Clase 1.
Concepto de la Derivada
FMM112
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias Exactas.
Objetivos
Al término de esta unidad el estudiantes será capaz de: • Conocer el concepto de la derivada.
• Utilizar propiedades algebraicas para determinar derivadas de fun-ciones reales.
•
Actividad 1.
Actividad de tres alumnos
De acuerdo a las lecturas obligatorias defina el concepto de derivada de una función
f(x)en un puntoxo∈R.
Solución.Recuerde que:
Definición: Seaf :]a, b[⊂RÏRuna función yx0∈]a, b[.Se dice que la funciónf es derivable en el puntox0si existe el siguiente límite.
l=xlim→x 0
f(x) −f(x0)
x−x
0
El valor de este límite se le conoce como la derivada defen el puntox0y se denota porf
0
(x
0)
El valor
f(x) −f(x
0)
x−x
0
se llama cociente incremental o tasa de variación media de la
Actividad 1.
Actividad de tres alumnos
De acuerdo a las lecturas obligatorias defina el concepto de derivada de una función
f(x)en un puntoxo∈R.
Solución.Recuerde que:
Definición: Seaf :]a, b[⊂RÏRuna función yx0∈]a, b[.Se dice que la funciónf es derivable en el puntox0si existe el siguiente límite.
l=xlim→x 0
f(x) −f(x0)
x−x
0
El valor de este límite se le conoce como la derivada defen el puntox0y se denota porf
0
(x
0)
El valor
f(x) −f(x
0)
x−x
0
se llama cociente incremental o tasa de variación media de la
Actividad 1.
Actividad de tres alumnos
De acuerdo a las lecturas obligatorias defina el concepto de derivada de una función
f(x)en un puntoxo∈R.
Solución.Recuerde que:
Definición:
Seaf :]a, b[⊂RÏRuna función yx0∈]a, b[.Se dice que la funciónf es derivable en el puntox0si existe el siguiente límite.
l=xlim→x 0
f(x) −f(x0)
x−x
0
El valor de este límite se le conoce como la derivada defen el puntox0y se denota porf
0
(x
0)
El valor
f(x) −f(x
0)
x−x
0
se llama cociente incremental o tasa de variación media de la
Actividad 1.
Actividad de tres alumnos
De acuerdo a las lecturas obligatorias defina el concepto de derivada de una función
f(x)en un puntoxo∈R.
Solución.Recuerde que:
Definición: Seaf :]a, b[⊂RÏRuna función yx0∈]a, b[.Se dice que la funciónf es derivable en el puntox0si existe el siguiente límite.
l=xlim→x 0
f(x) −f(x0)
x−x
0
El valor de este límite se le conoce como la derivada defen el puntox0y se denota porf
0
(x
0)
El valor
f(x) −f(x
0)
x−x
0
se llama cociente incremental o tasa de variación media de la
Actividad 1.
Actividad de tres alumnos
De acuerdo a las lecturas obligatorias defina el concepto de derivada de una función
f(x)en un puntoxo∈R.
Solución.Recuerde que:
Definición: Seaf :]a, b[⊂RÏRuna función yx0∈]a, b[.Se dice que la funciónf es derivable en el puntox0si existe el siguiente límite.
l=xlim→x 0
f(x) −f(x0)
x−x
0
El valor de este límite se le conoce como la derivada defen el puntox0y se denota porf
0
(x
0)
El valor
f(x) −f(x
0)
x−x
0
se llama cociente incremental o tasa de variación media de la
Actividad 1.
Actividad de tres alumnos
De acuerdo a las lecturas obligatorias defina el concepto de derivada de una función
f(x)en un puntoxo∈R.
Solución.Recuerde que:
Definición: Seaf :]a, b[⊂RÏRuna función yx0∈]a, b[.Se dice que la funciónf es derivable en el puntox0si existe el siguiente límite.
l=xlim→x 0
f(x) −f(x0)
x−x
0
El valor de este límite se le conoce como la derivada defen el puntox0y se denota porf
0
(x
0)
El valor
f(x) −f(x
0)
x−x
0
se llama cociente incremental o tasa de variación media de la
Concepto de la derivada
Observación.1 Bajo el siguiente cambio de variablex−x0=hpodemos expresar la derivada en la forma
f0(x
0) =hlim→ 0
f(x
0+h) −f(x0)
h
2 f
0
(x+
0) = lim
x→x+ 0
f(x) −f(x
0)
x−x
0
= lim h→0
+
f(x
0+h) −f(x0)
h :Se conoce como
la derivada por la derecha de la funciónfen el puntox0
3 f
0
(x−
0) = lim
x→x− 0
f(x) −f(x
0)
x−x
0 lim h→0
−
f(x
0+h) −f(x0)
h :Se conoce como la
derivada por la izquierda de la funciónf en el puntox0
4 f es derivable enx0si y sólo sif es derivable por la izquierda y por la derecha enx0y además
f0(x−
0) =f
0
(x+
0) =f
0
(x
0)
Concepto de la derivada
Observación.1 Bajo el siguiente cambio de variablex−x0=hpodemos expresar la derivada en la forma
f0(x
0) =hlim→ 0
f(x
0+h) −f(x0)
h
2 f
0
(x+
0) = lim
x→x+ 0
f(x) −f(x
0)
x−x
0
= lim h→0
+
f(x
0+h) −f(x0)
h :Se conoce como
la derivada por la derecha de la funciónfen el puntox0
3 f
0
(x−
0) = lim
x→x− 0
f(x) −f(x
0)
x−x
0 lim h→0
−
f(x
0+h) −f(x0)
h :Se conoce como la
derivada por la izquierda de la funciónf en el puntox0
4 f es derivable enx0si y sólo sif es derivable por la izquierda y por la derecha enx0y además
f0(x−
0) =f
0
(x+
0) =f
0
(x
0)
Concepto de la derivada
Observación.1 Bajo el siguiente cambio de variablex−x0=hpodemos expresar la derivada en la forma
f0(x
0) =hlim→ 0
f(x
0+h) −f(x0)
h
2 f
0
(x+
0) = lim
x→x+ 0
f(x) −f(x
0)
x−x
0
= lim h→0
+
f(x
0+h) −f(x0)
h :Se conoce como
la derivada por la derecha de la funciónfen el puntox0
3 f
0
(x−
0) = lim
x→x− 0
f(x) −f(x
0)
x−x
0 lim h→0
−
f(x
0+h) −f(x0)
h :Se conoce como la
derivada por la izquierda de la funciónf en el puntox0
4 f es derivable enx0si y sólo sif es derivable por la izquierda y por la derecha enx0y además
f0(x−
0) =f
0
(x+
0) =f
0
(x
0)
Concepto de la derivada
Observación.1 Bajo el siguiente cambio de variablex−x0=hpodemos expresar la derivada en la forma
f0(x
0) =hlim→ 0
f(x
0+h) −f(x0)
h
2 f
0
(x+
0) = lim
x→x+ 0
f(x) −f(x
0)
x−x
0
= lim h→0
+
f(x
0+h) −f(x0)
h :Se conoce como
la derivada por la derecha de la funciónfen el puntox0
3 f
0
(x−
0) = lim
x→x− 0
f(x) −f(x
0)
x−x
0 lim h→0
−
f(x
0+h) −f(x0)
h :Se conoce como la
derivada por la izquierda de la funciónf en el puntox0
4 f es derivable enx0si y sólo sif es derivable por la izquierda y por la derecha enx0y además
f0(x−
0) =f
0
(x+
0) =f
0
(x
0)
Concepto de la derivada
Observación.1 Bajo el siguiente cambio de variablex−x0=hpodemos expresar la derivada en la forma
f0(x
0) =hlim→ 0
f(x
0+h) −f(x0)
h
2 f
0
(x+
0) = lim
x→x+ 0
f(x) −f(x
0)
x−x
0
= lim h→0
+
f(x
0+h) −f(x0)
h :Se conoce como
la derivada por la derecha de la funciónfen el puntox0
3 f
0
(x−
0) = lim
x→x− 0
f(x) −f(x
0)
x−x
0 lim h→0
−
f(x
0+h) −f(x0)
h :Se conoce como la
derivada por la izquierda de la funciónf en el puntox0
4 f es derivable enx0si y sólo sif es derivable por la izquierda y por la derecha enx0y además
f0(x−
0) =f
0
(x+
0) =f
0
(x
0)
Concepto de la derivada
Observación.1 Bajo el siguiente cambio de variablex−x0=hpodemos expresar la derivada en la forma
f0(x
0) =hlim→ 0
f(x
0+h) −f(x0)
h
2 f
0
(x+
0) = lim
x→x+ 0
f(x) −f(x
0)
x−x
0
= lim h→0
+
f(x
0+h) −f(x0)
h :Se conoce como
la derivada por la derecha de la funciónfen el puntox0
3 f
0
(x−
0) = lim
x→x− 0
f(x) −f(x
0)
x−x
0 lim h→0
−
f(x
0+h) −f(x0)
h :Se conoce como la
derivada por la izquierda de la funciónf en el puntox0
4 f es derivable enx0si y sólo sif es derivable por la izquierda y por la derecha enx0y además
f0(x−
0) =f
0
(x+
0) =f
0
(x
Actividad 2.
Actividad de tres alumnos :Aplicación del concepto de la
derivada
La siguiente función representa el crecimiento poblacional de una familia de hamster en cautiverio en un periodo de reproducción durante 2 semanas
H(x) = x
2
4
+1
DondeH(x) :en cientos yx:en días
a.) ¿ Cuál es la población inicial de hamster ? Solución.
H(0) =1
Actividad 2.
Actividad de tres alumnos :Aplicación del concepto de la
derivada
La siguiente función representa el crecimiento poblacional de una familia de hamster en cautiverio en un periodo de reproducción durante 2 semanas
H(x) = x
2
4
+1
DondeH(x) :en cientos yx:en días
a.) ¿ Cuál es la población inicial de hamster ?
Solución.
H(0) =1
Actividad 2.
Actividad de tres alumnos :Aplicación del concepto de la
derivada
La siguiente función representa el crecimiento poblacional de una familia de hamster en cautiverio en un periodo de reproducción durante 2 semanas
H(x) = x
2
4
+1
DondeH(x) :en cientos yx:en días
a.) ¿ Cuál es la población inicial de hamster ? Solución.
H(0) =1
Actividad 2.
Actividad de tres alumnos :Aplicación del concepto de la
derivada
La siguiente función representa el crecimiento poblacional de una familia de hamster en cautiverio en un periodo de reproducción durante 2 semanas
H(x) = x
2
4
+1
DondeH(x) :en cientos yx:en días
a.) ¿ Cuál es la población inicial de hamster ? Solución.
H(0) =1
Actividad 2.
Actividad de tres alumnos :Aplicación del concepto de la
derivada
La siguiente función representa el crecimiento poblacional de una familia de hamster en cautiverio en un periodo de reproducción durante 2 semanas
H(x) = x
2
4
+1
DondeH(x) :en cientos yx:en días
a.) ¿ Cuál es la población inicial de hamster ? Solución.
H(0) =1
Actividad 2.
Actividad de tres alumnos:
Aplicación del concepto de la
derivada
La siguiente función representa el crecimiento poblacional de una familia de hamster en cautiverio en un periodo de pariciones durante 2 semanas
H(x) = x
2
4
+1
DondeH(x) :en cientos yx:en días
b.) ¿Cuál es tasa de variación media entre el cuarto y sexto día de la población de hamster?
Solución. Observe que
H(6) −H(4)
6−2
=10−5 2
luego la tasa de variación media entre el cuarto y sexto día es: 5 2
Actividad 2.
Actividad de tres alumnos:
Aplicación del concepto de la
derivada
La siguiente función representa el crecimiento poblacional de una familia de hamster en cautiverio en un periodo de pariciones durante 2 semanas
H(x) = x
2
4
+1
DondeH(x) :en cientos yx:en días
b.) ¿Cuál es tasa de variación media entre el cuarto y sexto día de la población de hamster?
Solución. Observe que
H(6) −H(4)
6−2
=10−5 2
luego la tasa de variación media entre el cuarto y sexto día es: 5 2
Actividad 2.
Actividad de tres alumnos:
Aplicación del concepto de la
derivada
La siguiente función representa el crecimiento poblacional de una familia de hamster en cautiverio en un periodo de pariciones durante 2 semanas
H(x) = x
2
4
+1
DondeH(x) :en cientos yx:en días
b.) ¿Cuál es tasa de variación media entre el cuarto y sexto día de la población de hamster?
Solución. Observe que
H(6) −H(4)
6−2
=10−5 2
luego la tasa de variación media entre el cuarto y sexto día es: 5 2
Actividad 2.
Actividad de tres alumnos:
Aplicación del concepto de la
derivada
La siguiente función representa el crecimiento poblacional de una familia de hamster en cautiverio en un periodo de pariciones durante 2 semanas
H(x) = x
2
4
+1
DondeH(x) :en cientos yx:en días
b.) ¿Cuál es tasa de variación media entre el cuarto y sexto día de la población de hamster?
Solución. Observe que
H(6) −H(4)
6−2
=10−5 2
luego la tasa de variación media entre el cuarto y sexto día es:
5 2
Actividad 2.
Actividad de tres alumnos:
Aplicación del concepto de la
derivada
La siguiente función representa el crecimiento poblacional de una familia de hamster en cautiverio en un periodo de pariciones durante 2 semanas
H(x) = x
2
4
+1
DondeH(x) :en cientos yx:en días
b.) ¿Cuál es tasa de variación media entre el cuarto y sexto día de la población de hamster?
Solución. Observe que
H(6) −H(4)
6−2
=10−5 2
luego la tasa de variación media entre el cuarto y sexto día es: 5 2
Actividad 2.
Actividad de tres alumnos :Aplicación del concepto de la
derivada
La siguiente función representa el crecimiento poblacional de una familia de hamster en cautiverio en un periodo de pariciones durante 2 semanas
H(x) = x
2
4
+1
DondeH(x) :en cientos yx:en días.
c.) ¿Cuál es la tasa de crecimiento instantánea al cuarto día de la población de hamter?
Solución. Observe que:
H0(4) =lim
h→0
H(4+h) −H(4) h
=lim
h→0
(4+h)2− 16 4h
=lim
h→0 8h+h
2
4h
=2
Actividad 2.
Actividad de tres alumnos :Aplicación del concepto de la
derivada
La siguiente función representa el crecimiento poblacional de una familia de hamster en cautiverio en un periodo de pariciones durante 2 semanas
H(x) = x
2
4
+1
DondeH(x) :en cientos yx:en días.
c.) ¿Cuál es la tasa de crecimiento instantánea al cuarto día de la población de hamter?
Solución. Observe que:
H0(4) =lim
h→0
H(4+h) −H(4) h
=lim
h→0
(4+h)2− 16 4h
=lim
h→0 8h+h
2
4h
=2
Actividad 2.
Actividad de tres alumnos :Aplicación del concepto de la
derivada
La siguiente función representa el crecimiento poblacional de una familia de hamster en cautiverio en un periodo de pariciones durante 2 semanas
H(x) = x
2
4
+1
DondeH(x) :en cientos yx:en días.
c.) ¿Cuál es la tasa de crecimiento instantánea al cuarto día de la población de hamter?
Solución. Observe que:
H0(4) =lim
h→0
H(4+h) −H(4) h
=lim
h→0
(4+h)2− 16 4h
=lim
h→0 8h+h
2
4h
=2
Actividad 2.
Actividad de tres alumnos :Aplicación del concepto de la
derivada
La siguiente función representa el crecimiento poblacional de una familia de hamster en cautiverio en un periodo de pariciones durante 2 semanas
H(x) = x
2
4
+1
DondeH(x) :en cientos yx:en días.
c.) ¿Cuál es la tasa de crecimiento instantánea al cuarto día de la población de hamter?
Solución. Observe que:
H0(4) =lim
h→0
H(4+h) −H(4) h
=lim
h→0
(4+h)2− 16 4h
=lim
h→0 8h+h
2
4h
=2
Actividad 2.
Actividad de tres alumnos :Aplicación del concepto de la
derivada
La siguiente función representa el crecimiento poblacional de una familia de hamster en cautiverio en un periodo de pariciones durante 2 semanas
H(x) = x
2
4
+1
DondeH(x) :en cientos yx:en días.
c.) ¿Cuál es la tasa de crecimiento instantánea al cuarto día de la población de hamter?
Solución. Observe que:
H0(4) =lim
h→0
H(4+h) −H(4) h
=lim
h→0
(4+h)2− 16 4h
=lim
h→0 8h+h
2
4h
Actividad 3. Actividad de tres alumnos. Ecuación de la recta tangente
y normal
Seaf:]a, b[ÏRuna función derivable enx0∈]a, b[. La recta tangente a la gráficay=f(x)en el punto(x0, f(x0))tiene de pendientef
0(x
0)por lo que su ecuación viene dada por:
yt=f0(x0)(x−x0) +f(x0)
Observación.La recta que pasa por el punto(x
0, f(x0))y es perpendicular a la recta tangente se denomina recta normal a la gráficay =f(x) en el punto(x0, f(x0)). Pueden presentarse dos situaciones:
1.) Si f 0(x
0)6=0, la pendiente de la recta normal es
−1
f0(x 0)
y su ecuación viene dada por
yn=
−1
f0(x 0)
(x−x
0) +f(x0)
2.) Si f 0(x
Actividad 3. Actividad de tres alumnos. Ecuación de la recta tangente
y normal
Seaf:]a, b[ÏRuna función derivable enx0∈]a, b[. La recta tangente a la gráficay=f(x)en el punto(x0, f(x0))tiene de pendientef
0(x
0)por lo que su ecuación viene dada por:
yt=f0(x0)(x−x0) +f(x0)
Observación.La recta que pasa por el punto(x
0, f(x0))y es perpendicular a la recta tangente se denomina recta normal a la gráficay =f(x) en el punto(x0, f(x0)). Pueden presentarse dos situaciones:
1.) Si f 0(x
0)6=0, la pendiente de la recta normal es
−1
f0(x 0)
y su ecuación viene dada por
yn=
−1
f0(x 0)
(x−x
0) +f(x0)
2.) Si f 0(x
Actividad 3. Actividad de tres alumnos. Ecuación de la recta tangente
y normal
Seaf:]a, b[ÏRuna función derivable enx0∈]a, b[. La recta tangente a la gráficay=f(x)en el punto(x0, f(x0))tiene de pendientef
0(x
0)por lo que su ecuación viene dada por:
yt=f0(x0)(x−x0) +f(x0)
Observación.La recta que pasa por el punto(x
0, f(x0))y es perpendicular a la recta tangente se denomina recta normal a la gráficay =f(x) en el punto(x0, f(x0)). Pueden presentarse dos situaciones:
1.) Si f 0(x
0)6=0, la pendiente de la recta normal es
−1
f0(x 0)
y su ecuación viene dada por
yn=
−1
f0(x 0)
(x−x
0) +f(x0)
2.) Si f 0(x
Actividad 3. Actividad de tres alumnos. Ecuación de la recta tangente
y normal
Seaf:]a, b[ÏRuna función derivable enx0∈]a, b[. La recta tangente a la gráficay=f(x)en el punto(x0, f(x0))tiene de pendientef
0(x
0)por lo que su ecuación viene dada por:
yt=f0(x0)(x−x0) +f(x0)
Observación.La recta que pasa por el punto(x
0, f(x0))y es perpendicular a la recta tangente se denomina recta normal a la gráficay =f(x) en el punto(x0, f(x0)). Pueden presentarse dos situaciones:
1.) Si f 0(x
0)6=0, la pendiente de la recta normal es
−1
f0(x 0)
y su ecuación viene dada por
yn=
−1
f0(x 0)
(x−x
0) +f(x0)
2.) Si f 0(x
Actividad 3. Actividad de tres alumnos. Ecuación de la recta tangente
y normal
Seaf:]a, b[ÏRuna función derivable enx0∈]a, b[. La recta tangente a la gráficay=f(x)en el punto(x0, f(x0))tiene de pendientef
0(x
0)por lo que su ecuación viene dada por:
yt=f0(x0)(x−x0) +f(x0)
Observación.La recta que pasa por el punto(x
0, f(x0))y es perpendicular a la recta tangente se denomina recta normal a la gráficay =f(x) en el punto(x0, f(x0)). Pueden presentarse dos situaciones:
1.) Si f 0(x
0)6=0, la pendiente de la recta normal es
−1
f0(x 0)
y su ecuación viene dada por
yn=
−1 f0(x 0)
(x−x
0) +f(x0)
2.) Si f 0(x
Actividad 3. Actividad de tres alumnos. Ecuación de la recta tangente
y normal
Seaf:]a, b[ÏRuna función derivable enx0∈]a, b[. La recta tangente a la gráficay=f(x)en el punto(x0, f(x0))tiene de pendientef
0(x
0)por lo que su ecuación viene dada por:
yt=f0(x0)(x−x0) +f(x0)
Observación.La recta que pasa por el punto(x
0, f(x0))y es perpendicular a la recta tangente se denomina recta normal a la gráficay =f(x) en el punto(x0, f(x0)). Pueden presentarse dos situaciones:
1.) Si f 0(x
0)6=0, la pendiente de la recta normal es
−1
f0(x 0)
y su ecuación viene dada por
yn=
−1 f0(x 0)
(x−x
0) +f(x0)
Actividad 3.Actividad de tres alumnos:
Ecuación de la recta tangente
y normal
Ejemplo: Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curvay=4
√
x+1 que pasan por el punto(x
0, f(x0)), dondex0=3.
Solución.Observe que six
0=3 entoncesf(x0) =f(3) =8. Por lo tanto el punto por donde pasarán las rectas tangente y normal es
(x
0, f(x0)) = (3,8)
y la pendiente de la recta tangente se obtiene como sigue:
f0(3) =lim
h→0 4
√
3+h+1−8
h
=4 lim
h→0
(4+h) −4 h(√4+h+2)
=1
Así las ecuaciones de las recta tangente y normal respectivamente son:
Actividad 3.Actividad de tres alumnos:
Ecuación de la recta tangente
y normal
Ejemplo: Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curvay=4
√
x+1 que pasan por el punto(x
0, f(x0)), dondex0=3. Solución.Observe que six
0=3 entoncesf(x0) =f(3) =8.
Por lo tanto el punto por donde pasarán las rectas tangente y normal es
(x
0, f(x0)) = (3,8)
y la pendiente de la recta tangente se obtiene como sigue:
f0(3) =lim
h→0 4
√
3+h+1−8
h
=4 lim
h→0
(4+h) −4 h(√4+h+2)
=1
Así las ecuaciones de las recta tangente y normal respectivamente son:
Actividad 3.Actividad de tres alumnos:
Ecuación de la recta tangente
y normal
Ejemplo: Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curvay=4
√
x+1 que pasan por el punto(x
0, f(x0)), dondex0=3. Solución.Observe que six
0=3 entoncesf(x0) =f(3) =8. Por lo tanto el punto por donde pasarán las rectas tangente y normal es
(x
0, f(x0)) = (3,8)
y la pendiente de la recta tangente se obtiene como sigue:
f0(3) =lim
h→0 4
√
3+h+1−8
h
=4 lim
h→0
(4+h) −4 h(√4+h+2)
=1
Así las ecuaciones de las recta tangente y normal respectivamente son:
Actividad 3.Actividad de tres alumnos:
Ecuación de la recta tangente
y normal
Ejemplo: Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curvay=4
√
x+1 que pasan por el punto(x
0, f(x0)), dondex0=3. Solución.Observe que six
0=3 entoncesf(x0) =f(3) =8. Por lo tanto el punto por donde pasarán las rectas tangente y normal es
(x
0, f(x0)) = (3,8)
y la pendiente de la recta tangente se obtiene como sigue:
f0(3) =lim
h→0 4
√
3+h+1−8
h
=4 lim
h→0
(4+h) −4 h(√4+h+2)
=1
Así las ecuaciones de las recta tangente y normal respectivamente son:
Actividad 3.Actividad de tres alumnos:
Ecuación de la recta tangente
y normal
Ejemplo: Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curvay=4
√
x+1 que pasan por el punto(x
0, f(x0)), dondex0=3. Solución.Observe que six
0=3 entoncesf(x0) =f(3) =8. Por lo tanto el punto por donde pasarán las rectas tangente y normal es
(x
0, f(x0)) = (3,8)
y la pendiente de la recta tangente se obtiene como sigue:
f0(3) =lim
h→0 4
√
3+h+1−8
h
=4 lim
h→0
(4+h) −4 h(√4+h+2)
=1
Así las ecuaciones de las recta tangente y normal respectivamente son:
Actividad 3.Actividad de tres alumnos:
Ecuación de la recta tangente
y normal
Ejemplo: Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curvay=4
√
x+1 que pasan por el punto(x
0, f(x0)), dondex0=3. Solución.Observe que six
0=3 entoncesf(x0) =f(3) =8. Por lo tanto el punto por donde pasarán las rectas tangente y normal es
(x
0, f(x0)) = (3,8)
y la pendiente de la recta tangente se obtiene como sigue:
f0(3) =lim
h→0 4
√
3+h+1−8
h
=4 lim
h→0
(4+h) −4 h(√4+h+2)
=1
Así las ecuaciones de las recta tangente y normal respectivamente son:
Actividad 3.Actividad de tres alumnos:
Ecuación de la recta tangente
y normal
Ejemplo: Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curvay=4
√
x+1 que pasan por el punto(x
0, f(x0)), dondex0=3. Solución.Observe que six
0=3 entoncesf(x0) =f(3) =8. Por lo tanto el punto por donde pasarán las rectas tangente y normal es
(x
0, f(x0)) = (3,8)
y la pendiente de la recta tangente se obtiene como sigue:
f0(3) =lim
h→0 4
√
3+h+1−8
h
=4 lim
h→0
(4+h) −4 h(√4+h+2)
=1
Así las ecuaciones de las recta tangente y normal respectivamente son:
Actividad 4.
Actividad de tres alumnos:Ecuación de la recta tangente
y normal.
Dada la funciónf(t) =sen(x) determine las ecuaciones de las rectas
tan-gente y normal a la curva que pasan por el punto
π 4 , √ 2 2 ! . Solución.Observe:
f0π
4
=lim
h→0
senπ
4
+h−sen(x) h
=lim
h→0
senπ
4
cos(h) +sen(h)cos π
4
−senπ
4 h =lim
h→0
senπ
4
(cos(h) −1)
h +lim
h→0 cos
π 4
sen(h)
h =cos
Actividad 4.
Actividad de tres alumnos:Ecuación de la recta tangente
y normal.
Dada la funciónf(t) =sen(x) determine las ecuaciones de las rectas
tan-gente y normal a la curva que pasan por el punto
π 4 , √ 2 2 ! . Solución.Observe:
f0π
4
=lim h→0
senπ
4
+h−sen(x) h
=lim
h→0
senπ
4
cos(h) +sen(h)cos π
4
−senπ
4 h =lim
h→0
senπ
4
(cos(h) −1)
h +lim
h→0 cos
π 4
sen(h)
h =cos
Actividad 4.
Actividad de tres alumnos:Ecuación de la recta tangente
y normal.
Dada la funciónf(t) =sen(x) determine las ecuaciones de las rectas
tan-gente y normal a la curva que pasan por el punto
π 4 , √ 2 2 ! . Solución.Observe:
f0π
4
=lim h→0
senπ
4
+h−sen(x) h
=lim
h→0
senπ
4
cos(h) +sen(h)cos π
4
−senπ
4 h =lim
h→0
senπ
4
(cos(h) −1)
h +lim
h→0 cos
π 4
sen(h)
h =cos
Actividad 4.
Actividad de tres alumnos:Ecuación de la recta tangente
y normal.
Dada la funciónf(t) =sen(x) determine las ecuaciones de las rectas
tan-gente y normal a la curva que pasan por el punto
π 4 , √ 2 2 ! . Solución.Observe:
f0π
4
=lim h→0
senπ
4
+h−sen(x) h
=lim
h→0
senπ
4
cos(h) +sen(h)cos π
4
−senπ
4 h =lim
h→0
senπ
4
(cos(h) −1)
h +lim
h→0 cos
π 4
sen(h)
h =cos
Actividad 4.
Actividad de tres alumnos: Ecuación de la recta tangente
y normal
Luego se tiene que:
f0
π 4
= √
2 2
Así las ecuaciones de las rectas tangente y normal son respectivamente
yt=
√
2 2
x−π
4
+ √
2 2
y
yn= −
√
2
x−π
4
+ √
Actividad 4.
Actividad de tres alumnos: Ecuación de la recta tangente
y normal
Luego se tiene que:
f0π
4
= √
2 2
Así las ecuaciones de las rectas tangente y normal son respectivamente
yt=
√
2 2
x−π
4
+ √
2 2
y
yn= −
√
2
x−π
4
+ √
Actividad 4.
Actividad de tres alumnos: Ecuación de la recta tangente
y normal
Luego se tiene que:
f0π
4
= √
2 2
Así las ecuaciones de las rectas tangente y normal son respectivamente
yt=
√
2 2
x−π
4
+ √
2 2
y
yn= −
√
2
x−π
4
+ √
Actividad 4.
Actividad de tres alumnos: Ecuación de la recta tangente
y normal
Luego se tiene que:
f0π
4
= √
2 2
Así las ecuaciones de las rectas tangente y normal son respectivamente
yt=
√
2 2
x−π
4
+ √
2 2
y
yn= −
√
2
x−π
4
+ √
Actividad 4.
Actividad de tres alumnos: Ecuación de la recta tangente
y normal
Luego se tiene que:
f0π
4
= √
2 2
Así las ecuaciones de las rectas tangente y normal son respectivamente
yt=
√
2 2
x−π
4
+ √
2 2
y
yn= −
√
2
x−π
4
+ √
Actividad 5.
Actividad de tres alumnos.
Interpretación física de la
derivada
Supongamos una partícula que se mueve en linea recta y que recorre una distancias=s(t)al cabo de un cierto tiempot. La velocidad de la partícula en el intervalo de tiempo[t0, t0+h]viene dada por el cociente incremental
s(t
0+h) −s(t0)
h
Si la expresión anterior tomamos el límitecuando h Ï 0 obtenemosla velocidad instantánea ent0dada por:
v(t
0) =limh→ 0
s(t
0+h) −s(t0)
h =s
0
(t
0)
Actividad 5.
Actividad de tres alumnos.
Interpretación física de la
derivada
Supongamos una partícula que se mueve en linea recta y que recorre una distancias=s(t)al cabo de un cierto tiempot. La velocidad de la partícula en el intervalo de tiempo[t0, t0+h]viene dada por el cociente incremental
s(t
0+h) −s(t0)
h
Si la expresión anterior tomamos el límitecuando h Ï 0 obtenemosla velocidad instantánea ent0dada por:
v(t
0) =limh→ 0
s(t
0+h) −s(t0)
h =s
0
(t
0)
Actividad 5.
Actividad de tres alumnos.
Interpretación física de la
derivada
Supongamos una partícula que se mueve en linea recta y que recorre una distancias=s(t)al cabo de un cierto tiempot. La velocidad de la partícula en el intervalo de tiempo[t0, t0+h]viene dada por el cociente incremental
s(t
0+h) −s(t0)
h
Si la expresión anterior tomamos el límitecuando h Ï 0 obtenemosla velocidad instantánea ent0dada por:
v(t
0) =limh→ 0
s(t
0+h) −s(t0)
h =s
0
(t
0)
Actividad 5.
Actividad de tres alumnos.
Interpretación física de la
derivada
Supongamos una partícula que se mueve en linea recta y que recorre una distancias=s(t)al cabo de un cierto tiempot. La velocidad de la partícula en el intervalo de tiempo[t0, t0+h]viene dada por el cociente incremental
s(t
0+h) −s(t0)
h
Si la expresión anterior tomamos el límitecuando h Ï 0 obtenemosla velocidad instantánea ent0dada por:
v(t
0) =limh→ 0
s(t
0+h) −s(t0)
h =s
0
(t
0)
Actividad 5.
Actividad de tres alumnos.
Interpretación física de la
derivada
Supongamos una partícula que se mueve en linea recta y que recorre una distancias=s(t)al cabo de un cierto tiempot. La velocidad de la partícula en el intervalo de tiempo[t0, t0+h]viene dada por el cociente incremental
s(t
0+h) −s(t0)
h
Si la expresión anterior tomamos el límitecuando h Ï 0 obtenemosla velocidad instantánea ent0dada por:
v(t
0) =limh→ 0
s(t
0+h) −s(t0)
h =s
0
(t
0)
Actividad 5.Actividad de tres alumnos:
Interpretación física de la
derivada
Ejemplo:
la siguiente función real representa la trayectoria de un proyectil lanzado desde la cima de un cerro hacia un objetivo que se encuentra en el espacio.
s(t) =4e2x+ 10
Se estima que el proyectil impacta a los 5 segundo desde su lanzamiento. Dondes(t) :está medido en metros yt :medido en segundos.Determine:
1 ¿A qué altura el proyectil impacta al objetivo?
Solución. Observe que el momento del impacto se produce a los 5 segundo. Así se tiene que la altura al impactar es:
s(5) =4e
10+
10=88.116m
Actividad 5.Actividad de tres alumnos:
Interpretación física de la
derivada
Ejemplo: la siguiente función real representa la trayectoria de un proyectil lanzado desde la cima de un cerro hacia un objetivo que se encuentra en el espacio.
s(t) =4e2x+ 10
Se estima que el proyectil impacta a los 5 segundo desde su lanzamiento. Dondes(t) :está medido en metros yt :medido en segundos.Determine:
1 ¿A qué altura el proyectil impacta al objetivo?
Solución. Observe que el momento del impacto se produce a los 5 segundo. Así se tiene que la altura al impactar es:
s(5) =4e
10+
10=88.116m
Actividad 5.Actividad de tres alumnos:
Interpretación física de la
derivada
Ejemplo: la siguiente función real representa la trayectoria de un proyectil lanzado desde la cima de un cerro hacia un objetivo que se encuentra en el espacio.
s(t) =4e2x+ 10
Se estima que el proyectil impacta a los 5 segundo desde su lanzamiento. Dondes(t) :está medido en metros yt :medido en segundos.Determine:
1 ¿A qué altura el proyectil impacta al objetivo?
Solución. Observe que el momento del impacto se produce a los 5 segundo. Así se tiene que la altura al impactar es:
s(5) =4e
10+
10=88.116m
Actividad 5.Actividad de tres alumnos:
Interpretación física de la
derivada
Ejemplo: la siguiente función real representa la trayectoria de un proyectil lanzado desde la cima de un cerro hacia un objetivo que se encuentra en el espacio.
s(t) =4e2x+ 10
Se estima que el proyectil impacta a los 5 segundo desde su lanzamiento. Dondes(t) :está medido en metros yt :medido en segundos.Determine:
1 ¿A qué altura el proyectil impacta al objetivo?
Solución. Observe que el momento del impacto se produce a los 5 segundo. Así se tiene que la altura al impactar es:
s(5) =4e
10+
10=88.116m
Actividad 5.Actividad de tres alumnos:
Interpretación física de la
derivada
Ejemplo: la siguiente función real representa la trayectoria de un proyectil lanzado desde la cima de un cerro hacia un objetivo que se encuentra en el espacio.
s(t) =4e2x+ 10
Se estima que el proyectil impacta a los 5 segundo desde su lanzamiento. Dondes(t) :está medido en metros yt :medido en segundos.Determine:
1 ¿A qué altura el proyectil impacta al objetivo?
Solución. Observe que el momento del impacto se produce a los 5 segundo. Así se tiene que la altura al impactar es:
s(5) =4e
10+
10=88.116m
Actividad 5.Actividad de tres alumnos:
Interpretación física de la
derivada
Ejemplo: la siguiente función real representa la trayectoria de un proyectil lanzado desde la cima de un cerro hacia un objetivo que se encuentra en el espacio.
s(t) =4e2x+ 10
Se estima que el proyectil impacta a los 5 segundo desde su lanzamiento. Dondes(t) :está medido en metros yt :medido en segundos.Determine:
1 ¿A qué altura el proyectil impacta al objetivo? Solución.
Observe que el momento del impacto se produce a los 5 segundo. Así se tiene que la altura al impactar es:
s(5) =4e
10+
10=88.116m
Actividad 5.Actividad de tres alumnos:
Interpretación física de la
derivada
Ejemplo: la siguiente función real representa la trayectoria de un proyectil lanzado desde la cima de un cerro hacia un objetivo que se encuentra en el espacio.
s(t) =4e2x+ 10
Se estima que el proyectil impacta a los 5 segundo desde su lanzamiento. Dondes(t) :está medido en metros yt :medido en segundos.Determine:
1 ¿A qué altura el proyectil impacta al objetivo?
Solución. Observe que el momento del impacto se produce a los 5 segundo.
Así se tiene que la altura al impactar es:
s(5) =4e
10+
10=88.116m
Actividad 5.Actividad de tres alumnos:
Interpretación física de la
derivada
Ejemplo: la siguiente función real representa la trayectoria de un proyectil lanzado desde la cima de un cerro hacia un objetivo que se encuentra en el espacio.
s(t) =4e2x+ 10
Se estima que el proyectil impacta a los 5 segundo desde su lanzamiento. Dondes(t) :está medido en metros yt :medido en segundos.Determine:
1 ¿A qué altura el proyectil impacta al objetivo?
Solución. Observe que el momento del impacto se produce a los 5 segundo. Así se tiene que la altura al impactar es:
s(5) =4e
10+
10=88.116m
Actividad 5.Actividad de tres alumnos:
Interpretación física de la
derivada
Ejemplo: la siguiente función real representa la trayectoria de un proyectil lanzado desde la cima de un cerro hacia un objetivo que se encuentra en el espacio.
s(t) =4e2x+ 10
Se estima que el proyectil impacta a los 5 segundo desde su lanzamiento. Dondes(t) :está medido en metros yt :medido en segundos.Determine:
1 ¿A qué altura el proyectil impacta al objetivo?
Solución. Observe que el momento del impacto se produce a los 5 segundo. Así se tiene que la altura al impactar es:
s(5) =4e
10+
10=88.116m
Actividad 5.Actividad de tres alumnos:
Interpretación física de la
derivada
Ejemplo: la siguiente función real representa la trayectoria de un proyectil lanzado desde la cima de un cerro hacia un objetivo que se encuentra en el espacio.
s(t) =4e2x+ 10
Se estima que el proyectil impacta a los 5 segundo desde su lanzamiento. Dondes(t) :está medido en metros yt :medido en segundos.Determine:
1 ¿A qué altura el proyectil impacta al objetivo?
Solución. Observe que el momento del impacto se produce a los 5 segundo. Así se tiene que la altura al impactar es:
s(5) =4e
10+
10=88.116m
Actividad 5.
Actividad de tres alumnos:
Interpretación física de la
derivada
La siguiente función real representa la trayectoria de un proyectil lanzado desde la cima de un cerro hacia un objetivo que se encuentra en el espacio
s(t) =4e2x+ 10
Se estima que el proyectil impacta a los 5 segundo desde su lanzamiento. Dondes(t) :en metros yt:segundos
Determine
1 ¿ Cúal es la velocidad alcanzada por el proyectil en el momento del impacto?
Solución. Observe
v(5) =s0(5) =lim
h→0 4e
2(5+h)− 4e
10
h =4e 10
lim h→0
e2h− 1
h =8e 10m/seg
Actividad 5.
Actividad de tres alumnos:
Interpretación física de la
derivada
La siguiente función real representa la trayectoria de un proyectil lanzado desde la cima de un cerro hacia un objetivo que se encuentra en el espacio
s(t) =4e2x+ 10
Se estima que el proyectil impacta a los 5 segundo desde su lanzamiento. Dondes(t) :en metros yt:segundos
Determine
1 ¿ Cúal es la velocidad alcanzada por el proyectil en el momento del impacto?
Solución. Observe
v(5) =s0(5) =lim
h→0 4e
2(5+h)− 4e
10
h =4e 10
lim h→0
e2h− 1
h =8e 10m/seg
Actividad 5.
Actividad de tres alumnos:
Interpretación física de la
derivada
La siguiente función real representa la trayectoria de un proyectil lanzado desde la cima de un cerro hacia un objetivo que se encuentra en el espacio
s(t) =4e2x+ 10
Se estima que el proyectil impacta a los 5 segundo desde su lanzamiento. Dondes(t) :en metros yt:segundos
Determine
1 ¿ Cúal es la velocidad alcanzada por el proyectil en el momento del impacto?
Solución. Observe
v(5) =s0(5) =lim
h→0 4e
2(5+h)− 4e
10
h =4e 10
lim h→0
e2h− 1
h =8e 10m/seg
Actividad 5.
Actividad de tres alumnos:
Interpretación física de la
derivada
La siguiente función real representa la trayectoria de un proyectil lanzado desde la cima de un cerro hacia un objetivo que se encuentra en el espacio
s(t) =4e2x+ 10
Se estima que el proyectil impacta a los 5 segundo desde su lanzamiento. Dondes(t) :en metros yt:segundos
Determine
1 ¿ Cúal es la velocidad alcanzada por el proyectil en el momento del impacto?
Solución. Observe
v(5) =s0(5) =lim
h→0 4e
2(5+h)− 4e
10
h =4e 10
lim h→0
e2h− 1
h =8e 10m/seg
Actividad 5.
Actividad de tres alumnos:
Interpretación física de la
derivada
La siguiente función real representa la trayectoria de un proyectil lanzado desde la cima de un cerro hacia un objetivo que se encuentra en el espacio
s(t) =4e2x+ 10
Se estima que el proyectil impacta a los 5 segundo desde su lanzamiento. Dondes(t) :en metros yt:segundos
Determine
1 ¿ Cúal es la velocidad alcanzada por el proyectil en el momento del impacto?
Solución. Observe
v(5) =s0(5) =lim
h→0 4e
2(5+h)− 4e
10
h =
4e 10
lim h→0
e2h− 1
h =8e 10m/seg
Actividad 5.
Actividad de tres alumnos:
Interpretación física de la
derivada
La siguiente función real representa la trayectoria de un proyectil lanzado desde la cima de un cerro hacia un objetivo que se encuentra en el espacio
s(t) =4e2x+ 10
Se estima que el proyectil impacta a los 5 segundo desde su lanzamiento. Dondes(t) :en metros yt:segundos
Determine
1 ¿ Cúal es la velocidad alcanzada por el proyectil en el momento del impacto?
Solución. Observe
v(5) =s0(5) =lim
h→0 4e
2(5+h)− 4e
10
h =4e 10
lim h→0
e2h− 1
h =8e 10m/seg
Actividad 5.
Actividad de tres alumnos:
Interpretación física de la
derivada
La siguiente función real representa la trayectoria de un proyectil lanzado desde la cima de un cerro hacia un objetivo que se encuentra en el espacio
s(t) =4e2x+ 10
Se estima que el proyectil impacta a los 5 segundo desde su lanzamiento. Dondes(t) :en metros yt:segundos
Determine
1 ¿ Cúal es la velocidad alcanzada por el proyectil en el momento del impacto?
Solución. Observe
v(5) =s0(5) =lim
h→0 4e
2(5+h)− 4e
10
h =4e 10
lim h→0
e2h− 1
Actividad 6:
Actividad individual de discusión
Determine el valor de verdad de la siguiente proposición, justificando sus afirmaciones:
Seaf una función continua enx=x0. Entoncesfes una función derivable enx=x0.
Verdadero Falso
Solución. Considere la función f(x) = |x|la cual es continua en x = 0,
pero:
f0(0) =lim
h→0
|0+h|−|0| h =lim
h→0 |h|
h
Por otro lado como lim h→0
+ |h|
h =1 y lim h→0
− |h|
h = −1.Es posible deduce que
f0(0) =6 ∃.
Actividad 6:
Actividad individual de discusión
Determine el valor de verdad de la siguiente proposición, justificando sus afirmaciones:
Seaf una función continua enx=x0. Entoncesfes una función derivable
enx=x0. Verdadero Falso
Solución.
Considere la función f(x) = |x|la cual es continua en x = 0, pero:
f0(0) =lim
h→0
|0+h|−|0| h =lim
h→0 |h|
h
Por otro lado como lim h→0
+ |h|
h =1 y lim h→0
− |h|
h = −1.Es posible deduce que
f0(0) =6 ∃.
Actividad 6:
Actividad individual de discusión
Determine el valor de verdad de la siguiente proposición, justificando sus afirmaciones:
Seaf una función continua enx=x0. Entoncesfes una función derivable
enx=x0. Verdadero Falso
Solución. Considere la función f(x) = |x|la cual es continua en x = 0,
pero:
f0(0) =lim
h→0
|0+h|−|0| h =lim
h→0 |h|
h
Por otro lado como lim h→0
+ |h|
h =1 y lim h→0
− |h|
h = −1.Es posible deduce que
f0(0) =6 ∃.
Actividad 6:
Actividad individual de discusión
Determine el valor de verdad de la siguiente proposición, justificando sus afirmaciones:
Seaf una función continua enx=x0. Entoncesfes una función derivable
enx=x0. Verdadero Falso
Solución. Considere la función f(x) = |x|la cual es continua en x = 0,
pero:
f0(0) =lim
h→0
|0+h|−|0| h
=lim
h→0 |h|
h
Por otro lado como lim h→0
+ |h|
h =1 y lim h→0
− |h|
h = −1.Es posible deduce que
f0(0) =6 ∃.
Actividad 6:
Actividad individual de discusión
Determine el valor de verdad de la siguiente proposición, justificando sus afirmaciones:
Seaf una función continua enx=x0. Entoncesfes una función derivable
enx=x0. Verdadero Falso
Solución. Considere la función f(x) = |x|la cual es continua en x = 0,
pero:
f0(0) =lim
h→0
|0+h|−|0| h =lim
h→0 |h|
h
Por otro lado como lim h→0
+ |h|
h =1 y lim h→0
− |h|
h = −1.Es posible deduce que
f0(0) =6 ∃.
Actividad 6:
Actividad individual de discusión
Determine el valor de verdad de la siguiente proposición, justificando sus afirmaciones:
Seaf una función continua enx=x0. Entoncesfes una función derivable
enx=x0. Verdadero Falso
Solución. Considere la función f(x) = |x|la cual es continua en x = 0,
pero:
f0(0) =lim
h→0
|0+h|−|0| h =lim
h→0 |h|
h
Por otro lado como lim h→0
+ |h|
h =1
y lim h→0
− |h|
h = −1.Es posible deduce que
f0(0) =6 ∃.
Actividad 6:
Actividad individual de discusión
Determine el valor de verdad de la siguiente proposición, justificando sus afirmaciones:
Seaf una función continua enx=x0. Entoncesfes una función derivable
enx=x0. Verdadero Falso
Solución. Considere la función f(x) = |x|la cual es continua en x = 0,
pero:
f0(0) =lim
h→0
|0+h|−|0| h =lim
h→0 |h|
h
Por otro lado como lim h→0
+ |h|
h =1 y lim h→0
− |h|
h = −1.
Es posible deduce que
f0(0) =6 ∃.
