Probabilidad y Estadística M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
Noviembre 2009 19
Fundamentos de la teoría de la probabilidad
M. en A. Víctor D. Pinilla Morán Facultad de Ingeniería, UNAM
Resumen
Fenómenos determinista y aleatorio. Fenómenos aleatorios discretos y continuos. Espacio muestral de un fenómeno aleatorio. Puntos o eventos elementales de un espacio muestral. Eventos, Eventos discretos y continuos. Eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.
El concepto de probabilidad a través de diferentes escuelas: clásica, frecuentista y subjetiva.
Definición axiomática de probabilidad. Teoremas derivados de la definición axiomática.
Probabilidad condicional. Eventos independientes. Probabilidad total.
Teorema de Bayes.
2.1 Experimentos deterministas y aleatorios.
Espacio muestral de un experimento aleatorio.
Eventos. Eventos discretos y continuos.
Eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.
Fenómeno. Un fenómeno es considerado como un sinónimo de un experimento y se define como toda aquella acción que se realiza con el fin de observar el resultado.
Por su naturaleza pueden clasificarse de varias formas:
Por la capacidad de predecir el resultado:
Determinísticos. Es aquel fenómeno cuyo resultado se puede predecir con certeza.
Aleatorios. Es aquel fenómeno en el cual no se puede predecir con certeza el resultado.
Por la capacidad de enumerar los resultados:
Continuos. Se considera a un fenómeno
como continuo cuando el número posible
de observaciones o resultados no es un
conjunto medible, es decir, los resultados
pueden tomar cualquier valor.
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Discretos. Se considera un fenómeno como discreto cuando el número posible de observaciones o resultados es un conjunto, en el cual se puede determinar con certeza su tamaño, es decir, los resultados toman valores establecidos.
Espacio muestral. Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento;
constituye el conjunto universal de todas las observaciones. Se suele denotar por la letra S.
En general, un evento es un fenómeno aleatorio, es decir, aquel cuyo resultado depende del azar.
En la práctica, si bien un evento puede denotar un conjunto total de resultados de experimentos, para cual se utiliza la notación de conjuntos denominándolo por una letra mayúscula, en ocasiones denota también un sólo resultado de un fenómeno o experimento, es decir, un elemento de un conjunto.
Evento: Algo que ocurre al azar.
Acto: Algo que ocurre con la intervención humana.
Hecho: Algo que ocurre al azar con la intención humana.
Evento Elemental. Un evento elemental o simple es aquel cuyo espacio muestral está compuesto por un sólo elemento.
Evento Compuesto. Es aquel que en dos o más cantidades compone un espacio muestral.
Evento Continuo. Es aquel cuyo resultado que puede tomar cualquier valor.
Evento Discreto. Es aquel cuyo resultado sólo puede tomar determinados valores.
Eventos mutuamente excluyentes. Si se tienen dos eventos A y B, los eventos mutuamente excluyentes son aquellos en donde la ocurrencia de uno implica que el otro no puede ocurrir.
Eventos colectivamente exhaustivos. Son aquellos cuya unión conforma totalmente el espacio muestral.
Donde: A ∪ B ∪ C ... Z = S A E D U B G F C
Proceso de conversión analógica – digital en donde se observan las diferencias entre una señal continua (analógica) y una señal discreta (digital binaria)
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2.2 El concepto de probabilidad a través de diferentes escuelas: la clásica, la frecuentista y la subjetivista, mediante el cual se asignan probabilidades a los eventos. Cálculo de probabilidades utilizando combinaciones y permutaciones.
La Probabilidad resulta de la inquietud del hombre por buscar una solución a sucesos cuyo resultado depende en mayor o menor medida del azar. Nace con la simple inquietud de establecer una regla para dominar los juegos de azar, de buscar la fórmula mágica para conocer de antemano el resultado de dichos experimentos.
La probabilidad basa sus fundamentos matemáticos en tres interpretaciones: la clásica, la frecuentista y la subjetiva. Las tres interpretaciones partes de un grupo de axiomas de los cuales se desprende una serie de análisis y herramientas que permiten establecer patrones de comportamiento de determinados experimentos.
Enfoque clásico
Este enfoque está basado en el principio de la razón insuficiente. El principio de la razón insuficiente, o principio de indiferencia, fue utilizado por el matemático Jacobo Bernoulli (1645 – 1705) para definir probabilidades. Este principio señala que cuando no hay fundamentos para preferir uno de los posibles resultados o sucesos a cualquier otro, todos deben considerarse que tienen la misma probabilidad de ocurrir.
Si en el caso del lanzamiento de un dado, se considera que cualquier cara tiene las mismas probabilidades de aparecer, dado que no hay elementos que indiquen lo contrario, a menos que se aclarara que se utilizará un dado cargado.
El matemático francés P. S. Laplace (1749 – 1827) estableció este principio en su libro A Philosophical Essay on Probabilities de esta manera: “La teoría de la probabilidad consiste en reducir todos los elementos de la misma clase a un cierto número de casos igualmente posibles, es decir, nosotros debemos estar igualmente
indecisos ante su existencia y para determinar la cantidad de casos favorables para el suceso que cuya probabilidad se busca. La relación de este número con el de todos los casos posibles, es la medida de la probabilidad, que es, por tanto, sencillamente una fracción cuyo denominador es el número de todos los casos posibles”.
Este principio de la razón insuficiente tiene varias características, una de las cuales es que supone una simetría entre los sucesos. Así se habla de un dado no cargado, de una moneda no cargada, de una baraja de cartas sin trucos, etc.
La otra es que se basa en razonamientos abstractos y no depende de la experiencia.
La hipótesis de la simetría reduce el campo de aplicación de este principio, ya que, como se advertirá más adelante, muchos experimentos no poseen simetría. Por otra parte, puesto que los cálculos de la probabilidad no dependen de la experiencia, esto permite calcular las probabilidades sin realizar una gran serie de ensayos. Este tipo de experimentos se denominan algunas veces a priori.
Enfoque frecuentista
En su libro Foundations of the theory of probality (1933), el matemático ruso A.N.
Kolmogorow explica este enfoque en relación con los experimentos de lanzar una moneda al aire. Existen dos posibles resultados, E
1(águila) y E
2(sol); Kolmogorow se dio a la tarea de repetir el experimento 200 veces y tabular los resultados. A partir de la ordenación de los mismos, obtuvo las frecuencias relativas de los resultados, dividiendo el número de águilas entre el total de resultados, concluyendo que las fluctuaciones de las frecuencias relativas varían considerablemente cuando n (número de experimentos) es pequeña, pero cuando n es grande , la amplitud de las fluctuaciones disminuye. Este fenómeno se expresa diciendo:
La frecuencia relativa resulta estable o la
frecuencia relativa presenta regularidad
estadística conforme n crece.
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Con esto podemos suponer (formar una opinión o juicio con evidencia insuficiente) que cuando el experimento E
ise repite una gran cantidad de veces, la frecuencia relativa de un experimento podría ser prácticamente igual a un valor P, con un elevado grado de certeza.
Siguiendo este tipo de razonamiento se construye un modelo matemático ideal y abstracto de este experimento que se postula como sigue: dado un experimento E y un evento A, podemos asignar un número P al evento A, el cual se denomina probabilidad del evento A. Ese número P tiene las siguientes características: Cuando el experimento E se repite una gran cantidad de veces (n) y el experimento sucede m veces, la frecuencia relativa m/n será prácticamente igual a ese número P.
El número P, que se llama probabilidad del evento A, se denota por P(A).
La P(A) cumple con ciertos preceptos: Primero, m ≤ n; es decir, el número de casos que aparece m es igual o menor al número de veces n que aparece el experimento. Es decir, la frecuencia relativa es igual o menor a la unidad.
≤ 1 n m
Segundo, si no se presenta la ocurrencia de un águila, entonces m = 0 y
= 0 n m
por lo tanto:
1 0 ≤ ≤
n m
lo que equivale a:
1 ) ( 0 ≤ P A ≤
Puede percibirse que el hecho de que P(A) = 0 no asegura que el evento A sea imposible. De la misma forma, P(A) = 1 no asegura la ocurrencia cierta del evento A.
Este enfoque posee cuatro características:
1. Supone una gran cantidad de ensayos.
2. Supone la regularidad estadística.
3. La P(A) se estima por la frecuencia relativa de A.
4. Está basada en la experiencia.
Este enfoque es el principio en el cual se fundamentas los estudios probabilísticos desarrollados en los años cincuenta, principalmente en Inglaterra y los Estados Unidos. No obstante, este enfoque presenta limitaciones, particularmente en lo que a sus valores extremos se refiere, frente a la necesidad de evaluar experimentos que no se producen realmente o no se pueden repetir.
Una corrección a este enfoque, citado en la literatura como segundo enfoque frecuentista, define a la probabilidad como el límite de m/n cuando n tiende a infinito:
n Lim m A
P ( ) =
n→∞Obsérvese que en el primer enfoque se dice sólo que P(A) y m/n son prácticamente iguales cuando n es grande, mientras que en el segundo enfoque se dice que P(A) es el límite de m/n cuando n tiende a infinito.
En el primer punto de vista se da un número
P(A) para el evento A y se le llama probabilidad
de A. En el segundo P(A) es el límite de un
proceso.
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Enfoque subjetivo
Formulado por L.J. Savage (1954) establece:
“Un punto de vista personalista sostiene que la probabilidad mide la confianza que tiene un individuo determinado en la verdad de una proposición particular”.
Este punto de vista permite interpretar a las probabilidades como ponderaciones atribuidas conforme la confianza personal) o subjetiva) en el resultado de un experimento. Este enfoque se aplica a experimentos que todavía no ocurren o que lo hacen una sola vez y no requiere un experimento con gran cantidad de ensayos ni la hipótesis de regularidad estadística.
El primer enfoque frecuentista se puede interpretar con base en el enfoque subjetivista. El primer enfoque frecuentista asigna un número P(A) a la ocurrencia del evento A, que proviene de la frecuencia relativa m/n del evento A (cuando el experimento se realiza un número grande de veces). En el enfoque subjetivo, P(A) es la medida de la confianza que una persona razonable asigna a la ocurrencia del evento A. En ambos casos, la frecuencia relativa y la asignación con base en la confianza de ocurrencia, dependen de la experiencia.
Eventos colectivamente exhaustivos. Son aquellos cuya unión conforma totalmente el espacio muestral.
Donde: A ∪ B ∪ C ... Z = S
Teoría del Conteo. También conocida como análisis combinatorio; permite determinar el número posible de resultados lógicos que cabe esperar al realizar algún experimento o evento sin necesidad de enumerarlos todos.
El análisis combinatorio contempla varios casos:
Principio fundamental del Conteo. Aunque algunos autores consideran que el Principio Fundamental del Conteo se compone únicamente de la Regla del Producto, es un hecho que dicha regla, junto con la Regla de la Suma conforman los elementos fundamentales que permites definir a cualquiera de los casos que conforman a la Teoría del Conteo.
Regla de la suma. Si un evento puede ocurrir de m formas distintas y otro puede ocurrir de n formas distintas, existen entonces m+n distintas formas en las que uno de esos dos eventos puede ocurrir.
Regla del producto. Si un evento puede ocurrir de m formas diferentes y otro puede ocurrir de n formas distintas, existen entonces mxn distintas formas en las que los dos eventos pueden ocurrir.
Ejemplo. Se dispone de una urna que contiene esferas grabadas con alguna letra de acuerdo a lo siguiente:
A = { a, b, c, d, e} B = { α,β,γ } A E
D U
B G F
C
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Primer experimento: de cuántas formas se puede seleccionar una sola esfera, sin importar el alfabeto al que pertenezca la letra grabada en ella.
La respuesta es: se puede seleccionar una esfera con una letra latina o una con una letra griega.
1° Experimento = ⎨ selecciona una esfera ⎬ → 5+3 =8
Segundo experimento: de cuántas formas se puede seleccionar dos esferas simultáneamente si cada una de ellas debe tener letras de alfabetos diferentes.
2° Experimento = ⎨ selecciona dos esferas ⎬ → 5X3 = 15
Puede percibirse que en el primer experimento no hay relación alguna entre los alfabetos, ya que no importa a cual de ellos pertenece la letra grabada en la esfera; es decir, no hay dependencia entre el evento A y B.
Por otra parte, en el segundo experimento sí hay una relación directa entre los posibles resultados, ya que deben ser las letras de cada una de las dos esferas de alfabetos diferentes.
En el experimento uno, hay independencia entre los eventos. En el segundo, los eventos son dependientes. Asociando estas definiciones a la lógica matemática:
Corolario:
1) Cuando se trata de eventos independientes se aplica la regla de la suma.
2) Cuando se trata de eventos dependientes se aplica la regla del producto.
Ejemplo. Para ir de CU a la Villa se dispone de 5 camiones. ¿De cuantas maneras diferentes puede ir una persona de CU a la Villa y regresar a CU en camiones diferentes?
1° viaje → CU a la Villa = 5 camiones
2° viaje → La Villa a CU = 4 camiones porque se utiliza uno menos
El 1° y 2° viajes son eventos dependientes, por lo que
5X4 = 120 formas diferentes
Ejemplo. En un librero se tienen 22 libros, de los cuales 5 están en inglés, 7 en alemán y 10 en francés.
a) ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 2 libros que están escritos en idiomas diferentes?
Los posibles resultados son extraer parejas de libros en:
Inglés y Alemán, ó Inglés y Francés, ó Alemán y Francés.
Aritmética Lógica
Matemática Álgebra de Conjuntos +
SUMA “o”
CONJUNCIÓN ∪
UNIÓN
X
PRODUCTO “y”
DISYUNCIÓN ∩
INTERSECCIÓN
A
C B
D
E Α
Β
Γ
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Lo cual matemáticamente es:
(5)(7) + (5)(10) + (7)(10) = 155 formas diferentes b) ¿ De cuántas maneras se pueden seleccionar 2 libros sin importar el idioma en que están escritos?
1° libro Î 22 opciones 2° libro Î 21 opciones
∴ (22)(21) = 462 formas diferentes.
Ejemplo. Para ir del punto A al punto B existen 3 caminos y para ir del punto B al C hay dos caminos.
a) ¿De cuántas maneras diferentes se puede viajar de A a C pasando por B?
A → B = 3
B → C = 2 2X3 = 6 formas
b) De cuantas maneras diferentes se puede ir de A a C pasando por B y regresar a B?
A → C = 6
C → B = 2 6 X 2 = 12 formas
c) ¿De cuántas maneras diferentes se puede hacer un viaje redondo de A a C a A si no se permite usar cada camino más que una vez?
A → B = 3 B → C = 2
C → B = 1
B → A = 2 3X2X1X2 = 12 formas
Ejemplo. ¿De cuántas maneras se pueden hacer viajes redondos que inicien en A y regresen al mismo punto, teniendo en cuenta que los tramos sólo pueden ser recorridos en el sentido indicado en la figura?
A → B = 2 B → C = 1 C → B = 1
B → A = 2 2X1X1X2 = 4
Ejemplo. Cuántos números diferentes mayores de 246 se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4, si no se permite repetir dígitos en un mismo número formado?
Números de 3 cifras.
> 246
2op. 3op 2op ⇒ (2)(3)(2) = 12
Números de 4 cifras.
> 246
4op 3op 2op 1op ⇒ (4)(3)(2)(1) = 24
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Si ahora se pretende la repetición en la formación del número mayor que 246, ¿De cuántas maneras se pueden formar de 3 y 4 dígitos?
a) De tres dígitos.
> 246
2op 4op 4op ⇒ (2)(4)(4) = 32 De cuatro digitos.
> 246
4op 4op 4op 4op ⇒ (4)(4)(4)(4) = 256 Ordenaciones sin repetición. Se entiende por ordenaciones de n objetos tomando r de ellos a la vez, sin repetirlos, a los diferentes grupos que se pueden formar al seleccionar r de los n objetos guardando cierto orden.
Conjunto A = { a, b, c } n = 3
• Ordenaciones tomando 1 elemento (r = 1) a b c
. . . Tres formas
• Ordenaciones tomando 2 elementos (r = 2) ab ac ba
bc ca cb
. . . Seis formas
• Ordenaciones tomando 3 elementos (r = 3) abc acb bac
bca cab cac
. . . Seis formas
Se les conoce como ordenaciones porque al existir un orden al formar los diferentes arreglos, son ordenaciones diferentes ab y ba o abc y bac.
El número de formas en que se pueden ordenar r de n objetos equivale a colocarlos en r localidades. Existen n formas de llenar la primera localidad, n-1 formas de llenar la 2
ª, y así sucesivamente, existirán n-r+1 formas de llenar la r-ésima localidad.
n n-1 n-2 n-r+1
1 2 3 ……… r r > 0 n ≥ r A partir de la regla del producto:
( ) ( n , r = n n − 1 )( n − 2 )( n − 3 ) ( ... n − r + 1 )
O
Por otra parte:
( )( , )( 1 ) ( )( )( ) ... 3 2 1
! = O n r n − r n − r − n
( n − r ) ( ! = n − r )( n − r − 1 ) ( )( )( ) ... 3 2 1 ( )( , ) !
! O n r n r
n = −
( ) ( ) ! , !
r n r n n
O = −
Del ejemplo anterior:
Arreglos de una letra r = 1
( ) ( ) 3 1 ! 3
! 1 3
,
3 =
= − O
Arreglos de dos letras r = 2
( ) ( ) 3 2 ! 6
! 2 3
,
3 =
= −
O
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Arreglos de tres letras r = 3
( ) ( ) 3 3 ! 6
! 2 3
,
3 =
= − O
Para este tipo de arreglos se cumple r < n
Ejemplo. Calcular el número de arreglos diferentes de 4 letras que se pueden formar con las letras de la palabra Volkswagen si en los arreglos no se permite tener letras repetidas.
10 Letras n = 10 r = 4
! 5040 6
! 6
* 7
* 8
* 9
* 10 )!
4 10 (
! ) 10 4 , 10
( = =
= − O
arreglos
Ejemplo. Se dispone de los dígitos 2,3,5,6,7,9
a) ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar?
)! 120 3 6 (
! ) 6 3 , 6
( =
= −
O números.
b) ¿Cuántos son pares?
2
Para el dígito menos significativo (par) 6
5 posibilidades para el resto
Total = (2)(20) = 40 números pares
¿Cuántos son impares?
3,5
7,9
O(5,2) = 20
Total = ( 4 )( 20 )= 80 números impares.
d) ¿Cuántos múltiplos de 5?
5
Total = ( 1 )( 20 ) = 20 números múltiplo de 5.
Ordenaciones con repetición. Son aquellas ordenaciones en las cuales pueden repetirse los objetos que la forman.
Conjunto A = { a, b, c } n = 3 Tomando 1 letra : a b c
. . tres arreglos Tomando 2 letras: aa ab ac
ba bb bc ca cb cc
. . . nueve arreglos
Tomando 3 letras: aaa aab aac
aba abb abc
aca acb acc
)! 2 1 2 (
! ) 2 1 , 2
( =
= − O
)! 20 2 5 (
! ) 5 2 , 5
( =
= − O
)! 4 1 4 (
! ) 4 1 , 4
( =
= − O
)! 1 1 1 (
! ) 1 1 , 1
( =
= − O
)! 20 2 5 (
! ) 5 2 , 5
( =
= −
O
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baa bab bac
bba bbb bbc
bca bcb bcc
caa cab cac
cba cbb cbc
cca ccb ccc
. . . 27 arreglos
Si consideramos que tenemos r lugares disponibles para colocar n objetos, los cuales se pueden repetir, existen n formas para la primera posición, n para la segunda, n para la tercera y así consecutivamente.
1 2 3 r Por la regla del producto:
OR(n,r) = n*n*n*n*n*………n = n
r( ) n r n
rOR , = En este caso, r ≥ n.
Ejemplo. Para controlar a los vehículos de la República Mexicana se tiene una placa de identificación que consiste de 3 letras y tres números con este sistema. ¿Cuántos vehículos se pueden controlar como máximo?
Total Letras = 26 Total Dígitos = 10 OR (26,3) = 17,576 OR(10,3) = 1,000 Total de vehículos = (17,576)(1000)
= 17,576,000
Para el DF, la placa se forma con el número primero y las letras después de estas últimas la primera sólo puede ser a,b,c,d
OR (26,2) = 676 OR (10,3) = 1000 Total de vehículos = (676)(1000)(4)= 2,704,000
Ejemplo. Se tienen 20 banderas de las cuales 5 son blancas, 5 son rojas, 5 negras y 5 azules.
Calcular el número de señales diferentes que se pueden formar al colocar 5 banderas simultáneamente en un asta bandera.
Colores = 4 n = 4 Posiciones = 5 Total de señales = OR(4,5) = 4
5=1024
Ejemplo. Cuántos lenguajes se pueden formar con el punto y la raya del alfabeto morse, si en cada uno de ellos se puede utilizar hasta 4 elementos.
N = 2 (dos signos)
Lenguaje 1 signo OR ( 2,1 ) = 2 Lenguaje 2 signo OR ( 2,2 ) = 4 Lenguaje 3 signo OR ( 2,3 ) = 8 Lenguaje 4 signo OR ( 2,4 ) = 16
Total = 30 lenguajes
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Permutaciones. Son las ordenaciones de esos mismos n objetos tomados todos a la vez.
En este caso: r = n
P
n= O(n,n) = n!
Ejemplo. Si se tienen 3 letras = a b c ; ¿Cuantas ordenaciones de tres letras se pueden hacer?
abc, acb, cba, cab, bac, bca = 6 formas P
3= 3! = 6
Ejemplo. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 10 libros, si 4 de ellos deben estar siempre juntas?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dado que cuatro de ellos deben permanecer juntos, en realidad existen siete libros permutables.
P
7= 7! = 5040
Por otra parte, los cuatro libros que deben permanecer juntos también son permutables.
P
4= 4! = 24
Total de arreglos = 5040X24 = 120,960
Si ahora se desea que el grupo de 4 libros esté siempre en el mismo lugar, de cuantas maneras se pueden colocar.
P
6= 6! = 720 (seis libro permutables) P
4= 4! = 24
Total de arreglos = 720 * 24 = 17,280
Permutaciones con repetición. Son las ordenaciones con repetición cuando se toman los n elementos a la vez, es decir, cuando r = n.
( )
nn
OR n n n
PR = , = Conjunto A = { a, b, c } n = 3
aaa aab aac
aba abb abc
aca acb acc
baa bab bac
bba bbb bbc
bca bcb bcc
caa cab cac
cba cbb cbc
cca ccb ccc
. . . 27 arreglos
Permutaciones con grupos de elementos repetidos. A partir del siguiente ejemplo:
Conjunto A = { a, b, c } n = 3 Las seis permutaciones son:
abc, acb, cba, cab, bac, bca Ahora, si en el conjunto A se hace el cambio de un elemento:
Conjunto A = { a, b, a } n = 3 Las seis permutaciones son:
aba, aab, aba, aab, baa, baa Los colores son para notar la sustitución. Puede observarse que:
aba = aba aab = aab baa = baa En realidad sólo hay tres permutaciones diferentes.
)! ! (
) ! ,
( n
n n r n
n
O =
= −
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Supóngase que se tienen n objetos dados dentro de los que hay un grupo de α objetos iguales y otro de β objetos iguales entre sí. Para determinar el número de permutaciones distintas que se pueden formar con los no objetos dados, supóngase que están formadas todas las permutaciones y que x es su número.
En cada una de las x permutaciones formadas, sustitúyanse los α objetos iguales por α objetos distintos y permútense de las α ! maneras posibles. Se obtendrán x ⋅ α ! permutaciones de n objetos en las que figuran solamente β objetos iguales.
En cada una de las x ⋅ α ! últimas permutaciones formadas, sustitúyanse ahora los β objetos iguales por β objetos distintos y permútense también de las β ! maneras distintas. Se obtendrán x ⋅ α ! ⋅ β ! permutaciones de n objetos en las que no figuran ni el grupo de α objetos repetidos ni el de β objetos iguales entre sí. Pero este número es precisamente el de las permutaciones de n objetos distintos, por lo que se puede escribir:
!
!
! n
x ⋅ α ⋅ β = despejando
!
!
! β α ⋅
= n
x
en forma general, las permutaciones de n objetos con grupos de q
1, q
2, q
3... q
nelementos iguales:
( )
! , ...
,
! ,
! ,
! , !
...
, , , ,
3 2 1 3
2 1
n
n
q q q q
q n q q q n
P =
donde : q
1+ q
2+ q
3+ ... + q
n≤ n
Ejemplo. Un fabricante de vestidos produce 12 unidades al día y por la moda necesita entregar 3 azules, 2 rojos, 2 verdes, y 5 blancos. ¿De cuántas formas diferentes puede fabricarlos?
n = 12
q
1= 3 q
2= 2 q
3= 2 q
4=5
( ) 166 , 320
! 5
! 2
! 2
! 3
! 5 12
, 2 , 2 , 3 ,
12 =
⋅
⋅
= ⋅ P
formas diferentes
Permutaciones circulares. Estas permutaciones se refieren al número de maneras distintas en que pueden colocarse n objetos alrededor de un círculo de manera que queden igualmente espaciados y sin que importen las posiciones absolutas de los objetos en el círculo, sino únicamente las posiciones relativas de los objetos con respecto a sí mismos. Dos permutaciones circulares son iguales si todos sus elementos tienen el mismo precedente y consecuente.
Estas permutaciones circulares son iguales Para determinar la respectiva expresión, considérese la permutación lineal de n elementos:
n
n
α
α α α
α
1 2 3...
−1Si se lleva el último elemento de la permutación al primer lugar, se obtiene la nueva permutación.
1 3 2
1
...
n−n
α α α α
α
a
b
c b a
c
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A ésta se le conoce como permutación cíclica de la anterior y puede observarse que si el proceso de llevar el último elemento al primer lugar se repite n veces se llega a la permutación inicial.
Además, puede verse fácilmente que si las n permutaciones cíclicas se colocan alrededor de un círculo, no se distinguen entre sí, sino que forman una sola permutación circular. Luego puede concluirse que n permutaciones cíclicas de n objetos generarán una permutación circular y, razonando en forma inversa, que recíprocamente una permutación circular genera n permutaciones cíclicas que son linealmente diferentes.
Supóngase ahora que PC
nes el número de permutaciones circulares distintas que se pueden formar con n objetos. Por lo antes visto puede afirmarse que, por cada una de las permutaciones circulares se obtienen n permutaciones cíclicas.
Luego, el número de permutaciones ordinarias obtenidas a partir de las permutaciones circulares es n⋅ PC
ny puede escribirse:
n
n
P
PC
n ⋅ = n ⋅ PC
n= n ! despejando
( 1 ) ( ) ! 1 !
! − = −
=
= n
n n n n PC
nn
( − 1 ) !
= n PC
nDe acuerdo con esta expresión, con las tres letras a, b, c pueden formarse (3-1)! = 2 permutaciones circulares distintas:
Puede observarse que si el círculo uno se proyectara como espejo sobre el círculo dos, ambas permutaciones se confundirían. En consecuencia, puede afirmarse que si el círculo en donde se colocan los objetos al formar permutaciones circulares puede voltearse, o verse por sus dos lados, el número de permutaciones
esencialmente distintas se reduce a la mitad. Así, la fórmula para calcular las permutaciones circulares de n objetos en este caso será:
( )
2
!
− 1
= n PC
nEjemplo. Calcular el número de maneras diferentes en que cinco personas pueden colocarse:
a) En fila P
5= 5! = 120
b) Alrededor de una mesa PC
5= (5-1)! = 24 siempre que no se permita al observador asomarse por debajo de la mesa.
c) Alrededor de una mesa si una persona debe ocupar un lugar determinado. PC
5= (5-1)! = 24 Como en las permutaciones circulares no interesa la posición absoluta de los objetos en el círculo, sino sólo la relativa con respecto a sí mismos, se resuelve el inciso igual que el anterior, pidiendo a las personas colocadas en la mesa que giren alrededor de la mesa, sin perder sus posiciones relativas, hasta que quede en el lugar adecuado la persona de la condición.
d) Alrededor de una mesa si dos personas deben estar siempre juntas. PC
4⋅ P
2= ( 4 − 1 ) ! ⋅ 2 ! = 12 Se considera como una a las dos personas que deben estar juntas y después se permutan de todas las maneras posibles esas dos personas.
d) En la rueda de la fortuna.
( )
2 12
! 1 5
5
= − =
PC
Combinaciones sin repetición. Se les llaman combinaciones de n objetos de orden r a los diversos grupos que pueden formarse al elegir r de n objetos dados, de tal manera que dos combinaciones se consideran distintas si difieren en uno de sus objetos por lo menos.
a
b c
a
b c
1 2
Probabilidad y Estadística M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
Noviembre 2009 32
A diferencia de las ordenaciones, en las combinaciones no interesa el orden de los objetos, sino únicamente la clase de los mismos.
Conjunto A = { a, b, c } n = 3 Tomando 1 letra : a b c
. . . tres arreglos Tomando 2 letras: ab bc ca
. . . tres arreglos Tomando 3 letras: abc
. . . un arreglo Para determinar el número de las combinaciones de n objetos de orden r, considérense formadas todas las combinaciones O(n,r). Si en todas se permutan sus r objetos de las r! Maneras posibles, se obtendrán en total r! O(n,r)!
ordenaciones de los n objetos dados de orden r.
En la forma antes descritas , se han formado todas las ordenaciones de n objetos de orden r, ya que las provenientes de una misma combinación son diferentes porque difieren en el orden de sus objetos, y las que vienen de combinaciones distintas difieren por lo menos en uno de sus objetos.
( ) n r O ( ) n r C
r ! , ! = ,
)!
, (
!
!
! ) , ) (
,
( r n r
n r
r n r O n
C = = r ≤ n
Ejemplo. De un grupo de diez personas debe elegirse un comité formado por cinco. Calcular el número de comités diferentes que se pueden elegir si:
a) Las diez personas son elegibles libremente.
( ) ( ) 10 5 ! 5 ! 252
! 5 10
,
10 =
= − C
b) Dos de las personas elegibles no pueden aparecer juntas en el comité.
Si las dos personas de la condición están en el comité, los otros tres miembros se elegirán de las ocho personas restantes de:
( ) ( ) 8 3 ! 3 ! 56
! 3 8
,
8 =
= − C
Por lo tanto, hay 252 – 56 = 196 comités en los que no están juntos las dos personas aludidas.
c) Dos de las personas elegibles deben estar siempre juntas, dentro o fuera del comité.
Si las dos personas de la condición están en el comité, las tres personas restantes se escogen de:
( ) ( ) 8 3 ! 3 ! 56
! 3 8
,
8 =
= − C
Los comités en los que la pareja no está es:
( ) ( ) 8 , 5 ! 5 ! 56
! 5 8
,
8 = =
C
El total de comités es: 56 + 56 = 112 d) En el comité debe haber un presidente.
Existen 10 formas de elegir un presidente y
( ) ( ) 9 4 ! 4 ! 126
! 4 9
,
9 =
= − C
El total de comités es: 10 x 126 = 1260
Combinaciones con repetición. Este tipo de arreglos permite repetir objetos en una misma combinación, por lo que el orden puede ser mayor que el número de objetos dados.
Conjunto A = { a, b, c } n = 3
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Noviembre 2009 33
Tomando 1 letra : a b c
. . . tres arreglos Tomando 2 letras:
aa bb cc
ab bc ac
. . . seis arreglos Tomando 3 letras:
aaa bbb ccc
aab bbc
aac bcc
abb abc acc
. . . diez arreglos La expresión que denota el número de combinaciones con repetición es:
( ) n r C ( n r r )
CR , = + − 1 ,
Ejemplo. En una escuela mixta, de hombres y mujeres, se va a formar un comité de cinco alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar, con respecto a su composición de hombres y mujeres?
Deberán seleccionarse cinco de dos objetos diferentes (hombre y mujer):
( ) ( ) ( ) 6 2 ! 2 ! 6
! 2 6
, 1 2 5 2
,
5 =
= −
− +
= C CR
Números combinatorios. A los números generados por la expresión ( ) , ! !
! r r n
n para
cuando r varía desde 1 hasta n reciben el nombre de números combinatorios y tienen la notación
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ r
n , donde n es el numerador y r es el
denominador del número combinatorio.
Los números combinatorios poseen tres propiedades:
1. Los números combinatorios de orden cero valen la unidad. Asimismo, los números combinatorios de orden igual a n también valen la unidad.
0 ⎟⎟ = 1
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛n ⎟⎟ = 1
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ n n
Demostración:
Si ! ( )!
! r n r
n r
n
= −
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ , sustituyendo:
1
!
! )!
0 (
! 0
!
0 = =
= −
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
n n n
n n
por lo tanto: 1 0 ⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛n
Por otra parte:
1
!
! )!
(
!
! = =
= −
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
n n n n n
n n
n
por lo tanto: ⎟⎟ = 1
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
n
n
Probabilidad y Estadística M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
Noviembre 2009 34
2. Los números combinatorios de órdenes complementarios son iguales entre sí.
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
= −
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
r n n r n
Demostración:
Si: ! ( )!
! r n r
n r
n
= −
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ , sustituyendo:
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
= −
−
−
= −
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
r n r n n
r n r r n
n r
n n r n
n r
n n
! )!
(
! )]!
( [ )!
(
!
3. La suma de los números combinatorios de igual numerador y órdenes diferentes en una unidad es igual a un número combinatorio de numerador igual a una unidad más grande que la de los sumandos y orden igual al mayor de los órdenes de los combinatorios sumandos.
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛ +
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
− k
n k n k
n 1
1
Demostración:
Si: ! ( )!
! r n r
n r
n
= −
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
Para hacemos para (n,k-1) + (n,k) debemos obtener (n+1,r) de ahí que sustituyendo nos queda:
Triangulo de Pascal. Los números combinatorios pueden ser acomodados en un arreglo piramidal, en el cual se observan plenamente sus propiedades.
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ 0 0
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ 0
1 ⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ 1 1
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ 0
2 ⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ 1
2 ⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ 2 2
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ 0
3 ⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ 1
3 ⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ 2
3 ⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ 3 3
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ 0
4 ⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ 1
4 ⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ 2
4 ⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ 3
4 ⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ 4 4
Observando el Triangulo de Pascal pero con sus valores:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Propiedad Uno: Los números que están sobre los vértices del triangulo denotan esta propiedad (color verde).
Propiedad dos: Los números que están a la misma distancia a la derecha y a la izquierda de los vértices del triangulo denotan esta propiedad (colores naranja).
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛ + +
−
= + +
−
= + +
− +
−
= +
+
− +
−
= + + −
+
−
−
k n k
n k
n r
n r
n n k
n k
n k n k
k n k
n k n kn k n k
n k
n k
n
1 )!
1 (
!
)!
1 ( )!
1 (
!
! ) 1 ( )!
1 (
!
! ) 1 (
)!
1 (
!
! ) 1 (
! )!
(
!
! )!
1 (
)!
1 (
!
Probabilidad y Estadística M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
Noviembre 2009 35
Propiedad tres: Al sumar dos números combinatorios en el mismo nivel, resulta el número de un nivel posterior en medio de los mismos.
Teorema del Binomio. A partir de cualquier binomio elevado a una potencia entera, por ejemplo:
( a + b )
4= a
4+ 4 a
3b + 6 a
2b
2+ 4 ab
3+ b
4puede observarse que los coeficientes de los sumandos del binomio coinciden con los números combinatorios de orden n = 4.
Una expresión general para obtener el desarrollo de cualquier binomio elevado a una potencia es:
( ) ∑
=
⎟⎟
−⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
+
nr
r r n n
b r a
b n a
0
Diagrama de Árbol. Es una herramienta gráfica usada para enumerar todas las posibilidades lógicas de una secuencia de datos que ocurren de una forma finita de maneras.
El árbol está formado por puntos o nodos que representan instantes en el tiempo o lugares en el espacio y por líneas o ramas que representan las posibles acciones que puedan tomarse; los nodos y las ramas siempre están unidos.
El diagrama de árbol conforma el espacio muestral en una dimensión de un evento.
Ejemplo. Los toros de Chicago y los Celtics de Boston participan en un torneo de Basketbol; el primero que gane dos juegos consecutivos o un total de tres será el vencedor del torneo.
¿Cuántas maneras posibles podría terminar el torneo?
Existen diez formas de desarrollar el torneo.
En todo caso, el diagrama de árbol conforma el espacio muestral de un evento.
2.3 La definición axiomática de probabilidad.
Algunos teoremas derivados de la definición axiomática.
Un Axioma en una verdad evidente que no requiere de demostración. La probabilidad basa sus desarrollos en tres axiomas:
1) P(A) ≥ 0
2) P(S) = 1
3) P(A
1+A
2+…+A
n) =
P(A
1)+P(A
2)+)+…+P(A
n)
donde A
1, A
2, A
3... A
nson eventos
mutuamente excluyentes.
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Noviembre 2009 36
Teoremas derivados de la definición axiomática.
Estos teoremas se obtienen de una aproximación entre la teoría de conjuntos y la aritmética y el álgebra. Principalmente es necesario contar con lo antecedentes de las operaciones con conjuntos (unión, intersección, complemento, etc.) para desarrollarlos.
Por otra parte, debe tomarse en cuenta los fundamentos de la lógica matemática que establece las relaciones entre diversas operaciones matemáticas:
“Y” (conjunción) ⇔ ”x” (producto) ⇔ Evento Dependiente
“O” (disyunción) ⇔ ”+” (suma) ⇔ Evento Independiente
Teorema 1: P(∅) = 0 Demostración:
Si P(S ∪ ∅) = P(S) + P(∅)
(por el axioma 3) y
S ∪ ∅ = S, entonces
P(S ∪ ∅) = P(S) = 1 (axioma 1)
∴ 1 = 1 + P(∅) ⇔ P(∅) = 0 e.q.d.
Teorema 2: P( A ) = 1 – P(A) Demostración:
Si P(A) + P( A ) = P(S) y P(S) = 1
∴ P(A) + P( A ) = 1 ⇔ P( A ) = 1 – P(A) e.q.d.
Teorema 3: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB)
Si A ∪ B = A ∪ ( A ∩ B )
y B = ( A ∩ B ) ( ∪ A ∩ B )
luego entonces
( B A )
P A P B A
P ( ∪ ) = ( ) + ∩ y P ( B ) = P ( A ∩ B ) ( + P A ∩ B )
restando ambas ecuaciones
simplificando
( A B )
P A P B P B A
P ( ∪ ) − ( ) = ( ) − ∩
( A B )
P B P A P B A
P ( ∪ ) = ( ) + ( ) − ∩ e.q.d.
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Noviembre 2009 37
Este teorema se reduce al axioma 3 cuando los conjuntos son disjuntos
1.
Teorema 4:
Teorema 5:
) ( ) ( ) ( )
( A B P A P B P A B
P ∩ = + − ∪
Leyes de D’Morgan
' ' )'
( A ∪ B = A ∩ B ⇔ ( A ∪ ) B = A ∩ B
' ' )'
( A ∩ B = A ∪ B ⇔ ( A ∩ ) B = A ∪ B
2.4 Probabilidad condicional. Diagramas de árbol. Eventos independientes. Probabilidad total. Teorema de Bayes.
Si A y B son dos eventos del espacio muestral S, la probabilidad de que el evento B ocurra con la condición de que previamente haya ocurrido el evento A, se le conoce como probabilidad condicional de B y se representa como P(B I A) ( Léase probabilidad de B dado A ) A partir de los eventos A y B :
1
Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, ningún elemento de A está en B y si ningún elemento de B está en A, se dice que A y B son disjuntos.
Al realizar el experimento correspondiente, supóngase que ocurre el evento A y una vez ocurrido éste, se desea observar si también ocurrió el B. Puesto que ya ocurrió el evento A, el evento B sólo puede ocurrir si tiene eventos elementales en A es decir si existe A ∩ B.
Además, en ese momento el evento A es el espacio total de eventos posibles. Luego P(B I A) se puede calcular como.
P(BIA) = Eventos elementales en A y en B Eventos elementales en A
Lo que puede escribirse como:
) (
) ) (
( n A
B A BIA n
P ∩
= si n(A) ≠ 0
se define
) (
) ) (
( n S
B AB A
P = ∩
y
) (
) ) (
( n S
A A n
P =
Probabilidad y Estadística M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
Noviembre 2009 38
de tal forma
P(B I A) =
finalmente P(B I A) = ) (
) (
A P
AB
P P(A) ≠ 0
La secuencia en que ocurren los eventos pueden mostrarse con claridad a través de un diagrama de árbol, siempre y cuando se trate de eventos mutuamente excluyentes, colectivamente exhaustivos con un número finito de resultados.
A partir de la información del experimento a estudiar, primeramente deben especificarse los eventos, posteriormente la secuencia o subordinación entre ellos.
En la generalidad, las probabilidades condicionales se advierten porque los eventos se subordinan con la conjunción si (condicional, de diferente significado que el sí afirmativo). De la misma forma, suele detectarse en la definición del experimento que la probabilidad condicional es un dato histórico, tal que cuando es mencionada aún no se produce el evento.
Asimismo, la probabilidad simultánea
corresponde a dos eventos que ocurren al mismo
tiempo, en el instante en que se estudia el
experimento y la subordinación entre ellos se
detecta a través de la conjunción Y.
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Noviembre 2009 39
Ejemplo. Con base en la experiencia un médico ha recabado la siguiente información, relativa a las enfermedades de sus pacientes:
5% creen tener cáncer y lo tienen
45% creen tener cáncer y no lo tienen
10% no creen tener cáncer y lo tienen
40% no creen tener cáncer y no lo tienen
Si se selecciona un paciente al azar. Determine las siguiente probabilidad.
a) Que tenga cáncer si cree tenerlo b) Que tenga cáncer si no cree tenerlo
Evento
A → El paciente cree tener cáncer B → El paciente tiene cáncer
a) P(B I A) = 0 . 1 10 %
5 . 0
05 . 0 ) (
)
( = = =
A P
AB P
b) P(B I A ) = 0 . 2 20 % 5
. 0
1 . 0 ) (
)
( = = =
A P
B A P
Eventos Independientes. Dos eventos son independientes si :
P(A \ B) = P(A) --- 1
) (
) ) (
/
( P B
AB B P
A
P = ---2
⇒
= ( ) ) ) (
( P B
AB A P
P P(A) P(B) = P(AB)
del ejemplo anterior
P(A) = 0.50 (0.5)(0.15) ≠ 0.05 P(B) = 0.15
P(AB) = 0.05 ∴ A y B no son independientes
Ejemplo. Suponiendo la siguiente información
CONTRAE CANCER
NO CONTRAE CANCER
FUMADOR 0.5 0.2 0.7 NO FUMADOR 0.1 0.2 0.3
0.6 0.4
1. Encontrar la probabilidad de que un individuo contrae cáncer dado que es fumador
2. Encontrar la probabilidad de que un individuo tenga cáncer dado que no es fumador
3. Determinar si son eventos independientes
Probabilidad y Estadística M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
Noviembre 2009 40
1) P(B / A) = ¿?
71 . 7 0 . 0
5 . 0 ) (
) ) (
/
( = = =
A P
AB A P
B P
2) P(B / A) = ¿?
333 . 3 0 . 0
1 . 0 ) (
) ) (
/
( = = =
A P
B A A P
B P
3) P(A) = 0.7 (0.7) (0.6) ≠ 0.5
P(B) = 0.6
no son ind.
P(AB) = 0.5
Frecuentemente se desea encontrar la probabilidad de que ocurran conjuntamente una serie de eventos A1, A2, A3,……., An ya sea simultáneamente, o bien, uno a continuación del otro.
En el caso de dos eventos
P(A1 A2) = P(A2 / A1) P(A1 A2)
En el caso de tres eventos
En general
Si los eventos A son independientes:
( A A A A
n) ( ) ( ) ( ) P A P A P A P ( ) A
nP
1 2 3... =
1 2 3...
A esta expresión se le conoce como regla de la
multiplicación.
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Noviembre 2009 41
Ejemplo.
4 Bolas Blancas 3 Bolas Negras 2 Bolas Rojas 9
Experimento: Se extraen 3 bolas (Sin Reemplazo) ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 sean negras?
Eventos Ni → Sale Negra Bi → Sale Blanca
Ir → Sale Roja
P(N1N2N3) = P(N1) P(N2/N1)
P(N3/N1N2) 0 . 0119
7 1 8 2 9
3 • • =
= Si se hace con reemplazo
P(N2/N1) = P(N2) = P(N3) = P(N3/N1N2)
P(N1N2N3) = 3/9 • 3/9 • 3/9 = 0.03
El reemplazo garantiza la independencia de los eventos.
Teoría de la Probabilidad Total
Sea un conjunto de eventos B1, B2, B3, …,Bn mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas.
Para cualquier evento A, A ⊂ S
De acuerdo a los axiomas de probabilidad
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Noviembre 2009 42
A = (A∩B1)∪(A∩B2)∪ …… (A ∩ Bn) Ya que (A∩Bi) son mutuamente excluyentes P(A) = P(AB1) + P(aB2) + ….+ P(ABn) Si P(ABi ) = P(A/Bi) P(Bi)
P(A) = ∑ →
= n
i
Bi P Bi A P
1
) ( ) /
( Teorema de la
Probabilidad total.
Teorema de Bayes
En la práctica no siempre después de haberse realizado el experimento o evento se conoce el resultado del mismo. De existir esta incertidumbre, el resultado es aún motivo de una probabilidad.
A partir de la probabilidad condicional, sean n eventos A
1, A
2,, ..., A
nmutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, entonces para cualquier evento B, B ⊂ S que ocurre posteriormente se tiene:
( ) ∑
=
=
ni
i
i
P B A
A P B
P
1
) / ( ) (
Teorema de la Probabilidad Total
( ) ( ( ) )
i i
i
P A
B A A P
B
P =
Probabilidad condicional
El Teorema de Bayes propone modificar el orden o la secuencia de los eventos:
( ) ( ( ) )
B P
B A B P
A
P
i=
iSustituyendo el Teorema de la Probabilidad Total:
Las anteriores expresiones definen al Teorema de Bayes, que también es conocido como de la probabilidad a posteriori, ya que denota probabilidades en forma posterior a la realización del experimento.
( ) A B
P
i: Probabilidad de que haya ocurrido A
idado que ocurrió B .
El cambio en la secuencia de los eventos debe detectarse a partir de las condiciones del experimento.
Ejemplo. Raúl está acusado de un crimen. La probabilidad de que el jurado emita el veredicto correcto es de 0.95, es decir, la probabilidad de que el jurado condene a un culpable verdadero y de que absuelva a un inocente verdadero es de 0.95.
Se sabe que la labor de la policía es tal que el 60% de las personas que se presentan a la corte para ser juzgadas son verdaderamente culpables.
Determinar la probabilidad de que Raúl sea inocente si el juzgado lo declara culpable.
1er evento
A = Raúl es detenido porque es culpable A = { Raúl es culpable }
2do evento
B = Raúl es declarado culpable porque lo es
B = { Raúl es declarado culpable}
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
∑ ( )
∑
∑
= = ==
=
=
ni i
i i n
i i i n
i
i i
i i
B A P
A P A B P B A P
B A P A
B P A P
B A B P
A P
1 1
1
