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I. FLUJO DE LÍNEAS DE CAMPO ATRAVÉS DE UNA SUPERFICIE.
II. TEOREMA DE GAUSS PARA EL CAMPO ELECTROSTÁTICO.
III. APLICACIONES.
i. CÁLCULO DE E PARA UNA ESFERA UNIFORMEMENTE CARGADA.
ii. CÁLCULO DE E PARA UN HILO UNIFORMEMENTE CARGADO.
iii. CÁLCULO DE E PARA UN PLANO UNIFORMEMENTE CARGADO.
iv. CÁLCULO DE E ENTRE DOS PLANOS UNIFORMEMENTE CARGADOS
CON SIGNO OPUESTO Y PARALELOS.
IV. MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS EN EL SENO DE UN CAMPO ⃗⃗ UNIFORME.
(*) Deducción de la relación entre el campo ⃗⃗ y el potencial electrostático (V).
I. FLUJO DE LÍNEAS DE CAMPO A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE.
Supongamos una superficie (S) inmersa en un campo electrostático. Analicemos el flujo de líneas de campo que atraviesan esta superficie.
⃗
El flujo de líneas de campo electrostático (ΦS) a través de una superficie S es depende de varios factores:
Es directamente proporcional a la intensidad del campo ⃗ . Mientras mayor sea el valor del campo más líneas de campo atravesarán la superficie.
Es directamente proporcional al valor de la superficie S. Mientras mayor sea la superficie mayor será el número de líneas de campo que la atravesarán.
El flujo depende del ángulo que forman las líneas del campo con la normal a la superficie. Si la superficie en perpendicular a las líneas de campo el flujo será máximo, mientras que si la superficie es paralela a las líneas de campo el flujo será nulo.
Toda superficie está definida por un vector perpendicular a la propia superficie, el sentido en superficies planas es aleatorio y en curvas va desde la parte cóncava a la convexa y de módulo el valor del área de la superficie definida.
𝑆
𝐸⃗
2
Por tanto, si ⃗ y son paralelos, el flujo es 0. Si ⃗ y son perpendiculares el flujo es máximo y en cualquier otra posición dependerá del ángulo α. Matemáticamente para ⃗ y
constantes el flujo se define como:
⃗
Supongamos una carga puntual como la de la figura y dos superficies esféricas (realmente da igual la forma de las superficies) cerradas S1 y S2:
En general, el flujo neto a través de una superficie cerrada viene dado por:
∮ ⃗
En la figura, vemos que el flujo neto que atraviesa la superficie esférica S1 es 0, ya que el número de líneas de campo que entran en dicha superficie es el mismo que salen de ella. Por el contrario, el flujo neto que a través la superficie S2 es distinto de 0 ya que las líneas de campo se originan dentro de la superficie y salen de ella.
II. TEOREMA DE GAUSS PARA EL CAMPO ELECTROSTÁTICO.
Calcularemos el flujo de campo electrostático creado por una carga puntual (Q+). Sea la superficie S una superficie gaussiana que encierra a la carga Q.
Las superficies gaussianas deben cumplir dos condiciones:
El campo eléctrico tiene que ser perpendicular a la superficie gaussiana. El área de la superficie gaussiana debe ser fácilmente calculable.
Aplicando la definición de flujo para un elemento de dicha superficie e integrando a toda la superficie:
∮ ⃗
S1
S2
3 Desarrollando la integral:
∮ ⃗ ∮ ∮
Se llega a la siguiente expresión:
∮ ⃗
Conclusiones:
El flujo es una magnitud ESCALAR.
El Teorema de Gauss aplicado al campo electrostático dice que el flujo de líneas de campo que atraviesa una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada en dicha superficie y es independiente del radio y forma de la superficie gaussiana.
Si la carga Q es (-) el valor del flujo es el mismo pero cambiado de signo.
Si el sistema está formado por una distribución de varias cargas puntuales:
∑ ∮ ⃗
Teorema de Gauss para el campo electrostático: El flujo neto de líneas de campo que atraviesa una superficie cerrada cualquiera es igual a la suma de las cargas encerradas en dicha superficie dividida por la constante dieléctrica del vacío ( )
III. APLICACIONES.
El teorema de Gauss nos puede servir para determinar el valor del campo electrostático creado por cuerpos uniformemente cargados, es decir cuerpos con una distribución continua de carga eléctrica, por ejemplo esferas, hilos, planos,… Es particularmente útil cuando los cuerpos tienen alguna simetría.
i. ESFERA UNIFORMEMENTE CARGADA
Sea una esfera con una distribución de carga Q en su superficie:
Se elige una superficie gaussiana (S) de radio (r) y se aplica el teorema de Gauss:
∮ ⃗ ∮ ∮
Q
4 Y despejando:
Es decir, el campo eléctrico creado por una esfera cargada en cualquier punto exterior a la esfera es igual al campo creado por una CARGA PUNTUAL.
ii. HILO UNIFORMEMENTE CARGADO
Sea un hilo de longitud infinita uniformemente cargado con una densidad lineal de carga positiva λ (carga/longitud). Elegimos una superficie gaussiana cilíndrica y cuya generatriz sea el hilo cargado. El campo ⃗ creado por el hilo es radial.
Aplicando el teorema de Gauss y desarrollando:
∮ ⃗ ∮ ∮
De donde haciendo el cambio , queda:
iii. PLANO UNIFORMEMENTE CARGADO
Supongamos un plano indefinido uniformemente cargado con una densidad superficial de carga σ (carga/superficie) como el de la figura:
𝐸⃗ 𝐸⃗
Plano uniformemente cargado con carga (+)
Superficie gaussiana
𝐸⃗
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Las líneas de campo electrostático son perpendiculares al plano cargado y perpendiculares a las caras superior e inferior de la superficie gaussiana. Dichas líneas son paralelas a las caras laterales de la superficie gaussiana, por tanto en dichas caras laterales:
∮ ⃗ ∮
Aplicando el teorema de Gauss a las caras superior e inferior:
∮ ⃗ ∮ ∮
Y despejando el campo E y haciendo el cambio queda:
El campo electrostático creado por un plano cargado es independiente de la distancia al plano, siempre que las distancias consideradas sean mucho menores que las dimensiones del plano.
iv. CAMPO CREADO ENTRE DOS PLANOS UNIFORMEMENTE CARGADOS CON CARGAS DE SIGNO OPUESTO.
Supongamos dos planos paralelos uniformemente cargados con signos opuestos.
El campo electrostático en el espacio entre planos vendrá dado por la suma de los campos creados por cada plano. Ambos campos tienen el mismo valor, la misma dirección y sentido, por tanto, el campo neto entre las placas será:
Comprobamos que entre las placas se ha creado un CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME que apunta desde la placa (+) a la (-)-
+
-
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IV. MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS EN EL SENO DE UN CAMPO ⃗⃗ UNIFORME. Supongamos un campo eléctrico uniforme generado entre dos placas planas uniformemente cargadas con una distribución de cargas iguales pero de distinto signo.
Entre ambas placas existe una diferencia de potencial ΔV. Si introducimos en el seno del campo eléctrico una carga (+), dicha carga sufrirá una fuerza electrostática constante que la empujará hacia la placa (-). Se puede escribir que:
⃗
Igualando y despejando la aceleración:
⃗
Esta aceleración permite calcular el espacio recorrido por la carga, la velocidad,…
Otra forma de calcular la velocidad de la carga es a partir de consideraciones energéticas. Supongamos que la carga se mueve desde un punto A hasta otro B.
⃗
⃗
Igualando ambas expresiones y teniendo en cuenta la relación entre el campo y el potencial (*): ⃗
⃗ siendo Δx el espacio recorrido. Tomando vA=0 y despejando vB, queda:
√ ⃗
(*) Deducción de la relación entre el campo ⃗⃗ y el potencial electrostático (V).
La relación entre el campo ⃗ y el potencial (V) se vio en clase para una carga puntual. Vamos a deducir la expresión general.
+
-
𝐸⃗
+ 𝐹
- 𝐹
Alto potencial
Bajo potencial
7 En un campo electrostático se cumple que:
∫ ∫ ⃗
Esta expresión se puede poner:
∫ ⃗
Que es la forma integrada de la relación entre el campo y el potencial. En forma diferencial esta expresión queda:
⃗ o bien ⃗
que se denomina GRADIENTE DE POTENCIAL y expresa que el campo ⃗ es igual a la variación negativa del potencial respecto a la posición.
Si el campo ⃗ es constante, la expresión de arriba queda:
⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
