Lic. Julio E. Zurita
Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías – U.N.S.E.
2016
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Contenidos de matemática para pregrado
Conjuntos Numéricos
Ampliaciones sucesivas de los conjuntos numéricos. Irracionales. Reales.
Propiedades. La recta real. Orden en la recta real. Operaciones con números reales.
Propiedades.
Funciones
Función logarítmica. Propiedades. Uso de la calculadora. Función de primer
grado. Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Función de segundo grado.
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
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4 Conjuntos Numéricos
El conjunto de los números naturales, representado por y definido en términos de sus elementos es , es un conjunto infinito en el que observamos un primer elemento y tiene operaciones totalmente definidas, suma y producto.
Se dice totalmente definidas porque el resultado de estas operaciones en el conjunto, nos da por resultado otro elemento del mismo conjunto.
El conjunto de los números enteros, representado por se define como , es fácil ver que . Con los elementos del conjunto podemos: sumar, restar y multiplicar, teniendo en cuenta los respectivos signos de cada elemento.
Los números racionales pueden ser definidos abstractamente como pares ordenados de números enteros y se expresa de la siguiente manera o con y sujetos a las definiciones fundamentales siguientes:
Igualdad: si, y solo si
Orden:
si, y solo siFacultad de Ciencias Exactas y Tecnologías – U.N.S.E.
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5 Los números enteros quedan incluidos en el sistema de los números racionales conviniendo en que
Representación Geométrica de los Números Reales
Dada una recta R, se elige en ella un punto origen al que se le hace corresponder el número cero y una unidad de medida. Se establece una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos de la recta R, es decir:
“A todo número real corresponde un punto en la recta y a todo
punto de la recta corresponde un número real”
Aplicación:
1. Indique con la simbología correspondiente el conjunto numérico al que pertenece:
a) 132 b) -17,5 c) 8
5 d) 2
e) 4
2 f) 4 g) 4 h) 1,4
2. Efectuar las siguientes restas:
a) 9 - 5 = b) -3 - 5 = c) 80 - ( -15 ) = d) 30 - 17 = e) 5 - 4 = f) 3a - 10a = g) 7 - 7 = h) -9 - 9 = i) 8x2 - 6x2 = 3. Resolver mentalmente: a) 1 + 2 3 = b) 1 2 + 11 = c) 3 + 1 5 + 7 = d) 2 9 + 3 = e) 3 7 + 8 = f) 3 + 3 2 5 8 = 4. Realizar las siguientes operaciones:
a) ( 30 - 12 )- 3 = b) (29 - 8 ) + { 30 + [ 16 - ( 17 - 15 ) - 8 ]}= c) ( 7 + 2 ) - ( - 5 - 2 ) = d) 4 + ( -3 - 5 ) - [7 + ( 8 - 2 )] =
e) 118 + { 15 - 8 - [( 3 - 6 ) + 1 - 5 ]}= f) 6 - 2 - ( 7 - 2 ) -8 - ( 5 + 2 ) = 5. Efectuar los siguientes productos:
a) 4 . 28 . 10 . 6 = b) 14 . (-3) . (-5) = c) 3 . (-3) . (-10) . 1 =. d) - ( 36 - 35 ) . (-2) = e) 2 . 3 . (-4 ) . ( -5 ) . 2 = f) [ ( -2) + ( -8) ] . (- 1) = 6. Hallar los siguientes cocientes:
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6 d) ( -16 ) : ( - 2 ) = e) ( -33 ) : ( -11) = f) -350 : 35 =
7. Colocar paréntesis donde corresponda para que se verifiquen las siguientes igualdades:
a) 2 + 4 . 3 = 18 b) 5 . 3 + 2 = 30 c) 1 . 5 + 2 . 8 = 56 d) 20 - 2 + 4 : 2 = 20 e) -3 + -6 - 3 = 27 f) -20 : 5 + 8 : 2 = 8 8. Resolver las sumas y restas siguientes:
a) 5 3 1 4 9 2 9 1 27 5 3 6 9 1 27 b) 9 4 3 5 5 4 8 5 1 2 1 1 4 c) 5 2 3 4 5 2 3 4 5 3
9. Efectuar las operaciones siguientes calculando previamente el valor de las expresiones encerradas entre paréntesis:
a) 14 9 2 4 12 5 b) 6 1 2 1 3 5 c) 8 4 16 5 d) 33 8 5 4 5 2 10. Suprimir los paréntesis y hallar el valor de las expresiones:
a) 8 4 5 8 3 4 2 7 b) 9 7 5 6 7 3 5 3 2 c) 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 16 1 32
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7 a) (-2)3 = b) 5 2 4 = c) 10 3 3 = d) (1)10 = e) [ ( 2)5 ]-2 = f) a 2a 3 3 = 13. Calcular las siguientes raíces:a) 81 b) 121 9 c) x4 4 d) 144 = e) 400 169 f) 49 4.b g) 7225 g) 3128 h) 144 4 16 2 3 x . x
14. Hallar en cada caso el valor de "x": a) -3x + 5 - ( 8x) = 1 b)
c) x2 2 d) 2x 100
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9 Funciones
Dados dos conjuntos y no vacíos, se define el producto cartesiano como el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente es un elemento de y la segunda componente es un elemento de B.
Se llama relación de en a todo subconjunto del producto cartesiano , esto es .
Función
Las funciones son casos particulares de relaciones.
Definición:
Una función de en es una relación que cumple: 1. El dominio de es
2. A cada elemento le corresponde un único elemento que se denota por
A se le llama variable independiente y a variable dependiente.
Función exponencial y función logarítmica
Sea en donde la base es positiva, a cada valor de corresponde un valor bien determinado de . Esta función recibe el nombre de función exponencial.
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11 Al observar los gráficos precedentes, se pone de manifiesto las propiedades siguientes: La función exponencial es siempre positiva para todos los valores de , es decir, el
grafico se mantiene por arriba del eje horizontal
A cada valor de corresponde un valor de ; y recíprocamente, a cada ordenada positiva le corresponde un solo valor de .
Cualquiera que sea la base y positiva, la función toma el valor para . Es decir: todos los gráficos pasan por el punto .
Si la función exponencial es creciente, es decir, las ordenadas crecen al crecer las abscisas. Por el contrario, si , la función es decreciente.
Dado el número real y , siendo , llamaremos logaritmo en base de , al número real tal que .
En símbolos:
si y solo si , con y , siendo Veamos algunas de sus propiedades:
La logaritmación es uniforme:
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12 Esto significa que el logaritmo de un número es único.
Logaritmo de un producto:
Logaritmo de un cociente.
Logaritmo de una potencia.
Logaritmo de una raíz:
Cambio de base:
Hay una relación que permite la conversión de logaritmos a cualquier otra base y que se deduce de
Es decir, si se divide el logaritmo de un número por el logaritmo de la base en la que se quiere expresar se obtiene el valor del mismo logaritmo en dicha base. Por ejemplo:
Calcular aplicando la definición:
a) b)
c) d)
e)
Sabiendo que y . Calcular, aplicando las propiedades de la logaritmación.
a) b)
c) d)
Sabiendo que resuelva como en el apartado anterior.
a) b)
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Utilización de la calculadora
Recurrir a las siguientes direcciones de páginas web a fin de revisar la aplicación de la calculadora en situaciones concretas de calculo.
Observar las situaciones en distintos modelos de calculadoras científicas
http://roble.pntic.mec.es/igam0034/Materiales/Calcu_I.pdf
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Funciones de primer grado
Toda función de primer grado en la variable es de la forma:
donde y son números reales, con
Las funciones de primer grado tienen las siguientes particularidades: Su representación gráfica en el plano real es una recta.
El dominio es el conjunto de los números reales La imagen es el conjunto de los números reales
La igualdad se llama ecuación explícita de la recta
La constante recibe el nombre de pendiente o parámetro de dirección y corresponde al valor de la tangente del ángulo (medido en sentido antihorario) que la recta forma con la dirección positiva del eje .
La constante recibe el nombre de ordenada al origen o parámetro de posición, geométricamente representa la intersección de la recta con el eje .
Y
X b
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Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Sea la función de primer grado definida por . Si hacemos , la expresión anterior se escribe:
que se denomina ecuación de primer grado en la variable x.
Por lo tanto, resolver esta ecuación implica hallar los ceros o raíces de la función polinómica de primer grado . Ya que la función es de primer grado, se tiene un solo cero o raíz, es decir un solo valor de que satisface la ecuación.
Por otra parte, la gráfica de la función es una recta y por lo tanto, resolver la ecuación geométricamente significa determinar la abscisa del punto de intersección de dicha recta con el eje
X.
EJEMPLO
Resolver la ecuación;
Sumando a ambos miembros y aplicando la asociatividad de la suma:
se obtiene:
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16 Multiplicando por a ambos miembros y aplicando la asociatividad del producto
y por la ley del inverso y el neutro para el producto se obtiene: , o sea
que es la única solución de la ecuación dada.
Aplicación:
1. Resolver analíticamente las siguientes ecuaciones: a. 9x + 8 = 7x + 16 b. 6x = 9.(3x - 1) -5 c. 2.(9x +5) - 12 = 9x d. x 4 x 3 4 e. 2 5 1 4 2 x x f. 3 7 4 4 5 5 (x ) x g. 13=5 2 5 8 4 x x x h. 3 9 7 8 1 2 7 .( x ) i. x a x b 1 j. x a x b x c 2 4 1 k. x a b x a b 2
2. Plantear cada una de las siguientes situaciones y encontrar su conjunto solución.
a. ¿Cuál es el número que aumentado con 24 llega a ser cinco veces mayor de lo que era antes?
b. La suma de las edades de 3 personas es de 85 años; ¿Calcular la edad de cada una, sabiendo que la edad de la segunda es el doble de la edad de la primera, y que la tercera tiene 15 años menos que la segunda.
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17 mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de dinero . ¿Cuántos pesos tendrá cada uno?
d. A una velada asistieron 20 personas. María bailó con siete muchachos, Olga con ocho, Ana con nueve, y así hasta llegar a Pepa, que bailó con todos ellos .¿Cuántos muchachos había en la velada?
e. Dos automóviles, A y B, cuyas velocidades medias son de y , respectivamente, distan . Hallar a que hora se encontraran sabiendo que a las de la tarde empiezan a moverse el uno hacia el otro.
f. Una columna de soldados marcha a una velocidad de . Un enlace a caballo va desde la cabeza de la columna hasta el final de la misma y regresa inmediatamente, empleando un tiempo total de . Suponiendo que la velocidad del enlace es de , hallar la longitud de la columna.
Funciones de segundo grado
Toda función de segundo grado en la variable es de la forma:
donde , y son números reales, con
Las funciones de segundo grado o cuadráticas tienen las siguientes particularidades: Su representación gráfica en el plano real es una parábola.
El dominio es el conjunto de los números reales, salvo se indique lo contrario.
La imagen es un subconjunto de los números reales depende de los valores de , y .
La igualdad , es la ecuación de la parábola, en donde: es el coeficiente del término cuadrático
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Ecuaciones de segundo grado
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19 Haciendo , la ecuación se puede escribir , que se denomina ecuación de segundo grado en la variable , por lo tanto, resolver esta ecuación implica hallar los ceros o raíces
de la función polinómica de segundo grado .
Como la función es de segundo grado, tiene dos raíces o ceros.
Por otra parte, geométricamente, determinar los ceros o raíces, significa determinar la abscisa de los puntos de intersección, si existen, de la parábola (grafico de la función dada) con el eje . Para determinar las posibles soluciones (o raíces reales), se emplea la siguiente fórmula:
.
Esto muestra que existen a lo sumo dos soluciones reales, y esto depende del valor que tome , llamado discriminante de la ecuación.
Si , la ecuación tiene dos soluciones reales distintas: y
Si , la ecuación tiene una sola raiz real doble:
y
Esto es:
Por lo tanto la parábola se interseca con el eje en un solo punto.
Aplicación:
1. Resolver las ecuaciones siguientes: a. 4x2 + 9x + 2 = 0 b. 2x2 - 9x - 5 = 0 c. (x+5).(x+2) = 40 d. x.(x+10) + 9 = 0 e. (x+3).(x-2) = 13x - 17 f. x2 - 4x+ 3 = 0 g. x x x x 1 1 1 1 6 h. 2 3 4 5 120 x. x
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20 Una suma de $ 400 debe distribuirse en partes iguales entre cierto número
de personas. Pero en el momento de la repartición faltan 5 de ellas, lo que permite dar $ 4 más a las otras. ¿Cuántas personas había al principio?. Las personas que asistieron a una reunión se estrecharon la mano. Uno de
ellos advirtió que los apretones de mano fueron 66. ¿Cuántas personas concurrieron a la reunión?.
Hállese tres números consecutivos en los que el cuadrado del número del medio sea mayor en una unidad al producto de los dos restantes.
Calcular los lados de un rectángulo, cuya superficie es de 396 m2 y sabiendo que el semiperímetro es de 40m.
La superficie de un triángulo es de 60 m2. ¿Cuál es la altura, sabiendo que tiene 2m más que la base?.
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22 Expresiones algebraicas
Expresiones algebraicas. Factorización. Simplificación. Operaciones.
En muchas oportunidades es necesario trabajar con fórmulas, tales como: El perímetro y el área de un terreno rectangular.
Perímetro ; Área
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23 El desplazamiento de un móvil que se mueve con M.R.U. con velocidad
durante un determinado tiempo :
La expresión que vincula, la presión , el volumen y la temperatura absoluta de un gas (ideal):
, donde es una constante propia del gas.
La expresión que vincula la hipotenusa de un triángulo rectángulo con sus catetos (Teorema de Pitágoras)
Todas éstas fórmulas son “expresiones algebraicas”.
Se denomina expresión algebraica a toda combinación de números y letras, vinculados por las operaciones de adición, sustracción, producto, división, potencia y radicación. A las letras se las denomina variables ya que representan números que no se han fijado.
Estas expresiones se clasifican en racionales (enteras o fraccionarias) e irracionales, según los exponentes a los que están afectados las variables.
Expresiones algebraicas enteras- Polinomios
Se llama polinomio de grado en la variable sobre el conjunto de los números reales a toda expresión de la forma:
, con y un número entero no negativo, con , , …, , números reales llamados coeficientes.
Notación:
A los polinomios en la variable x se los simboliza con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre paréntesis: P (x) ; Q (x) ; T (x)
A los polinomios que tienen un solo término se los llama monomios, a los que tienen sólo dos, binomios y a los de tres, trinomios.
A a0 se lo llama término independiente y a an se lo llama coeficiente
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Valor numérico:
El valor numérico de un polinomio P(x) es el número real que se obtiene al reemplazar la variable x por un número determinado y efectuar las operaciones que están indicadas.
Operaciones con polinomios: Suma - Resta:
La suma de dos polinomios es otro polinomio cuyos términos se obtienen sumando (o restando) los términos de igual grado.
Recordar que la resta se obtiene sumando a un polinomio, el opuesto del otro
Producto:
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los coeficientes de los términos de igual grado (para operar se deben tener en cuenta las propiedades distributiva del producto respecto de la suma de números reales y del producto de potencias de igual base)
División:
Para efectuar la división entre dos polinomios, el polinomio dividendo debe ser de grado mayor o igual que el grado del polinomio divisor y deben estar ordenados en forma decreciente. Además el polinomio dividendo debe estar completo.
1. Calcula: a) 2P(x) + Q(x) - R(x) = b) P(x) . Q(x) + R(x) = c) (P(x) - R(x)) + 1 2Q(x) d) R(x) : Q(x) = donde: P(x) = 2x2 -x ; Q(x) = 5x + 1 ; R(x)= 3x3 - 2x2 - 1 2. Calcule el valor numérico del polinomio 5x 3 + 2x2 - 3x + 4 , para :
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25 3. Calcule el valor numérico de la siguiente expresión algebraica para : a = -1 ; b = -1/2 ; c
= -2 y para a = 0,3 ; b = 0 ; c = -0,1 a2 c - a c2 + b c2 + a3 c3 b3
4. Dados los polinomios:
P(x) = 4 x3 - 2 x2 + 6 x - 3 Q(x) = -3 x3 + 4 x2 - 1 R(x) = x - ½ Calcular:
a) [ ¼ P(1) ]3 . Q(-1) = b) 1
5 [ R(2) - Q(-1) ]:P(-2) = c) Q(x) + P(x) . R(x) = d) [ Q(x) . P(x) ] - 2 R(x) =
5. Aplica la relación P(x) = Q(x) . C(x) + R(x) para encontrar un polinomio P(x), tal que dividido entre x2 - 1 de cociente x + 3 y resto x - 2 .
6. Utiliza la regla de Ruffini , calcula el cociente y el resto de : a) 6x3 + x4 - 2x + 15 - 6x2 entre x + 3 b) 2 3x5 - 3x4 - 5 6x3 + 1 2x6 + 2 3x entre x - 2 c) 3x3 + 4x2 - 3x + 5 entre x + 2
7. En las siguientes expresiones , que tiene la forma x - a , ¿cuál es el valor de " a ". x - 2 ; x + 3 ; x - 1 ; x + 4
8. Se sabe que al dividir x3 - x2 + a x - 10 entre x -2 la división es exacta ¿cuál es el valor de " a "?.
9. ¿Cuánto debe valer " a " para que al dividir x3 - x2 + 11 x + a entre x - 3 la división sea exacta?. ¿es a un múltiplo de 3?.
10. Calcular, sin efectuarlas , el resto de las siguientes divisiones : a) (x3 - 1) : ( x - 1) ; b) (x 4 + 2 x + 1) : ( x + 1) c) ( 3x5 - 4x3 + 2x2 - 7x + 1) : ( x - 1)
11. Determine el valor de "a " en el polinomio 2x 3 + ax + 3 de modo tal que al dividirlo en (x +3), de por resto -79
12. Determine los valores de "a", "b" y "c" en la siguiente expresión: (ax2 + bx + c) (x - 1) = 2x3 - x2 - 4x + 3
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26 a) P(x) = x4 - 5 x2 + 4 0 ... 1 ... 2 ... 3 ... 4 ... -1 ... -2 ... -3 ... -4 ... b) P(x) = x3 - 3 x2 - 4 x - 12 1 ... 2 ... 3 ... 0 ... -1 ... -2 ... -3 ...14. Recordando que un polinomio P(x) es divisible entre Q(x) solo si su resto es cero; indique entre que polinomios son divisibles los del ejercicio anterior.
Factoreo
Se dice que un polinomio P(x) es primo cuando no es posible expresarlo como un producto de polinomios de grado menor que el grado de P(x) , en caso contrario se dice que el polinomio es compuesto.
EJEMPLO:
P( x) x 9 es primo
Q( x) x2 16 ( x 4)( x 4) es compuesto
Factorear un polinomio significa transformarlo en un producto de factores primos.
Casos de factoreo Factor común:
Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor común por el polinomio que resulta de dividir cada término por ese factor.
Factor común por grupos:
Si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de igual número de términos, con un factor común en cada grupo, se extrae de cada uno de ellos el factor común y luego se factorea nuevamente con respecto al factor común que aparece entre paréntesis.
Trinomio cuadrado perfecto:
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Cuatrinomio cubo perfecto:
Si un polinomio es un cuatrinomio cubo perfecto, se factorea como el cubo del binomio formado por las bases de los cubos perfectos, que son términos del cuatrinomio, verificando en él los triples productos de los cuadrados de dichas bases por la otra como términos restantes del cuatrinomio.
Diferencia de cuadrados:
Si un binomio es una diferencia de cuadrados, se puede expresar como el producto de la suma por la diferencia de las bases de dichos cuadrados.
Expresiones algebraicas fraccionarias
Una expresión algebraica fraccionaria es una expresión de la forma , siendo el grado de mayor o igual que uno.
Se puede operar con las expresiones algebraicas fraccionarias y se lo hace de igual manera como se suman, restan, multiplican y dividen las fracciones numéricas.
15. Factorear los siguientes polinomios en función de sus raíces
a) P(x) = x2 - 2 x - 3 b) P(x) = x2 - 3 x - 10
c) P(x) = 3 x2 + 2 x - 1 d) P(x) = 2 x3 - 7 x2 - 17 x + 10 16. Transforme en producto las siguientes expresiones:
a) 3 (a + b) + x (a + b) + x2 (a + b) b) 1 2(x2 - 1) + 2a ( x2 - 1) - 5x ( x2 - 1) c) m5 + m3n + m2n3 + n4 d) x4 - x3 - 13x2 - x + 12 e) x4 + 3x3 - 7x2 - 27x - 18 f) 3( a - b ) + x ( -a + b ) g) 3( a - 1 2) + x ( 1 2 - a ) - x2 ( 2a - 1) h) 2 9x3 + 2 3x2 n - 1 3xn - n2 i) a2 - b2 j) x2 - 4 y2 k) 1 4x2 y4 - 0,81 x2 l) x6 - 2x3y + y2
m) x2 + 2xy + y2 + 5x + 5y n) 4x2 + 4xy + y2 - 6x -3y
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28 s) x3 + 2x2y + xy2 +2x2 + 4xy + 2y2
17. Simplifique las fracciones algebraicas: a) x x y y y x ( ) ( ) ; b) x x x x x 2 3 2 2 ; c) 2 2 5 12 16 2 a a a
18. Realice estas operaciones con fracciones algebraicas: a) 4 2 2 x x x ; b) 2 1 1 a a a a c) 2 3 1 3 2 1 5 4 1 x x x x x x d) 3 1 4 2 1 x x ; e) x y x x y x 3 2 : f) 2 1 1 x x x . g) a b c b a c c a b 2 2 2 . . . h) 2 4 2 2 a a b a: b 19. Calcule y simplifique al máximo los resultados
