MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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ERSIDAD TECNOLÓGICA ECOTEC. ISO 9001:2008

Mgs. Pablo San Andrés, Ing. 1

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Mgs. Pablo San Andrés, Ing.

([email protected])

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 Prohibido el Uso del Celular durante las clases, salir de clases si necesita contestar alguna emergencia.

 Tiempo de Espera para tomar asistencia durante la primera hora de clase, será de 10 minutos según el reglamento. No existe tiempo de espera para segunda y tercera hora.

 Vestimenta del Estudiante adecuada (no minivestidos, no gorras, no zapatillas, no bermudas, no minifaldas, no shorts, no gafas).

 No consumir alimentos ni bebidas al interior de las clases , la única excepción es el agua.

 Siempre que el docente lo haya así planificado, es responsabilidad del alumno traer material de trabajo previo a talleres en clases.

 Recordar que se debe aprobar la materia con 80 puntos teniendo un rango de 14 a 16 faltas mayor a 16 faltas se pierde la materia. No existe justificación de faltas..

 La calificación de trabajos y/o talleres se considerará la participación de los estudiantes que asisten a dicha clase.

 Se permite ingreso del estudiante atrasado a clases., sin embargo la inasistencia es irreversible.

 Un examen atrasado se permitirá presentarlo por causas de fuerza mayor como salud, trabajo, calamidad doméstica, deudas pendientes a la institución. Para ello se presentará una carta dirigida al decano adjuntando el soporte documental y el pago por examen atrasado de $ 50 dólares previo autorización.

 Se permitirá el retiro de la materia durante la primera semana de inicio del semestre/intensivo con reembolso del 100%, la segunda semana reembolso del 80%, tercera semana reembolso 50%, pasado dicho tiempo no habrá reembolso alguno.

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Evaluación

CALIFICACION

ACTIVIDADES 30

PRIMER EXAMEN 20

SEGUNDO EXAMEN 20

EXAMEN FINAL 30

NOTA FINAL 100

3

•La presentación de deberes y trabajos en el aula virtual con fecha estipulada tiene carácter obligatorio, en caso de incumplimiento se impondrán sanciones en la nota de actividades.

• Los trabajos de investigación se calificarán sobre un total de 30 puntos desglosado de la siguiente manera:

Talleres en clases

Tareas y Exposiciones

Participación en clases

•La nota mínima para aprobar el curso es 70.

•Los exámenes se rendirán en la fecha previamente establecida por el Decanato de la Facultad, yno se aceptará a ningún estudiante postergación ni anticipación de dicha evaluación, sin una justificación de fuerza mayor previamente aprobada por la Comisión Académica de la Facultad. En éste caso únicamente se aprobará la toma del examen supletorio.

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BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

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BIBLIOGRAFÍA

COMPLEMENTARIA

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REQUISITOS

• Haber aprobado Cálculo I o su equivalente en materias homologadas.

• Contar con calculadora científica o financiera; para su operación o

manejo es responsabilidad del estudiante conocer su funcionamiento.

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Matemáticas Financieras es el campo de las matemáticas aplicadas, que analiza, valora y calcula materias relacionadas con los mercados financieros, y especialmente, el valor del dinero en el tiempo.

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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Desde el punto de vista matemático, la base de las matemáticas financieras la encontramos en la relación resultante de recibir una suma de dinero hoy (VA = valor actual) y otra diferente (VF = valor futuro) de mayor cantidad transcurrido un período. La diferencia entre VA y VF responde por el “valor” asignado por las personas al sacrificio de consumo actual y al riesgo que perciben y asumen al posponer el ingreso.

Ignacio Vélez, Decisiones de inversión (2005)

La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión.

(César Aching, Matemáticas Financieras para toma de decisiones empresariales, s.f.)

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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El VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Es uno de los principios básicos en todas las finanzas.

El dinero es un activo que cuesta conforme transcurre el tiempo, permite comprar o pagar tasas de interés periódicas (diarias, semanales, mensuales, trimestrales, etc.).

Las cantidades solo pueden sumarse o restarse cuando ocurren en el mismo momento. Cada $ 1 su poder adquisitivo vale únicamente en su momento de escala temporal, en cualquier otro momento, su valor es distinto. No es posible sumar el $ 1 al final del año 3 con el $ 1 del final del año 5.

(César Aching, Matemáticas Financieras para toma de decisiones empresariales, s.f.)

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El VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Es un concepto basado en la premisa de que un inversor prefiere recibir un pago de una suma fija de dinero hoy, en lugar de recibir el mismo a una fecha futura que quedare igual si se usa o no se usa.

En particular, si se recibe hoy una suma de dinero, se puede obtener rendimiento sobre ese dinero. Adicionalmente, debido al efecto de inflación, en el futuro esa misma suma de dinero perderá poder de compra.

• INTERÉS (I).- El rendimiento que proporciona el enajenamiento temporal del dinero, es decir, el importe del alquiler del dinero.

Como importe de alquiler que es, el interés debe referirse a períodos de tiempo y según el capital comprometido.

• La tasa de interés (i o r) es el porcentaje de rendimiento aplicado al capital en

la unidad de tiempo.

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El VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

El interés ordinario o comercial es el que se calcula considerando el año de 36´0 días.

El interés real o exacto es el que se calcula considerando el año de 365 días o 366 días cuando es bisiesto.

Para un mismo capital, tasa de interés y tiempo, el interés comercial resulta mayor que el interés exacto, razón por la cual es el utilizado tanto en operaciones de crédito o inversión.

Sin embargo para calcular el número de días transcurridos entre dos fechas se

considera el tiempo calendario.

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VIDEOS TUTORIALES

IMPORTANCIA DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS EN LA VIDA ACADÉMICA Y LABORAL

https://www.youtube.com/watch?v=PinnNC9DQvk

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS

https://www.youtube.com/watch?v=kwsDHragCOg

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VP = Valor o suma de dinero en tiempo presente [unidades monetarias]

VF = Valor o suma de dinero en algún tiempo futuro [unidades monetarias]

A = Serie consecutiva de cantidades iguales de dinero al final de cada período [unidades monetarias por unidad de tiempo]

n ó t = Número de períodos [unidades de tiempo]

r ó i = Tasa de interés por período [porcentaje por unidad de tiempo]

I = Rendimiento producido por el préstamo o la inversión [unidades monetarias]

Terminología básica

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Las tasas de interés se expresarán anualmente.

Los intereses pagados al acreedor (propietario del capital) se podrán cancelar:

– Al vencimiento de la operación; o,

– Al final de períodos iguales y sucesivos libremente pactados y establecidos en el contrato.

Disposiciones normativas

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INTERÉS SIMPLE

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INTERÉS SIMPLE

DEFINICIÓN: Se llama interés simple a aquel en el cual los intereses devengados en un período no ganan intereses en los períodos siguientes, independientemente de que se paguen o no.

Se liquidan los intereses sobre el capital inicial sin tener en cuenta los intereses precedentes causados.

La liquidación de intereses se realiza sobre el saldo insoluto, es decir, sobre el capital o pagado. Lo anterior significa que el capital inicial no varía durante todo el período de la operación financiera ya que los intereses no se capitalizan. Por lo tanto se puede decir que todos los intereses serán siempre iguales en cada período.

A mayor capital y mayor tiempo es mayor el valor de los intereses.

FUENTE: Telias, S., Ejercicios aplicados a Finanzas.

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INTERÉS SIMPLE

Fórmula Interés Simple

I = C.i.t

Interés = Valor presente x tasa de interés x tiempo M= C+I M = C(1+i.t) o VF=VP(1+r.t)

Monto = Valor presente + Interés

Monto se lo representa también como Valor Futuro (VF)

Interés (I).- Es el importe o rendimiento que se percibirá o pagará en contraprestación.

Capital (C) o Valor Presente (VP).- Valor del capital sobre el que se pagará o cobrará intereses.

Tasa de interés (i) o (r).- Es el porcentaje de interés que se cobrará o pagará.

Plazo o Tiempo (t).- Es el plazo de la operación.

F = ? i %

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 meses

P

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Otras Fórmulas despejando Interés Simple:

INTERÉS SIMPLE

Tiempo (t).- Como la duración de la operación, expresado en cantidad de años

Capital (C) o Valor Presente (VP).- Como el importe sobre el que se pagará o cobrará intereses

Tasa de interés (i o

r).- Como la tasa o porcentaje que se cobrará o pagará si la

operación dura un año.

NOTA. Para aplicar las fórmulas anteriores, es preciso que los datos de la tasa de interés y

el tiempo se refieran a la misma unidad de medida, es decir, si el interés es anual, el tiempo se expresará anualmente; si el tiempo se encuentra expresado mensualmente, habrá que obtener el interés por mes.

o

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EJERCICIO / INTERÉS SIMPLE

Juan David tiene un capital de $ 2.000.000. Invierte el 60% de este capital a una tasa del 36%

anual simple y el capital restante al 2.0% mensual simple. Calcular el valor de los intereses mensuales simples.

El 60% de $ 2.000.000 = $ 1.200.000

Juan David invierte su capital de la siguiente forma:

• $ 1.200.000 a una tasa del 36% anual simple.

• $ 800.000 a una tasa del 2.0% mensual simple.

Cálculo del interés mensual simple de $ 1.2000.000.

Cálculo del interés mensual simple de $ 800.000.

El interés total recibido cada mes es igual a la suma de los intereses parciales:

El tiempo es 1/12 porque se solicita el cálculo de un mes por intereses simples.

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EJERCICIO / INTERÉS SIMPLE APLICACIÓN DEL VALOR PRESENTE

Qué oferta es más conveniente para el comprador de un activo fijo: $4.000

iniciales y $6.000 después de seis meses ó $6.000 iniciales y $4.000 después

de un año? Suponer un interés simple del 6%.

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EN INTERÉS SIMPLE

Monto o Valor Futuro Simple

El monto es el valor que adquiere una cantidad invertida, a lo largo de un tiempo y es denominado como valor futuro o monto.

Valor Presente (VP) o Capital (C) Simple:

Es la cantidad inicial con la que se realiza una inversión ó préstamo, misma que representa la base sobre la cual se generan los intereses , Cuando se conoce el Monto (M) o valor Futuro (VF), la fórmula es:

Tasa de interés (i) o (r):

Es la tasa o porcentaje de interés a la que se coloca cantidad inicial con la que se realiza una inversión ó préstamo, misma que representa la base sobre la cual se generan los intereses , Cuando se conoce el Monto (M) o valor Futuro, la fórmula es:

Tiempo (t):

Es el tiempo al cual se invierte o se coloca un capital y se obtiene el monto o valor futuro, Cuando se conoce el Monto (M) o valor Futuro, la fórmula es:

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Trabajo en

Clase

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DESCUENTO SIMPLE

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CLASIFICACION.-

• El descuento comercial o bancario.

• El descuento real o justo.

• El descuento racional o matemático.

DESCUENTO SIMPLE

CONCEPTO .-

El descuento es una operación de crédito que se realiza normalmente en el sector bancario, y consiste en que los bancos reciben documentos negociables como letras de cambio, pagares, de cuyo valor nominal descuentan una cantidad equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha en que se recibe y la fecha del vencimiento. Con esta operación se anticipa el valor actual del documento.

Existen dos tipos de descuento en el interés simple:

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DESCUENTO BANCARIO O COMERCIAL

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DESCUENTO BANCARIO O COMERCIAL

Es importante anotar que este tipo de descuento se puede aplicar en operaciones comerciales a corto plazo, porque si éste es muy extenso el descuento puede alcanzar todo

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DESCUENTO BANCARIO O COMERCIAL

Ejemplo:

El descuento comercial simple al 7% anual durante 6 meses alcanza la suma de $350.000. Calcular el valor efectivo y nominal de la operación.

Solución :

Tenga en cuenta que seis (6) meses, equivalen a 0,5 años.

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DESCUENTO REAL O JUSTO

Ejemplo:

El valor nominal de un documento es $ 2.185.000, si se descuenta 2 meses antes de su vencimiento a una tasa del 20%, encontrar el descuento comercial y el real.

Solución :

El descuento comercial seria:

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DESCUENTO REAL O JUSTO

El valor comercial del documento es:

Para determinar el descuento real, se calcula el valor que se anticipa, es decir, se encuentra el valor presente a partir del valor nominal del documento, por lo cual, se utiliza la siguiente fórmula:

El descuento real seria:

Se puede observar que el descuento real es inferior al descuento comercial.

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DESCUENTO RACIONAL Ó MATEMÁTICO

El descuento racional o matemático.- El descuento racional, es aquel que se determina sobre el valor efectivo de un documento.

Duración de la operación con descuento racional.

Fórmula Descuento Racional

Despeje de la fórmula Descuento Racional.

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Ejemplo:

Solución :

DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO

El descuento racional al 7% anual durante 6 meses alcanza la suma de $ 350.000. Calcular el valor efectivo y nominal de la operación

Se debe tener en cuenta que seis (6) meses, equivalen a 0,5 años.

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INTERÉS COMPUESTO INTERÉS COMPUESTO

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INTERÉS COMPUESTO

Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo.

Es el monto sobre la base inicial

Intereses acumulados en periodos anteriores

El interés compuesto (llamado también interés sobre intereses), es aquel que al final del período capitaliza los intereses causados en el período inmediatamente anterior.

En el interés compuesto el capital cambia al final de cada periodo, debido a que los

intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital sobre el cual se calculan los

intereses.

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CAPITALIZACIÓN

Es el proceso de ir del valor actual

Al Valor Futuro

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La capitalización proceso mediante el cual los intereses que se van causando periódicamente se suman al capital anterior.

Periodo de Capitalización (n).- Período pactado para convertir el interés en capital; puede ser anual, semestral, trimestral, mensual, etc.

Frecuencia de Capitalización ó conversión (fc).- Número de veces que, en un año el interés se suma al capital.

Tasa de interés por periodo (r).-

CAPITALIZACIÓN

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Para operaciones pasivas (cuentas de ahorros, corrientes, certificados de depósitos, entre otras) la capitalización de intereses en nuestro país, es permitida.

En operaciones activas (préstamos), la capitalización de intereses en nuestro país es prohibida, esto representa ANATOCISMO.

CAPITALIZACIÓN

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Periodo de Conversión de Tasa Nominal.

Fórmula Interés Compuesto

CAPITALIZACIÓN

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EJEMPLO: ¿Cuál es la frecuencia de conversión y la tasa interés por periodo (r) al 60% anual capitalizable mensualmente, de una operación cualesquiera?

EJEMPLO: ¿Cuál es la frecuencia de conversión (fc) para un depósito bancario que paga el 5% de interés capitalizable trimestralmente?

EJEMPLO: Si un documento ofrece pagos semestrales y tiene una duración de 3 años. ¿Cuánto vale m y n?

fc= 12/6

fc= 2 semestres en 1 año

n= m x t

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CAPITALIZACIÓN

NOTA:

Es muy importante que para la solución de problemas de interés compuesto, el interés anual sea convertido a la tasa que corresponda de acuerdo al periodo de capitalización que se establezca.

Al realizar un cálculo de interés compuesto es necesario que la tasa de interés esté

expresada en la misma unidad de tiempo que el periodo de capitalización; Si no se

especifica el periodo de referencia, éste se debe entender en forma anual.

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VALOR PRESENTE (VP) – Interés compuesto

El valor presente del dinero es el valor actual neto de una cantidad que

recibiremos en el futuro y está dado por:

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VALOR PRESENTE A INTERÉS COMPUESTO

El señor Pedro Picapiedra necesita disponer de $ 300.000 dentro de 6 meses para el pago de la matrícula de su hijo. Si una corporación le ofrece el 3.5% mensual, ¿cuánto deberá depositar hoy para lograr su objetivo?

EJERCICIO

Aplicando la fórmula:

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EJERCICIO VALOR FUTURO INTERÉS COMPUESTO

Cuánto recibirá luego de

6 meses

si se depositó $ 1000 en una cuenta de ahorros con una

tasa de 1.35% capitalizable

mensualmente.

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VALOR FUTURO A INTERÉS COMPUESTO

Se invierten $ 1.000.000 durante 6 meses en una corporación que reconoce una tasa de interés del 3% capitalizable mensualmente. Se desea saber, ¿cuánto dinero se tendrá acumulado al final del sexto mes?

EJERCICIO

El valor acumulado al final del sexto mes también se lo puede calcular con la siguiente fórmula de valor Futuro:

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INTERÉS DE UN CAPITAL A INTERÉS COMPUESTO

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FÓRMULAS DE INTERÉS COMPUESTO

CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS CÁLCULO DEL NÚMERO DE

PERIODOS

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DESCUENTO COMPUESTO

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DESCUENTO COMPUESTO BANCARIO O COMERCIAL

La fórmula para determinar el Descuento Bancario o Comercial Compuesto es igual a:

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49

CONCEPTO .-

Es la operación financiera que tiene por objeto el cambio de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente también opera con base en el interés compuesto; se lo identifica por cuanto hay capitalizaciones hasta la fecha de vencimiento. Se simboliza con Dc.

DESCUENTO REAL COMPUESTO

Realizando el reemplazo de fórmulas se obtiene que el Descuento Real Compuesto es igual a:

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EJERCICIO

DESCUENTO REAL COMPUESTO

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Trabajo en Clase

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