0103) Movimiento Rectilíneo Vertical
1) Movimiento Vertical con aceleración constante
• Conocer y aplicar las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración en el movmiento vertical (caso particular del MRUA)
• Conocer los casos: lanzamiento vertical hacia abajo, lanzamiento vertical hacia arriba y caída libre.
• Para el caso lanzamiento vertical hacia arriba, definir y calcular “tiempo máximo” y “altura máxima”
• Resolver gráfica y analíticamente problemas de encuentro entre dos cuerpos con Movimiento Vertical.
Ecuaciones del Movimiento Vertical
El sistema de referencia general para el movimiento vertical se muestra en la figura 1. Las ecuaciones del movimiento vertical están dadas por:
( )
2 0 0 gt 2 1 t V Y t Y = + − [1a]( )
t V gt V = 0− [1b]( )
t g A =− [1c] Donde• Y(t): altura del móvil en función de t. • V(t): velocidad del móvil en función de t. • A(t): aceleración del móvil en función de t. • X0: altura del móvil en t=0.
• V0: velocidad del móvil en t=0.
• g: Aceleración de gravedad. Para movimientos a nivel terrestre se considera constante (suposicion que se
justificará cuando veamos gravitación) y de valor 9,8 [m/s2], aunque para efectos de cálculo se suele usar 10,0 [m/s2].
El movimiento vertical es un caso particular de MRUA donde a0 = -g, por lo que todos los conceptos vistos para el MRUA son válidos para el movimiento vertical.
Dependiendo del valor de V0, el movimiento vertical se puede clasificar en tres tipos:
• Lanzamiento vertical hacia abajo (V0 < 0): Caracterizado por enunciados del tipo “se lanza (tira) un cuerpo hacia abajo”.
• Caída Libre (V0 = 0): Caracterizado por enunciados del tipo “se suelta (deja caer) un cuerpo”. Y 0
g
r
V 0Y
Figura 1) Sistema de referencia general para elmovimiento vertical.
• Lanzamiento vertical hacia arriba (V0 > 0): Caracterizado por enunciados del tipo “se lanza (tira) un cuerpo hacia arriba”.
Para el caso de problemas en los cuales solamente haya cuerpos en caída libre y/o lanzamiento vertical hacia abajo, resulta conveniente usar el sistema de referencia mostrado en la figura 2. En él, las cantidades positivas apuntan hacia abajo, y las ecuaciones de altura, velocidad y aceleración quedarían expresadas de la siguiente manera:
( )
2 0 0 gt 2 1 t V Y t Y = + + [2a]( )
t V gt V = 0+ [2b]( )
t g A = [2c] Lanzamiento vertical hacia arribaEn la figura 3 podemos distinguir tres instantes claves en el lanzamiento vertical hacia arriba:
• Instante 1 (t = 0): El cuerpo se lanza velocidad de magnitud V0 hacia arriba desde la altura inicial Y0, y empieza su ascenso. • Instante 2 (t = Tmáx): El cuerpo alcanza su altura máxima Ymáx.
Se “detiene” en el aire, por lo que su velocidad tiene magnitud cero. Después empieza su descenso.
• Instante 3 (t = 2·Tmáx): El cuerpo vuelve a pasar por su nivel de lanzamiento Y0, y su velocidad tiene magnitud V0 hacia abajo.
En este caso, podemos distinguir dos parámetros importantes: • La altura máxima (Ymáx) que puede alcanzar el cuerpo • El tiempo máximo (Tmáx) que es el tiempo, a partir del instante
de lanzamiento, que el cuerpo demora en llegar a Ymáx. Aplicando la condición V(Tmáx) = 0 a la ecuación [1b] se llega a
(
)
g V T 0 T g V T V 0 máx máx 0 máx = − ⋅ = ⇒ = [3]Sabiendo que Ymáx = Y(Tmáx), y reemplazando [3] en [1a]:
Y 0
g
r
Y
V0 Figura 2) Sistema de referencia para el movimientovertical para lanzamiento hacia abajo y/o caída libre
1 3
2
Figura 3) Lanzamiento vertical hacia arriba
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
(
)
2g V Y 2g V g V Y g V g 2 1 g V V Y T g 2 1 T V Y T Y Y 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 máx máx 0 0 máx máx 2 2 2 + = − + = ⋅ ⋅ − ⋅ + = ⋅ ⋅ − ⋅ + = = [4]En la figura 4 se visualizan los gráficos de posición y velocidad para un lanzamiento vertical hacia arriba. Se aprecia que, para el instante t =Tmáx, el cuerpo alcanza su altura máxima Ymáx y tiene velocidad cero, mientras que para t = 2Tmáx, el cuerpo vuelve a pasar por su altura inicial de lanzamiento Y0, a una velocidad de magnitud V0, pero dirigida hacia abajo, en sentido opuesto al del lanzamiento inicial.
Y(t)
V(t)
t
t
0
0
T
máxT
máx2T
máx2T
máxV
0-V
0Y
0Y
máx2g
V
0 2Figura 4) Gráficos de altura y velocidad para un lanzamiento vertical hacia arriba.
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R Ejercicio:
En la figura 5 se aprecian dos cuerpos A y B que caen desde gran altura. Mientras el movimiento de A es de caída libre, el de B es un lanzamiento vertical hacia abajo con V0B = 5 [m/s]. Además, A está inicialmente H = 3 [m] más abajo que B. Considere g = 10 [m/s2]. Usando el sistema de referencia indicado en la figura 2:
a) Si ambos cuerpos parten simultáneamente, calcule el instante en que B alcanza a A y la distancia que tuvo que recorrer B para lograrlo.
b) Si B sale con 3 [s] de retraso con respecto a A, ¿Lo alcanzará?
c) Calcule el retardo T de B para que, a partir de t = T, la distancia entre A y B sea constante. Desarrollo:
Pregunta a) En este caso, conviene usar el sistema de referencia ilustrado en la figura 26, en el cual todas las cantidades con dirección hacia abajo se definen como positivas. Así, las ecuaciones de posición de A y B son:
( )
2 2 2 A 10 t 3 5 t 2 1 3 t g 2 1 H t Y = + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ = + ⋅( )
2 2 2 B B 10 t 5 t 5 t 2 1 t 5 t g 2 1 t V t Y = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ En el instante en que B alcanza a A, YA(t) = YB(t). Luego:[ ]
s 5 3 t t 5 3 t 5 t 5 t 5 3 2 2 = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ +Reemplazando en la ecuación para YB(t), se obtiene la distancia recorrida por B hasta alcanzar a A.
[ ]
m 4.8 5 3 5 5 3 5 5 3 Y 2 B = ⋅ + ⋅ = Pregunta b) En este caso, hay que considerar que B parte con 3 [s] de retraso. Luego, las ecuaciones de posición de A y B son:
H
V
0BA
B
y
g
r
Figura 5) Situación de ejercicio de Movimiento Vertical
( )
2 2 2 A 10 t 3 5 t 2 1 3 t g 2 1 H t Y = + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ = + ⋅( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t 6 t 9)
5 t 15 5 t 30 t 45 5 t 25 t 30 5 15 t 5 3 -t 5 3 -t 5 3 -t 10 2 1 3 -t 5 3 -t g 2 1 3 -t V t Y 2 2 2 2 2 2 B B + ⋅ − ⋅ = + ⋅ − ⋅ + − ⋅ = + ⋅ − ⋅ + − ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ =En el instante en que B alcanza a A, YA(t) = YB(t). Luego:
[ ]
s 25 27 t 27 t 25 30 t 25 3 30 t 25 t 5 t 5 3 2 2 = ⇒ = ⋅ ⇒ + ⋅ − = ⇒ + ⋅ − ⋅ = ⋅ +Hasta aquí todo parece similar a la pregunta a), pero hay un detalle: como B parte en t = 3 [s], tendría que alcanzar a A en un instante posterior a
ese, y el resultado obtenido para t es claramente menor que 3, por lo que no corresponde a una solución físicamente válida.
Para analizar bien esta situación, veamos qué sucede con la velocidad de A en el instante en que B se lanza hacia abajo. La velocidad de A es igual a:
( )
t g t 10 t VA = ⋅ = ⋅Al evaluar en t = 3 [s], obtenemos una velocidad de 30 [m/s] hacia abajo. Además, en ese instante, la posición de A es Y
( )
3 3 5 32 48[ ]
mA = + ⋅ = .
Así, la situación (que se ilustra en la figura 6), sería la siguiente: En t = 3 [s], A parte con 48 [m] de ventaja
sobre B, su velocidad inicial es 6 veces mayor que la de B, y tienen la misma aceleración (g). En esas condiciones, resulta evidente que B jamás va a alcanzar a A, y que lo que sucederá es que A se alejará cada vez más de B.
Pregunta c) En este caso, hay que considerar que B parte con T [s] de retraso. Luego, las ecuaciones de posición de A y B son:
( )
2 2 2 A 10 t 3 5 t 2 1 3 t g 2 1 H t Y = + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ = + ⋅( )
(
)
(
)
2(
)
(
)
2(
)
(
)
2 B B 2 10 t-T 5 t-T 5 t-T 1 T -t 5 T -t g 2 1 T -t V t Y = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅48 [m]
5 [m/s]A
B
y
g
r
30 [m/s] t = 3 [s] Figura 6) Situación de A y B en t = 3 [s] para la pregunta b.Ahora lo que se busca es que, después de t = T, la distancia entre A y B permanezca constante, esto es YA(t) –YB(t) = constante. Restando las dos ecuaciones de posición:
( )
( )
[
(
)
(
)
]
[
(
)
]
[
]
[
(
)
]
(
)
2(
)
2 2 2 2 T 5 T 5 3 5 -T 10 t T 5 T 5 T 10 -5 t t 5 t 5 3 T 5 T 5 T 10 -5 t t 5 t 5 3 T 5 t T 10 -t 5 T 5 -t 5 t 5 3 T t T 2 -t 5 T 5 -t 5 t 5 3 T -t 5 T -t 5 t 5 3 t Y t Y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B A ⋅ − ⋅ + + ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + = + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + = ⋅ + ⋅ − ⋅ + = −Para que se cumpla la condición de diferencia constante, el factor que acompaña al tiempo t tiene que ser igual a cero. Luego, 10⋅T-5=0⇒T =0.5
[ ]
s .Se puede llegar a este mismo resultado usando derivadas. Si la función F(x) = YA(t) –YB(t) es constante, entonces la derivada de F(x) tiene que ser cero. Es decir
( )
( )
(
)
[
(
)
(
)
]
[
(
)
]
(
t T)
5 10 t 10 T 5 10 T T 0.5[ ]
s 10 5 t 10 0 T t 10 5 t 10 T -t 5 T -t 5 t 5 3 t Y t Y (t) F' 2 2 B A = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ + = − + = ⋅ ⇒ = − ⋅ + − ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ + = − = ' ' ' 'La función de velocidad de ambos cuerpos está dada por:
( )
t g t 10 t VA = ⋅ = ⋅( )
t V g(
t-T)
5 10(
t-0,5)
VB = B0+ ⋅ = + ⋅
En t = T, se aprecia que VA(T) = VB(T) = 5 [m/s]. Además, en ese instante, la posición del cuerpo A es Y
(
0.5)
3 5 0.52 4.25[ ]
mA = + ⋅ = .
En la figura 7 se ilustra la situación para t = T. Los dos cuerpos tienen la misma aceleración (g) y la misma velocidad inicial (5 [m/s]), por lo que sus movimientos serán iguales. Y como A está a 4.25 [m] delante de B, se concluye que ambos cuerpos estarán distanciados a 4.25 [m] durante todo el trayecto.
Para este caso, se puede establecer que:
• Para t < T, el cuerpo B se acerca a A a medida que ambos caen, hasta que en mmento dado lo alcanza. • Para t = T, los cuerpos B y A se mantienen a
distancia constante durante su caída.
• Para t > T, A se va alejando de B a medida que ambos van cayendo.
4.25 [m] 5 [m/s]
A
B
y
g
r
5 [m/s] t = T [s] Figura 7 Situación de A y B en t = T [s] para la pregunta cFísica General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R 2) Efecto de la resistencia del aire
• Analizar a nivel cualitativo el efecto de la resistencia del aire en la caída de los cuerpos.
• Calcular la velocidad terminal de un cuerpo en caída libre para dos modelos de resistencia de aire
En los tiempos previos a las investigaciones del físico renacentista italiano Galileo Galilei, se sostenía la creencia (heredada de Aristóteles) de que un cuerpo “pesado” se demora menos al caer que uno “liviano”. Galileo refutó esta creencia al hacer el siguiente análisis. Sean A un cuerpo “pesado” y B un cuerpo “liviano”, como los ilustrados en la figura 8. Si unimos A y B con un hilo, formando el cuerpo AB y lo dejamos caer desde gran altura, la suposición de que “A cae con mayor velocidad que B” lleva a dos conclusiones contradictorias entre sí (reducción al absurdo)
• B es más liviano que A ⇒ B cae más lento que A ⇒ En AB, B “frena” a A ⇒ AB cae más lento que A.
• AB es más pesado que A ⇒ AB cae más rápido que A.
Para corroborar su razonamiento, Galileo Galileo se subió a la Torre de Pisa (ver figura 9), y dejó caer dos cuerpos de diferente peso. Ante la sorpresa de todos, los dos cuerpos llegaron juntos al suelo.
Si usted deja caer una moneda y un trozo de papel estirado desde una misma altura inicial, la moneda llegará primero. Pero si arruga el trozo de papel formando una “pelota” y repite el experimento, ambos cuerpos llegarán al mismo tiempo (ver figura 10). Esto se debe a que aire opone resistencia a la caída de los cuerpos. Mientras más liviano sea el cuerpo, mayor es la resistencia. Al respecto, Galileo formuló la siguiente teoría: Dos cuerpos cualesquiera que se dejan caer simultáneamente en el vacío, van cayendo siempre juntos, con iguales velocidades. Esto se aprecia en el clásico experimento de laboratorio ilustrado en la
figura 11, en el cual se dejan caer dos cuerpos de diferente peso dentro de un recipiente sellado de cristal. Cuando está llena de aire, el cuerpo más pesado llega antes al suelo, pero cuando se repite el experimento después de extraer el aire del recipiente con una bomba de vacío, ambos cuerpos
Figura 9) Experimento de Galileo en la Torre de Pisa
Figura 10) Experimento de la moneda y el trozo de papel Figura 8) Análisis de Galileo de la caída de los cuerpos
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
caen al mismo tiempo. Este efecto fue verificado en 1969, durante el primer viaje del hombre a la Luna.
El modelo idealizado de movimiento vertical analizado anteriormente desprecia el efecto de la resistencia del aire, lo cual resulta
razonable a baja altura y con cuerpos “pesados”. Sin embargo, en la realidad, la resistencia del aire existe (ver figura 12), y su efecto es una fuerza de frenado o arrastre D que se opone al aumento de rapidez del cuerpo y que depende directamente de la velocidad de caída. Transcurrido un tiempo de la caída, el peso y la resistencia del aire se igualan y el cuerpo cae con velocidad terminal constante.
En la figura 13 se muestra un cuerpo de masa m cayendo a gran altura desde el reposo. En la situación inicial (figura 13a), a velocidad inicial del cuerpo es cero. La fuerza de frenado es cero y el cuerpo cae efectivamente en caída libre. Pero a medida que aumenta la velocidad, aumenta la fuerza de frenado D, disminuyendo la aceleración neta del cuerpo (figura 13b). Finalmente, en el momento en que la fuerza de frenado D se iguala al peso, el cuerpo adquiere una velocidad terminal vT (figura 13c).
En general, la magnitud de la fuerza de frenado puede depender de la velocidad de formas muy complejas. Para efectos de este curso, se van a considerar dos modelos:
Modelo 1) Asume que la fuerza de arrastre D es directamente proporcional a la velocidad del objeto, esto es:
( )
v b v D =− ⋅ [5]Donde v es la velocidad instantánea del cuerpo, y b es un coeficiente de roce viscoso, que depende de las propiedades del cuerpo (tamaño y forma) y de las propiedades del aire, especialmente su densidad. Este modelo es válido para objetos que caen lentamente en el aire, y para objetos muy peqiueños, como partículas de polvo. El signo menos de [5] indica que la fuerza de arrastre se opone al aumento de velocidad.
Figura 11) Caída de cuerpos en el aire y en el vacío
Figura 12) Efecto de la resistencia del aire en la
caída de los cuerpos.
m m m
mg
mg
mg
D
D
(a) (b) (c)
Figura 13) Movimiento vertical con fricción de aire. (a) Situación de inicio; (b) Situación
Aplicando la 2º Ley de Newton al cuerpo de masa m v m b g a a m v b g m⋅ − ⋅ = ⋅ ⇒ = − ⋅ [6]
donde a es la aceleración neta del cuerpo. Cuando se alcanza la velocidad terminal, a = 0. Finalmente: b mg v v v m b g 0= − ⋅ ⇒ = T = [7]
Posteriormente, demostraremos que, para este modelo, la velocidad del cuerpo v(t) es una función exponencial.
Modelo 2) Asume que la fuerza de arrastre D es directamente proporcional al cuadrado de velocidad del objeto, esto es:
( )
v v2D =−α⋅ [8]
Donde v es la velocidad instantánea del cuerpo, y α es una constante de proporcionalidad que depende de las propiedades del cuerpo (tamaño y forma) y de las propiedades del aire, especialmente su densidad. Este modelo es válido para objetos de mayor dimensión que se desplazan a grandes velocidades. El signo menos de [8] indica que la fuerza de arrastre se opone al aumento de velocidad.
Aplicando la 2º Ley de Newton al cuerpo de masa m
2 2 v m g a a m v g m⋅ −α⋅ = ⋅ ⇒ = −α⋅ [9]
donde a es la aceleración neta del cuerpo. Cuando se alcanza la velocidad terminal, a = 0. Finalmente: α α mg v v v m g 0 2 T = = ⇒ ⋅ − = [10]
