TEMAS DE CALCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES

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TEMAS DE C ´

ALCULO

DIFERENCIAL EN

VARIAS VARIABLES

Abel Enrique Posso Agudelo

Alejandro Mart´ınez Acosta

Jos´

e Rodrigo Gonz´

alez Granada

x

y z

Universidad Tecnol´

ogica de Pereira

Facultad de Ciencias B´

asicas

(2)

c

Abel Enrique Posso Agudelo. Autor Profesor titular

Universidad Tecnol´ogica de Pereira c

Alejandro Mart´ınez Acosta. Autor Profesor asociado

Universidad Tecnol´ogica de Pereira c

Jos´e Rodrigo Gonz´alez Granada. Autor Profesor asistente

Universidad Tecnol´ogica de Pereira

Primera edici´on, Pereira - Risaralda. Mayo de 2010

ISBN

Carátula: Alejandro Mart´ınez Acosta Portada: Abel Enrique Posso Agudelo Diseño y diagramación: los autores

Digitaci´on y elaboraci´on de dibujos: Los autores

Impreso y hecho en Colombia

Prohibida la reproducci´on total o parcial sin autorizaci´on escrita del titular de los derechos.

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Contenido

Prefacio v 1. Vectores 1 1.1. Coordenadas y vectores . . . 1 1.1.1. Coordenadas cartesianas en Rn _{. . . .} ₁ 1.1.2. Vectores en Rn _{. . . .} ₄

1.2. Operaciones con vectores . . . 10

1.2.1. Suma y multiplicaci´on por un escalar . . . 10

1.2.2. Producto escalar . . . 14

1.2.3. Producto vectorial en R3 _{. . . 18}

1.3. Rectas y planos en el espacio (R3_{) . . . 22}

1.3.1. Rectas . . . 22

1.3.2. Planos en el espacio (R3_{) . . . 25}

1.4. Ejercicios del cap´ıtulo . . . 28

2. Superficies 31 2.1. Introducci´on . . . 31

2.2. Superficies cil´ındricas . . . 32

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2.4. Superficies cu´adricas . . . 36

3. Funciones vectoriales 43 3.1. Funciones vectoriales y curvas . . . 43

3.2. L´ımites y continuidad . . . 46

3.3. Derivadas e integrales . . . 47

3.4. Longitud de arco y curvatura . . . 49

3.4.1. El triedro m´ovil ˆT, ˆN, ˆB . . . 51

3.4.2. Curvatura y c´ırculo osculador en curvas planas . . . 53

3.4.3. Curvatura y torsi´on en curvas en el espacio . . . 57

3.5. Movimiento en el espacio . . . 58

3.5.1. Posici´on, velocidad y aceleraci´on . . . 58

3.5.2. Componentes tangencial y normal de ~a . . . 60

4. Derivaci´on parcial 65 4.1. Campos escalares . . . 65

4.1.1. Puntos y conjuntos en Rn _{. . . 65}

4.1.2. Definici´on, dominio y recorrido . . . 66

4.1.3. Conjuntos de nivel y gr´aficas . . . 68

4.2. L´ımites y continuidad . . . 71

4.3. Derivadas parciales . . . 75

4.4. Plano tangente y diferenciales . . . 81

4.5. Regla de la cadena . . . 88

4.6. Gradientes y conjuntos de nivel . . . 92

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4.8. Valores extremos y puntos de silla . . . 97 4.9. Multiplicadores de Lagrange . . . 104 4.10. Ejercicios del cap´ıtulo . . . 110

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PREFACIO

El objetivo principal de este libro es el de proporcionar una introducción al cálculo diferencial de funciones de varias variables. Contiene elementos teóricos y ejercicios suficientes para ser usado como libro de texto en los cursos de cálculo en varias variables que se imparten en las diversas universidades colombianas en las carreras de ingenier´ıas y tecnolog´ıas. En particular, en la Universidad Tecnológica de Pereira el libro puede ser utilizado en los cursos de Matemáticas III.

En el libro tratamos de exponer, de manera sencilla, los conceptos básicos del cálculo diferencial en varias variables y algunas de sus aplicaciones. Éste ha sido nuestro objetivo principal al escribir estas notas y, con la idea de que sean útiles al mayor número posible de lectores, hemos procurado exponer los conceptos de tal manera que puedan ser entendidos sin dificultad por aquellos que conozcan las nociones básicas del álgebra vectorial y del cálculo diferencial e integral en una variable. Resaltamos que el cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables son materias fundamentales del análisis matemático, tanto por su interés en matemáticas puras como por su utilidad para modelar y resolver problemas en ingenier´ıa.

El texto se ha estructurado como los libros usuales de matem´aticas en el sentido de exponer definiciones, teoremas, proposiciones, lemas, corolarios, etc., y aunque se omite la demostraci´on de la mayor´ıa de los teoremas no se ha descuidado el rigor en el tratamiento de los mismos.

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tomar una posición activa y de discusión. De acuerdo con esta idea, el apren-dizaje que se propone aqu´ı será a través de la realización de ejercicios. Los hay de clase muy diversa: desde aquellos donde se trata simplemente de apli-car una definición a una situación concreta hasta aquellos que constituyen en realidad un buen resultado matemático. Hemos procurado no seleccio-nar ejercicios repetitivos sobre una misma idea, sino más bien aquellos que ayudan a dar claridad a los conceptos.

Las figuras incluidas en el texto se elaboraron con el paquete Pstricks. Ani-mamos al lector a que dibuje, siempre que le sea posible, las ideas presentes en el mismo, puesto que en multitud de ocasiones es una ayuda decisiva pa-ra entender los pa-razonamientos formales. No olvidemos el adagio popular: un buen dibujo vale m´as que mil palabras.

Existe una amplia gama de programas inform´aticos para graficar funciones, algunos de ellos muy buenos y variados. Por su facilidad en el uso reco-mendamos el Asistente matem´atico DERIVETM _{(de Texas Instruments). Las}

posibilidades de cálculo numérico y graficación de un asistente matemáti-co matemáti-como DERIVETM _{permiten mejorar la comprensión de muchos conceptos}

matemáticos, sobre todo a aquellos estudiantes que presentan problemas a la hora de realizar los cálculos permitiéndoles avanzar a pesar de sus deficiencias de formación.

El libro se ha dividido en cuatro cap´ıtulos que pueden ser cubiertos en 8 semanas de clase con una intensidad de 5 horas semanales.

En el cap´ıtulo 1 se estudian algunos conceptos del álgebra vectorial que son necesarios para afrontar las ideas del cálculo diferencial de funciones de va-rias variables. Este cap´ıtulo puede ser omitido por aquellos estudiantes que han cursado y aprobado la asignatura Álgebra lineal que se imparte en la Universidad Tecnológica de Pereira.

En el cap´ıtulo 2 se hace un estudio de las superficies. En particular se estudian las superficies cil´ındricas, las cu´adricas y las superficies de revoluci´on, que

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servir´an para ilustrar las ideas principales del c´alculo diferencial.

En el cap´ıtulo 3 se estudian las funciones vectoriales, empezando con la defi-nici´on y la parametrizaci´on de curvas en R2 _{y R}3_{. Se estudian los conceptos}

de l´ımite, continuidad, derivaci´on e integraci´on de funciones vectoriales. El cap´ıtulo termina con algunas aplicaciones al movimiento de part´ıculas en el espacio.

El libro concluye con el cap´ıtulo 4 donde se estudian las funciones de varias variables y valor real (campos escalares.) Se introducen los conceptos de l´ımi-te y continuidad de un campo escalar, derivada parcial, derivada direccional y gradiente. El cap´ıtulo finaliza con el estudio de los m´aximos y m´ınimos de una funci´on.

Finalmente, los autores manifestamos nuestra gratitud a profesores colegas por las observaciones y consejos valiosos realizados durante la elaboración del libro. Igualmente agradecemos a aquellos alumnos que con sus dudas y deseo de saber más nos motivan d´ıa a d´ıa a mejorar nuestra práctica docente. A todos ellos dedicamos este libro.

Igualmente, expresamos nuestra gratitud anticipada por las cr´ıticas, comen-tarios y sugerencias que los lectores estimen oportuno hacernos llegar sobre la presente obra.

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Vectores

1.1. Coordenadas y vectores

1.1.1. Coordenadas cartesianas en R

n

En esta sección se hace un breve repaso acerca del sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Se denominan as´ı en honor al filósofo y ma-temático francés René Descartes (1596-1650), quien intentó fundamentar su pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un ((punto de partida)) sobre el que edificar todo el conocimiento.

Como creador de la geometr´ıa anal´ıtica, co-mienza tomando un ((punto de partida)): el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometr´ıa plana tomando co-mo referencia dos rectas perpendiculares en-tre s´ı, que se cortan en un punto denomina-do ((origen de coordenadas)), ideandenomina-do as´ı las denominadas coordenadas cartesianas (ver

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b b x1 O P 0 x (a) En la recta b b b x1 y1 P (x1, y1) Py(0, y1) Px(x1, 0) 0 x y (b) En el plano b b b b b b b b O(0, 0, 0) P (x1, y1, z1) Pxy(x1, y1, 0) Py(0, y1, 0) Px(x1, 0, 0) x y z (c) En el espacio

Figura 1.2. Coordenadas en la recta, en el plano y en el espacio. Se denota:

R2=_{{(x, y) | x, y ∈ R} ,} R3=_{{(x, y, z) | x, y, z ∈ R} ,}

· · ·

Rn=_{(x₁, . . . , xn)| xi ∈ R; i = 1, 2, . . . , n}

Ejemplo 1.1.1. Determine el signo de cada una de las coordenadas seg´un los octantes.

Soluci´on. De acuerdo con la gr´afica, se completa la tabla de la siguiente manera: x y z Plano_xy Plano_yz Plano_xz Octante x y z I + + + II _{− + +} III _{− − +} IV + − + V + + − VI _{− + −} VII _{− − −} VIII + _{− −}

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Ejemplo 1.1.2. Ubique en R3 _{cada uno de los siguientes puntos.} a) (1, 0, 0) b) (0, 1, 0) c) (0, 0, 1) d) (2, 4, 4) e) (2,−2, −3) f) (−2, −1, 2) g) (−3, 1, −2) h) (−4, −2, −1) i) (2, 4,−1)

Soluci´on. Se dibujan en dos sistemas para mayor claridad.

x y z (1, 0, 0) (0, 1 , 0) (0, 0, 1) (2, 4, 4) (2, −2, −3) (2, 4, −1) (−3, 1, −2) (−2, −1, 2) (−4, −2, −1) x y z

Figura 1.3. Ubicaci´on de puntos en R3

Definici´on 1.1.1 (Distancia). SeanP₁(x1, x2, . . . , xn)yP2(y1, y2, . . . , yn)dos

puntos en Rn_{. La distancia entre} _P

1 y P2 es

d = d(P1, P2) =

p

(y1 − x1)2+ (y2 − x2)2+· · · + (yn− xn)2. (1.1)

Ejemplo 1.1.3. Hallar los valores de λ, si existen, de modo que los puntos P y Q disten 5 unidades: a) P(_{−5, 0), Q(λ, 4)} b)P(3,_{−2), Q(λ, 1)}.

Soluci´on. De acuerdo con (1.1) se tiene

a) p(λ + 5)2_{+ 16 = 5}_{⇒ (λ + 5)}2 _{= 9}_{⇒ λ = −2 o λ = −8}

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P (−5, 0) Q1(−2, 4) Q2(−8, 4) d= 5 d = 5 x y P (3, −2) Q1(7, 1) Q2(−1, 1) d= 5 d₌ 5 x y

Figura 1.4.Gr´afica ejemplo 1.1.3

Definici´on 1.1.2 (Esfera). La superficie esf´erica o simplemente esfera con centro en C(x0, y0, z0) y radio r, es el conjunto de puntos P (x, y, z) del espacio

tales que (x_{− x}0) 2_{+ (y} − y0) 2_{+ (z} − z0) 2 _{= r}2 _(1.2)

Ejemplo 1.1.4. Determine la ecuaci´on de la esfera con centro en (5, 2,₋₁₎

y radio 4.

Soluci´on. Sustituyendo en (1.2), la ecuaci´on de la esfera es (x_{− 5)}2+ (y_{− 2)}2+ (z + 1)2 = 16. Simplificando se obtiene:

x2+ y2+ z2− 10x − 4y + 2z + 14 = 0.

1.1.2. Vectores en R

n

Definici´on 1.1.3 (Vector). Geom´etricamente un vector en R, R2 _{o R}3

es un segmento de recta dirigido. Anal´ıticamente un vector en Rn _{es una}

n–tupla ordenada de n´umeros reales: (x1, x2, . . . , xn).

Notaci´on. Los vectores se denotan mediante letras con una flecha encima, por ejemplo, #–a,#–b, #–v,A# –. Un vector tambi´en se puede representar por un segmento de recta dirigido en la forma P Q donde P es punto inicial, cola o# –

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punto de aplicaci´on y Q es el punto terminal, extremo o cabeza. Si la cola es el origen, se escribir´aA#–en

lugar de OA . De este modo se puede# – asociar a cada punto A(a1, . . . , an) de

Rn un ´unico vector A#– = (a1, . . . , an)

cuya cola es el origen, llamado vector o anclado del punto A como se ilustra en la figura 1.5 para R2_. b b b b O A(a, b) #–_{A =}(a, b) # _{P Q} – P (x1, y1) Q(x2, y2) x y Figura 1.5._{Vectores en R}2

Comentario. Aún cuando en algunos textos al definir vector se le caracteriza con magnitud, dirección y sentido, se ha generalizado la definición diciendo que son cantidades con magnitud y dirección incluyendo en esta última pa-labra la idea de hacia donde apunta la flecha sobre la recta que la contiene, y sólo se habla de sentido cuando se quiere hacer énfasis en el mismo. El sentido lo da la flecha.

Definici´on 1.1.4 (Igualdad de vectores en Rn_).

1. Geom´etricamente.

O x

y

Figura 1.6. Vectores iguales en R2

Dos vectores no nulos en R, R2 _o

R3 son iguales si y s´olo si tienen la misma longitud y direcci´on.

2. Anal´ıticamente. Los vectores #–u = (x1, . . . , xn) y #–v = (y1, . . . , yn) son

iguales si y s´olo si xi = yi para i = 1, 2, . . . , n.

Ejemplo 1.1.5. Determine los valores de λ y β, si existen, de modo que los vectores #–u = (2_{− λ, −3) y #–}v = (_{−3 − 2β, −λ + β) sean iguales.}

Soluci´on. #–u = #–v implica: 2− λ = −3 − 2β y − 3 = −λ + β. Al resolver se obtiene: λ = 1, β =−2.

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Definici´on 1.1.5 (Norma de un n–vector). Sea #–a = (a1, a2, . . . , an) ∈

Rn. La longitud, magnitud o norma de #–a, denotada por _k#–a_{k, est´a dada por}

k#–ak =qa2 1 + a 2 2 +· · · + a 2 n= n X i=1 a2_i !1/2 . (1.3)

Ejemplo 1.1.6. Hallar longitud de los siguientes vectores

a) #–a = (2, 2) b) #–b = (−4, 3) c) #–u = (1₃,−2

3, 2 3)

Soluci´on. Seg´un (1.3):

a) k#–a_{k =}√22_{+ 2}2 ₌√_{8 = 2}√₂

b) k#–b_{k =}p(−4)2_{+ 3}2 ₌√_{25 = 5}

c) k#–uk =p(1/3)2_{+ (}_−2/3)2_{+ (2/3)}2 ₌√_{1 = 1}

Definición 1.1.6 (Vector unitario). Sea #–u _{∈ R}n, se dice que #–u es unitario si y sólo sik#–u_{k = 1. Si #–}u es unitario, se denota por û.

Definición 1.1.7 (Vector nulo). El vector nulo es #–0 = (0, 0, . . . , 0). Definición 1.1.8 (Dirección de un vector en R2_{). Sea} #–

0 6= #–v _{∈ R}2_.

La direcci´on de #–v, denotada por θ = dir #–v, es el ´angulo θ con menor valor absoluto que forma el vector #–v la parte positiva de las abscisas.

θ1 θ2 θ3 θ4 #– v1 #– v2 #– v3 #–v4 x y (a) 0_{≤ θ < 2π} θ1 θ2 θ3 θ4 #– v1 #– v2 #– v3 #–v4 x y (b) _{−π < θ ≤ π}

(17)

En la figura 1.7(b) se muestra la direcci´on de varios vectores.

Nota. La direcci´on de un vector no nulo #–v de R2_{, tambi´en se puede definir}

como el ´angulo de menor giro positivo del vector con respecto al eje positivo de las abscisas, como se ilustra en la figura 1.7(a). La direcci´on de un vector

#–

v = (x1, y1)∈ R

2 _{est´a dada por tan θ =} y1

x1

para x1 6= 0. Si x1 = 0, entonces

θ = π

2 cuando y1 > 0 y θ =−

π

2 cuando y1 < 0. La direcci´on del vector

#– 0 no est´a definida.

Ejemplo 1.1.7. Hallar direcci´on de los siguientes vectores:

a) #–v = (4, 4) b) #–v = (_{−4, 4)} c) #–v = (_{−2, −2}√3)

Soluci´on.

a) Como tan θ = 1 y #–v est´a en el primer cuadrante, entonces θ = π

4.

b) Como tan θ =_{−1 y #–}v est´a en el segundo cuadrante, entonces θ = 3π

4 .

c) Como tan θ =√3 y #–v est´a en el tercer cuadrante, entonces θ =₋2π

3 . θ =π₄ #– v= (4, 4) O x y (a) θ =3π₄ #– v= (−4, 4) O x y (b) θ = −2π3 #– v= (−2, −2√3) O x y (c)

Observaci´on. La direcci´on de un vector en R3_{, y en general en R}n_{, no}

se puede definir simplemente como el ´angulo θ que el vector forma con la parte positiva del eje x o x₁ ya que 0 < θ < π

2, por ejemplo, existe una

infinitud de vectores que forman un ´angulo θ con la parte positiva de dicho eje, describiendo un cono en el espacio. Ver [5], p´agina 185.

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θ θ O x y z

Figura 1.8. Cono de vectores en R3.

α1 α2 #– v = (x1, y1) O x y

Figura 1.9. ´Angulos directores en R2

Definición 1.1.9 ( Ángulos y cosenos directores en R2). Sea #–v un vector no nulo en R2_{. Los ángulos α}

1 y α2 que el vector #–v forma con las

direcciones positivas de los ejes x y y respectivamente, reciben el nombre de ´

angulos directores. Los cosenos de los ´angulos directores se llaman cosenos directores de #–v.

Los cosenos directores de #–v = (x1, y1) son:

cos α1 = x1 k#–vk y cos α2 = y1 k#–vk (1.4) Adem´as cos2α1 + cos 2_α 2 = 1 (1.5)

Ejemplo 1.1.8. Halle los vectores #–v en R2 _si _k#–_v_{k = 4 y ´angulo director}

α1 =

3π 4 .

Soluci´on. Al usar la f´ormula (1.5) con α1 =

3π 4 se tiene cos2α2 = 1− cos 2₍3π 4 ) = 1− 1 2 = 1 2. Luego, cos α2 = √ 2 2 o cos α2 =− √ 2 2 . α1= 3π 4 α1= 3π 4 O _x y De (1.4), x1 = 2 √ 2 y y1 = 2 √ 2 o x1 = 2 √ 2 y y1 =−2 √ 2. Los vectores son #–v = (2√2, 2√2) o #–v = (2√2,−2√2).

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Definici´on 1.1.10 ( ´Angulos y cosenos directores en R3 _{y en R}n_).

1. Sea #–v = (x₁, y₁, z₁)_{∈ R}3_{, #–}_v ₆₌ #–_{0 . Los ´angulos α}

1, α2 y α3 que el vector

#–

v forma con las direcciones positivas de los ejes x, y y z respectivamente, se llaman ´angulos directores y sus cosenos, cosenos directores de #–v.

O #– v = (x1, y1, z1) α1 α2 α3 x y z

Figura 1.10. ´Angulos directores en R3

Los cosenos directores de #–v son: cos α1 = x1 k#–v_k, cos α2 = y1 k#–v_k, cos α3 = z₁ k#–v_k. (1.6) Adem´as, cos2α1 + cos 2_α 2 + cos 2_α 3 = 1. (1.7) 2. Sea #–v = (x1, x2, . . . , xn) ∈ R n_{, #–}_v ₆₌ #–_{0 . Los ´angulos α} 1, α2, . . . αn que

el vector #–v forma con las direcciones positivas de los ejes x1, x2, . . . , xn

respectivamente, se llaman ´angulos directores y sus cosenos, cosenos directores de #–v. Los cosenos directores de #–v son:

cos α1 = x1 k#–v_k, cos α2 = x2 k#–v_k, . . . , cos αn = xn k#–v_k Adem´as, cos2α1 + cos 2_α 2 +· · · + cos 2_α n = 1.

Ejemplo 1.1.9. Halle un vector #–v _{∈ R}3 _{de longitud 6, con componentes}

positivas y ´angulos directores iguales. Soluci´on. De (1.7), 3 cos2_α

1 = 1, pues α1 = α2 = α3 y como #–v est´a en

el primer octante, cos α1 =

√ 3 3 . As´ı, de (1.6), x1 = 2 √ 3 = x2 = x3. Luego, #– v = (2√3, 2√3, 2√3).

(20)

Definici´on 1.1.11 (Direcci´on de un vector en Rn_{). Sea} #–₀

6= #–v _{∈ R}n, la direcci´on de #–v, denotada por dir #–v, se define como el vector unitario

dir #–v = 1 k#–v_k

#–

v = (cos α1, cos α2, . . . , cos αn) = ˆu.

1.2. Operaciones con vectores

1.2.1. Suma y multiplicaci´

on por un escalar

Definici´on 1.2.1 (suma).

1. Geom´etricamente. Sean #–u y #–v dos vectores en R2 _{o R}3_{. Gr´aficamente,}

la suma de #–u con #–v se puede obtener de dos maneras equivalentes: regla del triángulo y regla del paralelogramo. Para sumar #–u con #–v mediante la regla del triángulo, se hace coincidir la cola de #–v con la cabeza de #–u. As´ı, #–u + #–v es el vector cuya cola coincide con la cola de #–v y su cabeza con la de #–v. Para sumarlos mediante la regla del paralelogramo, se hacen coincidir sus colas y se forma el paralelogramo, #–u+ #–v es el vector formado por la diagonal que empieza en la cola común de #–u y #–v.

#– u #– v #–_{u +} #–_v

(a) Regla del tri´angulo

#– u #–

v #–_{u +} #–_v

(b) Regla del paralelogramo

Figura 1.11. _{Suma geom´etrica de vectores en R}2 _{y en R}3

Ejemplo 1.2.1. Sean #–u, #–v _{∈ R}2_{. Halle} _k#–_u _{+ #–}_v_{k si k#–}_u_{k = 5, k#–}_v_{k = 3}

(21)

Soluci´on. Por la ley de los cosenos se tiene k#–u+ #–v_k2=k#–u_k2+k#–v_k2_{− 2 k#–}u_{k k#–}v_{k cos 120}o = 25 + 9− 2(5)(3)(−0.5) = 49 Luego,k#–u+ #–v_{k = 7.} 120o 60o #– u #– v #–_{u +} #–_v 2. Anal´ıticamente. Sean #–_u _{= (x} 1, x2, . . . , xn), #–v = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn. La

suma de #–u con #–v, denotada por #–u+ #–v, se define como #–

u+ #–v = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn+ yn).

Definici´on 1.2.2 (Multiplicaci´on por un escalar).

1. Geom´etricamente. Sea #–v ₆₌ #–0 un vector en Rk_{; k = 1, 2, 3 y λ}_{∈ R. El}

vector λ #–v es el vector que satisface las siguientes condiciones:

a) #–0 si λ = 0. b) dir λ #–v = dir #–v si λ > 0. c) dir λ #–v = dir #–v + π si λ < 0. #– v λ #–v b #–v λ #–v

(a) Dilataci´on:_{|λ| > 1}

#– v λ #–v b λ #–v #– v (b) Contracci´on: 0 <_{|λ| < 1}

Figura 1.12. Multiplicaci´on por un escalar

2. Anal´ıticamente. La multiplicaci´on del vector #–_v _{= (x}

1, x2, . . . , xn) por el

escalar, λ denotada por λ #–v, se define como λ #–v = (λx1, λx2, . . . , λxn).

(22)

Definici´on 1.2.3 (Resta). Sean #–_u _{= (x} 1, . . . , xn), #–v = (y1, . . . , yn) en R n_{. La} resta entre #–u y #–v es #– u_{− #–}v = #–u+ (−#–v) = (x1 − y1, x2 − y2, . . . , xn− yn).

Nota. Sean P y Q puntos en Rn _{cuyos vectores localizados son} _P#– _y _Q#–_.

Entonces # – P Q = Q#–₋P#–. #– u #– u #– v −#–v #– u − #– v (a) Resta b b b O #– Q #– P P Q # _– P Q = #– Q − #– P (b) Vector P Q

Figura 1.13. Resta geom´etrica de vectores en R2 _{y en R}3

Ejemplo 1.2.2. Sean #–v₁ = (3, 1) y #–v₂ = (−1, 2). Halle y dibuje:

a) #–v1 + #–v2 b) #–v1 − #–v2 c) 2 #–v1 + 3 #–v2

Soluci´on.

a) #–_v

1+ #–v2 = (2, 3) b) #–v1− #–v2 = (4,−1) c) 2 #–v1 + 3 #–v2 = (3, 8)

(23)

#– v1 #– v2 _#–v1 + #–v2 O _x y (a) #– v1 #– v2 − #–v2 #– v₁_{− #–} v2 O _x y (b) #– v1 #– v2 2 #–v₁ 3 #–v2 2 #– v1 +3 #– v2 O _x y (c)

Propiedades de la suma y de la multiplicaci´on por un escalar Sean #–u, #–v, #–w_{∈ R}n; λ, β_{∈ R. Entonces} S1. #–u + #–v es un vector. S2. #–u + #–v = #–v + #–u S3. ( #–u + #–v ) + #–w= #–u + ( #–v + #–w) S4. #–u +#–0 = #–u S5. #–u + (−#–u) = #–0 M1. λ #–u es un vector. M2. λ( #–u+ #–v) = λ #–u+ λ #–v M3. (λ + β) #–u = λ #–u+ β #–u M4. (λβ) #–u = λ(β #–u) = β(λ #–u) M5. 1 #–u = #–u

Definici´on 1.2.4 (Vectores paralelos). Dos vectores no nulos #–u y #–v se dicen paralelos cuando existe un escalar (no nulo) λ tal que

#–_v _{= λ #–}_u _´o #–_u _{= λ #–}_v_.

Ejemplo 1.2.3. Los vectores #–u = (1,_{−2, 3, 1) y #–}v = (_{−3, 6, −9, −3) son} paralelos, porque #–v =_−3#–u.

(24)

1.2.2. Producto escalar

Definici´on 1.2.5 (Producto escalar). Dados #–u = (x1, x2, . . . , xn) y

#–

v = (y1, y2, . . . , yn) dos vectores de R

n_{, el producto escalar, (o producto}

punto o producto interno) entre #–u y #–v, denotado por #–u_{· #–}v y que se lee “u punto v”, se define como

#– u _{· #–}v = x1y1 + x2y2 +· · · + xnyn = n X i=1 xiyi. (1.8) Ejemplo 1.2.4. Si #–u = (2, 1,−1), #–v = (−1, 3, 4) y #–w = (1,−2, 3), hallar a) #–u · #–v b) #–u · #–w c) #–v · #–w Soluci´on. a) #–u _{· #–}v = (2)(_{−1) + (1)(3) + (−1)(4) = −3} b) #–u _{· #–}w= (2)(1) + (1)(_{−2) + (−1)(3) = −3} c) #–v _{· #–}w= (_{−1)(1) + (3)(−2) + (4)(3) = 5}

Teorema 1.2.6 (Propiedades). Sean #–u, #–v, #–w _{∈ R}n y λ_{∈ R, entonces}

1. #–u _{· #–}v = #–v _{· #–}u (conmutatividad)

2. #–u _{· (#–}v + #–w) = #–u _{· #–}v + #–u_{· #–}w (distributividad) 3. λ( #–u _{· #–}v) = (λ #–u)· #–v = #–u_{· (λ#–}v) (homogeneidad) 4. #–u _{· #–}u > 0 si _u#–₆₌ #–_{0 . (positividad)}

A continuación definimos la longitud o norma de un vector y el ángulo entre dos vectores en términos del producto escalar

(25)

Definici´on 1.2.7. Sea #–u un vector de Rn_{. La norma o longitud del vector}

#–

u se denota con _k#–u_{k y se define como}

k#–u_{k =}√_u#–_{· #–}_u

Las propiedades de la norma _{k · k se enuncian en el siguiente teorema} Teorema 1.2.8 (Propiedades). Sean #–u, #–v _{∈ R}n y λ_{∈ R, entonces}

1. k#–uk > 0 si #–u 6= #–0 y es cero solo si #–u = #–0 (positividad) 2. _kλ#–u_{k = |λ| k#–}u_k (homogeneidad)

3. _k#–u + #–v_{k ≤ k#–}u_{k + k#–}v_{k (Desigualdad triangular)}

4. _|#–u _{· #–}v_{| ≤ k#–}u_{k k#–}v_{k (Desigualdad de Cauchy–Schwarz)}

Como una consecuencia inmediata de la desigualdad de Cauchy–Schwarz podemos afirmar que para #–u ₆₌ #–0 y #–v ₆₌ #–0 se tiene que

−1 ≤ u#–· #–v k#–u_{k k#–}v_k ≤ 1

lo cual garantiza la existencia de un n´umero θ en el intervalo [0, π] tal que cos θ =

#– u _{· #–}v k#–u_{k k#–}v_k.

Esto nos permite definir el ´angulo entre los vectores no nulos #–u y #–v de la siguiente manera:

Definici´on 1.2.9 ( ´Angulo entre dos vectores).

Sean #–u y #–v vectores no nulos de Rn_{. El ´angulo θ entre ellos}

est´a dado por

cos θ = #–u· #–v k#–u_{k k#–}v_k. (1.9) O #– u #– v θ

(26)

Ejemplo 1.2.5. Halle el ´angulo entre #–u = (1, 0, 0, 1) y #–v = (0, 1, 0, 1). Soluci´on. De (1.9), cos θ =

#– u_{· #–}v k#–v_{k k#–}u_k = 1 √ 2√2 = 1 2 ⇒ θ = 60 o_.

Ejemplo 1.2.6. Qu´e se puede decir de los vectores #–u y #–v si:

a) #–u _{· #–}v = 0 b) #–u _{· #–}v =_{± k#–}u_{k k#–}v_k

Soluci´on.

a) En este caso, cos θ = 0, luego θ = 90o_{. Los vectores son ortogonales.}

b) Ahora cos θ =±1, luego θ = 0o _{o θ = 180}o_{. Los vectores son paralelos.}

Definici´on 1.2.10 (Vectores ortogonales). Dos vectores no nulos #–u y #–v son ortogonales (perpendiculares) si el ´angulo entre ellos es 90o_.

Ejemplo 1.2.7. Si k#–u_{k = 3 y k#–}v_{k = 5. Calcular k#–}u+ #–v_{k en cada caso:}

a) #–u y #–v son ortogonales b) el ´angulo entre ellos es π/3

Soluci´on.

a) Por el teorema de Pit´agoras

k#–u+ #–vk2 =k#–uk2 +k#–vk2 = 9 + 25 = 34. Luego,

k#–u+ #–v_{k =}√34

b) De acuerdo con el ejercicio 3a,

k#–u+ #–v_k2 =k#–u_k2+ 2 #–u _{· #–}v +k#–v_k2

= 34 + 2_k#–u_{k k#–}v_{k cos 60}o = 9 + 2(3)(5)(0.5) + 25 = 49. Luego,

(27)

Definición 1.2.11 (Proyección y componentes). Sean #–u, #–v _{∈ R}n. La proyección de #–v sobre #–u ₆₌ #–0 , denotada por proy_u#– #–v, está dada por

proy_u#– #–v = #– u· #–v k#–u_k2 #– u. (1.10)

La componente de #–v sobre #–u, denotada por comp_u#– #–v, est´a dada por

comp#–_u #–v = #– u _{· #–}v k#–u_k =k#–vk cos θ. (1.11) O _u#– #– v #– w θ (a) 0 < θ < π/2 b O _u#– #– v θ (b) θ = π/2 O #–_u #– v #– w θ (c) π/2 < θ < π Figura 1.15. Proyecci´on en R2

Ejemplo 1.2.8. Sean #–u = (2, 1, 0,_{−1) y #–}v = (0, 0, 1, 2). Hallar proy_v#–u#–, proy_u#– #–v y comp#–_v #–u.

Soluci´on. #–u _{· #–}v =_{−2. Luego,} proy#–_v u#–= #– u_{· #–}v k#–v_k2 #– v =₋2 5(0, 0, 1, 2) = (0, 0,− 1 5,− 4 5) proy_u#– #–v = #–_v _{· #–}_u k#–u_k2 #– u =₋2 6(2, 1, 0,−1) = (− 2 3,− 1 3, 0, 1 3) comp#–_v u#–= #– u_{· #–}v k#–vk =− 2 √ 5 =− 2√5 5

El vector #–w= #–v − proy_u#– #–v, se llama proyecci´on ortogonal de #–v sobre #–u.

Vectores can´

onicos

1. En R2 _{los vectores ˆ}_ı _{= (1, 0) y ˆ}_ _{= (0, 1) permiten escribir cualquier}

(28)

2. En R3 _{los vectores ˆ}_ı _{= (1, 0, 0), ˆ}_ _{= (0, 1, 0) y ˆ}_k _{= (0, 0, 1) permiten}

escribir un vector #–v = (a, b, c) en la forma: #–v = (a, b, c) = aˆı+ bˆ+ cˆk.

O P(a, b) b b x y ˆı ˆ  aˆı bˆ #–_v= aˆı+ bˆ O P(a, b, c) b b x y z ˆı ˆ ˆ k aˆı bˆ cˆk #–_{v =}aˆı + b ˆ  + cˆk

Figura 1.16. Vectores can´onicos en R2 _{y en R}3

3. En Rn_{, ˆ}_e

1 = (1, 0, 0, . . . , 0), ˆe2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . ., ˆen = (0, 0, . . . , 1)

permiten escribir cualquier vector #–v = (a1, a2, . . . , an) en la forma

#– v = (a₁, a₂, . . . , an) = a1ˆe1 + a2eˆ2 +· · · + aneˆn= n X i=1 aieˆi.

1.2.3. Producto vectorial en R

3

Definici´on 1.2.12. Sean #–u = (u1, u2, u3) y #–v = (v1, v2, v3) dos vectores de

R3, el producto vectorial o producto cruz entre #–u y #–v, denotado por #–

u _{× #–}v, est´a dado por

#– u_{× #–}v = u2 u3 v2 v3 ˆı₋ u1 u3 v1 v3 ˆ + u1 u2 v1 v2 ˆ k= ˆı ˆ kˆ u1 u2 u3 v1 v2 v3 (1.12)

Ejemplo 1.2.9. Dados #–u = (1,−1, 3) y #–v = (2, 1,−2), halle #–u_{× #–}v, #–v _{× #–}u y #–u _{· (#–}u_{× #–}v).

Soluci´on. Usando la f´ormula (1.12), se tiene

#– u_{× #–}v = ˆı ˆ kˆ 1 ₋₁ 3 2 1 −2 =_{−ˆı+ 8ˆ}+ 3ˆk

(29)

#– v _{× #–}u = ˆı ˆ ˆk 2 1 ₋₂ 1 ₋₁ 3 = ˆı_{− 8ˆ}_{− 3ˆ}k #– u_{· (#–}u _{× #–}v) =_{−1 − 8 + 9 = 0}

Teorema 1.2.13 (Propiedades del producto vectorial). Sean #–u, #–v, #–w

en R3_{; λ, β}_{∈ R}

1. #–u_{× #–}v =_−#–v _{× #–}u. (Anticonmutativa)

2. #–u_{× (#–}v + #–w) = #–u_{× #–}v + #–u _{× #–}w. (Distributiva por la izquierda) 3. ( #–u + #–v)_{× #–}w = #–u_{× #–}w+ #–v _{× #–}w. (Distributiva por la derecha) 4. λ( #–u_{× #–}v) = (λ #–u)× #–v = #–u _{× (λ#–}v). (Asociativa escalar)

5. #–u_× #–0 = #–0 = #–0 × #–u

6. #–u_{× #–}u = #–0 y λ #–u _{× #–}u = #–0 . (Paralelismo )

7. #–u_{· (#–}u _{× #–}v) = 0 = #–v _{· (#–}u_{× #–}v). (Ortogonalidad )

8. #–u× (#–v × #–w) = ( #–u· #–w) #–v − (#–u· #–v) #–w. (Triple producto vectorial ) 9. #–u_{· (#–}v _{× #–}w) = #–v _{· (#–}w_{× #–}u _{× #–}w) = #–w_{· (#–}u _{× #–}v). (Producto mixto ) Ejemplo 1.2.10. Hallar un vector unitario ortogonal tanto a #–u = ˆı_{− 3ˆ} como a #–v = 3ˆ+ 2ˆk.

Soluci´on. Un vector perpendicular a ambos vectores es #–w= #–u _{× #–}v.

#– w= #–u_{× #–}v = ˆı ˆ ˆk 1 −3 0 0 3 2 =−6ˆı− 2ˆ+ 3ˆk, _k#–w_{k = 7.}

Como k#–w_{k = 7, un vector que cumple es ˆ}w= (−6 7,−

2 7,

3 7).

(30)

Teorema 1.2.14 (Identidad de Lagrange). Si #–u y #–v son vectores de R3_,

entonces

k#–u× #–vk2=k#–uk2 k#–vk2− (#–u· #–v)2

Ejemplo 1.2.11. Demostrar:_k#–u_{× #–}v_{k = k#–}u_{k k#–}v_{k sen θ, donde θ es el} ´angu-lo entre #–u y #–v.

Soluci´on. De acuerdo con la identidad de Lagrange

k#–u× #–vk2 =k#–uk2k#–vk2− (#–u· #–v)2 =k#–uk2k#–vk2− k#–uk2k#–vk2cos2θ =k#–u_k2_k#–u_k2(1− cos2θ) =k#–u_k2_k#–u_k2sen2θ

Luego,

k#–u_{× #–}v_{k = k#–}u_{k k#–}v_{k sen θ .}

Ejemplo 1.2.12. Sean #–a,#–b, #–c _{∈ R}3. Si_k#–a_{k = 4, k}#–b_{k = 6 y el ´angulo entre} #–

a y #–b es θ = 2π/3. Si #–c = 3 #–a _{− #–}a _{× 2}#–b, calcule #–b _{· #–}c, _k#–c_{k y el ´angulo} entre #–b y #–c.

Soluci´on. Se tiene #– b _{· #–}c = #–b _{· (3#–}a _{− (#–}a _{× 2}#–b)) = 3#–b _{· #–}a _{− 2}#–b _{· (#–}a _× #–b) = 3k#–a_{k k}#–b_{k cos}2π₃ = 3· 4 · 6 · (−0.5) = −36, pues b · (#–a _×#–b) = #–0 . k#–c_k2 = #–c _{· #–}c = (3 #–a _{− #–}a _{× 2}#–b)_{· (3#–}a _{− #–}a _{× 2}#–b) =k3#–a_k2_{− 12#–}a _{· (#–}a _× #–b) +k#–a _{× 2}#–b_k2 = 9_k#–a_k2+ 4_k#–a_k2_k#–b_k2sen2120o, porque #–a _{· (#–}a _× #–b) = #–0 = 36 + 4· 16 · 36 · 0.75 = 1764 Luego, _k#–c_{k = 42. Finalmente,} cos θ = #– b _{· #–}c k#–b_{k k#–}c_k =− 34 6_{· 42} =− 17 126 Entonces θ = cos−1 ₋17 126 ≈ 97.8o.

(31)

Interpretaci´

on geom´

etrica de

k#–

u

_{× #–}

v

_{k y (#–}

u

_{× #–}

v

)

· #–

w

θ #– u_{× #–}v h #– u #– v (a) Paralelogramo h #– u #– v #– w #– u_{× #–}v (b) Paralelep´ıpedo

Figura 1.17. ´Areas y vol´umenes

1. El ´area A del paralelogramo determinado por #–u y #–v est´a dada por: A =k#–u× #–vk

2. El volumen V del paralelep´ıpedo determinado por #–u, #–v y #–w es: V =|(#–u× #–v)· #–w| Teorema 1.2.15. Sean #–u = (u1, u2, u3), #–v = (v1, v2, v3) y #–w= (w1, w2, w3) entonces ( #–u _{× #–}v)_{· #–}w = u1 u2 u3 v1 v2 v3 w₁ w₂ w₃ Ejemplo 1.2.13.

a) Halle el ´area del paralelogramo cuyos v´ertices consecutivos son los puntos

P (1,_{−2, 3), Q(2, 1, 0) y R(0, 4, 0).}

b) Halle el volumen del paralelep´ıpedo cuyos lados adyacentes son los

(32)

Soluci´on.

a) El ´area del paralelogramo es P Q# –×P R# – .

~v = P Q# –×P R =# – ˆı ˆ ˆk 1 3 ₋₃ −1 6 −3 = (9, 6, 9) = 3(3, 2, 3)

Luego, el ´area A del paralelogramo es k#–v_{k = 3}√22 [u2_].

b) El volumen del paralelep´ıpedo es V =|(#–u_{× #–}v)· #–w_|.

( #–u_{× #–}v)· #–w= 1 2 2 −2 1 3 −3 3 1 =−28 Entonces, V =|−28| = 28 [u3_{] .}

1.3. Rectas y planos en el espacio (R

3

)

1.3.1. Rectas

Una recta _{L en el espacio queda determinada si se conoce un punto P}0 por

donde pasa y un vector no nulo #–v paralelo a ella, llamado vector director.

P0(x0, y0, z0) P (x,y, z) b b L O #– P #– P0 #– v #– v= (a, b, c) x y z Figura 1.18.Recta en R3

(33)

El vector P# –0P es paralelo a #–v, luego existe t∈ R tal que

# –

P0P = t #–v. Por la

regla del tri´angulo, #–

P =P#–(t) =P#–₀ + t #–v; t∈ R, (1.13) denominada ecuaci´on vectorial de _L.

En t´erminos de sus coordenadas, las ecuaciones param´etricas de L son:        x = x0 + at y = y0 + bt, z = z0 + ct t∈ R (1.14)

Ahora, si abc_{6= 0, entonces} x_{− x}0 a = y_{− y}0 b = z_{− z}0 c , (1.15)

son las ecuaciones sim´etricas de _L.

Ejemplo 1.3.1. Sean A(2, 3,−1) y B(−1, 2, 4) dos puntos de R3_.

a) Halle ecuaciones param´etricas para la recta _{L que pasa por A y B}

b) Determine si C(−4, 1, 9) y D(5, 4, 6) pertenecen a la recta L.

Soluci´on.

a) Un vector paralelo a la recta L es # –

AB = B#–₋A#– = (_{−3, −1, 5)}. As´ı, unas ecuaciones param´etricas paraL son

x = 2− 3t, y = 3 − t, z = −1 + 5t; t ∈ R.

b) El punto C está en L si y sólo si existe un número real t tal que

−4 = 2 − 3t, 1 = 3 − t, 9 = −1 + 5t . Las tres ecuaciones se satisfacen para t = 2, luego C est´a enL.

(34)

El punto D está en _{L si y sólo si existe un único real t tal que} 5 = 2− 3t, 4 = 3 − t, 6 = −1 + 5t.

No existe un número real t que satisfaga las tres ecuaciones simultánea-mente. Luego D no está en L.

Ejemplo 1.3.2. Sean P0(1, 4, 3)∈ R

3 _{y #–}_v ₌_{−5ˆı+ 3ˆ}_k _{un vector. Halle}

a) ecuaciones sim´etricas para la recta que pasa por P0 y es paralela a #–v.

b) los puntos donde la recta corta a los planos coordenados.

Soluci´on.

a) Unas ecuaciones sim´etricas para la recta son:

x− 1 −5 =

z− 3

3 ; y = 4

b) Para esto, se escriben las ecuaciones param´etricas:

x = 1_{− 5t, y = 4, z = 3 + 3t; t ∈ R.}

El corte con el plano xy ocurre cuando z = 0, de donde t =−1 y x = 6. La recta corta al plano xy en el punto (6, 4, 0). El corte con el plano yz ocurre cuando x = 0, de donde t = −1

5 y z = 18

5 . La recta corta al plano yz en

(0, 4,18₅). No hay corte en el plano xz, pues la recta est´a en el plano y = 4. Definici´on 1.3.1 (Rectas paralelas y perpendiculares). Sean _L₁ y _L₂ dos rectas en R3 _{con vectores directores #–}_v

1 y #–v2, respectivamente.

1. L1 y L2 son paralelas si #–v1 y #–v2 son paralelos y no tienen puntos en

com´un.

(35)

3. _L1 y L2 son perpendiculares si #–v1 y #–v2 son perpendiculares.

4. L1 y L2 son cruzadas (o sesgadas) si no tienen puntos en com´un y #–v1

y #–v2 no son paralelos.

Ejemplo 1.3.3. Determine si el par de rectas son paralelas, perpendiculares o cruzadas. L1 :          x =−5 − 2t y = 2 + t z = 6− 6t , L2 :          x = − 3r y = 1 2 − r z = 7 + 4r

Soluci´on. Dos vectores directores para las rectas son #–v₁ = (−2, 1, −6) y #–

v₂ = (−3, −1, 4) respectivamente. Como ellos no son paralelos, las rectas no pueden ser paralelas ni coincidentes. Falta ver si son perpendiculares.

#–

v1 · #–v2 = 6− 1 − 24 = −19 6= 0.

Luego, las rectas tampoco son perpendiculares. Falta ver si son sesgadas o no; para ello se igualan las coordenadas.

−5 − 2t = − 3r (Ec. 1)

2 + t = 1/2_{− r} (Ec. 2)

6_{− 6t = 7 + 4r} (Ec. 3)

Ec. 1+2Ec. 2: _{−1 = 1 − 5r ⇒ r =} 2₅. Sustituyendo en Ec. 2 se obtiene t = ₋19

10. Verificando en Ec. 3: 6− 57

5 = 7 + 8

5, pero esta igualdad no se

satisface. Luego las rectas no se cortan; es decir, son sesgadas.

1.3.2. Planos en el espacio (R

3

)

Un plano π en R3 _{queda completamente determinado si se conoce un punto}

P0 en ´el y un vector no nulo

# –

N = (a, b, c) perpendicular, llamado vector normal.

(36)

P0(x0, y0, z0) b b Q(x, y, z) O # – N = (a, b, c) π x y z Figura 1.19.Plano en R3

Si P (x, y, z)_{∈ π entonces el vector} P# –0Q es perpendicular a

# –

N. Luego # –

N _·P# –0P = 0.

Al efectuar los c´alculos y simplificar se obtiene la llamada ecuaci´on carte-siana del plano

ax + by + cz = d, donde d =N# –_·P#–0

Ejemplo 1.3.4. Halle la ecuaci´on del plano que satisface las condiciones

a) Pasa por P (2, 3,_{−1) y es perpendicular a la recta}

L : x = 1 − 2t, y = −2 + t, z = 3 − t; t ∈ R

b) Contiene los puntos P (2, 3,−1), Q(3, 2, 1) y R(1, 0, 0).

Soluci´on.

a) Como la recta es perpendicular al plano, un vector normal al plano es

# –

N = (2,−1, 1). Luego la ecuaci´on del plano es

[(x, y, z)_{− (2, 3 − 1)] · (2, −1, 1) = 0 .} Esto es,

(37)

b) Un vector normal al plano es P Q# –_×P R.# – # – P Q_×P R =# – ˆı ˆ ˆk 1 _{−1 2} −1 −3 1 = (5,_{−3, −4)}

TomandoN# –= (5,_{−3, −4) y P}0 = P como el punto del plano, la ecuaci´on

del plano es

[(x, y, z)_{− (2, 3, −1)] · (5, −3, −4) = 0 .} Esto es,

5x_{− 3y − 4z = 5.} Ecuaciones vectorial y param´etrica de un plano

Un plano tambi´en se puede determinar si se conoce un punto por donde pasa y dos vectores no nulos y no paralelos #–u y #–v que sean paralelos al plano.

Ecuaci´on vectorial: #– Q=P#–0 + r #–u + s #–u. (1.16) P0 Q #– v #– u r#–u+ s#–v O π x y z

Figura 1.20.Ecuaci´on vectorial de π

Si #–u = (a1, b1, c1) y #–v = (a2, b2, c2) entonces las ecuaciones param´etricas del

plano son:        x = x0 + ra1 + sa2 y = y0 + rb1 + sb2 z = z0 + rc1 + sc2 (1.17)

(38)

1.4. Ejercicios del cap´ıtulo

1. Hallar la longitud y direcci´on de los siguientes vectores:

a) #–v = (_{−4, −4)} b) #–v = (4,−4) c) #–v = (a, 0) d ) #–v = (0, b) 2. Sean A(_{−2, 3, 1), B(7, 4, 5) y C(1, −5, 2). Calcule} a) (2A#–+B)#– ·C#– b) proy_AB# – # – AC c) El ´angulo entre BC y# – BA# –

3. Sean #–u y #–v dos vectores de Rn_{. Demuestre que}

a) _k#–u+ #–v_k2 =_k#–u_k2 + 2 #–u _{· #–}v +_k#–v_k2.

b) k#–u_{− #–}v_k2 =k#–u_k2_{− 2#–}u_{· #–}v +k#–v_k2.

4. Sean #–a, #–b _{∈ R}3_{. Si}_k#–_a_{k = 5, k}#–_b_{k = 2 y el ´angulo entre #–}_a _y #–_b _{es 60}o_,

halle k#–a + #–b_{k y k#–}a ₋ #–b_k

5. Sean B#–= ˆı+ 2ˆ+ ˆk, C#–= 2ˆı+ ˆ_{− ˆ}k, D#– = ˆı+ 4ˆ+ ˆk,E#–= 2ˆı+ 5ˆ+ 5ˆk. Muestre que el ´angulo entre B#– y C#– es el doble que el ´angulo entre D#– y E.#–

6. Sean #–u = (2,_{−5, 3), #–}v = (4, 1,_{−2) y #–}w = (3, 4, 3). Determine los valores de λ y µ de modo que λ #–u + µ #–v sea ortogonal a #–w y tenga longitud 2.

7. Sean #–a, #–b, #–c _{∈ R}3 tales que _k#–a_{k = 4, k}#–b_{k = 3, k#–}c_{k = 2, el ´angulo} entre #–a y #–b es 120o _{y #–}_c _{es ortogonal a #–}_a _y #–

b. Calcule _k#–a +#–b + #–c_k y los valores de λ de modo que #–c = λ #–a _× #–b.

(39)

a) Las ecuaciones param´etricas de la recta que pasa por P y R.

Deter-mine los puntos donde dicha recta cruza los planos coordenados.

b) Las ecuaciones param´etricas de la recta que pasa por Q y corta

perpendicularmente a la recta hallada en la parte a).

9. Determine qué par de rectas son paralelas (o coincidentes) y cuáles perpendiculares. L1 :          x = 8 + t y = 7₋ 1 2t , z =−1 + 3t L2 :          x = 7₅ − 3r y =_{−8 +} 3 2r , z = 9₄ − 9r L3 :          x = 3 + 2s y = 1_{− 2s.} z = 2− s 10. Determine la ecuación del plano que satisface las condiciones dadas.

a) Pasa por A(_{−2, 3, 1) y B(1, 2, −1) y es paralelo a la recta}

L : x = 1 + 2t; y = 2 − 3t, z = −4 + 3t.

b) Es paralelo al vector #–v = 3ˆı_{− ˆ}+ 2ˆk y contiene la recta

L :    x + y− z = 3 2x + 3y + z = 4. c) Contiene a la recta L : x = 2 − t, y = −1 + 2t, z = 2 − 3t y al punto A(_{−2, 1, 2)}

11. Determine la distancia de la recta x = 6 + t, y = 5_{− 2t, z = −1 + 3t} al punto Q(2, 3,₋₁₎

12. Muestre que las rectas

L1 :          x = 1 + 3t y =−2 + 4t z = 4− 2t ; t_{∈ R y L}2 :          x = 1₋ 3₂r y = 1− 2r z =−1 + r ; r _{∈ R}

(40)

13. Considere la recta L1 :          x = 3 + 4t y =−2 + 2t z =_{−3 − t} ; t∈ R

a) Determine ecuaciones param´etricas de la recta L2 que pasa por el

punto (1,−5, 4) e intercepta perpendicularmente a la recta L1.

b) Halle la ecuaci´on cartesiana del plano que contiene a las rectas _L1

(41)

Superficies

2.1. Introducci´

on

As´ı como la gráfica de una ecuación en dos variables x y y dada por f (x, y) = 0, es por lo general una curva en el plano, la gráfica de una ecua-ción en tres variables x, y y z dada por F (x, y, z) = 0 será por lo general una superficie en el espacio. El ejemplo más simple de superficie es un plano cuya ecuación es ax + by + cz = d. Otra superficie simple es la esfera con centro (x0, y0, z0) y radio a, cuya ecuación es (x− x0)

2_{+ (y}_{− y}

0)

2_{+ (z}_{− z}

0)

2 _{= a}2_.

Dibujar curvas y superficies en el espacio es por lo general dif´ıcil, aún con ayuda de un computador. Realmente es un arte el poder representar objetos tridimensionales mediante imágenes bidimensionales. En esta sección se estu-dian algunas superficies sencillas que son usadas frecuentemente para ilustrar las ideas del cálculo de varias variables.

Para representar una superficie S en un plano es ´util analizar las secciones o intersecciones de la superficie con planos adecuados.

Definición 2.1.1. La traza de la superficie S en el plano π es la intersección de π y S. La intersección de S con los planos coordenados se llaman trazas principales.

(42)

los planos coordenados o en ellos. Para dibujar una superficie en el espacio debemos estudiar sus trazas principales y unas cuantas en planos paralelos a los planos coordenados.

Traza Ecuaci´on Descripci´on

z= z0 F(x, y, z0) = 0 Curva paralela al plano xy o en el plano xy

x= y₀ F(y₀, y, z) = 0 Curva paralela al plano yz o en el plano yz y= y₀ F(x, y₀, z) = 0 Curva paralela al plano xz o en el plano xz

Tabla 2.1.Trazas en planos paralelos a los planos coordenados

Si la superficie S es un plano sus trazas son rectas mientras que si es una esfera sus trazas son circunferencias.

x

y z

ax+ by + cz = d

Figura 2.1.Trazas de un plano

b b b b O C A B Traza S π

Figura 2.2.Traza de una esfera

2.2. Superficies cil´ındricas

Definici´on 2.2.1. Sea _{C una curva sobre un plano π, llamada directriz y} sea _{L una recta no paralela al plano, llamada generatriz, la cual puede o} no pasar por C. El conjunto de todos los puntos en las rectas paralelas a L que intersecan a C recibe el nombre de superficie cil´ındrica.

(43)

Las superficies cil´ındricas tambi´en reciben el nombre de cilindros. Para los fines del curso, interesan s´olo las

superficies cil´ındricas (o cilindros) cuyas curvas generatrices est´an sobre planos paralelos a los planos coordenados y cu-yas directrices son rectas paralelas a al-guno de los ejes coordenados. Este ti-po de superficies se denominan cilindros rectos. Cuando la directriz es una recta que no es paralela a alguno de los ejes coordenados el cilindro es oblicuo.

Generatriz Dir ectr iz π Figura 2.3.Cilindro

Una ecuaci´on en dos variables considerada en R3_{, por lo general es una}

su-perficie cil´ındrica. Si la curva _{C en el plano xy tiene ecuación f(x, y) = 0, la} gráfica es un cilindro con generatrices paralelas al eje z. La gráfica de una ecuación g(x, z) = 0 es un cilindro con generatrices paralelas al eje y, y la gráfica de una ecuación h(y, z) = 0 es un cilindro con generatrices paralelas al eje x.

Ejemplo 2.2.1. Dibuje el cilindro x2 _{+ y}2 _{= a}2_.

Soluci´on. La traza en cualquier plano horizontal z = k es una cir-cunferencia con centro en (0, 0, k) y radio a. Como la variable z no apa-rece expl´ıcitamente en la ecuaci´on, dado cualquier punto (x0, y0, 0) en

la circunferencia x2 _{+ y}2 _{= a}2 _{en el}

plano xy, el punto (x0, y0, z) est´a en

el cilindro para cualquier valor de z.

b (x0, y0,0) (x0, y0, z) (x0, y0, k) (0, 0, k) x y z Figura 2.4.Cilindro x2+y2 = a2

(44)

verticales que pasan por los puntos de la circunferencia x2 _{+ y}2 _{= a}2 _{en el}

plano xy (ver Figura 2.4).

Ejemplo 2.2.2. La gr´afica de z = 4_{− x}2 _{es el cilindro parab´}_olico _de

la figura 2.5(a). Sus generatrices son paralelas al eje y y sus trazas en cada plano perpendicular al eje y es una parábola que es una traslación paralela de la parábola z = 4_{− x}2 _{en el plano xz.}

Ejemplo 2.2.3. La gr´afica de z = cos y es el cilindro de la figura 2.5(b). Sus generatrices son paralelas al eje x y sus trazas en cada plano perpendicular al eje x son traslaciones paralelas de z = cos y en el plano yz.

x y z (a) Cilindro z = 4_{− x}2 x y z (b) Cilindro z = cos y

Figura 2.5. Gr´aficas ejemplos 2.2.2 y 2.2.3

2.3. Superficies de revoluci´

on

Otra manera de usar una curva plana_{C para generar una superficie es girar} la curva en el espacio en torno a una recta L en el plano de la curva. La figura 2.2 muestra la superficie generada al girar la curva f (x, y) = 0 en el primer cuadrante del plano xy alrededor del eje y.

(45)

El punto P (x, y, z) está en la superfi-cie de revolución si y sólo si el punto Q(x1, y, 0) está en la curva, donde

x1 =|RQ| = |RP | =

√

x2_{+ z}2_.

As´ı, la ecuaci´on de la superficie es f (√x2_{+ z}2_{, y) = 0.} x y z b R(0, y, 0) Q(x1, y, 0) C: f (x, y) = 0 P (x, y, z)

Figura 2.6. Superficie de revoluci´on

En la tabla 2.2 se establecen las ecuaciones de varias superficies de revoluci´on para una funci´on de dos variables en torno a uno de los ejes de coordenadas.

Ecuaci´on Eje de giro Superficie generada

f (x, y) = 0 x f (x,py2_{+ z}2_{) = 0} f (x, y) = 0 y f (√x2_{+ z}2_{, y) = 0} g(x, z) = 0 x g(x,py2_{+ z}2_{) = 0} g(x, z) = 0 z g(px2 _{+ y}2_{, z) = 0} h(y, z) = 0 y h(y,√x2_{+ z}2_{) = 0} h(y, z) = 0 z h(px2_{+ y}2_{, z) = 0}

Tabla 2.2. Superficies de revoluci´on

Ejemplo 2.3.1. La superficie de revoluci´on que se obtiene al girar la gr´afica de y = ln x en torno al eje y es y = 1

2ln(x

2_{+ z}2_).

Ejemplo 2.3.2. La superficie de revoluci´on que se obtiene al girar la gr´afica de la elipse 9y2_{+ 4z}2 _{= 36 en torno al eje z es 9x}2_{+ 9y}2_{+ 4z}2 _{= 36.}

Ejemplo 2.3.3. La superficie de revoluci´on que se obtiene al girar la gr´afica de z = e−x2

en torno al eje x es y2_+z2 _{= e}−2x2

mientras que si se gira entorno al eje z se obtiene la superficie z = e−(x2_+y2₎

(46)

2.4. Superficies cuadr´

aticas o cu´

adricas

Una superficie cuadrática o cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo orden en las variables x, y, z

Ax2+ By2+ Cz2+ Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0, (2.1) donde A, B, C, D, E, F, G, H, I, J son constantes y al menos una entre A, B, C, D, E, F es distinta de cero. Sólo consideraremos ecuaciones cuadráti-cas sin términos cruzados (D= E = F = 0), ya que ellos se pueden eliminar mediante rotación de ejes.

Elipsoide. La superficie cu´adrica de ecuaci´on

x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1, (2.2)

donde a, b, c son constantes positivas, es un elipsoide.

Traza Ecuaci´on Gr´afica Traza principal

z = z0, |z0| < c x2 a2 + y2 b2 = 1− z2 0 c2 Elipse x y y = y0, |y0| < b x2 a2 + z2 c2 = 1− y2 0 b2 Elipse x z x = x0, |x0| < a y2 b2 + z2 c2 = 1− x2 0 a2 Elipse y z

Tabla 2.3. Trazas elipsoide

Paraboloide el´ıptico. Es una superficie cu´adrica de ecuaci´on

x2 a2 + y2 b2 = z c, x2 a2 + z2 c2 = y b o y2 b2 + z2 c2 = x a (2.3)

En la tabla 2.4 se dan las trazas de x

2 a2 + y2 b2 = z c.

(47)

Traza Ecuación Gráfica Traza principal z = z0, z0 c > 0 x2 a2 + y2 b2 = z0 c Elipse b x y y = y0, y0 ∈ R x2 a2 + y2 0 b2 = z c Parábola x z x = x0, x0 ∈ R x2 0 a2 + y2 b2 = z c Parábola y z

Tabla 2.4.Trazas paraboloide

x

y

z

Figura 2.7. Elipsoide x 2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 x y z Figura 2.8.Paraboloide x 2 a2+ y2 b2 = z c, c >0

Hiperboloide de un hoja. Es la superficie cu´adrica de ecuaci´on

x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 1, x2 a2 − y2 b2 + z2 c2 = 1 o − x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 (2.4)

2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 1.

(48)

Traza Ecuación Gráfica Traza principal z = z0, z0 ∈ R x2 a2 + y2 b2 = 1 + z2 0 c2 Elipse x y y = y0, |y0| 6= b − x2 a2 + z2 c2 = 1− y2 0 b2 Hipérbola x z x = x0, |x0| 6= a − y2 b2 + z2 c2 = 1− x2 0 a2 Hipérbola y z

Tabla 2.5.Trazas Hiperboloide de una hoja

Hiperboloide de dos hojas. Es la superficie cu´adrica de ecuaci´on

−x 2 a2 − y2 b2 + z2 c2 = 1, x2 a2 − y2 b2 − z2 c2 = 1 o − x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 1 (2.5)

En la tabla 2.6 se dan las trazas de−x

2 a2 − y2 b2 + z2 c2 = 1.

z = z0, |z0| > c x2 a2 + y2 b2 = z2 0 c2 − 1 Elipse No hay y = y0, y0 ∈ R − x2 a2 + z2 c2 = 1 + y2 0 b2 Hip´erbola x z x = x0, x0 ∈ R − y2 b2 + z2 c2 = 1 + x2 0 a2 Hip´erbola y z

(49)

x y z Figura 2.9.Hiperboloidex 2 a2+ y2 b2− z2 c2 = 1 x y z Figura 2.10.Hiperbloidez 2 c2− x2 a2− y2 b2 = 1

Cono. Es la superficie cu´adrica de ecuaci´on

x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 0, x2 a2 − y2 b2 + z2 c2 = 0 o − x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 0 (2.6)

2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 0.

z = z0, z0 6= 0 x2 a2 + y2 b2 = z2 0 c2 Elipse b x y y = y0, y0 6= 0 − x2 a2 + z2 c2 = y2 0 b2 Par de rectas x z x = x0, x0 6= 0 − y2 b2 + z2 c2 = x2 0 a2 Par de rectas y z

(50)

Paraboloide hiperbólico. Es la superficie cuádrica de ecuación x2 a2 − y2 b2 = z c, x2 a2 − z2 c2 = y b o z2 c2 − y2 b2 = x a (2.7)

2 a2 − y2 b2 = z c, c > 0.

z = z0, z0 6= 0 x2 a2 − y2 b2 = z0 c Hipérbola x y y = y0, y0 6= 0 x2 a2 − y2 0 b2 = z c Parábola x z x = x0, x0 6= 0 x2 0 a2 − y2 b2 = z c Parábola y z

Tabla 2.8. Trazas paraboloide hiperb´olico

x

y z

Figura 2.11. Cono el´ıptico x2 a2 + y2 b2 = z2 c2 x y z

Figura 2.12. Paraboloide hiperb´olico x2 a2 − y2 b2 = z c, c >0

(51)

Esta superficie se asemeja a una silla de montar. Es usual referirse al origen en la gr´afica 2.12 como punto de silla o silladura.

Aplicaciones de las superficies cuádricas. Las cuádricas tienen m´ ulti-ples aplicaciones en diseños arquitectónicos y en ingenier´ıas. Por ejemplo, las farolas de los automóviles, los reflectores, los radiotelescopios y las antenas para televisión por satélite tienen la forma de una porción de paraboloide. Esto se debe a la propiedad que tiene cualquier superficie parabólica: las ondas de luz y las ondas de radio al incidir sobre una superficie parabólica se reflejan hacia un punto llamado foco. Dicha propiedad se usa también en el diseño de telescopios ópticos los cuales permiten concentrar en un punto la luz proveniente de una fuente débil como la de una estrella lejana. La cantidad de luz colectada por el instrumento depende fundamentalmente del diámetro del objetivo. Con un telescopio astronómico se pretende captar la cantidad de luz necesaria para poder observar objetos de bajo brillo, as´ı como para obtener imágenes n´ıtidas y bien definidas.

Las torres de enfriamiento para los reactores nucleares se construyen fre-cuentemente en forma de hiperboloide de una hoja debido a la estabilidad estructural de tal superficie.

Los dise˜nadores de palos de golf usan los llamados elipsoides de inercia para lograr caracter´ısticas importantes de dichos palos.

(52)

2.5. Ejercicios del cap´ıtulo

Bosqueje las gr´aficas de las ecuaciones en los ejercicios 1 a 18. 1. y = 3 2. x2 _{= 4} 3. 2y + 3z = 6 4. x + 3y + 2z = 6 5. x2_{− y}2_{= 4} 6. yz = 4 7. x = sen y 8. y = x3 9. z = ex 10. x2 _{= 4z + 8} 11. x2_{+ 4y}2_{+ 4z}2 _{= 36} 12. z = 8− 2x2_{− 2y}2 13. x = 4y2_{+ z}2 14. 4x2 _{+ y}2_{− 9z}2 _{= 36} 15. 4y2_{− x}2_{+ 9z}2 _{= 36} 16. y2_{− 9x}2_{− 4z}2 _{= 36} 17. x2 _{= 4y}2_{+ 9z}2 18. y2_{− 2x}2 _{= z}

En los ejercicios 19 a 24 escriba una ecuaci´on para la superficie generada al girar la curva dada en torno al eje indicado. Grafique la superficie.

19. y = √2x; eje y 20. x = z2_{, eje x} 21. z = 4_{− x}2_{, eje z} 22. y = e−x2 , eje y 23. x = ln y, eje x 24. y2_{− z}2 _{= 1, eje z}

En los ejercicios 25 a 30 describa las trazas de las superficies dadas 25. x2_{+ 4y}2_{= 4 en z = c} 26. x2+ 4y2− 4z2 _{= 4 en z = c} 27. x2_{+ 4y}2_{− 4z}2 _{= 4 en x = a} 28. z = 4x2_{+ 9y}2 _{en x = a} 29. z = ln(x2+ y2) en y = b 30. y = 4x2 _{− 9z}2 _{en y = b}

(53)

Funciones vectoriales

3.1. Funciones vectoriales y curvas

Definición 3.1.1. Una función vectorial es una función #–

r : D _{7→ R}m; D_{⊆ R}

t → #–r(t) = (f1(t), f2(t), . . . , fm(t)), m≥ 2.

Para m = 2 es com´un usar la notaci´on

#–_r_{(t) = g(t)ˆ}_ı_{+ h(t)ˆ}_ _{con ˆ}_ı_{= (1, 0), ˆ}__{= (0, 1),} y para m = 3 la notaci´on

#–

r(t) = f (t)ˆı+ g(t)ˆ+ h(t)ˆk, con ˆı= (1, 0, 0), ˆ= (0, 1, 0), ˆk= (0, 0, 1). La imagen de una funci´on vectorial #–r : [a, b] _{7→ R}n_{; n = 2, 3 es una curva}

C. De igual manera, una curva C en R2 _{o R}3 _{se puede representar por una}

función vectorial #–r(t), llamada representación paramétrica de la curva. La variable t recibe el nombre de parámetro.

Las ecuaciones

x = f (t), y = g(t), y = h(t) con a_{≤ t ≤ b,}

(54)

dar la ecuaci´on de una curva en R3 _es:

1. Tomando como par´ametro una de las coordenadas. Por ejemplo, si ele-gimos como par´ametro la coordenada x, escribiremos

x = x, y = f (x), z = h(x), a≤ x ≤ b para describir tal situaci´on.

2. Considerando la curva como la intersecci´on de dos superficies de R3_:

F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0

Ejemplo 3.1.1. Dibuje la curva cuya representaci´on param´etrica es

a) #–r(t) = cos t ˆı+ sen2_{t ˆ}_, ₀_{≤ t ≤ π}

b) #–r(t) = a cos t ˆı+ a sen t ˆ+ bt ˆk, 0≤ t ≤ 2π

Soluci´on.

a) Puesto que x = cos t y y = sen2_{t = 1}_{− cos}2_{t, entonces y = 1}_{− x}2 _con

−1 ≤ x ≤ 1, es la ecuaci´on cartesiana de la curva. As´ı, La curva es un arco de par´abola con punto inicial (1, 0) y punto final (_{−1, 0).}

b) Como x = a cos t y y = a sen t, entonces x2_{+ y}2 _{= a}2_{. Luego, la curva es}

una espiral, resorte o h´elice que se encuentra en el cilindro x2_{+ y}2 _{= a}2

con punto inicial (a, 0, 0) y punto final (a, 0, 2πb). La curva la podemos describir, por ejemplo, como la intersecci´on de las superficies cil´ındricas x2 _{+ y}2 _{= a}2 _{y x = a cos z. Esta curva se produce en muchas situaciones}

reales. Por ejemplo, es generada por un punto situado en el extremo de una de las paletas de la hélice de un avión que se desplaza en l´ınea recta. Para el caso de la figura 3.1(b), el avión se desplaza en la dirección del eje z con movimiento lineal uniforme y la hélice del avión tiene velocidad angular constante.

(55)

(_{−1, 0)} (1, 0) (0, 1) #– r(t) x y (a) b b b b b x y z #– r(t) (b)

Figura 3.1. Gr´afica ejemplo 3.1.1

Ejemplo 3.1.2. Encuentre una representación paramétrica para la curva de ecuación x3+ y3_{− xy = 0}.

Soluci´on. Sea P (x, y) un punto de la curva y t la pendiente del segmento que une el origen de coordenadas con el punto P (x, y); esto es, t = y_x. Expre-samos las coordenadas x y y en t´ermi-nos de t. Reemplazando y = tx y des-pejando obtenemos x = t 1 + t3, y = t2 1 + t3; t6= −1. #– r(t) P b x y

Figura 3.2. Gr´afica ejemplo 3.1.2

Esta curva, propuesta por Descartes en 1638, se conoce con el nombre de folium de Descartes.

Ejemplo 3.1.3. Halle una representación paramétrica para la curva_C inter-sección del cilindro el´ıptico 4x2_{+ 9y}2 _{= 36 con el plano x + y + z = 1.}

Soluci´on. La curva _{C est´a en el cilindro el´ıptico 4x}2 _{+ 9y}2 _{= 36, luego}

x = 2 cos t, y = 3 sen t; 0_{≤ t ≤ 2π. Como C est´a en el plano x + y + z = 1,} z = 1_{− 2 cos t − 3 sen t. As´ı, una parametrizaci´on para C es}

#–

(56)

3.2. L´ımites y continuidad

Definici´on 3.2.1. Sea #–r(t) una funci´on vectorial y L#– un vector constante, se dice que #–r tiene l´ımite L#–cuando t tiende a t0, en s´ımbolos l´ım

t→t0

#–_r_{(t) =}_L,#– si y s´olo si para cada ǫ > 0 existe δ > 0 tal que

#–r(t)₋L#– < ǫ siempre que |t − t₀| < δ. Teorema 3.2.2. Si #–r(t) = f (t) ˆı+ g(t) ˆ+ h(t) ˆk, entonces l´ım t→t0 #– r(t) = l´ım t→t0 f (t) ˆı+ l´ım t→t0 g(t) ˆ + l´ım t→t0 h(t) ˆ k. Ejemplo 3.2.1. Halle l´ım t→0+ tln t ˆı+sen t_t ˆ+ etˆk.

Soluci´on. Por el teorema 3.2.2, l´ım t→0+ t ln tˆı+sen t t ˆ+ e t_ˆ_k = l´ım t→0+t ln t ˆı+ l´ım t→0+ sen t t ˆ+ l´ımt→0+e t_ˆ_k = l´ım t→0+ ln t 1/t ˆı+ 1ˆ+ 1ˆk = l´ım t→0+ 1/t −1/t2 ˆı+ ˆ+ ˆk Por L’Hˇopital =_{− l´ım} t→0+tˆı+ ˆ+ ˆk= ˆ+ ˆk.

Definici´on 3.2.3. Sea #–r(t) una funci´on vectorial y t0 una constante, se dice

que #–r es continua en t0 si y s´olo si

l´ım

t→t0

#–_r_{(t) = #–}_r_(t

0).

La funci´on #–r(t) es continua en un intervalo I si lo es en cada punto de I. Ejemplo 3.2.2. Encuentre los puntos de discontinuidad de la funci´on vec-torial F#–(θ) = sec θˆı+ tan θˆ+ θˆk.

Soluci´on. La funci´on F#– es discontinua en los puntos donde cos θ = 0. Esto ocurre para θ = (2n + 1)π/2; n∈ Z.

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3.3. Derivadas e integrales

Definici´on 3.3.1. Sea #–r(t) = (f1(t), f2(t), . . . , fm(t)) una funci´on vectorial.

La derivada de #–r se define como el vector Dt[ #–r(t)] = #–r ′(t) = l´ım

h→0

#–_r_{(t + h)}_{− #–}_r_(t)

h ,

si el l´ımite existe.

Si #–r ′(t0) existe, se dice que #–r es

diferencia-ble en t0. Si #–r ′(t) existe para todo t ∈ I,

#–_r _{es diferenciable en I. Si #–}_r _{es una} para-metrizaci´on de la curva C que describe una part´ıcula que se mueve en el espacio (m = 3) o en el plano (m = 2) entonces #–r′(t) es un vector tangente a_{C en el punto P de la curva} cuyo vector posici´on es #–r(t).

x y z #– r(t) #–_r_{(t + h)} #–_r′_(t) ∆ #–r C P Figura 3.3. Derivada

Ejemplo 3.3.1. La figura 3.4 muestra la curva con ecuaci´on param´etrica #–_r_{(t) = (cos t, sen t, t),} _t_{≥ 0.}

Cada vector tangente a la curva en el punto #–_r_{(t) est´a dado por}

#–_r′_{(t) = (}_{− sen t, cos t, 1), t ≥ 0.} En la gr´afica se muestran los vectores

tan-gentes correspondientes a t = 0,π₂, π,3π₂ , 2π. x y z b b b b b

Figura 3.4. H´elice con tangentes

Definici´on 3.3.2. La integral de la funci´on vectorial #–r se define como el

vector _Z

#–