 3031
3 Introduzca notaciÛn: Asigne una variable a la cantidad que va a ser optimizada (variable dependiente) y seleccione otras variables a las cantidades desconocidas.
4 Variable dependiente: Exprese a la variable dependiente en tÈrminos de las otras variables.
5 SimpliÖcar variable dependiente: Si la variable dependiente depende de m·s de una variable independiente, trate de encontrar la relaciÛn entre ellas, tal que la variable dependiente dependa de una sola variable.
6 Valores m·ximos y mÌnimos locales: Determine los n˙meros crÌticos de f , y use el criterio de la primera o segunda derivada.
7 Resolver el problema: Use los mÈtodos de las secciones 4.1 y 4.3 para hallar los m·ximos o mÌnimos absolutos o locales, dependiendo del problema.
MATE 3031
3 Introduzca notaciÛn: Asigne una variable a la cantidad que va a ser optimizada (variable dependiente) y seleccione otras variables a las cantidades desconocidas.
4 Variable dependiente: Exprese a la variable dependiente en tÈrminos de las otras variables.
5 SimpliÖcar variable dependiente: Si la variable dependiente depende de m·s de una variable independiente, trate de encontrar la relaciÛn entre ellas, tal que la variable dependiente dependa de una sola variable.
6 Valores m·ximos y mÌnimos locales: Determine los n˙meros crÌticos de f , y use el criterio de la primera o segunda derivada.
7 Resolver el problema:
Use los mÈtodos de las secciones 4.1 y 4.3 para hallar los m·ximos o mÌnimos absolutos o locales, dependiendo del problema.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 3 / 13
MATE 3031
3 Introduzca notaciÛn: Asigne una variable a la cantidad que va a ser optimizada (variable dependiente) y seleccione otras variables a las cantidades desconocidas.
4 Variable dependiente: Exprese a la variable dependiente en tÈrminos de las otras variables.
5 SimpliÖcar variable dependiente: Si la variable dependiente depende de m·s de una variable independiente, trate de encontrar la relaciÛn entre ellas, tal que la variable dependiente dependa de una sola variable.
6 Valores m·ximos y mÌnimos locales: Determine los n˙meros crÌticos de f , y use el criterio de la primera o segunda derivada.
7 Resolver el problema: Use los mÈtodos de las secciones 4.1 y 4.3 para hallar los m·ximos o mÌnimos absolutos o locales, dependiendo del problema.
MATE 3031
Prueba de la primera derivada para hallar extremos absolutos:
Suponga que c e un n˙mero crÌtico de una funciÛn f continua deÖnida en un intervalo:
1 Si f0(x) >0 para todo x <c y f0(x) <0 para todo x>c, entonces f (c)es el valor m·ximo absoluto de f .
2 Si f0(x) <0 para todo x <c y f0(x) >0 para todo x>c, entonces f (c)es el valor mÌnimo absoluto de f .
Ejemplos: Formule y resuelva los siguientes problemas de optimizaciÛn. 1. Halle dos n˙meros cuyo diferencia es 100 y cuyo producto es mÌnimo.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 4 / 13
MATE 3031
Prueba de la primera derivada para hallar extremos absolutos:
Suponga que c e un n˙mero crÌtico de una funciÛn f continua deÖnida en un intervalo:
1 Si f0(x) >0 para todo x <c y f0(x) <0 para todo x>c, entonces f (c)es el valor m·ximo absoluto de f .
2 Si f0(x) <0 para todo x <c y f0(x) >0 para todo x>c, entonces f (c)es el valor mÌnimo absoluto de f .
Ejemplos: Formule y resuelva los siguientes problemas de optimizaciÛn. 1. Halle dos n˙meros cuyo diferencia es 100 y cuyo producto es mÌnimo.
MATE 3031
Prueba de la primera derivada para hallar extremos absolutos:
Suponga que c e un n˙mero crÌtico de una funciÛn f continua deÖnida en un intervalo:
1 Si f0(x) >0 para todo x <c y f0(x) <0 para todo x>c,
entonces f (c)es el valor m·ximo absoluto de f .
2 Si f0(x) <0 para todo x <c y f0(x) >0 para todo x>c, entonces f (c)es el valor mÌnimo absoluto de f .
Ejemplos: Formule y resuelva los siguientes problemas de optimizaciÛn. 1. Halle dos n˙meros cuyo diferencia es 100 y cuyo producto es mÌnimo.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 4 / 13
MATE 3031
Prueba de la primera derivada para hallar extremos absolutos:
Suponga que c e un n˙mero crÌtico de una funciÛn f continua deÖnida en un intervalo:
1 Si f0(x) >0 para todo x <c y f0(x) <0 para todo x>c, entonces f (c)es el valor m·ximo absoluto de f .
2 Si f0(x) <0 para todo x <c y f0(x) >0 para todo x>c, entonces f (c)es el valor mÌnimo absoluto de f .
Ejemplos: Formule y resuelva los siguientes problemas de optimizaciÛn. 1. Halle dos n˙meros cuyo diferencia es 100 y cuyo producto es mÌnimo.
MATE 3031
Prueba de la primera derivada para hallar extremos absolutos:
Suponga que c e un n˙mero crÌtico de una funciÛn f continua deÖnida en un intervalo:
1 Si f0(x) >0 para todo x <c y f0(x) <0 para todo x>c, entonces f (c)es el valor m·ximo absoluto de f .
2 Si f0(x) <0 para todo x <c y f0(x) >0 para todo x>c,
entonces f (c)es el valor mÌnimo absoluto de f .
Ejemplos: Formule y resuelva los siguientes problemas de optimizaciÛn. 1. Halle dos n˙meros cuyo diferencia es 100 y cuyo producto es mÌnimo.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 4 / 13
MATE 3031
Prueba de la primera derivada para hallar extremos absolutos:
Suponga que c e un n˙mero crÌtico de una funciÛn f continua deÖnida en un intervalo:
1 Si f0(x) >0 para todo x <c y f0(x) <0 para todo x>c, entonces f (c)es el valor m·ximo absoluto de f .
2 Si f0(x) <0 para todo x <c y f0(x) >0 para todo x>c, entonces f (c)es el valor mÌnimo absoluto de f .
Ejemplos: Formule y resuelva los siguientes problemas de optimizaciÛn. 1. Halle dos n˙meros cuyo diferencia es 100 y cuyo producto es mÌnimo.
MATE 3031
Prueba de la primera derivada para hallar extremos absolutos:
Suponga que c e un n˙mero crÌtico de una funciÛn f continua deÖnida en un intervalo:
1 Si f0(x) >0 para todo x <c y f0(x) <0 para todo x>c, entonces f (c)es el valor m·ximo absoluto de f .
2 Si f0(x) <0 para todo x <c y f0(x) >0 para todo x>c, entonces f (c)es el valor mÌnimo absoluto de f .
Ejemplos: Formule y resuelva los siguientes problemas de optimizaciÛn. 1. Halle dos n˙meros cuyo diferencia es 100 y cuyo producto es mÌnimo.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 4 / 13
MATE 3031
Prueba de la primera derivada para hallar extremos absolutos:
Suponga que c e un n˙mero crÌtico de una funciÛn f continua deÖnida en un intervalo:
1 Si f0(x) >0 para todo x <c y f0(x) <0 para todo x>c, entonces f (c)es el valor m·ximo absoluto de f .
2 Si f0(x) <0 para todo x <c y f0(x) >0 para todo x>c, entonces f (c)es el valor mÌnimo absoluto de f .
Ejemplos: Formule y resuelva los siguientes problemas de optimizaciÛn. 1. Halle dos n˙meros cuyo diferencia es 100 y cuyo producto es mÌnimo.
MATE 3031
2. Determine la distancia mÌnima entre las par·bolas y =x2+1 y y =x"x2.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 5 / 13
MATE 3031
3. La razÛn (en carbÛn/m3/h) a la cual la fotosÌntesis se lleva a cabo para una especie de Ötoplancton se modela por la funciÛn P = 100I
I2+I+4, donde I es la intensidad de la luz (medida en miles de "footcandles").
Determine la intensidad que maximiza a P.
MATE 3031
4. Una caja con una base cuadrada y abierta tiene un volumen de 32,000 cm3. Encuentre las dimensiones de la caja para que se minimize la cantidad de material usado.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 7 / 13
MATE 3031
5. Halle las dimensiones del trapezoide m·s grande que que se puede inscribir en un cÌrculo de radio 1 y cuya base es el di·metro del cÌrculo.
MATE 3031
6. Un cilindro triangular recto est· inscrito en un cono de altura h y radio r . Halle el mayor volumen posible del cilindro.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 9 / 13
MATE 3031
7. Un poster debe tener un ·rea de 180 pul2 con un margen de 1 pulgada en los lados y la parte de abajo y dos pulgadas en la parte de arriba.
Determine las dimensiones tal que el ·rea sea la mayor posible.
MATE 3031
8. Durante el verano Jaime prepara y vende collares en la playa. El verano pasado el vendiÛ los collares por $10 cada uno y su promedio de ventas fue de 20 por dÌa. Si aumentaba el precio en $1, encontrÛ que en promedio sus ventas disminuÌan en 2 collares por dÌa.
a. Halle la funciÛn de demanda, asuma que es lineal.
b.Si el material por cada collar es de $6, determine el precio de venta para que Jaime maximize sus ganancias.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 11 / 13
MATE 3031
8. Durante el verano Jaime prepara y vende collares en la playa. El verano pasado el vendiÛ los collares por $10 cada uno y su promedio de ventas fue de 20 por dÌa. Si aumentaba el precio en $1, encontrÛ que en promedio sus ventas disminuÌan en 2 collares por dÌa.
a. Halle la funciÛn de demanda, asuma que es lineal.
b.Si el material por cada collar es de $6, determine el precio de venta para que Jaime maximize sus ganancias.
MATE 3031
8. Durante el verano Jaime prepara y vende collares en la playa. El verano pasado el vendiÛ los collares por $10 cada uno y su promedio de ventas fue de 20 por dÌa. Si aumentaba el precio en $1, encontrÛ que en promedio sus ventas disminuÌan en 2 collares por dÌa.
a. Halle la funciÛn de demanda, asuma que es lineal.
b.Si el material por cada collar es de $6, determine el precio de venta para que Jaime maximize sus ganancias.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 11 / 13
MATE 3031
9. Determine la altura de un cono circular recto de mayor volumen que se puede inscribir en una esfera de radio R.
MATE 3031
10. Una estatua de 6 m. de altura tiene su base a 2 m. arriba del nivel del ojo de un observador. øA quÈ distancia de la estatua debe colocarse el observador para que el ·ngulo subtendido desde su ojo a la estatua sea m·ximo?.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 13 / 13
