LISTA DE EJERCICIOS PARA EL SEGUNDO EXAMEN PARCIAL DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
PROFESORA: MARGARITA AMARO ARANDA octubre 2011
1.- En un taller de servicio automotriz se sabe que 45% de todas las afinaciones se realizan en autom´oviles de 4 cilindros, 40 % en automi´oviles de 6 cilindros y 15 % en autom´oviles de 8 cilindros. Sea X el n´umero de cilindros en el siguiente carro que va a ser afinado.
a) Encuentre la funci´on de probabilidades de X y graf´ıquela. b) Encuentre la funci´on de distribuci´on acumulativa y graf´ıquela . c) A partir de lo anterior calcule las siguientes probabilidades: P (X < 6), P (X > 2) y P (2 ≤ X ≤ 4)
d) Encuentre el valor esperado y la varianza de X.
2.- Una empresa de ventas en ´ılnea dispone de seis l´ıneas. Sea X el n´umero de l´ıneas en uso en un tiempo especificado. Suponga que la funci´on de probabilidad es la siguiente: x p(x) 0 0.1 1 0.15 2 0.2 3 0.25 4 0.2 5 0.06 6 0.04
a) Calcule la funci´on de distribuci´on acumulativa Calcule las probabilidades de que:
b) Cuando mucho tres l´ıneas est´en en uso
d) Por lo menos cuatro l´ıneas no est´an en uso. e) Encuentre el valor esperado y la varianza de X.
3.- Para un asegurado seleccionado al azar de una compa˜n´ıa de seguros, sea X el n´umero de meses entre pagos sucesivos. La funci´on de distribuci´on acumulativa es la siguiente: F(x) 0 x < 1 0.3 1 ≤ x < 3 0.4 3 ≤ x < 4 0.45 4 ≤ x < 6 0.6 6 ≤ x < 12 1 12 ≤ x
a) Calcule la funci´on de probabilidad
b) Calcule P (X < 6), P (X ≥ 4) yP (3 ≤ X ≤ 6) c) Encuentre el valor esperado y la varianza de X.
4.- El error implicado al hacer una medici´on es una variable aleatoria continua X con funci´on de densidad de probabilidad
f (x) = k(4 − x2) −2 ≤ x ≤ 2
0 de otro modo
a) Encuentre el valor de k y bosqueje la grfica de f (x) b) Calcule P (X > 0)
c) P (−1 ≤ X ≤ 1) d) P (X < −0.5oX > 0.5)
e) Calcule la funci´on de distribuci´on acumulativa. f) El valor esperado y la varianza de X.
5.- El peso de lectura real de una pastilla de est´ereo ajustado a 3 gramos en un tocadiscos particular puede ser considerado como una variable aleato-ria continua X con funci´on de densidad de probabilidad
f (x) = k(1 − (x − 3)2) 2 ≤ x ≤ 4
0 de otro modo
a) Trace la gr´afica de f (x) b) Determine el valor de k
c)¿Cu´al es la probabilidad de que el peso real de lectura sea mayor que el peso preescrito?
d)¿Cu´al es la probabilidad de que el peso real de lectura est´e dentro de 0.25 gramos del peso preescrito?
e)¿Cu´al es la probabilidad de que el peso real de lectura difiera del peso preescrito en m´as de 0.5 gramos?
f) Encuentre la funci´on de distribuci´on acumulativa. g) Calcule el valor esperado y la varianza de X.
6.- Una compa˜n´ıa ha planeado presentaciones de ventas a una docena de clientes importantes. La probabilidad de recibir un pedido como resultado de tal esfuerzo se estima en 0.5.¿Cu´al es la probabilidad de recibir cuatro o ms pedidos como resultado de las presentaciones?
7.- Un proceso de producci´on que manufactura transistores genera, en promedio una fracci´on de 2% de piezas defectuosas . Cada dos horas se toma una muestra aleatoria de tamao 50. Si la muestra contiene m´as de dos piezas defectuosas, el proceso debe interrumpirse. Determine la probabili-dad de que el proceso se ingterrumpa.
8.- Se sabe que el proceso de producci´on de luces direccionales para au-tom´ovil produce 1% de luces defectuosa. si ste valor permanece invariable y se selecciona al azar una muestra de 100 luces, encuentre P (p ≤ 0.03), donde p es la fracci´on de defectos en la muestra.
9.-Una compa˜n´ıa que fabrica equipo aeroespacial ha construido cinco misiles. La probabilidad de realizar un disparo exitoso con ellos es, en cualquier prueba 0.95. Suponiendo lanzamientos independientes. ¿Cu´al es la probabilidad de la primera falla ocurra en el quinto disparo?
10.- Un agente de bienes ra´ıces estima que su probabilidad de vender una casa es de 0.1. Cierto d´ıa tiene que ver a cuatro clientes. Si tiene ´exito en las primeras tres visitas ¿Cu´al es la probabilidad de que su cuarta visita no sea exitosa?
11.-Suponga que se van a realizar cinco experimentos de laboratorio id´enticos de manera independiente. Cada experimento es en extremo sensi-ble a las condiciones ambientales, y s´olo hay una probabilidad p de que se realicen con ´exito. Indique como una funci´on de p, la probabilidad de que el quinto experimento sea el primero que falle. Obtenga matem´aticamente el valor de p que maximice la probabilidad de que el quinto ensayo sea el primer ensayo no exitoso.
12.- La probabilidad de que un submarino hunda un barco enemigo con un disparo de sus torpedos es de 0.8. Si los disparos son independientes, determine la probabilidad de un hundimiento a causa de los primeros dos disparos, y a consecuencia de los primeros tres.
13.- Un cliente entra a una agencia de autom´oviles cada hora. La proba-bilidad de que una vendedora cierre una transacci´on es de 0.10. Si ella debe continuar trabajando hasta que venda tres autos, ¿Cu´al es la probabilidad de que tenga que trabajar exactamente ocho horas? , ¿Y ms de ocho horas? 14.- Un comandante del ej´ercito desea destruir un puente enemigo. Cada avi´on que env´ıa tiene una probabilidad de 0.8 de conseguir un impacto di-recto sobre el puente. Para destruir ´este por completo se requieren cuatro impactos directos. Si el comandante puede preparar siete asaltos antes de que el puente pierda importancia desde el punto de vista t´actico. ¿Cu´al es la probabilidad de que el puente sea destruido?
15.- Cuatro compa˜n´ıas est´an entrevistando a cinco estudiantes universi-tarios para ofrecerles trabajo despu´es de que se grad´uen. Si se supone que los cinco reciben ofertas de cada compa˜n´ıa y que las probabilidades de que se les contrate son iguales. ¿Cu´al es la probabilidad de que una compa˜n´ıa emplee a los cinco? , ¿Y a ninguno de ellos?
16.- Un lote de 25 cinescopios a color se somete a un procedimiento de pruebas de calidad. El procedimiento consiste en extraer cinco cinescopios al azar, sin reemplazo, y probarlos. Si dos o menos fallan, los restantes se aceptan. De otro modo el lote se rechaza. suponga que el lote contiene
cuatro cinescopios defectuosos.
a) ¿Cu´al es la probabilidad exacta de que el lote se acepte?
b) ¿Cu´al es la probabilidad de aceptaci´on del lote calculada a partir de la distribuci´on binomial con p = 254?
17.- Un conmutador telef´onico recibe llamadas, de modo que el nmero de las mismas por hora sigue una distribuci´on de poisson con media 10. el equipo disponible puede manejar hasta 20 llamadas sin que se sobrecar-gue.¿Cu´al es la probabilidad de que ocurra dicha sobrecarga?
18.- El n´umero de globulos rojos por unidad cuadrada de sangre visible bajo el microscopio sigue una distribucii´on Poisson con media 4. Encuentre la probabilidad de que m´as de 5 gli´obulos rojos sean visibles para el obser-vador
19.- Una gran compa˜n´ıa de seguros ha descubierto que 0.2% de la poblaci´on resulta lesionada como resultado de algn tipo de accidente particular. Esta compa˜n´ıa tiene 15,000 asegurados que est´an protegidos contra tal accidente. ¿Cu´al es la probabilidad de que se entablen tres o menos reclamos en relaci´on con esa p´olizas de seguros durante el siguiente a˜no? , ¿Cinco o m´as reclamos? 20.- El personal de mantenimiento de cierta empresa llaga a un almac´en de herramientas solicitando ujna pieza de repuesto particular de acuerdo a una distribucin Poisson con parmetro λ = 2. Por lo general hay disponi-bilidad de tres unidades de esta pieza de repuesto. Si ocurren m´as de tres solicitudes, los obreros deben desplazarse una distancia considerable para obtener la herramienta de los almacenes centrales.
a) En un d´ıa cualquiera ¿Cu´al es la probabilidad de que se realice un viaje a los almacenes centrales?
b) ¿Cu´al es la demanda diaria esperada para la pieza de repuesto?
21.- Un telar experimenta una rotura de hilo aproximadamente cada 10 horas. Se est´a produciendo un estilo particular de telas que requiere 25 ho-ras de trabajo. si con tres o m´as roturas el producto es no satisfactorio, encuentre la probabilidad de que la tela se termine con calidad aceptable.
22.-Un libro de texto de matem´aticas tiene 200 p´aginas en las que pueden ocurri errores tipogr´aficos en las ecuaciones. Si hay cinco errores dispersos de manera aleatoria entre las 200 p´aginas, ¿Cu´al es la probabilidad de que una muetra aleatoria de 50 p´aginas contenga al menos un error?
23.- La probabilidad de que un veh´ıculo tenga un accidente en un cruce en particular es de 0.0001. Suponga que 10,000 veh´ıculos circulan diariamente por este cruce. ¿Cu´al es la probabilidad de que no ocurran accidentes?, ¿Cu´al es la probabilidad de ocurrencia de dos o m´as accidentes?
24.- Si la probabilidad de que un autom´ovil est´e implicado en un acci-dentees de 0.01 durante cualquier a˜no o ¿Cu´al es la probabilidad de tener dos o m´as accidentes durante cualquier periodo de manejo de 10 a˜nos?
25.- Suponga que el n´umero de accidentes que sufren los empleados que trabajan con granadas altamente explosivas durante cierto per´ıodo (por ejemplo, cinco semanas) se considera que sigue la distribuci´on de Poisson con par´ametro λ = 2. Encuentre la probabilidad que ocurran de 1 a 5 acci-dentes inclusive
26.- Se elige un punto al azar en el segmento de l´ınea [0,4]. ¿Cu´al es la probabilidad de que el punto se encuentre entre 12 y 134 ? ¿entre 214 y 338?
27.- El precio de apertura de cierta acci´on burs´atil se distribuye de man-era uniforme en el intervalo [ 3534, 4414]. ¿Cu´al es la probabilidad de que en cualquier d´ıa dado , este precio sea menor de 40? ¿entre 40 y 42?
28.- Se estima que el tiempo transcurrido hasta la falla de un cinescopio de televisi´on se distribuye exponencialmente con una media de tres a˜nos. Una compa˜n´ıa ofrece garant´ıa por el primer a˜no de uso. ¿Qu´e porcentaje de p´olizas tendr´a que pagar por este tipo de fallas ?
29.-Si una lavadora ha durado en uso ya 2 a˜nos y si su tiempo de vida se distribuye exponencialmente con media de 3 a˜nos , encuentre la probabili-dad que dure otros 3 a os.
30.- El tiempo de reabastecimiento de cierto producto cumple con la distribuci´on gamma con media de 5 y varianza de 25. Determine la prob-abilidad de que un pedido se en´ıe dentro de los dos das posteriores a su solicitud y dentro de los primeros 8 das. Y despu´es de los primeros diez d´as? 30.- Se sabe que el tiempo de falla de cierto transistor sigue la distribuci´on weibull con par´ametros γ = 0, β = 13 y δ = 400. Encuentre la probabilidad de que un transistor falle desp´es de 500 horas. Encuentre el tiempo
prome-dio de falla.
31.- La densidad del tiempo de falla correspondiente a un peque˜no sis-tema de computaci´on tiene una densidad de weibull con γ = 0, β = 14 y δ = 200.
a)¿que fracci´on de estas unidasdes durar´a 1000 horas? b)¿cu´al es el tiempo promedio de falla?
32.- El tiempo de entrega de pedidos de diodos de cierto fabricante cumple con la distribuci´on gamma con media 20 y varianza de 200. Deter-mine la probabilidad de enviar una orden dentro de los 15 d´ıas posteriores a la solicitud.
33.- Determine el valor de c que hace verdadero el enunciado de proba-bilidad. a) φ(c) = 0.94062 b)P (|Z|) ≤ c) = 0.95 c)P (|Z|) ≤ c) = 0.99 d)P (Z) ≤ c) = 0.05 34.- Si XN (80, 102), calcule: a)P (X ≤ 100) b)P (X ≤ 80) c)P (75 ≤ X ≤ 100) d) P (|X − 80| ≤ 19.6)
35.- El gerente de personal de una gran compa˜n´ıa requiere que los solici-tantes a un puesto efect´uen cierta prueba y alcancen una calificaci´on de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media de 485 y desviaci´on est´andar de 30. ¿Qu´e porcentaje de los solicitantes pasar´a la prueba ?
36.- Se sabe que cierta bombilla el´ectrica tiene una salida que se dis-tribuye normalmente con media de 2500 pie-candela y desviaci´on est´andar de 75 pie-candela. Determine un l´ımite de especificaci´on inferior, tal que s´olo 5% de las bombillas fabricadas sean defectuosas.
37.- El di´ametro interior de un anillo de pist´on se distribuye normalmente con media de 12 cent´ımetros y desviaci´on est´andar de 0,02 cent´ımetros . a) ¿Qu´e fracci´on de los anillos de pist´on tendr´a di´ametros que exceder´an
12.05 cent´ımetros ?
b) ¿Qu´e valor del di´ametro interior c tiene una probabilidad de 0.9 de ser excedido ?
c) ¿Cu´al es la probabilidad de que el di´ametro interior se encuentre entre 11.95 y 12.05 ?
38.- La dureza de Rockwell de una aleaci´on particular se distribuye nor-malmente con media de 70 y desviaci´on est´andar de 4.
a) Si un esp´ecimen se acepta s´olo si su dureza est´a entre 62 y 72. ¿Cu´al es la probabilidad de que un es´ecimen se encuentre elegido al azar tenga una dureza aceptable?
b) Si el intervalo aceptable de dureza fue de (70 − c, 70 + c) ¿para que valor de c 95% de los espec´ımenes tendr´ıa una dureza aceptable?
39.- Un ensamble consta de tres componentes colocados uno al lado del otro. La longitud de cada componente se distribuye normalmente con media de 2 pulgadas y desviaci´on est´andar de 0.2 pulgadas. Las especificaciones requieren que todos los ensambles tengan entre 5.7 y 6.3 pulgadas de longi-tud. ¿Cu´antos ensambles cumplir´an con estos requerimientos?
40.- Una m´aquina autom´atica se emplea para llenar cajas de detergente. Las especificaciones requieren que pesen entre 11.8 y 12.2 onzas. El con-tenido promedio es de 11.9 onzas con desviaci’on est’andar de 0.05 onzas. ¿Qu´e fracci´on de las cajas producidas es defectuosa ?
41.- Un proceso de producci´on fabrica ciertos art´ıculos de los cuales 8% son defectuosos. Se selecciona una muestra al azar de 200 art´ıculos cada d´ıa y el n´umero de art´ıculos defectuosos, digamos X es contabilizado. Con el empleo de la aproximaci´on normal a la binomial encuentre lo siguientre: a) P (X ≤ 16)
b) P (X = 15) c) P (12 ≤ X ≤ 20) d) P (X = 14)
