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(1)

2.- RENTAS

2.1.-El Sr. Fernández impone al principio de cada semestre 200 € al 10 % de interés efectivo anual. Al cabo, de 7 años, y una vez abonada la semestralidad correspondiente al principio del octavo año, por motivo de su traslado a otra ciudad, retira el dinero ahorrado y lo ingresa en un banco que capitaliza a un tanto nominal trimestral del 7%. Con el dinero acumulado durante los siguientes 5 años, da orden al banco de que pague a continuación un sueldo mensual a su hijo de 180 € al final de cada mes hasta agotar el fondo. Se pide: a) Dinero ahorrado antes del traslado.

b) Cantidad acumulada en el segundo banco después de 5 años.

c) ¿Cuántas mensualidades cobrará el hijo si se valora al 7% nominal trimestral?. Indicar si es necesario la cuantía del pago suplementario que realizará el banco

en el vencimiento del último sueldo de 180 €.

(Sol: a) 4.277,22€; b) 6.051,32€; c)37 mensualidades; 90,34€). C i i(2) V7 j(4) i(4) V12 200 0,1 0,04880885 4277,223398 0,07 0,0175 6051,3224 m i(12) n V12 V12 X 180 0,00579963 37,5040806 6051,322399 6051,3224 90,3406701 0 1/2 2/2 200 14/2 n/12 7 12 1/12 180 V7

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(2)

2.2.-La Sra. López ha depositado en una cuenta bancaria todos los años, desde finales de mayo hasta finales de septiembre y durante los últimos 10 años cantidades mensuales que eran iguales dentro del año, pero que crecían de un año para otro en un 4% acumulativo. Si el tipo de interés que nos han aplicado ha sido del 6% anual efectivo y las cantidades mensuales que entregó el primer año fueron de 3.000 € (cada final de mes entre mayo y septiembre inclusive), calcular la cantidad de la que dispone cuando hace la entrega correspondiente a septiembre del décimo año.

(Sol: 235.231,44€ ).

C q i i(12) V117/12

3000 1,04 0,06 0,004867551 235231,441

2.3.-Un Señor desea complementar su pensión de jubilación con la constitución de un capital de 150.000 €. Para ello, realizará aportaciones constantes al final de cada mes que se aumentarán anualmente según el IPC, el cual se prevé que será de un 3% anual. Además realizará aportaciones extras de 1.000 € fijas en Junio y Diciembre. Si una entidad financiera le garantiza durante los 10 años que faltan para su jubilación interés del 6% anual, calcular la cantidad mensual que deberá imponer durante el primer año. (Sol: 671,15€ ). V10 C i i(12) i(2) q V10 150000 671,154024 0,06 0,004867551 0,02956301 1,03 150000 Extras = 1000 17/12 117/12 0 5/12 9/12 3.000 ·1,049 113/12 24/12 120/12 0 1/12 12/12 C · 1,039 108/12 C · 1,03 C · 1,03

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(3)

2.4.-Hoy, 1 de Enero, se pretende valorar al 5% una herencia que incluye los siguientes conceptos:

a) Una finca rústica cuyos rendimientos anuales netos ascienden a 2.000 € y cuyo primer cobro tiene lugar hoy.

b) El disfrute de una renta de 4 años de duración de cuantía trimestral 200 € el primer año, aumentando en los siguientes un 10% con respecto a la del anterior.

c) Los beneficios durante 5 años de una tienda de ropa que se estiman en unos 1.000 € mensuales y unas ganancias adicionales por las rebajas de temporada de 500 € los meses de Enero y Febrero, Julio y Agosto de cada año.

(Sol: 42.000€; 3.333,03€; 62.061,59€ ).

i i(4) i(12) i(2) C C' q

0,05 0,01227223 0,00407412 0,024695077 2000 200 1,1 C'' Extras V01 V02 V03 1000 500 42000 3333,031071 62061,5859 3 0 1 2 2.000 2.000 200.000 2.000 2.000 · · · 16/4 0 1/4 200 · 1,13 ··· 200 200 6/12 60/12 0 1/12 2/12 1.000 1.500 1.500

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(4)

2.5.- Un trabajador, con la finalidad de preparar su jubilación, realiza durante diez años las siguientes imposiciones, capitalizadas al 5% anual efectivo:

• Entregas bienales prepagables de 10.000 €.

• Imposiciones trimestrales pospagables constantes, de cuantía 1.500 € durante el primer año, aumentando las trimestralidades de un año para otro en un 2% acumulativo.

A los 10 años, retira la mitad del montante constituido y cede el resto a una institución que cobrará la cuantía mediante una renta semestral constante, de forma indefinida, valorándose al 4% nominal. Se pide:

a) Calcular el montante total acumulado por el trabajador al cabo de los diez años. b) Calcular la semestralidad que percibirá la institución.

(Sol:151.146,06€; 1.511,46€ ). 3/2 ... 0 1/2 2/2 V10/2 C'' C'' C'' 5/4 40/4 0 1/4 4/4 1.500 1.500 · 1,02 1.500 · 1,02 10 ... 0 2 4 10.000 10.000 10.000 10.000

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(5)

C i i(4) q C'

10000 0,05 0,01227223 1,02 1500

V101 V102 V101 + V102 V10/2 j(2) i'(2) C''

67644,5196 83501,5435 151146,063 75573,03155 0,04 0,02 1511,46063 75573,0316

2.6.- Calcular al día de hoy (1 de Enero) y a un tanto de interés efectivo anual del 5% los ingresos de los próximos 10 años de una ONG los cuales se estima que serán los siguientes: • Una subvención de la Unión Europea de 50.000 € bienales (la primera de las cuales se recibirá dentro de un año).

• Como consecuencia de la campaña de propaganda de otoño perciben unos donativos de 10.000 € al final de cada uno de los meses de Octubre, Noviembre y Diciembre.

• De los socios reciben al principio de cada trimestre cuotas de 30.000 € durante el primer año, incrementándose estas trimestralidades en 1.000 € (sobre las trimestralidades del año anterior), y manteniéndose estas, constantes dentro del año.

(Sol: 1.516.277,53€ ). 9 ... 0 1 3 50.000 50.000 50.000 12/12 120/12 0 10/12 11/12 10.000 10.000 10.000 10.000 46 , 511 . 1 ' ' 02 , 0 ' ' ) 2 ( ' ' ' 0316 , 573 . 75 02 , 0 2 04 , 0 2 ) 2 ( ) 2 ( ' 04 , 0 ) 2 ( 0316 , 573 . 75 2 063 , 146 . 151 5435 , 501 . 83 02 , 1 05 , 1 02 , 1 05 , 1 500 . 1 5196 , 644 . 67 05 , 1 1 05 , 1 1 05 , 1 000 . 10 01227223 , 0 1 05 , 1 ) 4 ( 05 , 0 10 2 10 1 10 10 10 10 ) 4 ( 4 2 10 2 2 10 1 10 4 1 C C i C j i j V V V V s V V i i i

(6)

C i i(4) i(12) V01 C' V02

50000 0,05 0,01227223 0,004074124 197751,748 10000 232597,109

C'' d V03 Total

30000 1000 1085928,67 1516277,531

2.7.- Un inversor constituye un fondo durante 6 años mediante aportaciones mensuales al 8% nominal trimestral y en los siguientes términos: Durante el primer año, los tres

primeros meses impone 500 € aumentando trimestralmente en un 4% con respecto al trimestre anterior (y manteniéndose constante las mensualidades en el trimestre

correspondiente). La primera mensualidad la realiza dentro de un mes. Durante los 5 años restantes, las aportaciones coinciden con las del primer año, en cuantía y características. Paralelamente, al finalizar el primer año, un segundo inversor interesado por la opción comienza a realizar las mismas aportaciones durante los 5 años restantes.

Finalizado el segundo año un tercer inversor comienza a realizar las mismas aportaciones durante los 4 años restantes. Se pide:

a) Fondo constituido por el primer inversor al final del primer año. b) Fondo constituido por los tres inversores al final de los seis años. (Sol: 6.600,501€; 117.479,138€). 7/4 40/4 0 3/4 4/4 30.000 39/4 36/4 30.000

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(7)

C q j(4) i(4) i(12) i F1

500 1,04 0,08 0,02 0,00662271 0,08243216 6600,50084 F6

117479,138

2.8.- El señor Ruiz tiene derecho a una herencia que incluye los siguientes conceptos: • El montante de un fondo en el que se realizaron imposiciones mensuales durante 15 años, de cuantía 100 € los 10 primeros años y 150 € los 5 restantes, y que rindió un interés nominal capitalizable trimestralmente del 6% los 5 primeros años y un interés efectivo trimestral del 1.75% los 10 restantes.

• El disfrute de una renta de 5 años de duración, fruto de las anualidades de un préstamo de 10.000 € que se concedió hace 10 años para amortizar en 15 años por el sistema alemán a un tipo de interés anticipado del 6% anual.

• Los rendimientos mensuales netos de una finca, que ascienden a 1.000 € mensuales, aumentan cada año en 100 € mensuales (permaneciendo constantes durante el año) y su primer cobro tiene lugar hoy.

El Sr. Ruiz desea sustituir esta herencia por una renta semestral de 10 años de duración que aumenta en 100 € cada semestre. Se pide:

a) El montante obtenido en el fondo. b) Anualidad del préstamo.

c) El primer pago de la renta que sustituye a la herencia si se valora al 5% anual. NOTA: Hacer después de estudiar el tema de préstamos.

(Sol: a) 34.800,39€; b)992,21€; c)48.929,15€). 4/12 72/12 0 1/12 3/12 500 · 1,043 = = 500 · 1,042 500 · 1,04 120/12 180/12 0 1/12 2/12 100 i'(4) = 0,0175 60/12

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(8)

C C' j(4) i(4) i(12) i'(4) i'(12) 100 150 0,06 0,015 0,00497521 0,0175 0,00579963 V15 1 V0 2 z a i'' i''(12) C'' 34800,3923 4400,38483 0,06 992,21 0,05 0,00407412 1000 d V0 3 Total C''' i''(2) 100 739354,652 778555,429 48929,15067 0,02469508 778555,429 5 ... 0 1 2 992,21 992,21 992,21 23/12 0 1/12 11/12 1.000 24/12 3/2 0 1/2 2/2 C''' 20/2 778.555,429 C''' + 100 C''' + 1.900

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(9)

2.9.- Durante 10 años hemos estado haciendo imposiciones semestrales y postpagables en un fondo que ofrecía un 12% anual capitalizable semestralmente los cinco primeros años y un 10.25% efectivo anual los cinco siguientes. La primera imposición fue de 100 € y cada una se incrementó en un 5% con respecto a la anterior. Con el dinero procedente de dicho fondo adquirimos el derecho a percibir una renta utilizándose para ello un tanto de valoración del 8% efectivo anual. Se pide:

a) Cuantía constituida en el fondo al finalizar los cinco primeros años. b) Cuantía constituida en el fondo al finalizar los diez años.

c) Si la renta fuese mensual prepagable de 150 €. ¿Durante cuánto tiempo podríamos cobrar la renta?. Si da lugar a un pago complementario especificar su cuantía y vencimiento. d) Si la renta fuese trimestral postpagable y perpetua. ¿Cuál sería la cuantía de cada

término?.

(Sol: a) 1.619,53€; b)5.164,99€; c)38 meses, pago complementario de 115,64€ con vencimiento a los 38 meses y 23 días; d)100,34€).

C q j(2) i(2) i' i'(2)

100 1,05 0,12 0,06 0,1025 0,05

F5 F10 n C i'' i''(12) i''(4)

1619,5307 5164,99505 38,766553 150 0,08 0,00643403 0,01942655 F10 X C' F10 5164,99458 115,068972 5164,99458 100,3380186 5164,99505 10/2 0 1/2 2/2 100 · 1,0519 20/2 100 · 1,05 i' = 0,1025 2/4 0 1/4 C' n/12 0 1/12 2/12 150 99505 , 164 . 5 05 , 1 10 05 , 1 100 05 , 1 53 , 619 . 1 05 , 1 06 , 1 05 , 1 06 , 1 100 9 10 10 5 10 10 10 5 F F F

(10)

2.10.- Un trabajador con la intención de preparar su jubilación ha estado haciendo imposiciones postpagables en una cuenta de ahorro durante 10 años en las siguientes condiciones:

• Durante los cinco primeros años le aplicaron un tipo de interés del 4% y durante los cinco siguientes del 5.0625%, ambos efectivos anuales.

• Durante los 5 primeros años las imposiciones fueron anuales variables en progresión aritmética de diferencia 100 € siendo la primera imposición de 900 €.

• Durante los 5 últimos años realizó imposiciones semestrales variables en progresión geométrica de razón 1,01, siendo la primera de 400 €.

El trabajador desea que el montante ahorrado en los 10 años le sea devuelto mediante una renta anual constante de 1000 €. El tanto de valoración será el 5% efectivo anual. Calcular el número de pagos que recibirá el trabajador. (Si no se obtiene un número entero, redondearlo por defecto y recalcular la anualidad).

(Sol: 19 pagos; 1.013,74€). i i' i'(2) i'' C d F10 0,04 0,050625 0,025 0,05 900 100 12251,3337 C' F10 q C'' n F10 a' 400 12251,3337 1,01 1000 19,4344813 12251,3337 1013,73673 5 0 1 2 400 · 1,019 20/2 1.000 i' = 0,050625 900 11/2 n 0 1 2 1.000 1.000 1.000

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(11)

2.11.- Un señor que en la actualidad tiene 40 años desea jubilarse a los 55 años. Con objeto de asegurarse una pensión de jubilación decide comenzar a imponer 900 € al final de cada mes en una entidad bancaria. Además la paga extra que percibe en los meses de junio y diciembre le permite imponer una cantidad adicional en dichos meses de 1.500 €. El tipo de interés que le aplica el banco es del 4% anual compuesto para los 10 primeros años y del 5% para los restantes. Se pide:

a) El montante constituido en el momento de su jubilación.

b) Llegado el momento de su jubilación la entidad bancaria le propone sustituir dicho montante por una renta vitalicia mensual (que pasará a sus herederos cuando fallezca) a un 6% nominal. Calcular la mensualidad que percibiría.

(Sol: 292.741,42€; 1.463,71€).

C C' i i(2) i(12) i' i'(2)

900 1500 0,04 0,019803903 0,00327374 0,05 0,02469508 i'(12) V15 j''(12) i''(12) m V15 0,00407412 292741,423 0,06 0,005 1463,70712 292741,423 180/12 0 1/12 2/12 900 180/12 0 6/12 12/12 1.500 1.500 1.500 120/12 i = 0,04 0 1/12 2/12 m m

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(12)

2.12.-Calcular con fecha 1 de enero y valorando al 4% los beneficios que se obtendrán por la explotación de un chiringuito que permanecerá abierto durante los próximos 10 años desde principios de mayo hasta final de septiembre y que tiene previsto los siguientes ingresos y gastos:

•El primer mes que permanece abierto los ingresos serán de 12.000 €, aumentando en un 5% acumulativo en los siguientes meses del mismo año con excepción de septiembre en que se estiman unos ingresos iguales a los de junio. En la misma fecha de los años siguientes los ingresos serán un 6% mayor que los del correspondiente del año anterior. •El local ha de mantenerlo alquilado durante todo el año. Esto le supone unos gastos mensuales constantes de 600 € durante el primer año, 700 € durante el segundo año, y así sucesivamente hasta el décimo año en que pagará 1.500 € mensuales.

•El resto de los gastos de la explotación se valoran a finales de septiembre de cada año y se estima que serán el primer año 24.000 € aumentando cada año un 4% sobre el anterior. (Sol: 351.643,69€). C q q' i i(12) V01 12000 1,05 1,06 0,04 0,00327374 685876,211 C' d V02 q'' C'' V03 V0 600 100 101189,427 1,04 24000 233043,094 351643,69 7/12 0 5/12 9/12 18/12 23/12 0 12/12 600 108/12 600 1.500 1.500 0 9/12 21/12 24.000 · 1,049 117/12 24.000 24.000 · 1,04

(13)

2.13.-Una empresa inmobiliaria desea comprar un edificio dedicado a oficinas de alquiler. Para estimar su valor en este momento tiene en cuenta los siguientes aspectos:

a) Los ingresos que por alquileres se están percibiendo actualmente y los que se percibirán en el futuro considerando un horizonte temporal ilimitado.

b) Los gastos que por los conceptos de mantenimiento del edificio y del impuesto sobre bienes inmuebles se pagan actualmente y se pagarán en el futuro.

Teniendo en cuenta que durante este año se van a percibir unos alquileres de 200.000 € trimestrales prepagables y que crecerán acumulativamente en los años futuros a razón de un 2% anual; que el contrato de mantenimiento del edificio exige un desembolso de 50.000 € semestrales y pospagables durante este año y que crecerá aritméticamente cada año a razón de un 3% sobre la cantidad correspondiente al primer año; finalmente, en cuanto al impuesto, se estima que se pagará una cuantía constante y pospagable que en promedio será de 60.000 € anuales, obtener razonadamente el precio que estará dispuesto a pagar por el edificio en este momento si los flujos de cobros y pagos se valoran a un tanto efectivo del 6% anual. (Sol: 17.207.583,85€).

2/4 0 1/4 200.000 200.000 200.000 200.000 · 1,02 0 1/2 3/2 51.500 4/2 3 ... 0 1 2 60.000 60.000 60.000

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(14)

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50000 1500 0,02956301 2536953,768 60000 1000000 17207583,85

2.14.-Un joven ha impuesto en una entidad financiera 14 cuotas mensuales durante 10 años coincidiendo las cuotas dobles con los meses de junio y diciembre. Durante el primer año la cuantía mensual fue de 100 €. Los años siguientes se incrementaron las cuantías mensuales en un 2% acumulativo. La remuneración de estas cantidades se realizó al 4,04% de interés anual los cinco primeros años y al 4,8% nominal mensual los cinco restantes. Además ha recibido una herencia que le reportará una renta quinquenal durante los próximos 30 años, cuyo primer término vence dentro de un año y es de cuantía 1.000 €, aumentando los siguientes en un 3% acumulativo. Con el dinero constituido en el fondo unido al valor actual de la herencia decide financiar las vacaciones de los próximos cinco años de los meses de junio, julio y agosto. Si la cantidad que prevé gastar en el primer año cada mes es a y la cantidad que prevé gastar mensualmente aumenta cada año respecto del anterior en 100 €, siendo el tanto de valoración del 4% anual, ¿cuál es la cuantía mensual a que puede gastar el primer año?. (Sol: 1.516,34€).

0 1/12 0,0404 200 · 1,02 100 100 12/12 18/12 100 · 1,02 200 · 1,024 61/12 0,048 200 · 1,029 100 · 1,025 200 · 1,025 120/12 114/12 100 · 1,029 200 · 1,029 11 0 1 6 1.000 · 1,03 26 1.000

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(15)

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i(12) i(2) i'(12) i'(2) i' V1 i''

0,00330589 0,02 0,004 0,024241284 0,04907021 19233,6458 0,04

C' q' i''(1/5) i''(12) V2 a d

1000 1,03 0,2166529 0,00327374 3960,16747 1516,33625 100

V3 V1+V2

23193,8132 23193,8132

2.15.-El Señor X gana un concurso de televisión que le da derecho a elegir entre los siguientes premios:

• Recibir durante 20 años cantidades trimestrales pospagables de cuantía 2.800 € y que rinden un 10% anual efectivo durante los 10 primeros años y un 9% anual efectivo los últimos 10 años.

• Recibir durante 15 años cantidades mensuales pospagables, la primera de ellas de 360,65 €, incrementándose las siguientes en 10 € respecto de la anterior y que rinden un

20/12 0 6/12 8/12 a + 400 56/12 a a + 100 a + 100 a + 100

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(16)

10% anual efectivo.

• Recibir durante 10 años cantidades cuatrimestrales pospagables de cuantía 3.400 €, incrementándose anualmente un 3% respecto del anterior (manteniéndose constantes durante el año), que rinden un 6% nominal capitalizable cuatrimestralmente los siete primeros años y un tanto anual efectivo del 3% los tres últimos.

• 95.000 € en este momento.

Calcular el valor actual de cada premio y razonar cuál de los premios será el que elegirá el Señor X. (Sol: 99.979,12€; 99.979,53€; 87.215,64€; el 2º).

C i i(4) i' i'(4) n n'

2800 0,1 0,02411369 0,09 0,02177818 10 10

V01 i'' i''(12) C' d C'180 V02

99979,1151 0,1 0,00797414 360,65 10 2150,65 99979,5227

j'''(3) i'''(3) i''' i'''' i''''(3) C'' q

0,06 0,02 0,061208 0,03 0,00990163 3400 1,03 V03 87215,6362 0 1/12 360,65 180/12 370,65 2.150,65 80/4 0 0,09 2.800 ··· 2.800 2.800 0,1 30/3 0 6/3 3.400 · 1,039 ··· 3.400 · 1,03 3.400 3.400 · 1,03 3.400 · 1,03 64 , 215 . 87 061208 , 1 03 , 1 3 03 , 1 400 . 3 03 , 1 061208 , 1 061208 , 1 03 , 1 1 400 . 3 00990163 , 0 1 ) ' ' ' ' 1 ( ) 3 ( ' ' ' ' 03 , 0 ' ' ' ' 061208 , 0 1 )) 3 ( ' ' ' 1 ( ' ' ' 02 , 0 3 ) 3 ( ' ' ' ) 3 ( ' ' ' 06 , 0 ) 3 ( ' ' ' 52 , 979 . 99 00797414 , 0 180 10 180 10 00797414 , 0 10 65 , 360 00797414 , 0 1 ) ' ' 1 ( ) 12 ( ' ' 1 , 0 ' ' 12 , 979 . 99 ) 1 ( 800 . 2 800 . 2 02177818 , 0 1 09 , 1 1 ) ' 1 ( ) 4 ( ' 09 , 0 ' 02411369 , 0 1 1 , 1 1 ) 1 ( ) 4 ( 1 , 0 7 ) 3 ( '' '' 3 7 7 7 ) 3 ( '' ' 3 3 0 3 1 3 00797414 , 0 180 2 0 12 1 10 ) 4 ( ' 40 ) 4 ( 40 1 0 4 1 4 1 4 1 4 1 i i i i s s V i i i i i j i j a V i i i i a a V i i i i i i

(17)

2.16.-Una comunidad de propietarios que tiene una piscina en su edificio, hoy 1 de enero, pretende conocer el valor actual de los gastos de los próximos 10 años valorando a un 4% capitalizable semestralmente. Estos gastos son los siguientes:

•Al final de abril y final de octubre unos gastos de 1.200 € cada uno para el acondicionamiento del recinto que aumentarán a razón de 100 € de año en año. •Gastos de sanidad de 600 € al finalizar abril.

•Sueldos del socorrista de 1.200€ mensuales de junio a septiembre durante el primer año con un incremento anual en su sueldo del 3%.

•Gastos del laboratorio municipal de 300 € al final de mayo y de julio. (Sol: 81.338,52 €).

j(2) i(2) i(12) i(6) i n C

0,04 0,02 0,00330589 0,00662271 0,0404 10 1200 d V01 C' V02 q V03 C'' 100 26622,1491 600 4986,807511 1,03 44775,5309 300 V04 V0 4954,0256 81338,5131 0 4/12 112/12 600 600 600 112/12 0 4/12 10/12 118/12 1.200 2.100 2.100 1.200 1.300 114/12 0 9/12 21/12 117/12 1.200 1.200· 1,039 1.200 1.200 · 1,03 0 5/12 113/12 300 300 300 0404 , 0 1 )) 2 ( 1 ( 00662271 , 0 1 )) 12 ( 1 ( ) 6 ( 00330589 , 0 1 )) 2 ( 1 ( ) 12 ( 02 , 0 2 ) 2 ( ) 2 ( 04 , 0 ) 2 ( 2 2 6 1 i i i i i i j i j

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(18)

2.17.- Un estudiante de Empresariales pretende durante los próximos cinco años constituir un capital para cuando acabe la carrera montar un despacho profesional. Para ello

comienza a trabajar en una empresa de mantenimiento en la que le garantizan el siguiente salario:

•1.000 € mensuales con subidas anuales de un 2% acumulativo.

•cuatro pagas extraordinarias de cuantía 450 € coincidiendo con las épocas de más trabajo en los meses de junio, julio, noviembre y diciembre. Las pagas de junio y julio

permanecerán constantes en los años sucesivos, las de noviembre y diciembre aumentarán cada una 60€ con respecto a las mismas del año anterior.

Pretende ahorrar el 50% de su salario mensual y el 100% de las pagas extraordinarias en una entidad financiera que garantiza un 3% efectivo anual. Calcular la cantidad de la que podrá disponer al final de los cinco años. (Sol: 44.434,46€).

C q i i(12) V51 C' d 1000 1,02 0,03 0,00246627 67137,754 450 60 V52 = 10865,5832 0,5 V51 + V52 = 44434,4602 0 12/12 60/12 690 450 690 18/12 60/12 0 1/12 24/12 1.000 · 1,024 1.000 1.000 1.000 · 1,02 1.000 · 1,02 1.000 · 1,024

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(19)

2.18.- La EUEE oferta la concesión del servicio del bar por cinco años. Para hacer una oferta razonable, una empresa se propone estimar, utilizando un tanto de valoración del 4% anual efectivo, los ingresos constantes mínimos que ha de tener durante los 10 meses que permanecerá abierto el bar (todo el año, excepto julio y agosto) , cuyos gastos se detallan a continuación:

• Sueldos de los camareros contratados por todo el año, 3.000 € mensuales más dos pagas extras en junio y diciembre de 2.000 €. Estos gastos se prevé que aumenten un 3% anual a causa del IPC previsto.

• Durante los meses de vacaciones (julio y agosto), realiza obras de reforma y mantenimiento a su cargo por un valor total de 2.500 € al principio de cada mes, aumentando en 500 € anualmente.

• En concepto de arrendamiento, le paga a la EUEE semestralmente 3.600 €. (Sol: 5.650,65€ ). i i(12) i(2) C C' q V01 0,04 0,00327374 0,0198039 3000 2000 1,03 191922,25 C'' d V02 C''' V03 V01+V02+V03 2500 500 31372,7455 3600 33011,5716 256306,568 Ingresos (a) 5650,65247 256306,568 60/12 0 6/12 24/12 3.000 · 1,034 3.000 2.000 · 1,034 3.000 · 1,03 3.000 · 1,03 3.000 · 1,034 2.000 · 1,03 2.000 · 1,03 18/12 54/12 0 7/12 19/12 55/12 2.500 4.500 2.500 3.000 0 12/12 24/12 60/12 3.600 3.600 3.600 3.600

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(20)

2.19.- Un comerciante posee un establecimiento dedicado a productos deportivos que abre al público en temporada de rebajas de invierno (enero y febrero) y verano (julio, agosto y primera quincena de septiembre).

En los meses de enero y febrero del presente año se están obteniendo unos ingresos quincenales constantes de 4000 €, y se estima que dichos ingresos quincenales serán un 5% superiores durante las rebajas de verano. Durante los 9 años siguientes, estas cantidades quincenales, aumentarán anualmente un 10% acumulativo en ambas temporadas. El alquiler del local (que ha de pagar durante todo el año) le supone al comerciante 500 € mensuales durante el primer año. Estos alquileres aumentarán en 30 € mensuales en los años sucesivos. A los trabajadores les paga al final de cada temporada 3000 € en la de invierno y 3750 € en la de verano.

Calcular, con fecha 1 de enero del presente año, los beneficios de este establecimiento durante ese periodo de 10 años, si se utiliza para la valoración un 3% efectivo anual. (Utilizar el año comercial de 12 meses y 24 quincenas).

(Sol: 500.379,42 - 65.291,77 - 58.494,03 = 376.593,62 ). i i(12) i(24) C q q' V01 0,03 0,00246627 0,00123238 4000 1,05 1,1 500379,418 C' d V02 C'' C''' V03 V0 500 30 65291,7675 3000 3750 58494,0265 376593,624 3.495/360 0 60/360 375/360 4.000 · 1,05 · 1,1 4.000 4.000 4.000 · 1,05 4.000 · 1,05 4.000 · 1,1 119/12 0 12/12 23/12 770 500 500 530 530 770 0 9,5/12 117,5/12 3.750 3.000 3.750

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(21)

2.20.- Durante 15 años el señor Gómez ingresó el 20% de sus ingresos en un fondo que rindió un interés nominal del 6%, capitalizado semestralmente durante los 5 primeros años y mensualmente durante los otros 10. Determinar el montante del fondo si éstos ingresos fueron:

*Un sueldo mensual de 1.500 euros durante el primer año, que aumentó un 3% anual acumulativo durante los 5 primeros años y que se mantuvo constante e igual al último sueldo mensual del quinto año durante los últimos 10 años.

*Dos pagas extras de 500 euros en los meses de junio y diciembre, que aumentaron anualmente en 100 euros cada una cada año durante los 5 primeros años y que se

mantuvieron constantes e iguales a la última paga extra del quinto año durante los últimos 10 años.

*Una herencia que le reportó 10.000 euros al principio del sexto año. (Sol: 95.553,45 € + 7.726,06 € + 3.638,79 € = 106.918,3 € ). C q j(2) i(2) i(12) i V01 1500 1,03 0,06 0,03 0,00493862 0,0609 477767,23 j'(12) i'(12) i'(2) i' C' d V02 0,06 0,005 0,03037751 0,061677812 500 100 38630,3228 C'' V03 0,2 V01 0,2 V02 0,2 V03 Total 10000 18193,9673 95553,4459 7726,064567 3638,79347 106918,304

2.21.- Una fábrica de mantecados desea estimar los beneficios que obtendrá durante los próximos 10 años. Se sabe que los gastos en concepto de salarios ascienden a 10.000 € mensuales postpagables, durante los meses de enero a agosto y de 30.000 € desde septiembre a diciembre debido al incremento de la producción. Se estima que los salarios aumentarán un 4,04 % anual acumulativo.

La materia prima se suministra al final de cada cuatrimestre, los costes ascienden a 50.000 € cada cuatrimestre durante el primer año, incrementándose estas cantidades cada año en 1000 € con respecto al mismo cuatrimestre del año anterior.

61/12 180/12 0 1/12 12/12 1.500 · 1,034 j(12) = 0,06 1.500 1.500 · 1,034 1.500 · 1,034 j(2) = 0,06 0 24/12 60/12 900 500 600 6/12 900 180/12

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(22)

Se estima que las ventas del primer año ascenderán a 20.000 € de enero a septiembre y a 80.000 € de octubre a diciembre, incrementándose estas cantidades un 3% anual

acumulativo. Calcular el valor actual de los beneficios de la fábrica si utilizamos un tanto de valoración del 4% nominal semestral.

(Sol: Salarios: 1.947.363,44 €; Materia prima: 1.333.141,43 €; Ventas: 3.906.100,94 € ; Beneficio: 625.596,07 €).

j(2) i(2) i(12) i(3) i C C'

0,04 0,02 0,00330589 0,013289279 0,0404 10000 30000

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1,0404 50000 1000 20000 80000 1,03 1947363,45

V02 V03 Beneficio

1333141,43 3906100,95 625596,067

2.22.- Un grupo de personas estudia la posibilidad de abrir una guardería. Hoy 1 de Enero pretende conocer el valor actual de los gastos de los próximos 5 años valorando a un 4 % capitalizable semestralmente. Calcular dicho valor actual si esos gastos son los siguientes: • Alquiler del local, 1.200 euros mensuales durante los 5 años.

• Coste del personal, 5.000 euros mensuales más dos pagas extras en junio y diciembre de 4.000 euros. Estos gastos se prevé que aumenten un 3 % anual acumulativo a causa del IPC previsto.

• Gastos de mantenimiento de 2.000 euros al final de los meses de mayo, junio y julio, aumentando estas cantidades en los años sucesivos en 300 euros respecto del mismo mes

120/12 0 1/12 12/12 30.000 · 1,04049 10.000 10.000 30.000 30.000 10.000 · 1,0404 6/3 0 1/3 4/3 50.000 51.000 59.000 120/12 0 1/12 12/12 80.000 · 1,039 20.000 20.000 80.000 80.000 20.000 · 1,03 10/12

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(23)

del año anterior. (Sol.: 426.384,98 euros)

j(2) i(2) i(12) i C V01 C'

0,04 0,02 0,00330589 0,0404 1200 65427,0739 5000

C'' q V02 C''' d V03 V0

4000 1,03 325901,977 2000 300 35055,9288 426384,98

2.23.- Un fabricante de juguetes desea estimar los beneficios que obtendrá durante los próximos 10 años. Se sabe que los gastos en concepto de salarios ascienden a 1.000 euros mensuales postpagables durante los meses de enero a agosto y de 33.000 euros de septiembre a diciembre debido al incremento de la producción. Estos salarios aumentarán un 3 % anual acumulativo. La materia prima se suministra al final que cada semestre y sus costes ascienden a 100.000 euros cada semestre el primer año, incrementándose estas cantidades cada año en 1.000 euros respecto al mismo semestre del año anterior.

Se estima que las ventas del primer año ascenderán a 21.000 euros de enero a septiembre 59/12 0 1/12 1.200 1.200 1.200 60/12 0 1/12 24/12 5.000 · 1,034 5.000 5.000 5.000 · 1,03 5.000 · 1,03 5.000 · 1,034 0 6/12 12/12 4.000 · 1,034 60/12 4.000 4.000 · 1,03 0 5/12 53/12 3.200 2.000 2.300 17/12

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(24)

y a 81.000 euros de octubre a diciembre, incrementándose estas cantidades en un 4,04 % anual acumulativo. Calcular con fecha 1 de enero dichos beneficios si utilizamos un tanto de valoración del 3,9801975 % nominal trimestral. (Sol.: 1.204.542,6 euros)

j(4) i(4) i(12) i(2) i C C'

0,03980198 0,00995049 0,00330589 0,02 0,0404 1000 33000

q C'' d C''' C'''' q' V01

1,03 100000 1000 21000 81000 1,0404 1294565,6

V02 V03 Beneficio

1703396,12 4202504,32 1204542,6

2.24.- Una ONG lleva 6 años percibiendo los siguientes ingresos y teniendo los siguientes gastos:

• De cada uno de los 4.000 socios recibió al final de cada mes una cuota de 20 euros durante el primer año, incrementándose esta cantidad en un 1 % anual acumulativo en los años sucesivos.

• Como subvención del Estado percibió al final de cada trimestre 5.000 euros durante el primer año, incrementándose estas cantidades en los años sucesivos en 200 euros trimestrales cada año.

• Gastos de propaganda al final de los meses de enero, febrero, mayo, junio, septiembre y octubre de 100 euros todos los años.

a) Calcular la cantidad acumulada por la ONG al finalizar el sexto año.

b) La ONG quiere subvencionar al final del sexto año un proyecto en un campo de

120/12 0 1/12 12/12 33.000 · 1,039 1.000 1.000 33.000 33.000 1.000 · 1,03 4/2 0 1/2 3/2 100.000 101.000 109.000 120/12 0 1/12 12/12 81.000 · 1,04049 21.000 21.000 81.000 81.000 21.000 · 1,0404

6

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V

V

Beneficios

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(25)

refugiados saharauis valorados en 7.500.000 euros. Para hacer frente a la cantidad que le falta decide pedir una cuota fija mensual durante el sexto año a cada socio.

¿Cuánto tendrá que abonar mensualmente cada socio de cuota extra?. Utilizar para la valoración un tanto de interés del 4 % anual efectivo. (Sol.: 6.783.694,64 euros, 14,66 euros)

i i(12) i(4) i(3) C q V61

0,04 0,00327374 0,00985341 0,013159404 80000 1,01 6640279,12 C' d V62 C'' V63 V6 Proyecto 5000 200 147480,993 100 4065,47557 6783694,63 7500000 Resto a 716305,366 14,6562336 716305,366 72/12 0 1/12 24/12 80.000 · 1,015 80.000 80.000 80.000 · 1,01 80.000 · 1,01 80.000 · 1,015 5/4 0 1/4 4/4 5.000 5.200 6.000 70/12 0 1/12 10/12 100 100 100 12/12 0 1/12 2/12 4.000 · a

66

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) 12 ( 12 6 2 6 2 6 1 6 6 ) 3 ( 18 2 ) 12 ( 2 3 6 6 ) 4 ( 4 6 ) 4 ( 4 ) 4 ( 4 ) 4 ( 4 2 6 6 6 ) 12 ( 12 1 6

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