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Probabilidad y Estad´ıstica Pr´actica 5: Variables Aleatorias y Funciones de Distribuci´on Ejercicio 1.

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Academic year: 2021

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(1)

Probabilidad y Estad´ıstica

Pr´ actica 5: Variables Aleatorias y Funciones de Distribuci´ on

Ejercicio 1. Sea X una variable aleatoria definida sobre un espacio de probabilidad (Ω, A, P ), donde A es una σ-´algebra . Probar que la funci´on de distribuci´on F

X

de X satisface:

a) l´ım

r→+∞

F

X

(r) = 1.

b) F

X

es continua por derecha.

Ejercicio 2. Suponga que un experimento consiste en tirar 3 monedas. Si Y denota el n´ umero de caras que aparecen entonces Y es una variable aleatoria que toma los valores r = 0, 1, 2, 3.

Calcular las probabilidades respectivas.

Ejercicio 3. Tres bolas son aleatoriamente seleccionadas sin reponerlas de una urna que con- tiene 20 bolas numeradas de 1 a 20. Si apostamos que al menos una de las bolas elegidas tiene un n´ umero mayor o igual que 17, ¿cu´al es la probabilidad de ganar la apuesta?

Ejercicio 4. Se arrojan dos dados. Sea X igual al producto de los n´ umeros que aparecen.

Calcular P ([X = i]) para i = 1, 2, 3, . . .

Ejercicio 5. Se arrojan 3 dados. Suponemos que los 6

3

= 216 resultados posibles son igualmente probables. Encontrar las probabilidades asociadas a los valores posibles de X, siendo X la suma de las 3 caras.

Ejercicio 6. Si la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria X es la siguiente:

F

X

(r) =

 

 

 

 

 

 

0 si r < 0,

r

12

si 0 ≤ r < 1,

2

3

si 1 ≤ r < 2,

11

12

si 2 ≤ r < 3, 1 si r ≥ 3.

a) Verificar que F

X

es funci´on de distribuci´on.

b) Graficarla.

Ejercicio 7. Si la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria X es la siguiente:

F

X

(r) =

 

 

 

 

 

 

0 si r < 0,

r

2

si 0 ≤ r < 1,

1

2

si 1 ≤ r < 3,

r−2

2

si 3 ≤ r < 4, 1 si r ≥ 4.

a) Verificar que F

X

es funci´on de distribuci´on.

b) Graficarla.

Ejercicio 8. Si la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria X es la siguiente:

1

(2)

F

X

(r) =

 

 

 

 

 

 

0 si r < 0,

r

2

si 0 ≤ r < 1,

2

3

si 1 ≤ r < 2,

11

12

si 2 ≤ r < 3, 1 si r ≥ 3.

Calcular:

a) P ([X < 3]), b) P ([X = 1]), c) P ([X >

12

]), d) P ([2 < X ≤ 4]).

Ejercicio 9. Si la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria X es la siguiente:

F

X

(r) =

 

 

 

 

0 si r < −

12

, r +

14

si −

12

≤ r <

12

,

0, 9 si

12

≤ r < 2, 1 si r ≥ 2.

Calcular:

a) P ([X < 2]), b) P ([X ≥

12

]), c) P ([

12

< X < 3]),

Ejercicio 10. Considere la siguiente funci´on:

X

i

0 1 2 3 4

f

X

0,4 0,1 0,3 0,1 0,1 a) Comprobar que es funci´on de densidad discreta.

b) Hallar la funci´on de distribuci´on de X.

Ejercicio 11. Dada la siguiente funci´on de densidad discreta:

X

i

0 1 2 3 4

f

X

0,1 0,3 0,2 0,2 0,2 a) Encontrar la funci´on de distribuci´on F

X

.

b) Calcular:

(i) P ([0 ≤ X < 3]), (ii) P ([1 < X < 5]), (iii) P ([2 ≤ X < 3]).

2

(3)

Ejercicio 12. Si la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria discreta X es la siguiente:

F

X

(r) =

 

 

 

 

0 si r < −

12

, 0, 3 si −

12

≤ r < 1, 0, 4 si 1 ≤ r < 2,

1 si r ≥ 2.

a) Hallar la funci´on de densidad de X.

b) Calcular:

(i) P ([X <

23

]), (ii) P ([1 < X ≤ 2]), (iii) P ([X ≥

13

]).

c) Graficar F

X

y f

X

.

3

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