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(1)

Tema: Ley de Gauss

Halla el CE de una esfera hueca con carga Q radio a.

Las componentes en el eje Y se anulan

El CE resultante de la esfera hueca se encontrara sobre el eje X. El área de trabajo

El diferencial de carga

2

2

dq

 

a sen d

 

De las relaciones observadas en el grafico tendremos:

2

2 2

2

cos

cos

x

dq

k

a sen d

dE

k

r

r

 

 

Las variables son:

r

, ,

 

Escogemos

r

d

a

ad

a

asen

r

E dP

 .a.sen 2

ad

a r

asen

x

(2)

Tema: Ley de Gauss

Del gráfico

2 2 2

2

cos

r

a

x

ax

rdr

ax sen d

 

2 2 2

2 2 2

2

cos

cos

2

a

r

x

a

r

x

rx

rx

2 2 2

2

2

x

rdr a

r

x

dE

c

ax r

rx

 

x

E

Ley de gauss

Introducción.

Al calcular el CE de una esfera hueca conductora vemos que el cálculo es complicado. ¿Existe un método que nos facilitará el cálculo cuando tengamos simetría?

¡Así de fácil!

Flujo eléctrico.

Relaciona el CE y que atraviesa una superficie.

Para una superficie perpendicular a E es el producto de la magnitud E y el área A

EA



Las unidades son 2 /

Nm C

Como el CE es proporcional al # de líneas por unidad de área el  es proporcional al # de líneas que atraviesan el área

Ejercicio.

Imagina que tus dedos de la mano derecha son las líneas de CE y tu mano izquierda el área. Analiza y responde ¿cuando el flujo es máximo? ¿Cuando es mínimo? ¿Cómo lo puedes expresar con símbolos?

(3)

Tema: Ley de Gauss

Al área se le adjudica un vector con un vector unitario normal a su superficie

A

An

En consecuencia tenemos que hay dos entidades vectoriales que producen un a cantidad escalar.

El flujo es:

Máximo si el área es perpendicular a las líneas de CE. Nulo si es paralelo

Varía conforme el área cambia.

Luego una definición que involucre todas estas consideraciones es:

.

d

E d A

Si

es el ángulo entre la normal al plano y las líneas de CE

cos

d

EdA

El flujo total es la suma infinitesimal en toda el área involucrada

.

E d A

Un caso muy importante es cuando la superficie es cerrada, el flujo neto es

.

E d A

(4)

Tema: Ley de Gauss

Un cubo de lado a=2 m tiene un vértice en (1m, 0, 0) y sus lados son paralelos a los ejes coordenados.

El cubo está en una región donde el CE siempre tiene la dirección +x y su magnitud varia sólo en función de x, y tiene valores de 5N/C en x=1 y 15N/C en x=3

¿Cuál es el flujo que atraviesa el cubo?

1 2 3 4 5 6

1 6

2

.

0

0

0

0

5 .( 4 )

15 .(4 )

40

/

E d A

E d A

i

i

i

i

Nm

C

    

El flujo en la cara 1 es negativo esta entrando y el flujo en la cara 6 es positivo esta saliendo.

(5)

Tema: Ley de Gauss

Enunciado de la ley de Gauss

* Halle el flujo de una carga puntual alrededor de una esfera con la carga en el centro.

En todos los puntos de la superficie de la esfera

(6)

Tema: Ley de Gauss

La magnitud del CE es la misma en todo punto de la superficie esférica ¿cierto o falso?

2 2

0

.

n

kq

(4

) 4

q

d

E d A

EdA E dA

r

kq

r

 

Donde hemos sustituido

k

por su valor

0

1 4

k



Resumiendo:

0 0

.

q

n

q

n

E d A

o

E dA

El flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta dentro de la superficie entre la permitividad eléctrica del espacio libre.

Es una herramienta muy potente para calcular E en casos de

simetría

Receta.

Observe si existe

simetría

Busque una superficie en donde todo todos los puntos tengan la misma magnitud de CE o el vector normal sea perpendicular al CE (superficie G)

/

ˆ

G

S

S E

cte

 

n

E

* Halle el CE de un plano infinito con carga uniforme con Gauss

Existe simetría.

(7)

Tema: Ley de Gauss

0 0

.

.

.

.

(

).(

)

2

2

2

sl base tapa base tapa b

E d S

E d S

E d S

E d S

EdS

E

dS

E dS

S

E S

E



Esta es una relación muy útil. Ya la conocemos y lo veremos a menudo ¿Cuándo un plano finito puede ser visto como finito?

Tarea.

Halle el CE para dos planos paralelos infinitos con densidades de carga opuesta

Simetría esférica

Entre las distribuciones de carga con simetría esférica están puntos, esferas, cascarones esféricos, y capas concéntricas de esos objetos

*Halle el CE de una esfera hueca conductora

.

La superficie G es un esfera concéntrica de radio r Para el exterior

2 2 2 0 2 0

4

.

(4

)

R

E

E d S

EdS

E

d

S

E

r

E

R

r

 

Exprese la relación en función de su carga Q.

2 2 0 2 0

(4

)

4

Q

Q

E

r

E

r

Q

E

k

r



!Conclusión!

(8)

Tema: Ley de Gauss

Para el interior

2

0

.

(4

)

0

I

E d S

EdS

E dS

E

r

E

* Halle el CE de una esfera sólida no conductora de carga uniforme

La superficie G es un esfera concéntrica de radio r

Para el exterior

2

0

2

.

(

4

)

E

ˆ

Q

E d S

EdS

E dS

E

r

E

k

Q

r

r

(9)

Tema: Ley de Gauss

Para el interior

Calculamos la carga encerrada.

3 3

3 3

4

(

)

4

3

3

i

Q

q

Q

Q

q

r

r

V

V

 

R

R

2 3

3 3

0

1

.

(4

)

i

ˆ

Q

E d S

EdS

E dS

E

r

r

R

Q

E

k

r r

R

Tarea. Exprese

(10)

Tema: Ley de Gauss

Simetría cilíndrica

Entre las distribuciones de carga con simetría cilíndrica están las líneas infinitamente largas, las barras (cilindros macizos), los tubos (cascarones cilíndricos), etc. Y las capas concéntricas de esos objetos

*Halle el CE de un hilo infinito con carga uniforme

Existe simetría.

La superficie G es un cilindro de radio r y longitud L paralelo al hilo

(11)

Tema: Ley de Gauss

0

0

.

.

.

.

0

0

(2

)

1

ˆ

2

b s t s

s

E

r

E d S

E d S

E d S

E d S

EdS

l

E dS

E

rl

r

 

Conclusiones:

1) Gauss permite un calcula rápido y fácil en distribuciones de carga con

simetría.

2) Se puede aplicar en algunos casos (despreciando efectos de borde o como aproximación) a situaciones finitas

3) Gauss pertenece a las 4 leyes básicas del electromagnetismo.

4)…

¿Podría utilizar Gauss para calcular el CE de un dipolo, un disco cargado? ¿Por qué?

Conductores en equilibrio electrostático

1. El CE es cero en el interior del conductor

2. Si el conductor aislado transporta carga esta reside en su superficie.

3. El CE afuera del conductor cargado es perpendicular a su superficie y E / 0

(12)

Tema: Ley de Gauss

Si existe equilibrio, el CE debe ser nulo, de no ser así habría movimiento de cargas…

Antes de aplicar el CE externo los electrones libres se distribuyen por todo el conductor.

Al aplicar el E los electrones libre se mueven hacia la izquierda y se produce una acumularon de carga negativa en la superficie de la izquierda.

Lo anterior da como resultado un plano de carga positiva a la derecha.

Estas cargas producen un CE interno que anula el CE externo dentro del conductor. Esto sucede casi instantáneamente.

¿Cómo expresar esta discontinuidad?

** Con Gauss: La superficie G puede estar tan cerca de la superficie y como

0 i

(13)

Tema: Ley de Gauss

*** El CE en la superficie debe ser perpendicular en caso contrario existiría una componente tangencia al cual originaria el movimiento de cargas

0 0 0

.

n

s

q

A

E d A

E dA E A

E

  

(14)

Tema: Ley de Gauss

0

0

.

n

,

0

n

q

r

a

E d A

q

E

 

0 2 2 0

2

.

n

,

2

(

4

)

2

n

s

q

Q

a r b

E d A

q

Q

E d

A E

E

k

Q

r

r

 

Lo mas difícil es en el interior del cascaron

Para una superficie G en esta región El CE es nulo. Luego la carga neta encerrada es nula

En la parte interior r=b se induce una carga -2Q, para anular a la carga de la esfera interior

En la parte exterior de r = b se induce una cara +Q en la superficie para cancelar la carga –Q

0

. n , 2 2 0 0

n q

b r c E d A q Q Q Q Q E

 

       

2

0 0

2

. n , 2 (4 )

n

s

q Q

r c E d A q Q Q E dA E r E k Q r

 

   

   

*** Un cubo con lados de longitud L = 0.3 m está colocado con un vértice en el origen, como se ilustra en la figura. El CE, está dado por

5

3

E

 

x i

z k

a) Halle el flujo eléctrico en cada una de las seis caras del cubo b) Halle la carga eléctrica total en el interior del cubo

2 2 2 1 5 5 2 2 2 5 13 0

8.1 10

1.35 10

5.4 10

4.78 10

n

k

x

n

j

x

Nm

x

C

q

x

C

(15)

Tema: Ley de Gauss

Ejercicios.

1. Un CE vertical de

2 10

x

4

N C

/

existe sobre la tierra un día que amenaza una tormenta. Un auto (Sea un rectángulo de 6x3m) viaja a o largo del camino inclinado 10 hacia abajo

Halle el flujo a través de la base inferior del auto

4 2

cos 2 10 (6) cos10 /

EA x kNm C

    

2. Una espira de 40cm de diámetro gira en un CE hasta que se encuentra en la posición de flujo eléctrico máximo 5.2 10x 5Nm2/C. Halle la magnitud del CE

2 2 2

5 2

3.14(0.2)

0.126

cos

5.2 10

/

(0.126) cos 0

414

/

A

r

m

EA

x

Nm

C

E

E

MN C

3, Hallar el flujo en el hemisferio y en la tapa

2 2

0

1

.

(

4

)

2

2

c l h

Q

Q

E dS

E S

k

R

R

El flujo en la superficie cerrada es nula luego en la tapa es

0

2

t

Q

 

4, Hallar el CE dentro de la cavidad

Una esfera de radio 2a no conductora densidad p. (Suponga que el material no afecta el campo eléctrico.) Se separa una esfera de radio a. Muestre que el CE en la cavidad es uniforme y está dado por Ex = O y

E

y

a

/ 3

0. (Sug: superposición

del CE debido a la esfera original, más el CE de la esfera de radio a y densidad

(16)

Tema: Ley de Gauss

3 2

0 0 0

3 2

1 1 1

0 0 0

1 4

ˆ

4

3

3

3

1 4

ˆ

4

(

)

3

3

3

r

r

r E

E

r

r

r

r

r E

E

r

r

   

 

 

1 1 0 0 0

(

)

3

3

0,

3

x y

r

r

a

r

r a

E

r a

E

E

E

a

E

E

a

  

    

 

  

Una esfera tiene una densidad de carga variable

a

r

donde a es constante

Halle el CE

2 2 0 2 2 0 0 3 3 2 2 0 0

(4

)

4

4

2

2

4

2

2

1

4

2

r n i i e e

a

dq

dV

r dr

ardr

q

a

rdr

ar

r

ar

a

r E

E

a

a

r E

E

r

Una carga puntual Q se localiza en el eje de un disco de radio R a una distancia b del plano del disco. Muestre que si un cuarto del flujo eléctrico de la carga

(17)

Tema: Ley de Gauss

2 2 2

0 1 1

2 2 2 2 1/ 2 2 2 3/ 2

0

0

,

,

2

,

4

2

(

)

2

(

)

4

Q

q

q

b

E

k

k

dS

rdr

cos

r

b

r

r

q

b

bq rdr

d

EdScos

k

rdr

b

r

b

r

b

r

Q

Figure

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Referencias