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Academic year: 2020

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(1)

FUERZAS CENTRALES

(2)

1. FUERZA CENTRAL

La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa y dirigida siempre hacia un punto

Concepto de Fuerza central: Fuerza dirigida siempre hacia el mismo punto, cualquiera que se a la posición de la partícula sobre la que está actuando

Ejemplos de fuerzas centrales: - Fuerza gravitatoria.

- Fuerza recuperadora de una mas.

- Fuerza que ejerce el núcleo sobre un electrón. - Fuerza centrípeta.

m

m’ v

r

(3)

2. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN PUNTO

MOMENTO DE UNA FUERZA CENTRAL

Definición y unidades:

Cuando se aplica una fuerza sobre un punto de un sólido rígido que puede girar alrededor de algún eje, el cuerpo tenderá a realizar una rotación, siempre que la fuerza no se dirija o provenga del eje.

La capacidad de una fuerza para hacer girar un cuerpo alrededor de un eje se mide por una magnitud que se llama momento de torsión.

M

r F

M

r F sen

F d

  



- Es un vector axial. Es un producto vectorial - Solamente está definido respecto de un punto.

- d es el brazo del momento, distancia perpendicular. F

(4)

Ej-1.: El péndulo de la figura oscila

alrededor del punto O. Calcula, el

momento respecto al punto O de la

fuerza que hace oscilar el péndulo en

función del ángulo que forma el hilo con

la vertical. ¿En qué posición del péndulo

el momento es nulo?

(5)

3. MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA

Cantidad de movimiento ... que determina la interacción de una partícula con otras. Si no hay interacción, si está aislada, la cantidad de movimiento de conserva.

Momento angular es el momento de la cantidad de movimiento. Unidades

- Es un vector axial. Es un producto vectorial.

- Depende del punto respecto del cual se toman momentos - Si r es ┴ a p el momento angular es máximo

- Si r es ║ a p el momento angular es cero (mov. rectilíneo)

L

r

p

L

r p sen

  



p L

(6)

Momento angular de un partícula en movimiento circular

Momento de inercia de una esfera y de distintos cuerpos geométricos

2

0 0

2

sen 90

donde

es el Momento de inercia

L

mrv

mrv

mr

L

I

I

mr

2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

2

...

...

donde

i i

es el momento de iniercia del sólido rígido

L

m r

m r

m r

m r

I

I

m r

MOMENTO ANGULAR DE UN SISTEMA

Momento angular de un sólido que tiene un movimiento de rotación en torno a un eje

2 2

2

1

5

2

esfera cilindro

(7)

Ej-2.: Una partícula de 250 g de masa,

se mueve en el plano XY con una

velocidad de 4,0 m/s a lo largo de una

recta de ecuación 2x-y+2=0. Si el móvil

se encuentra en el punto (0,2). Calcula

el módulo, dirección y sentido del

momento angular de la partícula.

a) Respecto del origen de coordenadas.

b) Respecto del punto

O’ de la recta.

1,8 kg·m

2

·s y 0

Ej-3.: Un automóvil de 1500 kg se mueve en una pista circular de 50 m

de radio con una velocidad de 40 m/s. Calcula el momento angular del

automóvil respecto del centro de la pista.

(8)

La Tierra posee dos momentos angulares:

Los electrones también tiene dos momentos angulares: orbital (l) y de espín (s)

2 0

2

5

L

I

M R

MOMENTO ANGULAR TERRESTRE

- Momento angular orbital: respecto del Sol 2

0 0 0 0

L

r M v

M r

I

- Momento angular intrínseco: debido al movimiento de rotación sobre su eje

Ej-4.: Calcula el momento angular orbital de la Tierra alrededor del Sol.

2,7·10

40

kg·m

2

·s

Ej-5.: Calcula el momento angular intrínseco de rotación de la Tierra.

(9)

4. RELACIÓN ENTRE EL MOMENTO ANGULAR Y EL MOMENTO DE TORSIÓN

A partir de la definición de momento angular y derivando respecto al tiempo ...

derivando respecto del tiempo

(

)

0 son vectores paralelos y

L

r

p

d L

d

d p

d r

r

p

r

p

dt

dt

dt

dt

d L

d p

d

d v

r F

M

m v

m

m a

F

dt

dt

dt

dt

d r

d L

p

M

dt

dt

  





 







  



 



(10)

Si no actúa ningún momento de torsión sobre una partícula, el momento angular de la partícula permanece constante.

Si

M

0

d L

0

L

cte

dt







CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

Esto ocurre: - Cuando F=0 - Cuando r=0

- Cuando F y r son paralelos. (Fuerzas centrales)

(11)

A partir de la relación entre el momento angular y el momento de una fuerza

(

)

d L

d I

d

M

I

I

dt

dt

dt

M

I















(12)

PARALELISMO ENTRE TRASLACIÓN Y ROTACIÓN

MAGNITUD TRASLACIÓN ROTACIÓN RELACIÓN

Espacio

Masa

Velocidad

Aceleración

Momento

Ec fundamental

E. Cinética

s

s

R

M

I

2

I

k M R

v

R

a

R

v

a

p

mv



d p

F

ma

dt





2

1

2

Ec

M v

1

2

R

Ec

I

d L

M

I

dt







L

I





L

r

p

(13)

1

1

1

y considerando que

2

2

2

1

dA

r d r

r vdt

r v dt

L

dA

 

 





 

5. MOMENTO ANGULAR Y SEGUNDA LEY DE KEPLER

Por conservar el módulo:

Representa el área del paralelogramo formado por los dos vectores que constituyen el producto vectorial

Por conservar la dirección:

El momento angular será perpendicular al plano que forman los vectores y , por tanto la trayectoria de la partícula debe estar en un plano

r v

Por conservar el sentido

Si conserva el sentido, la partícula siempre recorrerá la órbita en el mismo sentido, y por tanto las trayectorias de los cuerpos en el seno de campos de fuerzas centrales serán curvas planas

L

L



(14)

La ley de las áreas es aplicable a cualquier fuerza central aunque no fuera proporcional al inverso del cuadrado de la distancia.

Esta ley justifica el hecho de que un planeta que gira alrededor del Sol va más deprisa en el perihelio que en el afelio.

Si es constante

A A P P

A A P P

L

r

mv

r

mv

r v

r v





 



(15)

Ej-6.: Un planeta imaginario se mueve en una órbita elíptica de mucha

excentricidad alrededor del Sol. Cuando está en el perihelio el radio vector

es 4·10

7

km y cuando está en el afelio es 15·10

7

km. Si la velocidad en el

perihelio es 1000 km/h, calcula:

a) La velocidad en el afelio.

2,7·10

2

m/s

b) La velocidad areolar del planeta.

2·10

10

m

2

/s

c) La excentricidad de la órbita. (e=c/a=(r

a

-r

p

)/(r

a

+r

p

))

0,28

Ej-7.: El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. El

perihelio del cometa está a 8,75·10

7

km y el afelio a 5,26·10

9

km del Sol. a)

En cual de los dos puntos el cometa tiene mayor velocidad? ¿Y mayor

aceleración? b) En qué punto tiene mayor energía potencial? ¿Y mayor

energía mecánica?

perihelio; perihelio; afelio; igual

Referencias

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