Guia Practica de Mate II

(1)

Prof.Andr´es P´erez

(2)

Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas”

Departamento de Ciencias B´asicas

Matem´aticas II (11025)

Requisito: Matem´aticas I (11015)

Pr´

acticas de Matem´

aticas II

Prof.: Andr´es P´erez

(3)

UNIDAD I

Pr´acticas: 1 y 2

La integral de Riemann:

• Aplicaciones a Familia de Curvas

• Sumas de Riemann

• Integrales definidas

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Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas”

Departamento de Ciencias B´asicas

Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2

Pr´

actica 1

Aplicaciones a Familia de Curvas

Prof. Andr´

es P´

erez

1. Determine la función que describe la posición de una part´ıcula, si la función aceleración viene dada por a(t) = t2_{+ 1, la}

velocidad inicial es v(0) = 4 y la posici´on inicial est´a dada por s(0) = 0.

2. Se estima que dentro de t meses, la población de una cierta ciudad variará a razón de 4 + 5t2/3 _{personas/mes. Si la}

población en el primer mes es de 10.000 personas, entonces diga, ¿cuál será la población de esta ciudad dentro de 8 meses?. 3. Una estad´ıstica prueba que una cierta ciudad crece a un ritmo proporcional a la ra´ız cuadrada de la población P en el instante t. Si la población era de 4.000 personas hace 10 años, y hoy d´ıa hay 9.000 personas. ¿Cuánto tardará en crecer hasta 16.000 habitantes?

4. La raz´on de cambio del volumen V de una bola de nieve que se derrite es proporcional a la superficie S de la bola. Si el radio de la bola es r = 2, cuando t = 0 y r = 1

2, cuando t = 10. Demuestre que r(t) = −

3 20t + 2.

5. Una compañ´ıa estima que el costo marginal (en dólares por art´ıculo) para producir x art´ıculos es de 1, 92 − 0, 002x. Si el costo de producción de un art´ıculo es de 562 dólares, encuentre el costo de producir 100 art´ıculos.

Ayuda: Si la funci´on costo se denota por C(x), entonces el costo marginal est´a dado por dC dx.

6. El incremento respecto al tiempo de una cierta magnitud q es proporcional al valor de dicha magnitud. Sabiendo que en el instante inicial, se tienen 25 unidades y que a los dos minutos se observan 75 de las mismas, hallar el valor de q a los 6 minutos.

7. Encuentre la ecuaci´on en x e y de la curva que pasa por (1, 2) y cuya pendiente en cualquiera de sus puntos es cuatro veces su coordenada en x.

8. Una bola es arrojada hacia arriba desde un planeta donde la aceleraci´on de la gravedad es k (una constante negativa) pies por segundo cuadrado. Si la velocidad inicial es v0, demuestre que la altura m´axima es justamente −v

2 0

2k.

9. En la escena de un accidente, el investigador de la polic´ıa determina que tan rápido iba el conductor a partir de las marcas dejadas por los cauchos en el pavimento. Suponga que el carro frenó con una desaceleración de 15 m

seg2. ¿A qu´e velocidad

iba el auto cuando aplic´o los frenos, si recorri´o 75 m antes de detenerse?

10. Un auto que va a 60 millas por hora, patina 176 pies cuando los frenos son aplicados. Si el sistema de frenado produce una desaceleración constante, ¿cuál es esa desaceleración? ¿Durante cuántos segundos continuará el derrape?

11. La velocidad de un cuerpo que se mueve a lo largo de un eje coordenado est´a dado por v(t) = (2t − 3)−3_{, en metros por}

segundo. Si el desplazamiento en t = 0 es de 4 metros, encuentre el desplazamiento dos segundos m´as tarde.

12. Inicialmente se ten´ıan 100 mg. de sustancia radiactiva (torio 234). Al cabo de 6 horas, la cantidad inicial disminuy´o en 3 %. Calcule la vida media de la sustancia radiactiva.

13. Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N0 de bacterias. Pasada una hora la cantidad de bacterias es 3N0/2. Si la

rapidez de multiplicación es proporcional al número de bacterias presentes, determine el tiempo necesario para que el número de bacterias se triplique.

(5)

5 14. Cuando un objeto absorve o despide calor en el medio que lo rodea, se verifica la Ley de Enfriamiento de Newton, que establece que: “La variaci´on de la temperatura de un cuerpo, es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del medio”.

Suponga que una peque˜na barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20◦_{C, se deja caer en un recipiente con agua}

hirviendo. Calcule el tiempo que dicha barra demorar´a en alcanzar los 90◦_{C, si se sabe que su temperatura aument´o 2}◦_{C en}

un segundo. ¿Cu´anto demorar´a la barra en alcanzar los 98◦_C?.

15. Un reactor generativo transforma el uranio 238, que es relativamente estable, en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años, se determina que 0.043 % de la cantidad inicial A0de plutonio se ha desintegrado. Determine la semivida de este

is´otopo.

16. Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300◦_{F. Tres minutos despu´es su temperatura es 200}◦_{F. ¿Cu´anto}

demorar´a en enfriarse hasta una temperatura ambiente de 70◦_F?.

17. Para describir la rapidez con la que se adquiere una habilidad se usa una curva de aprendizaje. Por ejemplo, supongamos que un fabricante estima que un nuevo operario producirá A objetos el primer d´ıa de trabajo, y que a medida que va adquiriendo experiencia, producirá los objetos más rápidamente hasta que produzca un máximo de M objetos por d´ıa. Sea f(t), la cantidad de art´ıculos producidos el d´ıa t, para t ≥ 1. Suponga que el ritmo de producción f0_{, es proporcional a}

M − f(t). Entonces:

17.1) Deduzca una f´ormula para calcular la cantidad de art´ıculos producidos en un d´ıa cualquiera.

17.2) Suponiendo que M = 30, f(1) = 5 y f(2) = 8. Estime el n´umero de art´ıculos producidos el vig´esimo d´ıa.

18. El carbono 14 (C14), es una sustancia radioactiva que tiene una vida media de aproximadamente 5600 a˜nos. Es

importante en arqueolog´ıa porque el C14 existente en un ser vivo permanece constante durante la vida del ser. Determinar

el tiempo transcurrido desde la muerte de un animal, si la concentraci´on de C14 en sus restos, es igual a la tercera parte de

la que corresponde con un animal que vive actualmente.

19. Se analizó un hueso fosilizado y se encontró que conten´ıa la centésima parte de C14. Determine la edad del fósil.

20. Muchos creen que el sudario de Tur´ın que muestra el negativo de un cuerpo de un hombre crucificado es la mortaja de Jesús de Nazareth. En 1988, el Vaticano otorgó autorización para que se fechara el carbono del manto. Tres laboratorios cient´ıficos independientes llegaron a la conclusión de que el manto tiene unos 660 años. Edad que coincide con su aparición histórica. Con ésta edad, determine ¿qué porcentaje de la cantidad original de C14 le quedaba en 1988?.

21. Una peque˜na barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20◦_{C, se deja caer en un recipiente con agua hirviendo.}

Calcule el tiempo que dicha barra demorará en alcanzar los 90◦_{C, si se sabe que aumentó 2}◦_{C en un segundo. ¿Cuánto}

demorar´a la barra en alcanzar los 98◦_C?

22. Un termómetro que está en el interior de una habitación se lleva al exterior, en donde la temperatura del aire es de 5◦_F.

Después de un minuto el termómetro marca 55◦_{F y después marca 30}◦_{F. ¿Cuál es la temperatura inicial de la habitación?}

23. Un term´ometro que indica una temperatura de 70◦_{F se coloca en un horno precalentado a temperatura constante. A}

través de una ventana de vidrio del horno, un observador se percata que la temperatura que registra el termómetro después de 1

2 minuto es de 110◦F y al minuto de introducido registra una temperatura de 145◦F. ¿A qu´e temperatura est´a el horno?

24. A las 9:00 am. un term´ometro marca 70◦_{F, se lleva al aire libre donde la temperatura es 15}◦_{F. A las 9:05 am. marca}

45◦_{F. A las 9:10 am. es llevado de nuevo al interior de la habitaci´on donde la temperatura se mantiene a 70}◦_{F. Si a los 5}

minutos sube 20◦_{F, ¿cu´anto marca a las 9:20 am.?}

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25. Suponga que después de un caluroso partido de Softball, usted que se encuentra en envidiables condiciones f´ısicas, pero hediondo a mono, estaba lo suficientemente sediento como para tomarse el agua directamente de la botella (cosa por la que su respectiva progenitora lo ha regañado toda la vida). Al llegar a la cocina y abrir la nevera se da cuenta que el agua que asumimos es filtrada no estaba muy fr´ıa (unos 15◦_{C), toma un poco e introduce la botella en la nevera con la intensión de}

que otro beba su saliva. A los 5 minutos, vuelve a abrir la nevera e ingiere un poco del ya no tan preciado l´ıquido, que estaba un poco m´as fr´ıo (unos 10◦_{C). Pasados otros cinco minutos, realiza un ´}_{ultimo intento y el agua ya se encontraba a 8}◦_{C. ¿A}

qu´e temperatura se encontraba la nevera?, asumiendo que la variaci´on de la temperatura del agua durante el tiempo que estuvo pegada a su boca es despreciable.

26. Hace algunos años (no precisaré cuantos, ya que podr´ıan ser muchos), unos arqueólogos usaron unos trozos de madera quemada (entiéndase chamuscada), es decir, de carbón vegetal (pero no para hacer parrilla), para fechar las pinturas pre-históricas y rupestres de las paredes y los techos de una caverna en Lacaux, Francia. Según estos tipos, las pinturas esas eran “burda” de bonitas. Determine entonces, cuántos años ten´ıan estos trozos de carbón, si ellos lograron observar que hab´ıan perdido el 85.5% del carbono C14.

27. A un amigo m´ıo, hace algún tiempo se le murió su suegra (q.e.p.d), este era el único disponible para retirar un documento que tiene que ver con la declaración de muerte en la jefatura, para efectos de una herencia. Este pana, odiaba a su suegra y por supuesto se dirigió a la jefatura con una sonrisa que no le cab´ıa en la cara (el muy desgraciado). Al entrar, un empleado de la jefatura le pregunta la fecha en que falleció la occisa y este se acordó (ya que en algún momento de su vida pasó por la universidad) que existe un profesor (como el de ustedes) que alguna vez le resolvió unos problemas que ten´ıan que ver con data de fósiles y como a su suegra la consideraba un fósil, intentó sacar la cuenta. Se devolvió a donde estaba el cadaver (cementerio adentro) y le midió la concentración de C14, notando que le faltaba el 0.015 % de la concentración original. Se

devolvió a la jefatura, a eso de las 9:30 am. y le dijo al efectivo que hab´ıa muerto seis meses atrás. El efectivo, le dijo que era un mentiroso y no le dio el papel (este muchacho también pasó por la universidad). Podr´ıa determinar usted, hace cuánto tiempo murió la señora.

28. Un obrero, sale de su casa a eso de las 6:30 am, como todos los d´ıas. Para ir a la construcción, este señor debe abordar el tren del metro en la estación Plaza Sucre (trayecto que le toma unos 15 minutos desde su casa) y desembarcar en la estación Sabana Grande. Como todos sabemos, el metro es el gran desastre de Caracas y por supuesto estamos en una época del año donde los calorones son propios de menopáusica prematura. El obrero, aborda el vagón en el que el aire no funciona y con toda esa gente y los tufos respectivos, realmente hace calor. Al señor, le da una “yeyera” entre Colegio de Ingenieros y Plaza Venezuela, debiendo accionar la alarma respectiva, muy a pesar de los insultos de los demás viajeros. Cuando es atendido dentro del mismo vagón (aproximadamente a las 7:05 am), determinan que su temperatura corporal se encontraba en los 39◦_{C y el operador de la estación (irónico el muchacho) le manifiesta que realmente está enfermo, ya que el vagón se}

encuentra a unos confortables 19◦_{C. A los 5 minutos, ya el se˜}_{nor ten´ıa 39.5}◦_{C. Determine si el se˜}_{nor estaba quebrantado de}

salud al entrar al vag´on.

29. Suponga que el d´ıa de ayer fué al mercado con su respectiva madre y en el ajetreo, las bolsas y todas esas cosas, se le ocurrió la brillante idea de comprarse un par de laticas para refrescarse como en los comerciales de T.V (cosa que nadie cree que es malta). El portu de la esquina, le vendió una fr´ıa y la otra caliente, ya que se le daño la nevera. En realidad, la caliente no estaba tan caliente, se encontraba a una temperatura de 23◦_{C. Cuando usted llegó a su casa, lo primero que}

hizo fué introducirla en el “freezer” (entiéndase parte superior de su nevera), que se encontraba como Dios manda a una temperatura de envidiables 2◦_{C bajo cero. Como usted ten´ıa mucha sed, abrió la nevera a los 10 minutos y se percató que}

la lata a´un estaba en los 10◦_{C. Determine el momento exacto en que debe abrir la nevera para tomarse la espumosa, si la}

mejor temperatura para ingerirla es de 4◦_C.

30. Durante un d´ıa claro y despejado, un forense llega a la escena de un crimen en un conocido barrio de Caracas. Al llegar, inmediatamente observa su reloj (un casio altimeter bien pepeado) y escribe en su libreta de anotaciones que son las 3 : 45 pm. y que la temperatura se encuentra a 23◦_{C. Seguidamente, toma los signos vitales del ya occiso y determina que estaba}

muerto (que brillante descubrimiento!!!) y que su temperatura corporal era de 27◦_{C. Interrogando a los curiosos del lugar}

(que nunca faltan) encontr´o a la vieja bruja del barrio y esta que se la da de polic´ıa le dijo: “al pasar una hora de escuchar los disparos sal´ı con mi term´ometro y Juansito ten´ıa 35◦_{C y la lengua afuera, no ten´ıa zapatos y faltaba su cartera, pobre}

muchacho, el era de su casa”. Al escuchar el relato fué directamente donde el detective y le dijo: “ya sé a que hora murió el occiso”. Determine aproximadamente, a qué hora murió Juansito.

(7)

7 31. Sabemos que en las cárceles venezolanas hay un brutal e inhumano hacinamiento. Un d´ıa haciendo una pesquisa en Yare I, determinaron que en el pabellón de la muerte (Pabellón B - se le dice de la muerte, ya que por cualquier viento mal oliente que sople mueren de asfixia -), se encontraba un recluso con una patulequera (chiripiorca según el chavo) y este dec´ıa, que le hab´ıa pasado algo con la tensión. Midieron su temperatura y determinaron que se encontraba en los 39.5◦_{C, lo cambiaron}

al pabellón de las locas (Pabellón G) y al cabo de 2 minutos su temperatura disminuyó en 2◦_{C. Por si acaso, le volvieron a}

medir la temperatura pasados 2 minutos m´as (para ver si no era chachara del man este) y ten´ıa 37◦_{C.¿A qu´e temperatura}

se encontraba el Pabell´on G?

32. Como siempre sucede en los barrios de Caracas, hay desadaptados sociales que llevan la marginalidad por dentro como bandera. Un cierto d´ıa, regresaba a su casa en el San Blas, un sujeto apodado “Er Chino” (se parec´ıa a Yoshi Toshia - el de la propaganda -). Este, ven´ıa de ese famoso lugar llamado Adrenalina (donde le tumbaron la moto, la cartera y la pechuga), bueno, el asunto es que el tipo ven´ıa super amotinado y se encontró a Rin Tin Tin (el perro vagabundo del barrio) y le ha metido la mamá de las patadas, por supuesto, el perro estiró la pata. Al tiempo, hizo acto de presencia “Er iluminao” (no era Hermes por si acaso), el cual regresaba de Canadá (estuvo preso), subiendo las escaleras, miró al matorral y hallo bien flaco y comido de ratas el cadaver del querido Rin Tin, dec´ıa: Chamo pana m´ıo!!!, te dieron bollo, snif, snif, snif (lloriqueaba el muchacho). Este antisocial, era bien inteligente (acostumbraba hacer practicas forenses con los reclusos que quedaban de los motines) y se puso a medirle el C14 al cánido en cuestión y determinó con sus equipos rudimentarios que hab´ıa perdido

el 0.0015% del “C-catolce” (como el dec´ıa). Determine usted hace cu´anto “Er Chino” le dio bollo al Rin Tin.

33*. Una cooperativa que se encarga de limpiar los vidrios de los edificios, contrata a una “matraca” de gordo de unos 160 Kg., donde, el arnés al cual estaba sujeto pesa 2.75 Kg. El gordo, después de un suntuoso almuerzo (aproximadamente 2250 gramos), se encontraba reposando la papita, y por supuesto, el andamio (que se encontraba colocado en el piso quince) se partió en dos, ocasionando la posterior megacaida del gordo al vac´ıo (una distancia considerable, ya que cada piso tiene unos 3.5 m). Determine aproximadamente, el tiempo que tardó el gordo en volverse papilla, considerando que la resistencia al aire de tamaña humanidad es de 2 veces la velocidad instantánea.

(8)

Pr´

actica 2

Sumas de Riemann ∼ Integrales Definidas ∼ M´etodos Num´ericos

Prof. Andr´

es P´

erez

Parte I

:

Estimaci´on con sumas finitas

1. Calcule las sumas de Riemann seg´un se indique, en las particiones que se presenten.

1.1) f(x) =√x − 1, con la partici´on dada por P = {3, 3.75, 4.25, 5.55, 6, 7} y considerando los puntos: w1= 3, w2= 4,

w3= 4.75, w4= 6, w5= 6.5.

1.2) f(x) = −x

2 + 3, con la partici´on dada por P = {−3, −1.3, 0, 0.9, 2} y considerando los puntos: w1= −2, w2= −0.5, w3= 0, w4= 2.

1.3) f(x) = x

2

2 + 1 y el intervalo [−1, 2], se divide en seis subintervalos iguales, donde wk, es el punto medio del k-´esimo subintervalo.

1.4) f(x) = x

3

2 + 2x + 2 y el intervalo [0, 2], se divide en ocho subintervalos iguales, donde wk, es el punto frontera de la izquierda del k-´esimo subintervalo.

1.5) f(x) = 2x4+ 7x + 5 y el intervalo [−1, 4] se divide en diez subintervalos iguales, donde wk, es el punto frontera de la

derecha del k-´esimo subintervalo.

2. Para el primer recuadro, delimitar el área de la región sombreada aproximando las sumas superior e inferior, empleando rectángulos de base 1. Para el segundo recuadro, utilizar sumas superiores e inferiores para aproximar el área de la región empleando el número dado de subintervalos y considerando las funciones y = √x, y = √x + 1, y = 1

x y y =

√

1 − x2_,

(9)

9 3. Utilice la regla del punto medio

A ≈ n X k=1 f µ xk+ xk−1 2 ¶ ∆x

con n = 4, para aproximar el área de la región limitada por la gráfica de la función y el eje x, sobre el intervalo dado. 3.1) f(x) = x2_{+ 3} _{[0, 2]} _{3.2) f(x) = x}2_{+ 4x} _{[0, 4]} 3.3) f(x) = tan x £0,π 4 ¤ 3.4) f(x) = sen x £0,π 2 ¤

4. Halle una aproximaci´on de las siguientes integrales definidas por medio de las sumas de Riemann, empleando el punto medio para wk y el valor establecido para n.

4.1) Z₁ −1 (x2_{+ 3x + 1) dx} _{con n = 4} _4.2) Z₈ 6 dx x + 1 con n = 5 4.3) Z₆ 2 ex4dx con n = 5 4.4) Z_2.4 1.2 (3x4_{+ 4x}2_{+ 3x + 7) dx con n = 6} 4.5) Z_8.7 3.5 √ x2_{+ 3x + 5} x5_{+ 6x}3_{+ 3} dx con n = 4 4.6) Z_e2 e 1 ln xdx con n = 5

Parte II

:

Sumas de Riemann con l´ımite

5. Determine el área de la región entre la gráfica de la función y el eje m, sobre el intervalo indicado. Dibuje la región. 5.1) f(m) = 3m 0 ≤ m ≤ 2 5.2) f(m) = m2 _{0 ≤ m ≤ 3}

5.3) g(m) = 1

2m 2 ≤ m ≤ 4 5.4) h(m) = 4m − m2 1 ≤ m ≤ 2

5.5) g(m) = 4m2_{− m}3 _{1 ≤ m ≤ 3} _{5.6) h(m) = m}3_{+ 1} _{1 ≤ m ≤ 2}

6. Calcule las siguientes integrales definidas utilizando la definici´on de Riemann. Luego verifique el resultado por el Teorema Fundamental del C´alculo.

6.1) Z4 0 (x2_{+ 2) dx} _6.2) Z3 −1 (3x2_{+ 5x − 1) dx} _6.3) Z5 0 (2x + 3) dx 6.4) Z8 3 (3x3+ 5x2+ 7x + 6) dx 6.5) Z2 −1 (2x2+ 5) dx 6.6) Z5 0 (2x3+ 3x2− 8x + 9) dx 6.7) Zπ/2 0 sen 2x dx 6.8) Z8 3 dx 1 + x2 6.9) Zπ/4 π/6 sec2_{x dx}

7. Utilice la definici´on de Riemann en el intervalo [0, 5], para calcular la integral de las funciones f(x) dadas a trozos y compruebe el resultado usando f´ormulas apropiadas de geometr´ıa plana.

7.1) f(x) =          x , si 0 ≤ x ≤ 1 1 , si 1 < x ≤ 3 2x + 3 , si 3 < x ≤ 5 7.2) f(x) = ± x + 2, si 0 ≤ x < 2 6 − x, si 2 ≤ x ≤ 5

(10)

8. Use la f´ormula n X k=1 sen kx = cos ¡_α 2 ¢ − cos¡£n +1 2 ¤ α¢ 2 sen¡α 2 ¢ para calcular _Z π 2 0 sen x dx con una partici´on uniforme.

9. Utilice la definici´on de Riemann, para calcular _Z

b a

dx x2

Ayuda: Considere wk=√xkxk−1.

Parte III

:

Integrales Definidas

10. Utilice el Teorema Fundamental del C´alculo, para hallar las siguientes integrales. 10.1) Z3 0 (ax2_{+ bx + c) dx} _10.2) Z36 4 dx √ x 10.3) Z8 1 ³ 4x13 + 2x−13 ´ dx 10.4) Z0 −1 x2p_x3_{+ 1 dx} _10.5) Zπ/2 0 sen2_{3x. cos 3x dx} _10.6) Z−1 −4 1 − x4 x2 dx 10.7) Z_3π/2 0 (4x + 3 + cos x) dx 10.8) Z₃ 1 x2_{+ 1} √ x3_{+ 3x}dx 10.9) Z₀ −1 dx x2_{+ 2x + 2} 10.10) Z3π/4 π/4 cos x 1 + cos xdx 10.11) Z1 0 cosec 2x 2−x dx 10.12) Zπ/4 0 2 sen x

sec x + (√sec x sen x)2dx

11. Encuentre la derivada de las siguientes funciones. 11.1) F(x) = Zx −6 (2t + 1) dt 11.2) F(x) = Zx 0 sen4_{t tan t dt ; −}π 2 < x < π 2 11.3) F(x) = Z_x 1 p 1 + t2_dt _{11.4) F(x) =} Z√ x 1/x p t4_{+ t}2_{+ 4 dt} 11.5) F(x) = Z_π/4 x t tan t dt ; x > −π 2 11.6) F(x) = Z_x 5 t2_{+ 3t + 5}√_{1 + t}2 ln(3t + 8) dt 11.7) F(x) = Z_x2₊₁ 1 √ 2 + sen t dt 11.8) F(x) = Z_x3 x p 1 + t4_dt

12. Utilice el Teorema de Comparaci´on y Acotamiento para demostrar las siguientes desigualdades. 12.1) 0 < Z₂ 1 sen x x dx ≤ ln 2 12.2) 1 ≤ Z₁ 0 p 1 + x4_{dx ≤} 6 5 12.3) 1 ≤ Ze2 e dx ln x ≤ e(e − 1) 12.4) 0 < Z3 1 x2_{+ 1} √ x3_{+ 3x + 7}dx ≤ 8 3

(11)

11 13. Sea f ∈ C[a, b], entonces, demuestre que:

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Zb a f(x) dx ¯ ¯ ¯ ¯ ¯≤ Zb a | f(x) | dx

14. Utilice una sustituci´on adecuada, o las indicadas, para calcular las siguientes integrales definidas. 14.1∗₎ Za 0 p a2_{− x}2_dx _{[x = a sen θ]} _14.2) Zπ/2 0 sen x sen(cos x) dx 14.3) Zπ/6 0 sen3_{x cos x dx} 14.4∗₎ Z−1 √ 3−6 3 2x + 3 (x2_{+ 4x + 5)}2dx [x + 2 = tan θ] 14.5) Z1 0 x sen(πx2_{) dx} _14.6) Z1 −2 3 dx (2 + x)√1 + x 15.∗∗ _{Realice la sustituci´on u = tan}³ x

2 ´

, para demostrar que: Zπ/2 0 dx 3 + 5 cos x = ln ³ 4 √ 3 ´ 16. Demuestre que:

16.1) Si f es una funci´on par, entonces: _Z

a −a f(x) dx = 2 Za 0 f(x) dx 16.2) Si f es una funci´on impar, entonces: _Z

a −a

f(x) dx = 0 17. Utilice el ejercicio anterior para calcular las siguientes integrales.

17.1) Z_π −π (sen x + cos x) dx 17.2) Z₁ −1 x3 (1 + x2₎4dx 17.3) Z_π −π (x5+ | sen x|) dx 17.4) Z_a −a p a2_{− x}2_dx _17.5) Z₃ −3 x2_{+ 1} 3 √ x3_{+ 3x}dx 17.6) Z₁ −1 (1 + 25x − 7x2+ 5x3) dx 18. Determine el error en la siguiente demostraci´on y halle el valor verdadero.

Z_π 0 r 1 + cos 2x 2 dx = Z_π 0 √ cos2_{x dx} = Zπ 0 cos x dx = sen x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ π 0 = sen π − sen 0 = 0 19**. Utilice integraci´on por partes, para calcular las siguientes integrales definidas.

19.1) Z₁ 0 ln(x +p1 + x2_{) dx} _19.2) Z_π/4 0 x arctan2x dx 19.3) Z₇ 3 (2x + 5)e−xdx 19.4∗₎ Zπ/4 0 sec3_{x dx} _19.5) Zπ/4 π/6 x. sec2_{x dx} _19.6) Z4 1 √ x. ln x dx 19.7∗₎ Z₉ 0 e√x_dx _19.8) Z_π/4 π/6 x cos x sen2_xdx 19.9∗) Z_e 1 sen(ln x) dx

(12)

Parte IV

:

Teorema del Valor Medio Integral

20. Encuentre los números que satisfacen la conclusión del Teorema del Valor Medio y además encuentre el valor promedio de f en [a, b]. 20.1) Z1 0 dx x3_{+ 1} 20.2) Z3 −1 (3x2_{− 2x + 3) dx = 32} _20.3) Z8 −1 3√x + 1 dx = 54 20.4) Z−1 −2 8x−3_{dx = −3} _20.5) Z2 1 (4x3_{− 1) dx = 14} _20.6) Z4 1 (2 + 3√x) dx = 20 20.7) Z₄ 0 (√x + 1) dx 20.8) Z₁ −1 (2x + 1)2dx 20.9) Z₂ −1 (3x3+ 2) dx 21. Resuelva los siguientes problemas de aplicaciones al Teorema del Valor Medio:

21.1) Calcule el valor medio de la funci´on f en el intervalo [a, b] indicado:

a) f(x) = x2_{+ 3x − 1;} _{[−1, 2]} _{b) f(x) = x}3_; _{[−1, 1]}

21.2) Supongamos que un estudio indica que, entre las 13:00 horas y las 16:00 horas de un dia laborable t´ıpico, la velocidad (en Km/h) del tr´afico de una cierta salida de autopista viene dada por la f´ormula v(t) = 2t3_{− 21t}2_{+ 60t + 20, donde t es el}

número de horas después del mediod´ıa. Halle la velocidad media del tráfico entre las 13:00 y las 16:00 horas.

21.3) Supongamos que x horas despu´es de medianoche, la temperatura en una cierta ciudad de Europa Central obedece aproximadamente a la f´ormula

T (x) = 2 −1

7(x − 13)

2

Halle la temperatura media entre las 2:00 am y las 2:00 pm y adem´as, la hora en que se alcanza la temperatura media. 21.4) Sea P un punto que se mueve sobre una recta coordenada y tiene una funci´on continua de velocidad v. Demuestre que el valor medio de v en [a, b], es igual a la velocidad media durante el intervalo de tiempo [a, b].

Parte V

:

M´etodos Num´ericos

22.

La figura muestra la tasa media de flujo de agua (litros/minuto) en un tanque en un per´ıodo de 10 minutos. Utilice 10 subintervalos en cada caso y estime la cantidad total de agua que fluye en el tanque durante ese per´ıodo empleando:

22.1) La aproximaci´on del trapecio. 22.2) La aproximaci´on de Simpson. 23. La integral el´ıptica 8√3 Zπ 2 0 r 1 −2 3sen2θ dθ

(13)

13 24.

Utilice la regla parabólica, o Regla de Simpson, para aproximar la cantidad de agua requerida para llenar una piscina, cuya forma es identica a la de la figura y que además, tiene una profundidad de 6 pies (todas las dimensiones que aparecen en la figura están en pies).

25. ¿Cu´antas divisiones son necesarias para estimar el valor de la integral Z₃

1

xdx, con una presici´on de 0.00005, usando: 25.1) La regla del trapecio?

25.2) La regla de Simpson?

26. En los problemas (26.1) y (26.2), utilice la aproximación que proporciona la Regla del Trapecio y la que proporciona la Regla de Simpson, para estimar la integral de la función f en el intervalo [a, b], donde f es la función tabulada.

26.1) x a = 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 = b f(x) 3.43 2.17 0.38 1.87 2.65 2.31 1.97 26.2) x a = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = b f(x) 23 8 −4 12 35 47 53 50 39 29 5

27. Utilice la regla trapezoidal para aproximar el ´area del terreno al borde del lago, como lo muestra la figura. Las dimensiones est´an en pies.

28. Utilice la regla trapezoidal y la regla parab´olica para hallar aproximaciones de las siguientes integrales, con el n´umero de subintervalos indicado. 28.1) Z1 0 √ 1 + x dx; n = 4 28.2) Z2 0 p 1 + x3_dx; _{n = 6} _28.3) Z3 0 dx 1 + x4; n = 8 28.4) Z_1/2 0 cos(ex_{) dx;} _{n = 10} _28.5) Z₃ 1 x4_dx; _{n = 8} _28.6) Z₁ 0 e−x2 dx; n = 6 28.7) Z₂ 1 (1 + x)−1dx; n = 6 28.8) Z₄ 2 √ 1 + sen x dx; n = 4 28.9) Zπ 2 π 4 sen x x dx; n = 6

(14)

29. Determine el valor de n que debe satisfacer la Regla de Simpson para que en la aproximaci´on de la integral Z₈

3

dx 7 − 3x se cometa un error menor a 0.0001.

30. Encuentre el m´ınimo valor de n, para que el valor de la integral indicada sea menor que el valor inidicado, si el proceso usado es el de los trapecios.

30.1) Z1 1/2 dx x 0.0001 30.2) Z3 0 (1 + x)−1_dx _0.001

31. Determine n, tal que, en la regla trapezoidal se cometa un error En, menor que 0.01, en el valor aproximado de la

integral. 31.1) Z_1.2 0 e−x2dx 31.2) Z_0.5 0 ex2dx 31.3) Z₂ 1 √ sen x dx 31.4) Z₂ 1 sen√x dx 32. Determine n, tal que, la regla trapezoidal de un error En, menor que 0.005. Despu´es, use este valor para calcular el

valor aproximado de la integral.

32.1) Z4 2 1 + x 1 − xdx 32.2) Z4 2 ln x dx 33. Calcule un valor aproximado de π, mediante la siguiente integral

Z1 0

4 1 + x2dx

(15)

UNIDAD II

Pr´actica 3

(16)

Pr´

actica 3

M´etodos de Integraci´on

Prof. Andr´

es P´

erez

Parte I

:

Integraci´on Inmediata

1. Resuelva las siguientes integrales haciendo manipulaciones algebraicas y usando integraci´on inmediata. 1.1) Z 8x2_{+ 6x + 4} x + 1 dx 1.2) Z dx √ x − 1 +√x + 1 1.3) Z (ax_{− b}x₎2 (ab)x dx 1.4) Z (nx)n−1n dx 1.5) Z 3x.exdx 1.6) Z dx x2_{+ 7} 1.7) Z dx √ 8 − x2 1.8) Z ex_{(x − 1)} x2 dx 1.9) Z x3_{+ 2x}2_{+ x + 4} x2_{+ 1} dx 1.10) Z sen ex e−x dx 1.11) Z sec 3x. tan 3x dx 1.12) Z ln x + ln 5 5x ln 5x dx 1.13) Z ln(ex2₋₄ ) x − 2 dx 1.14) Z µ 8 5 ¶x dx 1.15) Z 3 sen x 2 cos2_xdx 1.16) Z 2x √ 1 − 4xdx 1.17) Z µ 3 √ x + √₃1 x ¶ dx 1.18) Z (1 + ex₎2 1 + e2x dx 1.19) Z (√a −√x)3 √ ax dx 1.20) Z x(√x + √3_{x) dx} _1.21) Z 1 − x4 x2_{+ 1}dx 1.22) Z x3_{− 3x}2_{+ 1} √ x dx 1.23) Z (xm_{− x}n₎2 p √ x dx 1.24) Z (x2_{+ 1)(x}2_{− 2)} 3 √ x2 dx 1.25) Z x tan(x2_{+ 1) dx} _1.26) Z 1 + cos2_x 1 + cos 2xdx 1.27) Z dx 1 + cosh x 1.28) Z sec2x dx 1.29) Z cosec2x dx 1.30) Z (2x + sec x. tan x) dx 1.31) Z 2 + 6x_{+ 6}−x (2−x_{+ 3}x₎2 dx 1.32) Z x −√1 + x2 √ 1 − x4 dx 1.33) Z cos x (7 + sen x)2dx 1.34) Z x2 x + 1dx 1.35) Z x2_{− 3} 7 + x2dx 1.36) Z x3 1 + x4dx 1.37) Z 1 + tan x 1 − tan xdx 1.38) Z senh 2x dx 1.39) Z dx 1 + cos x

(17)

17

Parte II

:

Sustici´on simple (Cambio de Variables)

2. Resuelva las siguientes integrales utilizando el m´etodo de sustituci´on:

2.1) Z e2x 1 + exdx 2.2) Z earctan x_{+ x ln(1 + x}2_{) + 1} 1 + x2 dx 2.3) Z dx x ln x ln(ln x) 2.4) Z esen2xsen 2x dx 2.5) Z sen x ln(sec x) cos x dx 2.6) Z dx x cos2_{(1 + ln x)} 2.7) Z dx ex_{+ e}−x 2.8) Z

esen x cos xcos 2x dx 2.9)

Z sen(4t − 1) 1 − sen2_{(4t − 1)}dt 2.10) Z sen x cos x √ 2 − sen4_xdx 2.11) Z x3_{+ 2x}2_{+ x + 4} x2_{+ 1} dx 2.12) Z ln(x + 1) − ln x x(x + 1) dx 2.13) Z x3 1 + x8dx 2.14) Z x(ax + b)n_dx _2.15) Z x (x2_{+ 3) ln(x}2_{+ 3)}dx 2.16) Z ax ax_{+ 1}dx 2.17) Z x√x − 1 dx 2.18) Z x7 (1 − x4₎5dx 2.19) Z x ln(1 + x2₎ 1 + x2 dx 2.20) Z dx

cosec x.√cos2_{x + 2 cos x + 1} 2.21)

Z dx cos2_{x(3 tan x + 1)} 2.22) Z arccos2_x √ 1 − x2 dx 2.23) Z 7x3 (3 + 2x)1999dx 2.24) Z sen 2x √ 2 − cos2_xdx 2.25) Z tan32x. sec42x dx 2.26) Z ln(x + 1) − ln x x2 dx 2.27) Z x + 1 x2_{+ 2x + 3}dx 2.28) Z x3p_x2_{+ 4 dx} _2.29) Z r x + 1 x 1 x2dx 2.30) Z dx √ x(1 + x) 2.31) Z cos(3x − 4y) dx 2.32) Z x2_{+ x} 4 − 3x2_{− 2x}3dx 2.33) Z dx x2_{+ 15} 2.34) Z √5 x2_{− 2x + 1} 1 − x dx 2.35) Z x 1 + x4dx 2.36) Z sec x. tan x √ sec2_{x + 1}dx 2.37) Z sen x − cos x sen x + cos xdx 2.38) Z √ tan x 1 − sen2_xdx 2.39) Z x cotan(x2_{+ 1) dx} 2.40) Z tan√x √ x dx 2.41) Z x −√arctan 2x 1 + 4x2 dx 2.42) Z dx x ln2x 2.43) Z sec3_{x + e}sen x sec x dx 2.44) Z dx q (1 + x2_{) ln(x +}√_{1 + x}2₎ 2.45) Z tan3x 3. sec 2x 3dx

(18)

Parte III

:

Integraci´on por Partes (IPP)

3. Resuelva las siguientes integrales utilizando el m´etodo de integraci´on por partes:

3.1) Z sec3x dx 3.2) Z ln x x2 dx 3.3) Z x ln(1 +√x) dx 3.4) Z x. sec2_{x. tan x dx} _3.5) Z x arctan x √ 1 + x2 dx 3.6) Z x cos2_xdx 3.7) Z ln(x2_{+ 1)} x2 dx 3.8) Z sen(ln x) dx 3.9) Z x3.ex2dx 3.10) Z x. sec x. tan x dx 3.11) Z x. arccos³ x 2 ´ dx 3.12) Z x.(arctan x)2_dx 3.13) Z arcsen r x x + 1dx 3.14) Z x2 √ a2_{− x}2dx 3.15) Z ln³x +p1 + x2´_dx 3.16) Z (arcsen x)2_dx _3.17) Z 3x_{. cos x dx} _3.18) Z x2_{ln x dx} 3.19) Z sen√x + 1 dx 3.20) Z x3p_x2_{+ 4 dx} _3.21) Z arccos x dx 3.22) Z_√ x ln x dx 3.23) Z (xex_{+ 2}x₎2 2 dx 3.24) Z earcsen x_dx 3.25) Z arctan(√x + 1) dx 3.26) Z 5x2. arctan 2x dx 3.27) Z sen√x − 1 dx 3.28) Z e√x_dx _3.29) Z (x2_{+ 5x + 6) cos 2x dx} _3.30) Z arcsen√x √ 1 − x dx 3.31) Z x arcsen x dx 3.32) Z 5x_{sen 5x dx} _3.33) Z x sen x cos x dx 3.34) Z x ln µ 1 − x 1 + x ¶ dx 3.35) Z ln³xp1 + x2´_dx _3.36) Z sen2_x ex dx 3.37) Z (ln x)2_dx _3.38) Z xex (1 + x)2dx 3.39) Z sec5_{(ax + b) dx} 3.40) Z x tan2_{2x dx} _3.41) Z cos x ln(sen x) dx 3.42) Z x cos2_{x sen x dx} 3.43) Z x cos x sen2_x dx 3.44) Z (x2_{− 2x + 3) ln x dx} _3.45) Z e2x_{sen 4x dx}

(19)

19 4. Utilice el método de integración por partes para demostrar las siguientes fórmulas de reducción:

4.1) Z cosn_{x dx =} 1 ncos n−1_{x sen x +}n − 1 n Z cosn−2_{x dx} 4.2) Z lnnx dx = x lnnx − n Z lnn−1x dx 4.3) Z xnexdx = xnex− n Z xn−1exdx 4.4) Z (x2_{+ a}2₎n_{dx =} x(x2+ a2)n 2n + 1 + 2na2 2n + 1 Z (x2_{+ a}2₎n−1_dx, _{n 6= −}1 2 5. Utilice el método de integración por partes, para hallar una expresión para las siguientes integrales:

5.1) Z xn_{. ln}m_{x dx} _5.2) Z xn_{. sen ax dx} _5.3) Z xn_{. cos ax dx} 5.4) Z secnx dx 5.5) Z sennx dx 5.6) Z senmx cosnx dx 5.7) Z (x + b)n_.eax_dx _5.8) Z eax_{cos bx dx} _5.9) Z eax_senn_{bx dx}

6. Utilice cualquier m´etodo expuesto anteriormente, para hallar las siguientes integrales:

6.1) Z (ax2_{+ bx + c).e}kx_dx _6.2) Z x √ a2_{+ b}2_x2dx 6.3) Z cos√x √ x dx 6.4) Z 7x (3 − x2_{) ln(3 − x}2₎dx 6.5) Z dx sec x(2 sen x + 3) 6.6) R ax2 3x dx 6.7) Z x arctanpx2_{− 1 dx} _6.8) Z dx 4x2_{+ 8x + 4} 6.9) Z dx x2_{+ 4x + 5} 6.10) Z (cos x + 3x + 7)e3xdx 6.11) Z cosec 2x 2−x dx 6.12) Z 2 sen x

sec x + (√sec x sen x)2dx

6.13) Z dx √ x2_{+ x + 1} 6.14) Z arctan x x2 dx 6.15) Z x3_arcsen1 xdx 6.16) Z x2ln√1 − x dx 6.17) Z 1 − √3 2x √ 2x dx 6.18) Z 1 +√cotan x sen2_x dx 6.19) Z sen3_x 5 √ cos3_xdx 6.20) Z sen³ π 4 − x ´ sen³ π 4 + x ´ dx 6.21) Z 5x √ 1 − x4dx 6.22) Z cotan x √ 1 − 3 sen2_xdx 6.23) Z ex e2x_{− 6e}x_{+ 13}dx 6.24) Z dx (cotan x + 1) sen2_x

(20)

Parte IV

:

Potencias Trigonom´etricas

7. Resuelva las siguientes integrales de potencias trigonom´etricas:

7.1) Z sec4(5x) dx 7.2) Z sen4(3x). cos2(3x) dx 7.3) Z cotan3(2x) dx 7.4) Z tan3(2x). sec(2x) dx 7.5) Z sen3x. cos3x dx 7.6) Z

(cos ax + sen ax)2dx

7.7) Z sen2³ x 2 ´ cos2³ x 2 ´ dx 7.8) Z tan x. sec4x dx 7.9) Z sen2_x cos3_xdx 7.10) Z sen x√cos x dx 7.11) Z cosec3_{x dx} _7.12) Z dx cos6_x 7.13) Z sen3³ x 2 ´ cos5³ x 2 ´ dx 7.14) Z ³ tan3x 3 + tan 4x 3 ´ dx 7.15) Z 1 + tan2_2x sec2_2x dx 7.16) Z dx 1 − sen x 7.17) Z cotan x cosec3x dx 7.18) Z sen33x cos33x dx 7.19) Z cotan5_{x sen}2_{x dx} _7.20) Z tan3_{x sec}6_{x dx} _7.21) Z (4 − sen 2x)2_dx

Parte IV

:

Sustici´on trigonom´etrica

8. Utilice sustitución trigonométrica, para hallar una expresión para las siguientes integrales: 8.1) Z x2 (16 − x2₎3/2dx 8.2) Z dx 2x√4x2_{− 1} 8.3) Z √ x2_{+ 7} x dx 8.4) Z √ 1 − x √ x dx 8.5) Z x3px2_{− 4 dx} _8.6) Z x2 25 − 3x2dx 8.7) Z dx (x2_{− 2x + 5)}3/2 8.8) Z x2 √ 6x − x2dx 8.9) Z 3x − 1 x2_{+ 2x + 2}dx 8.10) Z ex e2x_{+ e}x_{+ 2}dx 8.11) Z dx x√4x2_{+ 9} 8.12) Z x 12 + 4x − x2dx 8.13) Z x4_{− 1} x(x2_{+ 2)}2dx 8.14) Z x (3x2_{+ 9x + 10)}2dx 8.15) Z ex √ 4 − e2xdx 8.16) Z dx p x2_{+ (2 cos β)x + 1} 8.17) Z 2x + 6 √ x2_{+ 6x + 1}dx 8.18) Z dx xpln2x + 3 ln x − 1 8.19) Z 2x − 3 2x2_{− 6x + 1}dx 8.20) Z ax_{ln a} √ a2x_{+ 2a}x_{+ 1}dx 8.21) Z x3 √ 16 + 5x2dx 8.22) Z dx x2√_{25 − x}2 8.23) Z dx x√4x2_{− 2} 8.24) Z (9 − x2₎3/2 x2 dx

(21)

21

Parte VI

:

Fracciones Simples o Fracciones Parciales

9. Utilice el m´etodo de fracciones simples, para calcular las siguientes integrales:

9.1) Z 2x − 1 (x − 2)(x − 1)dx 9.2) Z x5_{+ x}4_{− 8} x3_{− 4x} dx 9.3) Z x2 (x + 3)2_{(x + 4)}2dx 9.4) Z 3x + 2 x(x2_{+ 1)}dx 9.5) Z x2_{+ 5x + 3} (x − 4)(x + 7)(3x + 1)dx 9.6) Z x4 (x2_{− 1)(x + 2)}dx 9.7) Z 4x2_{− 5x} (x2_{− x)(x}2_{− x + 1)}2dx 9.8) Z 1 (x − 1)2_(x2_{+ 1)}2dx 9.9) Z 3x − 1 x3_{+ 2x}2_{+ 2x}dx 9.10) Z dx (x + a)(x + b) 9.11) Z 2x2_{+ 41x − 91} (x − 1)(x + 3)(x − 4)dx 9.12) Z 3x − 1 x3_{− 6x}2_{+ 2x − 12}dx 9.13) Z dx (x2_{− 4x + 3)(x}2_{+ 4x + 5)} 9.14) Z dx x4_{+ 1} 9.15) Z 5x2_{+ 6x + 9} (x − 3)2_{(x + 1)}2dx 9.16) Z dx x3_{+ 1} 9.17) Z x3_{− 1} 4x3_{− x}dx 9.18) Z x2_{− 8x + 7} (x2_{− 3x − 10)}2dx 9.19) Z 3x − 8 x3_{+ x}2_{+ 4x + 4}dx 9.20) Z x3_{+ x − 1} (x2_{+ 2)}2 dx 9.21) Z x3_{− 6} x4_{− 6x}2_{+ 8}dx 9.22) Z √ 2x + 2 (√3x + 3)(√5x + 5)dx 9.23) Z x2_{+ x + 1} (ax + b)(ax2_{+ b)}dx 9.24) Z x (x + 1)3_(x2_{+ 1)}2dx 9.25) Z x2_{+ 2x + 2} 27x3_{− 1} dx 9.26) Z x x3_{+ 2x}2_{+ x + 2}dx 9.27) Z 2x3_{+ 9} (x2_{+ 3)(x}2_{− 2x + 3)}dx 9.28) Z 6x2_{+ 22x − 23} (2x − 1)(x2_{+ x − 6)}dx 9.29) Z x2 (2x2_{+ 2x + 1)}2dx 9.30) Z dx x(3 − ln x)(ln x − 1) 9.31) Z x3_{− 8x}2_{− 1} (x − 1)(x + 3)(x2_{+ 1)}dx 9.32) Z 2x3_{+ 5x}2_{+ 16x} x5_{+ 8x}3_{+ 16x} dx 9.33) Z 3x4_{− 2x}2_{+ 3x + 5} (x + 1)(x2_{− 1)}2 dx 9.34) Z x + 3 4x4_{+ 4x}3_{+ x}2dx 9.35) Z dx x3_{+ x}2_{+ x} 9.36) Z 3x2_{− x + 1} x3_{− x}2 dx 9.37) Z x4 x4_{− 1}dx 9.38) Z dx (x + 1)(x2_{+ x + 1)}2 9.39) Z dx (x − 2)(3x2_{+ x − 1)}2dx 9.40) Z 5x3_{+ 2} x3_{− 5x}2_{+ 4x}dx 9.41) Z x3_{+ x + 1} x(x2_{+ 1)} dx 9.42) Z x3_{− 1} 4x3_{+ 4x}2_{− x − 1}dx 9.43) Z dx x(x4_{+ x}2_{+ 1)} 9.44) Z dx x(x3_{+ x}2_{+ x)} 9.45) Z x2 (x − 2)7dx

(22)

Parte VII

:

Integrales de funciones irracionales

10. Utilice una sustituci´on adecuada, para hallar las siguientes integrales de funciones irracionales:

10.1) Z dx √ 2x − 1 − √4 2x − 1 10.2) Z x √ ax + bdx 10.3) Z √ x x + 2dx 10.4) Z √ x − 1 3 √ x + 1dx 10.5) Z √ x + 1 + 2 (x + 1)2₋√_{x + 1}dx 10.6) Z x r x − 1 x + 1dx 10.7) Z 3 r x + 1 x − 1dx 10.8) Z x + 3 x2√_{2x + 3}dx 10.9) Z dx (2 − x)√1 − x 10.10) Z dx 1 + √3_{x − 2} 10.11) Z √ x + 1 1 − x dx 10.12) Z dx √ x −√4_x 10.13) Z dx √ 2x −√x + 4 10.14) Z dx √ x√3_{x(1 +}√3_x)2 10.15) Z dx p√ x + 1

Parte VIII

:

Sustici´on Universal

11. Utilice la sustituci´on u = tan¡x

2

¢

, u = tan x, u = sen x ´o u = cos x, para hallar las siguientes integrales de funciones racionales en t´erminos de las funciones sen x y cos x:

11.1) Z dx 1 + sen x + cos x 11.2) Z dx 3 + 5 cos x 11.3) Z cos x 1 + cos xdx 11.4) Z dx sen x + cos x 11.5) Z sen x 1 − sen xdx 11.6) Z dx 8 − 4 sen x + 7 cos x 11.7) Z dx a cos x + b sen x 11.8) Z 1 + tan x 1 − tan xdx 11.9) Z dx 1 + 3 cos2_x 11.10) Z dx

sen2_{x + 3 sen x cos x − cos}2_x 11.11)

Z cos 2x cos4_{x − sen}4_xdx 11.12) Z 1 − sen x + cos x 1 − sen x − cos xdx 11.13) Z dx 6 − 5 sen x + sen2_x 11.14) Z cos x sen2_{x − 6 sen x + 5}dx 11.15) Z dx 3 sen2_{x + 5 cos}2_x 11.16) Z 3dx 3 + 2 sec x 11.17) Z dx 5 + 4 cos 2x 11.18) Z 2dx 3 sen 2x + 1 11.19) Z sen2_x 1 + sen xdx 11.20) Z sen 2x sen x + cos xdx 11.21) Z dx (2 + cos x) sen x 11.22) Z dx (2 − sen x)(3 − sen x) 11.23) Z dx 3 sen2_{x + 5 cos}2_x 11.24) Z dx 2 sen x + cos x + 3 11.25) Z sen x (1 − cos x)2dx 11.26) Z cos 2x sen4_{x + cos}4_xdx 11.27) Z 1 + 2 sen x cos x sen x + cos x dx

(23)

UNIDAD III

Pr´acticas: 4 y 5

Aplicaciones de la integral definida:

• Areas de regiones planas´

• S´olidos de Revoluci´on

• Longitud de arco y superficies de Revoluci´on

(24)

Pr´

actica 4

´

Areas ∼ Vol´umenes ∼ Longitud de arco ∼ Superficies de revoluci´on

Prof. Andr´

es P´

erez

Parte I

:

Areas

´

1. Halle el área de la región limitada por las gráficas de las funciones y + 4 = x2 _{y y − x = 2.}

2. Halle el área de la región encerrada entre las parábolas x = y2_{y x = −2y}2_{+ 3.}

3. Calcule el área de la región limitada por las gráficas de y = x + 1, y = −x + 1 y y = 2x − 4. 4. Calcule el área de la región limitada por f(x) = −2x2_{+ 8x − 7 y g(x) = x − 4.}

5. Halle el ´area de un circulo de radio r.

6. Calcule el ´area de la regi´on R, limitada por las curvas x =p16 − y2_{y x}2_{= 6|y|.}

7. Considere la región limitada por las curvas x = (y + 1)2_{− 1 y x = 1 − |y + 1|. Halle el área de dicha región.}

8. Halle el valor positivo de b, para que el ´area de la regi´on limitada por las curvas x = −y2_{+ 3y} _y _{y = x + b}2_{− 1}

sea 36 m2_.

9. Encuentre el área de la región limitada por las gráficas de las funciones y = | sen x| y y = 1, con 0 ≤ x ≤ 2π. 10. Determine el área de la región limitada por: y = cos x; y = sen x y 0 ≤ x ≤ 2π.

11. Considere la región R, limitada por las siguientes gráficas y − x = 6; y = x3 _{y 2y + x = 0. Encuentre el área de dicha}

regi´on.

12. Determine el ´area de la regi´on acotada por las siguientes curvas y = ex_{; y = e}−x _{y x = ±1.}

13. Halle el área de la región acotada por las gráficas de las siguientes curvas y = x3_{− x y y = x.}

14. Determine el área de la región encerrada por las gráficas de las siguientes curvas y =√x y y = x 3.

15. A continuación se da una región R ⊂ R2_{, limitada por ciertas curvas. Hallar el área de R.}

15.1) R =     (x, y) ∈ R 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y = x3 y = 8 x = 0      15.2) R =     (x, y) ∈ R 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y = x2_{+ 2x} 3y = 10 − x x = 2y      15.3) R =          (x, y) ∈ R2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y = x2+ 8 y = (x − 4)2 y = x − 2 x = 0          15.4) R =          (x, y) ∈ R2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y = sen x y = sen 2x x = 0 x = π          15.5) R = ± (x, y) ∈ R2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3y = 3x − x2 x = 2y ² 15.6) R = ± (x, y) ∈ R2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y = x2− 3x y = x3− 3x2 ² 15.7) R = ± (x, y) ∈ R2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y = sen x y =pπ2_{− x}2 ² 15.8) R =   (x, y) ∈ R 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y = cos x , en IIc y = tan x   

(25)

25

Parte II

:

S´olidos de Revoluci´on

16. Halle el volumen del sólido de revolución, que se genera al hacer girar la región acotada por las gráficas de las siguientes funciones alrededor del eje indicado.

16.1) x = y2_; _{y = x − 2} _{alrededor del eje x = 0}

16.2) y = 4x2; y = 8 − 4x alrededor del eje x = 1 16.3) 16y = 3x2_{+ 48 ;} _{16y = x}2_{+ 80} _{alrededor del eje y = 2}

16.4) x = 4 + 6y − y2 _{alrededor del eje x = 4}

16.5) y = x2+ 2 ; 2y = x + 2 ; x = 0 ; x = 1 alrededor del eje y = 0 16.6) xy = 2 ; x = 0 ; y = 1 ; y = 6 alrededor del eje x = 0 16.7) g(x) =√x ; f(x) = x2 _{alrededor del eje x = −3}

16.8) x = 1 − |y + 1| ; x = (y + 1)2− 1 alrededor del eje x = 4 16.9) y =pπ2_{− x}2_; _{y = sen x} _{alrededor del eje x = 5}

16.10) y = −x2_{+ x + 12 ;} _{y = x − 4} _{alrededor del eje x = −5}

16.11) y = 2√x ; y = x alrededor del eje y = 0 16.12) x = y2_; _{y = x − 2} _{alrededor del eje x = 0}

16.13) y = 4x2_; _{y = 8 − 4x} _{alrededor del eje x = 1}

16.14) y = −x2+ x + 12 ; y = x − 4 alrededor del eje y = 1

16.15) 1 =x2 4 +

y2

9 alrededor del eje x = 0 16.16) y = x2+ 2 ; 2y = x + 2 ; x = 0 ; x = 1 alrededor del eje y = 0 16.17) y = x2+ 2 ; 2y = x + 2 ; x = 0 ; x = 1 alrededor del eje x = 0

16.18) y = 1

x; x = 1 ; x = 2 ; y = 0 alrededor del eje x = −5 16.19) 1 =x

2

4 + y2

9 alrededor del eje x = 3 16.20) y = 2 − |x| ; y = −p4 − x2 _{alrededor del eje y = 2}

(26)

Parte III

:

Longitud de Arco

17. Calcular la longitud de arco de las siguientes funciones en los valores indicados.

17.1) y = x2−ln x 8 entre x = 1 y x = e 17.2) y2− x = 0 entre (0, 0) y (1, 1) 17.3) y = 5 −√x3 _entre _{x = 1} _{y x = 4} 17.4) y = x 3 12+ 1 x entre x = 1; y x = 2 17.5) y = 5x2/3_{− 10} _entre _{x = 8} _{y x = 27} 17.6) y = x 4_{+ 3} 6x entre x = 1 y x = 4 17.7) y = r³ 4 −√3x2´3 _entre _{x = 1} _{y x = 8} 17.8) x = y 4 16 + 1 2y2 entre y = −2 y y = −1 17.9) 30xy3_{− y}8_{= 15} _entre ₍8 15, 1) y (271240, 2) 17.10) 12xy − 4y4_{= 3} _entre ₍7 12, 1) y (6724, 2)

Parte IV

:

Superficies de Revoluci´on

18. Determine el ´area de la superficie de revoluci´on generada al girar la curva dada en torno al eje indicado. 18.1) y =√x con 0 ≤ x ≤ 1 alrededor del eje x

18.2) y = 1 12x3+

x5

5 con 1 ≤ x ≤ 2 alrededor del eje y 18.3) x =y

4

8 + 1

4y2 con 1 ≤ y ≤ 2 alrededor del eje x

18.4) y =2 3x

3/2 _{con 1 ≤ x ≤ 2} _{alrededor del eje y}

(27)

27 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre”

Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas

Pr´

actica 5

Coordenadas Polares

Prof. Andr´

es P´

erez

1. Grafique las siguientes funciones dadas en coordenadas polares. 1.1) r = 5 1.2) θ = −π

6 1.3) r = 2 cos θ 1.4) r = 4(1 − sen θ) 1.5) r = 8 cos 3θ 1.6) r2= 4 cos 2θ

1.7) r2_{= 9 sen 2θ} _{1.8) r =}θ 2 1.9) r = e θ 1.10) r = 2 θ 1.11) r = 4 − 4 cos θ 1.12) r = 4 cos 2θ 1.13) r = 3 sen 3θ 14) r = 6 sen 3θ 1.15) r = −1 θ 2. Determine el área de la región dentro de la imagen del limazón r = 2 + cos θ.

3. Determine el área de un pétalo de la rosa de cuatro pétalos r = 4 sen 2θ.

4. Determine el ´area de la regi´on fuera del cardioide r = 1 + cos θ y dentro del c´ırculo r =√3 sen θ.

5. Determine el área de la región fuera del ciclo menor y dentro del ciclo mayor del limazón r = 3 − 6 sen θ. 6. Determine el área de la región fuera del cardioide r = 2 + 2 sen θ y dentro del cardioide r = 2 + 2 cos θ. 7. Determine el área de la rosa de tres pétalos r = 4 cos 3θ en la región encerrada por ella.

(28)

UNIDAD IV

Pr´acticas: 6 - 7 - 8 y 9

Integraci´on impropia y Sucesiones:

• Trabajo Mec´anico y Fuerza Hidrost´atica

• Centro de masa de l´aminas homog´eneas

• Teorema de Pappus

• Integrales impropias

(29)

Pr´

actica 6

Trabajo Mec´anico ∼ Fuerza Hidrost´atica

Prof. Andr´

es P´

erez

Parte I

:

Trabajo (Vaciado de Tanques)

1. Un tanque c´onico reposa sobre su base que est´a a nivel del suelo y su eje es vertical. El tanque tiene un radio de 5 pies y una altura de 10 pies. Calcule el trabajo realizado al llenar este tanque con agua bombeada desde el nivel del suelo. Nota: Considere δ=62.4 libras/pie3_.

2.

Suponga que el tanque del ejercicio anterior está boca arriba, es decir, su vértice está al nivel del suelo y su base se encuentra a 10 pies sobre el suelo.

Nota: Su eje sigue siendo vertical.

3. Un tanque cuyo punto m´ınimo está a 10 pies sobre el suelo tiene la forma de un tazón, obtenida esta al hacer girar la parábola x2_{= 5y, con −5 ≤ x ≤ 5, en torno al eje y. Las unidades de los ejes coordenados están en pies. ¿Cuánto trabajo}

se realiza al llenar este tanque con petr´oleo cuya densidad es de 50 libras/pie3_{, si el petr´oleo se bombea desde el nivel del}

suelo? 4.

La gasolina de una estación de servicio se guarda en un tanque cil´ındrico enterrado a un lado de la estación, de modo que la parte más alta del tanque está 5 pies debajo de la superficie. El tanque tiene 6 pies de diámetro y 10 pies de largo. Suponga que la densidad de la gasolina es una constante γ, cuyas unidades están dadas en libra/pie3_{. ¿Cuánto}

trabajo se realizar´a al vaciar toda la gasolina de este tanque, inicialmente lleno a todos los autom´oviles?

5. Considere un tanque esférico para agua, cuyo radio es de 10 pies y cuyo centro está a 50 pies del suelo. ¿Cuánto trabajo se necesita para llenar este tanque, bombeando agua desde el nivel suelo?.

Sugerencia: Los c´alculos pueden ser m´as simples si hace y = 0 en el centro del tanque y se piensa en la distancia que debe levantarse cada rebanada de agua.

6. Un tanque semiesférico de radio 10 pies está colocado, de modo que, su lado plano reposa sobre una torre de 60 pies de altura. ¿Cuánto trabajo se necesita para llenar este tanque con petróleo de densidad 50 libras/pie3_{, si el petróleo debe}

(30)

7.

En un Hospital, acaban de construir un nuevo contenedor de agua (véase la figura). Sus elementos principales consisten, en un tanque esférico que tiene un radio interno de 10 pies y un largo tubo para llenar de 30 pies de largo. El tubo para llenar es cil´ındrico con radio interno de 1 pie. Suponga, que se bombea agua desde el piso hasta el tanque, por medio del tubo. ¿Cuánto trabajo se necesita para llenar el tubo y el tanque con agua?

8. Encuentre el trabajo que se debe realizar, para vaciar los tanques con las dimensiones se˜naladas.

Parte II

:

Fuerza Hidrost´atica

9. En los siguientes problemas se describe una compuerta en la cara vertical de una presa. Detrmine la fuerza total del agua sobre la compuerta, si la parte superior est´a a 10 pies debajo de la superficie del agua.

9.1) Un cuadrado de lado igual a 5 pies, cuya parte superior es paralela a la superficie del agua. 9.2) Un c´ırculo de radio 3 pies.

9.3) Un tri´angulo is´osceles de 5 pies de altura y 8 pies de base.

9.4) Un semic´ırculo de radio 4 pies, cuya orilla superior es su di´ametro (paralelo a la superficie del agua)

10. Suponga que una presa tiene la forma de un trapecio con una altura de 1000 pies, 300 pies de largo en la parte superior y 200 pies de largo en el fondo. ¿Cu´al es la fuerza total que ejerce el agua sobre la presa, cuando el nivel del agua detr´as de la presa llega hasta su parte superior?

11. Una presa de 60 pies de altura tiene forma de trapecio, el ancho de la parte superior es de 100 pies y de la base 40 pies. Halle la fuerza hidrost´atica si el nivel de agua desciende 10 pies por efecto de una sequ´ıa.

12.

Suponga que la presa de la figura tiene las siguientes medidas: L = 200 pies de largo y T = 30 pies de ancho en su base. Determine la fuerza del agua sobre la presa, si el agua, tiene una profundidad de 100 pies y el extremo inclinado de la presa da cara al agua.

(31)

Pr´

actica 7

Centro de Masas ∼ Teorema de Pappus

Prof. Andr´

es P´

erez

1. Calcule la masa de un bate de b´eisbol, con las siguientes caracter´ısticas: El bate tiene 30 pulgadas de longitud y cuya densidad de masa es δ(x) = µ 1 46+ x 690 ¶2

slugs/pulgada (los slugs son unidades para medir en el sistema ingl´es). Esta densidad, tiene en cuenta el hecho de que el bate de b´eisbol es semejante a un cono alargado. Halle entonces la masa del objeto.

2. Calcule el centro de masa del bate del ejercicio anterior.

3. Calcule la masa y el centro de masa de un objeto cuya densidad es δ(x) = x

6 + 2 Kg/m, 0 ≤ x ≤ 6. Explique brevemente en términos de la función densidad, ¿por qué el centro de masa no está en x = 3?

4. Las siguientes figuras describen l´aminas de acero, cuya densidad asumiremos constantemente igual a δ. Determine el centroide en cada una de estas regiones:

5. Determine el centroide en una lámina de acero con den-sidad constante, determinada por la región acotada entre las gráficas de las curvas y = x2_{− x − 6 y y = 9 − x.}

6. Determine el centroide en una lámina de acero con den-sidad constante, determinada por la región encerrada por las gráficas de las siguientes curvas y =√x y y = x

3. 7. Determine el centroide en una l´amina de acero con den-sidad constante, determinada por la regi´on limitada por f(x) = −2x2_{+ 8x − 7 y g(x) = x − 4.}

8. Utilice el Teorema de Pappus, para hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar la zona delimitada por las gráficas de f(x) = −2x2_{+8x−7 y g(x) =}

x − 4, alrededor del eje x = 8.

9. Utilice el Teorema de Pappus, para hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar la zona delimitada por las gráficas de f(x) = 3 − (x + 1)2 _{y g(x) =}

1 − x, alrededor del eje y = 4.

10. Utilice el teorema de Pappus, para determinar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la región delimitada por las gráficas de f(x) = cos x y g(x) = tan x, con 0 ≤ x < π

2, alrededor de x = π 2.

(32)

Pr´

actica 8

Integraci´on impropia ∼ Integrandos discontinuos

1. Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes, en caso de que sean convergentes halle su valor.

1.1) Z_∞ 2 dx √ x + 3 1.2) Z_∞ 1 ln x x dx 1.3) Z_∞ 2 dx (x + 3)3/2 1.4) Z∞ 0 dx (2 + x)(3 + x) 1.5) Z∞ 0 cos x dx 1.6) Z3 −∞ dx x2_{+ 9} 1.7) Z_∞ 0 arctan x 1 + x2 dx 1.8) Z₁ −∞ dx (2x − 3)2 1.9) Z_∞ 2 dx 3 √ 5x − 8 1.10) Z_∞ 1 dx 2x +√3_{x + 1 + 5} 1.11) Z_∞ 0 e−2xcos bx dx 1.12) Z_∞ 0 sen x dx 1.13) Z_∞ 0 e−xdx 1.14) Z₀ −∞ e3xdx 1.15) Z_∞ e dx x. ln2x 1.16) Z_∞ 0 x x2_{+ 5x + 6}dx 1.17) Z_∞ 1 sen πx dx 1.18) Z_∞ 0 5 2x + 3dx 1.19) Z₋₁ −∞ xe2x_dx _1.20) Z_∞ 1 ln x x2 dx 1.21) Z_∞ 1 ln x x3 dx

2. Suponga que la integral _Z

∞ −∞

f(x) dx = L < ∞ es decir, converge. Suponga adem´as, que a, b ∈ R, con a 6= b. Demuestre que

Z_a −∞ f(x) dx + Z_∞ a f(x) dx = Z_b −∞ f(x) dx + Z_∞ b f(x) dx 3. 3.1) Demuestre que: Z_∞ −∞ x dx diverge.

3.2) Demuestre que: lim

t→∞

Z_t

−t

x dx = 0

Esto evidencia que

NO

podemos definir _Z

∞ −∞ f(x) dx = lim t→∞ Zt −t f(x) dx

(33)

33 4. Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes, en caso de que sean convergentes halle su valor.

4.1) Z_∞ −∞ e−|x|dx 4.2) Z_∞ −∞ x.e−xdx 4.3) Z_∞ −∞ x2.e−x3dx 4.4) Z_∞ −∞ xe−x2dx 4.5) Z_∞ −∞ x 1 + x2dx 4.6) Z_∞ −∞ dx x2_{+ 4x + 9} 4.7) Z_∞ −∞ dx 3 √ x − 1 4.8) Z_∞ −∞ x dx 4.9) Z_∞ −∞ (2x2_{− x + 3) dx}

5. Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes y en caso de que converjan, halle su valor. 5.1) Z4 0 dx x√x 5.2) Z9 −1 dx 3 √ x − 9 5.3) Z2 −1 dx x2 5.4) Z8 3 dx (5 − x)2/5 5.5) Z₂ −2 dx x2_{− 1} 5.6) Z_π/2 π/4 sec2_{x dx} _5.7) Z_π/2 0 cos x √ sen xdx 5.8) Z₁ 0 x. ln x dx 5.9) Z₂ 0 dx 4x − 5 5.10) Z₇ −3 dx (x2_{− 1)(x + 3)} 5.11) Z₄ 0 dx x2_{+ x − 6} 5.12) Z_π/2 π/4 tan2x dx 5.13) Z3 0 dx √ x 5.14) Zπ 0 sec x dx 5.15) Z6 −1 dx x2_{− 5x − 6} 5.16) Z2 0 x − 3 2x − 3dx 6. Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes y en caso de que converjan, halle su valor.

6.1) Z_∞ −∞ 3x2_{− 4x + 5} (x − 1)(x2_{+ 1)}dx 6.2) Z_∞ 4 x2 √ x2_{− 4x}dx 6.3) Z_∞ 0 dx x3/4_{− x}5/4 6.4) Z_∞ −1 1 x2 r 1 +1 xdx 6.5) Z_∞ 0 dx √ x(1 + x) 6.6) Z_∞ 2 dx (3 + x)√x − 2 7. Calcule el valor de K, para el cual las siguientes integrales convergen.

7.1) Z_∞ 0 µ 1 √ x2_{+ 4}− K x + 2 ¶ dx 7.2) Z_∞ 0 µ x x2_{+ 1}− K 3x + 1 ¶ dx y evalue la integral para dicho valor de K.

8.

Sean f, g ∈ C[a, ∞], tales que: f(x) ≥ g(x), para todo x ≥ a. El Teorema de Com-paraci´on y Acotamiento, establece que:

1. Si Z∞ a f(x) dx converge =⇒ Z∞ a g(x) dx converge 2. Si Z_∞ a g(x) dx diverge =⇒ Z_∞ a f(x) dx diverge 8.1) Z∞ 1 sen2_x x2 dx 8.2) Z∞ 1 p 1 +√x x dx 8.3) Z∞ 1 dx x + e2x 8.4) Z_∞ 1 1 √ x3_{+ 1}dx 8.5) Zπ 2 0 dx x sen x 8.6) Z₁ 0 dx ex√_x

(34)

9. Determine los valores de p, para los cuales las integrales 9.1) Z₁ 0 dx xp 9.2) Z_∞ e dx x(ln x)pdx 9.3) Z₁ 0 xpln x dx convergen y realice la evaluaci´on para dichos valores.

10. Demuestre que _Z ∞ 0 x2_e−x2 dx = 1 2 Z∞ 0 e−x2 dx

11. Demuestre que la integral de Euler de 1era _especie

(Funci´on Beta) B(p, q) = Z1 0 xp−1_{(1 − x)}q−1_dx es convergente cuando p > 0 y q > 0.

12. Demuestre que la integral de Euler de 2da _especie

(Funci´on Gamma) Γ (p) = Z∞ 0 xp−1_e−x_dx es convergente cuando p > 0. 13. Utilice el ejercicio 12, para:

13.1) Calcular Γ (1), Γ (2), Γ (3).

13.2) Demuestre que Γ (p + 1) = pΓ (p). Ayuda: Integre por partes.

14. Una funci´on de densidad de probabilidad, se define como una funci´on ρ : I −→ R, que cumple las siguientes condiciones:

i) ρ(t) > 0, para todo t ∈ I y ρ(t) = 0 en otro caso. ii)

Z

I

ρ(t) dt = 1.

14.1) Considere f : R −→ R, definida por f(x) = ce−cx_{, para x ≥ 0 y c ∈ R}+ _{y 0 en otro caso. Demuestre que f, es una}

funci´on de probabilidad en R. 14.2) Calcule el promedio µ =

Z_∞

−∞

xf(x) dx 14.3) Calcule la desviaci´on est´andar σ =

·Z_∞

−∞

(x − µ)2_{f(x) dx}

¸1/2

15. Si f(t) es una funci´on continua pata todo t ≥ 0, la Transformada de Laplace de f, es una funci´on F, definida por F(s) =

Z_∞

0

f(t)e−st_dt

donde el dominio de F, es el conjunto de todos los valores s, para los cuales converge la integral. Encuentre la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:

15.1) f(t) = k, k ∈ R 15.2) f(t) = ekt_, _{k ∈ R} _{15.3) f(t) = t}k_, _{k ∈ N}

(35)

Pr´

actica 9

Sucesiones num´ericas

Prof. Andr´

es P´

erez

1. Para cada una de las siguientes sucesiones, halle la fórmula del término n-ésimo an, e indique para que valor de n inicia

dicha fórmula. 1.1) 1, 2, 3, 4, . . . 1.2) 1, 3, 5, 7, . . . 1.3) 2, 4, 6, 8, . . . 1.4) 3, 6, 9, 12, . . . 1.5) 3, 5, 7, 9, . . . 1.6) 1, 8, 27, 64, . . . 1.7) 1,1 4, 1 9, 1 16, . . . 1.8) 1 2, 2 3, 3 4, 4 5, . . . 1.9) 7, 9, 11, 13, . . . 1.10) 0, 1, 0, 1, 0, . . . 1.11) 2, 6, 18, 54, . . . 1.12) 2, 3, 5, 8, 11, . . . 1.13) 2, 4, 6, 8, 10, . . . 1.14) 1 3, − 4 5, 9 7, − 16 9 , . . . 1.15) 1 3, − 4 5, 9 7, − 16 9 , . . . 1.16) 5 2, 7 4, 9 6, 11 8 , . . . 1.17) 1 2, 1 6, 1 12, 1 20, . . . 1.18) 1 2, 2 4, 3 8, 4 16, . . . 1.19) 4 7, 7 9, 10 11, 13 13, . . . 1.20) 1 1 · 3, 1 3 · 5, 1 5 · 7, . . . 1.21) 1 2 · 5, 1 5 · 8, 1 8 · 11, . . . 1.22) 2 1 · 3, 4 2 · 5, 6 3 · 7, . . . 1.23) 1 · 3, 2 · 9, 3 · 27, . . . 1.24) − 5, 10, −17, 26, . . . 2. Se deja caer una pelota desde una altura inicial de 15 pies sobre una losa de concreto. Cada vez que rebota alcanza una altura equivalente a 2₃ de la altura anterior. Determine la altura que alcanza en el tercer rebote y en el n-ésimo rebote. 3. Un objeto se deja caer desde una gran altura, de tal manera que recorre 16 pies durante el primer segundo, 48 pies durante el segundo instante de tiempo, 80 pies durante el tercero y as´ı sucesivamente. ¿Cuánto recorre el objeto durante el sexto segundo?

4. Sea {an}n≥1, una sucesi´on infinita con t´ermino general an. Determine cual de las siguientes sucesiones converge o diverge

y en caso de que converjan halle su l´ımite. 4.1) an= 1 5n 4.2) an= 4 √ n 4.3) an= n2_{− 1} n2_{+ 1} 4.4) an= 4n − 3 3n + 4 4.5) an= n 2 n + 1 4.6) an= arctan 2n 4.7) an= cos ¡_nπ 2 ¢ 4.8) an= (−1)n n 2 1 + n3 4.9) an=³ π 3 ´n 4.10) an= 3 + (−1) n n2 4.11) an= n 2 µ 1 − cos 1 n ¶ 4.12) an = 4n 3_{+ 3n}2_{+ 1} 5n3_{+ 3} 4.13) an= n2−n 4.14) an= ln(2 + en₎ 3n 4.15) an= 1 + (−1) n _{4.16) a} n = sen n2 n 4.17) an= √ n + 8 −√n 4.18) an= cos 2_n 2n 4.19) an= 2n 3n_{+ 1} 4.20) an = 5 − 2−n 6 + 4−n 4.21) an= ln(n + 1) − ln n 4.22) an= µ 1 − 4 n ¶n 4.23) an= e n_{− e}−n en_{+ e}−n 4.24) an = 5 + 5n 3n

(36)

4.25) an= 10(n+1)/n 4.26) an = n √ n 4.27) an = n2/(n+1) 4.28) an= √ n(√n + 1 −√n) 4.29) an= cos 2nπ n 4.30) an = en n4 4.31) an = (−1) ncos n n2 4.32) an= Ã 3m√_n mp₂m_{(n + 1)} !nm 4.33) an= n µ n + 2 2n − 3 ¶1 n − 1 4.34) an = µ n + 1 n − 1 ¶2n−1 4 4.35) an = 2 n n! 4.36) an= µ 1 2 ¶n + 1 4.37) an= Zn 1 1 xpdx 4.38) an = π −sen 2nπ n 4.39) a_n = ln 2_n n 4.40) an= 13_{+ 2}3_{+ · · · + n}3 n4 4.41) an= µ 1 2+ 1 6n ¶n 4.42) an = ln 2n ln 3n 4.43) an = sen n 3n 4.44) an= (2n + 1) 1 n 4.45) an= n 2/3_{sen n!} n + 1 4.46) an = n 3_sen µ 2 n3 ¶ 4.47) an = n 5_{+ 1} 4n2 4.48) an= n p n2_{+ n} 5. Sucesi´on de Fibonacci:

5.1) Suponga que la vida de los conejos es eterna y que cada mes una pareja procrea una nueva pareja, que es fértil al mes. Si comenzamos con una pareja de recién nacidos. Demuestre que si F1= 1 y F2= 1, entonces la sucesión de Fibonacci, {Fn}

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . est´a dada por la f´ormula recurrente

Fn+1= Fn+ Fn−1, n ≥ 3

5.2) Verifique que el t´ermino general de la sucesi´on es Fn= √1 5 Ã 1 +√5 2 !n −√1 5 Ã 1 −√5 2 !n

demostrando que esta expresi´on satisface la f´ormula recurrente. 5.3) Sea fn= Fn+1

Fn . Demuestre que fn−1= 1 +

1 fn−2.

5.4) Sea {Fn} la sucesi´on de Fibonacci, dada en (5.2). Demuestre que

lim n→∞ Fn+1 Fn = 1 +√5 2 6. Calcule el l´ımite de la siguiente sucesi´on

± √ 2, q 2√2, r 2 q 2√2, . . . ²

7. Se˜nale si las siguientes sucesiones son mon´otonas.

7.1) an = 1 3n + 5 7.2) an = 3 + (−1)n n 7.3) an= n − 2 n + 2 7.4) an= √ n + 1 5n + 3 8. Demuestre que si xn+1= 1₂ ³ xn+ _x2_n ´

, para n ≥ 1 y adem´as lim

n→∞xn existe, entonces la sucesi´on {xn} converge a

√

2 o bien a −√2.

(37)

37 9. Si a1= 3 y an+1= _a1_n, para todo n ≥ 1. Calcule lim

n→∞an.

10. Si a1=

√

2 y an+1=

√

1 + an, para todo n ≥ 1. Calcule lim_n→∞an.

11. Si a1= 2 y an+1= 1₂(an+ 4), para todo n ≥ 1. Calcule lim n→∞an. 12. Demostrar que _± √ 2, q 2 +√2, r 2 + q 2 +√2, . . . ² converge a 2.

13. Demostrar que si {an} es una sucesi´on que converge a cero y {bn} es una sucesi´on acotada, entonces {anbn}, converge a

cero.

14. Sean {an}, {bn} y {cn} sucesiones tales que lim

n→∞an = limn→∞cn = 1 y an≤ bn≤ cn, para todo n. Demostrar que

lim

n→∞bn= 1.

15. Demuestre que si {an} y {bn} son dos sucesiones divergentes, entonces la sucesi´on {an+ bn}, tambi´en diverge.

16. Sean {an} y {bn} dos sucesiones convergentes. Demostrar que

lim

n→∞(an+ bn) = limn→∞an+ limn→∞bn

17. Dar ejemplos de sucesiones {an} y {bn} tales que lim_n→∞an= lim_n→∞bn = 0, pero

17.1) lim n→∞ an bn = 0 17.2) n→∞lim an bn = +∞ 17.3) lim n→∞ an bn no existe 17.4) n→∞lim an bn = −∞

18. Demostrar que si {an} es una sucesi´on convergente y {bn} es una sucesi´on tal que bn 6= 0, para todo n y lim

n→∞bn= ∞, entonces lim n→∞ an bn = 0

19. Demostrar que la sucesi´on ¯ n! nn ° n≥1 , converge a cero.

20. Utilice el teorema de sucesiones mon´otonas y acotadas para hacer un estudio de la convergencia de las siguientes sucesiones 20.1) ¯ 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) 2n_n! ° n≥1 20.2) ¯ n! 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) ° n≥1

21. Dada la sucesi´on {an} definida por an= arn−1, donde a y r son constantes. Se define la sucesi´on {Sn} por

Sn= a1+ a2+ · · · + an

21.1) Deducir que:

Sn = a − ar n

1 − r 21.2) Demostrar que {Sn} converge si y s´olo si |r| < 1.

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