ESTADISTICA - PROBLEMARIO Nº 01

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Tomo I de Problemario de Estadística

INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO

Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I

INTRODUCCION

El presente trabajo consta de un conjunto de problemas y

ejercicios de Estadística propuestos y resueltos.

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1. Conviertase la distribución obtenida en el ejercicio anterior en una distribución acumulada “menor que” y bosquéjese su ojiva

* DESARROLLO * DESARROLLO

IINNTTEERRVVAALLOO COCONNTTEEOO FFii FFii

15.9 – 19.0 ||| 3 3 20.0 24.9– |||| |||| |||| 15 18 25.0 – 29.9 |||| |||| |||| |||| |||| 24 42 30.0 34.9– |||| |||| || 12 54 35.0 – 39.9 ||||| 6 60 60 177

OJIVA "MENOR QUE" OJIVA "MENOR QUE"

0 10 20 30 40 50 60 15 20 25 30 35 40 LS LS F F i i

2. Las marcas de clase de una distribución de lecturas de temperatura (dadas al grado Celsius más cercano ) son 16, 25, 24, 43, 52 y 61. Calcúlese:

(a)las fronteras de clase; (b) los limites de clase.

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Tenemos que : TIC = X’2- X’1= 9

y sabemos también que :

TIC TIC

LSi = X’i + --- , L Ii = X’i -

---2 2 Luego tenemos : TIC 9 L Ii = X’i - ---  L Ii = 16 - --- = 11.50 2 2 TIC 9 LSi = X’i + ---  LS1 = 16 + --- = 20.5 2 2

(a) Según lo anteriormente hallado, los limites de clase son : 11.5 - 20.5 20.5 - 29.5 29.5 - 38.5 38.5 - 47.5 47.5 - 56.5 56.5 - 65.5

(b) Para calcular la primera frontera redondeamos por exceso el primer limite encontrado, y sí seguimos sucesivamente con este criterio obtenemos:

12 - 21 22 - 30 31 - 39 40 - 48 49 - 57 58 - 66

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3. En un estudio de dos semanas sobre la productividad de los trabajadores, se obtuvieron los siguientes datos sobre el número total de piezas aceptables que produjeron los trabajadores:

65 36 49 84 79 56 28 43 67 36 43 78 37 40 68 72 55 62 22 82 88 50 60 56 57 46 39 57 73 65 59 48 76 74 70 51 40 75 56 45 35 62 52 63 32 80 64 53 74 34 76 60 48 55 51 54 45 44 35 51 21 35 61 45 33 61 77 60 85 68 45 53 34 67 42 69 52 68 52 47 62 65 55 61 73 50 53 59 41 54 41 74 82 58 26 35 47 50 38 70

Agrúpense estos datos en una distribución que tenga las clases 20-29, 30-39, 40-49, 50-59, 60-69, 70-79 y 80-89.

IINNTTEERRVVAALLOO CCOONNTTEEOO ffii FiiF hhii HHii

20 - 29 |||| 4 4 0.04 0.04 30 39- |||| |||| ||| 13 17 0.13 0.17 40 - 49 |||| |||| |||| ||| 18 35 0.18 0.35 50 - 59 |||| |||| |||| |||| |||| 25 60 0.25 0.60 60 - 69 |||| |||| |||| |||| 20 80 0.20 0.80 70 - 79 |||| |||| |||| 14 94 0.14 0.94 80 - 89 ||||| 6 100 0.06 1.00 100 1.00

4. Conviértase la distribución obtenida en el ejercicio 3 en una distribución porcentual acumulada “menor que” y dibújese su ojiva.

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

Con la tabla del ejercicio 3, hacemos la ojiva, para una distribución porcentual acumulada (Hi) :

OJIVA "menor que" DE DISTRIBUCION OJIVA "menor que" DE DISTRIBUCION PORCENTUAL ACUMULADA (Hi) PORCENTUAL ACUMULADA (Hi)

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 20 30 40 50 60 70 80 90 Limites

Limites de intervalo de clde intervalo de cl asease

F F r r e e c c u u e e n n c c i i a a a a c c u u m m u u l l d a a d a a r r e e l l t a a t i i v v a a d d e e l l i i n n t t e e r r v v a a l l o o d d e e c c l l a a s s e e

5. Los siguientes datos son el número de accidentes automovilísticos que ocurren en 60 cruces más transitadas en cierta ciudad en un fin de semana de diciembre:

0250141021 5013002131 1402412404 3501364202 0230425112 2165033004

Agrúpense estos datos en una distribución de frecuencia que muestre qué tan a

menudo ocurre cada uno de los valores y dibújese un diagrama de barras. * DESARROLLO * DESARROLLO # de accidentes fin de # de accidentes fin de semana semana C COONNTTEEOO ffii FFii 0 |||||||| |||| 15 15 1 |||||| |||| 12 27

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Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I 2 | |||| |||| 11 38 3 || |||| 7 45 4 ||| |||| 8 53 5 |||| 5 58 6 || 2 60 60 267 0 2 4 6 0 2 4 6 8 10 1 2 1 4 16 V

V ECES QUE OCURREECES QUE OCURRENN

0 2 4 6 N N U U M M E E R R O O D D E E A A C C C C I I D D E E N N T T E E S S

ACCIDENTES AUTOMOVILISTICOS QUE ACCIDENTES AUTOMOVILISTICOS QUE OCURREN UN FIN DE SEMANA DE DICIEMBRE OCURREN UN FIN DE SEMANA DE DICIEMBRE

6. Conviértase la distribución obtenida en el ejercicio 2.14 en una distribución acumulada “o mayor” y dibújese su ojiva.

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OJIV

OJIVA "O MA "O MAYOR" DE ACCAYOR" DE ACCIDENTESIDENTES AUTOMOVILISTICOS QUE OCURREN EN UN FIN AUTOMOVILISTICOS QUE OCURREN EN UN FIN

DE SEMANA DE DICIEMBRE DE SEMANA DE DICIEMBRE 0 10 20 30 40 50 60 0 1 2 3 4 5 6 7 NUMERO DE ACC NUMERO DE ACCIDENIDENTESTES

F F i i " " m m a a y y o o r r q q u u e e " "

7. Las distribuciones categóricas a menudo se presentan gráficamente por medio degráficas circularesgráficas circularesen las que un círculo se divide en sectores proporcionales a las frecuencias (o porcentajes) con que los datos están distribuidos entre las categorías. Dibújese un diagrama de este tipo para representar los siguientes datos obtenidos en un estudio en el cual a 40 conductores se les pidió juzgar la maniobrabilidad de cierto automóvil como muy buena, buena, adecuada, excelente y malisima * DESARROLLO * DESARROLLO DATO DATO CUALITATIVO CUALITATIVO C COONNTTEEOO FFii hhii Muy Buena |||| |||| 10 0.2 Buena |||| |||| |||| |||| 20 0.5 Adecuada |||| | 06 0.15

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Excelente ||| 03 0.07

Malisima | 01 0.08

40 1.00

MANIOBRABILIDAD DE CIERTO AUTOMOVIL MANIOBRABILIDAD DE CIERTO AUTOMOVIL

MUY BUENA 25% BUENA 49% ADECUADA 15% EXCELENTE 8% MALISIMA 3%

8. El pictograma de la figura 3 intenta ilustrar el hecho de que el ingreso per cápita en Estados Unidos se duplicó de $6 000 en 1977 a $12 000 en 1986 ¿Comunica en el pictograma una impresión “adecuada” del cambio real? Si no es así, establece cómo podría ser modificado.



El pictograma de la figura, no presenta adecuadamente el cambio real obtenido, porque a simple vista las figuras no dan la impresión de que el area de una de ellas sea el doble de la otra.

Podriamos modificarlo empleando un diagrama en el cual co mparemos areas, así :

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Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I 1977 1986 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 I I N N G G R R E E S S O O E E N N D D O O L L A A R R E E S S 1977 1986 AÑOS AÑOS

INGRESO PER CAPITA EN EE.UU. INGRESO PER CAPITA EN EE.UU.

9. Los siguientes datos provienen de la producción diaria de un pozo petrolero (en barriles): 214, 203, 226, 198, 243, 225, 207, 203, 208, 200, 217, 202, 208, 212,

205 y 220. Constrúyase un diagrama de tallos y hojas con etiquetas en tallo 19*, 20*, ……., y 24*.

Ordenando los datos para facilitar el trabajo :

198, 200, 202, 203, 203, 205, 207, 208, 208, 212, 214, 217, 220, 225, 226, 243 19 · 8 20 * 0 2 3 3 20 · 5 7 8 8 21 * 2 4 21 · 7 22 * 0 22 · 5 6 24 * 3

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10. Los siguientes datos provienen de las lecturas del flujo máximo anual de un río en m3_{/s: 405, 335, 419, 267, 370, 391, 612, 383, 434, 462, 288, 317, 540, 295 y}

508. Constrúyase un diagrama de tallos y hojas con hojas de dos digitos.

Ordenando los datos para hacer un buen trabajo :

267, 288, 295, 317, 335, 370, 383, 391, 405, 419, 434, 462, 508, 540, 612 200* 67 88 95 300* 17 35 70 83 91 400* 05 19 34 62 500* 08 40 600* 12

11. Lístense los datos que corresponden a los siguientes diagrama de tallos y hojas: (a) 1* 3 2 5 7 1 4 8 (b) 23 4 0 0 1 6 (c) 2* 35 18 57 03 (d) 3.2 1 7 4 4 3 * DESARROLLO * DESARROLLO

Los datos que corresponden son : (a) 13, 12, 15, 17, 11, 14, 18

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Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I (b) 234, 230, 230, 231, 236

(c) 235, 218, 257, 203 (d) 3.21, 3.27, 3.24, 3.24, 3.23

12. Si se quiere construir un diagrama de tallos y hojas con más tallos de los que ordinariamente deberían haber, se podría utilizar * como sustituto de 0, 1, 2, 3 y 4 * como sustituto de 5, 6, 7, 8 y 9. Se obtendría así eldiagrama de doble tallodiagrama de doble tallo

para las lecturas de humedad.

Como son muchos datos lo haremos directamente, así :

2 * 1 2 2 6 8 3 * 4 2 3 4 3 5 6 5 7 5 9 5 8 6 4 * 3 1 0 2 0 3 4 1 4 5 8 9 8 5 6 5 7 5 7 5 * 0 3 2 1 1 4 0 2 3 3 0 2 1 4 5 9 5 6 5 8 7 6 5 7 9 6 6 * 2 2 0 0 1 3 1 1 4 2 0 6 5 5 7 8 9 8 7 5 8 7 * 4 4 0 3 2 3 4 0 7 6 8 6 9 7 5 8 * 2 4 0 2 8 8 5

13. Si de desea construir un diagrama de tallos y hojas equivalente a una distribución de intervalo de clase 2, se puede usar * como sustituto de 0 y 1, t en

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lugar de 2 y 3, ƒ para 4 y 5, s para 6 y 7, y * en lugar de 8 y 9. El diagrama de tallos y hojas resultante se denominadiagrama de cinco tallos.diagrama de cinco tallos.

(a)Los siguientes datos son los coeficientes intelectuales (CI) de 20 aspirantes

a un programa de ingeniería para no graduados : 109, 111, 106, 106, 125, 112, 115, 109, 107, 109, 108, 110, 112, 104, 110, 112, 128, 106, 111 y 108.

(b)El siguiente esquema es parte de un diagrama de cinco tallos :

53ƒ 5 4 4 4 5 4 53s 6 7 6 6 53* 9 8 54 * 1 * DESARROLLO * DESARROLLO Sustitutos *∏ 0 y 1 t ∏ 2 y 3 f ∏ 4 y 5 s ∏ 6 y 7 ∏ 8 y 9

(a)Ordenamos los 20 datos : 104, 106, 106, 106, 107, 108, 108, 109, 109, 109, 110, 110, 111, 111, 112, 112, 112, 115, 125, 128 10f 4 10s 6 6 6 7 10· 8 8 9 9 9 11* 0 0 1 1 11t 2 2 2 11f 5 5 11· 8 12f 5

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Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I 12· 8

(b)Las mediciones correspondientes son:

534, 534, 534, 534, 535, 536, 536, 536, 537, 538, 539, 541.

14. Los siguientes datos son los números de torsiones requeridas para 12 barras de cierta aleación: 33, 24, 39, 48, 26, 35, 38, 54, 23, 34, 29 y 37. Calcúlese

(a)la media y la mediana

Ordenando la tabla : 23, 24, 26, 29, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 48, 54

(a)Hallamos la mediana:

23 + 24 + 26 + 29 + 33 + 34 + 35 + 37 + 38 + 39 + 48 + 54 420 X = --- = --- = 35

12 12

(b)La mediana es la medida de algún dato de la muestra que la divide a esta en la mitad de datos a la derecha y la mitad de datos a la izquierda

23, 24, 26, 29, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 48, 54

34 + 35

Luego : Me = --- = 34.5 2

15.

En relación con el ejercicio anterior, encuéntrese s s utilizando

(a)la fórmula que define s. (b)la fórmula de cálculo para s.

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(a) Se sabe que s (desviación estandar) es obtener la raiz cuadrada de la s 2 _,

(varianza) que a su vez es la media de las desviaciones al cuadrado con relación a X (media), así : (23-35)2_{+ (24-35)}2 _{+ …. + (54-35)}2 ₉₄₆ s2_{= --- = --- = 78.83} 12 12 entonces : s = 8.88 529 + 576 + 676 + 841 + 1089 + 1156 + 1225 + 1369 + 1444 + 1521 + 2304 + 2916 (b) s2_{= [ --- ] …..…} 12 23 + 24 + 26 + 29 + 33 + 34 + 35 + 37 + 38 + 39 + 48 + 54 -- [ --- ]2 12 15646 420 s2 _{= [ ---] - [ --- ]}2 _{= 1303.83 - 1225 = 78.83} 12 12 entonces : s = 8.88

16. Si el salario medio anual pagado a los ejecutivos de tres empresas de ingeniería es de $125 000, ¿ puede alguno de ellos recibir $ 400 000?

Se sabe que X = $ 125 000 y n = 3

Aplicando propiedades de la media : 125 000 x 3 = $ 375 000

Este resultado nos afirma que ningún ejecutivo de la empresa puede ganar $ 400 000.

17. Por error un profesor borró la calificación que obtuvo uno de sus diez alumnos. Si los otro nueve consiguieron las calificaciones de 43, 66, 74, 90, 40, 52, 70, 78 y

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92 y si la media de los diez estudiantes es de 67, ¿qué calificación borró el profesor?

Aplicando la definición de media tendremos: X = 43 + 64 + 74 + 90 + 40 + 52 + 70 + 78 + 92 + x ---10 Como: 605 + x X = 67 = ---10 Luego : 605 + x = 670 , Entonces : x = 75

18. Los siguientes datos son el número de minutos que en 15 días laborales una persona tiene que esperar el autobús que la llevará a su trabajo: 10, 1, 13, 9, 5, 9,

2, 10, 3, 8, 6, 17, 2, 10 y 15. Encuéntrese :

(a)la media (b)la mediana

Ordenando los datos: 1, 2, 2, 3, 5, 6, 8,99, 9, 10, 10, 10, 13, 15, 17

(a)La media :

1 + 2 + 2 + 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 9 + 10 + 10 + 10 + 13 + 15 + 17 120 X = --- = --- = 8

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(b)La mediana:

Como son 15 datos la mediana estará en el lugar ( 15+1 ) / 2 =8° LUGAR 8° LUGAR en este caso, Me = 9 19. En relación con el ejercicio anterior, calculese s2_cuando:

(a)la fórmula que define s2 (b)la fórmula de cálculo para s2

* DESARROLLO * DESARROLLO ( 1 - 8 )2 _{+ ( 2 - 8 )}2_{+ ………….. + ( 17 - 8 )}2 (a) S2_{= --- =} 15 49 + 36 + 36 + 25 + 9 + 4 + 0 + 1 + 1 + 4 + 4 + 4 + 25 + 49 + 81 328 S2_{= --- = --- = 21.87} 15 15 1 + 4 + 4 + 9 + 25 + 36 + 64 + 81 + 81 + 100 + 100 + 100 + 169 + 235 + 289 (8)2 (b) S2₌ --15 S2_{= 85.87 - 64 = 21.87}

20. Los registros muestran que en Hermosillo, Sonora, la temperatura máxima diaria normal cada mes es, respectivamente, de 65, 69, 74, 84, 93, 102, 105, 102, 98, 88, 74 y 66 grados Fahrenheit. Verifequese que la media de estos datos es de 85 y crítiquese la afirmación de que, en Hermosillo, la temperatura máxima diaria promedio de 85 grados Fahrenheit es muy confortable.

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65 + 69 + 74 + 84 + 93 + 102 + 105 + 102 + 98 + 88 + 74 + 66 1020 X = --- = --- = 85°F

12 12

* Decir que la temperatura media en Hermosillo es de 85 °F es confortable, que quiere decir que una temperatura en la cual complace a la mayoria de habitantes de Hermosillo.

21. En relación con al ejercicio anterior, calcúlese la media y la mediana de los datos de producción diaria de un pozo de petróleo.

(a)Ordenando los datos : 198, 200, 202, 203, 203, 205, 207, 208, 208, 212, 214, 217, 220, 225, 226, 243 Calculando la media: n = 16 198 + 200 + 202 + 203 + 203 + 205 + 207 + 208 + 208 + 212 + 214 + 217 + 220 + 225 + 226 + 243 X = ---16 3391 X = --- = 211.94 16

(b)Como son 16 datos la mediana será :

16 8° + 9° 208 + 208

Lugar --- = 8 8 ° ° LUGAR LUGAR Me = --- = --- = 208

2 2 2

22. Con respecto al ejercicio anterior, encuéntrese la desviación estándar del flujo máximo anual del rio.

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Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I Ordenando los datos tenemos:

267, 288, 295, 317, 335, 370, 383, 391, 405, 419, 434, 462, 508, 540, 612 En primer lugar hallamos la media :

267 + 288 + 295 + 317 + 335 + 370 + 383 + 391 + 405 + 419 + 434 + 462 + 508 + 540 + 612 X = ---15 X = 401.73 n S2 _{= (267 - X )}2_{+ ( 288 - X)}2_{+ ( 295 - X)}2_{+ ……….. + ( 612 - X )}2 nS2 _{= 18152.17 + 12934.51 + 11391.29 + 7179.17 + 4452.89 + 1006.79 + 350.81 + 115.13 + 10.69 +} 298.25 + 1041.35 + 3632.47 + 11293.31 +19118.59 + 44213.47 nS2 _{= 135,190.89} 135,190.89 S2 _{= --- = 9,012.726} _ _{S = 94.935} 15

23. Para las cuatro observaciones 9, 7 15 y 5,

(a)calcúlese las desviaciones (xi – x) y compruébese que sumen cero; (b) calcúlese la varianza y la desviación estándar

Sean X1 _{= 9} X2 _{= 7} X3 _{= 15} X4 _{= 5} * DESARROLLO * DESARROLLO

(a)Calculamos las desviaciones, respetando el signo :

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Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I (b)Calculamos la Varianza: ∑(Xi - X)2 _{( 9 - 9 )}2_{+ ( 7 - 9 )}2_{+ ( 15 - 9 )}2_{+ ( 5 - 9 )}2 S2 _{= --- = --- = 14} n 4

24.En relación con el ejercicio, calcúlese X y S.

Los datos son los siguientes :

166 + 141 + 136 + 153 + 170 + 162 + 155 + 146 + 183 + 157 + 148 + 132 + 160 + 175 + 150 X = ---15 2334 X = --- = 155.6 15

Para hallar la desviación estandar, hallamos S2

∑(Xi - X)2 _{(166 - X )}2_{+ ( 141 - X )}2_{+ ………+ ( 150 - X )}2 S2_{= --- =} ---n 15 nS2 _{=108.16 + 213.16 + 384.16 + 6.76 + 207.36 + 40.96 + 0.36 + 92.16 + 750.76 + 1.96 + 57.76 +} 556.96 + 19.36 + 376.36 + 31.36 n S2_{=2 847.6} S2_{= ( 2847.6 ) / 15 =189.84} entonces: S= 13.78

25.calcular la media y la varianza de las resistencias a la ruptura.

Para hallar la media y variancia de estos datos agrupados:

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Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I 15.0 - 19.9 17.45 3 20.0 - 24.9 22.45 15 25.0 - 29.9 27.45 24 30.0 - 34.9 32.45 12 35.0 - 39.9 37.45 6 60 La media se hallaria: (17.45 x 3 ) + ( 22.45 x 15 ) + ……….. + ( 37.45 x 6 ) 1662 X = --- --- = --- = 27.7 60 60 La variancia se hallaria: ( 17.452_{x 3 ) + ….. + ( 37.45}2_{x 6 )} _{[ ( 17.45 x 3 ) + ... + ( 37.45 x 6 )]}2 S2_{= -} ---60 - 1 60 ( 60 - 1 ) S2_{= 26.63}

26. Empléese la distribución obtenida en el ejercicio 10, para encontrar la media y la desviación estándar de los tiempos de ignición. Determínese también el coeficiente de variación.

En la tabla tenemos 80 datos; por lo tanto emplearemos k = 1 + 3.3 log (n)

k = 1 + 3.3 log (80) = 7.28 7

Xmax = 12.80 Xmin = 1.20

RECORRIDO : 12.80 - 1.20 = 11.6 INTERVALO : C = ( 11.6 ) / 7 = 1.7

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Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I INTERVALOS fi Xi’ 1.20 - 2.89 20 2.05 2.90 - 4.59 16 3.75 4.60 - 6.29 18 5.45 6.30 - 7.99 14 7.15 8.00 - 9.69 7 8.85 9.70 - 11.39 3 10.55 11.40 - 13.09 2 12.25 80 Hallamos la media : ( 20 x 2.5 ) + (16 x 3.75 ) + ……….+ (2 x 12.25) X = --- = 5.21 80 80 ( 2825.75 ) - ( 417.30 )2 S2_{= --- = 8.21} 80.79 entonces S = 2.86

Hallemos : Coeficiente de Variación : (S / X) x 100% 2.86

C.V. = --- x 100 % = 54.89 % 5.21

27. Utilícese la distribución obtenida en el ejercicio, para determinar el coeficiente de variación de los datos de productividad.

Copiamos fielmente la distribución del ejercicio:

INTERVALO Xi’ fi Fi hi Hi 20 - 29 24.5 4 4 0.04 0.04 30 - 39 34.5 13 17 0.13 0.17 40 - 49 44.5 18 35 0.18 0.35 50 - 59 54.5 25 60 0.25 0.60 60 - 69 64.5 20 80 0.20 0.80 70 - 79 74.5 14 94 0.14 0.94

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80 -

89 84.5 6 100 0.06 1.00

100 1.00

Para hallar C.V. necesitamos la media y la desviación estandar :

( 4 x 24.5 ) + ( 13 x 34.5 ) + ………..+ ( 6 x 84.5 ) X = --- = 55.5 100 100 x ( 331,525 ) - (5550)2 S2_{= --- = 237.37} 100 x 99 entonces : S = 15.41 15.41 C.V. = --- x 100 % = 27.77 55.5

28. En tres años recientes, el precio del cobre fue de 69.6 , 66.8 y de 66.3 centavos por libra, y el precio del carbón bituminoso fue de 19.43, 19.82 y de 22.40 dólares por tonelada corta. ¿Cuál de estos dos conjuntos de precios es relativamente más variable?

Dato 1 : 69.6, 66.8, 66.3 Dato 2 : 19.43, 19.82, 22.40

Comparemos los C.V. de las dos medidas :

69.6 + 66.8 + 66.3

X1 = --- = 67.57

3

19.43 + 19.82 + 22.40 X2 = --- = 20.55

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Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I 3 ( 69.6 - 67.57 )2 _{+ ( 66.8 - 67.57 )}2_{+ ( 66.3 - 67.57 )}2 S12= --- = 6.3267 3 S1_{= 2.52} ( 19.43 - 20.55 )2_{+ ( 19.82 - 20.55 )}2_{+ ( 22.40 - 20.55 )}2 S22= --- = 1.7366 3 S2 = 1.32

Hallando C.V. para cada uno de ellos Hallando C.V. para cada uno de ellos

2.52 C.V1 = --- x 100 % = 3.73 % Para el cobre 67.57 1.32 C.V2 = --- x 100 % = 6.42 % Para el carbón 20.55

29. Para calcular la mediana de una distribución obtenida de n observaciones, primero se detrmina la clase en que la mediana debe caer. Después en la fracción

(n/2)-k/j de dicho intervalo, y para obtener la mediana se multiplica esta fracción por el intervalo de clase y se suma el resultado a la frontera de clase más pequeña de la clase en la que la mediana deba caer. Este método se basa en la suposición de que las observaciones en cada clase se “dispersan uniformemente” a través del intervalode clase; a ello se debe que contamos n/2 observaciones en lugar de n+1/2. A manera de ejemplo, se hace referencia a la distribución de los datos de la emisión del óxido de azufre. Puesto que n=80, puede verse que la mediana debe estar en la clase 17.0 - 20.09 y como j=25, k =27, se sigue que la mediana es 16.95+(40-27)/25 * 4 = 19.03

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(b)Utilicese la distribución obtenida en el ejercicio para calcular la mediana de

las resistencias a la ruptura agrupadas.

(c)Con la distribución obtenida en el ejercicio 3 encuéntrese la mediana de los

tiempos de ignición agrupados.

* DESARROLLO * DESARROLLO (a) INTERVALO Fi Fi 5.0 - 8.9 3 3 9.0 12.9- 10 13 13.0 16.9- 14 27 17.0 20.9- 25 52 Clase mediana 21.0 - 24.9 17 69 25.0 28.9- 9 78 29.0 32.9- 2 80 j = 25 k = 27 TIC = 4 40 - 27 Me = 17 + 4 [ --- ] = 19.08 25

(b)Copiamos la tabla de frecuencias

INTERVALO Fi Fi 15.0 19.9- 3 3 20.0 24.9- 15 18 25.0 - 29.9 24 42 Clase Mediana 30.0 34.9- 12 54 35.0 39.9- 6 60 60 n = 60 / 2 = 30 j = 24 k = 18

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Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I TIC = 5 Luego : 30 -18 Me = 25 + 5 [ ---] = 27.5 24

( c ) Copiamos la tabla de frecuencia del ejercicio 3

INTERVALOS Fi Fi 1.20 2.89- 20 20 2.90 4.59- 16 36 4.60 6.29- 18 54 Clase Mediana 6.30 7.99- 14 68 8.00 9.69- 7 75 9.70 11.39- 3 78 11.40 13.09- 2 80 n = 80 n / 2 = 40 j = 18 k = 36 Xi = 4.60 TIC = 1.70 40 - 36 Me = 4.60 + 1.70 [ ---] = 4.98 18

30.Para cada una de las siguientes distribuciones decídase si es posible calcular la media y/o mediana. Explíquense las respuestas.

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Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I (a) GRADOS Fi Fi 40 – 49 5 5 50 –59 18 23 60 –69 27 50 Clase Mediana 70 –79 15 65 80 –89 6 71 71 n = 71 n / 2 = 35. 5 TIC = 10 Xi = 60 k =23 j =27 35.5 - 23 Me = 60 + 10 [ ---] = 64.63 27 (b) INTERVALOS fi Fi < 90 3 3 90 – 99 14 17 100 109- 22 39 Clase Mediana 110 - 119 19 58 119 > 7 65 65 n = 65 n / 2 = 32.5 TIC = 10 Xi = 100 k = 17 j = 22

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Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I 32.5 - 17

Me = 100 + 10 [ ---] = 107.05 22

31 El supervisor de un grupo de 20 obreros pide la opinión de dos de ellos(seleccionados al azar) sobre las nuevas disposiciones de seguridad en la construcción. Si 12 están a favor de las nuevas disposiciones y los ocho restantes en contra. ¿ Cuál es la probabilidad de que ambos trabajadores elegidos por el supervisor estén en contra de las nuevas dispociones ? .

Soponiendo probabilidades iguales para cada elección de dos de ellos (seleccionados al azar), la probabilidad de que el primer obrero seleccionado esté en contra de las nuevas disposiciones de

seguridad es 8/20, y la probabilidad de que el segundo obrero se pronuncie contra las nuevas disposiciones, dado que el primero opinó en contra de ellas, es 7/19. Por consiguiente, la probabilidad buscada es 8/20 * 7/19 = 14/95.

32 ¿ Cuál es la probabilidad de obtener dos veces el mismo lado en dos lanzaminetos de una moneda balanceada ?.

En vista de que la probabilidad de que caiga un lado es 1/2 en cada lanzamineto y los dos son independientes, la probabilidad es 1/2 * 1/2 = 1/4.

33 Dos caras se extraen al zar de un paquete ordinario de 52 naipes. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos ases si la primera carta es reemplazada antes de

extraer la segunda ?. * DESARROLLO * DESARROLLO

Dado que hay cuatro ases entre las 52 cartas, obtenemos 4/52 * 4/52 = 1/169.

34 Sea A el evento que consiste en que la materia prima está disponible y B el evento que consiste en que el tiempo de maquinado es menor que una hra. Si p(A) = 0.8 y p(B) = 0.7, asigna una probabilidad al evento A

∩

B.

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Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I * DESARROLLO

* DESARROLLO

P(A∩B) = P(A)*P(B) = (0.8)*(0.7) = 0.56.

35 Cuatro veces se arroja un lado de un dado legal, ¿ Cuál es la probabilidad de no obtener un 6 en ninguna de las cuatro ocasiones ?.

La probabilidad es 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 = 625/1296.

36 Los cuatro ayundantes de una gasolineria deben limpiar el parabrisas de los autos de los clientes. Juan, quien atiende el 20% de todos los autos, no cumple su cometido una vez cada 20 autos; Tomás quien atiende el 60% de los autos, no limpia el prabrisas una vez cada 10 autos; Jorge quien atiende al 15% de ellos, no cumple su cometido una vez cada 10 autos; y Pedro quien atiende al 5% de los autos, no limpia el prabrisas una vez cada 20 autos. Si un cliente se queja de que su parabrisas no fue lavado, ¿ Cuál es la probabilidad de que su auto lo haya atendido Juan ?. * DESARROLLO * DESARROLLO (0.20)(0.05) P(B1\ A) = --- ---(0.20)(0.05) + (0.60)(0.10) + (0.15)(0.10)+ (0.05)(0.05) P(B1\ A) = 0.114.

37 ¿ Cuál es la esperanza matemática si se puede ganar $8 cuando una modela balanceada case del lado A ?.

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38 ¿ Cuál es la esperanza matemática si se compra 1 entre 1000 boletos prar una rifa con un premio de $500 ?.

La probabilidad de ganar el premio es de 1/1000 y la esperanza matemática es 500* 1/1000 = $0.50

39. ¿ Cuántos números pares de tres dígitos pueden formarse con los dígitos 1, 2, 5, 6 y 9, si cada uno de llos pude utilizarse sólo una vez ?.

Dado que el número debe ser par, se tienen únicamente n1= 2 posibilidades para la posición de

las unidades. Para cad una de estas últimas se tienen n2= 4 posibilidades para la posición de las

centenas y entoces n3= 3 posibilidades para la posición de las decenas. Por lo tanto se pueden

formar un total de

n1n2n3= (2)(4)(3) = 24

números pares de tres dígitos.

40. Se sacan dos boletos de la lotería, entre 20 posibles, para el primero y el segundo premios. Encuéntrese el número de puntos muestrales en el espacio S. * DESARROLLO

* DESARROLLO

El número total de puntos muestrales es: 20!

20P2= --- = 380.

(20 – 2)!

41. ¿ En cuántas formas puede una sucursal local de la American Chemical Society progrmar a 3 conferencias en 3 diferentes congresos, si los primeros están

disponibles en cualquier de 5 fechas posibles ?. * DESARROLLO

* DESARROLLO

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5!

5P3= --- = 60.

(5 – 3)!

42. ¿ en cuántas formas diferentes pueden acomodarse 3 focos rojos, 4 amarillos y 2 azules en un árbol de navidad con 9 receptáculos ?.

El número total de arreglos diferentes es: 9!

--- = 1260 3! 4! 2!

43.¿ En cuántas formas diferentes pueden siete científicos acomodarse en una habitación triple y dos habitaciones dobles en un hotel ?.

El número total de particiones posibles sería: 7!

--- = 210 3! 2! 2!

44. Encuéntrese el número de cómites que pueden formarse con 4 químicos y 3 físicos y comprendan 2 químicos y 1 físico.

El numero de formas de seleccionar 2 químicos de 4 posibles es:

4!

4C2= --- = 60.

2! 2!

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3!

3C1= --- = 60.

2! 1! Al utilizar la regla de la multiplicación se forman

(6)(3) = 18 comités con 2 químicos y 1 físico.

45. La probabilidad de que Paula apruebe matemáticas es de 2/3 y la de que apruebe inglés es de de 4/9. Si la probabilidad de que apruebe ambos cursos es de ¼, ¿ Cuál es la probabilidad de que Paula apruebe al menos uno de ellos ?.

P(M∪E) = P(M) + P(E) – P(M∩E) = 2/3 + 4/9 – 1/4 = 31/36.

46. Si las probabilidades de que una persona, al comprar un nuevo automóvil, seleccione el color verde, blanco, rojo o azul, son , respectivamente, 0.09, 0.15, 0.21 y 0.23 ¿ Cuál es la probabilidad de un comprador dado adquiera un automóvil en uno de esos colores ?.

P(G∪W∪R ∪B) = P(G) + P(W) + P(R) + P(B) = 0.09 + 0.15 + 0.21 + 0.23 = 0.68

47. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de dados ?.

* DESARROLLO * DESARROLLO P(A∪B) = P(A) + P(B)

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Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I = 1/6 + 1/18

= 2/9

48. La probabilidad de que un vuelo de programación regular despeque a tiempo es P(D) = 0.83; la de que llegue a tiempo es P(A) = 0.82; y la de que despeque y llegue a tiempo P(D

∩

A) = 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión llegue a tiempo dado que despegó a tiempo.

La probabilidad de que el avión llegue a la hora prevista dado que partió a tiempo es: P(D∩A)

P(A \ D) = ---P(D) = 0.78 / 0.83 = 0.94.

49. La probabilidad de que un vuelo de programación regular despeque a tiempo es P(D) = 0.83; la de que llegue a tiempo es P(A) = 0.82; y la de que despeque y llegue a tiempo P(D

∩

A) = 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión despegue a tiempo dado que llegó a tiempo.

La probabilidad de que el salga a la hora prevista dado que llegó a tiempo es: P(D∩A)

P(D \ A) = ---P(A) = 0.78 / 0.82 = 0.95.

50. Un par de dados se lanza dos veces. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener totales de 7 y 11 ?.

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Sea A1,A2, B1 y B2 respectivos eventos independientes de que ocurra un 7 en el primer

lanzamiento, un 7 en el segundo, un 11 en el primero y un 11 en el segundo. Lo que interesa es la probabilidad de la unión de los eventos excluyentes A1∩B2y B1∩A2; Por lo tanto:

P[(A1 ∩ B2) ∪ (B1 ∩ A2)] = P(A1 ∩ B2) + P(B1 ∩ A2) = 1/6 * 1/18 + 1/18 * 1/6 = 1/54.

51. ¿ Cuántas palabras distintas pueden formarse con las letras de la palabra CASACAS ?.

Vemos que se tienen una permutación donde se repiten las letras C (2 veces); A(3 veces) y S(2 veces). Luego: n=7elementos; nc= 2C; nA= 3ª; nS= 2S Se logra: 7! Pr _{=--- = 210 palabras} 2! 3! 2!

52. Si extraemos 3 cartas de una baraja de 48 cartas. ¿ De cuántas maneras se puede hacer esta selección ?.

Esto corresponde a combinaciones de 48 cartas tomadas de 3 en 3 48!

48C3= --- = 17296 combinaciones

3!(48-3)!

53. Un estudiantes tiene que elegir un idioma y una asignatura entre 5 idiomas y 4 asignaturas. Hallar el número de formas distintas en que puede hacerlo.

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Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I * DESARROLLO

* DESARROLLO

Pude elegir el idioma de 5 maneras y, por cada una de ellas, hay 4 formas de elegir la asignatura. Por lo tanto pude hacerlo de 5*4 = 20 maneras

54. ¿ De cuántas formas se pueden repartir dos premios entre 10 personas sabiendo que ambos premios no se pueden conceder a una misma persona ?. * DESARROLLO

* DESARROLLO

El primer premio se puede reaprtir de 10 formas diferentes y, una vez concedido, el segundo se puede repartir de 9 formas, ya que ambos no se pueden conceder a la misma persona.

Por lo tanto, se puede hacer de 10* 9 = 90 formas distintas.

55. ¿ De cuántas formas se pueden repartir dos premios entre 10 personas sabiendo que ambos premios se pueden conceder a una misma persona ?. * DESARROLLO

* DESARROLLO

El primer premio se puede repartir de 10 formas diferentes y el segundo de otras 10, ya que amos se pueden conceder a la misma persona.

Por lo tanto, se puede hacer de 10* 10 = 100 formas distintas.

56. ¿ De cuántas maneras se pueden introducir 5 cartas en 3 buzones ?. * DESARROLLO

* DESARROLLO

Cada una de las 5 cartas se pueden introducir en cualquiera de los tres buzones. En consecuencia, se puede efectuar de 3* 3 * 3 * 3 * 3 = 243 maneras.

57. Hay 4 candidatos para presidente de un club, 6 para vicepresidente y 2 para secretario. ¿ De cuántas maneras se pueden ocupar estos tres puestos ?.

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En consecuencia, se podrán ocupar de 4* 6* 2 = 48 formas distintas.

58. ¿ De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 5 personas en una fila ?. * DESARROLLO

* DESARROLLO

La primera persona puede ocupar un de los 5 puestos y, una vez que se ha situado en uno de ellos, la segunda puede ocupar uno de los 4 restantes, etc.. Por lo tanto, se podrán colocar de 5* 4* 3* 2* 1 = 120 maneras distintas.

59. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar 7 libros sobre una estantería?. * DESARROLLO

* DESARROLLO

Número de formas = número de permutaciones de 7 libros.= 5040 maneras.

60. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar en una fila 5 hombres y 4 mujeres de forma que estás ocupen los lugares pares ?.

Los hombres se pueden situar de P 5 maneras y las mujeres de P4 formas. Cada una de las

colocaciones de los hombres se puede asociar con una de las mujeres. Luego se podrá efectuar de P5* P4= 120 * 24 = 2880 maneras.

61. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar 7 cuadros diferentes en una fila sabiendo que uno de ellos debe de estar en el centro ?.

Como un cuadro en cuestión debe situa rse en el centro, solo quedan 6 cuadros para colocarlos en la fila.

Por lo tanto, se puden hacer de P6= 6! = 720 maneras.

62. Del problema anterior desarrollar si ahora nos piden que uno de ellos debe estar en uno de los extremos.

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Una vez colocado el cuadro en uno de los dos extremos, los otros 6 se pueden disponer de P 6

maneras.

En consecuencia, se pueden hacer de 2 * P6= 1 440 maneras.

63.¿ De cuántas maneras se pueden colocar 9 libros diferentes sobre la estantería de forma que 3 de ellos estén siempre juntos ?.

Los libros en cuestión se pueden colocar, entre ellos, de P3formas. Como los libros han de estar

siempre juntos, se puede considerar como uno solo. Así, pues, es como si tuviéramos 7 libros, el anterior más los 6 restantes, y éstos se pueden colocar de P7formas.

Por lo tanto, se puede hacer de P3* P7= 3! * 7! = 30 240 formas.

64. Del problema enterior nos piden ahora hallar que 3 de ellos no estén siempre juntos.

El número de maneras en que se pueden colocar 9 libros sobre una estantería, sin poner condición alguna, es de 9! = 362 880 maneras .

65. Sobre una estantería se tiene que colocar 6 libros distintos de biología, 5 de química y 2 de física, de forma que los de cada materia estén juntos. Hallar el número de formas en que se puede hacer.

Los libros de biología se pueden disponer entre sí de 6! maneras, los de química de 5!, los de física 2! Y los tres grupos de 3! maneras.

Por lo tanto, se pueden colocar de 6! * 5! * 2! * 3! = 1 036 800 maneras.

66. Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con los 10 dígitos pudiendo éstos repetirse.

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La cifra puede ser uno cualquiera de 9 dígitos(todo, excepto 0). Cada una de las otras cifras pueden ser uno cualquiera de los 10 dígitos.

Números formados = 9 * 10 * 10 * 10 * 10 = 90 000 número.

67. Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con los 10 dígitos pudiendo éstos repetirse. ¿ Cuántos de estos números empienza por 40 ?.

Las dos primeras cifras están formadas por el número 40. Las otras tres pueden ser cualquiera de los 10 dígitos.

Números formados = 1 * 10 * 10 * 10 = 1 000 números.

68. Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con los 10 dígitos pudiendo éstos repetirse. ¿ Cuántos son pares ?.

La primera cifra puede ser uno cualquiera de 9 dígitos y la última uno de 5 números, 0, 2, 4, 6, 8. Cada una de las otras tres cifras pueden ser cualquiera de los 10 dígitos.

Números pares = 9 * 10 * 10 * 10 * 5 = 45 000 números.

69. Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con los 10 dígitos pudiendo éstos repetirse. ¿ Cuántos son divisibles po 5 ?.

La primera cifra puede ser uno cualquiera de 9 dígitos, y la última pueden ser 2 números, el 0 y el 5, y las otras cifras 3 cifras uno cualquiera de los 10 dígitos.

Números divisibles por 5 = 9 * 10 * 10 * 10 * 2 = 18 000 números.

70. ¿ Cuántos números comprendidos entre 3 000 y 5 000 se pueden formar con los 7 dígitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, si cada uno no se puede repetir en cada número ?.

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Como los números comprendidos entre 3 000 y 5 000, constarán de 4 cifras. La primera puede ser el 3 o el 4. Los seis dígitos restantes se pueden colocar en los otros tres lugares de 6P3

maneras.

Números formados = 2 * 6_P3_{= 240 números.}

71. Entre 11 novelas y 3 diccionarios se seleccionan 4 novelas y 1 diccionario y se colocan en una estantería de forma que el diccionario esté en el medio. Hallar el número de formas en que esto se puede llevar a cabo.

Las probabilidades de seleccionar un diccionario son 3 y el número de variaciones de 11 novelas tomadas de 4 en 4 es11P4.

Por lo tanto, se puede hacer 3 *11P4= 23 760 formas.

72. Hallar el número de palabras que se pueden formar con las letras de la palabra COOPERADOR tomadas todas a la vez.

La palabra COOPERADOR consta de 10 letras: 3 “o”, 2 “r” y 5 diferentes. 10!

Número de palabras = --- = 302 400. 3! 2!

73. Hallar el número de palabras que se pueden formar con las letras de la palabra COOPERADOR tomadas todas a la vez. ¿ Cuántas de estas palabras tienen juntan las tres “o” y cuantas empiezan por los dos “r” ?.

(a) Considerando los tres “o” como una sola letra, tendremos 8 letras, de las cuales dos son “r”. 8!

Número de palabras = --- = 20 160 2!

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(b) El número de palabras que se pueden formar con las 8 letras restantes, de las cuales hay tres “o”, es 8! / 3! = 6 720.

74. Hallar el número de palabras diferentes de 5 letras que se pueden formar con las letras de la palabra EMPUJADO, si cada letra no se emplea más de una vez. * DESARROLLO

* DESARROLLO

Número de palabras = permutaciones de 8 elementos tomados de 5 en 5 =8P5= 6 720 palabras.

75. Del problema anterior nos piden el número de palabras diferentes si cada letra se puede repetir(no necesitan tener significado)

Número de palabras = 8 * 8 * 8 * 8 * 8 = 32 768 palabras.

76. Hallar los números que se pueden formar con los 4 de los 5 dígitos 1, 2, 3, 4, 5. Si éstos no se pueden repetir en cada número.

Números formados =5P4= 5 * 4 * 3 * 2 = 120 números.

77. Se dispone de 3 ejemplares de 4 libros diferentes. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar en una estantería ?.

Hay 3 * 4 = 12 libros, de los cuales cada uno está repetido 3 veces. 12!

Número de formas = --- = 369 600_{3! 3! 3! 3!}

78. ¿ De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa redonda

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Supongamos que una de ellas se sienta en un lugar cualquiera. Las 4 personas restantes se pueden sentar de 4! Formas.

Por lo tanto, hay 4! = 24 maneras de disponer a 5 personas alrededor de una mesa circular. 79. ¿ De cuántas maneras se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa redonda de forma que dos de ellas estén siempre juntas ?.

Consideremos a las personas dterminadas como una sola, Como hay 21 maneras de disponer a 2 personas entre sí y 6! Formas de colocar a 7 personas alrededor de una mesa circular, el número pedido será = 2! 6! = 1 440.

80. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar 4 hombres y 4 mujeres alrededor de una mesa redonda de manera que cada mujer esté entre dos hombres ?.

Supongamos, en primer lugar, que se sientan los hombres. Estos se pueden colocar de 3! maneras distintas y las mujeres 4! formas.

Por lo tanto, el número pedido es = 3! * 4! = 144.

81. ¿ Cuántas pulseras se pueden hacer ensartando en un hilo 9 cuentas de colores distintos ?.

El número de formas en que se pueden disponer las cuentas en las cuentas en la pulsera es igual a 8!, sin embargo, la mitad se deduce de otra mitad girando la pulsera.

Por lo tanto, se pueden formar 1/2(8!) = 20 160 pulseras diferentes.

82. ¿ Cuántos grupos de 4 alumno se puede formar con 17 alumnos aventajados para representar a un colegio en un concurso de preguntas de matemáticas ?.

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Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I 17 * 16 * 15 * 14

17C4= --- = 2 380 grupos de 4 alumnos

1 * 2 * 3 * 4

83. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 5 idiomas de entre 8 ?. * DESARROLLO

* DESARROLLO

Números de formas = números de combinaciones de 8 idiomas tomados de 5 en 5. 8 * 7 * 6

8C5=8C3= --- = 56 formas.

1 * 2 * 3

84. ¿ De cuántas formas se pueden repartir 12 libros entre dos personas, A y B, de manera que a uno le toque 9 y al otro 3 ?.

En cada una de las divisiones de los 12 libros en 9 y 3, A recibe 9 y B recibe 3, o bien A recibe 3 y B recibe 9.

Por lo tanto, el número de formas es = 2 *12C9= 2 *12C3= 440 formas.

85. Determinar el número de triángulos diferentes que se pueden formar uniendo los sies vértices de un éxagono.

Número de triángulos = números de combinaciones de 6 puntos tomados de 3 en 3. 6 * 5 * 4

6C3= --- = 20 triángulos.

1 * 2 * 3

86. ¿ Cuántos ángulos menores de 180° forman 12 semirectas que se cortan en un punto sabiendo que ninguna de ellas puede estar en prolongación de cualquiera de

las otras ?.

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Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I 12* 11

12C2= --- = 66 ángulos

1 * 2

87. ¿ Cuántas diagonales tiene un octagono ?. * DESARROLLO

* DESARROLLO

Número de rectas = número de combinaciones de 8 puntos tomados de 2 en 2 =8C2= 28.

Como 8 de estas 28 rectas son los lados del octágono, el número de diagonales = 20.

88. ¿ Cuántos paralelogramos se pueden formar al cortar un sistema de 7 rectas paralelas por otro sistema de 4 rectas paralelas ?.

Cada una de las combinaciones de 4 rectas tomadas de 2 en 2 forman un paralelogramo al cortar a cada una de las combinaciones de 7 rectas tomadas de 2 en 2.

Número de pralelogramos =4C2*7C2= 126 paralelogramos.

89. ¿ Cuántas grupos de 7 miembros se pueden formar con 6 químicos y 5 biólogos de manera que en cada uno se encuentren 4 químicos ?.

Cada grupo de 4 químicos de los 6 se puede asociar con cada uno de 3 biólogos de los 5. Por lo tanto, el número de grupos es =6C4*5C3= 150.

90. ¿ Cuántas palabras de 5 letras se pueden formar con 8 consonantes y 4 vocales, de manera que cada una conste de 3 consonantes y 2 vocales ?. * DESARROLLO

* DESARROLLO

Las # consonantes distintas se pueden elegir de8C3maneras, las 2 vocales de4C2formas y las 5

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Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I Por lo tanto, el número de palabras es =8C3*4C2* 5! = 40 320.

91. De una caja que contiene 3 bolas rojas, 2 blancas y 4 azules se extrae una bola al zar. Hallar la probabilidad p de que sea roja.

casos favorables (3 bolas rojas) p= --- = 1/3

casos posibles ( 3 + 2 + 4 bolas)

92. del ejercicio anterior hallar la probabilidad p en caso que no sea roja y sea blanca.

* DESARROLLO * DESARROLLO (a) p = 1 – 1/3 = 2/3. (b) p = 2/9.

93. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras; otra bolsa contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa. Determinar la probalidad “p”

de que las dos sean blancas y que las dos sean negras. * DESARROLLO

* DESARROLLO

(a) p = (4/(4+2)) * (3/(3+5)) = 1/4 (b) p = (2/(4+2)) * (5/(3+5)) = 5/24

94. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras; otra bolsa contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa. Determinar la probalidad “p”

de que una sea blanca y otra negra.

La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda negra La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda negra

4/6 * 5/6 = 5/12.

La probabilidad de que la primera bola sea negra y la segunda blanca La probabilidad de que la primera bola sea negra y la segunda blanca

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Semestre 2009 – I Semestre 2009 – I Por lo tanto la probabilidad pedida es: 5/12 + 1/8 = 13/24.

95. La posibilidades que tiene una persona de que le toque un premio de 50 000 pts son de 23 contra 2. Hallar su esperanza matemática.

Esperanza = probabilidad de que le toque * valor del premio = 2/25 * 50 000 = 4 000 pts. 96. En una caja hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Si se extraen dos al azar, ¿ cuál es la probabilidad “p” de obtener dos números impares ?.

Hay 5 números impares y 4 números pares.

5C2

p = --- = 5/18

9_C2

97. En una caja hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Si se extraen dos al azar, ¿ cuál es la probabilidad “p” de obtener dos números pares ?.

Hay 5 números impares y 4 números pares.

4C2

p = --- = 1/6

9C2

98. La probabilidad de que cierta persona viva 25 años más es de 3/7 y la probabilidad de que viva su 25 años más es 4/5. Hallar la probabilidad de que,

dentro de 25 años vivan los dos. * DESARROLLO

* DESARROLLO

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99. Once libros, de los cuales 5 son de ingeniería, 4 de matemáticas y 2 de química, se coloca al zaar en una estantería. Hallar la probabilidad “p” de que los libros de cad materia estén todos juntos.

Cuando los libros de cada materia estén juntos los de ingeniería se pueden disponer de 5! maneras, los de matemáticas de 4!, los de química de 2! y los tres grupos de 3! maneras distintas.

casos favorables (5! 4! 3! 2!)

p= --- = 1/1155 casos posibles (11!)

100. Hallar la probabilidad p de que de los 5 hijos de una familia haya por lo menos 2 niños y 1 niña. Se supone que la probabilidad de nacer niño o niña es 1/2.

Los tres casos favorables son 2 niños, 3 niñas; 3 niños, 3 niñas; 4 niños, 1 niña. p= (1/2)5₍

5C2+5C3+ 5C4) = 25/32

101. Los siguientes datos son los puntajes obtenidos por 50 estudiantes en un exámen de Estadistica general.

33 , 35 , 35 , 39 , 41 , 41 , 42 , 45 , 47 , 48 50 , 52 , 53 , 54 , 55 , 55 , 57 , 59 , 60 , 60 61 , 64 , 65 , 65 , 65 , 66 , 66 , 66 , 67 , 68 69 , 71 , 73 , 73 , 74 , 74 , 76 , 77 , 77 , 78 80 , 81 , 84 , 85 , 85 , 88 , 89 , 91 , 94 , 97

Clasificar estos datos convenientemente en intervalos de clase de la misma amplitud y construir los gráficos respectivos.