maria subespacios

República Bolivariana de Venezuela

Instituto de Mejoramiento Profesional del Magisterio Universidad Pedagógica Experimental Libertador

Valera Edo Trujillo

Subespacios y Espacios

Vectoriales

Subespacio vectorial

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas características específicas y que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.

Sean V y S dos espacios vectoriales definidos en el campo K, entonces S es un subespacio vectorial de V, si y solo si, S ⊆ V.

De hecho, todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales.

V

Condición de existencia de subespacio

El criterio para la Verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escaleras del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.

Para ello también se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial. Se define S como subespacio vectorial si y solo si:

1. S no es un conjunto vacío. 2. S es igual o está incluido en V.

3. La suma es ley de composición interna. 4. El producto es ley de composición externa. Definición de subespacios vectorial y sus propiedades

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.

Existen múltiples ejemplos de subespacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad subespacio de V

Teorema de subespacio

Un subconjunto no vacío de H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un subespacio

i) Si x € H y y € H, entonces x + y € H.

ii) Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.

Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.

Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un subespacio de V, es suficiente verificar que:

x + y y αX están en H cuando x y y están en H y α es un escalar.

Antes de dar las condiciones que ha de cumplir un subconjunto para tener estructura de subespacio vectorial, vamos a intentar observar cuales pueden ser estas condiciones.

Consideremos el espacio vectorial (R2_{,+,.R), y tomemos un suconjunto de vectores del}

plano, por ejemplo los vectores que están contenidos en la recta x=0. Todos estos vectores son verticales, por ejemplo

(0,1), (0,3), (0,4),....

Todos los vectores contenidos en W cumplen las 8 propiedades de los espacios vectoriales. Pero para analizar si este subconjunto es un subespacio vectorial de R2_{bastaría comprobar dos propiedades:}

1. que sumando dos vectores del W se obtiene otro vector de W. Esta propiedad la cumple puesto que si sumamos dos vectores cuya componente primera es cero, vuelve a resultar un vector con la componente primera nula.

2. que al multiplicar un vector de W por un escalar real cualquiera, vuelva a resultar un vector de W. Esta situación nuevamente es clara, puesto que al multiplicar cualquier escalar por la primera componente nula nos da como resultado un vector con la primera componente nula.

El resto de propiedades no es necesario comprobarlas puesto que todos los vectores del plano las cumplen y en consecuencia las cumplirán los vectores de W.

Si ahora tomamos un subconjunto formado por los vectores del plano cuya primera

componente es 1, es decir

y tomamos dos vectores de este subconjunto, por ejemplo (1,2) y (1,5), obsérvese que su suma es (2,7) que no pertenece a M. Por tanto la suma no es operación interna en este subconjunto, y en consecuencia no puede ser un subespacio vectorial.

Caracterización de los subespacios vectoriales.

1.- Sea (V,+,.R) un subespacio vectorial , y sea W un subconjunto de V. Diremos que W dotado con las mismas operaciones definidas en V, es un subespacio vectorial del mismo si se verifican las dos siguiente propiedades:

a)

b)

una segunda forma de caracterizarlos se concreta en la condición equivalente a la anterior

2.- W es un subespacio vectorial de V si y sólo si se verifica que

Operaciones entre subespacios vectoriales.

A) intersección de subespacios.

Sean W1 y W2 dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial (V,+,.R). La

intersección de dos subespacios vectoriales se define de la siguiente forma:

El significado de esta operación se puede obtener con el siguiente ejemplo de R2_.

Ejemplo:

Sean W1={(x,y)/x+y=0} y W2={(x,y)/x-y=0}

Si representamos estos dos subespacios con DERIVE tenemos que se trata de dos rectas que pasan por el (0,0).

Definición y propiedades de un espacio vectorial

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos

operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría

analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver

problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y

continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.

Vector fijo

Elementos de un vector Dirección de un vector

La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Módulo de un vector El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero. Módulo de un vector a partir de sus componentes

Módulo a partir de las coordenadas de los puntos

Coordenadas de un vector

Clases de vectores Vectores equipolentes

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido. Vectores libres

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Vectores fijos

Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen.

Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se encuentran en la misma recta.

Vectores opuestos

Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.

Vectores unitarios

Los vectores unitario tienen de módulo, la unidad.

Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide éste por su módulo.

Vectores concurrentes

Los vectores concurrentes tienen el mismo origen. Vector de posición

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.