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SISTEMA DE RECUPERACIÓN DE SOLVENTES CON CONTROLADOR PID DETEMPERATURA
JUAN DAVID CADAVID BUSTAMANTE
ASESOR: ANDRÉS MAURICIO CÁRDENAS
Cod 1020504
TÍTULO PROFESIONAL
Ingeniero Electrónico
UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA – INGENIERÍA ELECTRÓNICA MEDELLÍN AÑO 2013
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TABLA DE CONTENIDO1. OBJETIVOS ... 7
1.1 Objetivo general ... 7
1.2 Objetivos específicos ... 7
2. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA PROPUESTA ... 7
2.1 Planteamiento del problema de investigación y su justificación en términos de necesidades y pertinencia... 7
2.2 Descripción del Proyecto de Grado ... 8
2.3 Proceso del sistema ... 8
3 MARCO TEÓRICO ... 10
3.1 Que es un sistema de control ... 10
3.2 Sistema de control lazo cerrado ... 10
3.3 Controlador de acción proporcional (regulador P) ... 11
3.4 El regulador de acción integral (regulador I) ... 12
3.5 El regulador diferencial (regulador D) ... 12
3.6 Controlador PID ... 12
3.7 Respuesta transitoria para sistemas de orden superior ... 13
3.8 Criterio de estabilidad de Routh ... 13
3.9 Controlabilidad ... 15
3.10 Observabilidad ... 15
3.11 Temperatura [ T ] ... 15
3.12 Presión [ P ] ... 16
3.13 Calor [ Q ] ... 16
3.14 Transferencia de energía ... 17
3.15 Calor especifico [C ] ... 17
3.16 Calor Latente [L] ... 17
3.17 Entalpia ... 18
3.18 Punto de rocío y de burbuja ... 18
3.19 Evaporador ... 18
3.20 Intercambiador de calor ... 19
3.21 Transmisores de temperatura... 20
3.22 OPC Server ... 21
3.23 PLC S7 1200 ... 21
4 DESARROLLO ... 24
4.1 Identificación del sistema ... 25
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4.2 Cálculos Condensador ... 44
4.2.1 Calculo de las temperaturas ... 45
4.2.2 Calculo de carga térmica del condensador ... 45
4.2.3 Calculo del refrigerante ... 45
4.2.4 Diferencia de temperatura en los extremos del condensador ... 45
4.2.5 Área de transferencia de condensación. ... 45
4.2.6 Coeficiente de transferencia de calor ... 46
4.2.7 Calculo coeficiente de película en el lado del tubo refrigerante, Calculo Área de flujo 46 4.2.8 Cálculo de velocidad másica y velocidad lineal ... 46
4.2.9 Coeficiente de transferencia de calor al diámetro exterior del tubo ... 47
4.2.10 Calculo coeficiente de coraza, Calculo de área de flujo ... 47
4.2.11 Velocidad másica ... 47
4.2.12 Cálculo de número de Reynolds ... 47
4.2.13 Cálculo coeficiente de transferencia de calor ... 48
4.2.14 Calculo de coeficiente total de transferencia de calor ... 48
4.2.15 Cálculo de energía o carga térmica total del condensador... 48
4.3 Interfaz hombre máquina ... 48
4.4 Programación PLC ... 53
4.4.1 Bloque FC1 ... 54
4.4.2 Bloque FC2 ... 55
4.4.3 Bloque OB30 ... 55
4.4.4 Bloque OB1 ... 56
5 ESTADO DEL ARTE ... 57
6 RESULTADOS ... 60
6.1 Parámetros Controlador PID ... 60
6.2 Respuesta del sistema real ... 60
6.3 Dimensiones Condensador ... 62
6.4 Diseño Final Interfaz Hombre Máquina ... 63
7 CONCLUCIONES ... 65
8 CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES ... 66
9 BIBLIOGRAFÍA ... 67
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LISTA DE FIGURASFigura 1 Diagrama de flujo ... 9
Figura 2 Diagrama de proceso ... 10
Figura 3 Sistema de control ... 10
Figura 4. Lazo cerrado de control ... 11
Figura 5. Acción proporcional ... 11
Figura 6. Lazo controlador PID ... 13
Figura 7. Lazo de realimentación ... 13
Figura 8. Intercambiador de doble tubo ... 19
Figura 9. Diagrama de bloques transmisor TH100 Siemens ... 20
Figura 10. Procesos PLC ... 22
Figura 11. Diagrama de bloques PID controlador ... 23
Figura 12. Diagrama de bloques PIDT1 con anti Windup ... 24
Figura 13. Diagrama de proceso general ... 24
Figura 14. Arquitectura controlador ... 42
Figura 15. Condensador ... 44
Figura 16. Software KepserverEx5 ... 49
Figura 17. Selección de dispositivo ... 49
Figura 18. Dirección IP dispositivo ... 50
Figura 19. Puerto comunicación OPC y PLC ... 50
Figura 20. Conexión OPC PLC ... 51
Figura 21. Creación de Tag ... 52
Figura 22. Asignar Tag en LabView ... 53
Figura 23. Ejecuciones ciclo PLC ... 54
Figura 24. Acondicionamiento señal de temperatura ... 54
Figura 25. Parámetro set Point ... 55
Figura 26. Asignar parámetros PID ... 56
Figura 27. Lógicas de inicio y paro de sistema... 56
Figura 28. Diagrama de proceso UA ... 58
Figura 29. Diagrama de control Tokamak ... 59
Figura 30. Condensador ... 63
Figura 31. Interfaz hombre máquina ... 63
Figura 32. Sistema completo ... 64
Figura 33. Sustancia contaminada y sustancia recuperada ... 64
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LISTA DE TABLASTabla 1. Características acero inoxidable (Smith, 2003) ... 19
Tabla 2. Descripción transmisor TH100 ... 20
Tabla 3. Pasos puesta en marcha PLC ... 22
Tabla 4. Parámetros salida controlador PID ... 23
Tabla 5. Respuestas de los Modelos ... 27
Tabla 6. Posibles modelos antes una respuesta paso ... 30
Tabla 7. Datos generales de las sustancias ... 44
Tabla 8. Dimensiones condensador ... 62
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LISTA DE GRÁFICASGráfica 1. Respuesta del sistema normalizado ... 25
Gráfica 2. Representación de posibles modelos del sistema de evaporación ... 26
Gráfica 3. Modelo del sistema ... 28
Gráfica 4. Respuesta pasó sistema de segundo orden ... 29
Gráfica 5. Respuesta pasó modelos tabla 4 ... 29
Gráfica 6. Respuesta de sistema Normalizado ante un escalón ... 30
Gráfica 7. Respuesta Paso Modelo Tercer Orden ... 31
Gráfica 8. Modelo del sistema de tercer Orden P3 ... 32
Gráfica 9. Comportamiento del sistema prueba 3 ... 32
Gráfica 10. Respuestas Modelos ... 33
Gráfica 11. Respuesta de los modelos al escalón prueba 3 ... 34
Gráfica 12. Posición de los polos modelo del sistema P3 ... 35
Gráfica 13. Respuesta del sistema en lazo abierto ... 36
Gráfica 14. Respuesta del sistema en lazo cerrado ... 37
Gráfica 15. Sensibilidad del sistema en la frecuencia de corte ... 38
Gráfica 16. Sensibilidad del sistema en límite superior del ancho de banda ... 38
Gráfica 17. Sensibilidad del sistema en límite inferior del ancho de banda ... 39
Gráfica 18. Posición polos y ceros sistema planta controlador ... 41
Gráfica 19. Respuesta planta controlador ... 43
Gráfica 20. Respuesta sistema planta controlados vs sistema ... 43
Gráfica 21. Respuesta de sistema real ... 61
Gráfica 22. Controlador PID de temperatura ... 61
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1. OBJETIVOS1.1 Objetivo general
Diseñar un sistema de proceso el cual permita recuperar solventes sucios utilizados en la flexografía
1.2 Objetivos específicos
- Diseñar un condensador que pueda atrapar las partículas de Acetato de tilo, Etanol y agua que contiene el solvente sucio al llegar al estado de evaporación.
- Implementar un controlador PID de temperatura automático con Anti-Windup que garantice una temperatura estable con respecto a la referencia establecida durante todo el proceso de Evaporación.
- Diseñar una interfaz hombre máquina que me permita seleccionar la temperatura deseada de proceso al igual que su monitoreo.
- Acondicionar el sistema de evaporación, previamente entregado por parte de la universidad, que garantice la temperatura adecuada del sistema al igual que la salida de los vapores de la sustancia a condensar.
2. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA PROPUESTA
2.1 Planteamiento del problema de investigación y su justificación en términos de necesidades y pertinencia
Actualmente en el sector de la flexografía en Colombia el mayor porcentaje de impresión se hace a base de solventes, útil por su gran versatilidad de adherirse a diferentes materiales como cartón, plástico, papel, polímeros y su fácil secado. Para lograr un óptimo desempeño en la impresión se deben mezclar con solventes que ayudan a diluir las tintas y así separar adecuadamente las uniones de los pigmentos. Su gran desventaja son los riegos para la salud y el medio ambiente, es por eso que se propone implementar un sistema alternativo el cual pueda recuperar los solventes sucios contaminados por las tintas y así ser reutilizados, de modo que se mitiguen los costos de producción por almacenamiento de líquidos inflamables y se genere un menor impacto hacia el medio ambiente.
En el año 2005 el Ministerio de Medio Ambiente emitió el Decreto 4741, el cual busca garantizar el manejo adecuado de los residuos peligrosos en Colombia, en este Decreto se establece que todo generador de residuos peligrosos, debe elaborar un Plan de gestión integral de los residuos o desechos peligrosos para prevenir la generación y fomentar la reducción en la fuente, así como, minimizar la cantidad y peligrosidad de los
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mismos sobre el medio ambiente, el mismo Decreto obliga a las empresas a registrarse como generador ante la autoridad ambiental de su jurisdicción.De igual forma en 2008 el Congreso de la República aprobó la Ley 1252, que establece obligaciones y responsabilidades del generador de residuos peligrosos, así como al que los transportan.
¿Podrá este sistema recuperar adecuadamente algunos de los solventes utilizados en la flexografía de modo que se le dé un rehusó útil y pueda minimizar los costos de producción como los ambientales, cumpliendo las características de diseño especificadas de una manera eficiente con la información enviada al PLC por los transmisores de temperatura?
¿Será posible contar con un sistema que propicie condiciones similares a muchos de los procesos industriales que se utilizan cotidianamente?
2.2 Descripción del Proyecto de Grado
El proyecto tiene como fin implementar un sistema que permita recuperar solventes sucios utilizados en el sector flexográfico para la dilución de las tintas y el lavado de las máquinas. Terminado el proceso se espera recuperar Acetato de etilo, Etanol y agua a partir de los solventes más utilizados como el Sucroflex 80 y propiflex 80. Posteriormente se sigue una serie de pasos lógicos que conlleven al buen funcionamiento y el cumplimiento de los objetivos planteados, a continuación se explicará claramente su funcionamiento.
2.3 Proceso del sistema
Con base a la figura 1 se puede dar una idea de los pasos que sigue el proceso. Se ingresa la sustancia a recuperar en el evaporador hasta un máximo de tres cuartas partes de su capacidad, luego por medio de la interfaz hombre máquina implementada entre LabView y el PLC por medio de una conexión Ethernet se podrá visualizar todas las señales del sistema y tener control sobre ellas, al oprimir el botón de inicio del programa se mostrará en el sistema Scada las temperaturas actuales de los dos transmisores de temperatura, uno ubicado en el tanque del evaporador y el otro entre la salida del evaporador y la entrada del condensador, al mismo tiempo se encenderá un indicador de color verde con el nombre de proceso. Posteriormente se debe ingresar el set point o la referencia de la temperatura que el sistema debe controlar, para este caso 85°C, luego se debe encender y apagar el suiche con el nombre de inicio PID, este pondrá en marcha un controlador PID automático de temperatura con Anti-Windup y salida PWM a su vez accionará un relé de estado sólido que controlará el estado encendido o apagado de una parrilla eléctrica, que es la encargada de calentar el evaporador a la temperatura asignada sin superar los 100°C. Cuando la temperatura en el evaporador alcance 80 °C se debe abrir un sistema de aguas ubicado en el condensador que tiene la misión de provocar un choque térmico y pasar el estado de la materia de gaseoso a líquido, esto se da por intercambio de calor, es de aclarar que el agua que ingresará al condensador tendrá una temperatura aproximada de 25 °C y la que saldrá de él tendrá una temperatura aproximada de 27°C. Esta agua no se re circula, el proyecto no cuenta con un sistema de refrigeración de agua para su posterior recirculación.
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Figura 1. Diagrama de flujo
Cuando el sistema alcance los 80°C se espera que el condensador atrape las partículas de acetato de etilo etanol y agua, de ese modo se da cumplimiento al objetivo principal de proyecto.
Para la puesta en marcha del proyecto se realizaran las siguientes actividades:
Recolección de información por medio de artículos científicos, manuales, internet y libros.
Posteriormente se realizaron montajes y pruebas de cada etapa y por último se ajustará el sistema con base a las pruebas.
Inicio
Ingreso de la Sustancia a Recuperar en el evaporador Interfaz Hombre Maquina entre PLC y LabView por medio de
conexion Ethernet
Visualizacion de todos los parametros del sistema : sensores, entradas y salidas
manipulacion del sistema : set point y puesta en marcha controlador PID de Temperatura
Inicio proceso, calentamiento etapa de evaporacion en base al controlador PID de Temperatura
Apertura ingreso de agua al condensador
Recuperacion de los solventes en el condensador
Fin del proceso
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Figura 2. Diagrama de proceso
3 MARCO TEÓRICO
3.1 Que es un sistema de control
Un sistema de control es un conjunto de variables que interactúan entre ellas mismas con el propósito de tener un resultado con respecto a un objetivo.
Figura 3. Sistema de control
El objetivo fundamental es la autorregulación, de modo que se pueda minimizar los errores, la sensibilidad del sistema, es decir las perturbaciones o cambios internos o externos, la velocidad de respuesta, el ruido, la estabilidad planta controlador, la ganancia en lazo abierto o cerrado, el ancho de banda, todo con el fin de tener un resultado esperado.
3.2 Sistema de control lazo cerrado
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Un sistema de control en lazo cerrado se da cuando se realimenta la entrada con la señal de salida del sistema con el objetivo de minimizar el error presente, en la cual la señal a controlar es comparada continuamente.Un claro ejemplo es la figura 4 que contiene una referencia un controlador y una plata o proceso.
Figura 4. Lazo cerrado de control
3.3 Controlador de acción proporcional (regulador P)
La acción proporcional Kp es una constante que al multiplicarse por un error amplifica una salida y da una respuesta proporcional al error, si el error es pequeño la magnitud de reacción es lenta, si el error es grande la magnitud de respuesta es rápida, matemáticamente entre más grande sea la constante Kp el error es menor y la respuesta más rápida, pero en realidad al elegir una constante Kp demasiado grande el sistema tiende a oscilar.
𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝. 𝑒(𝑡) (1)
Figura 5. Acción proporcional
Su transformada en la place está determinada por medio de la ecuación
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝐾𝑝 (2)
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3.4 El regulador de acción integral (regulador I)El regulador de acción integral se utiliza para eliminar el error promedio presente, esto se da debido a que la acción de control actúa 2 veces más rápido que la del error.
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑖 𝑒 𝑑𝑡 3 ; 𝑘𝑖 = 1 𝑇𝑖 (4)
Su transformada en la place está determinada por medio de la ecuación
𝑈(𝑡)
𝐸(𝑡) = 𝐾𝑖 𝑠 (5)
3.5 El regulador diferencial (regulador D)
La función de la acción derivativa es generar una acción de control que elimine las variaciones del error con respecto al tiempo, cumpliendo la acción de previsión, sin embargo, es propensa a amplificar las señales de alta frecuencia. Esta acción por su naturaleza no se usa sola debido a que sería un sistema no causal.
𝑈(𝑡) = 𝐾𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑡 (6)
3.6 Controlador PIDUn controlador PID (controlador proporcional integral derivativo) está diseñado con todas las acciones anteriormente descriptas combinando las acciones de reacción al error, eliminación del error y de anticipación al error.
𝑈 𝑡 = 𝐾𝑝𝑒 𝑡 + 𝐾𝑝
𝑇𝑖 𝑒 𝑡 𝑑 𝑡 + 𝐾𝑝𝑇𝑑 𝑑𝑒(𝑡) 𝑑𝑡
𝑡
0
(7)
Su función de transferencia
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠) = 𝐾𝑝 1 + 1
𝑇𝑖𝑠 + 𝑇𝑑𝑠 (8)
En los cuales Kp es la ganancia proporcional Ti es el tiempo integral y Td el tiempo derivativo.
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Figura 6. Lazo controlador PID3.7 Respuesta transitoria para sistemas de orden superior
La función de transferencia para este tipo de sistemas está determinada por:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠) = 𝐺(𝑠)
1 + 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 (9)
Figura 7. Lazo de realimentación
Es importante este tipo de modelo para determinar la respuesta de un sistema ante cualquier entrada.
3.8 Criterio de estabilidad de Routh
Es útil para determinar bajo qué condiciones un sistema es estable o inestable, Routh determinó que un sistema es estable si y solo si todos los polos en lazo cerrado se ubican en el semiplano izquierdo del plano S.
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Se debe cumplir que el sistema sea lineal bajo la ecuación𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=𝑏0𝑆𝑚+ 𝑏1𝑠𝑚 −1+ … 𝑏𝑚 − 1𝑆 + 𝑏𝑚
𝑎𝑜𝑆𝑛+ 𝑎1𝑠𝑛−1+ ⋯ 𝑎𝑛 − 1𝑆 + 𝑎𝑛 =𝐵(𝑠) 𝐴(𝑠) (10)
Posteriormente se analiza la ecuación característica del sistema, en este caso A(s).
El primer paso es escribir la ecuación característica igualada a cero
𝑎𝑜𝑆
𝑛+ 𝑎1𝑠
𝑛−1+ ⋯ 𝑎𝑛 − 1𝑆 + 𝑎𝑛 = 0
Esto se hace con el fin de eliminar cualquier raíz cero del sistema, se debe verificar que la ecuación no tenga números negativos si en ella hay por lo menos algún número positivo, si es así, el sistema posee por lo menos alguna raíz o raíces con parte real positivo, por lo tanto el sistema no es estable. Es de resaltar que esta condición no es absoluta y se debe evaluar el sistema siguiendo un patrón.
Se ordena el polinomio de mayor a menor siguiendo la siguiente matriz.
𝑆
𝑛𝑎𝑜 𝑎2 𝑆
𝑛 −1𝑎1 𝑎3 𝑆
𝑛 −2𝑏1 𝑏2
𝑎4 𝑎6 … 𝑎5 𝑎7 …
𝑏3 𝑏4 …
𝑆
𝑛−3𝑐1 𝑐2 𝑆
𝑛−4𝑑1 𝑑2
. . .
𝑐3 𝑐4 …
𝑑3 𝑑4 …
. . …
𝑏1 = 𝑎1𝑎2 − 𝑎0𝑎3
𝑎1 𝑏2 = 𝑎1𝑎4 − 𝑎0𝑎5
𝑎1 𝑏3 = 𝑎1𝑎6 − 𝑎0𝑎7 𝑎1 𝑐1 = 𝑏1𝑎3 − 𝑎1𝑏2
𝑏1 𝑏2 = 𝑏1𝑎5 − 𝑎1𝑏3
𝑏1 𝑏3 = 𝑎1𝑎6 − 𝑎0𝑎7 𝑏1 𝑑1 = 𝑐1𝑏1 − 𝑏1𝑐2
𝑐1 𝑑2 = 𝑐1𝑏3 − 𝑏1𝑐3 𝑐1
Al completar el enésimo renglón de cualquier polinomio, la primera columna de la matriz no debe tener números con signo negativos, todos deben ser positivos para garantizar que el sistema sea estable.
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3.9 Controlabilidad
Otro de los análisis importantes antes de diseñar un controlador es determinar si el sistema es controlable, para ello se pasa la función de transferencia del modelo hallado a espacio de estado.
𝑋 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢 𝑡 (11) 𝑌 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡 + 𝐷𝑢 𝑡 (12)
Un sistema es controlable en 𝑡 = 𝑡0, si es posible construir una señal de entrada sin restricciones que transfiera el sistema de un estado inicial a cualquier estado final en un intervalo de tiempo finito, adicionalmente en la matriz A se analiza la estabilidad del sistema, en la matriz B los efectos del sistema a la entrada, en la matriz C los efectos en la salida en la variable de estado y en el vector D la ganancia en Dc del sistema.
𝐶0 = 𝐵 𝐴1𝐵 𝐴2𝐵 … 𝐴𝑛−1𝐵 (13)
Para el análisis de controlabilidad basta con los coeficientes de las matrices A y B del sistema.
Al analizar los resultados de la matriz de controlabilidad se debe tener presente que debe ser coherente con el tipo de sistema, es decir, que al calcular su rango debe ser igual al del sistema, es decir si el sistema es de orden dos el rango debe ser dos adicionalmente el determinante de la matriz debe ser diferente de cero de lo contrario el sistema no es controlable.
3.10 Observabilidad
Un sistema es observable si un estado X(𝑡0) se puede determinar a partir de la observación de la salida Y(t) en un tiempo finito De igual modo el análisis de observablilidad del sistema se da a partir de la siguiente matriz
𝑜𝑏 = 𝐶 𝐶𝐴⋮ 𝐶𝐴𝑛−1
(14)
En este caso se analiza el par matricial A y C
La prueba más sencilla para determinar si el sistema es observable consiste en que la matriz de observabilidad no puede tener toda una columna en ceros.
3.11 Temperatura [ T ]
Es la propiedad que determina si un objeto esta en equilibrio térmico con respecto a otros, recordando que el equilibrio térmico se da cuando no se intercambia energía entre los objetos involucrados, es decir, es la propiedad que determina que tanta energía tiene un objeto con respecto a otro. La técnica que se usa a nivel internacional SI para determinar
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los cambios de esta magnitud como fluido termométrico es la de gases ideales, su unidad de medida es el kelvin (K), es la escala absoluta de temperatura.𝑇𝑘 = 𝑇𝑐 + 273.15 (15)
Aunque en la práctica las escalas más utilizadas son la Celsius Tc y la Fahrenheit Tf.
𝑇𝑐 = 𝑇𝑘 − 273.15 𝑇𝑐 =5
9 𝑇𝑓 − 32 (16) 𝑇𝑓 =9
5𝑇𝑐 + 32°𝐹 (17) 3.12 Presión [ P ]
La presión es la fuerza normal ejercida por unidad de área 𝑃 =𝐹
𝐴=𝑚𝑔
𝐴 (18)
Se puede calcular de igual modo la presión estática a partir del concepto anterior, se da cuando se tiene una columna de un fluido bajo la influencia de la fuerza de gravedad, considerando la masa como el producto del área de sección transversal por la densidad del fluido por la altura del fluido.
𝑚 = 𝐴𝜌 (19) 𝑃 =𝐴𝜌𝑔
𝐴 = 𝜌𝑔 = 𝑁
𝑚2 (20)
Los instrumentos actualmente vigentes ofrecen dos tipos de lecturas, la relativa o manométrica y la absoluta.
La presión manometría es la diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica del entorno, quiere decir que el cero del instrumento es independiente de la presión atmosférica presente y el instrumenta empieza a marcar presión por encima de esta.
La presión absoluta es con respecto al vacio absoluto (ausencia de aire), en este caso el instrumento marca la presión presente en la atmosfera.
3.13 Calor [ Q ]
El calor es la transferencia de energía de un objeto caliente a uno frio, es decir el calor fluye de una temperatura mayor a una menor, se describe en magnitud a partir de energía, como el BTU, Joule, Watt y el cal
1 𝐵𝑡𝑢 = 1054 𝐽 = 252 𝑐𝑎𝑙 1 𝐽 = 0.738 𝑝𝑖𝑒. 𝑙𝑏 1𝐾𝑊 = 3.60𝑥106𝐽
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3.14 Transferencia de energíaLa trasferencia de calor se puede dar por medio de tres formas: por conducción, convección y radiación.
En el proyecto se utiliza el método de trasferencia por conducción, en este el calor puede ser conducido por medio de sólidos, líquidos y gases.
Fourier plantea que la transferencia de energía se puede expresar como.
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 =𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
En donde la transferencia por conducción se rige por medio de la ecuación.
𝑞
𝐴= 𝐾𝑑𝑇
𝑑𝑥 (21)
Q representa la velocidad de transferencia de calor en W (watt), A representa el área de corte transversal normal a la dirección de flujo (𝑚2), K es la conductividad térmica W/m, dT/dx es el gradiente de temperatura.
3.15 Calor especifico [C ]
Una correcta descripción es llamarlo transferencia especifica de energía, se da a partir de la capacidad térmica C, este hace referencia a la cantidad de energía que se requiere para incrementar una muestra particular en 1°C
𝑄 = 𝐶∆𝑇 (22) 𝐶 = 𝑚𝑐
Por consiguiente el calor específico es la medida de que tan insensible es un material o sustancia a la adición de energía, es la cantidad de energía necesaria para producir un cambio particular en la temperatura del material.
𝑐 = 𝑄
𝑚∆𝑇 (23)
Un claro ejemplo es la diferencia de energía que hay que aplicar a un material de aluminio en comparación a uno de plata para producir un cambio en la temperatura, el aluminio requiere 900 J/Kg. °C mientras la plata requiere 234 J/Kg. °C, Quiere decir que el aluminio es mas insensible térmicamente.
3.16 Calor Latente [L]
El calor latente, llamado también calor oculto se da en los cambios de fase de la materia, su particularidad se denota debido a que la trasferencia de energía no provoca un cambio en la temperatura, es decir, a pesar de que aumenta la energía la temperatura no
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aumenta, un claro ejemplo es cuando el agua empieza a tener un cambio de fase, de liquido a gas (Ebullición), durante este proceso la temperatura no cambia hasta que todo el liquido se convierta en vapor.El calor latente se define como:
𝐿 = 𝑄
𝑚 (24)
Dos cambios de fase comunes son el Calor latente de fusión𝑳𝒇 (de solido a liquido) y el Calor latente de vaporización (de liquido a gas).
3.17 Entalpia
La entalpia se define como
∆𝐻 = ∆𝑈 + ∆ 𝑃𝑉 (25)
Donde 𝐔 es la Energia total interna (J),𝐏 es la Presion absoluta (N/m2) y 𝐕 es volumen total (m3), La ecuación es útil para determinar cambios diferenciales y finitos en el sistema, la expresión tiene unidades de energía, normalmente se utiliza en procesos en los cuales el flujo es constante, si se desea pasar a unidades de BTU simplemente se debe dividir el resultado por 778.16.
3.18 Punto de rocío y de burbuja
El punto de rocío es la temperatura a la cual se forma la primera gota de líquido al enfriar una mezcla de vapores a una presión constante previamente especificada, el punto de burbuja es cuando se forma la primera burbuja de vapor al calentar una sustancia a presión constante
3.19 Evaporador
Su principal función es la transmisión de calor por efecto de conducción llevando la materia a un cambio de fase, normalmente a ebullición, esta se da dependiendo del líquido en contacto, si la sustancia a evaporar tiende a concentrarse, es decir a la formación de sólidos, se hace más difícil la transmisión de calor, debido a que su viscosidad y densidad aumentan, por consiguiente la temperatura de ebullición aumenta.
Si la sustancia tiende a formar costras, en especial en la superficie de transferencia de energía esta disminuirá el coeficiente global de trasferencia de energía.
El Materiales de construcción de los evaporadores Normalmente son en hierro o acero, pero lo más conveniente es utilizar materiales como el cobre, el níquel, el acero inoxidable, el aluminio, que presentan una mayor velocidad de transferencia de energía y no contaminan las sustancias con materiales ferrosos.
Se debe adicionalmente conocer algunas propiedades del líquido a evaporar, como el calor especifico, el calor latente, la temperatura de congelación, la cantidad de gases que libera durante el proceso de ebullición para determinar qué tanta energía se requiere en el sistema.
En el proyecto se utilizo un cilindro en acero inoxidable como material de contacto a la transmisión de energía por medio de una parrilla eléctrica, en la tabla 1 se describe las
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características termodinámicas del material, como su densidad, su calor específico y su capacidad de conductividad térmica (transmisión de calor).Tabla 1. Características acero inoxidable (Smith, 2003)
Descripción 𝜌𝐾𝑔/𝑚3 Cp (J/Kg.K) K (W/m.K)
Acero inoxidable AISI 304
8055 480 15.1
En el proyecto No se utiliza los diseños descritos por varios libros como los evaporadores de tubos cortos o largos, o de película agitada. Asiendo una analogía se podrían decir que se asemeja a una marmita.
En los diseños de evaporadores por tubos se debe considerar que incluyen adicionalmente una etapa de condensación, en este tipo de evaporadores la energía es transmitida por calor latente, es rica en energía, recordando que posee más energía un vapor a 100°C que un líquido a los mismos 100°C.
3.20 Intercambiador de calor
Utilizado ampliamente en la industria con el fin de intercambiar energía entre sustancias o de condensarlas.
El efecto más común es cuando se tiene una sustancia caliente y una fría e intercambian energía por convención, estos dos fluidos no entran en contacto directo, los separa una pared de tubos o de placas, los intercambiadores más comunes son: intercambiador de doble tubo, intercambiador de tubo y coraza, e intercambiador de flujo cruzado.
En el proyecto se utiliza un intercambiador de doble tubo en donde uno de los fluidos fluye en el interior de la tubería, en este caso agua y el otro entre el espacio entre ambas tuberías, vapor, como en la figura 8. Este diseño es ideal para sistemas con velocidades de flujo bajos.
Figura 8. Intercambiador de doble tubo
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3.21 Transmisores de temperaturaPara generar un loop de control de 4 a 20mA a partir de los cambios de resistencia detectados por el termopar, se utiliza el Transmisor Siemens TH100.
La señal emitida por un termómetro de resistencia PT100 se conecta a la entrada del transmisor a tres hilos, luego esta señal se amplifica y la tensión proporcional a la señal de entrada se convierte en señales digitales por medio de un multiplexor a un conversor análogo digital, posteriormente las procesa un microcontrolador con base a las características del sensor como el rango de medida, en el proyecto el rango de los dos transmisores es de 0 a 100°C, quiere decir que 4mA equivaldría a 0°C y 20mA a 100°C
Figura 9. Diagrama de bloques transmisor TH100 Siemens
Tabla 2. Descripción transmisor TH100
Número Descripción
1 Termómetro de resistencia PT100
2 Etapa de entrada con componentes de protección
3 Fuente de corriente constante
4 Multiplexor
5 Conversor análogo digital
6 Microcontrolador, funciones aritméticas y guardado de parámetros
7 Conversor digital-analógico
8 Alimentación Auxiliar/corriente de salida I
9 Etapa de salida con componentes de protección
10 Convertidor de tensión, convertidor de corriente, fuente de tensión constante y fuente de tensión de referencia.
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3.22 OPC ServerEs el que permite la comunicación entre el PLC y LabView por medio de una comunicación Ethernet de modo que puedan compartir datos entre ellos. En el proyecto se utiliza el software KepServeEx5. Esta comunicación se lleva a cabo creando en el software las variables a las que se quiere tener acceso, especificando el tipo de dato y el nivel de acceso, es decir, si es de lectura, escritura o ambas. Antes de existir esta herramienta la industria tenía el inconveniente de no poder compartir datos entre diferentes familias y dispositivos en el área de la automatización, necesitando drivers y protocolos para cada aplicación, la solución fue crear un programa que unificara una comunicación común para todos, aportando como beneficio la creación de una sola fuente de información en los que todos pudieran acceder, reduciendo así tiempos de procesamiento, cargas a los procesadores y atraso por falta de protocolos. Es de aclarar que este tipo de datos o comunicación solo se dan en su gran mayoría en los datos de tiempo real.
El software en el proyecto solo se puede usar por 2 horas consecutivas debido a que es una versión demo, es de resaltar que este software tiene la capacidad de comunicarse con prácticamente todas las marcas de PLC y dispositivos compatibles con OPC Server tales como Alan Bradley, Fanuc, Mitsubishi, Schneider, Festo, Siemens.
3.23 PLC S7 1200
(Controlador lógico programable), tiene como fin procesar las señales digitales y análogas del sistema, de implementar el controlador PID de temperatura automático con salida PWM, de hacer interfaz hombre máquina con LabView a través de una conexión Ethernet y el software KepserverEx5. Se utiliza el Siemens S7 1200 CPU 1212C. Esta CPU incorpora un microprocesador con fuente de alimentación integrada que vigila las entradas del proceso y cambia sus salidas según la lógica programada, es de resaltar que tiene la capacidad de procesar señales de hasta 64 bit, su velocidad de procesamiento es de 0,1 µs por instrucción y 18µs para números reales o en coma flotante.
3.23.1 Características
8 entradas, 6 salidas digitales, 2 entradas análogas, 4096 bytes Área de marcas de memoria, 4 contadores rápidos de fase simple y en cuadratura, puerto Ethernet de comunicación, se puede ampliar a 2 módulos adicionales (entradas y salidas), 3 módulos de comunicación ( Ethernet, RS 485 y Rs 232).
Esta CPU cuenta con cuatro tipos de bloques para la puesta en marcha de cualquier programa lógico.
3.23.2 Bloque OBs
Es un bloque de organización, se ejecuta continuamente, a excepción de los OBs especiales de alarmas.
22
3.23.3 Bloque FB y FCBloque de función. Es una subrutina que se ejecuta cuando es llamado desde otro bloque lógico (OBs, FB, FC) provee parámetros de entrada y salida para compartir datos con los bloques invocantes, siempre que se crea un Bloque FB se requiere un bloque DB
3.23.4 Bloque DB
Es un bloque de datos que almacena información, posteriormente pueden ser utilizados por cualquiera de los bloques anteriormente mencionados.
La CPU ejecuta los siguientes pasos en los estados de Arranque y RUN
Figura 10. Procesos PLC
Tabla 3. Pasos puesta en marcha PLC
Arranque Run
A. Borra el área de memoria I 1. Escribe la memoria Q en las salidas físicas
B. Inicializa las salidas con el último valor o el valor sustituto.
2. copia el estado de las entradas físicas en la memoria I
C. Ejecuta los OBs de arranque 3. ejecuta los OBs de ciclos D. Copia el estado de las estradas físicas a
la memoria I
4. Realiza auto diagnóstico E. Almacena los eventos de alarmas en la
cola de espera que deben procesarse en estado Operativo Run
5. Procesa alarmas y comunicación en cualquier parte del ciclo.
F. Habilita la escritura en la memoria Q en las salidas físicas.
El algoritmo interno de PLC entrega un valor de salida con respecto a la fórmula siguiente.
Para un controlador PID.
𝑦 = 𝐾𝑝 𝑏. 𝑤 − 𝑥 + 1
𝑇𝑖 𝑠 𝑤 − 𝑥 + 𝑇𝑑 𝑠
𝑎. 𝑇𝑑. 𝑠 + 1(𝑐. 𝑤 − 𝑥) (26)
23
Tabla 4. Parámetros salida controlador PID
Símbolo Descripción
Y Valor de salida
Kp Ganancia proporcional
S Operador laplaciano
b Ponderación acción P
W consigna
X Valor real
Ti Tiempo integrativo
a Coeficiente para la acción
derivativa(T1=axTd)
Td Tiempo derivativo
c Ponderación de la acción D
Figura 11. Diagrama de bloques PID controlador
24
Figura 12. Diagrama de bloques PIDT1 con anti Windup
4 DESARROLLO
El desarrollo del proyecto involucra varias disciplinas, especialmente, el control, la automatización y la termodinámica.
La secuencia general de todo el sistema se describe en la figura 13
Figura 13. Diagrama de proceso general
25
4.1 Identificación del sistemaSe hace una serie de pruebas con el fin de determinar el comportamiento y el modelo matemático que mejor representa al sistema de evaporación, inicialmente se realiza variando la señal de entrada (PWM) del sistema de forma seudoaleatoria, esta señal tiene un tiempo de ciclo de 1000ms y es la encargada de encender o apagar el sistema de calentamiento por medio de un relé de estado sólido y una parilla eléctrica, los datos se obtuvieron en tiempo real, se logro conectando el sistema al Scada el cual genero dos archivos TXT, uno para la temperatura del proceso y el otro para los cambios del generador de pulsos, al final de la prueba el sistema se comporto como en la gráfica 1.
Gráfica 1. Respuesta del sistema normalizado
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
0 20 40 60 80
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
26
En la gráfica 1 podemos observar en la parte superior la señal de salida del sistema, es decir los cambios de temperatura que sufrió el sistema de evaporación con respecto a la señal de entrada, es de aclarar que en esta señal se quito el offset, es decir la temperatura inicial con la que arranco el sistema antes de cualquier cambio de temperatura, en este caso 24.22°C.En la parte inferior de la gráfica 1, La señal de salida está normalizada y representa el porcentaje de duración de PWM, siendo 1 el 100% de duración de todo el ciclo.
Luego de evaluar varios modelos matemáticos en Matlab que se acercaran lo más posible al sistema de evaporación contenidos en la tabla 5, se determinó que una adecuada respuesta fue el sistema de segundo orden P2 contenido en la gráfica 2.
Gráfica 2. Representación de posibles modelos del sistema de evaporación
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
-20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70
Time
Measured and simulated model output
27
Tabla 5. Respuestas de los Modelos Tipo de
Sistema
Porcentaje de correlación
Loss function FPE
Primer orden P1
87.84 % 4.215 4.217
Segundo orden P2
98.19 % 0.09323 0.0933
Tercer orden p3 97.95 % 0.1316 0.1318
Primer orden P1Z con un cero
93.55% 1.1848 1.1857
Segundo orden P2Z con un cero
98.35% 0.0775 0.07763
Segundo orden P2I con
integrador
84.68% 6.6859 6.6914
Segundo orden P2D con retardo
98.17% 0.09562 0.095727
Tercer orden P3D con retardo
98.19% 0.09325 0.09338
Sistema de Tercer orden P3Z con un cero
79.9% 12.684 12.702
Se escoge este modelo debido a que normalmente los sistemas de temperatura responden a un sistema de primer orden, a demás este sistema tiene un error de estimación del modelo bastante bajo en comparación a los demás modelos, a acepción del sistema de segundo orden con un cero P2Z, este sistema a pesar de tener una respuesta un poco más aproximada al modelo real, no se tiene en cuenta debido a que no se justifica volver el sistema más complejo al momento de adicionarle el controlador PID cuando el sistema de segundo orden P2 es más fácil de representar y la diferencia no es significativa.
Por ende un posible modelo a seguir el cual representa al sistema de evaporación es un sistema de segundo orden.
28
𝐺 𝑠 = 𝐾
(1 + Tp1s)(1 + Tp2s) (27) K = 414.65+-0.12896
Tp1 = 6770+-4.0185 Tp2 = 172.05+-0.35559
Loss function 0.0932357 and FPE 0.0933134
El sistema tiene un 98,19 % de correlación con el modelo original, en la gráfica 3 se muestra la respuesta del modelo en comparación al sistema real.
Gráfica 3. Modelo del sistema
Al reemplazar dichos valores la función de transferencia del modelo hallado está dada por
𝐺 𝑆 = 0.35𝑥10−3
𝑆2+ 5.96𝑥10−3𝑆 + 0.858𝑥10−6 (28)
Al someter esta función de transferencia a una respuesta paso se determinó que no se ajusta a la realidad del comportamiento del sistema, tanto en tiempo como en amplitud, como se puede observar en la gráfica 4, los demás modelos de la tabla 5 también presentaron similares características ante una respuesta paso como en la gráfica 5
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
-10 0 10 20 30 40 50 60 70
Time Measured and simulated model output
29
Gráfica 4. Respuesta pasó sistema de segundo orden
Lo más importante de la prueba anterior era poder determinar el comportamiento en frecuencia del sistema.
Gráfica 5. Respuesta pasó modelos tabla 4
Dado lo ocurrido se procede a realizar una segunda forma de hallar un posible modelo del sistema, en este caso la entrada del sistema será un escalón, es decir una señal de PWM al 100%. Al final de la prueba el sistema se comporto como en la gráfica 6.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 104 0
50 100 150 200 250 300 350 400
450 Step Response
Time (sec)
Amplitude
-2 -1 0 1 2 3 4 5
x 104 -100
0 100 200 300 400 500
Time Step Response
30
Gráfica 6. Respuesta de sistema Normalizado ante un escalón
En la gráfica 6 podemos observar en la parte superior la respuesta de sistema ante la entrada, a primera vista se observa un cambio de pendiente bastante brusco, esto se da debido a que el sistema experimento un cambio de fase, de liquido a gaseoso, es decir entro en ebullición, en el cual hasta poco menos de los primeros 1500 segundos el sistema contiene calor especifico, posteriormente cambia a calor latente u oculto, en esta fase el sistema no gana más temperatura a pesar de agregarle más energía, en esta fase la temperatura solo se incrementa hasta cuando el sistema evapore por completo todo el liquido y el vapor restante pase a vapor sobrecalentado.
Posteriormente se hace el mismo análisis en Matlab con el fin de determinar un posible modelo que represente al sistema tanto matemáticamente como en su comportamiento en la vida real.
La tabla 6 contiene 8 posibles modelos que pueden representar al sistema.
Tabla 6. Posibles modelos antes una respuesta paso Tipo de sistema Porcentaje de
correlación
Loss function FPE
Primer orden P1 76.39 % 37.3615 37.4017
Segundo orden P2 82.30 % 17.174 17.2017
Segundo orden con retardo P2D
89.09% 8.4092 8.427
Primer orden con integrador P1I
84.67% 12.880 12.90
Tercer orden P3 91.67 % 4.808 4.819
Tercer Orden con un cero P3Z
85.56% 11.43 11.47
Tercer Orden con 86.83% 10.196 10.224
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
0 20 40 60 80
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
0 0.5 1 1.5 2
31
Tipo de sistema Porcentaje decorrelación
Loss function FPE
retardo P3D Primer orden con
Retardo P1D
80.12% 36.185 36.244
De la tabla 6 el mejor modelo es el de tercer Orden P3, por ende su primer análisis es su respuesta paso con respecto a la función de transferencia.
𝐺 𝑠 = 𝐾
1 + 𝑇𝑝1𝑆 1 + 𝑇𝑝2𝑆 (1 + 𝑇𝑝3𝑆) (29) 𝐾 = 71.497
𝑇𝑝1 = 259.26 𝑇𝑝2 = 259.26 𝑇𝑝3 = 259.02
Al reemplazar dichos valores la función de transferencia del modelo hallado está dada por
𝐻 𝑠 = 71.497
17.41𝑥10
6𝑆
3+ 201.22𝑥10
3𝑆
2+ 777.54𝑆 + 1 (30)
Gráfica 7. Respuesta Paso Modelo Tercer Orden
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 500 1000 1500 2000 2500
0 10 20 30 40 50 60 70 80
32
Al observar la gráfica 7 podemos decir que este modelo responde bastante similar al comportamiento del sistema en la vida real tanto en amplitud como en tiempo, a pesar de no tener un factor de error de estimación del modelo menor a uno.Gráfica 8. Modelo del sistema de tercer Orden P3
Al mirar la gráfica 8 se observa que posiblemente el error de estimación del modelo se da en el cambio de pendiente el cual es complicado de representar matemáticamente.
Debido a esta situación se hace una tercera y última prueba que consiste en variar la señal de entrada PWM manteniéndola constante en cada porcentaje por más de 15 minutos, es de aclarar que la primera prueba se realizo manteniendo un mismo porcentaje de la señal PWM por más de 3 minutos. En la gráfica 9 se observa el comportamiento del sistema.
Gráfica 9. Comportamiento del sistema prueba 3
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80
Time
Measured and simulated model output
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
0 20 40 60 80
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
0 0.5 1
33
En esta prueba lo principal es poder determinar un modelo que al aplicar una respuesta al escalón responda similar al sistema real.Gráfica 10. Respuestas Modelos
En la gráfica 10 se puede observar las respuestas de los diferentes modelos en relación al sistema de la gráfica 8 destacando la respuesta de los sistemas de tercer orden P3, P3Z y el modelo de segundo orden P2.
Posteriormente se realiza la respuesta al escalón de cada uno
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80
Time Measured and simulated model output
34
Gráfica 11. Respuesta de los modelos al escalón prueba 3
De la gráfica 11 podemos decir que ningún modelo matemático se ajusta a la respuesta del sistema real tanto en tiempo como en amplitud. Por ende de las pruebas realizadas, el mejor modelo matemático que se ajusta a la realidad del sistema es el de la prueba 2, un sistema de Tercer orden P3.
Es importante determinar algunas respuestas del modelo con el fin de tener mayor certeza de su comportamiento, se hace indispensable determinar entonces la frecuencia de corte FC, el ancho de banda BW, la sensibilidad S.
Adicionalmente con la función de transferencia del modelo hallado se convierte a espacio de estado para determinar su controlablilidad y observablilidad.
Inicialmente se determina el lugar de los polos del sistema de tercer orden de la prueba 2 con el fin de determinar su estabilidad con base a su función de transferencia
𝐻 𝑠 = 71.497
17.41𝑥106𝑆3+ 201.22𝑥103𝑆2+ 777.54𝑆 + 1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x 104 -100
0 100 200 300 400 500 600
Time Step Response
35
Gráfica 12. Posición de los polos modelo del sistema P3
De la gráfica 12 podemos decir que el sistema es estable ya que sus polos están ubicados en el semiplano izquierdo, el sistema tiene polos conjugados y tres ceros en el infinito.
-0.004137542334954 + 0.000611834214320i -0.004137542334954 - 0.000611834214320i
-0.003282915330093.
La función de transferencia del sistema muestra que tiene 3 ceros en el infinito y tres polos cercanos a cero, quiere decir que es un sistema lento, recordando que un sistema responde más rápido mientras sus polos estén más alejados del origen.
La posición del polo dominante es consecuente con el sistema real, ya que el sistema guarda cierta inercia y tendería a comportarse como un integrador puro sin serlo en su totalidad.
Se halla la frecuencia de corte del sistema a partir de la respuesta en lazo abierto.
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
x 10-3 -5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
5x 10-3 Root Locus
Real Axis
Imaginary Axis
36
Gráfica 13. Respuesta del sistema en lazo abierto
De la gráfica 13 podemos decir que La frecuencia de corte del sistema es de 0.0155 rad/seg a una magnitud de 0.0834 dB y una ganancia de 19 dB a 0.00668 rad/seg para desestabilizar el sistema
De igual modo al hallar la respuesta en lazo cerrado del sistema el ancho de banda es de 0.0188 rad/seg a -3.06 dB aproximadamente, gráfica 14.
10-4 10-3 10-2 10-1
-270 -180 -90 0
Phase (deg)
Bode Diagram
Gm = -19 dB (at 0.00668 rad/sec) , Pm = -48.2 deg (at 0.0155 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
-60 -40 -20 0 20 40
System: gs Frequency (rad/sec): 0.0155 Magnitude (dB): 0.0112 System: gs
Frequency (rad/sec): 0.00668 Magnitude (dB): 19
Magnitude (dB)
37
Gráfica 14. Respuesta del sistema en lazo cerrado
Con esta respuesta se puede determinar el rango de trabajo del sistema dividiéndolo en un límite superior y un límite inferior.
𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 =𝐵𝑊
2 + 𝐹𝐶 = 0.0094 + 0.0112 = 0.0206 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝐹𝑐 −𝐵𝑊
2 = 0.0112 − 0.0094 = 0.0018𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
Con estos datos se puede determinar la sensibilidad del sistema, si en sus límites amplifica o atenúa.
Haciendo el análisis de sensibilidad en matlab el sistema en la frecuencia de corte atenúa -4.8 dB, como se muestra en la grafica 15, es decir propenso a perturbaciones.
10-3 10-2 10-1 100
-405 -360 -315 -270 -225
Phase (deg)
Bode Diagram
Gm = Inf , Pm = -103 deg (at 0.0168 rad/sec)
Frequency (rad/sec) -150
-100 -50 0 50
System: untitled1 Frequency (rad/sec): 0.0188 Magnitude (dB): -3.06
Magnitude (dB)
38
Gráfica 15. Sensibilidad del sistema en la frecuencia de corte
En el límite superior del ancho de banda del sistema amplifica 1.68 dB aproximadamente y en el límite inferior atenúa -21.3dB, gráficas 16 y 17
Gráfica 16. Sensibilidad del sistema en límite superior del ancho de banda
10-4 10-3 10-2 10-1
-360 -270 -180 -90 0
Phase (deg)
Bode Diagram
Gm = 18 dB (at 0.00668 rad/sec) , Pm = 84.5 deg (at 0.0135 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
-40 -30 -20 -10 0 10
System: untitled1 Frequency (rad/sec): 0.0112 Magnitude (dB): -4.8
Magnitude (dB)
10-4 10-3 10-2 10-1
-360 -270 -180 -90 0
Phase (deg)
Bode Diagram
Gm = 18 dB (at 0.00668 rad/sec) , Pm = 84.5 deg (at 0.0135 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
-40 -30 -20 -10 0 10
System: untitled1 Frequency (rad/sec): 0.0188 Magnitude (dB): 1.68
Magnitude (dB)
39
Gráfica 17. Sensibilidad del sistema en límite inferior del ancho de banda
De los datos anteriores se puede decir que efectivamente es un sistema lento el cual es propenso a atenuar en su frecuencia de corte, es decir, asociando esto a la salida del sistema, es propenso a perturbaciones, en la frecuencia de trabajo de su límite inferior el sistema atenúa, es decir, es propenso a responder lento ante una perturbación.
Se puede decir que al diseñar el controlador PID este no debe llevar al sistema más allá del límite superior de la frecuencia de trabajo, en este caso 0.0188 rad/seg, de lo contrario se saturaría el controlador.
Otro de los análisis importantes antes de diseñar el controlador es determinar si el sistema es controlable, ecuación 13
𝐶0 = 𝐵 𝐴1𝐵 𝐴2𝐵 … 𝐴𝑛−1𝐵
Las matrices del sistema en espacio de estado son:
𝐴 = −0.011558 −0.00004466 5.743𝑥10−8
1 0 0
0 1 0
𝐵 = 1 0 0
10-4 10-3 10-2 10-1
-360 -270 -180 -90 0
Phase (deg)
Bode Diagram
Gm = 18 dB (at 0.00668 rad/sec) , Pm = 84.5 deg (at 0.0135 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
-40 -30 -20 -10 0 10
System: untitled1 Frequency (rad/sec): 0.0018 Magnitude (dB): -34.5
Magnitude (dB)
40
𝐶 = 0 0 4.1067𝑥10−6𝐷 = 0
Al realizar el análisis en matlab hallando la matriz de controlabilidad Co, el rango del sistema y su determinante se llega a la conclusión de que el sistema es controlable ya que su rango es 3 y su determinante es 1.
Co=ctrb(A,B) rank(Co)
det(Co)
𝐶𝑜 = 1 −0.011558 8.8927𝑥10−5
0 1 −0.011558
0 0 1
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 3 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 = 1
Se puede asegurar que el sistema es de rango completo ya que su determinante es diferente de cero.
De igual modo el análisis de observablilidad del sistema se da a partir de la siguiente matriz, ecuación 14
𝑜𝑏 = 𝐶 𝐶𝐴⋮ 𝐶𝐴𝑛−1
Al hacer el análisis en matlab la matriz de observabilidad es:
𝑜𝑏 = 0 0 4.1067𝑥10−6
0 4.1067𝑥10−6 0
4.1067𝑥10−6 0 0
Su rango es 3 y su determinante es - 6.9259x10−17 se puede decir que el sistema es poco observable sin serlo totalmente, recordando que un sistema es mas observable mientras su determinante de la matriz de observablilidad de lo menos cercano al origen al lugar geométrico de las raíces o una de sus columnas no sea cero totalmente.
La función de transferencia del sistema muestra que tiene 2 ceros en el infinito y dos polos cercanos a cero, quiere decir que es un sistema lento, recordando que un sistema responde más rápido mientras sus polos estén más alejados del origen.
La posición del polo dominante es consecuente con el sistema real, ya que el sistema guarda cierta inercia y tendería a comportarse como un integrador puro sin serlo en su totalidad. Con los criterios anteriormente vistos procedemos a diseñar el controlador PID en frecuencia con la ayuda de la herramienta sisotool de Matlab, esto se logra ingresando la función de transferencia del modelo, posteriormente se ingresa un polo en el origen y
41
dos ceros al sistema los cuales se moverán en relación con el ancho de banda del sistema hallado anteriormente, sin sobrepasar la frecuencia de corte del límite superior y así obtener la función matemática del controlador PID.Se plantea un posible modelo de controlador para el sistema, en la gráfica 18 se muestra la distribución de los polos y los ceros del sistema planta controlador, dicho modelo tiene un sobre pico de 0.6 % por encima del setpoint a una frecuencia de 0.00205 rad/seg.
Gráfica 18. Posición polos y ceros sistema planta controlador
El modelo matemático entregado para el controlador PID es el siguiente.
𝐶1 𝑠 = 2.9843𝑥10−5(1 + 6.2𝑥102𝑆 + 9.61𝑥104𝑆2)
𝑆 (31)
2.9843𝑥10−5+ 18.503𝑥10−3𝑆 + 2.868𝑆2 𝑆
42
Para el diseño del controlador se utilizó la arquitectura de la figura 14, en esta, F representa el setpoint, C el compensador, que fue el hallado, G la función de transferencia del modelo de la planta y H que se considero como 1.Figura 14. Arquitectura controlador
Por consiguiente se aplica la ecuación 9 para hallar la función de transferencia planta controlador.
Donde G(s) = C1(s) (H(s)) ; F=R(s)
𝐺 𝑠
= 71.497
17.41𝑥106𝑆3+ 201.22𝑥103𝑆2+ 777.54𝑆 + 1.2.868𝑆2+ 18.503𝑥10−3𝑆 + 2.984𝑥10−3 𝑆
𝐺 𝑠 = 205.05𝑆2+ 1.323𝑆 + 2.134𝑥10−3
17.41𝑥106𝑆4+ 201.22𝑥103𝑆3+ 777.54𝑆2+ 𝑆 (32) 𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)= 205.05𝑆2+ 1.323𝑆 + 2.134𝑥10−3
17.41𝑥106𝑆4+ 201.22𝑥103𝑆3+ 982.59𝑆2+ 2.323𝑆 + 2.134𝑥10−3 (33)
Al aplicar un escalón a la función de transferencia planta controlador el sistema responde como en la gráfica 19, recordando que la función de transferencia planta controlador esta normalizado y su amplitud depende del setpoint requerido, en este caso es 1.
En esta grafica se observa que el sistema tarda poco más de 1500 seg en llegar a su pico máximo con un sobre pico de 0.6 %.
43
Gráfica 19. Respuesta planta controlador
Para observar mejor la diferencia entre el modelo y el modelo con el controlador se le da un set point de 71 al sistema planta controlador, en la gráfica 20, la figura con línea continua representa al sistema planta controlador y la discontinua representa el modelo del sistema.
Gráfica 20. Respuesta sistema planta controlados vs sistema
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
System: PID Peak amplitude: 1.01 Overshoot (%): 0.501 At time (sec): 1.5e+003
Time (sec)
Amplitude
0 500 1000 1500 2000 2500
0 10 20 30 40 50 60 70 80
