Operaciones con transformaciones lineales Suma y Producto por un escalar Composición e Inversa Matriz asociada

Operaciones con transformaciones

lineales

Suma y Producto por un escalar

Composición e Inversa

transformaciones lineales

Dados V _y W _{e.v. sobre el cuerpo} K_{, se llama}

transformación lineal a toda función

T : V → W que verifique

Proposición

T : V → W

transformación lineal

⇓

T.L. inducida por una matriz

T.L. inducida por una matriz

V_, W _{e.v. tales que} dim V = _{n y} dim W = _m.

Entonces cualquier matriz A ∈ Mm_×n(K) define

T.L. inducida por una matriz

V_, W _{e.v. tales que} dim V = _{n y} dim W = _m.

Entonces cualquier matriz A ∈ Mm_×n(K) define

una T.L.:

T.L. inducida por una matriz

V_, W _{e.v. tales que} dim V = _{n y} dim W = _m.

Entonces cualquier matriz A ∈ Mm_×n(K) define

una T.L.:

Kn →A Km

T.L. inducida por una matriz

V_, W _{e.v. tales que} dim V = _{n y} dim W = _m.

Entonces cualquier matriz A ∈ Mm_×n(K) define

una T.L.:

Kn →A Km

coord−_A1 ↓ ↓ coord−_B1

Ejemplo

V = R₂[_x] W = R₃[_x] _{con las respectivas bases} canónicas A =        1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0        TA(ax2 + bx + c) =

Ejemplo

V = R₂[_x] W = R₃[_x] _{con las respectivas bases} canónicas A =        1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0        TA(ax2 + bx + c) = coord− 1 C A(a, b, c)

Ejemplo

V = R₂[_x] W = R₃[_x] _{con las respectivas bases} canónicas A =        1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0        TA(ax2 + bx + c) = coord− 1 C A(a, b, c) = coord−1(a + c, b, a + c, b)

Ejemplo

V = R₂[_x] W = R₃[_x] _{con las respectivas bases} canónicas A =        1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0        TA(ax2 + bx + c) = coord− 1 C A(a, b, c) = coord−_C 1(a + c, b, a + c, b) = (a ₊ c₎x3 ₊ bx2 _{+ (}a ₊ c₎x ₊ b

Matriz asociada - definición

Matriz asociada - definición

V _→T W

Matriz asociada - definición

V _→T W

Kn →A Km hay una transformación lineal A

Matriz asociada - definición

V _→T W

↓ ↓

Kn →A Km

-Matriz asociada - definición

V →T W

coord_A ↓ ↓ coord_B

Kn →A Km

Matriz asociada - definición

V →T W

coord_A ↓ ↓ coord_B

Kn →A Km

se llama matriz asociada a T en las bases A y B

y se simboliza:

Ejemplo 1

Consideremos la función derivada:

d _: R₂[_x] → R₁[_x]

con las respectivas bases canónicas

¿cuál es la matriz asociada a d en las bases canónicas?

Ejemplo 2

Fijemos un vector Y ∈ R3_{, y consideremos la T.L.}

TY : R3 → R

X 7→ X · Y

¿cuál es la matriz asociada a TY en las

Matriz cambio de base

Un caso especial de matriz asociada es cuando tenemos

IV : V → V

v _7→ v

Matriz cambio de base

Un caso especial de matriz asociada es cuando tenemos

IV : V → V

v _7→ v

baseA baseB

en ese caso, la matriz asociada

B(IV)_A

Matriz cambio de base

Un caso especial de matriz asociada es cuando tenemos

IV : V → V

v _7→ v

baseA baseB

en ese caso, la matriz asociada

B(IV)_A

Ejemplo

Si en R3 _{consideramos la base:}

B = {(1, 1, 1); (1, 1, 0); (1, 0, 0)}

la matriz cambio de base es :

Ejemplo

Si en R3 _{consideramos la base:}

B = {(1, 1, 1); (1, 1, 0); (1, 0, 0)}

la matriz cambio de base es :

C(IR3)_B =    1 1 1 1 1 0 1 0 0   

Definición

V_, W _{e.v. sobre} K _y

S, T _: V → W transformaciones lineales

Definición

Definición

Proposiciones

S, T _: V → W transformaciones lineales.

Entonces:

Proposiciones

S, T _: V → W transformaciones lineales.

Entonces:

I S + T es una transformación lineal

Proposición

Sean U_, V_, W _{e.v. sobre} K

Proposición

Sean U_, V_, W _{e.v. sobre} K

Proposición

Sean U_, V_, W _{e.v. sobre} K

S : U → V _T.L.

T _: V → W _T.L.

Proposición

Sean U_, V_, W _{e.v. sobre} K

S : U → V _T.L.

T _: V → W _T.L.

)

Proposición

V_, W _{e.v. sobre} K _{(dimensión finita) y}

S, T _{: (}V_, A) → (W_, B) transformaciones lineales.

Entonces:

Proposición

V_, W _{e.v. sobre} K _{(dimensión finita) y}

S, T _{: (}V_, A) → (W_, B) transformaciones lineales.

Entonces:

I _B(S + T )_A =_B (S)_A +_B (T )_A

Proposición

V_, W _{e.v. sobre} K _{(dimensión finita) y}

S, T _{: (}V_, A) → (W_, B) transformaciones lineales.

Entonces:

I _B(S + T )_A =_B (S)_A +_B (T )_A

Proposición

Sean U_, V_, W _{e.v. sobre} K _{con bases}

A, _B y _C respectivamente

Proposición

Sean U_, V_, W _{e.v. sobre} K _{con bases}

A, _B y _C respectivamente

Proposición

Sean U_, V_, W _{e.v. sobre} K _{con bases}

A, _B y _C respectivamente

S : U → V _T.L.

T _: V → W _T.L.

Proposición

Sean U_, V_, W _{e.v. sobre} K _{con bases}

A, _B y _C respectivamente

S : U → V _T.L.

T _: V → W _T.L.

)

Proposición

Sean U_, V_, W _{e.v. sobre} K _{con bases}

A, _B y _C respectivamente

S : U → V _T.L.

T _: V → W _T.L.

)

Proposición

Proposición

A y _B bases finitas de V _{e.v., entonces}

Proposición

A y _B bases finitas de V _{e.v., entonces}

A(IV)_{B B}(IV)_A = I

Es decir

A(IV)B = [A(IV)B]−