La geometría es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de una figura en un plano o en un espacio. Para representar distintos aspectos de la realidad, la geometría apela a los denominados sistemas formales o axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas, curvas y puntos, entre otras.
Hay que dejar patente que la geometría es una de las ciencias más antiguas que existen en la actualidad pues sus orígenes ya se han establecido en lo que era el Antiguo Egipto. Así, gracias a los trabajos de importantes figuras como Heródoto o Euclides, hemos sabido que desde tiempos inmemoriales aquella estaba muy desarrollada pues era fundamental para el estudio de áreas, volúmenes y longitudes.
Asimismo tampoco podemos pasar por alto que una de las figuras históricas que más han contribuido al desarrollo de esta área científica es el matemático, filósofo y físico francés René Descartes. Y es que este planteó el desarrollo de la geometría de una forma en la que las distintas figuras podían ser representadas a través de ecuaciones.
Podemos agrupar tres ramas de la geometría con diferentes características y alcances:
Geometría proyectiva- se encarga de las proyecciones de las figuras sobre un plano
Geometría del espacio - se centra en las figuras cuyos puntos no pertenecen todos al mismo plano
Geometría plana - considera las figuras que tienen la totalidad de sus puntos en un plano. Comenzamos con la definición de conceptos importantes para el aprendizaje de dicha materia.
Punto: Es la representación de una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto carece de forma y dimensiones.
Línea: Es una sucesión infinita de puntos.
Recta: Línea de dirección constante
Partes de una Recta:
•Semirrecta: cada una de las dos partes en que divide a una recta uno cualquiera de sus puntos
•Segmento: porción de una recta comprendida entre dos de sus puntos
SEGMENTO DE RECTA
Un segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
Los segmentos se nombran por los puntos que lo limitan o por una letra minúscula.
Clases de segmentos
Segmento nulo. Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.
Segmentos concatenados. Dos segmentos son concatenados cuando tienen un extremo en común.
Segmentos consecutivos. Dos segmentos son consecutivos cuando además de tener un extremo en común pertenecen a la misma recta.
ÁNGULO
Es la figura formada por 2 semi rectas que parten de un mismo punto. Las semi rectas se llaman lados y el punto común vértice.
Un ángulo se denota de la siguiente forma:
a) Una letra mayúscula en el vértice.
b) Una letra griega o un símbolo en la abertura.
c) Tres letras mayúscula.
SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS Sistema sexagesimal: Grados
Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituyen un grado sexagesimal.
Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de ellas, a un minuto.
Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una de estas partes a un segundo.
Sistema Internacional de Unidades SI: Radianes Una circunferencia se divide 2 pi radianes.
360º = 6,2836 rd
1 rd = 57,3 grados sexamilas
TIPOS DE ÁNGULOS
Cóncavo 0° < < 180°
Águdo 0° < < 90°
Recto = 90°
Obtuso 90° < < 180°
Convexo Extendido Completo
180° < < 360°
= 180°
= 360°
PAREJA DE ÁNGULOS
Ángulos adyacentes. Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice
Ángulos opuestos por el vértice. Dos líneas que se
intersectan generan ángulos opuestos por el vértice por lo tanto serán iguales en sus grados:
1=2 3=4
Ángulos complementarios. Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 90°
Ángulos suplementarios Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180º
RECTAS PARALELAS:
Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.
TRIANGULO: Triángulo es un tipo de polígono (o figura plana y cerrada) que tiene tres lados.
ELEMENTOS DE UN TRIANGULO Elementos primarios
- Vértice: A, B , C - Lados: a, b, c - Ángulos:
Elementos secundarios -Altura: ha , hb , hc - Simetral: Sa , Sb , Sc - Mediana: ma , mb , mc - Bisectriz: ba , bb , bc
- Transversal de gravedad: ta , tb , tc PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS
ÁNGULOS INTERNOS: La suma de los ángulos internos suman 180°.
La suma de los ÁNGULOS EXTERNOS:
ángulos externos suman 360°.
Un triángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos adyacentes
Ejemplo: De la figura se tiene lo siguiente:
Determinar los ángulos
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Clasificación según sus lados Equilátero: Todos los lados iguales Isósceles: Un lado distinto
Escaleno: Todos los lados desiguales
Clasificación según sus ángulos interiores Acutángulo: Tres ángulos agudos < 90° Rectángulo:
Un ángulo recto = 90°
Obtusángulo: Un ángulo obtuso > 90°
ELEMENTOS SECUNDARIOS DE UN TRIÁNGULO
ALTURAS (h)
Se obtiene al trazar una línea perpendicular desde el vértice al lado opuesto.
Las alturas concurren a un mismo punto llamado ortocentro (H) Triángulo Acutángulo
H ( ortocentro se ubica dentro del triángulo)
Triángulo Rectángulo
H (ortocentro se ubica en vértice C)
Triángulo Obtusángulo
H (ortocentro ubicado fuera del triángulo)
TRANSVERSALES DE GRAVEDAD (t)
Una transversal de gravedad une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
Concurren a un mismo punto, denominado centro de gravedad del triángulo (T)
T se ubica siempre dentro del triángulo.
BISECTRIZ (b)
Las bisectrices dividen cada ángulo interno por la mitad.
Todas las bisectrices concurren a un mismo punto que es el centro de una circunferencia inscrita.
Este punto se denomina inscentro. (P)
SIMETRAL (S)
Las simetrales son las perpendiculares trazadas en los puntos medios de los lados.
Las tres simetrales concurren a un punto que es el centro de la circunferencia circunscrita. A este punto se le denomina circunscentro
MEDIANA
Las medianas unen los puntos medios de los lados.
Las áreas de cada triángulo parcial obtenido al trazar las medianas, son iguales y cuatro veces menor que el área del ABC.
ÁREA DE TRIÁNGULO- Superficie que rellena al triángulo Fórmula general
PERIMETRO DE TRIÁNGULO- Suma de todos sus lados (contorno)
P = a + b + c
Teorema de Pitágoras
Este teorema relaciona todos los lados de un triángulo rectángulo.
a2 + b2 = c2
La sumatoria de cuadrado de dos de sus lados es igual al cuadrado del tercero.
Teorema de Thales
Si un ángulo es cortado por paralelas, se originan segmentos proporcionales.
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados respectivamente proporcionados:
POLIGONOS
Se deriva de dos palabras: Poli= muchos y gonos= lados. Existen polígonos regulares e irregulares:
IRREGULARES - Sus lados son distintos o ángulos internos distintos.
REGULARES - Sus lados son iguales y ángulos internos iguales.
NÚMERO DE LADOS
NOMBRE
3 Triángulo 4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octágono
9 Nonágono
10 Decágono
DIAGONALES: Para cualquier polígono, la fórmula para hallar la cantidad de diagonales que posee es:
Ejemplo: Determinar la cantidad de diagonales que posee un polígono de 28 lados. En este caso n = 28, luego
Un polígono de 28 lados posee 350 diagonales.
CLASIFICACIÓN PARALELOGRAMOS TIPOS
FIGURA: Dos pares de lados paralelos (a y c) (b y d) Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
CIRCULOS
Es el lugar geométrico de todos los puntos que conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado centro de la circunferencia (contorno).
El círculo representa la zona achurada (relleno).
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
ELEMENTOS DE UN CÍRCULO
SISTEMA DE COORDENADAS
Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se intersectan.
Si las rectas son perpendiculares entre sí (esto es, cuando se cruzan formando un ángulo de 90°), se tiene un sistema de ejes coordenados rectangulares, denominado también, sistema de coordenadas cartesianas (en honor a su creador, el matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650)).
Simetrías respecto al origen y los ejes
Dos puntos son simétricos respecto a un eje coordenado si éste es la mediatriz del segmento que los une. Asimismo, dos puntos son simétricos con respecto al origen de coordenadas, si éste es el punto medio del segmento que los une.
Simetría con el eje X Simetría con el eje Y Simetría con el origen
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CONDICIONES DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
La pendiente de una recta es un gran auxiliar para saber si dos rectas son paralelas o perpendiculares o si hay un punto en el que se cruzan.
Las rectas paralelas son aquellas que no se intersectan en ningún punto y que se mantienen siempre a la misma distancia una de otra.
Las rectas perpendiculares, por su parte, son aquellas que al cortarse forman un ángulo de exactamente 90°. Los ejes cartesianos son ejemplo de rectas perpendiculares porque siempre generan al cruzarse ángulos de 90°
En el caso de las rectas paralelas, la pendiente tiene exactamente el mismo valor para cada una de ellas.
Para l1 l2 m1 = m2
Para las rectas perpendiculares las pendientes son recíprocas y de signo contrario, por lo que su producto siempre da como resultado -1, es decir:
Para l1 l2 m1m2 = -1 Ejemplo 1
Los puntos A y B pertenecen a la recta 1 y los puntos P y Q a la recta 2. Con esta información determina si las rectas son paralelas o perpendiculares.
A (2, 4), B(3, 8), P(2, 0), Q(6, 8) 29
Solución:
Al situar en el plano cada par de puntos y unirlos mediante un segmento rectilíneo se advierte que son paralelas, sin embargo requerimos de un análisis matemático para determinar si en verdad son paralelas, por lo que aplicaremos la ecuación para la pendiente tomando cada par de puntos:
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NOTA: LA FORMULA PARA LA PENDIENTE m ES:
M=
