MATEMÁTICAS. orientadas a las enseñanzas ACADÉMICAS

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TEMÁ

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tadas

a

las

enseñanzas

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CADÉMICAS

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Material elaborado para su uso en el aula.

Se distribuye bajo licencia CreativeCommons Reconocimiento-NoComercial 3.0 Es decir, puedes compartirlo y adaptarlo, a condición de que reconozcas la autoría (p.ej. con un enlace a mi web) y no lo utilices con ninguna finalidad comercial.

Í

NDICE

NÚMEROS RACIONALES 6

Operaciones con fracciones . . . 8

Expresión decimal y fraccional . . . 10

Aproximación y errores . . . 12 POTENCIAS Y RADICALES 15 Potencias . . . 15 Notación científica . . . 18 Radicales . . . 19 SUCESIONES 25 Progresión aritmética . . . 26 Suma de términos . . . 27 Progresión geométrica . . . 28 Suma de términos . . . 29

Aplicaciones a la aritmética financiera . . . 30

POLINOMIOS 32 Operaciones con polinomios . . . 33

Factorización . . . 39

Factorización utilizando la regla de Ruffini . . . 39

Procedimiento general de factorización . . . 40

ECUACIONES 42 Ecuaciones de primer grado . . . 42

Ecuaciones de segundo grado . . . 43

Resolución de ecuaciones por factorización . . . 45

SISTEMAS DE ECUACIONES 48 Método de sustitución . . . 49

Método de igualación . . . 50

Método de reducción . . . 51

Método gráfico . . . 52

Problemas con sistemas de ecuaciones . . . 53

GRÁFICAS Y FUNCIONES 55 Fórmulas, tablas y gráficas . . . 57

Estudio de la gráfica de una función . . . 58

Dominio y recorrido . . . 58

Puntos de corte con los ejes . . . 58

Continuidad . . . 59

Extremos . . . 60

Simetría . . . 60

FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS 62 Función lineal . . . 62

Pendiente y ordenada de la recta . . . 62

Función cuadrática . . . 66

Orientación de la parábola . . . 66

Localización del vértice . . . 67

RECTAS EN EL PLANO 69 Dirección de la recta . . . 69 Pendiente de la recta . . . 70 Ecuaciones de la recta . . . 71 GEOMETRÍA PLANA 75 Teorema de Pitágoras . . . 75 Perímetro y área . . . 76 CUERPOS GEOMÉTRICOS 82 Poliedros . . . 82 Prismas . . . 82 Prisma truncado . . . 84 Pirámides . . . 85 Pirámide truncada . . . 86 Cilindros . . . 87 Cilindro truncado . . . 88 Conos . . . 88 Cono truncado . . . 89 Esferas . . . 90 SEMEJANZA 91 Teorema de Tales . . . 92 Escalas . . . 96 Movimientos en el plano . . . 98 ESTADÍSTICA 103 Tipos de variables . . . 103 Tablas de frecuencias . . . 105 Gráficos estadísticos . . . 108 Parámetros de posición . . . 109 Parámetros de dispersión . . . 112

Diagramas de cajas y bigotes . . . 114

PROBABILIDAD 116 Combinatoria . . . 116

Experimentos aleatorios y deterministas . . . 119

Tipos de sucesos . . . 119

Operaciones con sucesos . . . 120

Cálculo de probabilidades . . . 124

N

ÚMEROS RACIONALES

R

Q

Z

N

En cursos anteriores hemos trabajado fundamentalmente con números naturales (N) y números enteros (Z), aunque hemos ido adquiriendo alguna soltura en el manejo de números racionales (Q) escritos tanto en forma fraccional como en forma decimal.

En este curso continuaremos trabajando sobre lo ya cono-cido pero, sobre todo, avanzaremos de forma significativa en el manejo de números reales (R). .

Por eso iniciaremos el curso con un breve repaso de operaciones con números enteros (¡importantísimo no confundirse con los signos!) y procederemos a trabajar ya con fracciones desde el primer tema.

OPERACIONES CON NÚMEROS NEGATIVOS

A modo de repaso, recordemos las operaciones con números enteros.

Para sumar dos negativos, sumamos su valor absoluto y al resultado le ponemos signo negativo.

Para sumar dos números de distinto signo, restamos su valor absoluto y al resul-tado le ponemos el signo del mayor en absoluto.

Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto.

Para multiplicar o dividir debemos tener en cuenta sus signos: • Si ambos tienen el mismo signo, el resultado es positivo. • Si tienen signos diferentes, el resultado es negativo.

Jerarquía de operaciones

1. Paréntesis y corchetes 2. Potencias y raíces

3. Multiplicaciones y divisiones 4. Sumas y restas

Las operaciones deben realizarse en el orden correcto.

Utilizaremos pasos intermedios siempre que sea necesario y procuraremos ser cuidado-sos a la hora de operar con signos.

1. Opera: a) 120 − (16 − 5) − [38 − (−6)] b) 5 · (−2) − 3 · (−1) − 5 · 2 + 7 c) 16 − [5 − (−9)] : (−7) + 7 · [−5 − 3 · (−2)] d ) 24 : (−2) − 3 · 4 − 6 : 2 − (−3) · (−2) e) 40 : (−2) · 5 − 6 + 6 · [101 + 53 · (−2)] f ) (−4) · 3 : 2 − 3 · 23 + 5 · (−3) − 20 g ) (5−10)·(5+10)−12 : [16−15 : (−1)−29] h) 3 − (5 · 2) + 12 : (−3) − 4 · (6 − 4) i ) 32− (4 − 3 · 2) + 6 + 2 · (24 : 4) j) [48 − 5 · (−9) : 3] − 6 + 4 · [19 − 3 · (−7)] k) 2 − [2 − (−4) − 12 : (−3)] − (52· 3 − 1) l ) 4 − [2 − (3 − 4 · 3)] + [4 − (24 : 4)]2− 4

FRACCIONES EQUIVALENTES

Llamamos fracciones equivalentes a aquellas que representan el mismo número.

Un método para obtener fracciones equivalentes consiste en multiplicar (o dividir) nume-rador y denominador por el mismo número.

Una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador son primos entre sí (es decir, su único divisor común es 1) y por lo tanto no puede simplificarse más.

Recordemos que no son pares de números, sino cocientes de esos pares de números. De dividir 1 entre −3 resulta lo mismo que de dividir −1 entre 3, que en ambos casos es el número negativo que corresponde a ese cociente.

−1 3 = 1 −3 = − 1 3

2. Simplifica las siguientes fracciones:

a) 36 100 b) 34 51 c) −81 120 d ) 54 80 e) 55 121 f ) −32 128 g ) 84 21 h) 17 68 i ) −20 −45 j) 120 104 k) 68 80 l ) −1800 32000 m) −12 100 n) −17 34 ñ) 84 −21 o) −32 −128 p) −20 45 q) −120 −104

OPERACIONES CON FRACCIONES

S

Solo es posible sumar o restar aquellas fracciones que tienen el mismo denominador. Si no lo tuviesen, procederíamos hallando fracciones equivalentes a ellas que tengan un denominador común. + − = + − 5 6 + 3 4 − 1 = 10 12 + 9 12 − 12 12 = 7 12 3. Opera y simplifica: a) 10 11 − 4 7 + 3 5 b) 13 12 − 7 8 − 5 24 c) 3 4 − 1 2 + 5 8 d ) −4 15 + 3 5 − 7 3 e) 4 7+ 2 3− 5 f ) 5 27 − 5 9− 5 3 g ) 1 6 − 8 3 + 3 20 h) −1 −15 24 + 50 6 i ) −5 8 + 3 4+ 4 6 4. Opera y simplifica: a) 42 18 + 35 20 − 17 42 b) 5 5 + 3 4 + 2 3 c) 3 5 − 1 4 − 1 6 d ) 3 5− 1 − −2 3 − 7 6 e) 3 5− 7 − 9 10 + 5 12 f ) 7 8− 6 7+ 1 14 g ) 1 −3 5 − 1 3 + 1 4 h) 13 17 + 3 15 − 9 + 8 20 i ) 23 + 7 40− 10 7 − 14

M

El producto de fracciones se obtiene multi-plicando numerador por numerador y deno-minador por denodeno-minador.

2 7 · 3 4 = 2 · 3 7 · 4 = 14 12 = 7 6

El cociente de dos fracciones es igual al producto de la primera por la inversa de la segunda. 5 6 : 9 8 = 5 · 8 6 · 9 = 40 54 = 20 27 5. Opera y simplifica: a) 1 5 · 4 7 b) 12 15 · 25 36 c) 16 5 · 3 90 · 5 11 d ) 13 42 · 6 5 · 24 10 e) 3 4 · 11 18 · 2 f ) 20 9 · 5 · 9 11 g ) 2 3 : 4 9 h) 1 15 : 6 10 i ) −12 5 : 4 25 j) −7 2 : (−4) k) 8 : 7 6 l ) 16 5 : (−24)

6. Opera y simplifica: a) −3 5 · 4 3 · −6 7 b) 4 · 6 15 · 9 12 c) 12 40 · (−5) · −35 14 d ) −8 6 · −17 21 · 1 5 e) −40 5 · −10 11 · −2 9 f ) 20 ·−7 9 · 72 g ) 8 12 : 4 24 h) 7 10 : −21 10 i ) −21 8 : 7 8 j) −15 20 : −75 16 k) 5 6 : (−15) l ) 15 : 5 6

O

El orden de las operaciones se mantiene en todos los conjuntos numéricos.

Utilizaremos pasos intermedios siempre que sea necesario y procuraremos ser cuidado-sos a la hora de operar con signos.

Jerarquía de operaciones 1. Paréntesis y corchetes 2. Potencias y raíces 3. Multiplicaciones y divisiones 4. Sumas y restas 7. Opera y simplifica: a) 1 5· Å 1 2 + 1 3 ã b) 3 4+ 5 4· 2 3 c) 1 10 : Å 2 3− 2 5 ã d ) Å 2 3 − 1 2 ã :Å 1 6 − 2 5 ã e) 23 12+ 1 5 : Å 4 5+ 2 ã f ) 7 4 : Å 4 3 − 3 8 ã · 3 8. Opera y simplifica: a) 5 6− 2 6· Å 9 4 − 1 2 ã b) 5 3− 2 5· 7 2 − 1 3 c) 5 3 − Å 2 5· 7 2 − 1 3 ã d ) 5 36 − Å 7 16 + 1 4 : 3 5 ã e) Å 2 3 · 5 − 3 4 ã ·7 2 f ) Å 5 4 − 3 8 · 4 9 ã − 4 5· 2 9. Opera y simplifica: a) ïÅ −7 3 ã ·4 5 − 2 ò ·5 3 b) 8 3− ï 2 :Å 1 3 − 1 ã −5 2 ò c) −3 · 4 15 − Å 7 8· 5 − 9 ã d ) 1 −3 2· 4 − 1 3· Å 1 5 − 1 10 ã e) Å 3 2 − 1 5 + 1 20 ã · 5 −3 4· 6 5 f ) 1−ï 3 2· 5 − 1 2 · Å 2 3 + 1 9 ãò

Problemas con fracciones:

10. ¿Cuántas botellas de 3₄ de litro se pueden llenar con una garrafa de 30 litros?

11. Para una fiesta hemos comprado 60 latas de refresco de 1₃ de litro. ¿Cuántos litros había en total?

12. Dos hermanos se han repartido las canicas de un bote. El mayor se lleva 5₈ del total y el menor las 66 restantes. ¿Cuántas canicas había en el bote?

13. Un frasco de perfume tiene una capacidad de ₂₀1 litros. ¿Cuántos frascos de perfume pueden llenarse con el contenido de 3₄ litros?

14. Breixo se come 2₇ de un bizcocho y para la merienda 3₅ de lo que le quedaba. ¿Qué fracción se ha comido? ¿Qué fracción ha sobrado?

15. De un depósito que contenía 600 litros de agua han sacado primero 1₆ del total y después 3₄ del total. ¿Cuántos litros quedan?

16. Compramos un televisor por 1300 e y pagamos 1₄ al contado y el resto en 6 plazos. ¿Cuál será el importe de cada plazo?

17. En una carrera de coches el trazado tiene 372 km. ¿Cuántos kilómetros faltan para meta si ya han recorrido ₄₀9?

18. Una persona ha cosechado durante la mañana ₄₃1 de un campo y por la tarde la mitad del resto. Si todavía le quedan 170 hectáreas, ¿cuál es la superficie total del campo?

19. Un ganadero vende 3₄ del número de reses que tiene. Más tarde 3₄ del resto, quedando así 16 reses en la ganadería. ¿Cuántos animales tenía?

EXPRESIÓN DECIMAL Y FRACCIONAL

E

Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción se obtiene una expresión

decimal equivalente a la propia fracción.

10 2 = 5 9 2 = 4 0₅ 2 9 = 0 0 Û 2 2 90 = 0 0_0Û2

Los números racionales pueden ser enteros, decimales exactos, decimales periódicos puros o decimales periódicos mixtos, tal y como ilustra el ejemplo anterior.

Pero ten en cuenta que también existen números decimales irracionales.

20. Escribe los siguientes racionales en forma decimal, dividiendo hasta la tercera cifra decimal, y clasifícalos cuando sea posible:

a) 26 9 b) 45 12 c) 1 45 d ) 48 12 e) 88 25 f ) 44 12 g ) 67 30 h) 108 72 i ) 136 225 j) 91 18 k) 925 7 l ) 60 120 m) 61 33 n) 47 30 ñ) 333 128

F

La fracción generatriz de un número decimal es aquella fracción irreducible equivalente al número.

DE UN DECIMAL EXACTO

Basta con escribir el número sin coma deci-mal y dividirlo por el múltiplo de 10 adecua-do.

4025 = 425 100 =

17 4

21. Halla la fracción generatriz de los siguien-tes números decimales exactos:

a) 305 b) 608 c) 309 d ) 14007 e) 42008 f ) 16094 g ) 00001 h) 30025 i ) 00025 j) 12050 k) 10010 l ) 4095 DE UN DECIMAL PERIÓDICO

Debemos multiplicar nuestro número por dos múltiplos de 10 que nos permitan obtener sendos resultados con idénticos decimales y proceder a restarlos entre si.

De este modo se simplifica la parte periódica y se puede despejar de forma sencilla.

Veámoslo con un decimal periódico puro como x = 2035:Ù 100x = 2350353535 . . . x = 20353535 . . . 99x = 233 Por lo tanto x = 2035 =Ù 233 99 .

22. Halla la fracción generatriz de los siguientes números decimales periódicos puros:

a) 30Û5 b) 60Û8 c) 30Û9 d ) 14007Ù e) 42008Ù f ) 16094Ù g ) 00˜001 h) 30˜025 i ) 00025˜ j) 12050Ù k) 10010Ù l ) 40Û9

Veámoslo también con un decimal periódico mixto como x = 203Û5: 100x = 2350555555 . . . 10x = 230555555 . . . 90x = 212 Por lo tanto x = 203Û5 = 212 90 = 106 45 .

23. Halla la fracción generatriz de los siguientes números decimales periódicos mixtos: a) 003Û5 b) 006Û8 c) 003Û9 d ) 1400Û7 e) 4200Û8 f ) 1609Û4 g ) 0000Û1 h) 000 Ù01 i ) 300 Ù25 j) 3002Û5 k) 102Û5 l ) 102 Ù50

F

La fracción generatriz de un número periódico es equivalente a:

todas las cifras del número - las cifras no periódicas

tantos 9 como cifras periódicas, tantos 0 como cifras decimales no periódicas

3304 Ù92 = 33492 − 334

990 =

16579 495

24. Halla la fracción generatriz de los siguientes números decimales, aplicando directamente la fórmula: a) 106 b) 7067 c) 4025 d ) −2035 e) 100225 f ) 70Û6 g ) −10042Ù h) 40Û9 i ) 15015Ù j) 240Û6 k) 200 Ù25 l ) −1501Û5 m) 30Û2 n) 3020Ù ñ) −1201Û7 o) 503Û5 p) 001Û9 q) 300 Ù01

25. Realiza las operaciones siguientes expresando los números en forma de fracción:

a) 702Û3 + 00Û6 b) 4072 : 0Ù 022Ù c) 2015 − 2Ù 0Û1 d ) 0075 + 0025 · 1Ù 0Û6

APROXIMACIÓN Y ERRORES

Las cifras significativas de una medida son las que aportan información relevante.

Aproximación por truncamiento: Se ignoran las cifras no significativas. Aproximación por redondeo: Se obser-va la primera cifra no significatiobser-va.

• Si es menor que 5, se actúa igual que por truncamiento.

• Si está entre 5 y 9, se suma 1 a la última cifra significativa.

Valor exacto Truncamiento a centésimas

20Û3 2033

20Û6 2066

Valor exacto Redondeo a centésimas

20Û3 2033

26. Aproxima los siguientes números a las unidades de millar, por truncamiento y por redondeo:

a) 3 125 345 b) 1 198 542 c) 15 738 928 d ) 695 258

27. Aproxima los siguientes números a las décimas, por truncamiento y por redondeo:

a) 209876 b) 1309295 c) 120Û4 d ) 702Û6 e) 404 Ù15 f ) 60Û3

28. Aproxima los siguientes números a las milésimas por truncamiento y por redondeo:

a) 209876 b) 1309295 c) 120Û4 d ) 702Û6 e) 404 Ù15 f ) 60Û3

29. Aproxima los siguientes números a las décimas, por truncamiento y por redondeo:

a) 40 3 b) 7 18 c) 5 6 d ) 5 9 e) √7 f ) π

Al aproximar asumimos un cierto margen de error.

También hay errores que no derivan del cálculo sino de la medición, pues ni siquiera las herramientas más precisas son totalmente exactas.

E

El error absoluto es la desviación con respecto al valor exacto, medido en valor absoluto (es decir, sin importar si el error es por exceso o por defecto).

ea= |valor exacto − valor aproximado|

Cuando esa resta involucre fracciones, deberemos emplear la fracción generatriz del valor aproximado.

30. Calcula el error absoluto cometido al aproximar a las unidades de millar por truncamiento cada uno de los siguientes números.

a) 4 345 734 b) 8 945 354 c) 22 873 996 d ) 423 298

31. Calcula el error absoluto cometido al aproximar a las unidades de millar por redondeo cada uno de los siguientes números.

a) 4 345 734 b) 8 945 354 c) 22 873 996 d ) 423 298

32. Razona cuál de los dos métodos de aproximación te parece más útil.

33. Calcula el error absoluto cometido al aproximar a las décimas por redondeo cada uno de los siguientes números. a) 40345 b) 2705695 _c) 5 6 d ) 5 9 e) 1 30

34. Calcula el error absoluto cometido al aproximar a las milésimas por redondeo cada uno de los siguientes números, utilizando fracciones generatrices cuando sea conveniente.

a) 4032Ù b) 27056Ù c) 1200Û2 d ) 2103 Ù34 e) 101Û6

E

No es lo mismo cometer un error 1 kg cuando pesas la harina de una tarta que cuando pesas un camión.

Por eso necesitamos una medida relativa que nos indique el error cometido en proporción al total, a la que llamaremos error relativo.

er=

ea

valor exacto

35. Calcula el error relativo cometido al redondear a las unidades de millar cada uno de los siguientes números.

a) 12 125 265 b) 3 729 613 c) 51 644 795 d ) 234 512

36. Calcula el error relativo cometido al redondear a las décimas cada uno de los siguientes números.

a) 709834 b) 2504219 _c) 7 6 d ) 8 9 e) 16 3

37. Calcula el error relativo cometido al redondear a las milésimas cada uno de los siguientes números, utilizando fracciones generatrices cuando sea conveniente.

P

OTENCIAS Y RADICALES

POTENCIAS

Una potencia de exponente natural es una forma abreviada de escribir el producto de factores iguales.

Ese factor se llama base y el número de veces que la base se multiplica por si misma se llama exponente .

75 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 (−10)3= (−10) · (−10) · (−10)

P

Cuando la potencia tiene base positiva, el resultado es siempre positivo. Cuando la potencia tiene base negativa:

si el exponente es par, el resultado es positivo. si el exponente es impar, el resultado es negativo.

Fíjate muy bien siempre en los signos negativos.

No es lo mismo que el signo forme parte de la base de la potencia que que esté fuera de ella.

(−3)2 = (−3) · (−3) = 9 −32 _{= −3 · 3 = 9}

1. Calcula el valor de las siguientes potencias:

a) 73 b) (−7)3 c) −44 d ) 108 e) (−11)2 f ) −62 g ) 54 h) −83 i ) (−3)8 j) 35 k) (−5)4 l ) −134 m) 26 n) (−2)6 ñ) −26 o) 162 p) (−1)99 q) −199

2. Al calcular una potencia de exponente 4 obtenemos como resultado 256. ¿Cuál es el valor de la base?

3. Hemos colgado un video en Youtube que se ha convertido en viral y el número de visitas se duplica cada hora.

a) Si en el momento de colgarlo tiene solo 1 visita, expresa con una potencia las visitas que

tendrá tras un día entero.

O

Para multiplicar potencias de la misma base basta con sumar sus exponentes. 72· 73 _{= (7 · 7) · (7 · 7 · 7) = 7}5

Para dividir potencias de la misma base basta con restar sus exponentes.

39 : 34 =
3 ·
3 ·
3 ·
3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3

3 ·
3 ·
3 ·
3 = 3

5

Para calcular la potencia de una potencia basta con multiplicar sus exponentes. (105₎3 _{= 10}5_{· 10}5_{· 10}5 _{= 10}15

No hay ninguna regla para la suma ni para la resta de potencias.

4. Escribe como una única potencia:

a) 32· 35_{· 3}4 b) 76: 72: 7 c) 1215_{· 12}3_{: 12}9 d ) (−10)5· (−10)2_{: (−10)}4 e) (52)3 : 55 f ) 95_{· (9}2_{· 9}3₎2 g ) 69· (615_{: 6}12₎2 h) (108 : 105)3· 107 i ) (45_{· 4}6₎2 _{: (4}2_{· 4}4₎3

POTENCIAS DEL MISMO EXPONENTE

La potencia de un producto es igual al producto de potencias. (12 · 5)3 = 123· 53

La potencia de un cociente es igual al cociente de potencias.

5. Escribe como una única potencia: a) 74· 24_{· 3}4 b) 22_{· 3}2_{· (−1)}2 c) 46· 66 _{: 8}6 d ) (−15)3 : 53 e) 97_{· 8}7_{: 6}7 f ) (−20)5 : 105· (−1)5 g ) 84· 34 _{: 6}4 h) 96 _{: (−15)}6_{· 25}6 i ) 36−4· (−2)−4: 24−4

6. Factoriza los números compuestos y escribe como una única potencia:

a) 98 : 39 b) 83· 25 c) (83)2· 162 d ) 35· 96_{: 27}2 e) 254 : 125 · 56 f ) (−4)7 : (−2)5

P

Toda potencia de exponente 0 procede de una división de potencias iguales, por eso siempre tiene valor 1.

120 = 12

5

125 = 1

Toda potencia de exponente negativo es igual a la inversa de la potencia con dicho exponente en valor absoluto.

1 32 = 30 32 = 3 −2 7. Calcula: a) 4−3 b) 9−2 c) 17−1 d ) (−3)−2 e) 2−6 f ) (−1)−19 g ) 15−2 h) (−2)−8 i ) 3−4 j) 1−13 k) 2−8 l ) (−4)−3 8. Calcula: a) 10−1 b) 10−2 c) 10−3 d ) 10−6 e) 100 f ) 10−12

9. Expresa como una única potencia:

a) 7−3· 70_{· 7}5 b) 5−6 : 5−4 c) 12−7 : 125· 1220 d ) 1 72 · 7 5 _{: 7}−6 e) 39· 3−7_{: (3}2_{· 3}−3₎2 f ) 2−6: 2−10· 2 g ) (43 : 4−3)−4· (4−3· 4−1)5 h) (64· 6−1)−2· (62₎3_{: 6} i ) ((−3)4·(−3)2₎3_{: (3}4_·3)3

10. Expresa como una única potencia y calcula:

a) (3 3₎−2_{· 3}8_{· 3} (34_{· 3}−2₎2 b) 23_{· 2}−5_{· 2}4 20_{· 2}−2 c) (5−2)−3· 55_{· 5}−10 ((52₎−1₎3_{· 5}4

P

La potencia de una fracción es la que resulta de elevar el numerador y el denomi-nador al exponente dado.

Å −7 9 ã3 = (−7) 3 93

Recuerda que una potencia de exponente

negativo es igual a la inversa de la potencia

con exponente en valor absoluto.

Å 3 10 ã−4 =Å 10 3 ã4

11. Desarrolla como cociente de potencias y calcula:

a) Å 3 5 ã2 b) Å 7 9 ã3 c) Å₋₁ 2 ã4 d ) Å − 5 15 ã3 e) Å 5 6 ã−2 f ) Å 4 7 ã−3 g ) Å 2 3 ã−4 h) Å 4 5 ã−1 12. Calcula: a) Å 2 3 ã−3 ·Å 2 3 ã0 ·Å 2 3 ã5 b) Å 1 5 ã−6 :Å 1 5 ã−4 c) Å 3 4 ã−7 :Å 3 4 ã5 ·Å 3 4 ã20 d ) Å 1 7 ã2 ·Å 1 7 ã−5 :Å 1 7 ã−6 e) Å 4 3 ã−6 :Å 4 3 ã−10 ·Å 4 3 ã f ) ñÅ 1 2 ã2 :Å 1 2 ã−3ô−3 ·ñÅ 1 2 ã−4ô−4

N

OTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica es una forma de escribir los números que acomoda valores de-masiado grandes (100 000 000 000) o pequeños (00000 000 000 01) para ser escritos de manera convencional.

Los números expresados en notación científica constan de dos factores: un número con una única cifra entera

una potencia de base 10

Expresión convencional Notación científica

400 000 4 · 105

32 000 000 302 · 107

00000 5 5 · 10−4

13. Escribe en notación científica: a) 12 000 000 b) 365 800 000 000 c) 00000 000 37 d ) 00004 075 e) 15 320 000 000 f ) −1 320 000 000 g ) 00000 004 236 h) −00000 000 017

14. Escribe en notación decimal:

a) 3024 · 106 b) −4026 · 108 c) 5078 · 10−8 d ) −2098 · 10−7

15. Me han hecho un análisis de sangre, y el resultado dice que tengo 5 millones de glóbulos rojos en cada mm3.

a) Expresa en notación científica los glóbulos rojos que hay en cada mm3.

b) Expresa en notación científica los glóbulos rojos que tendré en total, teniendo en cuenta

que tengo aproximadamente 4’5 litros de sangre. 16. Utiliza la calculadora para operar en notación científica:

a) 3 · 1021+ 102 · 1020

b) 2025 · 10−15− 30_{17 · 10}−13

c) (10435 · 1017) · (70286 · 10−15)

d ) (5025 · 1012_{) : (2}0_{5 · 10}9₎

17. Se estima que el volumen de agua de los océanos es de 1 285 600 000 km3 _{y el volumen de agua}

dulce 35 millones de km3.

Escribe esas cantidades en notación científica y expresa la proporción de agua dulce.

18. Se sabe que en un átomo de hidrógeno el núcleo constituye el 99 % de la masa, y que la masa de un electrón es aproximadamente 90109 · 10−31 kg.

Teniendo en cuenta que el hidrógeno cuenta con un único electrón, ¿qué masa tiene el núcleo del átomo de hidrógeno?

RADICALES

La raíz cuadrada es la operación inversa a la potencia de exponente 2. La raíz cúbica es la operación inversa a la potencia de exponente 3. La raíz cuarta es la operación inversa a la potencia de exponente 4. Y así sucesivamente.

n

√

x = a ⇐⇒ an= x

El número que está dentro del símbolo de raíz (x) se llama radicando y el número pequeño que aparece en el exterior (n) se llama índice. Cuando el índice es 2 no es necesario indicarlo.

No existen raíces cuadradas reales de números negativos, pero sí raíces cúbicas, quintas y de cualquier otro índice impar.

Las raíces de índice par, cuando existen, pueden tomar dos valores opuestos.

Si no se nos especifica un signo concreto debemos asumir que se buscan ambos resultados.

52_{= 25 −→}√_{25 = ±5}

19. Calcula las siguientes raíces cuadradas, cuando sea posible, e indica todas las soluciones posibles:

a) √49 b) √225 c) √400 d ) √2 500 e) √8 100 f ) √10 000 g ) √12 100 h) √22 500 i ) √16 000 000 j) √0 k) √−49 l ) √−121

20. Calcula las siguientes raíces, cuando sea posible, e indica todas las soluciones posibles:

a) √31 b) √3₋₁

c) √416 d ) √4₋₁₆

e) √532 f ) √5₋₃₂

En ocasiones el cálculo de una raíz es demasiado complicado, pues el resultado puede ser un número irracional.

Por ello dejaremos el radical indicado y realizaremos las operaciones y simplificaciones que sea posible sin intentar expresarlo en forma decimal.

P

Los radicales de índice n se corresponden con potencias de exponente 1_n.

n

√ x = x1n

Si el radical tiene un exponente basta aplicar las propiedades de las operaciones de poten-cias para simplificarlo.

n

√

xm_{= (x}m_)n1 _{= x}m_n

21. Transforma las siguientes potencias en radicales:

a) 516 b) 2 1 5 c) 8 3 4 d ) 7 2 3 e) 10 −2 3 f ) 3 −5 2

22. Convierte los siguientes radicales en potencias de exponente fraccionario y simplifica la fracción:

a) √4312 _b) 16√

98 _c) 10√

715 _{d )} √4₋₃₁₂

23. Calcula, transformando en potencia o radical cuando sea preciso:

a) 3 √ 116 _{b) 16}005 _c) √₈₁00₅ d ) √ 3200₆

S

Para simplificar un radical, se expresa en forma de potencia de exponente fraccionario y se halla la fracción irreducible del exponente.

10√ 35 _{= 3}105 = 3 1 2 = √ 3

24. Simplifica los siguientes radicales:

a) 8 √ 72 _b) 10√ 24 _c) √6 111_{2 d )} 21√ 37 _e) √6 53 _{f )} 15√ 1310

25. Factoriza los radicandos y simplifica:

a) √4 64 b) √2 1024 c) √5 1024 d ) √4 1024 e) √2 729 f ) √3 729

O

Teniendo en cuenta que los radicales son potencias de exponente racional, es lógico pensar que podemos emplear todas las reglas de operaciones para potencias.

Pero en este caso debemos tener muy claras las reglas de operaciones con fracciones.

RADICALES CON EL MISMO RADICANDO

Para multiplicar radicales con el mismo radicando debemos sumar las inversas de sus índices. √ 7 ·√37 = 712 · 7 1 3 = 7 5 6 = 6 √ 75

Para dividir radicales con el mismo radicando debemos restas las inversas sus índices.

4 √ 3 : √83 = 314 : 3 1 8 = 3 1 8 = 8 √ 3

26. Multiplica los siguientes radicales y simplifica cuando sea posible:

a) √3 ·√33 _b) √3

52_·√4

5 c) √4

7 ·√672 _{d )} √3

27. Divide los siguientes radicales y simplifica cuando sea posible: a) √3 :√3 b) √3 5 : √4 5 c) √4 7 :√6 7 d ) √3 2 :√6 2

La potencia de un radical es igual al radical de la potencia.

Ä√

103ä5 ₌Ä₁₀3₂ä5_{= 10}15_{2 =}√₁₀15

La raíz de un radical se calcula multiplicando los índices.

3 p√ 5 =Ä512 ä1₃ = 516 = 6 √ 5

28. Simplifica las siguientes potencias de radicales:

a) Ä√10ä4 b) Ä√4

3ä2 c) Ä√3

5ä6 d ) Ä√675ä3

29. Opera las siguientes raíces de radicales:

a) p3 √410 b) p5 √39 c) p√47 d ) p√3 15

RADICALES CON EL MISMO ÍNDICE

El radical de un producto es igual al producto de radicales.

3 √ 10 = (2 · 5)13 = 2 1 3 · 5 1 3 = 3 √ 2 ·√35

El radical de un cociente es igual al cociente de radicales.

4 … 20 3 = Å 20 3 ã1 4 = 20 1 4 314 = 4 √ 20 4 √ 3

30. Factoriza los radicandos y convierte en producto de radicales:

a) √45 b) √3

60 c) √3

24 d ) √225

31. Realiza las siguientes operaciones, siempre que sea posible:

a) √2 ·√3 b) √4 3 : √4 27 c) √3 5 ·√5 d ) √3 7 :√4 2

E

Otra forma de hacer más manejable un radical es extrayendo los factores que sea posible. Cuando el exponente del radicando es mayor que el índice, lo separamos en dos partes: una de ellas ha de ser múltiplo del índice. Esa parte podrá simplificarse a un número entero. 4 √ 1311₌ √4 138_{· 13}3 ₌√4 138_·√4 133_{= 13}2_·√4 133

32. Extrae los factores del radical que sea posible:

a) √ 117 _b) √5 712 _c) √4 29 _{d )} √3 59 _e) √₃9 _{f )} √5 3−6

33. Factoriza y extrae factores del radical:

a) √8 b) √332 c) √564 d ) √729 e) √4729 f ) √3625 En un caso general, factorizamos el radicando y aplicamos la propiedad del producto de potencias del mismo exponente.

3

√

25_{· 5}3_{· 7}8 ₌√3

23_{· 2}2_{· 5}3_{· 7}6_{· 7}2 _{= 2 · 7}2_·√3

2 · 6 · 72

34. Extrae factores del radical:

a) √217_{· 5}20_{· 7}15 b) √225_{· 3}8_{· 13}17 c) √3230_{· 7}54_{· 11}14 d ) √3224_{· 3}18_{· 5}15 e) √3218_{· 13}2_{· 7}20 f ) √6528_{· 17}15_{· 29}12

35. Factoriza y extrae factores del radical:

a) √75 b) √162 c) √348 d ) √4 80 e) √1375 f ) √3 432 g ) √24 h) √87 i ) √1620 j) √4 104 k) √33240 l ) √4 405

S

Las reglas de las operaciones con potencias no facilitan ningún método para sumar o restar radicales.

Pero en aquellos casos en los que los radicales sean semejantes (es decir, mismo radicando y mismo índice) podemos aplicar un razonamiento algebraico para extraer factor común y realizar la operación.

5√2 + 7√2 = (5 + 7)√2 = 12√2

36. Realiza las siguientes operaciones: a) 3√6 + 2√6 b) 5√2 − 9√2 c) −3√3 25 − 7√3 25 d ) √3 5−3√3 5+ 5√3 5

37. Plantea cuidadosamente y opera:

a) √ 3 4 + √ 3 6 b) 3 √ 7 + 3 √ 7 4 c) 2 3 4 √ 5 − 4 √ 5 2 d ) −√15 3 + 3 √ 15

38. Extrae factores de los radicales y opera cuando sea posible:

a) √18 +√50 b) √3

88 −√3

297 c) √45 −√3

S

UCESIONES

Una sucesión es una secuencia infinita y ordenada de números. {2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . }

Llamamos término a cada uno de los elementos de una sucesión.

Para representar los diferentes términos de una sucesión se utiliza un subíndice que indica su posición en en la sucesión.

Posición 1a 2a 3a 4a 5a

Término a1 = 2 a2= 4 a3 = 6 a4 = 8 a5= 10

1. a) Representa (con el formato del primer ejemplo) la sucesión de los números naturales impares. b) ¿Cuál es el término en quinta posición? ¿Y en décima posición?

2. a) Representa la sucesión de números racionales cuyo numerador son números naturales y cuyo

denominador es siempre 4.

b) ¿Cuál es el término en cuarta posición? ¿Y en sexta posición? ¿Y en vigésima?

Se llama término general de una sucesión al término que ocupa el lugar n-ésimo y se escribe con la letra que denote a la sucesión y subíndice n.

an= 2n bn=

1

n cn= n

3

El término general, cuando somos capaces de obtenerlo, es una herramienta que facilita enormemente el trabajo con sucesiones.

Para hallar el término en la posición 1 basta con sustituir la n por 1, para la posición 2 la sustituimos por 2, etc.

an= n2 3 n = 1 −→ a1 = 1 2 3 = 1 3 n = 2 −→ a2 = 2 2 3 = 4 3 n = 3 −→ a3 = 3 2 3 = 3

3. Halla los primeros diez términos de las siguientes sucesiones: a) an= 1 − n b) bn= n + 4 c) cn= (3 + n)2 d ) dn= (−1)n e) en= n2 f ) fn= 1 n g ) gn= n2+ n − 1 h) hn= −n2

4. ¿Cuál es el término general de las siguientes sucesiones?

a) {1, 2, 3, 4, . . . } b) {1, 2, 4, 8, . . . } c) {1, 4, 9, 16, . . . } d ) {2, 3, 4, 5, . . . } e) {2, 4, 8, 16 . . . } f ) {4, 9, 16, 25, . . . } g ) {10, 15, 20, 25, . . . } h) {5, 10, 20, 40, . . . } i ) {0, 1, 4, 9, . . . } j) {10, 5, 0, −5, . . . } k) {2, −4, 8, −16, . . . } l ) {−1, −4, −9, −16, . . . }

P

ROGRESIÓN ARITMÉTICA

Las progresiones aritméticas son un tipo particular de sucesiones que se caracterizan por que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante.

La diferencia suele representarse con una letra d, y puede ser un valor real cualquiera.

an = { 2, 5, 8, 11, 14, . . . }

+3 +3 +3 +3 d = 3

5. Comprueba si las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas:

a) {1, 2, 3, 4, . . . } b) {1, 2, 4, 8, . . . } c) {1, 4, 9, 16, . . . } d ) {2, 3, 4, 5, . . . } e) {2, 4, 8, 16 . . . } f ) {4, 9, 16, 25, . . . } g ) {10, 15, 20, 25, . . . } h) {5, 10, 20, 40, . . . } i ) {0, 1, 4, 9, . . . } j) {10, 5, 0, −5, . . . } k) {2, −4, 8, −16, . . . } l ) {−1, −4, −9, −16, . . . }

El término general de una progresión aritmética puede calcularse a partir de su primer término y su diferencia. an= { 2, 5, 8, 11, 14, . . . } −→ ® a1 = 2 d = 3 a1= 2 a2= 2 + d = 5 a3= 2 + 2d = 8 a4= 2 + 3d = 11 a5= 2 + 4d = 14

Por lo tanto podemos concluir que su término general ha de tener la misma estructura.

6. Halla el término general de las siguientes progresiones aritméticas: a) {1, 2, 3, 4, . . . } b) {2, 3, 4, 5, . . . } c) {10, 15, 20, 25, . . . } d ) {10, 5, 0, −5, . . . } e) {−10, 0, 10, 20, . . . } f ) {0,1₂, 1,3₂, . . . }

7. ¿Cuál es el primer término de una progresión aritmética cuyo quinto término tiene valor 3 y cuya diferencia es d = 2? Escribe su término general.

8. ¿Cuál es el primer término de una progresión aritmética de la cual conocemos el milésimo término a1000= 23207 y la diferencia d = 001? Escribe su término general.

9. Halla el término general de las progresiones aritméticas de las que conocemos los siguientes datos y utilízalo para calcular a100:

a) a20= 10, d = 1 b) a15= 2, d = −1 c) a30= 100, d = 2 d ) a25= 78, d = −2 e) a25= 16, a26= 19 f ) a25= 25, a35= 55

S

En ocasiones es necesario sumar una cantidad finita de términos de una sucesión. Si esa cantidad fuese lo suficientemente pequeña podríamos hacerlo directamente, pero con frecuencia se trata de una cantidad tan grande que sería muy poco práctico.

Digamos que queremos calcular los m primeros términos de una sucesión y a esa suma le llamaremos Sm.

Sm=a1+a2+. . .+am−1+am

Como la suma es conmutativa, es lo mismo sumarlos en ese orden que justo al contrario. Sm=am+am−1+. . .+a2+a1

Entonces es claro que si sumo una expresión a la otra lo que obtengo es el doble de la suma.

Sm = a1 + a2 + . . . + am−1 + am

Sm = am + am−1 + . . . + a2 + a1

2 · Sm = (a1+ am) + (a2+ am−1) + . . . + (am−1+ a2) + (a1+ am)

Para que esto resulte de utilidad necesitamos darnos cuenta que en realidad todas esas parejas de sumandos tienen el mismo valor:

a1+ am= 2 · a1+ (m − 1) · d

a2+ am−1 = 2 · a1+ (m − 1) · d

ai+ am−i+1= 2 · a1+ (m − 1) · d ∀i = 1, . . . , m

Así que en realidad se trata de m sumandos iguales, a los que por simplicidad nos referi-remos como a1+ am.

Y con solo despejar llegamos a una expresión cómoda para la suma de los m primeros términos de una progresión aritmética:

Sm=

(a1+ am) · m

2

10. Suma los 500 primeros términos de la progresión aritmética an= {5, 7, 9, 11, . . . }.

11. Suma los 150 primeros términos de la progresión aritmética an= {20, 17, 14, 11, . . . }

12. Suma los 300 primeros términos de la progresión aritmética an= {7₈,3₄,5₈1₂, . . . }

13. Suma los 100 primeros números pares. 14. Suma los 200 primeros múltiplos de 5.

15. Suma los números impares menores que 100. 16. Suma los múltiplos de 3 menores que 1000.

17. Suma los múltiplos de 9 mayores que 1000 y menores que 2000.

Problemas:

18. El primer piso de un edificio está a 4’2 metros de altura y la distancia entre dos pisos consecutivos es de 3’6 metros. ¿A qué altura está el décimo piso?

19. Entrenando un ejercicio de resistencia he decidido aumentar progresivamente el tiempo que le dedico. La primera sesión lo realicé durante 10 minutos y cada semana medio minuto más que la anterior. Al cabo de un año, ¿cuál será mi sesión de entrenamiento de este ejercicio?

20. La dosis inicial de un medicamento es de 100 mg, y se reduce en 5mg en cada una de las dosis siguienes. Si un paciente tiene que tomar 12 dosis, ¿cuántos miligramos toma en total?

P

ROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Las progresiones geométricas son un tipo particular de sucesiones que se caracterizan por que la razón entre dos términos consecutivos es constante.

La razón suele representarse con una letra r, y puede ser un valor real cualquiera. an= { 3, 6, 12, 24, 48, . . . }

·2 ·2 ·2 ·2 r = 2

21. Comprueba si las siguientes sucesiones son progresiones geométricas:

a) {2, 3, 4, 5, . . . } b) {2, 4, 8, 16 . . . } c) {100, 10, 1, 001, . . . } d ) {10, 15, 20, 25, . . . } e) {5, 10, 20, 40, . . . } f ) {3, 105, 0075, 00375, . . . } g ) {8, 4, 2, 1, . . . } h) {10, 5, 0, −5, . . . } i ) {2, −4, 8, −16, . . . }

El término general de una progresión geométrica puede calcularse a partir de su primer término y su razón. an= { 3, 6, 12, 24, 48, . . . } −→ ® a1 = 3 r = 2 a1= 3 a2= 3 · 2 = 6 a3= 3 · 22 = 12 a4= 3 · 23 = 24 a5= 3 · 24 = 48

Por lo tanto podemos concluir que su término general ha de tener la misma estructura. an= a1· rn−1

22. Halla el término general de las siguientes progresiones geométricas:

a) {2, 10, 50, 250, . . . } b) {3, 9, 27, 81, . . . } c) {100, 10, 1,₁₀1 , . . . } d ) {3, 105, 0075, 00375, . . . } e) {2, −4, 8, −16, . . . } f ) {3₄,−3₂ , 3, −6, . . . }

23. ¿Cuál es el primer término de una progresión geométrica cuyo quinto término tiene valor 64 y cuya razón es r = 2? Escribe su término general.

24. ¿Cuál es el primer término de una progresión geométrica cuyo décimo término tiene valor 10 y cuya razón es r = 1₃? Escribe su término general.

25. Halla el término general de las progresiones geométricas de las que conocemos los siguientes datos y utilízalo para calcular a50. Exprésalo en notación científica si es necesario.

a) a3= 16, r = 2 b) a5= 45, r = 2 c) a6 = 10, r = −1 d ) a9 = ₈₁1, a10= ₂₄₃1 e) a7 = 00000 32, r = −002 f ) a8 = 8, a10= 2

S

Queremos calcular la suma Sm de los m primeros términos de una sucesión.

Sm=a1+a2+. . .+am−1+am

Si esa sucesión es una progresión geométrica necesitamos aplicar algún razonamiento que aproveche sus propiedades, por eso optamos por multiplicar por la razón r que convertirá cada término en el siguiente.

r · Sm=a2+a3+. . .+am+am+1

Podemos observar que tenemos dos sumas de m elementos en las que solo hay diferencia en un par de ellos, por lo tanto restar ambas expresiones nos permitirá eliminar muchas de ellas.

r · Sm =

a2 + . . . + am + am+1

Sm = a1 +

a2 + . . . + am

(r − 1) · Sm = −a1 + am+1

Y con solo despejar llegamos a una expresión cómoda para la suma de los m primeros términos de una progresión aritmética:

Sm =

am+1− a1

r − 1

Teniendo en cuenta que am+1= a1· rn es posible emplear la expresión equivalente:

Sm =

a1· (rn− 1)

r − 1

26. Suma los 100 primeros términos de la progresión geométrica an= {4, 12, 36, 108, . . . }.

27. Suma los 30 primeros términos de la progresión geométrica an= {24, 12, 6, 3, . . . }

28. Suma los 100 primeros términos de la progresión geométrica an= {3, −303, 3063, −30993, . . . }

29. Suma las 30 primeras potencias de base 2. 30. Suma las 40 primeras potencias de base 3.

Problemas:

31. La población de un cierto país ha aumentado durante 5 años, en progresión geométrica, de 200 000 a 322 102 personas. ¿Cuál ha sido la razón del aumento?

32. Una bacteria tiene un ciclo reproductivo por el cual se duplica cada 20 minutos. Si en una muestra de tierra hay aproximadamente 40 millones de bacterias, ¿cuántas habrá al cabo de tres horas? 33. Una pelota de goma cae desde una altura de 40 metros y en cada rebote sube el 40 % de la

altura anterior. Halla la altura que alcanza en el octavo rebote.

34. Hoy hay 17 casos en nuestra localidad de una enfermedad altamente contagiosa, se estima que cada persona infectará a otras tres y que además ocurrirá en las primeras 24 horas.

a) ¿Cuántos nuevos contagiados esperamos tener el séptimo día?

b) Si en ese tiempo no ha sido dado de alta ninguno de los casos, ¿cuántos infectados habrá

en total?

APLICACIONES A LA ARITMÉTICA FINANCIERA

Una de las aplicaciones más inmediatas de las progresiones aritméticas y geométricas se da en el campo de las transacciones bancarias, en donde se utilizan intereses simples e intereses compuestos dependiendo del caso.

I

El interés simple (i) es el beneficio que origina una cantidad de dinero denominada capital

inicial (C0) a un rédito anual del r % tras un tiempo t (expresado en años) si dicho beneficio

se retira al final de cada período de tiempo sin reinvertirlo.

Como cada año se recibe el interés correspondiente C0 · r, que es siempre el mismo, está

claro que el capital final después de t años (Ct) sigue una progresión aritmética.

Ct= C0+ C0· r · t

En esa expresión a menudo se saca factor común para indicarla como: Ct= C0· (1 + r · t)

35. Calcula el capital final de depósitos de interés simple tras cinco años. ¿Cuál es el interés (beneficio) en cada uno de ellos?

a) C0= 120 000e r = 102 %

b) C0= 80 000e r = 009 %

c) C0 = 19 000e r = 006 %

d ) C0 = 15 000e r = 0045 %

36. He depositado 150 000e en un déposito a un r = 006 % de interés simple. Calcula el número de años que tardaré en conseguir al menos el siguiente interés:

a) 1 800 e b) 2 700 e c) 36 000 e d ) 50 000e

I

Cuando el interés que se obtiene al final de cada período de inversión no se retiran sino que se añaden al capital y se reinvierten nos encontramos con el concepto de interés

compuesto.

Ente casa es necesario observar que cada año se obtiene un interés diferente, pero que siempre depende directamente del capital depositado ese año.

C0 −→ C1= C0+ C0· r = C0· (1 + r)

C1 −→ C2= C1+ C1· r = C1· (1 + r)

C2 −→ C3= C2+ C2· r = C2· (1 + r)

Resulta entonces evidente que se trata de una progresión geométrica de razón (1 + r), y que por lo tanto el capital final después de t años (Ct) puede expresarse como:

Ct= C0(1 + r)t

37. Calcula el capital final de depósitos de interés compuesto tras cinco años. ¿Cuál es el interés (beneficio) en cada uno de ellos?

a) C0= 120 000e r = 102 %

b) C0= 80 000e r = 009 %

c) C0 = 19 000e r = 006 %

P

OLINOMIOS

Una expresión algebraica es es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacio-nadas entre si mediante operaciones.

Las letras que utilizamos no son más que signos para representar cantidades desconocidas, por eso las llamamos incógnitas.

Mi hermano tiene un año menos que yo, y mi tía el triple de edad que él.

Mi edad −→ x

La edad de mi hermano −→ x − 1 La edad de mi tía −→ 3 · (x − 1)

El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado obtenido al sustituir las variables por un número determinado.

x2− x3 _{para x = −1 −→ (−1)}2_{− (−1)}3_{= 1 − (−1) = 2}

1. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:

a) 3x + 7 para x = 2 b) x2− 1 para x = 2₃ c) t · (t − 1) para t = 005 d ) a + 2 a2 para a = −1 e) x · y + 3 para x = 2, y = 5 f ) x · (y + 3) para x = 2, y = 5

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de varios monomios no semejantes, a los que llamamos términos.

Cada uno de los términos tiene un grado, que corresponde al exponente de su incógnita (si solo tiene una) o a la suma de los exponentes de todas las incógnitas (si tiene varias).

P (x) = 3x3_{+ 4x}2_{− 7x − 17}

A los polinomios se les suele nombrar con una letra mayúscula y, entre paréntesis, las incógnitas involucradas en él.

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos. El término principal es aquel de mayor grado.

2. Identifica el término independiente, el término principal y el grado de los siguientes polinomios: a) x4+ 2x2− 3x + 7 b) 5x − 7x3_{+ 111} c) 4x3− 2x d ) 7x2+ 12x − 1 e) x − x2+ x3 f ) −5x10_{+ x}9_{− 4x}4 g ) xy + 7x − 2y + 4 h) −3x2+ 2x5+ 8 i ) 004x5− 30_5x2_{+ 0}0₁₂ j) 1₂x −3₄ k) 15 l ) 23x8+ 37x5+ 1215

3. Ordena los siguientes polinomios de tal modo que el grado de sus términos sea descendiente:

a) x − x4+ 4 b) 1 + x − x4+ 2x2 c) 2x − x4+ 2 d ) 3 + 7x6 e) 5x2+ 3x − 11x5+ 2 f ) 12x + 1 − x2

OPERACIONES CON POLINOMIOS

S

En las sumas (o restas) de polinomios se suman (o restan) los monomios semejantes que los componen.

P (x) = x2 _{+7x −2}

Q(x) = 12x3 +4x −9

P (x) − Q(x) = −12x3 _+x2 _{+3x +7}

4. Dados los polinomios P (x) = 6x2+ 5x − 5, Q(x) = −3x2− 6x + 7, R = 3x2_{− 2,}

realiza las siguientes operaciones:

a) P (x) + Q(x) b) P (x) − Q(x) c) P (x) + R(x) d ) P (x) − R(x) e) Q(x) + R(x) f ) Q(x) − R(x) g ) P (x) + Q(x) + R(x) h) P (x) − Q(x) + R(x) i ) Q(x) − R(x) − P (x)

5. Halla el valor numérico de las expresiones algebraicas anteriores cuando x = 0. 6. Dados los polinomios P (x) = x2+ 2x + 7, Q(x) = 5x2− 2x + 7, R = 4x2_{− 5,}

realiza las siguientes operaciones:

a) P (x) + Q(x) b) P (x) − Q(x) c) P (x) + R(x) d ) P (x) − R(x) e) Q(x) + R(x) f ) Q(x) − R(x) g ) P (x) + Q(x) + R(x) h) P (x) − [Q(x) + R(x)] i ) Q(x) − [R(x) − P (x)]

M

En el producto de un polinomio por un monomio se aplica la propiedad distributiva, es decir, se multiplica cada término del polinomio por el monomio.

3x2· (4x3_{− 2x) = 3x}2_{· 4x}3_{− 3x}2_{· 2x = 12x}5_{− 6x}3

8. Realiza las siguientes operaciones:

a) 4 · (2x3+ 3x2− 5x + 1) b) (−5)·(−8x4+x2−3x+1) c) 2x · (15x3+ 6x2−1₂x) d ) (−10x3)·(001x2−x+10) e) 1₃x2· (15x3_{+ 6x}2_{− 9)} f ) 4₃x · (6₄x5−9 4x 3₋1 3)

En los productos de polinomios se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. La expresión obtenida debe simplificarse sumando los monomios semejantes que se obtengan.

P (x) = 2x2+ 3x − 1 Q(x) = 5x + 7

P · Q(x) = 10x3+ 7x2+ 15x2+ 21x − 5x − 7 = 10x3+ 22x2+ 16x − 7

9. Realiza las siguientes operaciones:

a) (x + 1) · (x + 2) b) (2x + 3) · (4x − 1) c) (−5x + 7) · (x2− 2) d ) (2x2+ 1) · (3x3− 5) e) (x2− 1) · (x3_{+ x − 1)} f ) (3x3+1₂) · (2x4− 6x)

10. Realiza las siguientes operaciones:

a) (x2+ x + 1) · (x2− 3x + 2) b) (2x3− 5x + 3) · (4x2_{+ 5x − 1)} c) (−5x3+ 7x2+ 1) · (4x2− 7x − 2) d ) (2x2− 8x + 1) · (3x3_{+ 8x − 5)} e) (x4− 2x2_{+ 3) · (3x}2_{+ 7x − 4)} f ) (x4+ 3x) · (x4− 3x)

11. Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas anteriores cuando x = 2₃.

12. Realiza las siguientes operaciones, teniendo en cuenta que una potencia es la multiplicación de un factor por sí mismo tantas veces como indica el exponente:

a) (x + 1)2 b) (x − 1)2 c) (2x + 1)2 d ) (2x − 1)2 e) (3x + 4)2 f ) (3x − 4)2 g ) 1₃x + 2₅
2 h) 1₃x − 2₅
2

I

El cuadrado de la suma NO es igual a la suma de los cuadrados. El cuadrado de la resta NO es igual a la resta de los cuadrados.

Para calcular el cuadrado de una suma, debemos multiplicar la suma por sí misma. Si lo hacemos mediante el procedimiento habitual del producto observamos claramente que obtenemos tres términos, que siempre tienen la sigueinte relación:

(a + b)2= a2+ 2ab + b2

13. Desarrolla utilizando identidades notables:

a) (3x + 4)2 b) (8x + 5)2 c) (5 + 2x)2 d ) (3x2+ 5x)2 e) (x3+ 7x2)2 f ) (4x4+ 3x3)2 g ) (9x5_{+ 7x}3₎2 h) (x6+ x4)2 i ) (3x3+ 4x6)2 j) (1₂x +1₃)2 k) (1₄x +3₈)2 l ) (3₅x2+2₃)2 Para calcular el cuadrado de una resta procedemos de modo análogo:

(a − b)2_{= a}2_{− 2ab + b}2

14. Desarrolla utilizando identidades notables:

a) (3x − 4)2 b) (8x − 5)2 c) (5 − 2x)2 d ) (3x2− 5x)2 e) (x3− 7x2₎2 f ) (4x4− 3x3₎2 g ) (9x5− 7x3₎2 h) (x6− x4₎2 i ) (3x3− 4x6₎2 j) (1₂x −1₃)2 k) (1₄x −3₈)2 l ) (3₅x2−2 3) 2

Existe otra identidad notable que se corresponde al producto de una suma por una resta que tienen términos análogos.

(a + b)(a − b) = a2_{− b}2

15. Desarrolla utilizando identidades notables:

a) (3x + 4)(3x − 4) b) (8x + 5)(8x − 5) c) (5 + 2x)(5 − 2x) d ) (3x2+ 5x)(3x2− 5x) e) (x3+ 7x2)(x3− 7x2₎ f ) (4x4_{+ 3x}3_)(4x4_{− 3x}3₎ g ) (9x5+ 7x3)(9x5− 7x3₎ h) (x6+ x4)(x6− x4₎ i ) (3x3+ 4x6)(3x3− 4x6₎ j) (1₂x +1₃)(1₂x −1₃)2 k) (1₄x −3₈)(1₄x +3₈) l ) (3₅x2+2₃)(3₅x2−2 3)

La utilidad principal de las identidades notables es la descomposición de polinomios com-plejos en potencias o productos de binomios.

16. Halla la identidad notable que corresponde a cada polinomio:

a) 25x2+ 20x + 4 b) 64x2− 96x + 36 c) 100x2− 16 d ) 100x4+ 100x2+ 25 e) 9x6− 12x5_{+ 4x}4 f ) 49x8− 25x4 g ) ₂₅4 x2+ 2x +25₄ h) 1₉x2− 1 3x + 1 4 i ) 100₄₉x2−1₉

17. Comprueba si los siguientes polinomios corresponden a una identidad notable, y en caso afirma-tivo hállala: a) x2_{+ 6x − 3} b) 4x2+ 20x + 9 c) 25x2_{− 10x + 1} d ) 9x4−1₄ e) 9x5_{− 6x}3_{+ 1} f ) 0001x4+ 2x2+ 100

D

En los cocientes de un polinomio entre un monomio se divide cada término entre el monomio.

(12x5− 6x3_{) : 3x}2 _{= 12x}5 _{: 3x}2_{− 6x}3 _{: 3x}2 _{= 4x}3_{− 2x}

18. Realiza las siguientes operaciones:

a) (4x3+ 7x2− 8x) : x b) (18x3_{− 27x}2_{− 30x + 81) : 3} c) (6x8+ 12x5) : (3x3) d ) (4x4− 16x3_{+ 8x}2_{) : 2x}2 e) (10x4+ 20x3− 15x2_{) : (5x)} f ) (2x4− 4x3_{+ 8x}2_{− 12x) : (−2x)} g ) (−36x12_{+ 24x}8_{− 48x}4_{) : (−12x}4₎ h) (x4+ 6x3− 7x2_{) : (2x)} i ) (1₂x4+3₄x3+5₂x) : (1₂x) j) (2x6+ 3x5− 4x4_{+ x}3_{) : (}2 3x2)

EXTRACCIÓN DE FACTOR COMÚN

Si los términos de un polinomio tienen divi-sores comunes puede aplicarse la propiedad distributiva para expresarlo como producto de un factor común por un polinomio de grado menor.

A = 8x4+ 2x3− 6x = 2x · (4x3+ x2− 3)

19. Extrae factor común en las siguientes expresiones:

a) x5+ 7x3− 4x2 b) 2x3+ 12x + 8 c) 3x2− 5x d ) 2x4+ 8x2− 4x e) 75x4+ 15x3− 25x2 f ) −9x5+ 6x4− 12x3 g ) x₅ −x2 2 h) ₁₆3 x4−3 8x 3₋9 4 i ) 2x2+ 3xy

DIVISIÓN EN CAJA

Para dividir un polinomio entre otro podemos emular el mismo método que utilizamos para dividir números. Para ello es fundamental colocar los términos de ambos polinomios orde-nados y dejar un hueco para aquellos términos nulos que pudiese haber en el dividendo.

2x3+ x2 _+0x − 1 x2_{− 3}

Primero hemos de preguntarnos por qué monomio he de multiplicar el divisor para obtener el mayor de los términos del dividendo.

2x3+ x2 − 1 x2_{− 3}

2x Al multiplicar 2x por x2

obtendremos 2x3

A continuación multiplicamos el término hallado por todo el divisor, y lo restaremos del dividendo. Para asegurarnos de hacer la resta correctamente, colocamos cada término debajo de aquel que tenga el mismo grado.

2x3+ x2 − 1 x2_{− 3} 2x − 2x3 _{+ 6x} x2+ 6x − 1 2x · (x2− 3) = 2x3− 6x cambiamos el signo para restar

Repetimos el procedimiento paso a paso hasta llegar a un polinomio de grado inferior al divisor. Ese es el resto.

2x3+ x2 − 1 x2_{− 3} 2x + 1 − 2x3 _{+ 6x} x2+ 6x − 1 − x2 _{+ 3} 6x + 2 _resto

20. Realiza las siguientes divisiones, identifica el cociente y el resto:

a) (x3− x2_{− 17x + 20) : (x − 4)} b) (6x3+ x2+ x + 2) : (3x + 2) c) (4x4− 3x2_{+ 2x − 3) : (x}2_{+ 2x − 1)} d ) (4x3− 3x2_{+ x + 5) : (2x + 3)} e) (x3− 7x2_{+ 6) : (x}2_{− 5x + 1)} f ) (x3− 5x2_{) : (x − 5)}

21. Realiza las siguientes divisiones, operando cuidadosamente las expresiones racionales:

a) (3x3_{− 4x}2_{− 5x + 2) :}x 2 − 1  b) (3x3+ 8x2+ 2x − 4) : (x + 2) c) (3x3− 2x2_{− 12x + 8) :} Å x −2 3 ã d ) (6x4− 11x2_{+ 5) : (x}2_{− 1)}

REGLA DE RUFFINI

La regla de Ruffini es un método que permite dividir de forma sencilla un polinomio cualquiera entre binomios de la forma x − a, siendo a un número conocido.

Para ello primero escribiremos los coeficientes del dividendo (asegurándonos de poner un 0 como coeficiente de los términos nulos) y el valor de a a su izquierda.

Veámoslo con un ejemplo: Efectuaremos la división (2x3+ x2− 1) : (x − 3).

2 1 0 − 1

3

coeficientes del dividendo entre (x − 3)

Bajamos el coeficiente más a la izquierda, lo multiplicamos por a y colocamos el resultado en la siguiente columna.

2 1 0 − 1

3 6

2·3

A continuación sumamos los dos números de la columna, y nuevamente multiplicamos por a para obtener el valor siguiente.

2 1 0 − 1

3 6 21

2 7 ·3

Repetimos el procedimiento hasta llegar a la última columna.

El último valor que obtenemos es el resto de la división, los anteriores corresponden a los coeficientes del cociente.

2 1 0 − 1

3 6 21 63

2 7 21 62 _resto

coeficientes de 2x2_{+ 7x + 21}

22. Haz las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini y escribe el cociente como un polinomio:

a) (x3− x2_{− 17x + 20) : (x − 4)} b) (x3_{− 5x}2_{) : (x − 5)} c) (3x3+ 8x2+ 2x − 4) : (x + 2) d ) (7x3+ 2x2+ 3x − 5) : (x − 7) e) (3x3− 2x2_{− 12x + 8) :} Å x −2 3 ã f ) (3x4− 5x2_{+ x − 2) : (x − 1)} g ) (2x3_{+ 3x}2_{− 6x − 5) : (x + 6)} h) (x4− 2x3_{− 1) : (x − 4)} i ) (x4+ 8x3− 2x2_{− 15x + 8) : (x + 8)} j) Å x3+17 5 x 2₋19 5 x − 2 ã : Å x +2 5 ã

O

El orden de las operaciones se mantiene en todos los conjuntos numéricos y también ha de respetarse a la hora de realizar operacio-nes en lenguaje algebraico.

Jerarquía de operaciones

1. Paréntesis y corchetes 2. Potencias y raíces

3. Multiplicaciones y divisiones 4. Sumas y restas

23. Realiza las siguientes operaciones:

a) (x + 3)2− 2(3x − 4)2

b) (2x + 3)(2x − 3) − 4x(x − 2)

c) [(15x + 6x2)˙(2x − 1)] : (3x)

d ) [(4x + 1)(5x + 2) − 2(x + 1)2] : x

24. Dados los polinomios P (x) = 3x2− 4, Q(x) = 6 − 5x, R = 2x2_{+ 5x}

realiza las siguientes operaciones:

a) 3 · P (x) − 2 · Q(x) b) P (x) · Q(x) + R(x) c) P (x) · [Q(x) + R(x)] d ) [Q(x)]2+ P (x) e) R(x) : x + Q(x) f ) R(x) − [P (x)]2

FACTORIZACIÓN

Deseamos escribir los polinomios como un producto de factores irreducibles, del mismo modo que factorizamos números naturales como producto de factores primos.

Los polinomios irreducibles más sencillos son los de primer grado, es decir, monomios nx o bien binomios x − a.

Los monomios son factores fáciles de obtener, pues extraer factor común es un proceso directo, pero a la hora de dividir entre un binomio x − a necesitamos conocer el valor a adecuado para realizar la división exacta.

F

R

Para empezar debemos tener en cuenta que los únicos valores enteros que puede tomar a son divisores (positivos y negativos) del término independiente, pues son los que nos permiten obtener un cero en el resto.

1 2 − 9 − 18

− 2 − 2 0 18

1 0 − 9 0

Divisores de −18: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18

Es importante tener en cuenta que el polinomio puede tener otros factores del tipo x − a donde a sea un número racional no entero, pero no tenemos ninguna regla que nos permita prever cuáles pueden ser esos valores.

TEOREMA DEL FACTOR

Un resultado útil a la hora de elegir cuáles de los posibles divisores del término indepen-dientes nos permitirán factorizar el polinomio es el teorema del resto pues indica que el resto de dividir un polinomio P (x) entre x − a tiene siempre valor P (a).

P (x) : (x − a) = Q(x) + P (a)

Una consecuencia directa es que el binomio x−a será factor de P (x) únicamente si P (a) = 0. Es el llamado teorema del factor.

Por lo tanto antes de aplicar la regla de Ruffini comprobaremos si los divisores del término independiente nos permitirán obtener una división con resto cero.

25. Factoriza los siguientes polinomios aplicando la regla de Ruffini:

a) x3+ 2x2− 9x − 18 b) 2x3− 9x2_{− 6x + 5} c) x3− x2_{− 21x + 45} d ) 2x4_{+ 5x}3_{− 3x}2_{− 8x + 4} e) 3x4− 17x3_{+ 9x}2_{+ 41x + 12} f ) 2x5− 14x4_{+ 38x}3_{− 50x}2_{+ 32x − 8} g ) x4− 14x3_{+ 60x}2_{− 50x − 125} h) x4_{− 72x}2_{+ 1296}

P

Aunque no hay un procedimiento único pa-ra la factorización de cualquier polinomio, siempre será recomendable empezar por aquellos métodos que permiten simplificarlo de la forma más sencilla.

Además debemos tener en cuenta que no todas las herramientas valen para todos los casos.

Herramientas a utilizar

1. Extracción de factor común 2. Identidades notables

3. División utilizando la regla de Ruffini

26. Factoriza los siguientes polinomios extrayendo factor común y utilizando identidades notables:

a) x4− 4x2 b) x5+ 6x4+ 9x3 c) 9x3− 6x2_{+ x} d ) 4x7+ 4x6+ x5 e) 25x4+ 20x3+ 4x2 f ) 1 100x 3₊ 3 50x 2₊ 9 10x 27. Para factorizar cada uno de los siguientes polinomios deberás utilizar dos herramientas diferentes:

28. Factoriza los siguientes polinomios: a) x4− 4x3_{− 3x}2_{+ 18x} b) x4− 2x3_{− 8x}2 c) 4x4− 16x3_{+ 13x}2_{− 3x} d ) 9x4_{+ 51x}3_{+ 67x}2_{+ 29x + 4} e) x3− 5x2_{− 29x + 105} f ) 9x3− 27x2_{− x + 3} g ) 25x4− 70x3_{+ 44x}2_{− 8x} h) x4_{− 2x}3_{− 48x}2

E

CUACIONES

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.

Llamamos solución de la ecuación a los valores de las incógnitas para los cuales la igualdad es cierta.

Para comprobar si un valor es solución de una ecuación, debemos hallar el valor numérico de ambos miembros y comprobar si son iguales.

1. Comprueba si el valor indicado es solución de la ecuación:

a) 3x2− 5x + 2 = 0 para x = 1 b) 2 · (3x − 5) − 4x = −6 para x = 2 c) x − 1 3 − 2x = −7 para x = 4 d ) 3x2+ x − 2 = 0 para x = 2₃ e) 2x − 8 + 3 · (3x − 1) = 0 para x = 1 f ) x − 1 3 − x + 2 5 = 0 para x = 2 g ) x − 1 3 − x + 2 5 = 0 para x = −2 h) 6x2− x + 1 = 0 para x = 1₃

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación de primer grado es aquella equivalente a la ecuación formada por un polinomio de primer grado igual a cero.

Para resolver una ecuación de primer grado sencilla:

1. Realizamos todas las operaciones que sean precisas, como por ejemplo multiplicar un monomio por un polinomio entre paréntesis.

2. Aplicamos la regla de la suma de tal modo que los términos con incógnita estén en un miembro y los términos sin incógnita en el otro.

3. Operamos y utilizamos la regla del producto para despejar la incógnita.

Si llegamos a una ecuación del tipo 0x = 0, nuestra ecuación tiene infinitas

soluciones pues cualquier valor de x la cumple.

Si llegamos a una ecuación del tipo 0x =no, nuestra ecuación no tiene

solución puesto que es imposible al multiplicar por 0 obtener otro número.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con paréntesis:

a) 2 · (x − 1) + 3 = 9 b) 4 · (x + 2) = 3 · (x + 7) c) 5x − 4 · (2x − 7) = 13 d ) 6 · (2x − 3) = 10 · (2x − 5) e) 3 · (6x − 10) − 5 · (2 − 4x) = 25x − 1 f ) 2·(7x−1)−3·(3x−6)−5·(11x+6) = 196

Para resolver una ecuación con denominadores, multiplicamos ambos lados de la igualdad por un múltiplo de dichos denominadores, preferiblemente el mínimo común múltiplo.

2 · (3x + 7) 5 + 5 · (x − 3) 2 = −1 10 ·2 · (3x + 7) 5 + 10 · 5 · (x − 3) 2 = 10 · (−1) 4 · (3x + 7) + 25 · (x − 3) = −10 12x + 28 + 25x − 75 = −10 12x + 25x = −10 − 28 + 75 37x = 37 x = 37 37 = 1

3. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con denominadores:

a) x 3 + x 6 + x 9 = 7 b) x − 3 2 + 2x − 5 2 = 5 c) 7x − 1 2 − 4x − 6 2 = 7 d ) 3x − 1 4 = 2x + 1 3 − 5 6 e) 2x − 3 5 + 1 = 4x + 4 f ) 3x − 1 2 + 5x + 7 4 = −7 g ) 5x + 7 4 − 2x + 1 3 = 2 h) 6 − x 5 + 3x − 1 6 − 2x − 3 4 = 1 12 i ) x − 2 −5x + 7 6 = 10 − 4x 9 j) 9x − 1 12 + 6x + 6 8 − 3x 10 = 16 15 4. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores:

a) 5 · (3x − 5) 4 − 7x + 3 8 = 2 b) 3 · (4x + 1) 7 − 6 · (x − 3) 5 = 3 c) 3 · (2x − 4) +5x + 1 6 = 1 4 d ) 2(3x − 1) 3 + 5x − 6 6 = 138 9 e) 2x − 8 5 + 3(x + 2) 6 = 3 f ) 5(2x − 1) 3 − x − 4 3 = 2 g ) 3(2x − 8) 4 − 2(6 − 4x) = 5 2 h) 3(2x + 2) 10 − 7(2x − 5) 15 − x − 6 6 = 29 15 i ) 3(5x − 1) 2 − 7(3x − 4) 3 = 1 6− 11(x − 1) 6 j) 2(x + 3) 5 + 3(x − 6) 2 = 2 5 + 10(2x + 1) 6

E

CUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado es aquella equivalente a la ecuación formada por un polinomio de segundo grado igual a cero.

En general escribimos las ecuaciones de segundo grado como ax2+ bx + c = 0