RICARDO TOLEDO QUIÑONES RICARDO
RICARDO TOLEDO QUIÑONES RICARDO
EDICIONES ESTUDIO XXI – HUARAZ 2015
EDICIONES ESTUDIO XXI – HUARAZ 2015
01/01/2015 01/01/2015
FAT – UNASAM
FAT – UNASAM
Matemática II para
Matemática II para
administradores
administradores
Manual del Curso
CONTENIDO
CONTENIDO
UNIDAD DIDÁCTIC
UNIDAD DIDÁCTICA 1 A 1 : LAS FINANZAS : LAS FINANZAS Y EL VALOR DEL DINEY EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMRO EN EL TIEMPO ...PO ... . - 1 - 1 CONCEPTO DE FINANZAS ... 1 CONCEPTO DE FINANZAS ... 1 -1.
1.
LIQUIDEZ
LIQUIDEZ Y Y RENTABILRENTABILIDAD IDAD ... .... - - 1 1 --2.
2.
EL
EL VALOR VALOR DEL DEL DINERO DINERO EN EN EL EL TIEMPO TIEMPO ... ... - - 1 1 --3.
3.
MATEMÁTICA
MATEMÁTICAS S FINANCIERAFINANCIERAS S ... ... - - 2 2 --4.
4.
VALOR
VALOR FUTURO FUTURO DEL DEL DINERO DINERO ... . - - 2 2 --5.
5.
TIPOS
TIPOS DE DE INTERÉS INTERÉS ... ... - - 2 2 --6.
6.
INTERÉS
INTERÉS SIMPLE SIMPLE ... .. - - 2 2 --7.
7.
PERÍODO
PERÍODO DE DE INTERÉS INTERÉS ... ... - - 3 3 --8.
8.
RESUMEN
RESUMEN DE DE FÓRMULAS FÓRMULAS PARA PARA EL EL INTERÉS INTERÉS SIMPLE SIMPLE ... ... - - 3 3 --9.
9.
DIAGRAMAS DE
DIAGRAMAS DE FLUJOS FLUJOS DE DE EFECTIVO EFECTIVO Y Y SIMBOLOGÍA SIMBOLOGÍA ... ... - - 4 4 --10. 10. 10.1. 10.1. CONCEPTO CONCEPTO ... ... - - 4 4 --10.2. 10.2. SÍMBOLOS SÍMBOLOS ... ... - - 6 6 --10.3.
10.3. REPRESENTAREPRESENTACIÓN GENERAL CIÓN GENERAL DE DE PROBLPROBLEMAS EMAS ... ... - - 6 6 EJERCICIOS 1.1: INTERÉS SIMPLE ... 7 EJERCICIOS 1.1: INTERÉS SIMPLE ... 7 -UNIDAD DIDÁCTICA 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2 : RELACIONES BÁSIC: RELACIONES BÁSICAS EN MATEMÁTICAS AS EN MATEMÁTICAS FINANCIERAS FINANCIERAS ... ... - 30 - 30 EL INTERÉS COMPUESTO. ... 30 EL INTERÉS COMPUESTO. ... 30 -1.
1.
EQUIVALEN
EQUIVALENCIAS CIAS FINANCIERAS FINANCIERAS ... ... - - 33 33 --2.
2.
CAPITALIZ
CAPITALIZACIÓN ACIÓN NO NO ANUAL ANUAL DE DE INTERESES INTERESES ... ... - - 33 33 --3.
3. 3.1.
3.1. TASA TASA NOMINAL NOMINAL ... ... - - 34 34 --3.2.
3.2. TASA TASA EFECTIVA EFECTIVA ... ... - - 35 35 --EJERCICIOS 2.1: VALOR
EJERCICIOS 2.1: VALOR FUTURO Y FUTURO Y PRESENTE, TASA NOMINAL Y PRESENTE, TASA NOMINAL Y EFECTIVA ...EFECTIVA ... - 39 -... 39 ANUALIDADES ... 46 ANUALIDADES ... 46 -4.
4. 4.1.
4.1. DEFINICIÓN DEFINICIÓN DE DE ANUALIDANUALIDAD AD ... ... - - 46 46 --4.2.
4.2. ANUALIDAANUALIDADES DES CIERTAS CIERTAS ... ... - - 47 47 --4.3.
4.3. VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD CIERTVALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD CIERTA VENCIDA A VENCIDA ... . - 48 - 48 -4.4.
4.4. VALOR FUTURO DE UNA VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD CIERTA ANUALIDAD CIERTA ANTICIPADA ANTICIPADA ... .... - 50 - 50 -4.5.
--4.6.
4.6. VALOR PRESENTE VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD CIDE UNA ANUALIDAD CIERTA ANTICIPADA.ERTA ANTICIPADA... ... - 56 - 56
-4.7. 4.7. ANUALIDADANUALIDADES ES DIFERIDAS DIFERIDAS ... .. - - 58 58 EL EXCEL Y LAS FÓRMULAS FINANCIERAS ... 61
EL EXCEL Y LAS FÓRMULAS FINANCIERAS ... 61
-5. 5. EJERCICIOS 2.2: ANUALIDADES ... 65 EJERCICIOS 2.2: ANUALIDADES ... 65 CAPITALIZACIÓN CONTINUA ... 72 CAPITALIZACIÓN CONTINUA ... 72 -6. 6. RENTA RENTA PERPETUPERPETUA A ... ... - - 73 73 --7. 7. GRADIENTE GRADIENTE UNIFORME UNIFORME ... ... - - 74 74 --8. 8. FACTORES FACTORES MÚLTIPLES MÚLTIPLES ... ... - - 78 78 --9. 9. LAS LAS TASAS TASAS DE DE INTERÉS INTERÉS EN EN EL EL PERÚ PERÚ ... ... - - 78 78 --10. 10. CALCULAD CALCULADORA ORA FINANCIERA FINANCIERA DE DE R. R. TOLEDO TOLEDO ... ... - - 80 80 --11. 11. EJERCICIOS 2.3: FACTORES MÚLTIPLES ... 81
EJERCICIOS 2.3: FACTORES MÚLTIPLES ... 81
-UNIDAD DIDÁCTICA 3 UNIDAD DIDÁCTICA 3 : FLUJOS DE CAJA FUTUROS E I: FLUJOS DE CAJA FUTUROS E INVERSIONES NVERSIONES ... ... - 91 - 91
(EN CONSTRUCCIÓN) ... 91
(EN CONSTRUCCIÓN) ... 91
-1. 1. UNIDAD UNIDAD DIDÁCTICA 4 DIDÁCTICA 4 : : DESVALORDESVALORIZACIÓN IZACIÓN MONETARIA MONETARIA ... . - - 92 92 (EN CONSTRUCCIÓN) ... 92 (EN CONSTRUCCIÓN) ... 92 -1. 1. BIBLIOGRAFÍA ... 93 BIBLIOGRAFÍA ... 93
-Matemática II para administradores
2015
UNIDAD DIDÁCTICA 1 : LAS FINANZAS Y EL VALOR DEL DINERO EN
EL TIEMPO
CONCEPTO DE FINANZAS 1.
Las finanzas son las actividades que se centran en las decisiones de inversión y obtención de recursos financieros, por parte tanto de las empresas, como de las personas a título individual y del Estado. Se refiere a la administración de los recursos financieros, incluyendo su obtención y gestión, por lo cual se puede relacionarla a:
- Conjunto de actividades que tienen relación con el dinero. - Conjunto de dinero o de bienes que posee una persona.
- Conjunto de recursos económicos de la administración del Estado. LIQUIDEZ Y RENTABILIDAD
2.
De acuerdo a la Universidad Nacional Abierta y a Distancia (Universidad Nacional Abierta y a Distancia, 2012): El análisis de la liquidez y la rentabilidad es constante, del buen manejo de estas variables depende en gran parte el éxito o fracaso de la empresa.
Es prioritario solucionar el dilema entre liquidez y rentabilidad, más conocido como la filosofía de las decisiones financieras. Hay que lograr ambas, pero al tratar de alcanzar una se puede deteriorar la otra.
Para lograr liquidez o capacidad de pago, se conceden descuentos, se vende más barato, pero con incidencias negativas sobre la rentabilidad por tener menor margen de utilidad.
Si se quiere alcanzar mayor rentabilidad se requiere incrementar el precio de venta, aumentar plazos a los clientes, disminuyendo la liquidez dado el más lento flujo de efectivo.
Debe quedar claro que por buscar liquidez la empresa no deja de ser rentable sino que se somete a un alto grado de incertidumbre lo que implica mayor volumen de ventas para obtener la utilidad deseada.
El dilema entre liquidez y rentabilidad se da en las decisiones de corto plazo, a largo plazo no se presenta, pues la rentabilidad determina la futura liquidez, las utilidades al convertirse en efectivo generan liquidez siempre y cuando exista un adecuado manejo financiero.
EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO 3.
Es un concepto basado en la premisa de que un inversor prefiere recibir un pago de una suma fija de dinero hoy, en lugar de recibir el mismo a una fecha futura.
En particular, si se recibe hoy una suma de dinero, se puede obtener interés sobre ese dinero. Adicionalmente, debido al efecto de inflación, en el futuro esa misma suma de dinero perderá poder de compra.
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MATEMÁTICAS FINANCIERAS 4.
La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. Llamada también análisis de inversiones, administración de inversiones o ingeniería económica (Aching Guzmán, 2006).
VALOR FUTURO DEL DINERO 5.
Cuando se presta una cantidad de dinero (P), la cantidad que se tendrá en el futuro (F), se verá incrementada por el pago por su uso que es el Interés (I).
Si la cantidad de dinero que se tendrá en el futuro (F), por una cantidad otorgada en el presente (P) ganará un interés (I) se tiene la fórmula siguiente:
= P + I ………. (S.1.1)Dónde:
F = Valor futuro o capital final. P = Valor presente o capital inicial. I = Interés.
El interés (I) es la suma incremental pagada por el uso de una cantidad de dinero llamada capital (P). También se puede definir como la renta que se paga por el uso del dinero, que en el caso del acreedor debe cubrir su costo de oportunidad (uso alternativo) más el riesgo de que el prestatario no devuelva el dinero adeudado.
TIPOS DE INTERÉS 6.
Los intereses generados por un capital inicial pueden estimarse de dos maneras diferentes (con resultados diferenciados):
- Interés simple.- Es aquel que no toma en cuenta la acumulación de intereses.
- Interés compuesto.- Se calcula tomando en cuenta tanto el capital inicial como la suma capitalizada de los intereses ya percibidos.
Las aplicaciones y diferencias específicas de estos dos tipos de interés, serán tratadas posteriormente.
Además:
- Cuando no se especifica el tipo de interés, éste debe considerarse que hace referencia al interés compuesto.
- Cuando no se especifica el período de interés, se debe considerar que se refiere a un período anual.
INTERÉS SIMPLE 7.
Es el interés calculado únicamente sobre el capital inicial, no toma en consideración la acumulación de intereses.
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En este caso el interés que se obtiene en cada unidad de tiempo es siempre el mismo y el capital de la deuda no varía.
Si el interés como costo de oportunidad y riesgo se expresan en un valor que se debe ganar sobre el valor presente del dinero, se tiene la siguiente expresión matemática:
=
………. (S.2.1)Dónde:
i = Tasa de interés simple por unidad de tiempo expresada en tanto por uno.
No confundir I (expresado en valores monetarios) con i (expresado en tanto por uno). La tasa de interés puede definirse como la relación entre el importe del interés acumulado en el período de tiempo y el monto del capital prestado y se expresa como porcentaje:
= IP
PERÍODO DE INTERÉS 8.
Es la unidad de tiempo asociada a una tasa de interés (por ejemplo 40% anual). A menos que se establezca lo contrario, la unidad de tiempo convenida es de un año.
Si se integra a la fórmula (S.2.1), el tiempo (veces que se repetirá la tasa de interés) se tiene:
=
………. (S.3.1) Reemplazando (S.3.1) en (S.1.1) se tiene:
= P + P x i x n Simplificando la expresión:
=
(1 +
) ………. (S.4.1)RESUMEN DE FÓRMULAS PARA EL INTERÉS SIMPLE 9.
A partir de las fórmulas generales (S.1.1), (S.2.1), (S.3.1) y (S.4.1), se pueden derivar otras (al final de la presente Unidad se presenta igualmente un resumen de fórmulas).
Fórmula General 1 2 3 3 S.1 S.2 S.3 S.4
Código Fórmulas derivadas
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DIAGRAMAS DE FLUJOS DE EFECTIVO Y SIMBOLOGÍA 10.
10.1. CONCEPTO
Los diagramas de flujos de efectivo son representaciones usadas en Matemáticas Financieras, que permiten visualizar una forma práctica y sencilla el flujo de ingresos y gastos de dinero en un horizonte temporal. Se elaboran mediante líneas horizontales espaciadas que representan el tiempo y flechas verticales que señalan el flujo de dinero. Esquemáticamente el diagrama de un flujo de efectivo se puede representar del modo siguiente:
Entradas
de efectivo Área de ingresos
0 1 2 3 4 5
Salidas de
efectivo Área de egresos
El eje X (horizontal) representa el horizonte temporal dividido en años, semestres, trimestres, meses, días, etc. Comenzando por el período cero (0).
En la zona superior a la línea X se representas los ingresos de efectivo y en la zona inferior las salidas de efectivo. Dichos flujos se representan mediante flechas verticales trazadas a partir de la línea horizontal, en el período de tiempo correspondiente.
La longitud que puedan tener las flechas, no representan cantidades específicas, por lo que un mismo tamaño puede representar cantidades iguales o distintas de dinero.
Para todo problema que incluye flujos en distintos períodos de tiempo es recomendable efectuar su diagrama (posteriormente se aprenderá a expresarlo en celdas del Excel).
Ejemplo 1.1: Se Grafica los siguientes flujos de efectivo:
a) Un ingreso de S/. 20 000 ahora y un egreso después de dos años por S/. 30 000.
b) Un préstamo de S/. 1 000 otorgado hoy día y que será devuelto con S/. 500 de intereses dentro de tres años.
P = S/. 20 000
2
F= S/. 30 000
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De acuerdo a lo estudiado
F = P + I = 1 000 + 500 = S/. 1 500
Se puede notar además que la longitud de las líneas no representa mayor o menor cantidad de dinero.
Ejemplo 1.2: Un flujo específico de efectivo puede ser visto de diferente maneara por dos personas o entidades. Así para un banco que presta dinero que le será devuelto después de cuatro años, el diagrama a representar será:
Mientras para el cliente será:
Ambos diagramas representan correctamente el flujo de dinero para el caso antes señalado y conducen a resultados idénticos en ejercicios de matemáticas financieras. Para el caso de las hojas de cálculo como el Excel, al utilizar las fórmulas incorporadas, es necesario tomar en consideración que si se da un ingreso de dinero, su valor debe ser positivo, de ser una salida de dinero, su valor debe ser negativo. Ésta lógica hace muchas veces más fácil considerar los valores de ingreso o egresos como positivos, trabajando con valores absolutos y para ello donde corresponda ingresar delante de la fórmula un signo negativo, lo que no cambia el criterio que a una salida de dinero le corresponda un valor positivo y viceversa.
Un problema puede ser deducido a partir de un diagrama de flujo de efectivo, aspecto que debe ser entendido adecuadamente ya que facilita su comprensión y solución.
P = S/. 10 000 3 I= S/. 500 F= S/. 1 500 0 1 2 1 2 3 4 4 0 1 2 3
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10.2. SÍMBOLOS
La Matemática Financiera recurre al uso de símbolos para representar sumas de dinero, períodos de tiempo o tasas de interés.
Los símbolos de uso más frecuentes en el desarrollo de ejercicios de Matemática Financiera son los siguientes:
P = Cantidad de dinero al inicio de n períodos de interés. F = Cantidad de dinero al final de n períodos de interés.
A = Cantidad constante de dinero que en forma uniforme se distribuye en un período de tiempo.
i = Tasa de interés por unidad de tiempo (se expresan como porcentajes y están referidas usualmente a períodos anuales).
n = Número de períodos de tiempo (generalmente años).
La simbología corresponde a la palabra española que la describe, sin embargo existe simbología diversa derivada del inglés, que para fines de estudio es poco práctica.
La tasa de interés, se representa en el español también como “r”, igualmente el valor futuro como “S”.
10.3. REPRESENTACIÓN GENERAL DE PROBLEMAS
Una forma general de presentar los datos de un problema es a partir de la notación siguiente:
(F/P, i, n) Dónde:
F = Cantidad de dinero al final de n períodos de interés. P = Cantidad de dinero al inicio de n períodos de interés.
i = Tasa de interés por unidad de tiempo (se expresan como porcentajes y están referidas usualmente a períodos anuales).
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EJERCICIOS 1.1: INTERÉS SIMPLE 1.1. Indicar si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:
a) Si a un banco se le adeuda S/. 10 000 pagaderos en 30 días, más le conviene recibir “la planta junta” que en dos pagos quincenales de S/. 5 000.
b) Si al término del plazo de un préstamo por S/. 1 000, se pagó S/. 1 250, el interés fue de S/. 250.
c) El pago por el riesgo de otorgar un préstamo se llama costo de oportunidad.
d) Si el dinero no tendría un uso alternativo no debería cobrarse interés alguno, ya que es indiferente tenerlo guardado en el “colchón” o que lo tenga otra persona.
e) La tasa de interés en el enunciado b) es 25%. Respuestas:
a) Falso: Desde el punto de vista financiero, es preferible para el Banco tener cuanto antes el dinero que prestó (o parte del mismo), para el caso: quincenalmente.
b) Verdadero: Interés = F – P = S/. 1 250 – S/. 1 000 = S/. 250.
c) Falso: El riesgo es la probabilidad de perder, es la amenaza concreta de perder. El costo de oportunidad corresponde a la tasa de rentabilidad de la mejor inversión alternativa.
d) Falso: Si se presta el dinero se estará sujeto al riesgo de su no devolución. e) Verdadero: Tasa de interés = 250 / 1 000 x 100 = 25%.
1.2. Al otorgar un préstamo de S/. 1 850, la entidad bancaria “XY” establece que el mismo será pagado dentro de seis meses conjuntamente con los intereses a una tasa de interés del 30% semestral. a) ¿Cuál será el monto del interés a pagarse? b) ¿A cuánto ascenderá el pago total a efectuarse?
a) En la ecuación (S.2.1):
=
………. (S.2.1) = 1850 x 0.30 = S/. 555.00 b) En la ecuación (S.1.1):
= P + I ………. (S.1.1)
= 1 850 + 555 = 2 405.00Respuesta: El monto de interés es S/. 555.00 y el pago incluido los intereses ascenderá a S/. 2 405.00
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1.3. Se obtiene un préstamo de S/. 500 y al final de un año se paga S/. 750 ¿Cuál es el interés?
= −
………. (S.1.3)I = 750 – 500 I = S/. 250
1.4. Una persona ha recibido S/. 7 289 como interés de un préstamo otorgado a la tasa de interés de 37% anual ¿A cuánto ascendió el préstamo?
=
………. (S.2.2)
=7 289 0.37P = S/. 19 700.00
1.5. Se contrae una deuda de S/. 5 000, se pagará S/. 5 560 ¿Cuál es el monto de interés que se pagará?
= −
………. (S.1.3)= 5 560 – 5 000 = S/. 560.00
1.6. Un prestamista otorga un préstamo de S/. 2 000 y fija que debe devolver S/. 400 como interés ¿Cuál es el valor futuro de la deuda?
= P + I ………. (S.1.1)= 2 000 + 400 = S/. 2 400.00
1.7. Se paga una deuda abonando al prestamista S/. 9 400, el que incluye los intereses generados de S/. 1 200 ¿Cuál fue el monto del préstamo?
P =
−
I ………. (S.1.2)= 9 400 – 1 200 = S/. 8 200.00
1.8. Para el ejercicio anterior hallar la tasa de interés pagada.
= I P ………. (S.2.3) = 1 200 / 8 200 = 0.1433 = 14.63%1.9. Se paga por la compra de un artefacto eléctrico S/. 950 de intereses, si la tasa de interés total fue de 10% ¿Cuál fue el precio del artefacto eléctrico al momento de su compra?
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=
………. (S.2.2) = 950 / 0.10= S/. 9 500.00
1.10. El precio de venta de una computadora es S/. 3 200, se adquiere al crédito por el cual se pagará 15% ¿A cuánto ascenderán los intereses?
= P x i ………. (S.2.1) = 3 200 x 0.15= S/. 480.00
1.11. Representar con símbolos los siguientes casos:
a) Se recibe S/. 35 000 como préstamo que será pagado dentro de dos años a una tasa de interés del 5% ¿Cuál será el monto a pagar?
P = S/. 35 000 n = 2 años i = 5% F = ?
b) Se cobra S/. 15 000 por un préstamo de S/. 12 000 efectuado hace tres meses. ¿Cuál es el interés pagado?
F = S/. 15 000 P = S/. 12 000 n = 3 meses i = ?
1.12. Graficar y establecer los símbolos de los flujos en efectivo de los siguientes problemas:
a) Un préstamo por S/. 850 efectuado en la fecha, que será devuelto con un pago de S/. X, dentro de tres años a la tasa del 20%.
b) Del año 1 al 5 se cobró S/. 1 000 como anualidad de un préstamo de S/. 3 000 efectuado el año 0 con un interés del X%.
P = S/. 850
F = S/. X
0 1 2 3
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c) Represente el problema 1.2.
d) Hoy se recibe S/. 8 000 a ser devuelto con una tasa de interés de 5% mensual ¿Cuánto se deberá a fin de mes?
e) Un banco presta S/. 5 000 para ser devuelto mensualmente durante medio año con cuotas mensuales que ascienden a S/. 900, no se conoce la tasa de interés que se pagará. Graficar desde el punto de vista del Banco y del Cliente.
Desde el punto de vista del Banco
P = S/. 3 000 i = X 0 1 2 3 4 5 A = S/. 1 000 P = S/. 1 850 6 F = S/. 2 405 I = S/. 555 i = 30% 0 1 2 3 4 5 P = S/. 8 000 F = S/. ? 0 1 i = 5%
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Desde el punto de vista del Cliente
f) Un préstamo de S/. 6 500, debe pagarse en cuotas iguales en tres meses con un interés de 5% mensual.
1.13. El Banco “XY” otorga un préstamo de S/. 95 000 que será pagado en dos años al interés simple de 45% anual. Hallar el pago final al término del segundo año.
P = S/. 5 000 5 A = S/. 900 i = ? 0 1 2 3 4 6 P = S/. 5 000 i = ? 1 2 3 4 5 6 0 A = S/. 900 P = 6 500 A = ? 0 1 2 3 i = 5.00% P = S/. 95 000 F = ? i = 45% 0 1 2
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=
(1 +
) ………. (1-8)
= 95 000 (1 + 0.45
2) F = S/. 180 500Respuesta: El pago final al término del segundo año será de S/. 180 500.
1.14. Hallar el interés y el capital final de un depósito de S/. 105 000 colocado durante un año y medio (1.5 años), a la tasa de interés simple de 30% anual.
=
………. (1-7) I = 105 000 x 0.30 x 1.5 I = 47 250
= P + I ………. (1-2) F = 105 000 + 47 500 F = S/. 152 250.1.15. Qué tasa de interés simple anual habrá que exigir para que un capital inicial de S/. 15 600 se convierta en S/. 20 592 al término de un año.
=
(1 +
) ………. (1-8)20 592 = 15 600 (1 + i x 1)
=20 592 15 600−
1i = 0.32 = 32%
Respuesta: La tasa de interés simple anual es de 32%.
1.16. Exprese la tasa de interés simple de 55% anual en tanto por uno, en forma mensual, bimestral, trimestral, semestral, para ocho y diez meses.
P = S/. 15 600
i = ? F = S/. 20 542
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1 mes : 1 12
0.55 2 meses : 21 12
0.55 3 meses : 3 12
0.55 6 meses : 6 12
0.55 8 meses : 8 12
0.55 10 meses : 10 12
0.551.17. Al cabo de tres años se desea acumular S/. 95 000 mediante un solo depósito que gana interés simple del 12% trimestral ¿Cuánto se tiene que depositar?
n = 3 Años = 36 Meses = 12 Trimestres
=
(1 +
) ………. (1-8)95 000 = P (1 + 0.12 x 12)
=95 000 2.44P = S/. 38 934.43
Respuesta: Se tiene que depositar S/. 38 934.43
1.18. El precio al contado de una máquina industrial es S/. 15 000. Se adquiere a plazos con una cuota inicial de S/. 5 000 y el saldo (S/. 10 000) será pagado dentro de cuatro meses con un cargo adicional de S/. 1 600 ¿Qué tasa de interés simple anual se pagará? P = ? 0 1 2 3 4 12 F = S/. 95 000 i = 12% P = S/. 10 000 F = 11 600 i = ? 0 1 2 3 4
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=
(1 +
) ………. (1-8) P = 15 000 – 5 000 = 10 000 F = 10 000 + 1 600 = 11 600 Interés mensual: 11 600 = 10 000 ( 1 + i *4)
=�
11 600 10 000−
1
1 4 i mensual = 4% mensual i anual = 4% x 12 = 48% anual.Respuesta: Se pagará un4% mensual equivalente a 48% anual de interés simple.
1.19. Una persona recibe S/. 210 000 por el dinero que prestó hace dos años a un interés simple del 50% ¿Cuánto fue el préstamo original?
=
(1 +
) ………. (1-8)210 000 = P (1 + 0.50 x 2) P = 210 000 / 2
P = S/. 105 000
1.20. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que una cantidad de dinero depositada al interés simple del 40% aumente seis veces?
=
(1 +
) ………. (1-8) 6 = 1 (1 + 0.40 x n) P = ? i = 50% F = S/. 210 000 0 1 2 P = S/. 1 n = ? i = 40% F = S/. 6 0Matemática II para administradores
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=6−
1 0.40n = 12.5 años
Respuesta: Se requiere que transcurra 12.5 años.
1.21. ¿Cuánto adeudará una persona después de tres años si solicitó un préstamo de S/. 320 000 al 4% de interés simple mensual?¿A cuánto ascienden los intereses a pagar?
=
(1 +
) ………. (1-8) n = 3 años = 36 meses F = 320 000 (1 + 0.04 x 36) F = 780 800
= −
………. (1-1) I = 780 000 – 320 000 I = 460 0001.22. Hallar la cantidad que debe prestarse una persona que necesita S/. 450 000 si el banco le cobra los intereses por anticipado a un 30% de interés simple anual, considerando además que el préstamo será devuelto al cabo de un año ¿A cuánto ascienden los intereses adelantados?
Sea P la cantidad que se pide prestada. En un año los intereses de P serán: I = P x 0.30 x 1
I = 0.30 P
La cantidad que se recibe efectivamente (descontado los intereses adelantados) será: Entonces: P = S/. 320 000 F = ? 36 i = 4% 3 4 0 1 2
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P – 0.3 P = 450 000 0.7 P = 450 000
=450 000 0.7 P = S/ 642 857.143 I = 642 857.143 X 0.30 I = S/. 192 857.143 Comprobación: P – I = 642 857.143 – 192 857.143 = S/. 450 000 Respuesta: La cantidad que se debe prestar es de S/. 642 857.14.1.23. TAREA: DESARROLLO DE LA CALCULADORA FINANCIERA PARA EL INTERÉS SIMPLE Nota: El aplicativo es una primera aproximación a efectos de desarrollar luego la Calculadora para el Interés Compuesto.
RECORDAR: Todo problema de matemática financiera tiene tres datos (salvo excepciones para aspectos básicos) y se pregunta por un cuarto que no se conoce. INSTRUCCIÓN: Desarrolle la siguiente hoja de cálculo aplicable a la fórmula (I-8), (respete la ubicación de los datos en las celdas que se indican, las fórmulas son una ayuda, interprete lo que ejecutan cuando se condiciona con la opción = SI( …………., ………, ……….).
Para su aplicativo borre la instrucción de las fórmulas que aparecen en las celdas D8, D10, D11, E8, E10 y E11.
Luego de elaborado siga las instrucciones del docente del curso a efectos de proteger sus fórmulas.
De manera más completa para las fórmulas (I-8), (I-9), (I-10) y (I-11), se puede elaborar lo siguiente:
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1.24. Resuelva los ejercicios del 1.13 al 1.22 con la calculadora financiera elaborada para el Excel (excluir por no corresponder el ejercicio 1.16).
Los resultados con la calculadora financiera son los que se indican a continuación, en la columna de datos se incluyen los tres datos conocidos a su vez el dato desconocido. El planteamiento se efectúa a partir de la fórmula general:
(F/P, i, n)
EJERCICIO SÍMBOLO CALCULADORA DATOS 1.13
Planteamiento (F/P = 95 000, 45%, 2)
P = 95 000.00 95 000.00
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EJERCICIO SÍMBOLO CALCULADORA DATOS
n = 2.00 2.00 F = 180 500.00 ? I = 85 500.00 ? I = 85 500.00 1.14 Planteamiento (F/P = 105 000, 30%, 1.50) P = 105 000.00 105 000.00 i = 30.0000% 30.00% n = 1.50 1.50 F = 152 250.00 ? I = 47 250.00 I = 47 250.00 1.15 Planteamiento (F = 20 592, P = 15 600, i=?, 1) P = 15 600.00 15 600.00 i = 32.0000% ? n = 1.00 1.00 F = 20 592.00 20 592.00 I = 4 992.00 I = 4 992.00 1.16 No aplicable 1.17 Planteamiento (F = 95 000, P = ?, 12%, 12) P = 38 934.43 ? i = 12.0000% 12.00% n = 12.00 12.00 F = 95 000.00 95 000.00 I = 56 065.57 I = 56 065.57 1.18 Planteamiento (F = 11 600, P = 10 000, i=?, 4) P = 10 000.00 10 000.00 i = 4.0000% ? n = 4.00 4.00 F = 11 600.00 11 600.00 I = 1 600.00 I = 1 600.00 1.19 Planteamiento (F = 210 000, P = ?, 50%, 2) P = 105 000.00 ? i = 50.0000% 50.00% n = 2.00 2.00 F = 210 000.00 210 000.00 I = 105 000.00 I = 105 000.00
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EJERCICIO SÍMBOLO CALCULADORA DATOS 1.20 Planteamiento (F = 6, P = 1, 40%, n=?) P = 1.00 1.00 i = 40.0000% 40.00% n = 12.50 ? F = 6.00 6.00 I = 5.00 I = 5.00 1.21 Planteamiento (F/P = 320 000, 40%, 36) P = 320 000.00 320 000.00 i = 4.0000% 40.00% n = 36.00 36.00 F = 780 800.00 ? I = 460 800.00 I = 460 800.00 1.22 Planteamiento No aplicable P = 642 857.14 ? i = 30.0000% 30.00% n = 1.00 1.00 F = 835 714.29 I = 192 857.14 I = 192 857.14 P – I 450 000.00 450 000.00
1.25. A continuación el estudiante debe plantear el problema de matemática financiera que sugieren los diagramas de flujo de efectivo (no se requiere resolverlos, sólo se pide su planteamiento que por ser libre, no se incluyen sus respuestas, debe identificar los tres datos del problema y el resultado faltante).
(NOTA: Sin respuestas específicas de acuerdo a lo indicado en el planteamiento del ejercicio). a) P = 10 000 F = ? i = 4% 0 1 2 3 4
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b) c) d) e) f) F = 8 500 P = ? i = 12% 1 2 3 4 F = ? P = 9 200 i = 20% 0 1 2 3 P = 7 000 i = ? A = S/. 2 000 0 1 2 3 4 5 F = ? I = ? P = 3 000 6 i = 25% 0 1 2 3 4 5 P = 9 100 F = ? i = 6% 0 1Matemática II para administradores
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g) h) i) j) k) P = 4 000 i = ? A = S/. 900 0 1 2 3 4 5 6 P = 3 000 6 i = ? 0 1 2 3 4 5 P = 30 000 F = ? i = 45% 0 1 2 F = 18 000 P = 14 000 i = ? 0 1 F = 92 000 P = ? 5 12 i = 14% 0 1 2 3 4Matemática II para administradores
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l) m) n) o) p) P = 6 800 F = 14 100 i = ? 0 1 2 3 4 F = 155 000 P = ? i = 50% 0 1 2 F = 9 P = 1 n = ? i = 35% 0 P = 540 000 F = ? i = 5% 40 0 1 2 3 4 F = 108 000 P = ? i = 6% 1 2 3 4 5 0 100Matemática II para administradores
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q) r) s) F5=5 000 F4=4 000 F3=3 000 F2=2 000 F1=1 000 P = ? i = 4% 0 1 2 3 4 5 P = ? F1=1 000 F2=2 000 F3=3 000 F4=4 000 F5=5 000 i = 7% 0 1 2 3 4 5 P=? F3=10000 F3=8 000 F3=6 000 F2=4 000 F1=2 000 F1=1 000 F2=2 000 F3=3 000 F4=4 000 F5=5 000 i = 4% 1 2 3 4 5 0Matemática II para administradores
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1.26. Para el ejercicio anterior, para a), b) y c), plantear su forma general: (F/P, i, n)
a) (F/P = 10 000, 4%, 4) b) (F = 8 500, P = ? , 12%, 4) c) (F = ?, P = 9 200, 20%, 3)
1.27. Desarrollar en una sola hoja de cálculo una calculadora financiera para todas las fórmulas aplicables al interés simple que se han estudiado.
Su diseño matricial de acuerdo a una presentación en cada línea de la fórmula básica y luego las fórmulas derivadas, se presenta a continuación (ver página siguiente).
1.28. Cambie datos a cualquiera de las fórmulas en la calculadora financiera del ejercicio anterior y luego crear problemas de matemáticas financieras.
Es creación de cada estudiante.
1.29. Estudiar lo siguiente: TOLEDO QUIÑONES, Ricardo (2012). Guía Práctica para Gestionar Empresas, Tema 1: Herramienta Buscar Objetivo, Huaraz, Ediciones Estudio XXI.
Documento y aplicativos para el Excel, los puede encontrar en la plataforma de la Facultad de Administración y Turismo de la UNASAM: www.fatunasam.com
1.30. Aprendido a utilizar el aplicativo del Excel: Buscar Objetivo, desarrollar una calculadora sólo con las cuatro (4) fórmulas básicas estudiadas (S.1.1), (S.2.1), (S.3.1) y (S.4.1) y resolver algunos problemas que se desarrollaron en la presente Unidad Didáctica.
La calculadora ya no se presenta, será sólo estructurando las fórmulas básicas del Ejercicio anterior.
Practique, es necesario que previamente entienda el uso de la opción del Excel: Datos / Análisis Y si / Buscar objetivo
1.31. a) Hallar el interés simple de un capital de S/. 12 000 colocado en una institución financiera desde el 5 de Junio al 15 de Agosto del año 2 015, a una tasa del 6% mensual. b) ¿Cuánto se cobrará incluido el capital y el interés?
a) (S.3.1) I = ? P = 12 000.00 i mensual = 6.0000% i diario = 0.2000% n inicial = 05/06/2015 n final = 15/08/2015 n = 71.00 I = 1 704.00
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b) (S.1.1) F= ? P = 12 000.00 I = 1 704.00 F = 13 704.001.32. Hallar el interés simple de un depósito de ahorro de S/. 10 000 colocado en una entidad financiera del 1 de julio al 15 de octubre del año 2 015, ganando una tasa anual de interés simple del 38%. La tasa anual bajó al 30% a partir del 20 de julio y al 22% a partir del 26 de setiembre. b) Con la misma información calcule nuevamente el interés, considerando que el banco abona los intereses en la libreta de ahorros cada fin de mes (capitalización).
a) (S.3.1) I = ?
P = 10 000.00
Fechas i anual i diario n por período i * n I Saldos
A B C = B /360 D = An - An-1 E = C * D F = P * E G = Gn-1 + In 01/07/2015 10 000.00 20/07/2015 38.00% 0.11% 19.00 0.0201 200.56 10 200.56 26/09/2015 30.00% 0.08% 68.00 0.0567 566.67 10 767.22 15/10/2015 22.00% 0.06% 19.00 0.0116 116.11 10 883.33 Total 106.00 0.0883 883.33 b) (S.3.1) I = ? P = 10 000.00
Fechas i anual i diario n por período i * n I Saldos
A B C = B /360 D = An - An-1 E = C * D F = Gn-1 * En G = Gn-1 + In 01/07/2015 10 000.00 20/07/2015 38.00% 0.11% 19.00 0.0201 200.56 10 200.56 31/07/2015 30.00% 0.08% 11.00 0.0092 93.51 10 294.06 31/08/2015 30.00% 0.08% 31.00 0.0258 265.93 10 559.99 26/09/2015 30.00% 0.08% 26.00 0.0217 228.80 10 788.79 15/10/2015 22.00% 0.06% 19.00 0.0116 125.27 10 914.06 Total 106.00 914.06
Para el caso a) los intereses son de S/. 883.33, para el caso b) son mayores al ser de S/. 914.06, debido a que los montos se capitalizan y sobre los nuevos capitales, se calculan nuevamente los intereses.
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1.33. Ejemplo para hallar el interés mensual : Una persona tiene como saldo en su libreta de ahorros el 01 de Febrero de 2 015 S/. 3 500 y efectúa a partir de esa fecha durante el mes de Febrero las operaciones detalladas en el cuadro siguiente ¿Qué interés habrá acumulado al 1 de Marzo, si la tasa mensual de interés simple fue del 3%? Saldo al 01/02/2015 3 500.00 Depósitos Retiros 15/02/2015 350.00 11/02/2015 300.00 17/02/2015 250.00 20/02/2015 400.00 23/02/2015 120.00 27/02/2015 700.00 25/02/2015 600.00 28/02/2015 200.00 i mensual = 3.00% i diario = 0.10%
Día D/R Importe Movimiento Saldo
acreedor Días
Numerales
Debe Haber Acreedores
01/02/2015 Saldo 3 500.00 3 500.00 10 35 000 11/02/2015 R 300.00 300.00 0.00 3 200.00 4 12 800 15/02/2015 D 350.00 0.00 350.00 3 550.00 2 7 100 17/02/2015 D 250.00 0.00 250.00 3 800.00 3 11 400 20/02/2015 R 400.00 400.00 0.00 3 400.00 3 10 200 23/02/2015 D 120.00 0.00 120.00 3 520.00 2 7 040 25/02/2015 D 600.00 0.00 600.00 4 120.00 2 8 240 27/02/2015 R 700.00 700.00 0.00 3 420.00 1 3 420 28/02/2015 D 200.00 0.00 200.00 3 620.00 1 3 620 01/03/2015 I 98.82 0.00 98.82 3 718.82 28 98 820
Cuando el saldo de una cuenta corriente, de ahorro, etc. cambia constantemente debido a los movimientos que se generan en torno a ella (cargos y abonos), el cálculo del interés simple se efectúa usando numerales. Numeral es el producto de cada nuevo saldo de una cuenta y el número de días de permanencia de ese saldo sin movimiento. Para el cálculo del interés la sumatoria de los numerales se multiplica por la tasa de interés del período:
I = 98 820 * 0.10% I = 98.82
Ésta cantidad se suma al monto del último saldo para obtener lo que se tiene a partir del primer día útil del mes siguiente (3 620 + 98.82 = S/. 3 718.82). Si se desea se puede calcular a partir de este saldo los movimientos del mes de marzo a fin de obtener el monto al 01-04-15.
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1.34. Comprobar que bajo la metodología del uso de numerales, para una persona que no efectúo ningún movimiento en su cuenta de ahorros en el mes de febrero al 01-03-2015, su saldo es equivalente al que se puede hallar capitalizando la deuda.
i mensual = 3.00% i diario = 0.10%
Día D/R Importe Movimiento Saldo
acreedor Días
Numerales
Debe Haber Acreedores
01/02/2015 Saldo 3 500.00 3 500.00 28 98 000 01/03/2015 I 98.00 0.00 98.00 3 598.00 28 98 000 F = ? P = 3 500.00 i = 0.1000% n = 28.00 F = 3 598.00
1.35. El 1 de Junio del 2014 una persona abrió con S/. 2 000 una libreta de ahorros en el Banco Continental, cuando la tasa mensual era de 2%, y a partir de esa fecha efectuó los siguientes depósitos: S/. 600, 500, 400 el 5, 10 y 15 de Junio; asimismo retiró: S/. 300 y 400 el 8 y 25 del mismo mes. Si la tasa bajó al 1% a partir del 18 de Junio y la entidad financiera abona los intereses simples en una cuenta de ahorros el primer día del mes siguiente ¿cuál es el importe disponible del cliente el 1 de Julio?
Seguidamente se muestra el movimiento y los intereses generados para cada período analizado, notar que se debe incluir la fecha del cambio de la tasa (18-06-2014).
Día
(t) D/R Importe
Movimiento Saldo
acreedor Días
Numerales Tasa Interés (en t+1) Debe Haber Acreedores Diaria
01/06/2014 D 2 000.00 0.00 2 000.00 2 000.00 4 8 000 0.0667% 5.33 05/06/2014 D 600.00 0.00 600.00 2 600.00 3 7 800 0.0667% 5.20 08/06/2014 R 300.00 300.00 0.00 2 300.00 2 4 600 0.0667% 3.07 10/06/2014 D 500.00 0.00 500.00 2 800.00 5 14 000 0.0667% 9.33 15/06/2014 D 400.00 0.00 400.00 3 200.00 3 9 600 0.0667% 6.40 18/06/2014 C 0.00 0.00 0.00 3 200.00 7 22 400 0.0333% 7.47 25/06/2014 R 400.00 400.00 0.00 2 800.00 6 16 800 0.0333% 5.60 01/07/2014 I 42.40 0.00 42.40 2 842.40 30 83 200 42.40 Habrá acumulado S/. 42.40 de interés, con lo que tendrá en su cuenta en total la suma de S/. 2 842.40.
28
-Matemática II para administradores
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(S.1.1) (S.1.2) (S.1.3) F=? P=? I=? P= 10000.00 F= 12000.00 F= 12000.00 I= 2000.00 I= 2000.00 P= 10000.00 F= 12000.00 P= 10000.00 I= 2000.00 (S.2.1) (S.2.2) (S.2.3) I=? P=? i=? P= 10000.00 I= 500.00 I= 500.00 i= 5.0000% i= 5.0000% P= 10000.00 I= 500.00 P= 10000.00 i= 5.0000% (S.3.1) (S.3.2) (S.3.3) (S.3.4) I=? P=? i=? n=? P= 10000.00 I= 2500.00 I= 2500.00 I= 2500.00 i= 5.0000% i= 5.0000% P= 10000.00 P= 10000.00 n= 5.00 n= 5.00 n= 5.00 i= 5.0000% I= 2500.00 P= 10000.00 i= 5.0000% n= 5.00 (S.4.1) (S.4.2) (S.4.3) (S.4.3) F=? P=? i=? n=? P= 10000.00 F= 12500.00 P= 10000.00 P= 10000.00 i= 5.0000% i= 5.0000% F= 12500.00 F= 12500.00 n= 5.00 n= 5.00 n= 5.00 i= 5.0000% F= 12500.00 P= 10000.00 i= 5.0000% n= 5.00 S.3 S.4 S.1 S.2
CALCULADORA FINANCIERA DE INTERÉS SIMPLE
Código FÓRMULAS
1 2 3 4
= +
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RESUMEN DE FÓRMULAS INTERÉS SIMPLE
= P + I ………. (S.1.1) P = −
I ………. (S.1.2)
= −
………. (S.1.3)
=
………. (S.2.1)
=
………. (S.2.2)
= I P ………. (S.2.3)
=
………. (S.3.1)
=
………. (S.3.2)
= I P x n ………. (S.3.3)
= I P x i ………. (S.3.4)
=
(1 +
) ………. (S.4.1)
= F/ (1 +
) ………. (S.4.2)
=�−
1
/
………. (S.4.3)
=�−
1
/
………. (S.4.4) 2 3 4 S.1 S.2 S.3 S.4FÓRMULAS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS INTERÉS SIMPLE
Código Fórmula General Fórmulas derivadas
= +
P = Valor presente o capital inicial. F = Valor futuro o capital final.
I = Interés (en términos monetarios).
i = Tasa de interés expresada en tanto por uno. n = Número de períodos.
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UNIDAD DIDÁCTICA 2 : RELACIONES BÁSICAS EN MATEMÁTICAS
FINANCIERAS
EL INTERÉS COMPUESTO. 1.
Es el más utilizado en las operaciones del Sistema Financiero. Se presenta cuando la tasa de interés se aplica sobre la inversión o préstamo original y sobre las acumulaciones que van ocurriendo período a período. De tal forma que se van obteniendo “intereses sobre intereses”. Se diferencia del interés simple en que en este último caso no se capitalizan los intereses.
Siempre que no se señale lo contrario, cuando se hable más adelante de tasa de interés, se referirá al interés compuesto.
Sea:
F : Valor futuro, suma final o valor presente más interés. P : Valor presente, suma inicial o capital.
i : Tasa efectiva de interés por período.
r : Tasa nominal de interés por período1. n : Número de períodos.
Si la tasa de interés es del 6% mensual, y si una persona presta S/. 100 a ésta tasa de interés, entonces al final de un año recuperará los S/. 100 iniciales más esta suma inicial multiplicada por la tasa de interés, es decir, recibirá una cantidad:
S/. 100 + S/. 100 x 0.06 = S/. 100 (1 + 0.06) = S/. 106.00
En general, si la tasa de interés es “i” por ciento mensual, y si la suma inicial prestada es “P0”, entonces la cantidad (denotada por “F1”) que el prestamista recibirá al final de un mes es:
F1 = P0(1 + i)
Por ejemplo, cuando P0 = S/. 100 e i = 7% mensual, el valor de F1 es: F1 = 100 (1 + 0.07) = S/. 107.
Supongamos que F1 se presta ahora por un mes adicional, a la misma tasa de interés, así que el prestamista recibirá la cantidad:
F2 = F1 (1 + i)
al final de este mes adicional. O, dado que F1 = P0 (1 + i), F2 = P0 (1 + i) x (1 + i) = P0 (1 + i)2
Si se presta por 3 meses se tendrá:
1
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F3 = P0 (1 + i)2 x (1 + i) = P0 (1 + i)3
Por consiguiente si una cantidad tal como “P” se presta por “n” meses, la tasa de interés del “i” por ciento mensual (o para un período que puede ser trimestral, semestral, anual, etc.), crecerá en valor a lo que constituye la fórmula básica del interés compuesto (C):
=
(1 +
)
………. (C.1.1)Donde (1 + i)n se denomina factor de capitalización. De donde:
= F 1 (1 +
)
………. (C.1.2)
Donde 1 / (1 + i)n se denomina factor de actualización. En resumen el modelo, diagrama, casos y fórmulas son:
Cuando se requiera hallar i o n, se pueden ingresar los datos conocidos y despejar el desconocido, aunque también se señala para el caso:
………. (C.1.3)
………. (C.1.4)
Para facilitar el estudio del interés compuesto se adopta las siguientes pautas:
- Se denominará modelo a la descripción de la forma en que se presenta un caso y que relacione dos tipos de flujo (para la presente unidad el modelo de valor futuro y presente).
Para simplificar los datos se utilizará la notación: (F/P, i, n) o (P/F, i, n), donde se especifican los datos y la incógnita del problema de matemática financiera ver ejemplos del presente capítulo), donde:
F/P, está referido a hallar el valor futuro, conociendo el valor presente. P/F, está referido a hallar el valor presente, conociendo el valor futuro.
MODELO CASO FÓRMULA
P F VALOR FUTURO Y PRESENTE F/P DIAGRAMA P/F 0 1 2 3 n i = (1 + ) = (1 +) i =
(1
/
) - 1
=
(
/
) (1 +
)Matemática II para administradores
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i, r son la tasas de interés en tanto por ciento efectiva y nominal, respectivamente. n, es el período o tiempo.
Una vez que se acostumbre a la notación, puede excluirse el anotar las letras i y n.
Ejemplo 2.1: Se recibe un préstamo por S/. 20 000 y se debe pagar con interés compuesto del 8% mensual ¿Cuál es el monto si será pagado en 15 meses?
(F/P = 20 000, i = 8%, n = 15)
Se trata de un caso de capitalización, se resuelve con la fórmula: (C.1.1.)
=
(1 +
)
F = 20 000 (1 + 0.08)15 F = S/. 63 443.38
Ejemplo 2.2: Qué cantidad de dinero se tendría que depositar hoy en un Banco que paga el 12% de interés anual, si se desea tener dentro de 5 años un monto de S/. 10 000?
(P/F=10 000, i = 12%, n = 5)
Se trata de un caso de actualización, se resuelve con la fórmula: (C.1.2.)
P = 10 000 / (1 + 0.12)5 P = S/. 5 674.27 P = 20 000 F = ? 2 3 15 Diagrama i = 8% 0 1 F = 10 000 P = ? 5 0 Diagrama 2 i = 12% 1 3 4
=
(1 +
)
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EQUIVALENCIAS FINANCIERAS 2.
Significa que financieramente sumas diferentes de dinero pueden ser equivalentes si se las compara en distintos períodos de tiempo.
Ejemplo 2.3: A una tasa de interés compuesto del 40% anual, S/. 1 000 se hoy a ¿cuántos nuevos soles equivalen dentro de dos años?
=
(1 +
)
F = 1 000 (1 + 0.40)2 = 63 443.38 F = S/. 1 960.00
CAPITALIZACIÓN NO ANUAL DE INTERESES 3.
La capitalización de intereses puede ser al año, así un ahorro de dinero recién ganaría intereses al año de su depósito. Pero esto no es lo más común.
Existen casos en que la capitalización de intereses no se realiza anualmente, sino por períodos fraccionarios del año, tales como semestres, trimestres, bimestres, semanas, días, etc., referidos a una tasa de interés anual en estos casos, el problema consiste en referir la tasa de interés anual a una tasa de interés semestral, trimestral, bimestral, etc. y esto se realiza mediante el fraccionamiento de la tasa de interés anual por el número de veces en que se capitaliza anualmente.
Un año en número de capitalizaciones equivale a 2 semestres, 3 cuatrimestres, 4 trimestres, 12 meses, 52 semanas y a 360 días.
Se debe tener cuidado al momento de establecer ésta identificación, por ejemplo es común creer que un año equivale a tres trimestres, siendo en realidad cuatro (4x3 = 12). Si esto ocurre siendo “i” la tasa de interés anual y “m” el número de capitalizaciones en un año, la fórmula general (C.1.1) del interés compuesto queda expresada como:
=
1 +
………. (C.1.5)Ejemplo 2.4: Se deposita S/. 22 000 a una cuenta que gana 40% de interés anual capitalizado semestralmente ¿Cuál será el monto acumulado al final del cuarto año? m = 2 veces al año (semestral).
n = 4 años.
Períodos de capitalización = m x n = 8 semestres.
=
2 =
0.40
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(F/P = 22 000, 20%, 8) (Nota: Se excluyen las notaciones i = y n =) En la fórmula (C.1.5):
= �
1 +
= 22 000�
1 +0.4 2
24
= 22 000 (1 + 0 . 2)8
F = S/. 94 595.97En las operaciones financieras cuando el interés se capitaliza más de una vez en el año, pueden distinguirse dos tasas de interés: la nominal y la efectiva. En caso de capitalización anual, la tasa efectiva es la misma que la tasa nominal, este criterio también se cumple si la tasa de interés nominal corresponde a la tasa aplicable al periodo de capitalización (ver ejemplo 2.7), pero cuando el interés se capitaliza más de una vez en el año, en general la tasa efectiva anual es mayor que la tasa nominal.
3.1. TASA NOMINAL
Si la tasa (“r”) es nominal y se da para el año, en tanto que la capitalización sea “m” veces al año, la tasa para el período será: r% / m.
Si la tasa (“r”) es nominal y se da para un período fraccionario del año (ejemplo: para el mes, trimestre, semestre, etc.), se halla “m” que corresponde a las veces que contiene un año al período fraccionario (ejemplo: sean los períodos fraccionarios m = 12/1 = 12, (si es mes) m = 12/3 = 4 (si es trimestre) y m = 12/6 = 2 (si es semestre)) en tanto que la tasa para el año será: r% * m.
Ejemplo 2.5: Para la siguiente tabla, deducir la operación que se ha efectuado para hallar la tasa nominal.
Tasa Nominal Hallar Tasa Periodos Hallar la Respuesta Anual por período m Operación Tasa por período (*)
60.00% Mensual 5.00%
60.00% Bimestral 6 60% /6 10.00%
60.00% Trimestral 15.00%
60.00% Semestral 2 60% /2 30.00% (*) De corresponder al período de capitalización, también constituye la tasa efectiva por período.
F = ?
P = 22 000
i = 20%
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Ejemplo 2.6: Para la siguiente tabla, deducir las operaciones que se han efectuado para hallar las tasas nominales.
Tasa Interés Tasa Periodos Hallar la Respuesta r por período m Operación Tasa Nomin. Anual
6.00% Mensual 12 6% * 12 72.00%
8.00% Bimestral 48.00%
10.00% Trimestral 4 10% * 4 40.00%
20.00% Semestral 40.00%
3.2. TASA EFECTIVA
En todos los casos de cálculo financiero de interés compuesto se utiliza la tasa efectiva. a) A partir de la tasa nominal
Ir de mayor a menor monto de la tasa: Cuando se conoce la tasa nominal por período , y ésta no corresponde a la tasa del período de capitalización (m), en este caso se requiere hallar la tasa nominal por período y ésta tasa corresponde también a la tasa efectiva por período. La fórmula es:
=
………. (C.1.6)De acuerdo a la simbología antes planteada: r = tasa nominal de interés por período. Ejemplo 2.7: Para una tasa nominal del 60% si la capitalización es mensual, bimestral, trimestral, semestral y anual, hallar la tasa nominal y efectiva por período de capitalización.
Tasa Nominal Capitalización Periodos Tasa nominal Tasa Efectiva Anual (N° de veces) m por período por período
60.00% Mensual 12 5.00% 5.00%
60.00% Bimestral 6 10.00% 10.00%
60.00% Trimestral 4 15.00% 15.00%
60.00% Semestral 2 30.00% 30.00%
60.00% Anual 1 60.00% 60.00%
Ir de menor a mayor monto de la tasa: Cuando se conoce la tasa nominal por período, y ésta corresponde a la tasa del período de capitalización, en este caso, se cumple lo establecido en el Ejemplo 2.7 que fija que en caso de capitalización anual, la tasa efectiva es la misma que la tasa nominal, igual si se conoce la tasa nominal por período de capitalización, sea diaria, mensual, semestral, etc. ésta tasa será también la efectiva, por lo que este caso también se resuelve a partir de la tasa efectiva en el siguiente ítem b) que se trata a continuación. La fórmula para este caso es:
=
1 +
−
1 ... (C.1.7)Ejemplo 2.8: A un comerciante le ofrecen prestar dinero a distintas tasas con capitalizaciones también para períodos distintos ¿Debería preguntar si esa tasa es nominal o efectiva?
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No es necesario, ya que si la tasa corresponde al período de capitalización, la tasa nominal y efectiva son iguales. Por ejemplo:
Tasa Capitalización es: Tasa nominal Tasa Efectiva por período por período 5.00% Mensual 5.00% mensual 5.00% mensual 10.00% Bimestral 10.00% bimestral 10.00% bimestral 15.00% Trimestral 15.00% trimestral 15.00% trimestral 30.00% Semestral 30.00% semestral 30.00% semestral 60.00% Anual 60.00 % anual 30.00% anual
Ejemplo 2.9: Comparar la tasa nominal del 12% con la tasa efectiva ambas expresadas en forma semestral, trimestral, bimestral, mensual y quincenal.
Tasa
Capitalización Periodos Operación Tasa
Nominal m Efectiva 12.00% Semestral 2 (1+0.12/2)^2-1 12.36% 12.00% Trimestral 4 (1+0.12/4)^4-1 12.55% 12.00% Bimestral 6 (1+0.12/6)^6-1 12.62% 12.00% Mensual 12 (1+0.12/12)^12-1 12.68% 12.00% Quincenal 24 (1+0.12/24)^24-1 12.72%
b) A partir de la tasa efectiva
Ir de mayor a menor monto de la tasa: Si se conoce la tasa efectiva para un periodo de capitalización específico y se desea hallar para otro período menor (por ejemplo se conoce la tasa anual = i efectiva conocida y se desea hallar la tasa mensual = i efectiva desconocida), el criterio señala que se trata de una operación que involucra sacar una raíz (ver Anexo 2.1), ya que la tasa que se conoce debe disminuir, así, ésta puede obtener con la siguiente fórmula:
<
=
1 +
>
−
1 ………. (C.1.8)Ejemplo 2.10: Para la siguiente tabla, deducir la operación que se ha efectuado para hallar la tasa efectiva.
Tasa Efectiva Hallar Periodos Hallar la Tasa efectiva Anual (i>) Tasa Efectiva m Operación por período (i<)
60.00% Mensual 12 3.99%
60.00% Bimestral 6 8.15%
60.00% Trimestral 4 12.47%
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Ir de menor a mayor monto de la tasa: Si se conoce la tasa efectiva para un periodo de capitalización específico y se desea hallar para otro período mayor (por ejemplo se conoce la tasa mensual y se desea hallar la tasa anual), el criterio señala que se tratará de una operación que involucra la elevación a una potencia (ver Anexo 2.1), ya que la tasa que se conoce debe aumentar (m>1), así ésta puede obtener con la fórmula (C.1.7) ya tratada anteriormente:
=
1 +
−
1Ejemplo 2.11: Para una tasa nominal anual de 60% si la capitalización es anual, hallar la tasa efectiva anual.
De acuerdo a lo ya planteado, en caso de capitalización anual, la tasa efectiva es la misma que la tasa nominal.
=�
1 +0.60 1
1
−
1i anual = (1 + 0.60) – 1 i anual = 0.60 = 60.00%.
Ejemplo 2.12: Hallar para una tasa nominal anual de 60% si la capitalización es mensual, hallar la tasa efectiva anual y demostrar lo que fija la teoría: “Cuando el interés se capitaliza más de una vez en el año, en general la tasa efectiva es mayor que la tasa nominal.”
=
1 +
−
1
=�
1 +0.60 12
12
−
1 i anual = 79.59%Ejemplo 2.13: Dada una tasa nominal del 60% anual capitalizable mensualmente, hallar la tasa efectiva anual, luego a partir de éste resultado calcular dada la tasa efectiva anual, la tasa nominal anual.
i efectivo = ¿? i nominal 60.00% Capital. año 12 i efectivo 79.59% i nominal = ¿? i efectivo 79.59% Capital. año 12 i nominal 60.00%
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Ejemplo 2.14: Hallar a partir de la tasa nominal dada para el año, la tasa efectiva por período y la tasa efectiva anual:
Tasa Nominal Capitalización Periodos Tasa Tasa Efectiva Anual (N° de veces) m por período(*) anual (**)
60.00% Mensual 12 5.00% 79.59%
60.00% Bimestral 6 10.00% 77.16%
60.00% Trimestral 4 15.00% 74.90%
60.00% Semestral 2 30.00% 69.00%
(*) Para el primer caso : 60%/12 = 5,00%. (**) Para el primer caso : ((1 + 0,05)12 – 1) * 100
Ejemplo 2.15: Para la siguiente tabla, deducir la operación que se ha efectuado para hallar la tasa efectiva.
Tasa interés Capitalización Periodos Hallar la Respuesta i o r (N° de veces) m Operación Tasa Efect. Anual 6.00% Mensual 12 (1+0.06)^12-1 101.22%
8.00% Bimestral 6 58.69%
10.00% Trimestral 4 46.41%
20.00% Semestral 2 44.00%
Para el mismo período: Cuando se conoce la tasa efectiva para un tiempo tal como “n”, la que se capitaliza en períodos menores “m” y se desea hallar la tasa nominal durante el tiempo “n”, la fórmula se deduce del modo siguiente:
=
………. (C.1.6)r = m x i Como:
<
=
1 +
>
−
1 ………. (C.1.8)Entonces: (entendiendo que i se capitaliza m veces)
r = m (
√
1 +
−
1 ………. (C.1.9)Ejemplo 2.16: Para las siguientes tasas de interés nominal (o efectivas ya que son iguales) para un período de tiempo tal como “n” calcular las tasas efectivas para ese mismo período de tiempo.
Tasa interés
Capitalización Periodos Hallar la Respuesta Capitalización efectiva anual m Operación Tasa nominal
50.00% Anual 1 1 ((1+0.5)^(1/1)-1) 50.00% Anual 65.00% Trimestral 4 4 ((1+0.65)^(1/4)-1) 53.35% Trimestral 59.00% Mensual 12 12 ((1+0.59)^(1/12)-1) 47.28% Mensual 80.00% Diaria 360 360 ((1+0.8)^(1/360)-1) 58.83% Diaria
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EJERCICIOS 2.1: VALOR FUTURO Y
EJERCICIOS 2.1: VALOR FUTURO Y PRESENTE, TASA NOMINAL Y EFECTIVAPRESENTE, TASA NOMINAL Y EFECTIVA 2.1.
2.1. En la fecha se deposita S/. 192 000 en una cuenta bancaria que paga una tasa deEn la fecha se deposita S/. 192 000 en una cuenta bancaria que paga una tasa de interés efectiva anual del 40% ¿A cuánto ascenderá dicho depósito después de interés efectiva anual del 40% ¿A cuánto ascenderá dicho depósito después de tres años?
tres años?
NOTA: La forma como se desarrolla inicialmente los problemas es siguiendo todas las NOTA: La forma como se desarrolla inicialmente los problemas es siguiendo todas las pautas, a medida que se adquiera práctica parte de los datos que se consignan en cada pautas, a medida que se adquiera práctica parte de los datos que se consignan en cada ejercicio se podrán ir excluyendo.
ejercicio se podrán ir excluyendo. Fórmula F/P Fórmula F/P C.1.1 C.1.1 F = P(1 + i) F = P(1 + i)nn (F/P=192000,40%,3) (F/P=192000,40%,3) P P = = 192 192 000.00000.00 i i = = 40.00%40.00% n n = = 3.003.00 F F = = 526 526 848.00848.00 2.2.
2.2. Se cobró S/. 95 000 como pago por un préstamo efectuado hace 2 años, si la tasaSe cobró S/. 95 000 como pago por un préstamo efectuado hace 2 años, si la tasa de interés fue de 35% ¿A
de interés fue de 35% ¿A cuánto ascendió el préstamo original?cuánto ascendió el préstamo original?
Nota: En el ejercicio al no citarse qué tipo de interés es, se entiende que es Nota: En el ejercicio al no citarse qué tipo de interés es, se entiende que es compuesto. compuesto. Fórmula P/F Fórmula P/F C.1.2 C.1.2 P = F / (1 + i) P = F / (1 + i)nn (P/F=95000,35%,2) (P/F=95000,35%,2) F = F = ?? P = 192 000 P = 192 000 i i = 40%= 40% 00 11 22 33 F = 95 000 F = 95 000 P = ? P = ? 22 i = 35% i = 35% 00 11
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F F = = 95 95 000.00000.00 i i = = 35.00%35.00% n n = = 2.002.00 P P = = 52 52 126.20126.20 2.3.
2.3. Una empresa obtiene un crédito por S/. 235 000 para la compra de mercadería yUna empresa obtiene un crédito por S/. 235 000 para la compra de mercadería y útiles de oficina. El crédito será cancelado mediante un solo paga al término del útiles de oficina. El crédito será cancelado mediante un solo paga al término del cuarto año. Elaborar un cuadro con
cuarto año. Elaborar un cuadro con el monto de la deuda año a el monto de la deuda año a año, considerandoaño, considerando una tasa de interés del 45% anual. Utilizando las fórmulas estudiadas, calcule el una tasa de interés del 45% anual. Utilizando las fórmulas estudiadas, calcule el monto del pago final.
monto del pago final.
i i = = 45.00%45.00%
Fin
Fin de de año año Préstamo Préstamo Intereses Intereses Deuda Deuda PagoPago A A B B C C = = DDn-1n-1x x i i D D = = DDn-1n-1 + C + Cnn EE 0 0 235 235 000.00 000.00 0.00 0.00 235 235 000.00000.00 1 1 105 105 750.00 750.00 340 340 750.00750.00 2 2 153 153 337.50 337.50 494 494 087.50087.50 3 3 222 222 339.38 339.38 716 716 426.88426.88 4 4 322 322 392.09 392.09 1 1 038 038 818.97 818.97 1 1 038 038 818.97818.97
Utilizando el procedimiento y fórmulas estudiadas: Utilizando el procedimiento y fórmulas estudiadas:
Fórmula F/P Fórmula F/P C.1.1 C.1.1 F = P(1 + i) F = P(1 + i)nn (F/P=235000,45%,4) (F/P=235000,45%,4) P P = = 235 235 000.00000.00 i i = = 45.00%45.00% n n = = 4.004.00 F F = = 1 1 038 038 818.97818.97 2.4.
2.4. ¿A cuánto ascenderán hoy, pagos futuros (F) por montos de S/. 95 000 (dentro de¿A cuánto ascenderán hoy, pagos futuros (F) por montos de S/. 95 000 (dentro de un año), S/. 130 000 (dentro de 3 años) y S/. 280 000 (dentro de 5 años). un año), S/. 130 000 (dentro de 3 años) y S/. 280 000 (dentro de 5 años). Considerar una tasa de interés del 35%
Considerar una tasa de interés del 35% anual.anual.
P = 235 000 P = 235 000 F = F = ?? 44 i i = 45%= 45% 00 11 22 33
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Fórmula
Fórmula P/F P/F TotalTotal
C.1.2 C.1.2 P = F / (1 + i) P = F / (1 + i)nn (P/F=95000,35%,1) (P/F=130000,35%,3) (P/F=280000,35%,5) (P/F=95000,35%,1) (P/F=130000,35%,3) (P/F=280000,35%,5) F F = = 95 95 000.00 000.00 130 130 000.00 000.00 280 280 000.00000.00 i i = = 35.00% 35.00% 35.00% 35.00% 35.00%35.00% n n = = 1.00 1.00 3.00 3.00 5.005.00 P P = = 70 70 370.37 370.37 52 52 837.47 837.47 62 62 443.78 443.78 185 185 651.62651.62 2.5.
2.5. Resolver el ejercicio anterior con el Excel, utilizando la función: VNAResolver el ejercicio anterior con el Excel, utilizando la función: VNA
Descripción: VNA, calcula el valor neto presente de una inversión a partir de una tasa de Descripción: VNA, calcula el valor neto presente de una inversión a partir de una tasa de descuento y una serie de pagos futuros (valores
descuento y una serie de pagos futuros (valores negativos) e ingresos (valores positivos).negativos) e ingresos (valores positivos). Sintaxis: VNA(tasa;valor1;[valor2];...) Sintaxis: VNA(tasa;valor1;[valor2];...) i i = = 35.00%35.00% Período Período 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 55 Monto Monto 185 185 651.62 651.62 ( ( 95 95 000.00) 000.00) 0.00 0.00 (130 (130 000.00) 000.00) 0.00 0.00 (280 (280 000.00)000.00)
IMPORTANTE: Para que se resuelva adecuadamente a las celdas de los años 2 y 4 deben IMPORTANTE: Para que se resuelva adecuadamente a las celdas de los años 2 y 4 deben de ingresarse ceros (0), las celdas vacías no son consideradas como datos del problema. de ingresarse ceros (0), las celdas vacías no son consideradas como datos del problema. Además por el momento, conserve la lógica de los signos de los flujos, así de acuerdo al Además por el momento, conserve la lógica de los signos de los flujos, así de acuerdo al planteamiento del ejercicio, los pagos son salidas de dinero por lo tanto figuran con planteamiento del ejercicio, los pagos son salidas de dinero por lo tanto figuran con valor negativo y el valor presente es un ingreso, por lo que debe aparecer como un valor valor negativo y el valor presente es un ingreso, por lo que debe aparecer como un valor positivo. Cuando adquiera práctica trabajará seguramente sólo con valores positivos positivo. Cuando adquiera práctica trabajará seguramente sólo con valores positivos pero siempre deberá dar la interpretación adecuada a
pero siempre deberá dar la interpretación adecuada a la salida o ingreso la salida o ingreso de dinero.de dinero. 2.6.
2.6. ¿Cuál es la tasa de interés anual para que S/. 356 000 se conviertan en S/. 2 848¿Cuál es la tasa de interés anual para que S/. 356 000 se conviertan en S/. 2 848 000, dentro de tres años?
000, dentro de tres años? P = ? P = ? FF1 1 = = 995 5 000000 FF2 2 = = 11330 0 000000 FF3 3 = = 22880 0 000000 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 i = 35% i = 35%
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Fórmula C.1.3 i = (F/P)(1/n) – 1 (F=2848000/P=356000, i=?,3) P = 356 000.00 F = 2 848 000.00 n = 3.00 i = 100.00%2.7. ¿Qué tiempo tiene que transcurrir para que S/. 200 000 depositados hoy día, se conviertan en S/. 896 807 con una tasa de interés del 35% anual?
Fórmula C.1.4 n = Ln (F/P) / Ln (1 + i) (F=896807/P=200000,35%, n=?) P = 200 000.00 F = 896 807.00 i = 35.00% n = 5.00
2.8. El precio al contado de una máquina es S/. 150 000, se desea conocer ¿cuánto se parará para su cancelación?, si dicha máquina se adquiere al crédito bajo las siguientes condiciones:
- 30% en efectivo.
- El resto a cancelarse con un solo pago dentro de 2 años. - Tasa de interés del 48% capitalizable en forma trimestral.
F = 2 848 000 P = 356 000 3 i = ? 0 1 2 F = 896 807 P = 200 000 i = 35% 0 n=?
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C.1.1 F = P(1 + i)n (P/F=105000,12%,8) Precio 150 000.00 Efectivo (%) 30.00% Efectivo (S/.) 45 000.00 P = 105 000.00 i anual = 48.00% i trimest. = 12.00% n = 8.00 F = 259 976.132.9. Un comerciante consiguió un préstamo por el que debe de pagar las siguientes cuotas:
- 2do. Semestre S/. 35 000 - 3er. Semestre S/. 40 000 - 5to. Semestre S/. 50 000 - 7mo. Semestre S/. 55 000
Si la entidad crediticia fijó una tasa de interés nominal de 40% anual, capitalizable semestralmente ¿A cuánto ascendió el préstamo? Instrucción: Resuelva con las fórmulas y con el Excel, función VNA.
P = 105 000 F = ? i = 48% / 4 = 12% 0 1 2 3 8 P = ¿? F=35 000 F=40 000 F=50 000 F=55 000 7 1 2 3 4 6 i = 40% / 2 = 20% 0 5
Matemática II para administradores
2015
P/F C.1.2 P = F / (1 + i)n (P/F=35000,20%,2) (P/F=40000,20%,3) (P/F=50000,20%,5) (P/F=55000,20%,7) Total F = 35 000.00 40 000.00 50 000.00 55 000.00 i = 20.00% 20.00% 20.00% 20.00% n = 2.00 3.00 5.00 7.00 P = 24 305.56 23 148.15 20 093.88 15 349.49 82 897.07Con el Excel, función VNA:
i = 20.00%
Semestre 0 1 2 3 4 5 6 7
Flujo S/. 82,897.07 0.00 35 000.00 40 000.00 0.00 50 000.00 0.00 55 000.00
2.10. Establezca la tasa de interés efectiva anual de las siguientes tasas nominales: a) r = 40% anual capitalizable en forma semestral.
b) r = 45% anual capitalizable en forma mensual. c) r = 60% anual capitalizable en forma trimestral. d) r = 60% anual capitalizable en forma diaria.
Tasa Nominal
Capitalización Periodos Tasa Tasa Efectiva
Anual m por período(*) anual
40.00% Semestral 2 20.00% 44.00%
45.00% 12 55.55%
60.00% Trimestral 4 15.00%
60.00% Diaria 0.17% 82.12%
2.11. Establezca la tasa de interés nominal (r) anual de las siguientes tasas efectivas (i): a) 50.06% anual con capitalización semestral.
b) 47.29% anual con capitalización bimestral. c) 61.56% anual con capitalización diaria. d) 80.87% anual con capitalización quincenal.
Tasa interés
Capitalización Periodos Hallar la Respuesta Capitalización efectiva anual m Operación Tasa Efect. Anual
50.06% Semestral 2 2 ((1+0.5006)^(1/2)-1) 45.00% Semestral 47.29% Bimestral 6 6 ((1+0.4729)^(1/6)-1) 40.00% Bimestral 61.56% Diaria 360 360 ((1+0.6156)^(1/360)-1) 48.00% Diaria 80.87% Quincenal 24 24 ((1+0.8087)^(1/24)-1) 60.00% Quincenal
