Probabilidad y Estad´ıstica
Pr´ actica 5: Variables Aleatorias y Funciones de Distribuci´ on
Ejercicio 1. Sea X una variable aleatoria definida sobre un espacio de probabilidad (Ω, A, P ), donde A es una σ-´algebra . Probar que la funci´on de distribuci´on F
Xde X satisface:
a) l´ım
r→+∞F
X(r) = 1.
b) F
Xes continua por derecha.
Ejercicio 2. Suponga que un experimento consiste en tirar 3 monedas. Si Y denota el n´ umero de caras que aparecen entonces Y es una variable aleatoria que toma los valores r = 0, 1, 2, 3.
Calcular las probabilidades respectivas.
Ejercicio 3. Tres bolas son aleatoriamente seleccionadas sin reponerlas de una urna que con- tiene 20 bolas numeradas de 1 a 20. Si apostamos que al menos una de las bolas elegidas tiene un n´ umero mayor o igual que 17, ¿cu´al es la probabilidad de ganar la apuesta?
Ejercicio 4. Se arrojan dos dados. Sea X igual al producto de los n´ umeros que aparecen.
Calcular P ([X = i]) para i = 1, 2, 3, . . .
Ejercicio 5. Se arrojan 3 dados. Suponemos que los 6
3= 216 resultados posibles son igualmente probables. Encontrar las probabilidades asociadas a los valores posibles de X, siendo X la suma de las 3 caras.
Ejercicio 6. Si la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria X es la siguiente:
F
X(r) =
0 si r < 0,
r
12
si 0 ≤ r < 1,
2
3
si 1 ≤ r < 2,
11
12
si 2 ≤ r < 3, 1 si r ≥ 3.
a) Verificar que F
Xes funci´on de distribuci´on.
b) Graficarla.
Ejercicio 7. Si la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria X es la siguiente:
F
X(r) =
0 si r < 0,
r
2
si 0 ≤ r < 1,
1
2
si 1 ≤ r < 3,
r−2
2
si 3 ≤ r < 4, 1 si r ≥ 4.
a) Verificar que F
Xes funci´on de distribuci´on.
b) Graficarla.
Ejercicio 8. Si la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria X es la siguiente:
1
F
X(r) =
0 si r < 0,
r
2
si 0 ≤ r < 1,
2
3
si 1 ≤ r < 2,
11
12