CAPÍTULO 9: POTENCIA E INVERSIÓN (II)
Dante Guerrero-Chanduví
Piura, 2015
FACULTAD DE INGENIERÍA
Área Departamental de Ingeniería Industrial y de Sistemas
CAPÍTULO 9: POTENCIA E INVERSIÓN (II)
Esta obra está bajo una licencia Creative Commons Atribución- NoComercial-SinDerivadas 2.5 Perú
Repositorio institucional PIRHUA – Universidad de Piura
2
UNIVERSIDAD DE PIURA
_________________________________________________________________________
Capítulo 9: Potencia e Inversión (II) B. Eje Radical de dos circunferencias
G
EOMETRÍAF
UNDAMENTAL YT
RIGONOMETRÍAC
LASES_________________________________________________________________________
Elaborado por Dr. Ing. Dante Guerrero
Universidad de Piura. 10 diapositivas
GFT 19/06/2015
Dr.Ing. Dante Guerrero 1
Starry Night Over the Rhone (Vincent Van Gogh)
A. EJE RADICAL
CAPÍTULO IX:
POTENCIA E INVERSIÓN
Es el lugar geométrico de puntos del plano que tienen igual potencia respecto a las dos circunferencias.
El eje radical de dos circunferencias no concéntricas es una recta perpendicular a la línea de centros.
TEOREMA IX-3
O2 T2 P
d1
r2
O1 T1
r1
d2
B. EJE RADICAL
DE DOS CIRCUNFERENCIAS
GFT 19/06/2015
Dr.Ing. Dante Guerrero 2
Sean d1, d2 las distancias de un punto P a los centros de dos circunferencias, y r1 y r2 los radios de ellas. Para que las potencias de P sean iguales:
d12 - r12 = d22 - r22
d12 - d22 = r22 - r12 = Cte.
DEMOSTRACIÓN TEOREMA IX-3
Luego es necesario y suficiente que la diferencia de cuadrados de distancias a los dos centros sea constante. Se trata pues de una recta perpendicular a la línea de centros.
O2 T2 P
d1
r2
O1 T1
r1
d2
B. EJE RADICAL
DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Si las circunferencias son concéntricas, d1 = d2 ; y como los radios son distintos, no hay ningún punto que tenga igual potencia.
Sin embargo, en atención a que los puntos muy lejanos van teniendo potencias de razón más semejante, se suele decir que el eje radical en ese caso es "la recta del infinito" del plano.
a. Si desde un punto del eje radical se pueden trazar tangentes a una de las circunferencias, se pueden trazar también tangentes, y de igual longitud, a la otra.
b. Las tangentes comunes quedan divididas en dos partes iguales por el eje radical.
COROLARIOS:
B. EJE RADICAL
DE DOS CIRCUNFERENCIAS
GFT 19/06/2015
Dr.Ing. Dante Guerrero 3
CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DEL EJE RADICAL
Consideramos 4 casos:
1. Las circunferencias son secantes: entonces el eje radical es la recta que une los puntos de intersección (que tienen potencia igual, nula, respecto a las dos).
2. Las circunferencias son tangentes: entonces la tangente común es el eje radical.
3. Las circunferencias son exteriores. En este caso, trazamos las tangentes comunes y unimos sus puntos medios, obteniendo así el eje radical.
4. Las circunferencias son interiores. En este caso, buscaríamos un punto de igual potencia respecto a las dos, trazando dos tangentes de igual longitud t y buscando los puntos de la misma potencia, que están en m1 y m2.
B. EJE RADICAL
DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Caso 1
Las circunferencias son secantes: entonces el eje radical es la recta que une los puntos de intersección (que tienen potencia igual, nula, respecto a las dos).
O2 P t
d1
r2
O1 t
r1
d2
B. EJE RADICAL
DE DOS CIRCUNFERENCIAS
GFT 19/06/2015
Dr.Ing. Dante Guerrero 4
Caso 2
Las circunferencias son tangentes: entonces la tangente común es el eje radical.
O2 P
d1
r2
O1 r1
d2 t t
B. EJE RADICAL
DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Caso 3
Las circunferencias son exteriores. En este caso, trazamos las tangentes comunes y unimos sus puntos medios, obteniendo así el eje radical.
O2 t
P
d1
r2
O1 t
r1
d2
B. EJE RADICAL
DE DOS CIRCUNFERENCIAS
GFT 19/06/2015
Dr.Ing. Dante Guerrero 5
Caso 4
Las circunferencias son interiores. En este caso, buscaríamos un punto de igual potencia respecto a las dos, trazando dos tangentes de igual longitud t y buscando los puntos de la misma potencia, que están en m1 y m2.
El punto de la intersección M, pertenece al eje radical.
Desde M trazamos la perpendicular a la línea de centros, que es el eje radical de las dos.
m1 m2
t t
M O1 O2
B. EJE RADICAL
DE DOS CIRCUNFERENCIAS
m1 m2
t
M
O1 O2
d1 d2 t
B. EJE RADICAL
DE DOS CIRCUNFERENCIAS
