Reflexiones de Householder

Reflexiones de Householder

Objetivos. Definir la transformaci´on de Householder (reflector de Householder) y estu- diar sus propiedades b´asicas.

Requisitos. Proyecci´on ortogonal sobre una recta, matrices ortogonales.

Definici´ on y propiedades elementales

En este tema suponemos que a ∈ Rⁿ\ {0}.

1. Recuerde la definici´on geom´etrica de la proyecci´on ortogonal sobre el subespacio gene- rado por el vector a. Escriba la matriz P_ade este operador lineal. Repase la demostraci´on de las propiedades

P_a² = P_a, P_a^> = P_a.

2. Explique la definici´on geom´etrica del reflector de Householder H_a. Muestre que H_a se expresa a trav´es de P_a de la siguiente manera:

H_a= I − 2P_a. 3. Muestre que

H_a(v) = v − 2a^>v a^>a a.

4. Muestre que H_v tiene la siguiente representaci´on matricial:

H_a = I − 2 a^>aaa^>.

5. Propiedades de la matriz del reflector de Householder.

es sim´etrica: H_a^> = H_a. es una involuci´on: H_a² = I_n. es ortogonal: H_a^>H_a = I_n.

6. Sean a ∈ Rⁿ\ {0} y λ ∈ R \ {0}. Muestre que H_λa= H_a.

7. Imagen y n´ucleo del reflector de Householder (tarea adicional). Calcule im(H_a) y ker(H_a).

8. Valores y vectores propios del reflector de Householder (tarea adicional).

Calcule el espectro de Ha. Explique c´omo construir una base ortonormal de Rⁿde vectores propios de H_a.

9. Sean u, w ∈ Rⁿ tales que kuk = kwk = 1. Construya un vector a tal que P_au = v.

Reflexiones de Householder, p´agina 1 de 2

C´ alculo de la transformaci´ on de Householder

que convierte un vector dado en un m´ ultiplo del vector e

10. Hacia el enunciado del problema. Sea x ∈ Rⁿ. Vamos a construir un vector a ∈ Rⁿ tal que H_ax sea un m´ultiplo de e₁:

H_ax = µe₁.

Como la transformaci´on H_a es ortogonal, kxk = kH_axk = |µ|. Tenemos dos opciones para µ. Vamos a considerar el problema con µ = kxk.

Recordemos que H_a no se cambia al multiplicar a por un n´umero no nulo (v´ease el Ejercicio 6). Por eso vamos a pedir que a₁ = 1.

11. C´alculo de la transformaci´on de Householder que anula la cola de un vector dado. Sea x ∈ Rⁿ tal que x /∈ `(e₁). Construir a ∈ Rⁿ tal que a₁ = 1 y H_ax = kxke₁. Soluci´on. Queremos que se cumpla la igualdad

x − 2P_a(x) = kxke₁. (1)

Recordemos que Pa(x) es un m´ultiplo de a:

P_a(x) = µa. (2)

Como x /∈ `(e₁), el n´umero µ y el vector a deben ser no nulos. De (1) y (2) se sigue que a = 1

2µ(x − kxke₁).

Falta calcular µ. La primera componente del vector a₁ es a1 = 1

2µ(x − kxke1)1 = 1

2µ(x1− kxk).

Por otro lado a1 = 1. De aqu´ı

µ = x₁− kxk 2 y

a = 1

kxk − x₁ (kxke₁− x).

12. Observaci´on. Si x₁ > 0, entonces es mejor calcular _kxk−x¹

1 de la siguiente manera:

1

kxk − x₁ = kxk + x₁

kxk²− x²₁ = kxk + x₁

σ ,

donde

σ =

n

X

j=2

x²_j = x(2 : n)^>x(2 : n).

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