CODES APPLIED TO GRAPHS

(1)

CODES APPLIED TO

GRAPHS

Network

coding

Ángela Barbero

Universidad de Valladolid Universidad Complutense

(2)

Redes de

transporte

_transporte

a muelle d b c z refinería e 3 2 5 2 4 2 4

(3)

a muelle d b c z refinería e 3 2 5 2 4 2 4 2 2 1 1 1 0 2 Flujo 2 2 2 2 4 4 2 Flujo máximo

Flujo F en una red de transporte G :

es una asignación para cada arista de modo que

1. 2.

3. Conservación del flujo Valor del flujo

) , ( 0 , i j F_i _j ≥ ∀ ) , ( , , C i j F_i _j ≤ _i _j ∀ , ,

∑

= = k z k i i a F F F z a j F F k k j i j i, =

∑

, ∀ ≠ ,

∑

j i F _, _{( j}_i_, ₎

Flujo

(4)

Una red de comunicaciones

v

(5)

Una red de comunicaciones

v

í

_í

a sat

_{a sat}

é

_é

lite

_lite

transmisores satélites receptores 2 1, X X X₃ X₄, X₅, X₆ X₇ X₈

[

X₁, X₈

]

[

X₂, X₇

]

[ ]

X₄

[

X₅, X₆

]

[

X₃, X₅

]

[

X₃, X₇, X₈

]

(6)

SeaSea G=(V,E)G=(V,E) unun grafografo dirigidodirigido concon fuentefuente s s y y sumiderossumideros (o terminales)

(o terminales) tt₁₁, t, t₂₂....t....t_r_r. . SeaSea hh la tasa de la tasa de informaciinformacióónn de de la

la fuentefuente y y seasea CC_ij_ij la la capacidadcapacidad del del canalcanal ((i,ji,j)). . Entonces

Entonces ((C,h,GC,h,G) ) es es admisible admisible (i.e., (i.e., existe existe una una manera

manera de de codificar codificar que que safisface safisface todos todos los los requisitos requisitos para la

para la multidifusimultidifusióón n ((multicastmulticast) en la red) si y ) en la red) si y ssóólo lo si si el

el valor valor del del flujo flujo mmááximo ximo desde desde la la fuente fuente s s a a cada cada uno uno de de los

los sumideros sumideros tt_i_i, , i=1,....r i=1,....r es al es al menos menos hh.. (

( Ahlswede Ahlswede et al.)et al.)

Un

(7)

1 3 3 3 2 2 1 1 4

Flujo

(8)

1 3 3 3 2 2 1 1 4 (Corte mínimo)

Flujo

(9)

1 3 3 3 2 2 1 1 4

Flujo

(10)

1 3 3 3 2 2 1 1 4 (Corte mínimo)

Flujo

(11)

Redes de

transporte

_transporte

vs.

_vs.

Redes de

comunicaci

_comunicaci

ó

_ó

n

_n

digital

_digital

A

(12)

Redes de

transporte

_transporte

vs.

_vs.

Redes de

comunicaci

_comunicaci

ó

_ó

n

_n

digital

_digital

A

(13)

Redes de

transporte

_transporte

vs.

_vs.

Redes de

comunicaci

_comunicaci

ó

_ó

n

_n

digital

_digital

A

(14)

Redes de

transporte

vs.

Redes de

comunicaci

ó

n

digital

a b a a b b a b

(15)

1 3 3 3 2 2 1 1 4

Flujo

(16)

1 3 3 3 2 2 1 1 4 5 4b b 3 b 5 4b b 3 2 1b b b 3 b 5 4 3b b b 2 1b b 3 2 1b b b

Flujo

(17)

Redes de

transporte

vs.

Redes de

comunicaci

ó

n

a

b

(18)

Redes de

transporte

vs.

Redes de

comunicaci

ó

n

a a b b a+b a+b a+b

(19)

¿

C

ó

mo

dise

ñ

ar

c

ó

digos

?

Problemas Problemas concon redes redes ccííclicasclicas

Si Si hayhay varias varias opcionesopciones, , ¿¿cucuááll elegirelegir? ?

¿¿Y si en la Y si en la transmisitransmisióónn ocurrenocurren erroreserrores y/o y/o borraduras

borraduras??

¿¿CuCuááll es el es el tamatamaññoo mmíínimonimo del del alfabetoalfabeto??

CuestionesCuestiones de de seguridadseguridad

MultidifusiMultidifusióónn generalgeneral

OptimizaciOptimizacióónn teniendoteniendo en en cuentacuenta los los costescostes

Redes Redes inalinaláámbricasmbricas...

MuchosMuchos muchosmuchos mmááss problemas....problemas....

Problemas

(20)

¿

C

_C

ó

_ó

mo

_mo

dise

_dise

ñ

_ñ

ar

_ar

el

_el

c

_c

ó

_ó

digo

_digo

?

_?

Codificaci

ó

n

lineal (Li et al. )

Codificaci

ó

n

aleatoria

(

distribu

í

da

)

Es

Es asintasintóóticamente ticamente óóptimaptima, , pero pero no no óóptima ptima para para cada

cada red.red. Necesita

Necesita alfabetos alfabetos grandesgrandes Es simple y

Es simple y robusta robusta frente frente a a cambios cambios en la red.en la red.

Codificaci

ó

n

determinista

(

centralizada

)

RequiereRequiere el el conocimientoconocimiento de la de la topologtopologííaa de la redde la red

Es Es óóptimaptima para para cadacada red.red.

(21)

¿

C

_C

ó

_ó

mo

_mo

dise

_dise

ñ

_ñ

ar

_ar

el

_el

c

_c

ó

_ó

digo

_digo

?

_?

Codificaci

ó

_ó

n

_n

determinista

_determinista

Caracterizaciones

algebraicas

(

Koetter

&

Medard

)

Algoritmo

polinomial

para

flujo

de

informaci

ó

n

en redes:

LIF

-

Algorithm

(Sanders et al.)

Hay

otros

algoritmos

para

codificaci

ó

n

determinista

(

Erez

y

Feder

) con

complejidad

(22)

¿

C

_C

ó

_ó

mo

_mo

dise

_dise

ñ

_ñ

ar

_ar

el

_el

c

_c

ó

_ó

digo

_digo

?

_?

Codificaci

ó

_ó

n

_n

determinista

_determinista

Resultados

LIFLIF--AlgorithmAlgorithm (Sanders, Egner & (Sanders, Egner & TolhuizenTolhuizen)) Problema: No

Problema: No funciona funciona si la red tiene si la red tiene ciclos ciclos de de cualquier

cualquier tipotipo))

LIFELIFE--AlgorithmAlgorithm ((BarberoBarbero & Ytrehus)& Ytrehus) Funciona

Funciona con con ciclos ciclos en los en los canales canales ((link link cyclescycles), ), pero pero no

no con con ciclos ciclos en el en el flujo flujo ( ( flow flow cyclescycles).).

LIFELIFE--CYCLECYCLE AlgorithmAlgorithm ((BarberoBarbero & Ytrehus)& Ytrehus) Funciona

Funciona con con ciclos ciclos de de flujo flujo simplessimples..

LIFELIFE--KNOT AlgorithmKNOT Algorithm (Barbero & (Barbero & YtrehusYtrehus) ) Cierra

Cierra el el problema problema al al funcionar funcionar tambien tambien con con ciclos ciclos de de flujo

(23)

1.

1. Cada fuente generarCada fuente generará á un sun síímbolo del alfabeto en cada mbolo del alfabeto en cada instante de tiempo. Consideraremos

instante de tiempo. Consideraremos h h fuentes fuentes distintas.

distintas.

2.

2. Cada canal tendrCada canal tendrá á capacidad 1, es decir, en cada capacidad 1, es decir, en cada instante de tiempo se puede transmitir un s

instante de tiempo se puede transmitir un síímbolo del mbolo del alfabeto.

alfabeto.

3.

3. La transmisiLa transmisióón estn está á libre de error, es decir, cada nodo libre de error, es decir, cada nodo recibe a trav

recibe a travéés de cada canal exactamente el ss de cada canal exactamente el síímbolo mbolo que fue enviado en ese canal.

que fue enviado en ese canal.

4.

4. La topologLa topologíía de la red completa es conocida de a de la red completa es conocida de

antemano ya que usaremos algoritmos centralizados.

Hip

(24)

Bajo las hip

Bajo las hipóótesis 1 y 2, las condiciones requeridas por tesis 1 y 2, las condiciones requeridas por el teorema de flujo m

el teorema de flujo mááximo se satisfacen si y sximo se satisfacen si y sóólo si lo si existen l

existen lííneas de flujo ( neas de flujo ( flow flow paths paths ) ) ffsi,tj si,tj _{desde cada}_{desde cada}

fuente

fuente ss_i_i a cada sumidero a cada sumidero tt_j_j de tal modo que las lde tal modo que las lííneas neas de flujo que terminan en el mismo sumidero son lado

de flujo que terminan en el mismo sumidero son lado- -disjuntos.

disjuntos.

Hip

(25)

Algoritmo

(26)

Algoritmo

LIF

a b b b a a a+b a+b a+b

(27)

S₁ S2 A B C H D G K E F

Redes

(28)

Redes

con

ciclos

S₁ S2 A B C H D G K E F

H no puede ser visitado hasta que G haya sido visitado

G no puede ser visitado hasta que F haya sido visitado

F no puede ser visitado hasta que H haya sido visitado

(29)

Redes

Redes con conciclosciclos: : en en esta esta red, red, una una vez vez que que las las llííneas neas de de flujo flujo han han sido sido trazadas

trazadas, se , se puede puede dar dar un un orden orden topoltopolóógico gico a los a los canales canales que que forman el

forman el ciclociclo..

S₁ S2 A B C H D G K E F GH FG p ⇒ HF GH p ⇒ ⇒ FG p GH p HF Link cyclic Flow acyclic

(30)

S₁ S2 A B C H D G K E F GH FG p ⇒ HF GH p ⇒ ⇒ FG p GH p HF Link cyclic Flow acyclic IDEA:

IDEA: viajar viajar a a travtravéés s de de la red

la red visitando visitando los los lados

lados de de acuerdo acuerdo con con el orden

el orden parcial parcial dado dado por

por las las llííneas neas de de flujoflujo Redes

(31)

Redes

forman el ciclociclo

S₁ S2 A B C H D G K E F a _b a a a a b b a+b a+b a+b a+b b b b S₁ S2 A B C H D G K E F F GH FG p ⇒ HF GH p ⇒ ⇒ FG p GH p HF Link cyclic Flow acyclic a _b a a a a b b a+b a+b a+b a+b b b b S₁ S2 A B C H D G K E F F

LIFE

(32)

s₁ s₂ A B t₂ t₁ D C

Redes de

(33)

s₁ s₂ A B t₂ t₁ D C

Redes de

flujo

_flujo

c

_c

í

_í

clico

_clico

CD BC AB p p ⇒ AB DA CD p p ⇒ ⇒ AB p AB Link cyclic Flow cyclic

(34)

Ideas

Distinguir

claramente

entre

codificaci

ó

n

global

y

codificaci

ó

n

local

Tratar

el

ciclo

como

un

todo

El

tiempo

cobra

importancia

,

as

í

que

...

IntroducirIntroducir el el conceptoconcepto de de generacigeneracióónn

IntroducirIntroducir la la ideaidea de de retrasoretraso ((delaydelay) y ) y explotarexplotar su uso, su uso,

tanto

tanto comocomo retrasoretraso naturalnatural comocomo artificialartificial..

IntroducirIntroducir la la ideaidea de foto de foto instantinstantááneanea ((snapshotsnapshot))

(35)

Principios

DesecharDesechar ssíímbolosmbolos viejosviejos ((old symbol old symbol removalremoval))

PasarPasar informaciinformacióónn ((pass pass onon informationinformation))

Si el Si el grafografo de de llííneasneas de de flujoflujo es es minimalminimal entoncesentonces todostodos los los coeficientescoeficientes

locales

locales puedenpueden ser ser nono nulosnulos. .

El El ccáálculolculo óóptimoptimo de las de las llííneasneas de de flujoflujo es es unun problema en problema en ssíí..

ModificarModificar la la ideaidea de de rangorango completocompleto ((modifiedmodified full rank invariantfull rank invariant))

LIFE-algorithm

Condiciones

Ciclos

simples

CYCLE-processing ₌ LIFE-CYCLE algorithm

(36)

Resultados

En En unun grafografo de de flujoflujo G sin G sin nudosnudos, si , si qq es el es el mmááximoximo n

núúmeromero de de llííneasneas de de flujoflujo queque pasanpasan porpor unun canalcanal o o queque intervienen

intervienen en en unun ciclociclo simple, simple, entoncesentonces el el algoritmoalgoritmo LIFE

LIFE--CYCLE CYCLE producirproduciráá unauna codificacicodificacióónn vváálidalida si el si el tama

tamaññoo del del alfabetoalfabeto usadousado es es q q o o mmááss. .

DichoDicho tamatamaññoo es es suficientesuficiente, , peropero nono necesarionecesario para la para la existenciaexistencia

de la

de la codificacicodificacióónn..

En En unun grafografo de de flujoflujo G G sin sin nudosnudos, la , la complejidadcomplejidad del del algoritmo

algoritmo LIFELIFE--CYCLE es CYCLE es polinomialpolinomial en el en el nnúúmeromero de de lados

(37)

s₁ s₂ A B t₂ t₁ D C a(x-2)+b(x-4) a(x-4)+b(x-2) a(x) a(x) b(x) b(x) a(x-2)+b(x-4) a(x-4)+b(x-2) a(x-3)+b(x-1) a(x-1)+b(x-3)

Redes de

flujo

_flujo

c

_c

í

_í

clico

_clico

LIFE

(38)

A B C D t₁ _t 2 t₃ r₁ r₂ r₄ r₃

(39)

A B C D t₁ _t 2 t₃ r₁ r₂ r₄ r₃ Link cyclic Flow cyclic

(40)

Nudos

Dos (o

m

á

s

)

ciclos

que

comparten

uno

(o

m

á

s

lados

forman

un

nudo

r₁

r₂

r₄ r₃

(41)

Permitir

combinaciones

de

diferentes

generaciones

de los mismos

s

í

mbolos

siempre

que

sea

necesario

LIFE-algorithm

Principios

para

nudos

DesecharDesechar ssíímbolosmbolos viejos.viejos.-- FFóórmularmula de de MasonMason

PasarPasar informaciinformacióónn

ModificarModificar la forma de la forma de conservarconservar el el rangorango completo.completo.- -Trabajamos

Trabajamos en el en el cuerpocuerpo de de funcionesfunciones racionalesracionales en la en la variable D (

variable D (delaydelay))

Ideas

para

nudos

(42)

Notación: A B C D t₁ _t 2 t₃ r₁ r₂ r₄ r₃ a(x) a(x) a(x) b(x) b(x₎ b(x) c(x) c(x) c(x) d(x) d(x) d(x) A(x-4)+c(x-2) b(x-2)+D(x-4) a(x-1)+b(x-2)+D(x-4) A(x-4)+c(x-2)+d(x-1) A(x-3)+b(x-1)+D(x-3 ) _{A(x-3)+c(x-1)+D(x-3)} a (x -2 )+ b (x -3 )+ D (x -5 ) _{A(x-5)+c(x-3)+d(x-2)} A(x-2)+b(x-3)+c(x-3)+D(x-2) ∑ = + = ( ) 0 )) ( 3 ( ) ( y k i y l i a y A where ), ( ) ( 3k y l y y = + . 2 ) ( 0≤ yl ≤

(43)

Ú

ltimas

_ltimas

observaciones

_{observaciones}

El

retardo

con

que

cada

s

í

mbolo

llega

a

cada

terminal es

finito

y

coincide

exactamente

con

la

longitud

de la

l

í

nea

de

flujo

que

transporta

ese

s

í

mbolo

desde

la

fuente

que

lo

produce

hasta la

terminal

dada

.

La

memoria

que

cada

nodo

y/o

cada

terminal

necesita

es

siempre

finita

.

La

f

ó

rmula

de

Mason

para

circuitos

es

usada

aqu

í

para

dise

ñ

ar

c

ó

digos

para redes

con

ciclos

.

Otros

algoritmos

para

crear

c

ó

digos

en redes

tienen

(44)

Otros

resultados

_resultados

Algoritmo

oportunista

para

trabajar

en

un

cuerpo

de

cardinal

tan

peque

ñ

o

como

sea

posible

Comienza

en el

cuerpo

binario

y

s

ó

lo

’

salta

’

a

extensiones

gradualmente

mayores

de

dicho

cuerpo

cuando

no

es

posible

encontrar

el

vector

adecuado

en el

cuerpo

que

se tiene hasta el

momento

Algoritmos

para

calcular

las

l

í

neas

de

flujo

(45)

Random

network

_network

coding

_coding

En redes peque

ñ

as con topolog

í

a

completamente conocida la codificaci

ó

n

determinista da resultados

ó

ptimos o

cercanos a

ó

ptimos.

Pero en redes muy grandes, din

á

micas, o

de cuya topolog

í

a no se tiene

conocimiento completo

…

no se puede

aplicar, o no resulta eficiente

(46)

Random

network

_network

coding

_coding

RNC consiste en que cada nodo intermedio

combina los bits que llegan a trav

é

s de sus

canales

input

usando coeficientes elegidos

aleatoriamente para canal de output

Si el cuerpo que se usa es suficientemente

grande la probabilidad de que los nodos

terminales reciban un sistema de ecuaciones

con rango h es suficientemente alta.

En cada transmisi

ó

n han de enviarse los

coeficientes usados como encabezamiento.

(47)

Index

coding

_coding

: planteamiento

_{: planteamiento}

del problema

Cómo satisfacer las demandas de todos los usuarios

con el mínimo número de transmisiones

(48)

Index

coding

_coding

: planteamiento del

_{: planteamiento del}

problema

Solución trivial:

4 transmisiones, cada una con uno de los paquetes requeridos

(49)

Index

coding

_coding

: planteamiento del

_{: planteamiento del}

problema

Solución inteligente:

Codificar para reducir el número de transmisiones, aprovechando la información que los usuarios ya tienen.