PDF 1. Introduccion´ a las ecuaciones en diferencias

TEMA 4

Modelos discretos elementales.

Ecuaciones en diferencias

•Introducci ´on a las ecuaciones en diferencias

•Ecuaci ´on en diferencias de segundo orden con coeficientes constantes

•Sistemas de ecuaciones en diferencias

1. Introducci ´on a las ecuaciones en diferencias

Objetivo: Plantear y resolver modelos deterministas elementales discretos en el tiem- po

Problema (Malthus) el tama ˜no de la poblaci ´on en un a ˜no es proporcional al tama ˜no en el a ˜no anterior

y(k) =Ay(k−1), A∈R

Problema (Verhulst) modelo m ´as realista: el crecimiento est ´a limitado por alguna cau- sa (espacio, alimento,...)

y(k)−y(k−1) =Ay(k−1) (M −y(k−1)), A >0, M ∈R

una ecuaci ´on en diferencias (ED) de orden n relaciona las funciones reales y(k + n), y(k+n−1), . . . , y(k+ 1), y(k), n ∈N

ED lineal de orden n con coeficientes constantes

a_ny(k+n) +a_n−1y(k+n−1) +· · ·+a₁y(k+ 1) +a₀y(k) =h(k)

sih(k) = 0se denomina ecuaci ´on homog ´enea

Propiedad Siy₁(k), y₂(k), . . . , y_n(k)son soluciones de la ED lineal homog ´enea anterior, entonces cualquier combinaci ´on lineal suya tambi ´en es soluci ´on de la ecuaci ´on.

un conjunto densoluciones linealmente independientes para una ED lineal homog ´enea se denomina sistema fundamental de soluciones.

Propiedad Cualquier soluci ´on de una ED lineal homog ´enea puede expresarse como combinaci ´on lineal del sistema fundamental de soluciones

yh(k) =C1y1(k) +C2y2(k) +· · ·+Cnyn(k),

donde las n constantes se determinar ´an a partir de las n condiciones iniciales del problema que vendr ´an dadas en la forma

y(0) =a₁, y(1) =a₂, · · · , y(n−1) =a_n

Una soluci ´on particular es una soluci ´on cualquiera de la ecuaci ´on completa

Propiedad Si y_h(k)es la soluci ´on de la ecuaci ´on homog ´enea e y_p(k) es una soluci ´on particular de la ecuaci ´on completa, entonces la suma de ambas soluciones es la solu- ci ´on de la ecuaci ´on completa.

soluci ´on = soluci ´on homog ´enea + soluci ´on particular ED lineal de primer orden con coeficientes constantes

a₁y(k+ 1) +a₀y(k) =h(k) HOMOG ´ENEA:

a₁y(k+ 1) +a₀y(k) = 0 ⇔ y(k+ 1) =Ay(k) soluci ´on (sustituciones sucesivas): y(k) =A^ky(0)

2. ED lineal de segundo orden con coeficientes constan- tes

ED lineal de segundo orden con coeficientes constantes

y(k+ 2) +a₁y(k+ 1) +a₀y(k) = h(k) observar el coeficiente de mayor orden HOMOG ´ENEA: y(k+ 2) +a₁y(k+ 1) +a₀y(k) = 0

buscamos las soluciones de la denominada ecuaci ´on caracter´ıstica s²+a1s+a0 = 0,

para la que distinguiremos:

1. dos ra´ıces reales y distintas s1 y s2. y1(k) = s^k₁, y2(k) = s^k₂ forman un sistema fundamental. La soluci ´on general de la homog ´enea ser ´a

y_h(k) = C₁s^k₁+C₂s^k₂

2. ra´ız real doble s₁. y₁(k) = s^k₁, y₂(k) = ks^k₁ forman un sistema fundamental. La soluci ´on general de la homog ´enea ser ´a

y_h(k) = C₁s^k₁+C₂ks^k₁

3. dos ra´ıces complejas conjugadass1 =a+ib,s2 =a−ib. La soluci ´on general de la homog ´enea la podremos escribir en la forma

y_h(k) = C₁r^kcos (kα+C₂), r=√

a²+b², α= arctan µb

a

¶

Ejercicio: Resolver las siguientes ecuaciones en diferencias:

y(k+ 2)−2y(k+ 1)−3y(k) = 0, y(0) = 1, y(1) = 2

y(k+ 1)−6y(k) + 9y(k−1) = 0, y(0) = 2, y(1) =−2

B ´USQUEDA DE SOLUCIONES PARTICULARES: aplicaremos el m ´etodo de los coe- ficientes indeterminados. Consideraremos dos aspectos:

El primer aspecto seg ´un sea la funci ´onh(k)(vemos las m ´as sencillas)

Si es h(k) = d^k y d no es soluci ´on de la caracter´ıstica, ensayaremos soluciones particulares en la forma y_p(k) = Ad^k determinando la constante A por substitu- ci ´on directa en la ecuaci ´on.

Ejemplo. Resolver la ED

y(k+ 2)−2y(k+ 1)−3y(k) = 2^k

Si es h(k) = s^k y ses soluci ´on de la caracter´ıstica, ensayaremos soluciones par- ticulares en la forma y_p(k) = Akd^k determinando la constanteA por sustituci ´on directa en la ecuaci ´on. Adem ´as, iremos aumentando el grado de k en y_p(k) por cada una de las veces que est ´a repetida la ra´ız.

Ejemplo. Resolver la ED

y(k+ 1)−3y(k) + 2y(k−1) = 2^k

Si esh(k) =kⁿhay que ensayar un polinomio de gradon enk Ejemplo. Resolver la ED

y(k+ 2)−2y(k+ 1)−3y(k) = 4k

El segundo aspecto que consideraremos es:

si h(k) es la suma de funciones conocidas ensayaremos como soluci ´on particular la suma de las soluciones particulares para cada funci ´on,

si fallan las soluciones anteriores propuestas, las multiplicamos pork,k²,... y probare- mos si alguna de estas funciona.

¿C ´omo evoluciona la poblaci ´on parak→ ∞? caso de ra´ıces reales:

- Si los valores absolutos de ra´ıces <1se extingue. Estable

- Si ra´ız de mayor valor absoluto =1 tiende a un proceso estacionario (situaci ´on de equilibrio). Neutralmente estable

- Si hay una ra´ız con valor absoluto>1crece indefinidamente. Inestable

3. Sistemas de ecuaciones en diferencias

un sistema de tres ecuaciones en diferencias de primer orden







x(k+ 1) =a11x(k) +a12y(k) +a13z(k) y(k+ 1) =a21x(k) +a22y(k) +a23z(k) z(k+ 1) =a₃₁x(k) +a₃₂y(k) +a₃₃z(k)

X_k+1 =AX_k, X_k =



 x(k) y(k) z(k)



, A=





a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃





el sistema tiene soluci ´on si la matriz es diagonalizable, por lo que tendremos tres vectores propios independientes (tantos vectores como el n ´umero de ecuaciones en diferencias del sistema). Supongamos que λ₁, λ₂,..., λ_n, son los n valores propios de vectores propiosv₁,v₂,...,v_n, de un sistema de n ecuaciones en diferencias de orden 1. Entonces, la soluci ´on viene dada por

X_k=C₁λ^k₁v₁+C₂λ^k₂v₂+· · ·+C_nλ^k_nv_n

Un caso de sistemas de ED son los denominados procesos de Markov, y verifican

- Todos los elementos de la matriz son no negativos.

- La suma de los elementos de cada columna es exactamente 1.

- Uno de los valores propios es siempre 1.

- Los dem ´as valores propios tienen valor absoluto menor que 1.

La estabilidad de las soluciones de un sistema de ED viene dado por la norma del vector soluci ´onX_k cuandok → ∞:

- Si tiende a 0 la poblaci ´on se extingue y el sistema es estable.

- Si tiende a un valor estacionario denominado poblaci ´on de equilibrio el sistema es neutralmente estable.

- Si tiende a ∞la poblaci ´on crece indefinidamente y el sistema es inestable.

Los valores absolutos de los valores propios gobiernan la estabilidad del sistema:

- Si los valores propios tienen valor absoluto<1, el proceso es estable.

- Si todos los valores propios tienen valor absoluto≤1el proceso es neutralmente estable. El estado estacionario (de equilibrio) se determina con el vector propio asociado al valor propio 1.

- Si alguno de los valores propios tiene un valor absoluto>1, entonces el proceso es inestable.

Problema Los ratones tienen dos caminos: el A con un trozo de queso y el B con queso y descarga el ´ectrica. Aprenden cada d´ıa, de modo que si un d´ıa van al A, al siguiente d´ıa el 90 % va al A y el 10 % al B; mientras que los que van al B un d´ıa, al d´ıa siguiente el 70 % va al A y el resto sigue por el B.

- Construir la matriz del proceso, ¿es de Markov?

- ¿Qu ´e ocurrir ´a en una situaci ´on de tiempo indefinido?

Si denominamos A_k los que van por el camino A en el d´ıa k y B_k los que van por B, entonces tendremos:

Ak+1 = 0.9Ak+ 0.7Bk

Bk+1 = 0.1Ak+ 0.3Bk

à A B

!

k+1

=

à 0.9 0.7

0.1 0.3

! Ã A B

!

k

claramente es un proceso de Markov.

Los valores propios son 1 y 0.2. El vector propio asociado al valor propio 1 es(7,1).

Sobre el total de ratones (7+1=8), tendremos que a lo largo del tiempo el 87.5 % (7 de 8) ir ´a por el camino A, y el 12.5 % (1 de 8) ir ´a por el camino B .