INFERENCIA ESTAD´ISTICA

INFERENCIA ESTAD´ISTICA

Gonzalo Garc´ıa Alarc´on Estrada

FUNDAMENTOS DE ESTAD´ISTICA 2017-2 UNAM - Facultad de Ingenier´ıa

17 de marzo de 2017

FEN ´OMENO ALEATORIO (POBLACI ´ON)

MODELAR

MUESTRA

INFERIR

INFERENCIA PARAM´ETRICA X ∼ f_X(x ; θ)

INFERENCIA NO PARAM´ETRICA X ∼???

INFERENCIA CL´ASICA (par´ametros fijos pero desconocidos)

INFERENCIA BAYESIANA

(par´ametros son v.a., tiene una distribuci´on inicial)

P(A|B ) = P(B |A)P(A) P(B )

Definiciones b´ asicas

Definici´on 1

Llamaremos espacio parametral al conjunto de posibles valores que pueden tomar los par´ametros de una distribuci´on. Se denotar´a como Θ.

Suponer que X ∼ N(0, σ²), i.e.

f_X = 1

√

2πσ²e^{−2σ2x 2} entonces Θ =

Definiciones b´ asicas

Definici´on 2

Suponer que se tiene una poblaci´on (o fen´omeno aleatorio) que es modelado por una funci´on de densidad dada por fX(x ; θ) con θ un vector de par´ametros desconocidos. Decimos que

X = (X₁, X₂, . . . , X_n) es una muestra aleatoria (m.a.) de tama˜no n si:

1. cada X_i ∼ f_X(x ; θ)

2. X_i es independiente de X_j si i 6= j (Se dice que X₁, X₂, . . . , X_n son v.a.i.i.d.)

Definiciones b´ asicas

Definici´on 3

Llamaremos muestra observada al vector de mediciones o datos tomados de la poblaci´on (o fen´omeno aleatorio).

x = (X₁= x₁, X₂ = x₂, . . . , X_n= x_n)

Definiciones b´ asicas

Definici´on 4

Sea X1, X2, . . . , Xnm.a. de un fen´omeno aleatorio, una estad´ıstica es cualquier funci´on de la muestra que NO depende de par´ametros desconocidos.

T : Rⁿ→ R T = T (X1, X2, . . . , Xn)

Definiciones b´ asicas

Definici´on 5

Un estimador es una estad´ıstica que tiene al espacio parametral como contradominio.

T : Rⁿ→ Θ

NOTACI ´ON: Denotaremos a un estimador de cierto vector de par´ametros θ = (θ1, . . . , θp) como ˆθ

ˆθ = ˆθ(X1, X2, . . . , Xn)

= ˆθ1(X1, X2, . . . , Xn), ˆθ2(X1, X2, . . . , Xn), . . . , ˆθp(X1, X2, . . . , Xn)



¡¡N ´OTESE QUE LOS ESTIMADORES SON VARIABLES ALEATORIAS!!

Un solo par´ametro desconocido:

θ = ˆˆ θ(X₁, X₂, . . . , X_n)

Definiciones b´ asicas

Definici´on 6

Una estimaci´on es el valor que toma el estimador al ser evaluado con una muestra observada.

ˆθ(X₁ = x₁, X₂= x₂, . . . , X_n= x_n) ∈ Θ ⊆ R^p

θ(Xˆ 1 = x1, X2= x2, . . . , Xn= xn) ∈ Θ ⊆ R

X como estimador de µ¯

E( ¯X ) Var ( ¯X )

TLC

Teorema 1

Teorema del l´ımite central:

Sea X1, X2, . . . , Xn m.a. de una distribuci´on FX tal que E(Xi) = µ y Var (X_i) = σ² ∀i = 1, . . . , n (ambos finitos), entonces:

X¯^aprox∼ N(µ,σ² n ) o bien, otra forma de verlo es:

√n

X − µ¯ σ

aprox

∼ N(0, 1)

MEDIA MUESTRAL COMO V.A.

Considerar una m.a., X = (X1, X2, . . . , Xn), cuya distribuci´on tiene media µ y varianza σ²:

E( ¯X ) = Var ( ¯X ) =

VARIANZA MUESTRAL COMO V.A.

Considerar una m.a., X = (X1, X2, . . . , Xn), cuya distribuci´on tiene media µ y varianza σ²:

Recordar

n

P

i =1

(xi− ¯x )²=

n

P

i =1

x_i²− n¯x²y que E(W²) = Var (W ) + (E(W ))²

(n − 1)S²=

n

P

i =1

X_i²− n ¯X²

(n − 1)E(S²) = E

n

X

i =1

X_i²

!

− nE( ¯X²)

= nE(X1²) − nE( ¯X²)

∴ E(S²) = σ²

Var (S²) . . . no se puede decir mucho sin suponer alguna distribuci´on

EJEMPLO:

El periodo de tiempo que un cajero de un banco atiende a un cliente es en promedio de 3.2 min con una desviaci´on est´andar de 1.6 min. Considerando que se atienden 64 clientes, cu´al es la probabilidad de que el tiempo promedio que le toma al cajero atender a estos clientes sea entre 3.2 min y 3.4 min?

periodo de tiempo que el cajero atiende a un cliente Xi ∼ ???

pero sabemos que E(Xi) = µ = 3.2 min y que Var (X_i) = σ² = (1.6)²

se observa una muestra de tama˜no n = 64

...traduciendo el problema...

Sea X = (X1, X2, . . . , Xn) m.a. de tama˜no n = 64 de una poblaci´on con media µ = 3.2 y desviaci´on est´andar σ²= (1.6)².

P{3.2 ≤ ¯X ≤ 3.4}

suponiendo que la muestra es suficientemente grande como para aplicar el TLC ⇒

X¯ ∼ N(µ,^a σ² n ) ∴

P{3.2 ≤ ¯X ≤ 3.4} = P 3.2 − µ σ/√

n ≤ X − µ¯ σ/√

n ≤ 3.4 − µ σ/√

n



= P 3.2 − 3.2

0.2 ≤ Z ≤ 3.4 − 3.2 0.2



= P {0 ≤ Z ≤ 1}

= P{Z ≤ 1} − P{Z ≤ 0}

= F_Z(1) − F_Z(0) → en R: pnorm(1,0,1) - pnorm(0,0,1)

= 0.3413447 ' 34.1 %

en el caso de una muestra de una poblaci´on con una DISTRIBUCI ´ON NORMAL

... es decir...

Considerar una m.a., X = (X1, X2, . . . , Xn), de una poblaci´on normal con media µ y varianza σ²

... es decir...

X_i ∼ N(µ, σ²), ∀i ∈ {1, . . . , n} y son independientes:

como E( ¯X ) = µ y Var ( ¯X ) = σ²/n ⇒ Z = X − µ¯

σ/√

n ∼ N(0, 1)

DISTRIBUCI ´ON CONJUNTA DE ¯X Y S² (caso normal):

Recordar

n

P

i =1

(yi− ¯y )²=

n

P

i =1

y_i²− n¯y²y considerando yi= xi− µ (∴ ¯y = ¯x − µ)

n

X

i =1

(xi− ¯x )² =

n

X

i =1

(xi − µ)²− n(¯x − µ)²

pero como X₁, X₂, . . . , X_n es una m.a. normal ⇒ Pn

i =1

(X_i − ¯X )²

σ² +n( ¯X − µ)²

σ² =

Pn i =1

(X_i− µ)² σ²

reescribiendo:

n

P

i =1

(X_i − ¯X )²

σ² + √n( ¯X − µ) σ

2

=

n

X

i =1

 X_i− µ σ

2

n

P

i =1

(X_i − ¯X )²

σ² + √n( ¯X − µ) σ

2

| {z }

∼χ²

(1)

=

n

X

i =1

 X_i− µ σ

2

| {z }

∼χ²_(n)

y se puede demostrar que:

n

P

i =1

(Xi− ¯X )²

σ² ∼ χ²_(n−1)

Teorema 2

Si X = (X₁, X₂, . . . , X_n) es una m.a. de una poblaci´on normal con media µ y varianza σ² ⇒

X y S¯ ² son v.a. independientes y adem´as ¯X ∼ N(µ,^σ_n²) y

(n−1)S²

σ² ∼ χ²_(n−1)

EJEMPLO:

El tiempo que le toma a un CPU procesar cierto trabajo distribuye normal con media 20 s y desviaci´on est´andar de 3 s. Si se observan 15 de esos trabajos, cu´al es la probabilidad de que la varianza muestral supere 12 s?

µ = 20s, σ² = 9s, n = 15

P{S² > 12} = P (14)S²

9 > (14)12 9



= P{χ²₍₁₄₎> 18.67}

= 1 − P{χ²₍₁₄₎≤ 18.67}

= 1 − F_χ2

(14)(18.67) → en R: pchisq(18.67, 14)

= 1 − 0.8220542

= 0.1779458 ' 17.8 %