Edumate
Asesor´ıa de ´ Algebra Matem´ atica
Teorema del Resto - Divisibilidad Cocientes Notables
Problemas para la clase
Nivel I 1. Si la divisi´ on
x 3 + ax 2 + bx − 27 x − 3 es exacta. Calcular:
E = a − b a + b
3
−
a 2 + b 2 4a 2 − b 2
a) -2 b) -4 c) -8
d) -6 e) -10
2. Si el residuo de dividir (x + 1) 515 − 2x + 3 por (x 2 + 2x + 2) es (mx + n). Obtener: m + n
a) 1 b) -1 c) 2
d) -2 e) -3
3. Determine el resto de dividir:
2x 119 + 1 x 2 − x + 1
a) x − 3 b) 4 − 2x c) 3 − 2x d) 2x − 3 e) 3 − x
4. Determine el valor de a + b si se sabe que al di- vidir A x = ax 3 + bx 2 + 2x − 3 entre x + 1 el resto es -5 y al dividirlo entre x − 2 el residuo es 37.
a) 9 b) 3 c) 6
d) 5 e) 8
5. Al dividir un polinomio P (x) 2 entre (x −2) el resto es 5 y al dividirlo entre (x − 3) el resto es 7. Cal- cule el resto de dividir P (x) 2 entre (x − 2)(x − 3)
a) 2x b) 2x − 1 c) 2x + 1
d) 6x + 1 e) 5x + 7 Nivel II
6. Determine un polinomio P (x) de tercer grado que sea divisible separadamente entre (x−5) y (x−3), sabiendo adem´ as que la suma de sus coeficientes es -8 y que el t´ermino independiente es -45.
a) 2x 3 − 19x 2 + 54x − 45 b) 2x 3 − 2x + 1
c) x 3 − 2x − 45 d) 3x 3 − 7x + 1
e) 2x 3 − 7x 2 + 4x − 45
7. Determine el t´ermino lineal de un polinomio P (x) de tercer grado, tal que al dividirlo por (x − 1)(x − 2) y por (x − 3) se obtenga el mismo resto -36; y que se anule para x = 4.
a) 66x b) 2x c) 54x
d) 16x e) 28x
8. Sea P (x) un polinomio de tercer grado cuyo coe- ficiente principal es 2, al dividirlo entre (x −5) se obtiene como resto 3. Luego al dividir P (x) entre (x − 7) tambi´en se obtiene el mismo resto 3. Cal- cule P (1) si al dividir P (x) entre (x − 4) el resto es 12.
a) 69 b) 72 c) -24
d) -72 e) -69
9. Al dividir el polinomio P (x) por 6x 2 +18x el resid- uo es 2x + 1. Si se divide P (x) por −4x 2 − 20x el residuo es 6x + 1, hallar el residuo de la divisi´ on P (x) por −x 2 − 8x − 15.
a) 10x + 33 b) 15x + 28 c) 13x + 30 d) 14x + 29 e) 12x + 31
10. Hallar el vig´esimotercer t´ermino del desarrollo del cociente:
x 120 − y 96 x 5 − y 4
e indicar la suma de sus exponentes
a) 91 b) 93 c) 95
d) 97 e) 99
Prof. Carlos Torres www.edumate.wordpress.com P´ ag. 1
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11. Halle el n´ umero de t´erminos racionales de desar- rollo de C.N. generado por la divisi´ on:
√ 3 25 −
√
32 25
√ 3 − √
32
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 4
12. ¿Qu´e lugar ocupa el t´ermino independiente en el desarrollo del C.N.?
Q x = x 27 − x −9 x 3 − x −1
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) no tiene
Problemas propuestos
13. En la siguiente divisi´ on
3x 2n+4 + 2x 2 + 2 x 2 − 1
la suma de coeficientes del cociente es 125. Cal- cule el valor de n.
a) 60 b) 120 c) 37
d) 39 e) 8
14. Sea P (x) un polinomio de cuarto grado y m´ onico, al dividir P (x) entre x − 4 el resto es 8 y al dividir P (x) entre x − 3 el resto es 6. Adem´as, P (x) es divisible por x − 5 y por x − 6. Calcule P (8)
a) 216 b) 210 c) 240
d) 250 e) 214
15. Encuentre el valor num´erico del polinomio P (x) = ( √
3 + √
2)x 4 − x 3 + x 2 + 2 √ 2x cuando x = √
3 − √ 2.
a) √ 10 + √
6 b) 1 c) -1
d) 5 √ 3 + 4 √
2 − 10 e) √ 3 − 4 √
2 + 1
16. Un polinomio P (x) de grado 16 al dividirlo en for- ma separada por (x+1); (x−2); (x−3); . . . ; (x−8) ofrece siempre el mismo resto 5, ¿cu´ al ser´a el resto de efectuar la siguiente divisi´ on?
P (x)
(x − 1)(x − 2)(x − 3) . . . (x − 8)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 4
17. Si la divisi´ on algebraica x 6 + x + 1 (x − 1)(x − 2)
deja resto R (x) = Ax + B, eval´ ue R (−1)
a) 3 b) -125 c) -115
d) -3 e) -7
18. Simplifique la expresi´ on:
x + x 3 + x 5 + . . . + x 2n−1
1
x + x 1
3+ x 1
5+ . . . + x
2n1
−1
