Ejercicios de Flotabilidad y Estabilidad

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FLOTABILIDAD Y ESTABILIDAD

▪ FLOTACIÓN:

Un cuerpo en un fluido, ya sea que flote o este sumergido, experimenta una fuerza hacia arriba igual al peso del fluido que desplaza.

La fuerza de flotación actúa en dirección vertical hacia arriba a través del centroide del volumen desplazado, y se define en forma matemática por medio del principio de Arquímedes, como sigue:

Donde:

𝑭𝒃: Fuerza de flotación.

𝒚_𝒇: Peso específico del fluido.

𝑽𝒅: Volumen desplazzado del fluido.

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Cuando un cuerpo flota libremente desplaza el volumen suficiente de fluido para balancear su propio peso.

El análisis de problemas que tienen que ver con la flotabilidad requiere que se aplique la ecuación de equilibrio estático en la dirección vertical ∑𝐹𝑣 = 0, que

supone que el objeto permanece en reposo en el fluido. Para resolver todos los problemas que involucren objetos que floten o estén sumergidos se recomienda el procedimiento siguiente:

▪ PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE FLOTACIÓN: 1. Determinar el objetivo para la solución del problema. ¿Va a encontrarse una

fuerza, peso, volumen o peso específico?

2. Dibujar un diagrama de cuerpo libre del objeto en el fluido. Mostrar todas las fuerzas que actúen sobre el cuerpo libre en dirección vertical, inclusive el peso del cuerpo, la fuerza de flotación y todas las fuerzas externas. Si no se conoce la dirección de alguna fuerza, hay que suponer la dirección más probable e indicarla sobre el cuerpo libre.

3. Escribir la ecuación de equilibrio estático en la dirección vertical = 0, con el supuesto de que la dirección positiva es hacia arriba.

4. Resolver para lo que se quiere: fuerza, peso, volumen o peso específico, y tener presentes los conceptos siguientes:

a. La fuerza de flotación se calcula a partir de 𝑭𝒃 = 𝒚𝒇𝑽𝒅 .

b. El peso de un objeto solido es el producto de su volumen total por su peso específico; es decir, 𝒘 = 𝜸𝑽.

c. Un objeto cuyo peso específico promedio es menor que el del fluido tenderá a flotar, debido a que 𝒘 < 𝑭𝒃 con el objeto sumergido.

d. Un objeto cuyo peso específico promedio es mayor que el del fluido tenderá a hundirse, debido a que 𝒘 > 𝑭_𝒃 con el objeto sumergido.

e. La flotabilidad neutral ocurre cuando un cuerpo permanece en una posición dada, donde sea que se sumerja en un fluido. Un objeto cuyo peso específico promedio es igual al del fluido tiene flotabilidad neutral.

• Problema # 1 ( ejercicio 5.2- libro mott):

Cierto objeto de metal solido tiene una forma tan irregular que es difícil calcular su volumen por medios geométricos. Utilice le principio de flotabilidad para encontrar su volumen y su peso específico.

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• W= Peso del objeto del metal W= 60 lb

• Fe= Fuerza de apoyo que ejerce la balanza

Fe=46,5 lb

• Fb= Fuerza de la sustancia (H2O)

• Peso específico del H2O 𝛾 = 62,4

𝑙𝑏 𝐹𝑡3

∑ 𝑓 = 0

Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 1, obtenemos: 𝛾𝑉 + 𝐹𝑒− 𝑤 = 0 𝛾𝑉 = 𝑤 − 𝐹𝑒 𝑉 =𝑤 − 𝐹𝑒 𝛾 𝑉 =60 𝑙𝑏 − 46,5 𝑙𝑏 62,4 𝑙𝑏 𝐹𝑡3

𝐹

_𝑏

+ 𝐹

_𝑒

− 𝑤 = 0

𝐹

_{𝑏 =}

𝛾𝑉

Ecuación 1 Ecuación 2

𝑉 = 0,216 𝐹𝑡

3

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⇒ Volumen del metal. 𝛾 =𝑤 𝑉 𝛾 = 60 𝑙𝑏 0,216 𝐹𝑡3

⇒ Peso ⇒ Peso específico del metal.

• Problema # 2 ( ejercicio 5.3- libro mott)

Un cubo con aristas que miden 80 mm está construido de hule espuma y flota en agua, con 60 mm de su cuerpo bajo la superficie. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza que se requiere para sumergirlo por completo en glicerina, la cual tiene una gravedad especifica de 1,26. Antes de pasar al panel siguiente, obtenga la solución.

Solución

En primer lugar, calcule el peso del cubo, y después la fuerza necesaria para mantenerlo sumergido en glicerina. Utilice los diagramas de cuerpo libre de la figura 5.6: (a) cubo que flota en agua y (b) cubo sumergido en glicerina.

De la figura 5.6(a), tenemos:

figura 5.6 Diagramas de cuerpo libre

𝛾 = 2,78

𝑙𝑏

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∑ 𝐹₁ = 0 𝐹𝑏− 𝑤 = 0 𝑤 = 𝐹𝑏 = 𝑦𝑓𝑉𝑑 𝑉_𝑑 = (80𝑚𝑚)(80𝑚𝑚)(60𝑚𝑚) = 384×103_𝑚𝑚3_{(𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑚𝑒𝑟𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑏𝑜)} 𝑤 = (9.81×10 3_𝑁 𝑚3 )(384×103𝑚𝑚3)( 1𝑚3 (103_𝑚𝑚)3) = 377𝑁 𝑤 = 377𝑁 De la figura 5.6(b), tenemos ∑ 𝐹₁ = 0 𝐹_𝑏− 𝐹_𝑒− 𝑤 = 0 𝐹𝑒 = 𝐹𝑏− 𝑤 = 𝑦𝑓𝑉𝑑− 377𝑁 𝑉_𝑑 = (80𝑚𝑚)3 _{= 512×10}3_𝑚𝑚3_{(𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑚𝑒𝑟𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑏𝑜)} 𝑦_𝑓 _{= (1.26) (9.81 𝑘𝑁 𝑚}⁄ 3) = 12.36 𝑘𝑁 𝑚⁄ 3 𝐹_𝑒 = 𝑦_𝑓𝑉_𝑑− 377𝑁 𝐹_𝑒 = (12.36×10 3_𝑁 𝑚3 ) (512×103𝑚𝑚3) ( 1𝑚3 (103_𝑚𝑚)3) − 377𝑁 𝐹_𝑒 = 6.33𝑁 − 3.77𝑁 = 2.56 𝑁 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑠𝑢𝑚𝑒𝑟𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑔𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑖𝑛𝑎 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 2.56 𝑁 𝑑𝑖𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜.

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Un cubo de latón con aristas que miden 6 pulg pesa 67 Ib. Se desea mantenerlo en equilibrio bajo el agua sujetándolo a una boya de hule espuma ligero. Si el hule espuma tiene un peso específico de 4.5 lb/pie3_{¿cuál es el volumen mínimo}

requerido de la boya?

Obtenga la solución antes de pasar al panel siguiente Solución

Hay que calcular el volumen mínimo de hule espuma para mantener el cubo en equilibrio.

Observe que en la figura 5.7 se considera al hule espuma y al latón partes de un sistema único, y que hay una fuerza de flotación sobre cada uno. El subíndice F se

refiere al hule espuma y B al latón. No se requiere ninguna fuerza externa. La ecuación de equilibrio es:

∑ 𝐹_𝐼 = 0 0 = 𝐹_𝑏_𝐵+ 𝐹_𝑏_𝐹− 𝑊_𝐵− 𝑊_𝐹 (5.4) 𝑊𝐵 = 67 𝑙𝑏 (𝑑𝑎𝑡𝑜) 𝐹𝑏𝐵 = 𝛾𝑓𝑉𝑑𝐵 = ( 62.4 𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒3 ) (6 𝑝𝑢𝑙𝑔) 3₍ 𝑝𝑖𝑒3 1728 𝑝𝑢𝑙𝑔3) = 7.8 𝑙𝑏 𝑊_𝐹 = 𝛾_𝐹𝑉_𝐹 𝐹_𝑏_𝐹 = 𝛾_𝑓𝑉_𝐹

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FIGURA 5.7 Diagrama de cuerpo libre de latón y hule espuma unidos.

Sustituimos estas cantidades en la ecuación (5-4): 𝐹_𝑏_𝐵 + 𝐹_𝑏_𝐹− 𝑊_𝐵− 𝑊_𝐹 = 0 7.8 𝑙𝑏 + 𝛾_𝑓𝑉_𝐹− 67 𝑙𝑏 − 𝛾_𝐹𝑉_𝐹 = 0

Se resuelve para VF, por medio de 𝛾_𝑓 = 62.4 𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒3 y 𝛾_𝐹 = 4.5 𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒3:

𝛾_𝑓𝑉_𝐹− 𝛾_𝐹𝑉_𝐹 = 67 𝑙𝑏 − 7.8 𝑙𝑏 = 59.2 𝑙𝑏 𝑉_𝐹(𝛾_𝑓− 𝛾_𝐹) = 59.2 𝑙𝑏 𝑉_𝐹 = 59.2 𝑙𝑏 𝛾_𝑓− 𝛾_𝐹 = 59.2 𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒3 (62.4 − 4.5)𝑙𝑏 𝑉_𝐹 = 1.02 𝑝𝑖𝑒𝑠3

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Resultado

Esto significa que si se sujetara 1.02 pies3_{de hule espuma al cubo de latón, la}

combinación permanecería en equilibrio dentro del agua, sin aplicar ninguna fuerza externa. Habría flotabilidad neutra.