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1.- PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Es una técnica que sirve para saber cuántos resultados tiene un experimento que consta de dos o más etapas. El principio de multiplicación consiste en multiplicar el número de resultados de cada etapa.
Ejemplo: Supongamos que tenemos 5 tipos de camisas, 3 de pantalones y 4 pares de zapatos ¿De cuántas formas diferentes podemos vestirnos?
Nº de formas de elegir la camisa: 5
,, ,, ,, el pantalón: 3 → El nº de formas de vestirse es: 5 . 3 . 4 = 60 ,, ,, ,, los zapatos: 4
Practica tú:
1 Si lanzamos un dado y después una moneda, ¿Cuántos resultados se pueden obtener? Sol.: 12
2 Un conocido restaurante afirma que el cliente puede comer durante dos años sin repetir el menú.
En la carta aparecen 5 primeros platos, 14 segundos y 7 postres. Analiza si se trata de una propaganda cierta o no. Sol.: Es falso, sólo se puede comer durante 490 días
3 Una cafetería ofrece para desayunar cuatro tipos de zumos; tres bebidas calientes: café, infusión o chocolate; y para comer, tostada o churros. Calcula el número de desayunos posibles que incluyan un elemento de cada grupo. Sol.: 24 desayunos
4 Un matrimonio decide comprar una radio y una televisión. Si en el lugar donde harán la compra hay 4 tipos de radio y 5 clases de televisores, ¿de cuántas maneras distintas pueden realizar la compra de ambos objetos a la vez? Sol.: 20 maneras
5 Marta participa en un juego que consiste en elegir primero un número del 1 al 10 y después una carta de la baraja española (de 40 cartas). ¿Cuántos resultados distintos puede obtener? Sol.: 400 resultados
6 Para financiar el viaje de fin de curso, un grupo de alumnos ha encargado unas camisetas en dos colores: blanco y azul. Si las tallas son pequeña, mediana, grande y extragrande, ¿cuántos modelos diferentes de camisetas tendrán que elaborar? Sol.: 8 modelos
7 Un juego educativo contiene figuras con forma de triángulos, cuadrados y círculos, en dos tamaños, grandes y pequeñas, y en cuatro colores, amarillo, azul, rojo y verde. ¿Cuántas figuras distintas hay? Sol.: 24
8 En una fiesta coinciden 6 chicos y 7 chicas; si todos los chicos bailan con todas las chicas, ¿cuántas parejas distintas se pueden formar? Sol.: 42 parejas
9 Una fábrica de coches Peugeot fabrica modelos de 1600, 1800 y 2000 cm3 en cinco colores cada uno, blanco, negro, azul, amarillo y rojo y con tres o cinco puertas cada tipo. ¿Cuántos coches diferentes puede haber? Sol.: 30
2.- NÚMEROS COMBINATORIOS Factorial de un número natural
El factorial de un número natural n es el producto de n por todos los números naturales menores que él. El factorial de n se representa por n ! y se lee “n factorial”.
n ! = n.(n – 1).(n – 2). .... . 3 . 2 . 1
Ejemplos: 1 ! = 1 2 ! = 2 . 1 = 2 3 ! = 3 . 2 . 1 = 6 4 ! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 … 0 ! = 1 (por convenio) El factorial de un número también se puede hallar con la calculadora científica CASIO usando la función x! Por ejemplo, si queremos calcular 13 ! , el proceso es el siguiente: 13 SHIFT x– 1 =
Nos da como resultado: 6 227 020 800.
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Número combinatorio
Dados dos números naturales n y m con n ≥ m, se define el número combinatorio “n sobre m” así:
n n = m m . (n m)!
!
!
El número combinatorio n m se puede hallar con la calculadora científica CASIO usando la tecla nCr Por ejemplo, si queremos calcular 5
2
, el proceso es el siguiente: 5 nCr 2 = . Nos da como resultado 10
Propiedades más importantes de los números combinatorios 1) n n = n 0
= 1
Ejemplo: 5 = 5 = 5 = 5 = 1 5 . (5 5) 5 . 0 5 . 1 5 5 5 5 = = = 1 0 . (5 0) 1 . 5 0 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2) n = 1n
Ejemplo: 5.4 5 5 5 = = = 1 . (5 1) 1 . 4 1 ! ! ! ! ! ! 1 . 4!= 5Practica tú:
10 Usando la calculadora científica halla los siguientes factoriales y luego comprueba el resultado usando la definición: a) 9 ! b) 7 ! c) 12 ! d) 6 ! Sol.: a) 362 880 b) 5 040 c) 479 001 600 d) 720
11 Usando la calculadora científica calcula los siguientes números combinatorios y luego comprueba el resultado usando la definición: a)
6 2 b) 10 7 c) 20 18 d) 7 3 e) 8 5 f) 12 11 Sol.: a) 15 b) 120 c) 190 d) 35 e) 56 f ) 12 3.- VARIACIONES Y COMBINACIONES Variaciones sin repetición
Considera la siguiente situación: ¿Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden formar usando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9?
Se trata averiguar cuántas listas de 4 elementos se pueden obtener a partir de un conjunto de 9 elementos de forma que:
- No se pueden repetir los elementos en la lista (pues vamos a formar números con cifras distintas) - Importa el orden en que estén colocados los elementos en la lista (pues no es lo mismo, por ejemplo, el número 5721 que 1275)
Se dice que el nº de listas son las variaciones orden 4 tomadas de un conjunto de 9 elementos y se representan por V(9, 4)
Para saber cuántos números hay podemos usar el principio de la multiplicación:
En total, se podrían formar V(9, 4) = 9 . 8 . 7 . 6 = 3 024 números.
En general, las variaciones de orden k tomadas de un conjunto de n elementos, V(n, k), son las listas de k elementos que se pueden obtener a partir de un conjunto de n elementos
de forma que:
- No se pueden repetir los elementos en la lista
- Importa el orden en que estén colocados los elementos en la lista
Para hallar el número de variaciones sin repetición se usa la fórmula:
k factores decrecientes empezando por n
V(n, k)
n.(n - 1).(n - 2). ....
También se puede hallar con la calculadora científica CASIO usando la función nPr
Por ejemplo, si queremos hallar V(9, 4) , el proceso es: 9 SHIFT nCr 4 = . Nos da como resultado 3 024 Posición de la cifra 1ª 2ª 3ª 4ª
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Permutaciones sin repetición
Si en lugar de formar números de 4 cifras distintas con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 queremos formar números de 9 cifras distintas tendríamos las V(9, 9) que se llaman permutaciones de 9 elementos y se representan por P(9). Las permutaciones son todas las formas que hay de ordenar los 9 dígitos. Por tanto, P(9) = V(9, 9) = 9 . 8. 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 9 !
En general, las permutaciones sin repetición de un conjunto de n elementos, P(n) , son las variaciones sin repetición en las que intervienen todos los elementos, es decir P(n) = V(n, n). Las permutaciones son todas las formas de ordenar los n elementos del conjunto.
Para calcular el número de permutaciones sin repetición se usa la fórmula: P(n) V(n,n) = n ! Variaciones con repetición
Considera la siguiente situación: ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar usando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9?
Se trata averiguar cuántas listas de 4 elementos se pueden obtener a partir de un conjunto de 9 elementos de forma que:
- Se pueden repetir los elementos en la lista (pues vamos a formar números con cifras que se pueden repetir) - Importa el orden en que estén colocados los elementos en la lista (pues no es lo mismo, por ejemplo, el número 5751 que 1575)
Se dice que el nº de listas son las variaciones con repetición de orden 4 tomadas de un conjunto de 9 elementos y se representan por VR(9, 4)
Para saber cuántos números hay podemos usar el principio de la multiplicación:
En total, se podrían formar VR(9, 4) = 9 . 9 . 9 . 9 = 94 = 6 561 números.
En general, las variaciones con repetición de orden k tomadas de un conjunto de n elementos, VR(n, k), son las listas de k elementos que se pueden obtener a partir de un conjunto de n elementos de forma que: - Se pueden repetir los elementos en la lista
- Importa el orden en que estén colocados los elementos en la lista
Para calcular el número de variaciones con repetición se usa la fórmula: VR(n,k)
n
k Permutaciones con repeticiónLas permutaciones con repetición de un conjunto de n elementos en los que hay uno que se repite “a” veces, otro “b” veces, otro “c” veces, etc se llaman permutaciones con repetición,
PR
na,b,c,...Para hallar el nº de permutaciones con repetición se usa la fórmula: , , ,...
!
! . ! . !....
n a b cn
PR
a
b
c
Por ejemplo, para calcular el número de formas de ordenar las letras: T , T, T , K , K , O calculamos 6
3,2
6!
6.5.4. 3!
3! 2!
PR
3!
. 2.1
60
. Luego, hay 60 formasCombinaciones sin repetición
Considera la siguiente situación: ¿Cuántas formas hay de elegir 3 personas de un grupo de 7 amigos? Se trata averiguar cuántas listas de 3 elementos se pueden obtener a partir de un conjunto de 7 elementos de forma que:
- No se pueden repetir los elementos en la lista (pues lógicamente no puede repetirse la misma persona en el grupo)
- No importa el orden en que estén colocados los elementos en la lista (pues es lo mismo, por ejemplo, {Pepe, Ana, Rocío} que {Rocío, Pepe, Ana})
Se dice que el nº de listas son las combinaciones sin repetición de orden 3 tomadas de un conjunto de 7 elementos y se representan por C(7, 3)
Posición de la cifra 1ª 2ª 3ª 4ª Nº de posibilidades 9 9 9 9
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En general, las combinaciones sin repetición de orden k tomadas de un conjunto de n elementos, C(n, k), son las listas de k elementos que se pueden obtener a partir de un conjunto de n elementos de forma que:
- No se pueden repetir los elementos en la lista
- No importa el orden en que estén colocados los elementos en la lista
Para hallar el nº de combinaciones sin repetición se usa la fórmula:
n n = k k . (n k) ! ! ! C(n,k)
Ejercicio 1 Resuelve los siguientes problemas de combinatoria:
a) ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?
b) En un estante de una librería capaz para 25 volúmenes, hay siete ejemplares iguales de “El Quijote”, 8 ejemplares iguales de “La Celestina” y 10 ejemplares iguales de “La venganza de Don Mendo”. ¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarse dichos libros?
c) Un estudiante tiene que resolver ocho cuestiones de doce en un examen. ¿De cuántas maneras puede elegirlas?
d) Un cd tiene 12 canciones que se pueden escuchar en cualquier orden. Luís quiere escucharlas cada día en un orden diferente. ¿Cuántos días tardará en hacerlo?
e) En una clase de 22 alumnos, todos quieren sentarse en los cinco asientos de la primera fila. ¿De cuántas formas puede asignar el profesor esos asientos?
f) De una baraja española (40 cartas), se extraen 4 cartas sucesivamente sin reemplazamiento
1) ¿Cuántos resultados puede haber? 2) ¿Y si las extracciones se hacen con reemplazamiento?
g) En una clase de 27 alumnos, cada alumno estrecha la mano de los demás, ¿cuántos saludos se habrán dado en total?
h) ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra MATEMATICAS?
i) Desde el 18 de septiembre de 2000, se implantó en España el nuevo sistema de matriculación europea, que como sabes consta del indicativo del país, cuatro números y tres letras.
No todas las letras del alfabeto están utilizadas para las matrículas, pues no se han usado estas: A-E-I-O-U-Ñ-Q (en total 20 letras). Los números si son todos (del 0 al 9).
1) ¿Cuántos coches se pueden matricular con estas matrículas? 2) ¿Cuál fue la primera matrícula? ¿Cuál será la última?
3) ¿Cuántos coches tendrían sus números capicúas?
4) En un año se matricularon en España 1 913 162 vehículos. Si se mantiene ese ritmo de matriculaciones, ¿cuándo se acabarán las matrículas?
j) ¿Cuántas quinielas de fútbol habría que hacer para tener la certeza de tener 14 aciertos? (No tenemos en cuenta la opción del pleno al 15).
k) ¿Cuántas palabras, con sentido o no, se pueden formar con las letras de la palabra permutación? ¿Cuántas empezarán por vocal y terminarán en N?
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Practica tú:
12 Resuelve los siguientes problemas de combinatoria:
1) ¿Cuántas posibles clasificaciones se pueden dar en una liguilla de fútbol de 10 equipos? Sol.: 3 628 800
2) ¿Cuántas diagonales tiene un icoságono? Sol.: 190 20 170
3) ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar con los dígitos 1 , 1 , 1 , 2 , 2 y 3? Sol.: 60
4) ¿Cuántos números de tres cifras distintas pueden formarse con los dígitos impares? Sol.: 60
5) ¿De cuántas formas pueden sentarse 8 amigos en una fila de 8 butacas de un cine? Sol.: 40 320
6) ¿De cuántas formas se pueden colocar en fila 20 bolas de igual tamaño de las que siete son rojas, nueve azules y cuatro verdes. Sol.: 55 426 800
7) ¿Cuántos números de teléfono fijo se pueden formar en la provincia de Granada que acaben en7?
Sol.: 100 000
8) Un vendedor tiene que visitar Madrid, Barcelona, Granada, Valencia, Logroño y León. Si no debe pasar dos veces por la misma ciudad y puede empezar y acabar por cualquiera de las ciudades, ¿cuántas rutas distintas puede elaborar? Sol.: 720
9) En una urna hay tres bolas rojas, tres verdes, cuatro negras y dos azules. ¿De cuántas maneras distintas pueden sacarse, de una en una, de la urna? Sol.: 277 200
10) Una clase tiene 24 alumnos y el profesor pide los ejercicios cada día a dos de ellos. El profesor desea que no se repita nunca la misma pareja. ¿Durante cuántos días lo podrá conseguir? Sol.: 276
11) Con las letras de la palabra PROBLEMA ¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer? Sol.: 40 320
12) Un examen tipo test consta de 8 preguntas y cada una de ellas tiene 3 posibles respuestas.
¿De cuántas formas distintas puede contestarse el examen si es obligatorio contestarlas todas? Sol.: 6561
13) ¿Cuántas palabras pueden formarse, tengan sentido o no, con todas las letras de la palabra FRANCISCO?
Sol.: 181 440
14) Una empresa hace cerraduras de combinación. Cada combinación consta de tres números, cada uno de dos dígitos. Por el proceso de construcción de las cerraduras un dígito no puede aparecer más de una vez en la combinación. ¿Cuántas cerraduras diferentes pueden construirse? Sol.: 151 200 cerraduras
15) El juego de la Primitiva consiste en rellenar un bloque señalando 6 números a elegir entre el 1 y el 49. Si rellenar cada bloque vale 1 €, ¿cuánto dinero habría que gastarse para garantizar los 6 aciertos?
Sol.: 13 983 816 €
16) ¿Cuántos resultados se pueden obtener al lanzar 5 veces un dado? Sol.: 7 776
17) Un equipo de balonmano ha ganado una liga ganando 12 partidos, empatando 2 y perdiendo 4. ¿De cuántas formas diferentes lo ha podido hacer? Sol.: 278 460
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18) Siete amigos llegan a la taquilla de un cine, ¿de cuántas formas pueden colocarse en fila para hacer cola?
Sol.: 5 040 formas
19) Pedro tiene pesas de 1, 2, 5, 10, 20, y 50 kg. ¿Cuántas pesadas diferentes puede hacer tomando en cada pesada tres pesas? Sol.: 20
20) Con un punto y una raya (símbolos clásicos del alfabeto Morse) ¿Cuántas señales distintas de 7 símbolos pueden hacerse? Sol.: 128
21) Ricardo olvidó su PIN de cuatro dígitos de su tarjeta bancaria. Lo único que recordaba eran los dígitos 2, 3, 5 y 8 pero no sabía en qué orden. ¿Cuántos códigos posibles se pueden formar con estos dígitos? Sol.: 24
22) Un examen consta de 20 preguntas de las que hay que elegir 10 para contestar. ¿De cuántas formas se pueden elegir? Sol.: 184 756 formas
23) Para acceder a una caja fuerte se tiene que introducir un número de 10 cifras. Se sabe que dicho número está formado por 5 doses, 3 cincos y 2 seises. ¿Cuántas claves diferentes se pueden formar? Sol.: 2 520
24) De una urna que contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10 extraemos 5 bolas una tras otra. Calcula cuántos resultados distintos podemos obtener en los casos:
a) Se extraen sin reemplazamiento Sol.: 30 240 b) Se extraen con reemplazamiento Sol.: 100 000
25) En un monte hay 8 casas. Cada casa se comunica con cada una de las restantes por un camino. ¿Cuántos caminos hay en total? Sol.: 28
26) ¿Cuantas palabras de 10 letras, con o sin sentido, se pueden formar usando sólo las letras a, b? Sol.: 1 024
27) ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres? Sol.: 35
28) Un depósito de agua tiene 5 caños de desagüe, que desaguan 1, 3, 5, 10 y 20 litros por minuto,
respectivamente. ¿Con cuántas velocidades diferentes se puede desaguar el depósito abriendo dos grifos a la vez? Sol.: 10
29) Sabiendo que los puestos de delegado y de subdelegado no pueden ser cubiertos por la misma persona, calcula cuántas posibilidades hay para cubrir ambos cargos en una clase de 18 alumnos. Sol.: 306
30) Para un nuevo club deportivo se quiere hacer una bandera tricolor (tres colores distintos) que conste de tres franjas verticales. Si para crearla se dispone de 10 colores distintos, ¿cuántas banderas diferentes se pueden realizar? Sol.: 720
31) ¿Cuántos resultados se pueden obtener al lanzar una moneda 17 veces? Sol.: 131 072
32) ¿Cuántos números de cifras distintas podremos formar usando todas o algunas cifras del número 1987?
Sol.: 64
33) Se tienen 12 jugadores de béisbol y se van a seleccionar 9 para formar un equipo. ¿Cuántos equipos distintos pueden formarse? Sol.: 220
