Elementos de Ecuaciones diferenciales ordinarias

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Texto completo

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ELEMENTOS DE ECUACIONES

DIFERENCIALES ORDINARIAS

V´ıctor Manuel S´

anchez de los Reyes

(2)
(3)

´

Indice

1. Introducci´on 7

1.1. Conceptos b´asicos . . . 7

1.2. Algunos modelos matem´aticos . . . 9

1.2.1. Desintegraci´on radiactiva . . . 9

1.2.2. Movimiento pendular . . . 10

1.2.3. La catenaria . . . 11

1.2.4. Cuerpos en ca´ıda libre con resistencia del aire . . . 11

1.2.5. La curva braquist´ocrona . . . 12

1.2.6. Oscilaciones en resortes . . . 13

1.2.7. Din´amica de poblaciones . . . 14

2. Ecuaciones diferenciales de primer orden 15 2.1. Ecuaciones de variables separadas . . . 15

2.2. Ecuaciones homog´eneas . . . 16

2.3. Ecuaciones exactas . . . 18

2.4. Ecuaciones lineales . . . 20

2.5. Algunas ecuaciones especiales . . . 21

2.5.1. La ecuaci´on de Bernoulli . . . 21

2.5.2. La ecuaci´on de Ricatti . . . 22

(4)

2.5.4. Ecuaciones de la forma f(y, y0) = 0. . . 22

2.5.5. Ecuaciones de la forma f(x, y0) = 0. . . 23

2.5.6. La ecuaci´on de Lagrange . . . 23

2.5.7. La ecuaci´on de Clairaut . . . 23

3. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 25 3.1. Estructura del conjunto de soluciones . . . 25

3.1.1. La ecuaci´on homog´enea . . . 26

3.1.2. La ecuaci´on no homog´enea . . . 28

3.2. Ecuaciones con coeficientes constantes . . . 29

3.2.1. La ecuaci´on homog´enea . . . 29

3.2.2. La ecuaci´on no homog´enea . . . 31

4. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 33 4.1. Introducci´on . . . 33

4.2. Estructura del conjunto de soluciones . . . 35

4.2.1. El sistema homog´eneo . . . 35

4.2.2. El sistema no homog´eneo . . . 37

4.3. Sistemas con coeficientes constantes . . . 39

4.3.1. El sistema homog´eneo . . . 39

4.3.2. El sistema no homog´eneo . . . 40

5. Transformada de Laplace y m´etodo de series de potencias 43 5.1. Transformada de Laplace . . . 43

5.1.1. Definici´on y propiedades . . . 43

5.1.2. La funci´on de Heaviside y la delta de Dirac . . . 44

5.1.3. Traslaci´on y periodicidad . . . 45

(5)

5.1.5. La convoluci´on . . . 46

5.1.6. La transformada inversa . . . 47

5.1.7. Aplicaciones . . . 48

5.2. M´etodo de series de potencias . . . 50

5.2.1. Soluciones en torno a puntos ordinarios . . . 50

5.2.2. Soluciones en torno a puntos singulares . . . 52

6. Teor´ıa cualitativa de ecuaciones diferenciales 55 6.1. Conceptos . . . 55

6.2. Sistemas lineales planos . . . 56

7. Resoluci´on num´erica de ecuaciones diferenciales 59 7.1. M´etodo de Euler . . . 59

7.2. M´etodo de Runge-Kutta . . . 60

Ap´endice. Teoremas de existencia y unicidad 61

(6)
(7)

Tema 1

Introducci´

on

1.1.

Conceptos b´

asicos

Definici´on 1.1.1. Una ecuaci´on diferencial ordinaria (en adelante, ecuaci´on dife-rencial) es la que establece una relaci´on entre una variable independiente x, la funci´on buscada f(x) y una o varias derivadas de esta funci´on f0(x), f00(x), . . . , fn)(x), lo que equivale, con y=f(x), a una expresi´on de la forma

F(x, y, y0, y00, . . . , yn)) = 0.

Definici´on 1.1.2. Se denominaordende una ecuaci´on diferencial al orden de la derivada superior que interviene en la expresi´on.

Definici´on 1.1.3. Una ecuaci´on diferencial de orden n se dice lineal si es de grado uno respecto a la funci´on y y todas sus derivadas, pudi´endose entonces expresar de la forma

yn)+a1(x)yn−1)+· · ·+an−1(x)y0+an(x)y=g(x).

Cuando las funciones ai(x), 1 ≤ i ≤ n, son constantes se dice que la ecuaci´on tiene

coeficientes constantes. Si g(x) ≡ 0 la ecuaci´on se denomina homog´enea. En caso contrario se llama no homog´enea o completa.

Definici´on 1.1.4. Unasoluci´onde una ecuaci´on diferencial es una funci´on que sustitui-da en la ecuaci´on la convierte en una identidad. Si una soluci´on es una funci´on expl´ıcita (impl´ıcita), se dice que es una soluci´on expl´ıcita (impl´ıcita).

Definici´on 1.1.5. La soluci´on general de la ecuaci´on diferencial de orden n dada por F(x, y, y0, y00, . . . , yn)) = 0es una funci´onϕ(x, C1, C2, . . . , Cn)que depende denconstantes

(8)

las constantes, y si hay condiciones iniciales

    

   

y(x0) = y0 y0(x0) = y01 ..

.

yn−1)(x

0) =yn0−1

se pueden elegir las constantes para que la funci´on ϕ las satisfaga.

Una relaci´on φ(x, y, C1, C2, . . . , Cn) = 0 que define la soluci´on general impl´ıcitamente

se denomina integral general de la ecuaci´on diferencial.

Definici´on 1.1.6. Unasoluci´on particularde una ecuaci´on diferencial es la que se ob-tiene de la soluci´on general para valores concretos de las constantes. Unacurva integral

es la gr´afica de una soluci´on particular.

Definici´on 1.1.7. Una soluci´on singular de una ecuaci´on diferencial es una funci´on que satisface la ecuaci´on y que, sin embargo, no se obtiene de la soluci´on general para ning´un valor de las constantes.

Definici´on 1.1.8. Resolver o integraruna ecuaci´on diferencial supone calcular la so-luci´on general si no se han dado condiciones iniciales, y cuando ´estas existen, hallar la soluci´on particular que las satisfaga.

Sea F(x, y, y0) = 0 una ecuaci´on diferencial de primer orden que se puede expresar de la forma y0 = f(x, y). Esta funci´on f asocia a cada punto de su dominio el valor de la pendiente de la tangente a la curva integral en ese punto. Por lo tanto, la ecuaci´on diferencial determina un campo de direcciones que se representa como un conjunto de segmentos, cada uno de los cuales pasa por el punto (x, y) y tiene como pendiente y0. Resolver una ecuaci´on diferencial se puede interpretar entonces como calcular una curva cuya tangente en cada punto tenga la misma direcci´on que el campo de direcciones en ese punto. Para facilitar este c´alculo se introducen las isoclinas:

Definici´on 1.1.9. Se denomina isoclina al lugar geom´etrico de los puntos del plano en los que las tangentes a las curvas integrales de una ecuaci´on diferencial tienen la misma direcci´on.

La familia de isoclinas de la ecuaci´on diferencial y0 = f(x, y) est´a determinada por la ecuaci´on f(x, y) = k, siendo k un par´ametro. Dibujando la familia de isoclinas para valores dek pr´oximos entre s´ı, es posible trazar de forma aproximada las curvas integrales de la ecuaci´on diferencial. La isoclina f(x, y) = 0 informa de la posible situaci´on de los m´aximos y m´ınimos locales de las curvas integrales. Los puntos de inflexi´on, si existen, estar´an situados en la curva definida por

∂f ∂x +

∂f

(9)

Ejercicios

1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

a) y= 2 +√x2+ 1 de la ecuaci´on diferencial (x2+ 1)y0 +xy= 2x.

b) y=x√1−x2 de la ecuaci´on diferencial yy0 =x2x3. c) y=earc senx de la ecuaci´on diferencialxy0 =ytag logy.

d)

x=tlogt

y=t2(2 logt+ 1) de la ecuaci´on diferencial y

0log y0

4 = 4x.

e)

x= logt+ sent

y=t(1 + sent) + cost de la ecuaci´on diferencial x= logy

0+ seny0.

2. Verifica que las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferen-ciales indicadas:

a) y= log(ex+C) de la ecuaci´on diferencial y0 =ex−y.

b) y=√x2Cx de la ecuaci´on diferencial (x2+y2) dx2xy dy = 0.

c) (x+C)2 +y2 = 4 de la ecuaci´on diferencial y2((y0)2+ 1) = 4. Obt´en en este

caso dos soluciones singulares.

3. Comprueba si las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

a) e−y −Cx= 1 de la ecuaci´on diferencial xy0 + 1 =ey.

b) y2+ 2Cx=C2 de la ecuaci´on diferencial y(y0)2+ 2xy0 =y.

c) x=yR0xsent2 dt de la ecuaci´on diferencialy =xy0 +y2senx2.

4. Estudia las isoclinas de las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) y0 =x+ 1.

b) y0 = yy+xx.

c) y0 =x+y.

d) y0 =y−x.

1.2.

Algunos modelos matem´

aticos

1.2.1.

Desintegraci´

on radiactiva

(10)

en una unidad de tiempo es proporcional al n´umero de mol´eculas existentes. Por ejemplo, la desintegraci´on radiactiva.

Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en funci´on del tiempo por la funci´on m = m(t), la velocidad de descomposici´on viene dada por m0. Si se supone que esta velocidad es directamente proporcional a la masa, se tiene la ecuaci´on diferencial de primer orden

m0 =−km

siendo k >0 el coeficiente de proporcionalidad.

La soluci´on general viene dada por

m(t) = Ce−kt.

Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicial

t = 0 y que tiene un valorm0, de lo que resulta que

m(t) =m0e−kt.

1.2.2.

Movimiento pendular

Se supone un punto material de masa m suspendido de un punto fijo, que se mueve por la acci´on de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que est´a en un plano vertical. Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular la ecuaci´on del movimiento en funci´on del tiempo.

Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen est´a en el punto inferior de la circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto. Sea L la longitud del radio de la circunferencia, t el tiempo ysla longitud de arco a partir del origen hasta un punto

P, de forma que si P est´a a la derecha del origen, es s > 0 y si est´a a la izquierda, es

s < 0. Se pretende determinar la funci´on s = s(t). La fuerza de la gravedad F = mg

se descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft, siendo ´esta ´ultima la que

produce el movimiento. Se tiene que Ft = −mgsenα, siendo α el ´angulo que forma la

direcci´on de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad. As´ı, la funci´on del movimiento verifica la ecuaci´on diferencial

s00 =−gsen s

L.

Una soluci´on aproximada de dicha ecuaci´on diferencial viene dada por

s=s0sen

r

g Lt

(11)

1.2.3.

La catenaria

Estudiemos ahora la forma que toma un hilo flexible homog´eneo suspendido entre sus dos extremos y que cuelga por su propio peso.

Sea M(0, b) el punto m´as bajo del hilo yP(x, y) un punto cualquiera. La secci´onM P

del hilo est´a equilibrada por las siguientes fuerzas:

1. La tensi´onT1 que act´ua a lo largo de la tangente al punto P y forma un ´angulo α

con el eje de abcisas.

2. La tensi´on T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas.

3. El peso del hilo, paralelo al eje de ordenadas, cuyo m´odulo essp, siendosla longitud del arco M P y p el peso espec´ıfico del hilo.

Al descomponerT1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio:

T1cosα=T2 T1senα=sp

luego, dividiendo ambas igualdades entre s´ı, se tiene que

tag α= sp

T2 .

Llamando a = T2

p, derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que

s0 =p(y0)2+ 1 se obtiene la ecuaci´on diferencial

y00= 1

a

p

(y0)2+ 1.

La soluci´on particular que pasa porM es

y= a 2 e

x a +e−

x

a+b−a =acoshx

a +b−a.

1.2.4.

Cuerpos en ca´ıda libre con resistencia del aire

Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masam, sobre el que act´ua, adem´as de la fuerza de la gravedad, la resistencia del aire, que es proporcional a su velocidad de ca´ıda v =v(t), la cual se quiere calcular. La aceleraci´on es v0, y k es el coeficiente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire. Por tanto,

(12)

que es una ecuaci´on diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes no homog´enea.

Se puede comprobar que la funci´on

v(t) = Ce−mkt+ mg

k

verifica la ecuaci´on para todo valor de la constanteC. Para determinar la constante C se supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un valor v0, de lo que resulta que

v(t) =v0− mg

k

e−mkt+mg

k .

Si la resistencia del aire no existe, es decir,k = 0, la soluci´on particular es

v(t) =gt+v0.

Si y =y(t) es la funci´on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada, se tiene que y0 =v con lo que

y(t) = 1 2gt

2

+v0t+y0

siendo y0 la posici´on inicial. Siy0 =v0 = 0, se tiene que v2 = 2gy.

1.2.5.

La curva braquist´

ocrona

Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se deja deslizar una bola esf´erica, supuestamente sin rozamiento. El problema consiste en determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hastaB, sin otra fuerza que la gravedad, sea el m´ınimo.

Si se supone que la bola va desdeA hastaB a trav´es de dos segmentosAO yOB, con velocidades v1 y v2, respectivamente, el tiempo total que invierte en su desplazamiento

viene dado por

t=

x2+a2 v1 +

p

(c−x)2+b2 v2

donde A= (−x, a),O = (0,0) y B = (c−x,−b). Para que el tiempo sea el m´ınimo debe suceder que dxdt = 0, con lo que

x v1

x2+a2 =

c−x v2

p

(c−x)2+b2

o bien

senw1 v1

= senw2

(13)

siendo w1 = arctag xa y w2 = arctag c−bx. Si el n´umero de segmentos pasa a ser infinito,

aumentando la velocidad de la bola de forma continua, se tiene que la trayectoria debe verificar que senvw sea constante. Llamando α = π2 −wse tiene que

senw= cosα= p 1 (y0)2+ 1.

Comov2 = 2gy, la curva braquist´ocrona debe satisfacer la ecuaci´on diferencial

y((y0)2 + 1) =C.

La soluci´on de dicha ecuaci´on viene dada por

x=r(θ−senθ)

y =r(1−cosθ)

siendor = C2 y tag θ2 =qCyy, que son las ecuaciones param´etricas de la cicloide, la curva que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda, sin rozamiento, a lo largo del eje de abcisas.

1.2.6.

Oscilaciones en resortes

Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte, sobre el que un dis-positivo ejerce una fuerza de amortiguaci´on, y adem´as, existe una fuerza externa que act´ua sobre el cuerpo. Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al desplazamiento y la fuerza de amortiguaci´on proporcional a la velocidad del movimiento.

Sea y=y(t) la funci´on que indica el desplazamiento del cuerpo de masam en funci´on del tiempo,k1 >0 la constante de rigidez del resorte,k2 >0 la constante de amortiguaci´on

del dispositivo y g(t) la fuerza externa. Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso del cuerpo se compense con las otras fuerzas, se obtiene la ecuaci´on diferencial que describe el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas:

my00=mg−k1(y+L)−k2y0 +g(t)

siendoL la elongaci´on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo, con lo que

my00+k2y0 +k1y=g(t)

(14)

1.2.7.

Din´

amica de poblaciones

Las ecuaciones de Lotka-Volterra modelizan un ecosistema formado por rapaces y presas, con sus interacciones, obteni´endose el sistema:

dx

dt =ax−bxy dy

dt =−cy+f xy

donde las constantesa,b,cyf son positivas. Sin presas (x), las rapaces (y) disminuir´ıan en n´umero por falta de alimento. Y sin rapaces, las presas aumentar´ıan al no tener enemigos.

Dividiendo ambas ecuaciones se obtiene

a−by y dy=

−c+f x x dx

e integrando se tiene la soluci´on

(15)

Tema 2

Ecuaciones diferenciales de primer

orden

2.1.

Ecuaciones de variables separadas

Definici´on 2.1.1. Una ecuaci´on diferencial de la forma g(y) y0 = f(x) se

denomi-na ecuaci´on diferencial de variables separadas ya que se puede expresar como

g(y) dy=f(x) dx. Su soluci´on general se obtiene integrando ambos t´erminos:

Z

g(y) dy =

Z

f(x) dx+C.

Una ecuaci´on diferencial de la formaf1(x)g2(y)dx=f2(x)g1(y)dyse reduce a una de

variables separadas al pasar dividiendo af2(x) yg2(y), aunque se pueden perder soluciones singulares que anulen a estas funciones.

Ejercicios

1. Resuelve la ecuaci´on diferencial de la desintegraci´on radiactiva.

2. Halla una soluci´on aproximada de la ecuaci´on diferencial del movimiento pendular.

3. Encuentra la expresi´on de la catenaria.

4. Halla la curva braquist´ocrona.

5. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) 4yy0 +x= 0.

(16)

c) y0cosx= (senx+xsecx) cotag y.

d) y0√x2+ 1 =xe−y.

e) (xy2y2+x1)dx+ (x2y+x22xy2x+ 2y+ 2) dy= 0. f) y0 = (x−y)2+ 1.

6. Dados m, n, p∈N cualesquiera, integra la ecuaci´on diferencial

y0+ 1 = (x+y)

m

(x+y)n+ (x+y)p.

7. Resuelve la ecuaci´on diferencial (x2y2+ 1) dx+ 2x2 dy= 0 mediante la sustituci´on

xy=z.

8. Integra la ecuaci´on diferencial (ex + 1)yy0 = ex y encuentra la soluci´on particular que pasa por (0,0).

9. Halla la soluci´on particular de la ecuaci´on diferencialy0senx=ylogyque satisface la condici´on inicial y(π2) =e.

10. Demuestra que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por un punto constante, es una circunferencia.

11. Halla la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto esn veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas.

12. La temperatura de un cuerpo T rodeado por aire a temperatura T0 var´ıa de modo

que el ritmo de variaci´on de su temperatura es proporcional a la diferencia de tempe-raturasT −T0 (ley del enfriamiento de Newton). Un cuerpo que inicialmente est´a a

120◦C se pone en contacto con aire a 20◦C. Al cabo de una hora, su temperatura es de 70◦C. ¿Cu´anto tiempo m´as tiene que transcurrir para que ´esta baje a 40◦C?

13. Inicialmente un cultivo tiene un n´umero B0 de bacterias. Al cabo de una hora

se determina que el n´umero de bacterias es 32B0. Si la raz´on de crecimiento es

proporcional al n´umero de bacteriasB(t) presentes en el tiempo t, calcula el tiempo necesario para que se triplique el n´umero de bacterias.

2.2.

Ecuaciones homog´

eneas

Definici´on 2.2.1. Una funci´on f(x, y) es una funci´on homog´enea de grado n en las variables x e y si f(tx, ty) = tnf(x, y).

(17)

Las ecuaciones homog´eneas se pueden expresar de la forma y0 = g yx

y al hacer el cambio de variable z = yx la ecuaci´on se reduce a una de variables separadas.

Si la ecuaci´on diferencial est´a expresada de la forma M(x, y)dx+N(x, y) dy = 0, es homog´enea si M y N son funciones homog´eneas del mismo grado.

Una ecuaci´on diferencial de la forma

y0 =f

ax+by+c a0x+b0y+c0

en la que las rectas ax+by+c= 0 y a0x+b0y+c0 = 0 no son paralelas (y c6= 0 o c0 6= 0 pues de lo contrario la ecuaci´on ya es homog´enea) se puede transformar en una ecuaci´on homog´enea trasladando el origen de coordenadas al punto de intersecci´on de dichas rectas (x0, y0) mediante el cambio de variables

x=X+x0 y =Y +y0

Si las rectas son paralelas, el cambio de variablez =ax+by reduce la ecuaci´on a una de variables separadas.

Ejercicios

1. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) y0 = x2xy+y2.

b) (3y−x)y0 = 3x−y−4.

c) (2x−4y+ 5)y0 =x−2y+ 3.

d) (x+y+ 1) dx+ (2x+ 2y−1)dy= 0.

e) 4y(x2+ 3y2)dx =x(x26y2) dy. f) (x2+y2) dx=x(x+y) dy. g) y0 = (x+y)2.

h) x2y0 = (2x−y+ 1)2.

i) (x−y)2y0 = (xy+ 1)2.

2. Integra la ecuaci´on diferencial (1−x2y2)y0 = 2xy3 mediante un cambio de variable del tipoy =zα que la transforme en homog´enea.

(18)

2.3.

Ecuaciones exactas

Definici´on 2.3.1. Una ecuaci´on diferencial de la forma M(x, y) dx+N(x, y) dy= 0 se denomina ecuaci´on diferencial exacta si existe una funci´on F(x, y) de forma que

∂F

∂x(x, y) dx+ ∂F

∂y(x, y) dy=M(x, y) dx+N(x, y) dy.

La soluci´on general ser´a entonces de la forma F(x, y) =C.

Teorema 2.3.2. Si M, N son de clase C1, la ecuaci´on M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 es exacta si y solo si se verifica

∂M

∂y (x, y) = ∂N

∂x(x, y).

Demostraci´on. Si la ecuaci´on es exacta, entonces existe una funci´onF(x, y) tal que

∂F

∂x(x, y) = M(x, y) y ∂F

∂y(x, y) = N(x, y).

Utilizando el Teorema de Schwartz se obtiene el resultado.

Rec´ıprocamente, la funci´on

F(x, y) =

Z

M(x, y) dx+g(y) con g(y) =

Z

N(x, y)− ∂

∂y

Z

M(x, y) dx

dy

o bien la funci´on

F(x, y) =

Z

N(x, y) dy+f(x) con f(x) =

Z

M(x, y)− ∂

∂x

Z

N(x, y)dy

dx

cumple las condiciones para que la ecuaci´on sea exacta.

Definici´on 2.3.3. Se denomina factor integrante de una ecuaci´on diferencial de la formaM(x, y)dx+N(x, y)dy= 0a toda funci´onµ(x, y)tal que al multiplicar la ecuaci´on por µ(x, y) se transforma en exacta.

Sean M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 una ecuaci´on diferencial no exacta y µ(x, y) su posible factor integrante. Para ello es necesario y suficiente que se verifique la igualdad

∂(µM)

∂y (x, y) =

∂(µN)

∂x (x, y)

o, equivalentemente,

∂logµ

∂y (x, y)M(x, y)−

∂logµ

∂x (x, y)N(x, y) = ∂N

∂x(x, y)− ∂M

(19)

Por lo tanto, toda funci´on µ(x, y) que verifique esta condici´on es un factor integrante de la ecuaci´on inicial.

La obtenci´on de un factor integrante para una ecuaci´on diferencial puede ser muy complicada puesto que la condici´on anterior es una ecuaci´on en derivadas parciales que puede ser dif´ıcil de resolver. Sin embargo, existen situaciones especiales en las que se puede calcular un factor integrante sin demasiada dificultad. Por ejemplo,µ(x),µ(y),µ(ax+by),

µ(xαyβ), etc.

Ejercicios

1. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) e−y dx(2y+xe−y) dy= 0.

b) (6xy2+ 3x2)dx+ (6x2y+ 4y3)dy = 0. c) (xy2−1) dx+y(x2+ 3) dy= 0.

d) 2x+1y dx+y1 − x y2

dy= 0.

e) (senxy+xycosxy) dx+x2cosxy dy= 0. f) (1−xy) dx+ (1−x2) dy= 0.

g) (y2+x) dx2xy dy = 0.

h) 2xylogy dx+ (x2+y2py2+ 1) dy= 0.

2. Integra la ecuaci´on diferencial (x2y2+ 1)dx+ (x2y21) dy= 0 sabiendo que

tiene un factor integrante que depende de una combinaci´on lineal dex e y.

3. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes si su factor integrante es de la forma

µ(y2+x):

a) (y2+ 3x+ 2y) dx+ (4xy+ 5y2+x)dy = 0 b) (3y2x) dx+ (2y36xy) dy= 0

4. Integra la ecuaci´on diferencial (y2xy)dx+x2 dy= 0 sabiendo que existe un factor

integrante que es funci´on de xy2.

5. Encuentra un factor integrante de la forma µ(x, y) = f(y2 x2) de la ecuaci´on

diferencial (x2+y2+ 1) dx2xy dy= 0 y resu´elvela.

(20)

7. Demuestra que toda ecuaci´on diferencial de la forma yf(xy) dx+xg(xy) dy = 0 admite como factor integrante a

µ(x, y) = 1

xy(f(xy)−g(xy)).

Aplica este resultado a la resoluci´on de la ecuaci´onx3y4 dx−(x2y−x4y3)dy = 0. 8. Calcula un factor integrante de la ecuaci´on diferencial (x2−y2−1)dx+ 2xy dy= 0 sabiendo que admite como soluci´on general a la familia de curvasx2+y2Cx+1 = 0.

2.4.

Ecuaciones lineales

Vamos a estudiar tres m´etodos para resolver una ecuaci´on diferencial lineal de primer orden y0 +f(x)y = g(x), siendo f y g funciones continuas en la regi´on en la que se pretende integrar la ecuaci´on. Supondremos que la ecuaci´on es no homog´enea pues, en caso contrario, es de variables separadas.

En primer lugar, la ecuaci´on se puede expresar como (f(x)y−g(x)) dx+ dy = 0, calculando posteriormente un factor integrante que dependa solo de x.

El segundo m´etodo consiste en realizar el cambio de variable y=uv. Sustituyendo en la ecuaci´on se tiene u0v+u(v0+f(x)v) =g(x). Pues bien, primero se calculav como una soluci´on particular no nula de la ecuaci´on diferencial v0+f(x)v = 0 y despu´es se calcula

u como la soluci´on general de la ecuaci´on u0v =g(x).

Finalmente, un m´etodo de resoluci´on consiste en encontrar la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea,yh, y una soluci´on particular de la no homog´enea,yp. Se comprueba

f´acilmente que la suma de ambas es la soluci´on general de la no homog´enea. Para obtener

ypa partir deyh(x) = Ce−

R

f(x)dxse emplea eletodo de variaci´on de las constantes

que consiste en considerar C como una funci´on C(x) e imponer que C(x)e−Rf(x) dx sea soluci´on de la ecuaci´on no homog´enea.

Ejercicios

1. Calcula la velocidad de un cuerpo en ca´ıda libre con resistencia del aire.

2. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) xy0+ (1−x)y=xex.

b) y0 = ey1x.

(21)

d) y0 = 1

xcosy+sen 2y.

e) y0 +ytag x= sec2x.

f) y0 = 2x1y2.

3. Integra la ecuaci´on diferencial y0+ yx = 3 cos 2xbuscando un factor integrante.

4. Resuelve la ecuaci´on diferencialy0 =ytag x+ cosxrealizando el cambio de variable

y=uv.

5. Calcula la soluci´on particular de la ecuaci´on diferencialy0+2xy= cosx2x que verifique

la condici´on inicial y(π) = 0.

6. Halla la familia de funciones tales que el ´area del trapecio limitado por los ejes de coordenadas, la recta tangente a la gr´afica de la funci´on en un punto y la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el punto de tangencia sea constante e igual aa2.

7. Dado el problema de valor inicial

y0−y= 1 + 3 senx y(0) =y0

encuentra el valor dey0 para el que la soluci´on permanece finita cuando x→ ∞.

8. Dada la ecuaci´on diferencial 2x2y0 xy = 2xcosx 3 senx, x > 0, estudia el

comportamiento de las soluciones cuando x → 0 y cuando x → ∞. ¿Hay alguna soluci´ony tal que l´ım

x→∞y(x) = 0?

9. Dadas y1, y2 e y3 soluciones particulares de una ecuaci´on lineal y0 +f(x)y =g(x),

demuestra que la expresi´on y3−y1

y1−y2 es constante.

2.5.

Algunas ecuaciones especiales

2.5.1.

La ecuaci´

on de Bernoulli

Definici´on 2.5.1. La ecuaci´on de Bernoulli es una ecuaci´on diferencial de la forma

y0+f(x)y=g(x)yn

con n6= 0,1.

(22)

Esta ecuaci´on se reduce a una ecuaci´on lineal dividiendo ambos miembros por yn y

haciendo el cambio de variable z =y1−n.

Otra forma de resolverla consiste en realizar el cambio de variable y=uv.

La ecuaci´on de Bernoulli aparece, por ejemplo, en din´amica de poblaciones y en esta-bilidad del flujo de fluidos.

2.5.2.

La ecuaci´

on de Ricatti

Definici´on 2.5.2. La ecuaci´on de Ricatti es una ecuaci´on diferencial de la forma

y0 =f(x)y2+g(x)y+h(x)

con f(x), h(x)6≡0.

Sif(x)≡0, entonces la ecuaci´on es lineal, y sih(x)≡0, entonces la ecuaci´on es una de Bernoulli.

En general, esta ecuaci´on no puede resolverse por m´etodos elementales. Si se conoce una soluci´on particulary1, entonces haciendo el cambio de variable y=y1+u la ecuaci´on se transforma en la ecuaci´on de Bernoulli u0 = f(x)u2 + (2y1f(x) +g(x))u la cual se resuelve a trav´es del cambio de variable v = 1

u. Por lo tanto, se podr´ıa haber hecho

directamente el cambio de variable v = y1y

1 en la ecuaci´on inicial.

La ecuaci´on de Ricatti aparece, por ejemplo, en hidrodin´amica.

2.5.3.

Ecuaciones de grado

n

respecto a

y

0

Se trata de ecuaciones diferenciales de la forma

(y0)n+f1(x, y)(y0)n−1+· · ·+fn−1(x, y)y0 +fn(x, y) = 0.

Para hallar su soluci´on general basta resolver la ecuaci´on respecto ay0 e integrar todas las ecuaciones resultantes.

2.5.4.

Ecuaciones de la forma

f

(

y, y

0

) = 0

.

Si en estas ecuaciones se puede despejary0, resultan ecuaciones de variables separadas.

Si se puede despejar y, y = g(y0), se realiza el cambio de variable y0 = t con lo que

(23)

Si no se puede despejar ni y ni y0 pero se pueden expresar param´etricamente de la forma

y=g(t)

y0 =h(t)

entonces, diferenciando la primera ecuaci´on y sustituyendo dy por h(t) dx se obtiene la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial en forma param´etrica.

2.5.5.

Ecuaciones de la forma

f

(

x, y

0

) = 0

.

Al igual que en el tipo anterior, si en estas ecuaciones se puede despejar y0, resultan ecuaciones de variables separadas.

Si se puede despejar x, x = g(y0), se realiza el cambio de variable y0 = t con lo que

x = g(t). Diferenciando esta ecuaci´on y sustituyendo dx por dyt se obtiene la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial en forma param´etrica.

Si no se puede despejar ni x ni y0 pero se pueden expresar param´etricamente de la forma

x=g(t)

y0 =h(t)

entonces, diferenciando la primera ecuaci´on y sustituyendo dxpor hdy(t) se obtiene la solu-ci´on general de la ecuaci´on diferencial en forma param´etrica.

2.5.6.

La ecuaci´

on de Lagrange

Definici´on 2.5.3. La ecuaci´on de Lagrange es una ecuaci´on diferencial de la forma

y=xf(y0) +g(y0).

Para resolver una ecuaci´on de este tipo se realiza el cambio de variable y0 =t, redu-ci´endola diferenciando a una ecuaci´on lineal considerando x en funci´on de t. La soluci´on general vendr´a dada entonces en forma param´etrica:

x=ϕ(t, C)

y=ϕ(t, C)f(t) +g(t)

2.5.7.

La ecuaci´

on de Clairaut

Definici´on 2.5.4. La ecuaci´on de Clairaut es una ecuaci´on diferencial de la forma

(24)

Es, por tanto, un caso particular de la ecuaci´on de Lagrange, cuyas soluciones son una familia de rectas junto con su envolvente, la cual es una soluci´on singular.

Ejercicios

1. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) 3xy0−2y=x3y−2. b) y=xy0+ (y0)2.

c) y= 2xy0+ seny0.

d) xy0+y=y2logx.

e) y2/3+ (y0)2/3 = 1. f) y= 2xy0+ logy0.

g) y=xy0+ 2ay0 siendo a una constante.

h) 2y0senx+ycosx=y3(xcosx−senx).

i) 2y=xy0+y0logy0.

j) y= (y0)2ey0.

k) x= logy0 + seny0.

l) y4(y0)4y(y0)2 = 0.

2. Integra la ecuaci´on diferencial

xy0 =y+ 2x

x41(y

2x2)

sabiendo que admite soluciones particulares de la forma y=ax+b.

3. Halla la curva para la cual el segmento de la tangente comprendido entre los ejes coordenados tiene una longitud constante a.

4. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden y de grado 2 respecto a y0:

a) y(y0)2+ (xy)y0x= 0.

b) (y0)2(2x+y)y0 +x2+xy= 0. c) x(y0)2+ 2xy0−y= 0.

d) 4(y0)29x= 0.

e) (y0)2−2yy0 =y2(ex−1).

(25)

Tema 3

Ecuaciones diferenciales lineales de

orden superior

3.1.

Estructura del conjunto de soluciones

Vamos a analizar en esta secci´on la estructura del conjunto de soluciones de la ecuaci´on diferencial lineal de ordenn

yn)+a1(x)yn−1)+· · ·+an−1(x)y0 +an(x)y=g(x)

siendoai(x), 1 ≤i≤n, y g(x) funciones continuas en un intervalo (a, b).

Definici´on 3.1.1. Dado un conjunto de funciones {y1, y2, . . . , yn} definidas en un

inter-valo (a, b)y derivables hasta el orden n−1, se denomina wronskiano de estas funciones y se denota por W[y1, y2, . . . , yn] a la funci´on definida por el determinante

W[y1, y2, . . . , yn] =

y1 y2 · · · yn

y10 y20 · · · yn0 ..

. ... . .. ... yn1−1) yn2−1) · · · ynn−1)

.

Teorema 3.1.2. Si las funciones y1, y2, . . . , yn son linealmente dependientes en el

inter-valo (a, b), entonces W[y1, y2, . . . , yn]≡0.

Demostraci´on. Trivial.

(26)

3.1.1.

La ecuaci´

on homog´

enea

Teorema 3.1.3. Si las funciones y1, y2, . . . , yn son soluciones de la ecuaci´on homog´enea

en el intervalo (a, b), entonces cualquier combinaci´on lineal suya tambi´en lo es.

Demostraci´on. Trivial.

Teorema 3.1.4. Si las funciones y1, y2, . . . , yn son soluciones linealmente independientes

de la ecuaci´on homog´enea en el intervalo (a, b), entonces su wronskiano en ese intervalo no es id´enticamente nulo.

Demostraci´on. Supongamos que W[y1, y2, . . . , yn] ≡ 0. Dado x0 ∈ (a, b), el sistema

ho-mog´eneo de ecuaciones lineales en las variablesc1, c2, . . . , cn

                   n P k=1

ckyk(x0) = 0 n

P

k=1

ckyk0(x0) = 0

.. .

n

P

k=1 cky

n−1)

k (x0) = 0

tiene infinitas soluciones ya que el determinante de la matriz de coeficientes, es decir, el wronskiano, es nulo. En particular existen c1, c2, . . . , cn no todos nulos que son soluci´on

del sistema. Por tanto, la funci´on

n

X

k=1 ckyk

es una soluci´on de la ecuaci´on homog´enea por ser una combinaci´on lineal de ellas, y tanto ella como sus derivadas hasta el orden n− 1 se anulan en x0, al igual que la funci´on

id´enticamente nula que tambi´en es soluci´on de la ecuaci´on homog´enea. El teorema de unicidad nos da la contradicci´on.

A continuaci´on demostraremos que bajo la hip´otesis del teorema anterior el wronskiano no se anula nunca.

Lema 3.1.5. Si y1, y2, . . . , yn son funciones derivables hasta el orden n, entonces

W0[y1, y2, . . . , yn] =

y1 y2 · · · yn

y10 y20 · · · yn0 ..

. ... . .. ... yn1−2) y2n−2) · · · ynn−2)

yn1) y2n) · · · ynn)

(27)

Demostraci´on. Por inducci´on, desarrollando W[y1, y2, . . . , yn] por la ´ultima fila antes de

derivar.

Teorema 3.1.6. Si las funciones y1, y2, . . . , yn son soluciones de la ecuaci´on homog´enea

en el intervalo (a, b), entonces su wronskiano en ese intervalo o es id´enticamente nulo o no se anula en ning´un punto.

Demostraci´on. En primer lugar, se verifica que

yni)+a1(x)yin−1)+· · ·+an−1(x)yi0+an(x)yi = 0

para todo 1 ≤ i ≤ n. Multiplicando cada una de estas expresiones por el adjunto del elemento de la fila n y la columna i del wronskiano, sum´andolas y aplicando el lema anterior se tiene la ecuaci´on diferencial lineal de primer orden

W0[y1, y2, . . . , yn] +a1(x)W[y1, y2, . . . , yn] = 0

que tiene por soluci´on general W[y1, y2, . . . , yn] =Ce−

R

a1(x) dx obteni´endose el resultado.

No se puede prescindir de la hip´otesis de que las funciones sean soluciones de la ecuaci´on homog´enea. Basta considerar, por ejemplo, las funciones definidas en (−1,1):

y1(x) = x2 e y2(x) =x3.

Definici´on 3.1.7. Se denomina conjunto fundamental de soluciones de la ecua-ci´on homog´enea en un intervalo (a, b) a cualquier conjunto de n soluciones linealmente independientes en dicho intervalo.

Teorema 3.1.8. Siempre existe un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea en el intervalo (a, b).

Demostraci´on. Sea x0 ∈ (a, b). Por el teorema de existencia, para todo 0 ≤ i ≤ n−1

existe una soluci´onyi de la ecuaci´on homog´enea tal que y i)

i (x0) = 1 e y

j)

i (x0) = 0 si j 6=i.

Las funcionesyi con 0≤i≤n−1 son linealmente independientes pues basta con derivar

n−1 veces una combinaci´on lineal suya id´enticamente nula y evaluar cada una de esas expresiones enx0.

Teorema 3.1.9. Dado un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea en el intervalo (a, b), cualquier otra soluci´on se puede expresar como combinaci´on lineal de ellas.

Demostraci´on. Sean {y1, y2, . . . , yn} un conjunto fundamental de soluciones de la

(28)

W[y1, y2, . . . , yn](x0) 6= 0. Se determinan ϕ(x0), ϕ0(x0), . . . , ϕn−1)(x0) y se considera el

sistema de ecuaciones lineales en las variables c1, c2, . . . , cn

         

        

n

P

k=1

ckyk(x0) =ϕ(x0)

n

P

k=1

ckyk0(x0) =ϕ0(x0)

.. .

n

P

k=1 cky

n−1)

k (x0) =ϕn−1)(x0)

que tiene soluci´on ´unica porque el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo. El teorema de unicidad conduce al resultado.

Por tanto, el conjunto de soluciones de la ecuaci´on homog´enea tiene estructura de es-pacio vectorial de dimensi´onn, y dado un conjunto fundamental de soluciones, la soluci´on general se puede expresar como una combinaci´on lineal suya.

3.1.2.

La ecuaci´

on no homog´

enea

Teorema 3.1.10. Si {y1, y2, . . . , yn} es un conjunto fundamental de soluciones de la

ecuaci´on homog´enea en el intervalo(a, b)yϕp es una soluci´on cualquiera de la ecuaci´on no

homog´enea, entonces para toda soluci´onϕde la ecuaci´on no homog´enea existen constantes c1, c2, . . . , cn tales que

ϕ=ϕp+ n

X

k=1 ckyk.

Demostraci´on. Basta comprobar queϕ−ϕpes soluci´on de la ecuaci´on homog´enea y aplicar

el teorema anterior.

Por tanto, el conjunto de soluciones de la ecuaci´on no homog´enea tiene estructura de espacio af´ın de dimensi´on n construido sobre el espacio vectorial de soluciones de la ecuaci´on homog´enea.

Ejercicios

1. Demuestra que los conjuntos de funciones siguientes son linealmente independientes en R:

a) {eλ1x, eλ2x, . . . , eλnx}.

(29)

c) {eλx, xeλx, . . . , xn−1eλx}.

2. Comprueba si el conjunto de funciones {logx, xlogx, x2logx} es linealmente inde-pendiente en (0,∞).

3. ¿Pueden serf(x) = xyg(x) =ex soluciones de la ecuaci´ony00+a1(x)y0+a2(x)y = 0, a1(x) ya2(x) continuas, en el intervalo (0,2)? ¿Y en (−6,−1)?

4. Comprueba si las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones dife-renciales indicadas:

a) C1x+C2 de la ecuaci´on diferencialy00= 0.

b) C1cosx+C2senx de la ecuaci´on diferencialy00+y= 0. c) C1ex+C2e−x de la ecuaci´on diferencialy00−y= 0.

d) C1cosx+C2senx+ 1 de la ecuaci´on diferencial y00+y= 1. e) C1ex+C2e−x+e

2x

3 de la ecuaci´on diferencial y

00y=e2x.

5. Resuelve la ecuaci´on diferencial xy00 + 2y0 + xy = 0, con x > 0, sabiendo que

y1 = senxx es una soluci´on particular. Para ello busca otra soluci´on particular de la

forma y2 =y1z.

6. Halla la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial xy00 −(x+ 1)y0 +y = 0, con

x >0, buscando previamente una soluci´on particular de tipo exponencial.

7. Las ecuaciones de Cauchy-Euler son de la forma

p0xnyn)+p1xn−1yn−1)+· · ·+pn−1xy0+pny=g(x)

conp0, p1, . . . , pn∈Ryx6= 0. Resuelve la ecuaci´onx2y00+ 2xy0−6y= 0, conx >0,

buscando soluciones de la formay=xr.

3.2.

Ecuaciones con coeficientes constantes

3.2.1.

La ecuaci´

on homog´

enea

Para resolver la ecuaci´on homog´enea se buscan soluciones de la forma y = eλx. Al sustituir estas funciones en la ecuaci´on se obtiene que (λn+a1λn−1+· · ·+an−1λ+an)eλx = 0

luego

λn+a1λn−1 +· · ·+an−1λ+an= 0

(30)

ecuaci´on homog´enea si y solo si λ es ra´ız de su ecuaci´on caracter´ıstica. Dichas ra´ıces se denominan autovalores o valores propios de la ecuaci´on homog´enea. Los autovalores reales o complejos y su multiplicidad determinan los distintos tipos de soluciones de la ecuaci´on homog´enea:

1. Si los autovalores son reales y simples, λ1, λ2, . . . , λn, entonces un conjunto

funda-mental de soluciones estar´ıa formado por

        

y1 =eλ1x y2 =eλ2x

.. .

yn =eλnx

y por tanto la soluci´on general es una combinaci´on lineal de estas funciones.

2. Si hay un autovalor real de multiplicidad m, λ, entonces un conjunto fundamental de soluciones estar´ıa formado por las siguientes funciones (ejercicio):

        

y1 =eλx y2 =xeλx

.. .

ym =xm−1eλx

3. Si hay dos autovalores complejos simples,α±βi, entonces un conjunto fundamental de soluciones en el plano complejo ser´ıa z1 =e(α+βi)x y z2 =e(α−βi)x, y tambi´en

y1 = z1+2z2 =eαxcosβx y2 = z1−2iz2 =eαxsenβx

4. Si hay dos autovalores complejos de multiplicidadm,α±βi, utilizando los resultados de los dos casos anteriores se tiene que un conjunto fundamental de soluciones estar´ıa formado por las siguientes funciones:

                        

y1 =eαxcosβx y2 =xeαxcosβx

.. .

ym =xm−1eαxcosβx

ym+1 =eαxsenβx ym+2 =xeαxsenβx

.. .

y2m =xm−1eαxsenβx

(31)

3.2.2.

La ecuaci´

on no homog´

enea

Por el Teorema 3.1.10, obtener la soluci´on general de la ecuaci´on no homog´enea se reduce a encontrar una soluci´on particular de la misma y la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea asociada.

Sig(x) =eαx(P

m(x) cosβx+Qr(x) senβx), siendoPm(x) yQr(x) polinomios de grados

m y r, respectivamente, una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea es

ϕp =xseαx(Rk(x) cosβx+Sk(x) senβx)

siendo s el orden de multiplicidad de la ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica de la ecuaci´on homog´enea α±βi,k = m´ax(m, r) yRk(x) ySk(x) polinomios de gradok de coeficientes

indeterminados que hay que calcular. Esta t´ecnica es conocida como m´etodo de los coeficientes indeterminados.

Sig(x) es una combinaci´on lineal de ese tipo de funciones, una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea es la misma combinaci´on lineal de las respectivas soluciones particulares para cada una de dichas funciones.

En general, se puede emplear el m´etodo de variaci´on de las constantes que consiste en obtener primero la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea

n

X

k=1 ckyk

y buscar a continuaci´on una soluci´on particular de la no homog´enea pero considerando las constantes como funciones que hay que determinar

ϕp = n

X

k=1

ck(x)yk.

Para ello hay que imponer n condiciones que se obtienen derivando ϕp n veces y

sustitu-yendo los resultados en la ecuaci´on diferencial. Las n condiciones son:

                           n P k=1

c0k(x)yk = 0 n

P

k=1

c0k(x)yk0 = 0 ..

.

n

P

k=1

c0k(x)ykn−2) = 0

n

P

k=1

c0k(x)ykn−1) =g(x)

El sistema tiene soluci´on ´unica pues el determinante de la matriz de coeficientes es

(32)

Ejercicios

1. Halla la soluci´on general de las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) y00−3y0+ 2y= 0.

b) y000+ 6y0+ 20y= 0.

c) y6)+y4)y00y= 0.

d) y000−y00 = 12x2+ 6x. e) y00+y =xsenx.

f) y00−y= sen2x.

g) y00−6y0+ 9y= 25exsenx.

h) x2y006x2y0+ 9x2y =e3x con x >0.

i) y00+y = secx.

j) y000+y0 = cosecx.

k) y00+ 4y= tag 2x.

l) y00+ 2y0 +y=e−xlogx.

2. Resuelve la ecuaci´on diferencial y00+ 2y0+y= 0 y encuentra la soluci´on particular que verifique y(0) =y0(0) = 1.

3. Prueba que si xeλx es soluci´on de una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden

con coeficientes constantes homog´enea, entonces su ecuaci´on caracter´ıstica tiene a

λ como ra´ız doble.

4. Calcula la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial y000 −y00+y0 −y = x2 +x y

encuentra la soluci´on particular que verifica y(0) = 0, y0(0) =y00(0) = 1.

5. Halla las soluciones de la ecuaci´on diferencial y00 + 4y0 + 4y = 2ex(senx+ 7 cosx)

que verifican l´ım

x→−∞y(x) = 0.

6. Calcula las soluciones de la ecuaci´on diferencial (1−x)y00+xy0−y = (x−1)2ex

con x < 1, que verifican l´ım

x→−∞y(x) = 0 e y(0) = 1 sabiendo que y1 = x e y2 = e

x

forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea asociada.

7. Dos pesos iguales est´an colgados del extremo de un resorte. Halla la ecuaci´on del movimiento que efectuar´a uno de estos pesos si el otro se desprende.

8. Integra la ecuaci´on de Cauchy-Euler x2y00+xy0 y = 0, con x 6= 0, haciendo el

cambio de variable x=et.

9. Halla la soluci´on particular de la ecuaci´on diferencialx2y00−xy0+y = 2xque verifica

(33)

Tema 4

Sistemas de ecuaciones diferenciales

lineales de primer orden

4.1.

Introducci´

on

Definici´on 4.1.1. Un sistema de n ecuaciones diferenciales de orden k se expresa me-diante una funci´on vectorial F de la forma F(x, f(x), f0(x), f00(x), . . . , fk)(x)) = 0, sien-do la funci´on buscada f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)). Si k = 1 y es posible despejar

y0 =f0(x), entonces el sistema se puede expresar de la siguiente forma:

    

   

y01 =F1(x, y1, y2, . . . , yn)

y02 =F2(x, y1, y2, . . . , yn)

.. .

y0n=Fn(x, y1, y2, . . . , yn)

(4.1)

Lasoluci´on generaldel sistema 4.1 est´a formada por nfunciones ϕi(x, C1, C2, . . . , Cn),

con 1 ≤ i ≤ n, que dependen de n constantes C1, C2, . . . , Cn y satisfacen las ecuaciones

del sistema para todos los valores de las constantes, y si hay condici´on inicial

y(x0) = (y1(x0), y2(x0), . . . , yn(x0)) = (y01, y02, . . . , y0n)

se pueden elegir las constantes para que dichas funciones la satisfagan. Una soluci´on particular del sistema es la que se obtiene de la soluci´on general para valores concretos de las constantes.

El procedimiento para expresar una ecuaci´on diferencial de orden n

(34)

como un sistema equivalente de n ecuaciones diferenciales de primer orden consiste en a˜nadir m´as variables de la siguiente forma:

            

y1 =y y2 =y0 y3 =y00

.. .

yn =yn−1)

con lo que un sistema de ecuaciones diferenciales (lineales) de ordennpuede transformarse igualmente en un sistema de ecuaciones diferenciales (lineales) de primer orden. Por esta raz´on, sin p´erdida de generalidad, basta estudiar estos ´ultimos.

Rec´ıprocamente, si y1, y2, . . . , yn son soluciones del sistema 4.1, derivando la primera

ecuaci´on con respecto a x y sustituyendo y01, y20, . . . , yn0 por sus expresiones en el sistema se obtiene y100 =G2(x, y1, y2, . . . , yn). Derivando esta expresi´on con respecto a xy

sustitu-yendo del mismo modo se tiene y1000 =G3(x, y1, y2, . . . , yn). Repitiendo el proceso hasta la

derivada de orden n se obtiene y1n)=Gn(x, y1, y2, . . . , yn). Es decir, se tiene el sistema

        

y10 =G1(x, y1, y2, . . . , yn)

y100 =G2(x, y1, y2. . . , yn)

.. .

y1n)=Gn(x, y1, y2, . . . , yn)

(4.2)

De las n −1 primeras ecuaciones se calculan y2, y3, . . . , yn en funci´on de x, y1 y sus

derivadas:         

y2 =H2(x, y1, y10, . . . , y

n−1) 1 ) y3 =H3(x, y1, y10, . . . , y1n−1)) ..

.

yn=Hn(x, y1, y01, . . . , y

n−1) 1 )

(4.3)

Introduciendo estas expresiones en la ´ultima ecuaci´on de 4.2 se obtiene la ecuaci´on dife-rencial de orden n

y1n)=H1(x, y1, y10, . . . , y

n−1) 1 ).

Resolviendo esta ecuaci´on se obtiene la soluci´on general y1 = ϕ1(x, C1, C2, . . . , Cn) y

calculando sus derivadas y sustituyendo en 4.3 se determinan y2, y3, . . . , yn.

Definici´on 4.1.2. Un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se expresa de la siguiente forma:

        

y01 =a11(x)y1+a12(x)y2+· · ·+a1n(x)yn+g1(x) y02 =a21(x)y1+a22(x)y2+· · ·+a2n(x)yn+g2(x) ..

.

(35)

siendoaij(x)ygi(x), 1≤i, j ≤n, funciones continuas en un intervalo(a, b). Sigi(x)≡0,

1 ≤ i ≤ n, el sistema se denomina homog´eneo. La equivalente ecuaci´on matricial es y0 =A(x)y+g(x) donde A(x) = (aij(x))y g(x) = (gi(x)).

Ejercicios

1. Expresa en forma matricial el sistema de ecuaciones diferenciales asociado a la ecua-ci´on y00+ 2y0+y= 0.

2. Resuelve los sistemas de ecuaciones diferenciales siguientes a trav´es de sus ecuaciones asociadas:

a)

y10 y20

= 1 2 3 2 y1 y2 . b)  

y10 y20 y30

= 

0 1 0

0 0 1

−1 −3 −3

    y1 y2 y3  .

4.2.

Estructura del conjunto de soluciones

Definici´on 4.2.1. Dado un conjunto de funciones vectoriales{y1, y2, . . . , yn}siendo cada

yk = (yk1, yk2, . . . , ykn), 1 ≤ k ≤ n, se denomina wronskiano de estas funciones y se

denota por W[y1, y2, . . . , yn] a la funci´on definida por el determinante

W[y1, y2, . . . , yn] =

y11 y21 · · · yn1 y12 y22 · · · yn2

..

. ... . .. ... y1n y2n · · · ynn

.

4.2.1.

El sistema homog´

eneo

Teorema 4.2.2. Si las funciones y1, y2, . . . , yn son soluciones del sistema homog´eneo en

el intervalo (a, b), entonces cualquier combinaci´on lineal suya tambi´en lo es.

Demostraci´on. Trivial.

Teorema 4.2.3. Si las funciones y1, y2, . . . , yn son soluciones linealmente independientes

(36)

Demostraci´on. Supongamos que existe x0 ∈ (a, b) tal que W[y1, y2, . . . , yn](x0) = 0. Por

tanto, una columna del wronskiano es combinaci´on lineal de las otras. Supongamos que es la primera, es decir, y1(x0) =c2y2(x0) +c3y3(x0) +· · ·+cnyn(x0). Sea

z =−y1+c2y2 +c3y3 +· · ·+cnyn.

Esta funci´on es soluci´on del sistema y se anula en x0. Por el teorema de unicidad, z ≡0

lo que contradice que las funciones y1, y2, . . . , yn sean linealmente independientes en el

intervalo (a, b).

Teorema 4.2.4. Si las funciones y1, y2, . . . , yn son soluciones del sistema homog´eneo en

el intervalo (a, b), entonces su wronskiano en ese intervalo o es id´enticamente nulo o no se anula en ning´un punto.

Demostraci´on. Se puede comprobar por inducci´on la siguiente expresi´on para la derivada del wronskiano:

W0[y1, y2, . . . , yn] =W[y10, y2, . . . , yn] +W[y1, y02, . . . , yn] +· · ·+W[y1, y2, . . . , yn0].

Ya que y0k =A(x)yk para todo 1 ≤k ≤n, sustituyendo en la expresi´on anterior se tiene

la ecuaci´on diferencial lineal de primer orden

W0[y1, y2, . . . , yn] = (a11(x) +a22(x) +· · ·+ann(x))W[y1, y2, . . . , yn]

que tiene por soluci´on general W[y1, y2, . . . , yn] = Ce

R

traza A(x) dx obteni´endose el

resul-tado.

Este ´ultimo resultado puede obtenerse tambi´en directamente del anterior.

Definici´on 4.2.5. Se denomina sistema fundamental de soluciones del sistema homog´eneo en un intervalo (a, b) a cualquier conjunto de n soluciones linealmente inde-pendientes en dicho intervalo.

Teorema 4.2.6. Siempre existe un sistema fundamental de soluciones del sistema ho-mog´eneo en el intervalo (a, b).

Demostraci´on. Sea x0 ∈(a, b). Por el teorema de existencia, para todo 1≤ k ≤ n existe

una soluci´on yk del sistema homog´eneo tal que ykk(x0) = 1 e yki(x0) = 0 si i 6= k. Las

funciones yk con 1 ≤ k ≤ n son linealmente independientes pues basta evaluar en x0

cualquier combinaci´on lineal suya para obtener la nulidad de todos los coeficientes.

(37)

Demostraci´on. Sean {y1, y2, . . . , yn} un sistema fundamental de soluciones del sistema

homog´eneo en el intervalo (a, b), ϕ otra soluci´on cualquiera y x0 ∈ (a, b). Entonces W[y1, y2, . . . , yn](x0) 6= 0. Se determina ϕ(x0) y se considera el sistema de ecuaciones

lineales en las variables c1, c2, . . . , cn

         

        

n

P

k=1

ckyk1(x0) =ϕ1(x0)

n

P

k=1

ckyk2(x0) =ϕ2(x0)

.. .

n

P

k=1

ckykn(x0) =ϕn(x0)

que tiene soluci´on ´unica porque el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo. El teorema de unicidad conduce al resultado.

Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema homog´eneo tiene estructura de espacio vectorial de dimensi´onn, y dado un sistema fundamental de soluciones, la soluci´on general se puede expresar como una combinaci´on lineal suya.

Definici´on 4.2.8. Se denomina matriz fundamental del sistema homog´eneo en un intervalo (a, b) a una matriz Φ cuyas columnas forman un sistema fundamental de solu-ciones del sistema en dicho intervalo. Y se denomina matriz fundamental principal

a aquella tal que Φ(x0) = I para alg´un x0 ∈(a, b).

Definici´on 4.2.9. Se denomina matriz soluci´on del sistema homog´eneo en un inter-valo (a, b) a una matriz cuyas columnas son soluciones del sistema en dicho intervalo, linealmente independientes o no.

La soluci´on general del sistema homog´eneo se puede expresar en t´erminos de una matriz fundamental: y = Φ C donde C es un vector de constantes indeterminadas. Una matriz fundamental queda caracterizada por verificar que Φ0 =A(x)Φ y que su determinante es no nulo.

4.2.2.

El sistema no homog´

eneo

Teorema 4.2.10. Si{y1, y2, . . . , yn}es un sistema fundamental de soluciones del sistema

homog´eneo en el intervalo(a, b)yϕp es una soluci´on cualquiera del sistema no homog´eneo,

entonces para toda soluci´on ϕ del sistema no homog´eneo existen constantes c1, c2, . . . , cn

tales que

ϕ=ϕp+ n

X

(38)

Demostraci´on. Basta comprobar queϕ−ϕp es soluci´on del sistema homog´eneo y aplicar

el Teorema 4.2.7.

Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema no homog´eneo tiene estructura de espacio af´ın de dimensi´onnconstruido sobre el espacio vectorial de soluciones del sistema homog´eneo.

Ejercicios

1. Prueba que Φ1(x) =

e2x xe2x

−e2x (1x)e2x

y Φ2(x) =

(x+ 1)e2x xe2x

−xe2x (1x)e2x

son matrices fundamentales del sistema

y01 y02

=

3 1

−1 1

y1 y2

.

2. Comprueba que Φ(x) =

0 −2ex 0 0 ex 2e3x

ex xex e3x

 es una matriz fundamental del

siste-ma

y01 y02 y03

= 

1 0 0 1 3 0 0 1 1

    y1 y2 y3  .

3. Encuentra un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden para el

que Φ(x) =

2e2x 3ex

e2x 2ex

sea una matriz fundamental.

4. Dadas las funciones vectoriales y1 = (x,1) e y2 = (x2,2x):

a) Calcula su wronskiano.

b) ¿En qu´e intervalos son linealmente independientes?

c) ¿Qu´e conclusi´on puede formularse acerca de los coeficientes del sistema ho-mog´eneo satisfecho por ellas?

d) Encuentra dicho sistema y verifica las conclusiones del apartado anterior.

5. Contesta a las mismas preguntas del ejercicio anterior para las funciones vectoriales

(39)

4.3.

Sistemas con coeficientes constantes

4.3.1.

El sistema homog´

eneo

Para resolver el sistema homog´eneo se buscan soluciones de la forma y=veλx, donde

v ∈Rn\{0}. Para queysea soluci´on del sistema se debe verificar quey0 =λveλx =Aveλx,

es decir,Av =λv, con lo que v es un autovector de la matriz A asociado al autovalor λ. Por tanto, si A tiene n autovalores distintos, λ1, λ2, . . . , λn, un sistema fundamental de

soluciones del sistema homog´eneo estar´ıa formado por las funciones yk = vkeλkx, siendo

vk un autovector de la matriz A asociado al autovalorλk, 1≤k≤n.

Si A tiene el autovalor λ de multiplicidad m y hay m autovectores linealmente inde-pendientes asociados a λ, v1, v2, . . . , vm, entonces las funciones yk = vkeλx, 1 ≤ k ≤ m,

son m soluciones del sistema homog´eneo linealmente independientes.

Si A tiene autovalores simples y m´ultiples, un sistema fundamental de soluciones es-tar´ıa formado por la conjunci´on de las funciones que aportara cada uno.

En general, si J es la forma can´onica de Jordan de A y B es la matriz de cambio de base, es decir, B−1AB = J, el cambio de variable y = Bz nos conduce al sistema

homog´eneo z0 =J z, resoluble f´acilmente.

El sistema fundamental que se obtiene, en general, puede estar formado por soluciones complejas, pero a partir de ´el se puede obtener otro formado por soluciones reales. En efecto, para toda soluci´on compleja z = (a +bi)e(α+βi)x se tiene la soluci´on z, y las funciones

y1 = z+2z =eαx(acosβx−bsenβx)

y2 = z−2iz =eαx(bcosβx+asenβx)

son tambi´en soluciones del sistema homog´eneo linealmente independientes.

Otro m´etodo para resolver un sistema homog´eneo consiste en calcular directamente una matriz fundamental, lo que conlleva hallar la exponencial de una matriz:

Definici´on 4.3.1. Sea A una matriz cuadrada constante. Se define la exponencial de la matriz A mediante la expresi´on

eA=I+A+A

2

2! +· · ·+

An

n! +· · ·=

∞ X

n=0 An

n!.

Las principales propiedades de la exponencial de una matriz son las siguientes:

(40)

2. La exponencial de una matriz nilpotente A (existe n∈ N tal que An = 0) tiene un

n´umero finito de sumandos.

3. e0 =I.

4. erI =erI para todo r∈R.

5. Si AB=BA, entonces eA+B =eAeB.

6. eA es regular ya que |eA|=etraza A.

7. (eA)−1 =e−A.

Proposici´on 4.3.2. eAx es una matriz fundamental principal del sistema homog´eneo.

Demostraci´on. Basta derivar en la expresi´on de eAx para comprobar que es una matriz fundamental del sistema homog´eneo. Adem´as,eAx =I cuando x= 0.

Por tanto, y=eA(x−x0)y

0 es la ´unica soluci´on del problema de valor inicial

y0 =Ay y(x0) =y0

Para calculareAx, si J es la forma can´onica de Jordan de Ay B es la matriz de cambio de base, entonces eAx =BeJ xB−1 =BeDxeN xB−1 siendo Duna matriz diagonal yN una nilpotente.

4.3.2.

El sistema no homog´

eneo

Por el Teorema 4.2.10, obtener la soluci´on general del sistema no homog´eneo se reduce a encontrar una soluci´on particular del mismo y la soluci´on general del sistema homog´eneo asociado.

El m´etodo de variaci´on de las constantes consiste en obtener primero la soluci´on general del sistema homog´eneo en t´erminos de una matriz fundamental ϕ= Φ C dondeC es un vector de constantes indeterminadas y buscar a continuaci´on una soluci´on particular del no homog´eneo pero considerando las constantes como funciones que hay que determinar

ϕp = Φ C(x). Al derivar la expresi´on anterior y sustituir en el sistema se obtiene

Φ0 C(x) + Φ C0(x) =A Φ C(x) +g(x).

(41)

Ejercicios

1. Halla la soluci´on general del sistema homog´eneo y0 =Ay en los siguientes casos:

a) A=

1 −5 2 −1

.

b) A=

1 2

−2 5

.

c) A=

3 −1 1

−1 5 −1

1 −1 3

.

d) A=

0 1 1 1 0 1 1 1 0

.

e) A=

1 1 1

2 1 −1

−3 2 4

.

f) A=

5 −3 −2

8 −5 −4

−4 3 3

.

g) A=

  

0 0 −1 1

0 −1 0 0

0 0 1 0

−1 1 −1 0

  

.

h) A=

     

−1 0 −2 0 1

0 1 0 1 0

0 0 1 0 0

0 −2 0 −1 0

0 0 0 0 −1

      .

2. Resuelve el sistema homog´eneo

y10 y20 y30

 = 

0 1 0

0 2 −1

−1 1 1

    y1 y2 y3 

 con la

condi-ci´on inicial y(0) = (2,3,4).

3. Integra el sistema homog´eneo

y10 y20 y30

= 

2a 1 −1

0 0 1

1 0 1

    y1 y2 y3 

para los distintos

valores del par´ametro a∈R. 4. Calcula eAx en los siguientes casos:

a) A=

5 −6 2 −2

(42)

b) A=

3 1

−1 1

.

c) A=

1 −1 4

3 2 −1

2 1 −1

.

5. Resuelve los sistemas no homog´eneos siguientes:

a)

y10 y20

=

−1 −2

−2 −1

y1 y2

+

senx+ cosx

senx−cosx

.

b)

y10 y20

=

−2 −4

−1 1

y1 y2

+

4x+ 1

3 2x 2 . c)  

y01 y02 y03

= 

−6 −3 14

4 3 −8

−2 −1 5

    y1 y2 y3  +  

e2x

0 0

.

6. Integra los sistemas no homog´eneos siguientes con las condiciones iniciales indicadas:

a)

y10 y20

=

7 −12

2 −3

y1 y2 + senx cosx

, y(0) = (0,0).

b)

y10 y20

=

4 2

−1 7

y1 y2

+

e5x e5x

, y(0) = (0,0).

c)

y01 y02 y03

= 

−2 −7 3

1 3 −1

−1 −3 2

    y1 y2 y3  +   x 0 x 

, y(0) = (1,1,1).

d)

y01 y02 y03

= 

1 0 0

2 1 −2

3 2 1

    y1 y2 y3  +   0 0

excos 2x

(43)

Tema 5

Transformada de Laplace y m´

etodo

de series de potencias

5.1.

Transformada de Laplace

5.1.1.

Definici´

on y propiedades

Definici´on 5.1.1. Dada una funci´on f : [0,∞)−→ R, se define su transformada de Laplace L{f(x)} mediante la funci´on

F(s) =

Z ∞

0

e−sxf(x) dx

siempre que la integral sea convergente, con s∈R.

Obtengamos ahora algunas condiciones suficientes para que exista la transformada de Laplace de una funci´on.

Definici´on 5.1.2. Una funci´on f(x) es de orden exponencial c si existen constantes c, M >0 tales que |f(x)| ≤M ecx para todo xx

0.

Teorema 5.1.3. Si f(x)es una funci´on continua a trozos en el intervalo [0, a] para todo a >0 y es de orden exponencial c, entonces F(s) existe para s > c.

Demostraci´on. Se tiene que

|F(s)| ≤

Z x0

0

e−sxf(x) dx

+M

Z ∞

x0

e(c−s)x dx.

La primera integral existe por la continuidad a trozos de f(x) en [0, x0] y la segunda es

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