TALLER: Problemas de la ONEM 2016 John Cuya Emilio Gonzaga Tacna, 8 de diciembre de 2016

TALLER: Problemas de la ONEM 2016

John Cuya Emilio Gonzaga

Tacna, 8 de diciembre de 2016

XXXIV COLOQUIO DE LA SOCIEDAD MATEM ´ ATICA PERUANA

Problema 1

Se tiene los siguientes tableros de 4 × 4:

1 3 2 1

2 1 3 2

3 2 1 3

1 3 2 1

Tablero 1

3 1 2 2

3 1 1 2

2 1 1 1

2 2 3 3

Tablero 2

1 3 2 1

1 3 2 1

1 3 2 1

1 3 2 1

Tablero 3

Mateo debe eliminar algunos de los n´ umeros de cada tablero de tal modo que la suma de los n´ umeros que quedan en cada fila y en cada columna sea m´ ultiplo de 3.

Aclaraci´ on: Si una fila o una columna no tiene n´ umeros, su suma es 0 y 0 es m´ ultiplo de 3.

a) Mostrar c´ omo Mateo puede eliminar 5 n´ umeros del tablero 1.

b) ¿Cu´ antos n´ umeros como m´ınimo Mateo debe eliminar del Tablero 2?

c) ¿Cu´ antos n´ umeros como m´ınimo Mateo debe eliminar del Tablero 3?

d) Crear un tablero nuevo (de 4 × 4) y determinar la m´ınima cantidad de n´ umeros que hay que eliminar.

e) ¿Existe un tablero de 4 × 4 en el que haya que eliminar, como m´ınimo, m´ as de 8 n´ umeros?

f ) ¿Existe un tablero de 4 × 4 en el que haya que eliminar, como m´ınimo, todos los n´ umeros?

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1

Cierto pa´ıs est´ a formado por varias islas, algunas de las cuales est´ an unidas por puentes (los c´ırculos son las islas y las l´ıneas los puentes). Se van a clausurar algunos puentes para hacer reparaciones, de tal modo que a´ un se pueda viajar desde cualquier isla a cualquier otra isla usando los puentes que quedan.

pa´ıs 1 pa´ıs 2 pa´ıs 3

pa´ıs 4 pa´ıs 5

a) ¿Cu´ antos puentes se pueden clausurar como m´ aximo de cada pa´ıs?

b) ¿De cu´ antas formas se puede escoger los cuatro puentes del pa´ıs 1?

c) ¿De cu´ antas formas se puede escoger los dos puentes del pa´ıs 2?

d) ¿De cu´ antas formas se puede escoger los dos puentes del pa´ıs 3?

e) ¿De cu´ antas formas se puede escoger los tres puentes del pa´ıs 4?

f ) ¿De cu´ antas formas se puede escoger los seis puentes del pa´ıs 5?

g) Crear algunos problemas con las ideas que le sugiera los problemas anteriores.

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XXXIV COLOQUIO DE LA SOCIEDAD MATEM ´ ATICA PERUANA

Problema 1 - Soluciones

a) Primero veamos cu´ anto es la suma de cada fila y cada columna m´ odulo 3

1 3 2 1

2 1 3 2

3 2 1 3

1 3 2 1 1

2 0 1 1 2 0 1

Gracias a esto sabemos en qu´ e filas y columnas hay que eliminar n´ umeros y as´ı podemos encontrar algunas maneras de eliminar los 5 n´ umeros, por ejemplo:

3 2 1

1 3 2

3 2 1 3

3 3

2 1 3

3 2 1 3

1 3 2

b) Primero veamos cu´ anto es la suma de cada fila y cada columna m´ odulo 3

3 1 2 2

3 1 1 2

2 1 1 1

2 2 3 3 2

1 2 1 2 1 2 1

Hay que eliminar al menos un n´ umero de cada fila, m´ as a´ un, de la ´ ultima fila es necesario eliminar al menos dos n´ umeros, m´ as precisamente, hay que eliminar los dos n´ umeros 2, ya que si queda alg´ un 2, la suma nunca va a ser m´ ultiplo de 3. Por lo tanto, se deben eliminar al menos 1 + 1 + 1 + 2 = 5 n´ umeros del tablero, donde un ejemplo es el siguiente:

3 1 2

3 1 2

1 1 1

3 3

c) Primero veamos cu´ anto es la suma de cada fila y cada columna m´ odulo 3

1

3 1 3 2

1 3 2

1 3 2

e) S´ı existe. En el siguiente tablero

3 3 1 1

3 3 1 1

1 1 2 2

1 1 2 2

Se deben eliminar todos los 1’s de las filas 3, 4 y de las columnas 1, 2, ya que si queda alg´ un 1, la suma de alguna de estas nunca va a ser m´ ultiplo de 3. Luego, las filas 1, 2 y las columnas 3, 4 tendr´ıas dos n´ umeros 2 cada una, los cuales se deben eliminar, ya que si queda alg´ un 2, la suma de alguna de estas filas y columnas nunca va a ser m´ ultiplo de 3. Por lo tanto, se deben eliminar al menos 12 n´ umeros, quedande s´ olo los n´ umeros 3.

3 3

3 3

f) No existe. Se demuestra que en todo tablero de 4 × 4 lleno de n´ umeros enteros, siempre es posible eliminar algunos n´ umeros, quedando al menos uno, de tal modo que la suma de cada fila y columna de los n´ umeros que quedan sea m´ ultiplo de 3. La demostraci´ on es por casos y un poco larga, por lo cual se excluye de este material, sin embargo es un hecho realmente interesante.

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XXXIV COLOQUIO DE LA SOCIEDAD MATEM ´ ATICA PERUANA

Problema 2 - Soluciones

a) Si a un grafo conexo, de n v´ ertices y m aristas, se le va quitando aristas hasta que ya no se pueda m´ as, con la condici´ on de que siga siendo conexo, entonces al final va a quedar un ´ arbol de n − 1 aristas. Esto significa que la m´ axima cantidad de aristas que se puede quitar es m − n + 1. Hallando m y n para cada pa´ıs, resulta que la m´ axima cantidad de puentes que se puede clausurar en cada pa´ıs es 4, 2, 2, 3 y 6, respectivamente.

b) Como el grafo que queda al final debe ser un ´ arbol, este no debe tener ciclos. Inicialmente el grafo tiene 4 tri´ angulos, entonces debemos eliminar una arista de cada uno. Adem´ as, cada vez que eliminamos una arista de cada tri´ angulo obtenemos un ´ arbol, como por ejemplo:

Luego, como hay 3 opciones en cada tri´ angulo, la cantidad de maneras de escoger los cuatro puentes es 3 × 3 × 3 × 3 = 81.

c) La cantidad de maneras de elegir dos aristas es 6 2



= 15. Hay 3 casos en los que al eliminar dos aristas no queda un ´ arbol:

Por lo tanto, la cantidad de maneras de escoger los dos puentes es 15 − 3 = 12.

d) Hacemos dos casos:

Caso 1: Si el puente del medio es clausurado

1

Finalmente, la cantidad de maneras de escoger los dos puentes es 6 + 9 = 15.

e) Hacemos dos casos:

Caso 1: Si el ´ arbol generador es de la forma

1 2

3 4

El v´ ertice 1 puede ser cualquiera de las cuatro islas, el v´ ertice 2 cualquiera de las tres islas que quedas, el v´ ertice 3 puede ser cualquiera de las dos islas que quedan y el v´ ertice 4 ser´ıa el v´ ertice que queda, sin embargo, al contar de esta forma, cada ´ arbol es contado dos veces. Por lo tanto en este caso tenemos

4 × 3 × 2 × 1

2 = 12 maneras.

Caso 2: Si el ´ arbol generador es de la forma

1 2

3 4

El v´ ertice 1 puede ser cualquiera de las cuatro islas y teniendo definido el v´ ertice 1 ya sabemos que arbol va a quedar. Por lo tanto, en este caso tenemos 4 maneras.

Finalmente, la cantidad de maneras de escoger los tres puentes es 12 + 4 = 16.

f ) Esta pregunta se resuelve igual que la pregunta e), pero con 3 casos (considerando todas las posibles formas que puede tomar el ´ arbol generados) y resulta que la cantidad de maneras de escoger los seis puentes es 125. Esto se generaliza en el Teorema de Cayley, que dice que el n´ umero de ´ arboles generadores de un grafo completo de n v´ ertices es n

. M´ as a´ un, esto se generaliza en el Teorema de matriz-´ arbol de Kirchhoff que permite hallar el n´ umero de ´ arboles generadores de cualquier grafo finito a partir de la matriz de adyacencia del mismo.

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TALLER: Teor´ıa de Grafos - ´ Arboles

John Cuya Emilio Gonzaga

Tacna, 8 de diciembre de 2016

XXXIV COLOQUIO DE LA SOCIEDAD MATEM ´ ATICA PERUANA

Definici´ on

Un grafo es un diagrama de un conjunto V de puntos y un conjunto A de l´ıneas, donde cada l´ınea une alg´ un par de puntos. Dichos puntos son denominados v´ ertices y dichas l´ıneas, aristas. El par de v´ ertices (u, v) denota a la arista de extremos u y v. Por ahora, no importa si las aristas se intersectan o si son curvas, tampoco la posici´ on de los v´ ertices. Las aristas m´ ultiples son las aristas que unen el mismo par de v´ ertices y los bucles o lazos son las aristas que unen un punto consigo mismo. Un grafo es simple si no posee aristas m´ ultiples ni lazos. Desde ahora consideraremos que todos los grafos con los que trabajamos son simples.

El grado de un v´ ertice v es el n´ umero de aristas que tienen un extremo en el v´ ertice v (los lazos se cuentan dos veces) y se denota por d(v).

Ejercicio:

a) ¿Existe un grafo de seis v´ ertices con grados 1, 1, 1, 3, 3 y 3?

b) ¿Existe un grafo de seis v´ ertices con grados 2, 2, 2, 2, 2 y 2?

c) ¿Existe un grafo de cinco v´ ertices, 6 aristas y que no contenga tri´ angulo?

Sea G un grafo de v´ ertices V . Si u, v ∈ V , un camino (de longitud k) de u hacia v es una sucesi´ on de k aristas distintas que unen u y v. Decimos que un grafo es conexo si existe un camino de u hacia v para todo par de v´ ertices distintos u, v ∈ V , en otro caso decimos que es disconexo. Un camino cerrado es un camino que comienza y termina en el mismo v´ ertice. Un ciclo de longitud k es un camino cerrado de longitud k que no pasa dos veces por el mismo v´ ertices (excepto por el primero y el ´ ultimo).

Los ciclos de longitud 3 son llamados tri´ angulos, los de longitud 4, cuadril´ ateros, los de longitud 5, pent´ agonos, etc.

Teorema 1: Sea G un grafo de n v´ ertices. Las siguientes proposiciones son equivalentes:

i) G es conexo y posee n − 1 aristas.

ii) G es conexo y no posee ciclos.

iii) G es conexo y si se elimina cualquier arista queda una grafo disconexo.

iv) G no posee ciclos y si se agrega cualquier arista se forma un ciclo.

v) Entre cualesquiera dos v´ ertices de G existe un ´ unico camino que los une.

vi) G posee n − 1 aristas y no posee ciclos.

1

Mikl´ os B´ ona (2002), A Walk through Combinatorics: An Introduction to Enumeration and Graph Theory.

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