MATRICES Y DETERMINANTES II.

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Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes II. Página 1

MATRICES Y DETERMINANTES II.

Matriz adjunta es la matriz cuadrada que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto correspondiente. Calcula la matriz adjunta:

A =(

2 −2 2

2 1 0

3 −2 2 )

Primero calculamos el determinante de la matriz:

|A| = [

2 −2 2

2 1 0

3 −2 2

] = [4 + (-8) – 6 – (-8)] = -2

Ahora calculamos todos los adjuntos del determinante:

|A

₁₁

| =(+) | ¹ ⁰

−2 2 ^{| = 2} ^|A

¹²

^{| =(-) |}

2 0

3 2 ^{| = -4}

|A

₂₁

| =(-) | ^{−2 2}

−2 2 ^{| = 0} ^|A

²²

^{| =(+) |}

2 2

3 2 ^{| = -2}

|A

31

| =(+) | ^{−2 1}

1 0 ^{| = -2} ^|A

³²

^{| =(-) |}

2 2

2 0 ^{| = 4}

|A

₁₃

| =(+) | ² ¹

3 −2 ^{| = -7} ^|A

²³

^{| =(-) |}

2 −2

3 −2 ^{| = -2}

|A

₃₃

| =(+) | ^{2 −2}

2 1 ^{| = 6}

La matriz adjunta se representa con la letra Adj(A) y en el anterior ejercicio para terminarlo hay que poner cada

resultado de los elementos dentro de una matriz de

acuerdo a la posición de los mismos, siendo A11 = 2; A21 = 0; A31 = -2, etc., etc.

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Adj(A) =

2 −4 −7

0 −2 −2

−2 4 6

Y si se resuelve la determinante de la matriz adjunta, el cuadrado del resultado anterior, es decir 4.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.

1ª. El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta:

|A| = | ¹ ²

3 4 ^{| = |A}

t

| = | ¹ ³

2 4 ^{| = -2}

2ª. El determinante que es multiplicado por un número tiene como resultado la multiplicación de dicho número por el resultado del determinante:

3 x |A| = _| ¹ ²

3 4 | = 3 x (-2) = -6

2ª-A. Si un número se multiplica por una línea de dicho determinante, solo se aplica a dicha fila:

3 x |A

₁₁

- A

₂₁

| = _| ^{3 2}

9 4 ^| ^{= -6}

3ª. Si todos los elementos de una matriz se pueden dividir por el mismo número el determinante de la matriz queda multiplicado por el número al cuadrado:

|A| = _| ³ ⁶

9 12 | = (:)3 = |A| 3

²

| ¹ ²

3 4 ^{| = -18}

(3)

4ª. Esta es una gilipollez: Si todos los elementos de una línea están formados por sumandos, dicha determinante se puede sustituir por la suma de dos determinantes con

dichos sumandos:

|A| = _| ³ ⁶

9 12 ^{| = |}

(1 + 2) 6

(3 + 6) 12 ^|

|A

₁

| = _| ² ⁶

6 12 ^{| +} ^|A

²

^{| =} ^|

1 6

3 12 ^{| =}

^{|A| =}

^|

𝟑 𝟏𝟐

𝟗 𝟐𝟒 ^|

5ª. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de ambas:

|A x B| = |A| x |B|

A =

_| ^{3 2}

1 4 ^|

^{B =}

^|

5 2

4 3 | = A x B =| ^{23 12}

21 14 ^{| = 70}

|A| = 10 |B| = 70

NOTA: Recuerda que la multiplicación de una matriz 2x2 con otra 2x2 en (a11), se realiza la suma de los productos de la fila 1ª por columna 1ª de la segunda matriz y después en la (a12), la suma de los productos de la 1ª fila por la 2ª columna de la segunda matriz. Se hace lo mismo con a21 y a22.

6ª. Si en un determinante se cambia una línea por otra, se cambia el signo de las mismas:

|A| =

2 −2 1

5 −3 2

−3 4 −1

= -

2 −2 1

−3 4 −1

5 −3 2

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7ª. Si un determinante tiene dos líneas iguales o proporcionales, su determinante es cero.

|A| = | ⁴ ⁻²

−8 4 | = (:2) = | ² ⁻¹

−4 2 ^{| = 0}

|A| = | ⁴ ⁴

−2 −2 ^{| = 0}

8ª. Si los elementos de una línea son combinaciones lineales de otras, su determinante es cero:

|

_{A| = [}

3 −5 2

−5 3 −2

−1 −1 0

] = 0

Ya que f₁= 2f₃ + (-1)f₂ = [-2 -2 0] + [5 -3 2] = [3 -5 2] 9ª. Si a los elementos de una línea se le suma una combinación lineal de otras líneas, mantiene su determinante:

|A| = [

3 −5 2

−5 3 −2

−1 −1 0

] = 0

f

₁

+(-2)f

₃

=[

5 −3 2

−5 3 −2

−1 −1 0

] = 0

10ª. El valor de una determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

|A| = [

3 −5 2

0 3 −2

0 0 1

] = 3

²

x 1 = 9

(5)

11ª. Si los elementos de una línea son nulos, el valor de la determinante es cero:

|A| = [

3 0 2

−5 0 −2

−1 0 0

] = 0

Ahora estas en posición de reducir una determinante convirtiendo en ceros sus elementos para así no resolver todo su conjunto:

Para ello podemos proceder mediante:

Método de reducción de Gauss.

Implica ir poniendo ceros a lo largo de la diagonal triangular inferior para ir despejando elementos.

Así que, designando por filas la determinante siguiente:

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Si queremos convertir el 2 que hay en la F3 en un 0, deberemos de multiplicar, por ejemplo la fila 1 por su negativo de la forma:

F3 = F3 - 2F1

Y aplicamos a toda esa fila, quedando la matriz nueva como:

F3 = F3 – 2F1 = 0 −4 −4 −3

Quedando la determinante de la forma:

Y ahora lo que nos interesa es convertir en cero el primer elemento de la fila 4, es decir el 3. Para ello, igual que el anterior, procedemos a restar a la fila 4, el producto del número por la fila 1:

F4 = F4 – 3F1 = 0 1 8 −10

Quedando ahora la determinante:

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El método de Gauss implica que puedes seguir reducción los números hasta que en el diagonal triangular inferior queden todos ceros.

Pero ya podemos resolver la determinante convirtiéndola a una 3x3 y multiplicándola por el elemento en cuestión que sobra (y en este caso es el 1) ya que como los elementos de una columna son ceros, se pueden dividir:

Quedando ahora:

|C| = 1 x [

3 2 −2

−4 −4 −3

1 8 −10

]

Resolviendo:

|C| = 1 x [(120) + (64) + (-6) – 8 – (-72) -80] = 162

MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA. La matriz (A) = (A) x (A)^-1recibe el nombre de matriz cuadrada.

Una matriz cuadrada es invertible si su determinante es diferente de cero. Según la fórmula:

A

^-1

= ¹

|𝐴| x [Adj(A)]t

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EJERCICIO.

Calcula la matriz inversa de la matriz: (A) = (³ ²

1 4⁾

Primero se comprueba que la resolución de la misma no de cero:

(A) = 12 – 2 = 10. Segundo se calcula la matriz adjunta:

A

₁₁

= (-1) A

¹⁺¹

= A

₁₁

= (-1)

²

x 4 = 4

A

₁₂

= (-1) A

²⁺¹

= A

₂₁

= (-1)

³

x 1 = -1

A

₂₁

= (-1) A

¹⁺²

= A

₁₂

= (-1)

³

x 2 = -2

A

₂₂

= (-1) A

²⁺²

= A

₂₂

= (-1)

⁴

x 3 = 3

Adj(A) = ( ⁴ ⁻¹

−2 3 ⁾

A continuación se calcula la matriz traspuesta de la adjunta.

Adj(A) = ( ⁴ ⁻¹

−2 3 ) = [Adj(A)]t = [ ⁴ ⁻²

−1 3 ^]

Por último se sustituye la expresión anterior.

A

^-1

=

¹

10

^{x [}

4 −2

−1 3 ^{] = [}

4 10

−2 10

−1 10

3 10

]

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RECORDATORIO.

Matriz es una disposición rectangular de m x n elementos, en filas y columnas.

Orden o dimensión de una matriz es el número de filas multiplicado por el número de columnas que la forman. Matriz cuadrada tiene misma número de columnas y filas. Matriz unidad es la que todos los elementos son ceros menos la diagonal principal que son unos.

Matriz traspuesta. La que se obtiene al cambiar filas por columnas.

Matriz inversa. En una matriz cuadrada es la matriz cuyo resultado es 1 cuando se multiplica por la matriz original. Determinante. Es un número real que se asocia a cada matriz cuadrada.

Adjunto de un elemento. Es el determinante que se asocia a cada elemento de una matriz cuadrada afectado por el signo (+) o (-).

Matriz adjunta. La que se obtiene al sustituir cada elemento de una matriz cuadrada por su adjunto. Matriz invertible es una matriz cuadrada cuyo

determinante es distinto de cero. Entonces tiene inversa. Submatriz de una matriz. Es toda matriz que se obtiene al suprimir cierto número de líneas de la original.

Menor de una matriz. El determinante de cualquier submatriz cuadrada de la matriz original.

Rango de una matriz. El orden de la mayor submatriz con determinante no nulo.

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