Control de correlaciones en transiciones de fase cuánticas

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(1)Control de Correlaciones en Transiciones de Fase Cuánticas. Clara Virginia Castellanos López. Asesor : Luis Quiroga Puello Ph.D.. Universidad de los Andes Bogotá D.C., Noviembre de 2007.

(2) Resumen Sistemas fı́sicos con un gran número de grados de libertad, clásicos o cuánticos, presentan un reto interesante para el control de su evolución. El área de control cuántico, de muy reciente desarrollo, despierta actualmente gran interés ya que permite tener conocimiento de la respuesta de un sistema cuántico ante cambios predeterminados en algunos de sus parámetros asociados. En esta tesis se ha realizado un estudio de un sistema de materia condensada exactamente soluble: el modelo de Ising transversal que a temperatura cero se sabe que presenta una transición de fase cuántica. Con el objetivo de acercarnos a la caracterización y descripción de esquemas de control en este sistema de muchos cuerpos, se ha investigado la evolución de distintas correlaciones cuánticas..

(3) Índice general 1. Introducción. 1. 2. Modelo de Ising Transversal y Transiciones de Fase Cuánticas 4 3. Correlaciones con campo magnético constante. 11. 3.1. Diagonalización exacta del hamiltoniano . . . . . . . . . . . . 12 3.2. Funciones de Correlación de Spin . . . . . . . . . . . . . . . . 13 x 3.2.1. Correlación hSlx Sm i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. y i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.2. Correlación hSly Sm. z 3.2.3. Correlación hSlz Sm i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. 3.2.4. Correlaciones a primeros vecinos . . . . . . . . . . . . . 20 3.2.5. Correlaciones a segundos vecinos . . . . . . . . . . . . 21 3.3. Funciones de Correlación a tiempos distintos . . . . . . . . . . 23 3.4. Teorema de Regresión Cuántico . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4. Correlaciones de spin en campos magnéticos dependientes del tiempo 35 4.1. Funciones de correlación dependientes del tiempo . . . . . . . 35 4.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2.1. Campo Magnético Escalón . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2.2. Campo Magnético Exponencial . . . . . . . . . . . . . 43 0.

(4) 4.2.3. Campo Magnético con variación senosoidal . . . . . . . 43 4.2.4. Campo Magnético Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.2.5. Campos con variación rectangular . . . . . . . . . . . . 49 4.3. Densidad de regiones desordenadas . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.3.1. Evolución de Landau-Zener . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3.2. Mecanismo de Kibble-Zurek . . . . . . . . . . . . . . . 58 5. Correlaciones con campo magnético local. 62. 5.1. Diagonalización numérica del hamiltoniano . . . . . . . . . . . 63 5.2. Funciones de Correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.3. Campo Local Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.4. Campo Local Escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.4.1. Evolución temporal de las funciones de correlación . . . 69 5.4.2. Correlación a tiempos distintos . . . . . . . . . . . . . 75 6. Conclusiones. 78. Apéndices. 81. A. Diagonalización del hamiltoniano. 82. B. Funciones de Correlación. 95. z B.0.3. Correlación hΨ0 |Slx Sm | Ψ0 i . . . . . . . . . . . . . . . . 95. x B.0.4. Correlación hSlx Sm i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98. C. Funciones de Correlación a tiempos Distintos. 104. C.0.5. Valor esperado de la magnetización . . . . . . . . . . . 105 C.0.6. Correlaciones a tiempos distintos . . . . . . . . . . . . 109 D. Evolucioón Temporal de la Matriz Densidad. 1. 126.

(5) E. Evolución Temporal de el vector de estado en presencia de campos cuadrados 130 E.1. Escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 F. Diagonalización Numérica del hamiltoniano. 133. G. Funciones de Correlación con Campo Local. 137. G.1. Campo Local Escalonado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 G.1.1. Magnetización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 ® G.1.2. (Siz Sjz )(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 G.1.3. h(SxSy)(t)i ® G.1.4. (Siy Sjx )(t) ® G.1.5. (Six Sjx )(t) ® G.1.6. (Siy Sjy )(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143. G.1.7. Función de correlación en z a tiempos distintos . . . . 144 ® G.1.8. (Siz (0)Sjz )(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.

(6) Índice de figuras 3.1. Funciones de correlación para N=100. . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2. La lı́nea sólida corresponde al lı́mite termodinámico. La lı́nea punteada corresponde a N=100. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3. Lı́mite termodinámico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.4. La lı́nea sólida corresponde a la solución en el lı́mite termodinámico. La lı́nea punteada corresponde al cálculo con N=100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.5. Tiempo de decaimiento para diferentes valores de h y N=100.. 28. 3.6. La decoherencia de un spin D(t) para dos valores de h y N=100. 28 3.7. La primera columna representa las correlaciones para el mismo spin a tiempos distinos para diferentes valores de campo h. La segunda columna es la correlación para spins vecinos, y la última columna es la correlación entre spins lejanos. . . . . . . 29 3.8. Algunas funciones de correlación de la Figura 3.4 superpuestas en la misma escala. Las lı́neas punteadas corresponden a valores de h menores al valor crı́tico, hc = 1. . . . . . . . . . . 32 4.1. Para hI (t). a=0.Diferentes valores de b. En la columna I, b < hc . Columna II b = hc . Columna III b > hc . Cadena de N=100 spins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2. Para hI (t). b=0. Diferentes valores de a. En la columna I, a < hc . Columna II h = hc . Columna III h > hc . Cadena de N=100 spins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3. Funciones de correlación para el campo escalonado hacia arriaba. a = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.

(7) 4.4. Funciones de correlación para el campo escalonado hacia abajo. b = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.5. Para hII (t). a=0 , b=5. Figura a) K=0.05. Figura b) K=0.1. Figura c) K=1. Figura d) K=10. La lı́nea punteada es la magnitud del campo medida con la escala de la derecha. La concurrencia es la lı́nea sólida medida con la escala de la izquierda. 44 4.6. hIII (t). K = 0,05, a = 2, N = 100 . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.7. hIII (t). K = 0,05, a = 2, N = 100. Concurrencia en función del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.8. Para hIV (t). K = 0,05, a = 2, N = 100 . . . . . . . . . . . . . 47 4.9. Funciones de correlación para un campo magnético que se apaga linealmente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.10. Para hV (t) . Czz = ρzz − Mz2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50. 4.11. Arriba: concurrencia en función del campo. Abajo: concurrencia en funciı́on de τQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. 4.12. Campo rectangular variando el tiempo de permanenecia abajo en h = 0. N=100 spins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.13. Densidad de regiones desordenadas en función de τQ . La solución exacta corresponde a la ecuación (4.26), la solución de LZ es la ecuación (4.28). La solución relacionada con la función de correlación corresponde a la expresión (4.31). Se usa la misma solución que se graficó en la Figura 4.11. . . . . . . . . . . . . 61 5.1. Magnetización y funciones de correlación a primeros vecinos para los spins en los sitios j = N/2 y j = N/2 + 1. . . . . . . . 67 5.2. Concurrencia entre primeros vecinos en los sitios j = N/2 y j = N/2 + 1, para diferentes valores del campo local δh. . . . . 68 5.3. Arriba: Magnetización en función del tiempo en el sitio donde se aplica el campo local δh en escalón. Abajo: Promedio de la magnetización. Campo global h = 0,5. . . . . . . . . . . . . . 70 5.4. Arriba: Magnetización en función del tiempo en el sitio donde se aplica el campo local δh. Abajo: Promedio de la magnetización. Campo global h = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.

(8) 5.5. Campo local en escalón. Magnetización y funciones de correlación en función del tiempo para las parejas de spin en (N/2, N/2 + 1) y (N/2 + 1, N/2 + 2). h = 0,5 y δh = 0,5. . . . 73 5.6. Evolución de la concurrencia para dos parejas de spins primeros vecinos. Campo global h = 0,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.7. Magnetización y funciones de correlación en función del tiempo con h = 2, δh = 0,5. Lı́nea punteada j = N/2 y lı́nea sólida j = N/2 + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.8. Evolución de la concurrencia para dos parejas de spins primeros vecinos. Campo global h = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 ® z 5.9. Sj (0)Sjz (t) para diferentes sitios en la red con h = 0,5 y δh = 0,5. El campo local se aplica en el spin central j = N/2. . 77.

(9) Índice de cuadros.

(10) Capı́tulo 1 Introducción Sistemas fı́sicos con un gran número de grados de libertad, clásicos o cuánticos, presentan un reto interesante para el control de su evolución. El área de control cuántico, de muy reciente desarrollo, despierta actualmente gran interés ya que permite tener conocimiento de la respuesta de un sistema cuántico ante cambios predeterminados en algunos de sus parámetros asociados. Este conocimiento contribuye directamente al desarrollo de nuevas técnicas experimentales y posibles aplicaciones tecnológicas, entre las cuales la que mayor expectativa ha venido despertando es en general la del procesamiento cuántico de la información y, más concretamente, la computación cuántica. Por razones tanto fundamentales como de potenciales aplicaciones es importante entender y diseñar protocolos que permitan llevar un sistema cuántico desde un estado inicial, resultado de una preparación adecuada, hasta un estado final predeterminado. Si además se exige el cumplimiento de ciertas restricciones o requisitos de extremo (minimización o maximización) de algunas cantidades fı́sicas, el proceso de control se hace muy exigente. Además, si el sistema bajo estudio experimenta una transición de fase durante su evolución controlada, existen muy pocas investigaciones que integren todas estas caracterı́sticas. Esquemas generales adecuados para sistemas con todas estas particularidades son prácticamente inexistentes. Se trata entonces de encontrar sistemas donde algunas simplificaciones puedan ayudar a enfrentar tal tipo de problemas. Una posibilidad, que corresponde justamente a la estrategia seguida en el presente trabajo, es recurrir a sistemas que permitan una solución exacta y analı́tica en el estudio de su dinámica. 1.

(11) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. 2. En esta tesis se ha realizado un estudio de un sistema de materia condensada exactamente soluble: el modelo de Ising transversal que a temperatura cero se sabe que presenta una transición de fase cuántica. Con el objetivo de acercarnos a la caracterización y descripción de esquemas de control en este sistema de muchos cuerpos, se ha investigado la evolución de distintas correlaciones cuánticas. Sistemas realistas están compuestos por un gran número de partes, aunque este número puede ser muy grande, es importante centrar el estudio en sistemas finitos. Los resultados que serán presentados en este trabajo corresponden esencialmente a cadenas de spin con un número finito de sitios. El parámetro de control empleado ha sido el valor del campo magnético transversal aplicado. El presente documento comienza con un análisis estático de las correlaciones del modelo de Ising transversal. Con esto se busca partir de una base sólida con el conocimiento de las principales caracterı́sticas de equilibrio del sistema para distintos valores del parámetro de control. Adicionalmente, se analiza en este caso el enredamiento entre dos spins y su comportamiento cerca del punto crı́tico donde ocurre la transición de fase. Aunque éste es material ya conocido [1, 2, 3, 4], se organiza parte de la información disponible actualmente en esta área. Se extienden estos resultados preliminares al estudio de correlaciones a tiempos distintos y se encuentra una conexión con el teorema de regresión cuántica en situaciones donde ocurre una transición de fase cuántica. Con el uso de este teorema se concluye que el modelo de Ising transversal presenta un carácter Markoviano en la fase paramagnética pero no-Markoviano en la fase ferromagnética. Este último resultado permite demostrar que la memoria en un sistema crı́tico podrı́a ser controlada a través de una transición de fase cuántica. Se continúa el estudio analizando la dinámica del sistema cuando el parámetro de control cambia en el tiempo. Se consideran variaciones de diferentes tipos para este parámetro y se caracteriza la respuesta de las funciones de correlación con estos cambios. En particular, se encuentra que el enredamiento tiene un comportamiento especial en regiones cercanas al punto crı́tico, lo que extiende lo ya conocido para el caso de equilibrio. Para una variación lineal en el parámetro de control, la rapidez en el cambio incide sensiblemente en el estado del sistema al final de la variación, verificando resultados reportados anteriormente [5, 6, 7, 8, 9, 10], que pueden ser usa-.

(12) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. 3. dos como punto de partida para situaciones más complejas. Especialmente, se presentan en este trabajo resultados novedosos sobre el control de las correlaciones y el enredamiento entre spins cuando el parámetro de control tiene una variación tan simple, como apagar y encender en forma escalonada el campo magnético. Se discute la forma precisa de esta variación para destruir o preservar el enredamiento en las distintas fases del sistema. En las situaciones discutidas anteriormente se ha ejercido sobre el sistema un control global ya que el campo magnético es aplicado en forma idéntica sobre cada uno de los spins. Se presentan nuevos resultados en casos de control local, cuando se emplea un campo magnético que toma un valor distinto a su valor global sólo en una parte reducida del sistema (un único spin). A causa de las interacciones en la cadena de spins, el control local demuestra tener efectos globales. Se han considerado tanto el caso estático como el dinámico, lo cual quiere decir que el parámetro local de control es constante o varı́a con el tiempo. En ambos casos hemos se reportan resultados interesantes como que el enredamiento entre algunos sitios puede aumentar o disminuir, dependiendo de la fase cuántica en la cual se encuentra el sistema. El documento está dividido en cuatro capı́tulos y varios apéndices donde se encuentran algunos cálculos especı́ficos. En el capı́tulo 1, se describe brevemente el modelo que se va a utlizar, sus ventajas y caracterı́sticas principales que incluyen la existencia de una transición de fase cuántica. En el capı́tulo 2 se realiza el procedimiento estándar de diagonalización, que por completez del presente trabajo se incluye en este documento. Este capı́tulo está dedicado al estudio de correlaciones bajo un parámetro de control constante. En el capı́tlo 3, se aborda el estudio del control global, con un parámetro de control dependiente del tiempo. El caso especial de control local se describe en el capı́tulo 4. El documento finaliza con el capı́tulo 5 que resume las principales conclusiones..

(13) Capı́tulo 2 Modelo de Ising Transversal y Transiciones de Fase Cuánticas Transiciones de fase cuánticas (TFC) son cambios crı́ticos en las propiedades del estado fundamental de un sistema de muchos cuerpos (sistemas fuertemente correlacionados) debido a modificaciones en las interacciones entre sus componentes. Las TFC ocurren a bajas temperaturas T, donde la longitud de coherencia cuántica es mayor que la longitud de correlación clásica asociada a las fluctuaciones térmicas. Efectivamente, esto ocurre a T = 0. Tı́picamente, una TFC se presenta al cambiar un parámetro del Hamiltoniano del sistema H(λ), de tal forma que al pasar este parámetro por un valor crı́tico λc , el estado fundamental del sistema cambia de estructura. Transiciones de fase de primer o segundo órden se pueden caracterizar con las discontinuidades del estado fundamental del sistema. En [11] se demuestra, entre otras, que bajo ciertas condiciones, una discontinuidad en la concurrencia es una condición necesaria y suficiente para señalar una transición de fase cuántica1 . Ası́ mismo, una discontinuidad o divergencia en la primera derivada de la concurrencia es una condición necesaria y suficiente para señalar una transición de fase de segundo órden. Se demuestra que en el caso de una TFC de segundo órden la discontinuidad surge de la derivada de los elementos de la matriz densidad reducida ρij y no de los elementos 1. En [12] exponen lo contrario para ciertos modelos de spins.. 4.

(14) CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING TRANSVERSAL Y TRANSICIONES DE FASE CUÁNTICAS. 5. mismos, ya que en este caso los elementos de ρij se asumen contı́nuos. Sea ∆ el gap de energı́a, que representa la diferencia energética entre el estado fundamental y el primer estado excitado del sistema. Las transiciones de fase que van a ser objeto de estudio en este trabajo son aquellas de segundo órden, en las cuales el gap de energı́a tiende a cero en el punto crı́tico 2 , en el lı́mite termodinámico. Otra caracterı́stica de una TFC de segundo órden es que la longiutd de correlación diverge en el valor λc . Vale la pena resaltar que estas caracterı́sticas están completamente determinadas por el estado fundamental que, estrictamente, es el único estado poblado a T = 0, en equilibrio. En el presente trabajo se va a considerar un conjunto de N partı́culas cada una de spin 12 , en posiciones fijas (cadena de spins), acopladas ferromagnéticamente a primeros vecinos vı́a una constante de interacción de intercambio J y sujetas a un campo magnético externo h, a temperatura cero. El Hamiltoniano que describe este sistema viene dado por H = −. N X j=1. x Jj σjx σj+1 +. N X. hj σjz .. (2.1). j=1. donde σi son las matrices de Pauli. Se va a tomar Jj = J indicando que el acople entre todos los spins primeros vecinos es siempre el mismo (acoplamiento homogéneo). hj es el campo aplicado a cada spin. La cadena es cı́clica, σN +1 = σ1 . A lo largo del presente documento se van a tomar las siguientes unidades ([x] indica las unidades de x), [J] [h] [~] [t]. = = = =. 1 [J] 1 [~] / [J] = 1. El Hamiltoniano (2.1) describe el modelo de Ising transversal ferromagnético (caso especial del denominado modelo de Ising XY). En la década de los sesentas del siglo anterior se realizaron varios trabajos que trascendieron e incidieron sobre trabajos posteriores relacionados con este tema. Lieb, Schultz y 2. Ver [13].

(15) CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING TRANSVERSAL Y TRANSICIONES DE FASE CUÁNTICAS. 6. Mattis [14] resolvieron analı́ticamente este modelo sin campo magnético. McCoy et al. [15, 16, 17, 18] realizaron también un análisis analı́tico y obtuvieron expresiones para las funciones de correlación en casos donde el Hamiltoniano depende del tiempo. Niemeijer [19] encontró analı́ticamente las funciones de correlación dependientes del tiempo para las componentes de spin en la dirección del campo, a dos tiempos distintos. Por supuesto, la literatura sobre este tema es muy amplia y especialmente en años recientes ha venido creciendo en forma asombrosa en especial debido a la importancia que este tipo de sistemas ha ido adquiriendo en el contexto de posibles aplicaciones en el tratamiento cuántico de la información (algunos trabajos importantes están incluı́dos en la bibliografı́a). Sin embargo, fueron los trabajos de los tres grupos citados arriba los más relevantes en el desarrollo inicial de las bases del presente estudio. El modelo presentado es útil porque es una combinación adecuada de varios elementos: 1)Representa un sistema de materia condensada, sistema de muchos cuerpos interactuantes, lo cual lo hace un sistema complejo. 2) Tiene la ventaja de ser exactamente soluble, lo cual permite hallar todos los estados (fundamental y excitados) analı́ticamente. 3) Describe una variedad de aspectos fı́sicos interesantes que en nuestro caso, incluyen una transición de fase cuántica. 4) Representa un ejemplo concreto de un registro o memoria cuántica. A temperatura cero, las propiedades de un sistema cuántico de muchos cuerpos se rige por la estructura de su estado fundamental. El estado fundamental puede ser tan simple como un estado separable o algo más complejo como un estado enredado. El estado fundamental de un tı́pico sistema de muchos cuerpos consiste en una superposición de estados separables. El estado fundamental del sistema descrito por el Hamiltoniano (2.1) depende sensiblemente del valor del campo externo. En el lı́mite de alto campo magnético, |h| >> J, se tiene N X hj σjz , H≈ j=1. por lo cual el estado fundamental es. |Ψi = |↑↑ · · · ↑i ..

(16) CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING TRANSVERSAL Y TRANSICIONES DE FASE CUÁNTICAS. 7. El otro caso lı́mite es cuando |h| << J, en cuyo caso el efecto dominante es la interacción mutua entre los spins en la dirección x, H≈−. N X. x Jj σjx σj+1. j=1. y por consiguiente el estado fundamental es doblemente degenerado y corresponde a todos los spins alineados en la dirección x, o −x, o cualquier combinación lineal de éstas, |Ψi = |←← · · · ←i. ó. |Ψi = |→→ · · · →i. Dependiendo de la relación entre h y J, se determina si en el estado fundamental va a dominar la interacción entre spins en la dirección x, o la interacción entre la componente z de los spins y el campo h. Cuando h/J = 1 ocurre un cambio en el estado fundamental y el sistema desarrolla una magnetización en x, hσ x i = 6 0, que aumenta a medida que h/J disminuye. La magnetización en x, en el estado fundamental, es el parámetro de orden que identifica la transición de fase. El diagrama de fases del modelo de Ising transversal presenta dos regiones: (1) La fase paramagnética ocurre cuando h > J y corresponde a la ausencia de un valor finito del parámetro de orden, hσ x i = 0. (2) La fase ferromagnética cuando h < J que corresponde a la existencia de un valor finito del parámetro de orden, hσ x i = 6 0. Asociado con este cambio en la magnetización en x, está el cambio en las simetrı́as presentes en el sistema. Cuando hσx i = £0, el sistema ¤ es invariante bajo rotación alrededor del eje z, lo cual implica σiz σjz , ρij = 0, donde ρij es la matriz densidad reducida de dos spins. Cuando se pasa a la fase donde hσx i = 6 0, ya el estado fundamental del sistema no es invariante bajo una rotación alrededor del eje z. Se hace referencia a este hecho como un rompimiento espontáneo de la simetrı́a. Previamente se mencionó que en el punto crı́tico hay correlaciones de largo alcance, como en una transición de fase clásica o térmica. Las correlaciones en el sistema van a ser objeto de estudio a lo largo del presente trabajo, y se explicará el por qué de su importancia fı́sica. Suponga que el estado fundamental esDun estado E producto D E(separable), entonces la función de correlación α β α de spins σi σj − hσi i σjβ serı́a cero. Si la función de correlación no es.

(17) CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING TRANSVERSAL Y TRANSICIONES DE FASE CUÁNTICAS. 8. cero, el estado fundamental debe estar enredado y, dado el valor de la función de correlación se puede relacionar con el grado de enredamiento del estado. Es conocido que para una red cuántica la función de correlación decae exponencialmente como una función de la separación entre los spins, |i − j|. Cuando el sistema se encuentra en un punto crı́tico, las correlaciones decaen sólo como funciones polinomiales de la separación. En este punto es donde el estado fundamental ha cambiado. La cantidad fı́sica que mide las correlaciones puramente cuánticas en un sistema de muchos cuerpos es el enredamiento. Para sistemas que se acercan al punto crı́tico la estructura del enredamiento del estado fundamental debe sufrir una transición. Cómo decaen las funciones de correlación cerca al punto crı́tico ha sido tema de amplio estudio recientemente [20], utilizando la herramienta de la teorı́a del grupo de renormalización. En el presente trabajo no estamos interesados en hallar los exponentes crı́ticos. Nuestro objetivo central, ha sido el de estudiar la dinámica de las correlaciones cuánticas y encontrar conexiones con comportamientos ya establecidos en las distintas fases del sistema. El enredamiento aparece naturalmente en sistemas de muchos cuerpos a bajas temperaturas y resulta de interés en sistemas magnéticos, de superconductividad y en transiciones de fase en general. El enredamiento es una variable importante de medir ya que en las últimas décadas ha sido considerado como el recurso más importante en nuevas formas de computación, para procesar y enviar información cuántica [21], y en potenciales aplicaciones como la teleportación. Por lo tanto estudiar el enredamiento va a contribuir sin duda en el diseño de protocolos dirigidos a la manipulación de información cuántica o simplemente a entender mejor los mecanismos que la mecánica cuántica esconde en sistemas complejos. Estudiando el enredamiento en sistemas cuánticos de muchos cuerpos, se puede obtener información acerca de nueva fı́sica en sistemas de muchos cuerpos. Hasta el momento, el mayor progreso en el desarrollo de una teorı́a del enredamiento, ha sido en el caso bipartito. Para poder hablar de enredamiento se necesitan medidas adecuadas: funciones monótonas que vayan de 0 (sin enredamiento) a 1 (máximo enredamiento), invariante bajo operaciones locales. La idea general [22] es que si se tiene un estado enredado |Ψi y se aplican operaciones locales (LOCC) llevándolo a un estado |Ψ′ i, entonces |Ψi no puede estar más o menos enredado que |Ψ′ i ya que las operaciones.

(18) CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING TRANSVERSAL Y TRANSICIONES DE FASE CUÁNTICAS. 9. LOCC sólo cambian las correlaciones clásicas entre los subsistemas. Se ha mostrado que [23], el enredamiento de cualquier estado de dos partı́culas es equivalente a alguna fracción de la entropı́a de Von Neumann de un estado EPR. Por lo tanto la manipulación de sistemas bipartitos y la caracterización del enredamiento se entiende bien. Sin embargo, estos resultados no se han podido generalizar exitosamente a sistemas con N ≥ 3. Una teorı́a de enredamiento en sistemas de muchas partı́culas ayudarı́a a entender la relación entre los sistemas subyacentes. Varios autores se han interesado en estudiar el enredamiento multipartito [24], el enredamiento entre bloques de spins [25, 26, 27] o el enredamiento global [28]. Una dificultad que aparece al estudiar el enredamiento en sistemas de muchas partı́culas se debe a que el número de grados de libertad aumenta exponencialmente con el número de subsistemas (O(2N )). Por ejemplo, calcular el estado fundamental de una cadena de un número grande de spins para luego calcular el enredamiento, es una tarea muy difı́cil y computacionalmente muy costosa. Afortunadamente, para algunos modelos especı́ficos de spins como el modelo de Ising transversal, el estado fundamental se puede calcular exactamente vı́a una serie de transformaciones. De allı́ se puede calcular el enredamiento. La relación cercana entre el enredamiento y transiciones de fase cuánticas ha llamado la atención. Se tiene la creencia que el enredamiento del estado fundamental juega un papel crucial en el entendimiento de una transición de fase cuántica. Precisamente, [11, 1, 2, 29] estudiaron el enredamiento en el estado fundamental de la cadena infinita en el modelo de Ising XY transversal y su relación con las transiciones de fase cuánticas. En estos trabajos calcularon la concurrencia entre pares de spins y se encontró que la concurrencia tiene un máximo cerca al punto crı́tico y una divergencia de la concurrencia exactamente en el punto crı́tco, en el lı́mite termodinámico. Entender la conexión entre el enredamiento y la información cuántica ha sido un objetivo de los últimos años. La connotación no-local del enredamiento se considera un recurso importante en esta área. Desde el punto de vista de la información cuántica, entre más enredado está un estado, más recursos poseen para un tratamiento no clásico de la información. Es por esto que resulta interesante cuantificar y entender el enredamiento cercano a las transiciones de fase cuánticas. Entre las aplicaciones se han encontrado protocolos para comunciación cuántica por medio de una cadena de spins [21]..

(19) CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING TRANSVERSAL Y TRANSICIONES DE FASE CUÁNTICAS. 10. Especı́ficamente, en el presente trabajo el objetivo es determinar criterios para adquirir control sobre las correlaciones del sistema y poder emplearlo de un modo eficiente en futuras aplicaciones experimentales..

(20) Capı́tulo 3 Correlaciones con campo magnético constante En este capı́tulo se presentan las correlaciones de spin en el modelo de Ising en un campo magnético h transversal constante. Se analiza el comportamiento de las correlaciones tanto en la fase paramagnética (J = 1, h > 1) como en la fase ferromagnética (J = 1, h < 1). Inicialmente se diagonaliza el hamiltoniano del modelo de Ising transversal XY, y se encuentran en forma exacta las energı́as y los estados estacionarios del sistema. Con este fin se sigue el procedimiento standard que consiste en realizar una transformada de Jordan-Wigner, seguida por una transformada de Fourier (para sistemas traslacionalmente invariantes) y finalmente una transformación de Bogoliubov. Una vez adquirida esta información básica se encuentra una expresión general para las funciones de correlación de spin que sirven finalmente para expresar la matriz densidad reducida para dos sitios (spins) arbitrarios. La matriz densidad reducida se utiliza para determinar los cambios en el enredamiento existente entre dos sitios de la cadena para distintos campos magnéticos en las dos fases cuánticas del sistema. Se comprueba que al pasar por la transición de fase (h = 1) el enredamiento, medido por la concurrencia, presenta un comportamiento singular. Adicionalmente, se completa la información sobre el sistema y sus propiedades dinámicas al estudiar las correlaciones a dos tiempos distintos. Finalmente, se hace una conexión con el teorema de regresión cuántica y se discute sobre su aplicabilidad en situaciones donde ocurre una transición de fase cuántica. Se encuentra que para correlaciones de spin longitudinales (en la 11.

(21) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. 12. dirección del campo h) este teorema es válido en la fase paramagnética pero no lo es en la fase ferromagnética. A partir de este resultado se concluye que el modelo de Ising transversal presenta un carácter markoviano en la fase h > 1 pero no en la fase h < 1 lo cual permite concluir que la memoria en un sistema crı́tico se puede controlar a través de una transición de fase cuántica.. 3.1.. Diagonalización exacta del hamiltoniano. El estudio del control cuántico se va a realizar tomando como sistema de estudio el modelo de Ising transversal XY unidimensional a temperatura cero, del cual se sabe que presenta una transición de fase cuántica en un valor de campo crı́tico hc . El hamiltoniano que describe este sistema es ) ( N X x Jσjx σj+1 − hσjz (3.1) H = − j=1. donde J es la componente x de la constante de acoplamiento entre spins, que primeros vecinos. h es el valor de un campo magético aplicado que se acopla con la componente z de los spins. La cadena tiene N sitios y es cı́clica, σN +1 = σ1 . Como es de esperarse, se desea diagonalizar el hamiltoniano, conocer los valores propios de energı́a y, para analizar lo que ocurre en la transición de fase, caracterizar el estado fundamental. En esta sección se muestra cómo se diagonaliza el hamiltoniano del modelo de Ising transversal XY, empleando una serie de transformaciones como lo son, en el órden en el que se realizan, transformada de Jordan-Wigner, transformada de Fourier y transformada de Bogoliubov. La idea original [14] es que el sistema de spins interactuantes se puede transformar en un sistema de fermiones no-interactuantes, mediante una transformada de Jordan-Wigner (JW). Dicha transformada relaciona los operadores de spin con los operadores fermiónicos de creación y destrucción c†i y ci . El hamiltoniano bajo esta transformada queda convertido en,.

(22) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. H = −. N h X j=1. 13. i c†j c†j+1 + c†j cj+1 + c†j+1 cj + cj+1 cj − 2hc†j cj + h .. Seguido a esto, se realiza una transformada de Fourier y una transformada de Bogoliubov con lo cual se diagonaliza el hamiltoniano y se llega a: HI =. X p. donde. ½ ¾ 1 † Λp ηp ηp − 2. q Λp = ±2 1 − 2hcos(φp ) + h2 .. (3.2). (3.3). son los valores propios de energı́a. Detalles del procedimiento de diagonalización se encuentran en el Apéndice A.. 3.2.. Funciones de Correlación de Spin. Dependiendo de la relación entre la constante J y el valor del campo h, el comportamiento del sistema de spins va a ser diferente. Se va tomar J = 1, ası́ que el comportamiento del sistema va a depender sólo del valor del campo magnético. Esto se puede apreciar mirando dos casos lı́mite. Cuando h >> 1 la interacción con el campo magnético aplicado en la dirección z es el efecto dominante y por lo tanto los spins se alinean dando lugar a una magnetización en z, Mz . Ası́ mismo, la correlación entre dos spins en z, que se puede apreciar del elemento ρzz , también será una constante diferente de cero. Cuando h << 1 el acoplamiento entre spins es el efecto dominante, y por lo tanto la correlación entre dos spins en la dirección x, ρxx , tendrá un valor diferente de cero. Por el contrario, en este mismo régimen, la magnetización y las correlaciones en z tienden a cero. Por lo tanto, analizar las funciones de correlación provee información acerca de los efectos que ocurren en el sistema, dependiendo del valor del campo h. Adicionalmente, las funciones de correlación evaluadas se pueden emplear para determinar el nivel de enredamiento en un sistema de muchos cuerpos..

(23) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. 14. En particular, se va a caracterizar el enredamiento en un subsistema que se tomará como dos spins de la cadena. Toda la información necesaria para analizar el enredamiento bipartito se encuentra en la matriz densidad reducida de dos spins, obtenida de la matriz total del sistema después de tomar la traza sobre todos los spins excepto aquellos en la posición i y j. La matriz de densidad reducida Qij para dos sitios i, j, como cualquier matriz cuatro por cuatro, se puede expresar como combinación lineal de productos tensoriales de las matrices de Pauli en la forma 3 1 X pαβ σiα ⊗ σjβ , Qij = 4 α,β=0. (3.4). que al expandirlo, se obtiene. Q12. . q11  q12 =  q13 q14. q12 q22 ∗ q23 ∗ q24. q13 q23 q33 ∗ q34.  q14 q24   q34  q44. donde cada elemento de la matriz de densidad reducida viene dado por, q11 q12 q13 q14 q22 q23 q24 q33 q34 q44. = = = = = = = = = =. p00 + p03 + p30 + p33 p01 − ip02 + p31 − ip32 p10 + p13 − ip20 − ip23 p11 − ip12 − ip21 − p22 p00 − p03 + p30 − p33 p11 + ip12 − ip21 + p22 p10 − p13 − ip20 + ip23 p00 + p03 − p30 − p33 p01 − ip02 − p31 + ip32 p00 − p03 − p30 + p33 .. (3.5). Por razones de simetrı́a sólo los coeficientes p00 , p03 , p30 , p11 , p22 y p33 son diferentes de cero. Vale la pena notar también que todos los coeficientes son.

(24) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. 15. reales. EEstos coeficientes son las funciones de correlación, es decir pαβ = D σiα σjβ , el cual se denota como ® 1 ν µ® σ σ ρνµ (ij) = sνi sµj = 4 i j. Los argumentos que se pueden utilizar para simplificar la expresión de la matriz densidad reducida son: translacional. Si el sistema tiene esta simetrı́a, se cumple que E E D D 1. Invarianza α β α β σi σj = σ0 σR , donde R es la distancia entre los dos spins, R = j − i. 2. El hamiltoniano permanece invariante bajo una rotación ® ® de π alrededor del eje z. Con esta simetrı́a se cumple que hσix,y i = σix σjz = σiy σjz = 0.. Bajo estas consideraciones, sólo p00, p03 , ®p30 , p11 , p22 y p33 son diferentes de cero. Adicionalmente, en equilibrio σix σjy = 0, lo cual obliga a todos los coeficientes a ser reales.. Por lo tanto, la matriz de densidad reducida que se obtiene cuando el sistema presenta las simetrı́as enumeradas [1, 2, 3, 4] tiene la siguiente estructura:   ρ11 0 0 ρ14  0 ρ22 ρ23 0   Qij =   0 ρ23 ρ33 0  ρ14 0 0 ρ44 donde. ρ11 = ρ22 = ρ33 = ρ44 = ρ23 = ρ14 = o, de manera equivalente. 1 + mz + ρzz (R) 4 1 − ρzz (R) 4 1 − ρzz (R) 4 1 − mz + ρzz (R) 4 ρxx (R) + ρyy (R) ρxx (R) − ρyy (R). (3.6).

(25) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. ρ11 = ρ22 = ρ33 = ρ44 = ρ23 = ρ14 =. 1 1 1 z + hσ i + hσ0z σRz i 4 2 4 1 1 z z − hσ σ i 4 4 0 R 1 1 z z − hσ σ i 4 4 0 R 1 1 z 1 − hσ i + hσ0z σRz i 4 2 4 1 y y 1 x x hσ σ i + hσ0 σR i 4 0 R 4 1 x x 1 hσ0 σR i − hσ0y σRy i 4 4. 16. (3.7). Cuando ya se han hallado las funciones de correlación y se ha construido la matriz de densidad reducida, se tiene toda la información necesaria para determinar el nivel de enredamiento bipartito. Para cuantificar el enredamiento entre dos spins arbitrarios, se va a emplear una medida de enredamiento llamada concurrencia C. La concurrencia se calcula mediante la expresión: C(Qij ) = máx[0, λ1 − λ2 − λ3 − λ4 ]. (3.8). dondeq λi son los valores propios en orden descendente de la matriz hermı́tica √ √ QQ̃ Q, donde Q̃ = (σ y ⊗ σ y )Q∗ (σ y ⊗ σ y ). La concurrencia es R = una cantidad que toma valores entre cero y uno, indicando con un valor de cero que el estado es separable y con uno que el estado entre los dos spins posee el enredamieto máximo. La ventaja de la concurrencia es que se define directamente en términos de la matriz densidad reducida, sin ningún proceso de minimización. En equilibrio, la expresión para la concurencia se simplifica a [30]: ¾ ½ q 2 2 C = 2max 0, |ρxx − ρyy | − 1/4 + ρzz , |ρxx + ρyy − (1/4 + ρzz ) − Mz . El procedimiento general para hallar las funciones de correlación está descrito en [14] o [19]. Para mayor claridad, se muestran a continuación algunos cálculos de las funciones de correlación que nos interesan, y los cálculos con más detalle se encuentran en el Apéndice B..

(26) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. 3.2.1.. 17. x Correlación hSlx Sm i. Usando el hecho que: Slx =. x hSlx Sm i =. ´ 1³ † al + al 2. E 1D † (al + al )(a†m + am ) 4. Realizando la transformada de Jordan-Wigner, * Ã m−1 + ! X 1 x i = hSlx Sm (c†l + cl ) exp iπ c†l cl (c†m + cm ) 4 l y usando que se obtiene,. ´ ´³ ³ exp(iπc†i ci ) = c†i + ci c†i − ci. x hSlx Sm i =. (3.9). 1 hBl Al+1 Bl+1 · · · Am−1 Bm−1 Am i 4. Tomando m > l, se puede considerar que m = l + R. Este valor esperado se puede reexpresar como un determinante:. hS0x SRx i = donde. 1 4. ¯ ¯ G−1 G−2 . . . G−R ¯ ¯ G0 . . . . . . G−R+1 ¯ ¯ .. .. ¯ . . ¯ ¯ GR−2 . . . . . . G−1. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯. Glm = Gm−l = hBl Am i E D † † † † = cl cm + c l c m − cl cm − cl cm. (3.10). (3.11).

(27) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. 18. Para un número finito de spins1 , N/2 D E 1 Xh 2 cos (2πpR/N ) a†p ap + a†−p a−p − 1 = N p>0 Ei D − 2 sin (2πpR/N ) a†p a†−p + a−p ap. GR. (3.12). Utilizando este resultado para GR en la expresión general para la función x i (3.10), se halla la correlación buscada. hSlx Sm En el lı́mite termodinámico [14, 15, 31] se conoce explı́citamente la expresión para GR que en nuestro caso es: h GR = π. Z. π. 0. 1 p − 2 1 + h − 2h cos(φ) π cos(φR). Z. 0. π. cos(φ(R + 1)) p 1 + h2 − 2h cos(φ). (3.13). Las ecuaciones (3.12) y (3.13) se van a utilizar para hallar las funciones de correlación restantes, para un número finito de spins o en el lı́mite termodinámico, respectivamente.. 3.2.2.. y i Correlación hSly Sm. El operador S y ´ 1³ † al − al 2 expresado en términos de los operados fermiónicos ci , y luego en términos de los operadores Ai y Bi es [14], Sly =. 1 hAl Bl+1 Al+1 · · · Bm−1 A − m − 1Am i 4 Nuevamente, esta correlación se puede expresar como un determinante en términos de la función GR : y hSly Sm i=. 1. Ver Apéndice B.

(28) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. 3.2.3.. ¯ ¯ ¯ 1 ¯¯ ρyy (R) = ¯ 4¯ ¯ ¯. G1. G0. G2 .. .. G1. GR GR−1. . . . G−R+2 .. . ... .. . ... G1. z Correlación hSlz Sm i. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯. 19. (3.14). Reescribiendo Sz como, Sz = (a†m + am )(a†m − am ) E 1D † (al + al )(a†l − al )(a†m + am )(a†m − am ) 4 E 1D † = (cl + cl )(c†l − cl )(c†m + cm )(c†m − cm ) 4 1 hAl Bl Am Bm i = 4 Aplicando el teorema de Wick [14], 1 z hSlz Sm i = (hAl Bl i hAm Bm i − hAl Bm i hAm Bl i − hAl Am i hBm Bl i) 4 Expresándolo en términos de la función GR , 1 z (Gll Gmm − Gml Glm − Sml Slm ) hSlz Sm i = 4 donde SR = hAl Am i = hBl Bm i . z hSlz Sm i =. De momento no se tiene que hallar SR ya que se mostrará más adelante que hAl Am i es diferente de cero sólo cuando el hamiltoniano depende del tiempo. Por ahora estamos interesados únicamente en el caso de un campo magnético indpendiente del tiempo, 1 (3.15) ρzz (R) = m2z − GR G−R 4 donde 1 G0 (3.16) mz = 2.

(29) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. 3.2.4.. 20. Correlaciones a primeros vecinos. Para primeros vecinos, R = 1, las funciones de correlación adquieren expresiones sencillas: 1 G−1 4 1 ρyy (R) = G1 4. ρxx (R) =. (3.17). 1 ρzz (R) = m2z − G1 G−1 4 1 G0 mz = 2. En la fase paramagnética, h >> 1, la interacción entre el campo y la componente z de los spins domina y por lo tanto los spins están fuertemente alineados en z lo cual induce una magnetización promedio positiva que se aprecia en mz y en una correlación entre spins en z, ρzz , que tiende a un valor constante diferente de cero, como se aprecia en la Figura 3.1. En la fase ferromagnética, h << 1, el acople por intercambio (J) entre spins es el efecto dominante y por lo tanto ρxx es la función de correlación con el mayor valor. En la Figura 3.2, se presenta la concurrencia para un par de spins primeros vecinos en función del campo h. La concurrencia comienza en cero, lo cual es de esperarse ya que el estado fundamental del hamiltoniano (3.1) es separable cuando h = 0 (en la base de x). Al aumentar el valor del campo las dos interacciones presentes en el sistema comienzan a competir, hasta llegar a h = 1, donde la magnitud de las dos interacciones se iguala (h = J). En la medida en que el campo aumenta y se hace tender a infinito, el estado nuevamente se vuelve separable. Debe notarse que el máximo de la concurrencia no coincide exactamente con el valor crı́tico del campo. Una explicación adelantada en [2] es que el enredamiento total en la red debe ser máximo en el punto donde ocurre la transición de fase. Sin embargo, aquı́ sólo se está calculando el enredamiento entre dos spins vecinos y por eso el máximo de la concurrencia no ocurre en el campo crı́tico..

(30) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. 21. 0.6 <σz> j. 0.5. <σxjσxj+1>. 0.4. <σj σj+1>. Funciones de correlación. y y. <σzjσzj+1> 0.3 0.2 0.1 0 −0.1. 0. 1. 2. 3. 4. 5. h. Figura 3.1: Funciones de correlación para N=100.. 3.2.5.. Correlaciones a segundos vecinos. Para segundos vecinos la distancia es R = 2, las funciones de correlación se obtienen a partir de determinantes: ¯ 1 ¯¯ ρxx (R) = 4¯ ¯ 1 ¯¯ ρyy (R) = 4¯. ¯ G−1 G−2 ¯¯ G0 G−1 ¯ ¯ G1 G0 ¯¯ G2 G1 ¯ 1 ρzz (R) = m2z − G2 G−2 4 1 G0 . mz = 2. (3.18). Como se ve en la Figura 3.3, la concurrencia se reduce en tres órdenes de magnitud. Esto no deja de ser sorprendente ya que se espera que las correlaciones sean de largo alcance en el punto crı́tico. De ahora en adelante estaremos interesados únicamente en correlaciones entre primeros vecinos.

(31) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. Derivada de Concurrencia. 0.35. 0.3. Concurrencia. 0.25. 0.2. 22. 1.5 1 0.5 0 0. 1. 2. 3. h. 0.15. 0.1. 0.05. 0. 0. 0.5. 1. 1.5. 2. 2.5 h. 3. 3.5. 4. 4.5. 5. Figura 3.2: La lı́nea sólida corresponde al lı́mite termodinámico. La lı́nea punteada corresponde a N=100..

(32) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. 23. ya que como acabamos de mostrar, la magnitud de las correlaciones entre segundos vecinos es del orden de 10−3 . −3. 4.5. x 10. Concurrencia Segundos Vecinos. 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0. 0. 0.5. 1. 1.5. 2 h. 2.5. 3. 3.5. 4. Figura 3.3: Lı́mite termodinámico.. 3.3.. Funciones de Correlación a tiempos distintos. Habiendo adquirido ya un entendimiento cualitativo y cuantitativo de las funciones de correlación estacionarias en que apoyarnos, abordamos ahora el estudio de la dinámica de las correlaciones, con el fin de entender mejor el modelo, las interacciones en el sistema y los cambios que ocurren en el estado fundamental en los distintos sectores del espacio de parámetros. Las funciones de correlación a tiempos distintos sobre el mismo spin o sobre diferentes spins resultan de interés ya que nos dan información acerca de la dinámica de las fluctuaciones cuánticas, aún cuando el campo h no esté cambiando. Esta información es importante ya que, recordemos,.

(33) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. 24. el campo magnético es constante, y por ende nos permite acceder directamente a efectos relacionados con las interacciones entre spins. Por lo tanto, al analizar las funciones de correlación a tiempos distintos podemos estudiar qué ocurre con las interacciones entre spins a medida que transcurre el tiempo. Adicionalmente, son estas correlaciones a tiempos distintos muy importantes para determinar la respuesta lineal de un sistema bajo condiciones de no-equilibrio, formalismo de Kubo. Sin embargo, en el presente trabajo las funciones de correlación a tiempos distintos van a ser empleadas para permitir acercarnos a entender el rango de validez del teorema de regresión cuántico, aplicado a un sistema donde se presenta una transición de fase cuántica. Empezamos hallando las funciones de correlación a tiempos distintos en la dirección z. El operador Sjz en términos de los operadores fermiónicos viene dado por 1 1 Sjz = (a†j aj − ) = (c†j + cj )(cj − c†j ) 2 2 Suponga que la base de operadores ηk diagonaliza al hamiltoniano, H = P † k Λk ηk ηk . Los operadores ci se pueden expresar en términos de los operadores η con un cambio de base, ci +. c†i. =. ci − c†i =. N X. k=1 N X k=1. Φki (ηk + ηk† ). (3.19). Φki (ηk − ηk† ).. (3.20). En términos de estos operadores, N. Sjz. 1X † † Φmj Ψnj (ηm + ηm )(ηm − ηm ) = 2 c,m. (3.21). La función de correlación para las componentes z de spins en diferentes sitios, l y l + R, se define como z ρzl,l+R (β, t) = < Slz Sl+R (t) >. =. z T r[e−βH Slz eiHt Sl+R e−iHt ] T r[e−βH ].

(34) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. 1 ρzl,l+R (β, t) = 4N ·(ηr†. N X. l,p,q,r,s=1. ". φpl ψql φr,l+R ψs,l+R. z + ηr )(ηs − ηs† )Sl+R e−iHt ]. 25. T r[e−βH (ηp† + ηp )(ηq − ηq† )eiHt T r[e−βH ]. ¸. (3.22). En el Apéndice C se muestra cómo esta ecuación se reduce a. ρzl,l+R (β, t). ¶ µ ¶ µ N 1 1 X 1 = βΛp tgh βΛq φpl ψpl φq,l+R ψq,l+R tgh 4N l,p,q=1 2 2 +φpl ψql φp,l+R ψq,l+R f + (φp )f + (φq )δpr δqa −φpl ψql φq,l+R ψp,l+R f − (φp )f − (φp )δps. (3.23). donde µ. ¶ 1 f (φ) = cos(Λ(φ)t) + i sin(Λ(φ)t)gh βΛ 2 ¶ µ 1 − βΛ f (φ) = i sin(Λ(φ)t) + cos(Λ(φ)t)gh 2 +. Si se siguen desarrollando las expresiones anteriores, se puede llegar a una expresión analı́tica para la correlación entre dos sitios a dos tiempos, para un campo magnético constante, en el lı́mite termodinámico. Por completez del presente documento los detalles están dados en el Apéndice C.. z ρzl,m (β, t) = < Slz Sl+R (t) > ¸2 · Z π 1 iRθ + z 2 (3.24) e f (θ) dθ + = <M > + 4π −π ¸2 · Z π ¸2 · Z π 1 1 iRθ − iRθ − e cos(2λ(θ))f (θ) dθ + e sin(2λ(θ))f (θ) dθ − 4π −π 4π −π. El primer término, el valor esperado de la magnetización al cuadrado, es constante..

(35) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. 26. Para obtener los resultados de las correlaciones a tiempos distintos entre dos spins en sitios iguales o diferentes, se utilizó la ecuación (3.23). Numéricamente se resuelve esta ecuación para un número de spins finito, que en las simulaciones se tomó como N = 100. El lı́mite termodinámico corresponde a la ecuación (3.24). En la Figura 3.4 se grafica la componente z de las funciones de correlación a tiempos distintos, para el mismo spin, en función del tiempo. Los diferentes cuadros corresponden a diferentes valores de campo. Se observa que a medida que aumenta el campo la correlación en z tiende a estabailizarse en un valor constante en tiempos cada vez más cortos. Este comportamiento se puede entender fácilmente. Cuando h << 1, en el hamiltoniano domina la interacción entre los spins vecinos en la dirección x. Sin embargo, un spin alineado en la dirección x se puede escribir como combinación lineal de spins alineados en la dirección z y en la dirección −z. Por lo tanto, en el caso que se está analizando (h << 1), las correlaciones dominantes son en la dirección x, que expresadas en la base de la componente z de los spins, se convierte en oscilaciones entre valores positivos y negativos. Las oscilaciones son cada vez más apreciables cuando h → 0, lo cual tiene sentido ya que para este valor de h las correlaciones dominantes son aquellas en la dirección x. En las situaciones en las cuales h >> 1, el término del hamiltoniano que domina es la interacción entre el campo magnético y la componente z del spin. Por lo tanto las correlaciones en la dirección z son dominantes en este régimen y se presentan menos oscilaciones. En el medio de estos casos lı́mites, la correlación de la componente z de un spin en t = 0 comparada con la componente z del mismo spin un tiempo t después, oscila durante un periodo de tiempo, indicando la presencia de las correlaciones en x, pero finalmente se establiza a un valor constante. Se definió τ , el tiempo de decaimiento, como el tiempo necesario para que la correlación no oscile una cantidad mayor a 0,02 de la constante a la cual tiende la correlación. En la Figura 3.5 se presentan los tiempos de decaimiento para distintos valores de h. Otra aplicación importante de las funciones de correlación a tiempos distintos es el estudio de la decoherencia en un spin dado causada por la presencia del resto de la cadena que actúa como un baño. Se va a definir [32] una nueva cantidad D(t) = hSz (0)Sz (t)i − hSz (0)Sz (0)i, con el fin de medir la decoherencia que está ocurriendo en el sistema, debido al acople con el medio ambiente. En nuestro modelo, el sistema está conformado por el único.

(36) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. h=0. 0 −0.2 10. 0.1. 0.15. 0. 0.1. 20. 0. <Sz(0)Sz(t)>. 0 10. 20. 0.2 0.1 0 −0.1. 0.05. 0. 0 20. 0.2 0.1 0 −0.1. 10. 20. 0.15. 0. 10. h=1.2. 20. h=1.6 0.25. 0. 10. 20. 0.2 0. h=0.9. 0.2. 10. 20. 0.2 0.15 0.1. h=0.5. 0. 10 h=0.8. −0.2 0. 0.25 0.2. h=0.1 0.2. h=1.5. 0.2. −0.1 0. −0.2. h=1.1. h=0.7 0.2. 0.2. 27. 10. 20. 0. 10. 20. h=1.7. h=1.3 0.25 0.2 0.2. 0.15 0. 10. 20. 0.1. 0. h=1. h=0.6. 10. 20. 0. 10. 20. h=5. h=1.4 0.25. 0.2. 0.2. 0. 0.1. −0.2. 0. 0. 10. 20. 0.26 0.2. 0.25. 0.15 0. 10. 20. 0. 10. 20. 0.24. 0. 10. 20. tiempo. Figura 3.4: La lı́nea sólida corresponde a la solución en el lı́mite termodinámico. La lı́nea punteada corresponde al cálculo con N=100. spin para el cual hallamos la función de correlación a dos tiempos. El resto de spins, N-1 spins, conforman lo que se llamará el baño. En t = 0 la decoherencia, D(t), es cero. A medida que transcurre el tiempo, la interacción con el ambiente hace que la cantidad hSz (0)Sz (t)i comienza a alejarse de su valor inicial. En la Figura 3.6, se comparan las decoherencias para dos valores de campo. Cuando h >> 1, la decoherencia es menor que cuando h << 1. Con las expresiones encontradas, se pueden también estudiar las correlaciones a tiempos distintos entre spins separados por una distancia R. La Figura 3.7, muestra las correlaciones entre los mismos spins (R=0), spins vecinos (R=1) y spins distantes (R = N/2) para diferentes valores de h. Se van a comparar las correlaciones en z para el mismo valor de campo y para diferentes distancias entre spins. Para esto vamos a tomar, por ejemplo, las tres gráficas en la segunda fila. Notando que las tres gráficas en la misma fila están en la misma escala, se puede ver que para R = 0 se presentan las oscilaciones más grandes en magnitud y durante un periodo de tiempo más largo que para R = 1 y R = N/2. A medida que la distancia aumenta, las correlaciones son prácticamente constantes ya que las interacciones en x,.

(37) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. 28. 80 70 60. τ. 50 40 30 20 10 0. 0. 0.5. 1. 1.5. 2. 2.5. 3. 3.5. h. Figura 3.5: Tiempo de decaimiento para diferentes valores de h y N=100.. 0 h=0.5. D(t). −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. tiempo 0 h=5. D(t). −0.002 −0.004 −0.006 −0.008 −0.01. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. tiempo. Figura 3.6: La decoherencia de un spin D(t) para dos valores de h y N=100..

(38) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. 29. responsables por las oscilaciones, son sólo a primeros vecinos.. h=0.5, R=0. h=0.5, R=1 0.2. 0.2. 0.1. 0.1. 0.1. 0. 0. 0. −0.1. −0.1. −0.1. −0.2. 0. 5. 10. −0.2. 0. h=1.5, R=0. <Sz(0)Sz(t)>. h=0.5 , R=N/2. 0.2. 5. 10. −0.2. 0. h=1.5,R=1. 0.24. 5. 10. h=1.5 R=N/2. 0.25. 0.25. 0.2. 0.2. 0.22 0.2 0.18 0.16 0. 5. 10. 0.15. 0. h=3.5, R=0. 5. 10. 0.15. 0.25. 0.25. 0.24. 0.24. 0.24. 0. 5. 10. 0.23. 0. 5. 5. 10. h=3.5 , R=N/2. 0.25. 0.23. 0. h=3.5, R=1. 10. 0.23. 0. 5. 10. tiempo. Figura 3.7: La primera columna representa las correlaciones para el mismo spin a tiempos distinos para diferentes valores de campo h. La segunda columna es la correlación para spins vecinos, y la última columna es la correlación entre spins lejanos.. 3.4.. Teorema de Regresión Cuántico. Una vez calculadas las funciones de correlación a dos tiempos, es posible verificar la validez del teorema de regresión cuántico (QRT) en sistemas que presentan transiciones de fase cuántica. El gran valor del teorema de regresión cuántico [33] es permitir evaluar funciones de correlación a dos tiempos distintos, que es justamente lo que se hizo en la sección anterior, en términos de valores promedios de observables relacionados a un tiempo dado..

(39) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. 30. La ecuación de movimiento para un operador del sistema es2 : X d hσq (t)i = Aq,q′′ hσq′′ (t)i + λq . dt q ′′. (3.25). La ecuación de movimiento para la correlación a dos tiempos, según el teorema de regresión cuántico, viene dada por X d hσq (t)σq′ (t)i = Aq,q′′ hσq′′ (t)σq′ (t)i + λq hσq′ (t)i dt ′′ q. (3.26). Es decir, la correlación a dos tiempos y el valor promedio de un observable, tienen la misma ecuación de movimiento. Note que los coeficientes Aq,q′′ son iguales en (3.25) y (3.26). Usando el teorema de regresión cuántico se va a comparar hσz (t)i con hσz (t)σz (t + τ )i. Primero considere el valor promedio de σz (t). hσz (t)i = T r[e−βH eiHt σz e−iHt ] P Recordando que el hamiltoniano diagonializado es H = k Λk ηk† ηk y, como se ha descrito antes, σz se puede escribir como η † η − 1/2. Por lo tanto, la expresión anterior se reduce a hσz (t)i = T r[e−βH σz ] = hσz i Es decir, hσz (t)i, para un determinado valor de campo h, no depende del tiempo. Siguiendo con el mensaje del teorema de regresión cuántico, hσz (t)σz (t + τ )i, deberı́a también ser una constante, aunque no necesariamente la misma constante correspondiente al valor esperado de sigma z, en este caso. La idea es comprobar que si esto se cumple, entonces el QRT es válido en el presente contexto. Por el contrario, si hσz (t)σz (t + τ )i resulta no ser constante, por lo menos para algunos valores de h, esto querrı́a decir que el teorema no es válido en cierto sector del espacio de parámetros. En la Figura 3.8 se vuelven a retomar los resultados de la Figura 3.4, con la diferencia que ahora están todas las funciones sobrepuestas en una misma escala. Facilita 2. Ecuaciones de Langevin.

(40) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. 31. notar que todas las lı́neas punteadas corresponden a valores de h menores a 1. Las lı́neas sólidas corresponden a valores de h mayores o iguales a uno. Las graficas que más oscilan son, como ya se habı́a mencionado anteriormente, aquellas correspondientes a la fase ferromagnética y oscilan aún más a medida que se acercan a h = 0. En la fase paramagnética, las oscilaciones son menos pronunciadas, con algunas oscilaciones a tiempos cortos, y se observa que las correlaciones tienden rápidamente a una constante. Concluı́mos por lo tanto, que en la fase ferromagnética (h < 1) el QRT no es válido. Cuando h >> 1 el acuerdo que hay entre las correlaciones calculadas exactamente y las predichas por el QRT es mayor. Por otra parte, es importante recordar que el teorema de regresión cuántico está basado en la hipótesis de que el baño que afecta a un spin individual (el sistema central en el presente contexto) posee una dinámica Markoviana o de memoria despreciable. Se puede concluir entonces que dependiendo de la fase en la que se encuentre el sistema de Ising transversal, se está en una fase con alta o con mı́nima memoria. Por lo tanto se está en presencia de un nuevo elemento de control de las propiedades de memoria del baño representado aquı́ por los otros N −1 spins que sirven de entorno a un spin dado. El teorema de regresión cuántico también se puede formular en términos de los operadores de matriz de densidad [33]. Considere una matriz de densidad de un sistema y reservorio ρsr (t). Comenzando en t = 0, suponemos que ρsr (0) = ρs (0)ρr (0) (3.27) donde las matrices de densidad reducidas se definen como: ρs (t) = trr (ρsr (t)) ρr (t) = trs (ρsr (t)). Es decir, en t = 0 se está suponiendo que las correlaciones entre el sistema y el reservorio se anulan. Si para tiempos posteriores se sigue cumpliendo que ρsr (t′ ) = ρs (t′ )ρr (0),. (3.28). entonces se está haciendo la aproximación de Markov3 . Cuando se satisface la ecuación (3.28), el valor esperado a dos tiempos evoluciona de la misma 3. En las ecuaciones de Langevin se realiza la aproximación de Markov. Esta aproximación consiste en decir que se puede escribir una ecuación de movimiento para el sistema que dependa unicamente del valor actual de la matriz de densidad del sistema..

(41) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. 32. 0.25 0.2. <Sz(0)Sz(t)>. 0.15 0.1 0.05 0 −0.05. h=0 h=0.1. −0.1. h=0.5 h=0.8. −0.15. h=1 h=1.2. −0.2. h=1.5 h=5. −0.25. 0. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20. tiempo. Figura 3.8: Algunas funciones de correlación de la Figura 3.4 superpuestas en la misma escala. Las lı́neas punteadas corresponden a valores de h menores al valor crı́tico, hc = 1..

(42) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. 33. manera que el valor esperado a un solo tiempo. Es decir, bajo esta aproximación, el teorema de regresión cuántico es válido. Nuevamente se desea verificar si esta nueva forma de presentar el teorema de regresión cuántico sigue siendo válida en nuestro modelo, o precisar mejor los regı́menes de validez. Para ello, se quiere entonces comenzar con un estado incial de la forma (3.27) en el cual el sistema y baño sean separables. Para ello, en t = 0 se va a hacer una medida proyectiva sobre un espin dado. Por ejemplo, sobre el espin correspondiente a i = 1. Esto es, suponga que antes de la medición, en t = 0, el sistema se encontraba en el estado de más baja energı́a que llamaremos |GSi. Inmediatamente después de la medición, el estado del sistema, sin normalizar, colapsa a |Ψi = |0i h0 |GSi . Recordando que para un spin dado la matriz σz y la matriz identidad son 1 [|1i h1| − |0i h0|] 2 1 11 = [|1i h1| + |0i h0|] 2. σz =. se puede despejar |0i h0| = 11 − σ z y reescribir |Ψi como. |Ψi = (111 − σ1z ) |GSi .. En este escenario se va a hallar el valor esperado de la componente z del primer spin en función del tiempo y se va a comparar con la función de correlación a dos tiempos del primer spin un instante después de haber hecho una medición sobre el primer spin. Salvo por constantes de normalización, hσ1z (t)i = hΨ| σ1z (t) |Ψi = hGS| (111 − σ1z ) eiHt σ1z e−iHt (111 − σ1z ) |GSi. (3.29). Ahora se va a hallar el valor esperado de la función de correlación a dos tiempos del primer spin un instante después de haber hecho una medición sobre el primer spin. Salvo por constantes de normalización,.

(43) CAPÍTULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE. hσ1z (0)σzz (t)i = = = =. 34. hσ1z (0)σ1z (t)i hGS| (111 − σ1z ) σ1z eiHt σ1z e−iHt (111 − σ1z ) |GSi hGS| (σ1z − 111 ) eiHt σ1z e−iHt (111 − σ1z ) |GSi − hGS| (111 − σ1z ) eiHt σ1z e−iHt (111 − σ1z ) |GSi. Esta última expresión es igual a la ecuación (3.29) salvo por un signo. Por lo tanto, en el caso de preparar el sistema por una medición proyectiva sobre un spin individual, el teorema de regresión cuántico es válido en cualquier fase ya que el valor esperado en función del tiempo y el valor esperado de la función de correlación a dos tiempos, siguen la misma ecuación de movimiento. Más aún, en este caso, la solución es idéntica. Por lo tanto, mediante el estudio de correlaciones se encontró una conexión con el teorema de regresión cuántica en situaciones donde ocurre una transición de fase cuántica. Con el uso de este teorema se concluyó que el modelo de Ising transversal presenta un carácter Markoviano en la fase paramagnética pero no-Markoviano en la fase ferromagnética. Este resultado permite demostrar que la memoria en un sistema crı́tico podrı́a ser controlada a través de una transición de fase cuántica..

(44) Capı́tulo 4 Correlaciones de spin en campos magnéticos dependientes del tiempo En el capı́tulo anterior se han presentado las correlaciones de spin en campos magnéticos estáticos. En este capı́tulo nuestra atención se va a centrar en hallar las correlaciones de spin en una cadena Ising transversal cuando el campo magnético externo está variando en el tiempo. Se desea determinar cómo controlar el comportamiento de estas funciones de correlación, teniendo como parámetro de control el campo aplicado. Se consideran diferentes tipos de variaciones para el campo con el propósito de comprender aspectos universales en la estructura de estados excitados del sistema de spins. En el desarrollo de la solución del problema planteado se ilustra la metodologı́a standard empleada y las principales diferencias existentes con respecto a la situación de campo estático. Para un tipo de campo variable, se encuentran criterios que permiten controlar la magnitud de las correlaciones.. 4.1.. Funciones de correlación dependientes del tiempo. Siguiendo un procedimiento similar al empleado para cuando el campo h es constante, se va a hallar la matriz de densidad reducida entre dos sitios. 35.

(45) CAPÍTULO 4. CORRELACIONES DE SPIN EN CAMPOS MAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO. 36. Cada elemento de la matriz, es una función de correlación o combinación de las mismas. Una vez se hallan las funciones de correlación y la matriz densidad reducida, se puede determinar el enredamiento entre dos spins. La estructura de la matriz densidad reducida, cuando el campo externo depende del tiempo es: . donde.  ρ11 0 0 ρ14  0 ρ22 ρ23 0   Qij =   0 ρ32 ρ33 0  ρ41 0 0 ρ44 ρ22 = ρ33 ρ23 = ρ32∗ ρ14 = ρ41 ∗. (4.1). (4.2) (4.3) (4.4). ρ14 , ρ41 , ρ23 y ρ32 son complejos y los otros elementos son reales. Comparando los elementos diferentes de cero con la matriz densidad reducida general, ecuación ( 3.5), tenemos:. ρ11 = ρ22 = ρ33 = ρ44 = ρ23 = ρ14 =. 1 + mz + ρzz (R) 4 1 − ρzz (R) 4 1 − ρzz (R) 4 1 − mz + ρzz (R) 4 ρxx (R) + ρyy (R) ρxx (R) − ρyy (R) − 2iρxy (R). (4.5). Se nota inmediatamente una diferencia con el caso estático ya que cuando h no dependı́a del tiempo la matriz de densidad reducida tenı́a la misma estructura de (4.1), pero la función de correlación ρxy (R) era cero. Sin embargo, ahora que hay dependencia temporal, esta correlación toma un valor.

(46) CAPÍTULO 4. CORRELACIONES DE SPIN EN CAMPOS MAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO. 37. diferente de cero y por simetrı́a, ρyx (R) = ρxy (R). En [17, 16, 34]1 se analiza el caso dinámico y se hacen las correcciones necesarias a las funciones de correlación. Un cambio ocurre en la función ρzz la cual se modifica a: ρzz = mz 2 (t) − GR (t)G−R (t)/4 − SR (t)S−R (t)/4. (4.6). donde hS0x SRy i = SR SR =. 1 X 2sin (2πpR/N ) Re[2ρ21 (t)]. N p>0. (4.7). Para hallar la matriz densidad reducida se necesitan las funciones de correlación, las cuales dependen de SR (4.7) o GR (3.12). Por lo tanto, es necesario hallar Ψ(t) o ρ(t), como se puede ver directamente de las expresiones para estas cantidades. Dado que ahora se van a considerar casos en los cuales el campo magnético depende del tiempo, es necesario resolver la ecuación de Schrodinger (~=1) para el vector de estado del sistema i. d |Ψ(t)i = H(t) |Ψ(t)i dt. o, en forma equivalente, hallar el operador evolución U (t) i. d U (t) = U (t)H(t). dt. Este problema fue resuelto formalmente hace ya varias décadas y en el Apéndice D se resumen los principales pasos de esa solución. Básicamente, el procedimiento consiste en separar el espacio de Hilbert del sistema en subespacios p independientes de dimensión 2, correspondientes a cada uno de los posibles modos µ ¶ cosφp − h(t) sin(φp ) Hp (t) = 2 (4.8) sin(φp ) −cosφp + h(t) Para cada subespacio se encuentra el operador de evolución temporal Up resolviendo la ecuación 1. En ([17]2.10) hay un error, pero en ([16]2.8) este error se ha corregido..

(47) CAPÍTULO 4. CORRELACIONES DE SPIN EN CAMPOS MAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO. 38. d Up (t) = Up (t)Hp (t). dt Una vez se dispone del operador de evolución temporal se puede hallar la evolución de la matriz densidad ρp (t), i. ρp (t) = Up (t)ρp (0)Up (t)† . donde ρp (0) = |Ψ(0)p i hΨ(0)p | |Ψ(0)p i = (cos(φp ) − h(0) + Λp ) |0i + sin(φp ) |p, −pi Ya con la matriz densidad se pueden calcular las funciones de correlación y el valor esperado de cualquier observable deseado. Por ejemplo, suponga que se desea encontrar el valor esperado de la magnetización en z para cualquier tipo de campo variable. En este caso, ¤ £ N/2 1 T r [Mp ρ] 1 X T r Mp Up ρp (0)Up† hMz (t)i = = N T r [ρ] N p=1 T r [ρp (0)]. donde Mp = a†p ap + a†−p a−p − 1 se expresa en forma matricial usando la base (D.2): µ ¶ −1 0 Mp = (4.9) 0 1 Siguiendo este procedimiento se determina GR (t) y SR (t)2 , se obtienen las funciones de correlación y la matriz densidad reducida. El siguiente paso consiste en observar como varı́an las funciones de correlación en el tiempo dependiendo del tipo de campo magnético al que se someta el sistema. Se va a encontrar que las funciones de correlación siguen la variación temporal del campo aplicado. Adicional a las funciones de correlación se calcula la concurrencia. Se encuentra que la condición inicial del sistema y la rapidez con la que se atraviesa la transición de fase son parámetros importantes en la evolución del sistema. 2. Al incluir la cantidad SR (t), el efecto sobre las funciones de correlaciń es despreciable..

(48) CAPÍTULO 4. CORRELACIONES DE SPIN EN CAMPOS MAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO. 4.2.. 39. Resultados. Se consideraron cinco tipos de variaciones para el campo magnético y para cada caso se obtienen resultados para las funciones de correlación y para la concurrencia entre spins. Al analizar los resultados que se encuentran se debe tener presente que en h = 1 ocurre la transición de fase cuántica. Las simulaciones se realizaron con una cadena de N = 100 spins.. 4.2.1.. Campo Magnético Escalón. Inicialmente se va a estudiar el caso más sencillo que consiste en encender o apagar el campo magnético en un determinado instante, ( a hI (t) = b. t<0 t ≥ 0.. (4.10). Se va a suponer que incialmente no habı́a campo magnético h = a = 0, y que en un determinado instante el campo cambia para tomar un valor constante b. En la Figura 4.1 se grafica la concurrencia entre spins vecinos en tres casos: (I) cuando el campo pasa a un valor menor al campo crı́tico hc = 1 (b < hc ) manteniendo al sistema en la fase ferromagnética; (II) b corresponde al campo crı́tico (b = hc ) y (III) el valor de b es mayor a hc lo cual significa pasar a través de la transición de fase y caer no-adiabáticamente en la fase paramagnética. Se observa que si b > hc , la concurrencia mantiene un valor constante. De lo contrario, la concurrencia presenta oscilaciones por algún periodo de tiempo pero retorna al valor inicial cero. La otra posibilidad para el campo escalón es comenzar con un campo diferente de cero (a 6= 0), y en algún momento apagarlo (b = 0). En la Figura 4.2 se encuentran tres casos, con un valor final b = 0 siempre. Caso (I) cuando a < hc , caso (II) para a = hc y caso (III) para a > hc . Se encuentra que la concurrencia comienza con un valor constante de equilibrio correspondiente al valor con h = a, y una vez desaparece el campo la concurrencia oscila, con el mismo periodo en todos los casos. El periodo es de T J = π2 . Sin embargo, cuando a < hc las oscilaciones presentan dos armónicos . Para estos dos casos de campos escalonados se encuentran las funciones de correlación.