Ecuaciones diferenciales no lineales

Ecuaciones diferenciales no

lineales

1.

Ecuaciones de Ondas

1..1

Ondas lineales

Sus soluciones oscilatorias elementales ser´an de la forma

u=ei(kx+ωt)

Onda lineal no dispersiva y no disipativa: t=0, t=5

donde la relaci´on de dispersi´on es:

ω=−k (1.2)

y por tanto

u=eik(x−t) _(1.3)

de manera que la superposici´on de dos ondas ˆ

u=eik1(x−t)_+eik2(x−t) _(1.4)

se mueve con una ´unica velocidadc= 1, de manera que la onda mantiene su forma conforme transcurre el tiempo.

Ondas disipativas

Sea la ecuaci´on

ut+ux−uxx = 0 (1.5)

Sus soluciones oscilatorias elementales ser´an de la forma

u=ei(kx+ωt)

Onda lineal dispersiva : t=0, t=5

donde la relaci´on de dispersi´on es:

ω =−k+ik2 _(1.6)

y por tanto

u=eik(x−t)e−k2t (1.7)

de manera que la onda se “disipa” conforme transcurre el tiempo

Ondas dispersivas

Sea la ecuaci´on

ut+ux+uxxx = 0 (1.8)

Sus soluciones oscilatorias elementales ser´an de la forma

u=ei(kx+ωt)

1.. ECUACIONES DE ONDAS 3 donde la relaci´on de dispersi´on es:

ω =−k+k3 (1.9)

y por tanto

u=eik(x−(1−k2_)t)

(1.10) de manera que la superposici´on de dos ondas

ˆ

u=eik1(x−(1−k12)t)+eik2(x−(1−k22)t) (1.11)

se “dispersa” conforme transcurre el tiempo puesto que cada componente viaja con distinta velocidad.

1..2

Ondas no lineales: “breaking wave”

Veamos ahora la ecuaci´on no lineal

ut+uux = 0 (1.12)

que puede ser resuelta por el m´etodo de las caracter´ısticas. Busquemos curvas

x=x(s); t=t(s) (1.13)

tales que

u(s) =u(x(s), t(s)) sea constante a lo largo de tales curvas. Por tanto

0 = du ds =ux dx ds +ut dt ds =ux dx ds −uux dt ds =ux d(x−ut) ds

lo que significa que las caracter´ısticas son las rectas

x−ut=cte (1.14)

Por tanto la soluci´on general se puede escribir en forma impl´ıcita como

u=f(x−ut) (1.15)

dondef es una funci´on arbitraria tal que

u(x,0) =f(x)

Ello significa que cada punto de la curva f(x) viaja con una velocidad igual a su altura. Los puntos m´as altos viajan a mayor velocidad que los m´as bajos. En

consecuencia la curva se estrecha y distorsiona tal como se ve en las figuras (que corresponden af(x) = 1

cosh2_x)

2.. LA ECUACI ´ON DE KORTEWEG DE VRIES 5

2.

La ecuaci´

on de Korteweg de Vries

ut+uxxx−6uux = 0 (2.1)

2..1

Sintesis hist´

orica

Observaciones de Russell

El experimento de Fermi-Ulam-Pasta

Descubrimiento del solit´on: Zabusky y Kruskal

2..2

Soluciones de KdV

Un solit´on

Buscamos soluciones de onda plana de la forma:

z =x−ct (2.2)

En cuyo caso la ecuaci´on es:

−cuz+uzzz−6uuz = 0 integrando

−cu+uzz−3u2 =A

−cu2/2 +u2_z/2−u3 =Au+B (2.3)

ParaA=B = 0 (u y sus derivadas se anulan en el infinito)

du upu+ c

2

=√2dz

cuya integraci´on es:

u=−c 2 1 cosh2(√₂c(z−z0)) (2.4) o bien u=−2k2 1 cosh2(k(x−4k2_{t) +z0))} (2.5) con c= 4k2

Soliton de KdV

En la figura se ha representado −u. Como puede verse se trata de una es-tructura de “campana” localizada cuya amplitud depende de la velocidad de tal manera que cuanto m´as alta es, m´as deprisa viaja. Esta estructura se propaga sin deformarse de forma que el efecto no lineal compensa el dispersivo.

Dos solitones

La soluci´on anterior puede escribirse tambien como

u=−2 µ F1x F1 ¶ x dondeF1 = 1 +f1 f1 =e[2k1(x−4k 2 1t)] (2.6)

Se puede comprobar que (2.1) (mas adelante veremos como obtenerlo) posee tambien la soluci´on: u=−2 µ F2x F2 ¶ x (2.7) donde F2 = 1 +f1+f2+Af1f2 (2.8) A= µ (k1−k2) (k2+k1) ¶₂ (2.9) Lo mejor es pasar al sistema de centro de masas haciendo

x= ˆx+vt (2.10)

de manera que

2.. LA ECUACI ´ON DE KORTEWEG DE VRIES 7 y

k2[(ˆx) + (v−4k22)t] tengan velocidades iguales y opuestas

v−4k2 1 =−(v−4k22) =⇒v = 2(k21 +k22) de forma que f1 =e2k1[ˆx−bt] f2 =e2k2[ˆx+bt] b = 2(k2 1 −k22) donde hemos supuestok1 > k2

• Comportamiento en t=−∞

La soluci´on se anula excepto a lo largo de las rectas ˆx=bt, ˆx=−bt. Supong-amosk2 < k1.

a) ˆx=bt=⇒;f2 →0 En tal caso

F2 →1 +f1

Se trata deun solit´on de n´umerok2 propag´andose a lo largo de la recta ˆ x=bt b) ˆx=−bt=⇒;f1 → ∞ En tal caso F2x F2 = 2k1f1+ 2k2f2+ 2(k1+k2)Af1f2 1 +f1+f2+Af1f2 → 2k1+ 2(k1+k2)Af2 1 +Af2 F2x F2 →2k1+ 2k2Af2 1 +Af2 redefiniendo ˆ f2 =Af2 =e2k2[ˆx+bt−x2] donde lnA =−2k2x2 puesto queA <1 y por tanto lnA <0

Se trata deun solit´on de n´umerok2 propag´andose a lo largo de la recta ˆ

• Comportamiento en t=∞ a) ˆx=bt=⇒;f2 → ∞ F2x F2 = 2k1f1+ 2k2f2+ 2(k1+k2)Af1f2 1 +f1+f2+Af1f2 → 2k2+ 2(k1+k2)Af1 1 +Af1 F2x F2 →2k2+ 2k1Af1 1 +Af1 redefiniendo ˆ f1 =Af1 =e2k1[ˆx−bt−x1] donde lnA =−2k1x1 con x2 > x1

Se trata deun solit´on de n´umerok1 propag´andose a lo largo de la recta ˆ

x=bt+x1

b) ˆx=−bt=⇒;f1 →0 En tal caso

F2 →1 +f2

Se trata deun solit´on de n´umerok2 propag´andose a lo largo de la recta ˆ

x=−bt

• En consecuencia el solit´on 1 pasa de moverse a lo largo de la recta ˆx = bt a hacerlo a lo largo de ˆx = bt+x1. El solit´on 2 pasa de moverse a lo largo de la recta ˆx=−bt+x2 a hacerlo a lo largo de ˆx=−bt con k1x1 =k2x2 =−ln_kk1₂−_+kk2₁

14 Capitulo 6

Segundo transcendente

Otro tipo de soluci´on puede encontrarse a trav´es de unareducci´on de similaridad. Es f´acil comprobar que KdV es invariante bajo una transformaci´on de escala de la forma

x → ax t → a3_t

u → a−2_{u (2.11)}

de forma que las siguientes variables

xt−1/3_{, ut}2/3

son invariantes de escala. Tiene pues perfecto sentido hacer la transformaci´on:

z = x(3t)−1/3 u = −(3t)−2/3f(z) (2.12) de forma que: ∂ ∂t = − z 3t ∂ ∂z ∂ ∂x = (3t) −1/3 ∂ ∂z y la ecuaci´on de KdV se reduce a: fzzz+ (6f −z)fz−2f = 0 (2.13) Haciendo f =yz−y2 se obtiene pzz−2ypz = 0 donde p=yzz −2y3−zy De forma que una soluci´on es:

yzz −2y3−zy+α= 0 (2.14)

Primer transcendente

Otro tipo de soluci´on puede obtenerse mediante la reducci´on de similaridad

z = x+ 3t2

u = t+f(z) (2.15)

que conduce a la ecuaci´on

1−6f fz +fzzz = 0 (2.16)

que puede integrarse como

fzz −3f2+z+α= 0 (2.17)

que es PI

Soluciones Elipticas

Volviendo a las soluciones de onda plana dadas por (2.3) y haciendoA= 0

u2_z = 2B+ 2Au+cu2+ 2u3 = 2(u−u1)(u−u2)(u−u3) (2.18) cuya soluci´on es:

u=u2−(u2−u1) Ã cn "r u3−u1 2 (z−z0);k #!₂ (2.19) k2 ₌ u2−u1 u3−u1 (2.20) con c=−2(u1+u2 +u3) A=u1u2+u2u3 +u1u3 B =−u1u2u3

siendo ui las tres soluciones de (2.19). Esta soluci´on representa una onda fuerte-mente no lineal en la que la velocidad, la forma y la frecuencia dependen de la amplitud en una forma nada trivial. Estas ondas, denominadas ondas cnoidales, se pueden observar a veces en los r´ıos. Contiene la soluci´on de un solit´on en el limitek = 1 (u2 =u3 = 0).

16 Capitulo 6

3.

Par de Lax para KdV

Cosideremos la ecuaci´on de Schr¨odinger independiente del tiempo:

ψxx+ (λ(τ)−V(x, τ))ψ = 0 (3.1)

donde τ es un par´ametro de “deformaci´on” del potencial y ψ = ψ(x, τ). Consid-eremos ahora la ecuaci´on

ψτ = 2(V + 2λ)ψx−Vxψ (3.2)

Para que (3.2) y (3.2) sean compatibles, ha de ser ψxxt = ψtxx, para lo que se requiere

Vτ +Vxxx−6V Vx = 0

λτ = 0 (3.3)

Este es un resultado del mayor inter´es pues significa que para un potencialV(x, τ) que se deforme con arreglo a KdV, los autovaloresλ(τ) permanecen sin deformaci´on Este es un ejemplo de lo que se denomina transformaci´on isospectral

La ecuaci´on no lineal KdV es por tanto equivalente al par de ecuaciones lineales (3.1) y (3.2). Dichas ecuaciones se denominan elpar de Lax de KdV.

3..1

Transformaci´

on de Scattering Inverso

GGKM (Gardner, Green, Kruskal y Miura) propusiero que la evoluci´on temporal de V(x, τ) en (3.3) puede estudiarse a trav´es de las propiedades del problema mecanico-cu´antico asociado . La idea es la siguiente:

• 1) Dada una condici´on inicialV(x,0), introducirla como potencial de la ecuaci´on de Schr¨odinger (3.1) y resolver el “problema de scattering directo”, es decir, en-contrar los denominadosdatos de scattering, es decir:

a) Espectro discreto: λ =−k2

n,n = 1..N

El comportamiento de las funciones en el infinito ha de ser:

limx→∞ψn(x) = cne−knx

dondecn son las constantes de normalizaci´on definidas de forma que Z _∞

−∞

|ψn|2 dx= 1 b) Espectro continuo: λ=k2

En este caso la soluci´on en el ±∞ha de ser:

limx→−∞ψ =a(k)eikx

y

limx→∞ψ =e−ikx+b(k)eikx

Donde a(k) y b(k) son respectivamente los coeficientes de reflexi´on y trans-misi´on

El conjunto de valoresλn, cn,a(k), b(k) constituyen los datos de scattering • 2) Cuando V evoluciona como funci´on de τ, sus datos de scattering tambi´en evolucionan pero el espectro de autovalores ha de permanecer constante. La evoluci´on de las autofunciones puede obtenerse mediante (3.2) y por lo tanto ob-tendremos los datos de scattering paraτ

• 3) El ´ultimo paso corresponde a resolver lo que se denomina el “problema de scattering inverso”, es decir, como reconstruir el potencial V(x, τ) a partir de los datos de scattering. Ello es posible mediante la resoluci´on de una ecuaci´on integro-diferencial lineal denominada: Ecuaci´on de Gelfand-Levitan-Marchenko.

Potencial final u(x,t)

Potencial inicial u(x,0) _{Datos de scattering a t=0}

Datos de scattering a t>0

Diagrama IST

El conjunto de los tres pasos anteriores se denomina transformaci´on de scat-tering inverso por analogia con la trasformaci´on de Fourier

u(k,0)

u(x,t) u(k,t)

Dato inicial u(x,0)

IFT FT