Problemas de Geometría Diferencial Clásica, Grupo B

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Problemas de Geometr´ıa Diferencial Cl´asica, Grupo “B”

1.- a) Sean p = (p1, p2) yq = (q1, q2) dos puntos distintos de IR2. Encontrar la expresi´on

de una curva parametrizada, α, cuya traza sea la recta que pasa porp y porq. Para cada valor t0 del par´ametro, calcular la expresi´on de la recta tangente aα en t0.

b) Sea P(a) la par´abola de ecuación y =ax2, esto es, P(a) ={(x, y)∈IR2;y=ax2}. Encontrar la expresión de una curva parametrizadaαcuya traza sea P(a). Para cada valor t0 del parámetro, calcular la expresión de la recta tangente aαent0. Dibujar las parábolas

para los valores dea∈ {−2,−1,−1₂,0,1₂,1,2}. En la par´abola cona= 1, dibujar las rectas tangentes en t0 = 1, t0 = 2.

2.- Sea E(a,b) la elipse de semiejes a y b, esto es, E(a,b) ={(x, y)∈IR2;x

2

a2 +

y2 b2 = 1}.

a) Demostrar que α(t) = (acost, bsent) es una curva parametrizada cuya traza es la elipse E(a,b) y encontrar la condición necesaria y suficiente para que los números reales

t0, t1 veriﬁquen α(t0) =α(t1).

b) Para cadat0 ∈IR calcular la recta rt0 ≡ {α(t0) +λα

_(t

0);λ∈IR}. Demostrar que

siα(t0) =α(t1) entonces α(t0) =α(t1), y por tanto, para cadap∈E(a,b) podr´ıa deﬁnirse

la recta tangente en p como cualquiera de las rectas rt0, con t0 ∈IR tal que α(t0) =p.

c) Dibujar las elipses para los valoresa = 1, b= 2; a = 1, b= 4; a= 2, b= 1. Dibujar tambi´en en alguna de ellas las rectas tangentes en t= 0, t = π₄, t= π₂.

d) Encontrar una curva parametrizada cuya traza sea la circunferencia de centro p∈IR2 _{y radio} _{a >} _0.

3.- A continuaci´on tienes tres curvas parametrizadas y tres trazas. Suponiendo que cada traza lo es de alguna de las tres curvas, asocia a cada curva su traza dando un razonamiento convincente: a) α(t) = (t−2sent,1−2 cost), b) β(t) = e20tπ cost, e20tπsent , c) γ(t) = cost

1+sen2_t,sen_1+sentcos2_tt

. (3) -4 -2 2 4 -6 -4 -2 2 4 (1) -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 -1 1 2 3 (2) -1 -0.5 0.5 1 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3

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4.- Encontrar una parametrizaci´on de la cicloide, es decir la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta.

5.-Lo mismo para las epicicloides e hipocicloides. La epicicloide es la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre otra circunferencia “por fuera”; la hipocicloide es la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda sobre otra circunferencia “por dentro”.

6.- Se considera la curva parametrizada α:IR → IR2, deﬁnida por la expresi´on α(t) =

sent, 1₂sen 2t, para todo t∈IR.

a) Demuestra que es una curva diferenciable y regular pero no simple. b) Demuestra que si la restringimos al intervalo [0,2π] es cerrada.

c) Escribe la ecuaci´on de la recta tangente en un punto t0 ∈ [0,2π] arbitrario.

En-cuentra los puntos donde esta recta es horizontal y los puntos donde es vertical.

d) Calcula las rectas tangentes en t0 = 0 y en t0 = 2π, y demuestra que ambas

coinciden. Calcula la recta tangente en t0 =π.¿Coincide con la anterior? ¿Tiene sentido

hablar de la recta tangente a la traza en (0,0)? e) Dibuja la traza de la curva α.

7.- Sea β:IR → IR2 la curva parametrizada deﬁnida, para todo t ∈ IR, por la expresi´on β(t) = ((1 + cost) cost,(1 + cost)sent).

a) Demuestra que β restringida a [−π, π] es una curva cerrada. ¿Se trata de una curva regular? Considera, para cada t ∈ [−π, π], la recta que pasa por (0,0) (= β(π) =β(−π)) y β(t). ¿Cu´al es el l´ımite de estas rectas cuando t→π? ¿Y cuando t→ −π? Teniendo en cuenta esto, ¿tendr´ıa sentido hablar de la recta tangente a β en (0,0)?

b) Calcula la curvatura con signo de esta curva parametrizada.

c) Demuestra que β restringida a [−π, π] es una curva cerrada simple. d) Calcula la longitud de β restringida a [−π, π].

La curvaβ se denomina cardioide y su traza es:

0.5 1 1.5 2

-1 -0.5 0.5 1

8.- Demostrar que, dada una recta del plano, existen exactamente tres puntos de la car-dioide con recta tangente paralela a ella. Además, los radios vectores que unen el “vértice” con estos puntos forman ángulos de 120o_¯.

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9.- Hallar parametrizaciones de la cisoide y de la tractriz. La cisoide definida por dos curvas α y β y un punto P del plano se define como sigue. Para cada recta que pasa por P, seaA la intersección de esa recta con la curva α y B la intersección de esa recta con β; sea X el punto de la recta tal que d(P, X) =d(A, B);la cisoide definida por α, β, P es la curva formada por los puntosX. Se trata de parametrizar la cisoide en el caso de ser P el origen, α la circunferencia de radio 1 y centro (1,0), y β la recta x= 2.

La tractriz es la curva que cumple la propiedad siguiente: “El segmento de recta tangente a la curva comprendido entre el punto de tangencia y una recta fija es constante”. En este caso considerar que la recta fija es el eje de ordenadas y que la curva está en el semiplano x >0. 0.5 1 1.5 2 1 2 3 4 O 0.20.40.60.8 1 0.5 1 1.5 2

10.- Sea α:I → IR3 una curva parametrizada por la longitud del arco. Supóngase que τ(s)= 0 y k(s)= 0, para todo s ∈I. Demostrar que una condición necesaria y suficiente para que α(I) esté contenida en una esfera es que

R2+ (R)2T2 = const.,

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11.- Se considera la curva parametrizada α:IR → IR3, dada por la expresi´on α(t) = (sent, 1₂sen 2t, t), para todo t∈IR. Su imagen est´a dibujada abajo, a la derecha.

a) Calcula la expresi´on general del vector tangente unitario y la expresi´on particular para t= 0 y t= π₂. Dibuja estos vectores.

b) Calcula el triedro de Frenet en t = π₂ y dibuja en la traza de la curva dicho triedro. Dibuja tambi´en los planos normal, osculador y rectiﬁcante en este punto.

c) Calcula α(t) × α(t) ¿Es α una curva 2-regular? Si no es 2-regular, encuentra un intervalo maximal que contenga a π₂ donde la curva lo sea y a partir de ahora considera la restricci´on a dicho intervalo.

d) Encuentra la expresi´on general de la curvatura k(t) y de la torsi´on τ(t).

Nota.-La curvaα forma parte de una familia de curvasαa(t) = (sent, 1₂sen 2t, at) algunas de las cuales tienes dibujadas más abajo;todas ellas son hélices cuya proyección en el plano horizontal es la figura ocho estudiada en el ejercicio 6.

a=0.1

a=0.2

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12.- Seacuna curva parametrizada regular cuyas rectas normales coinciden con las rectas binormales de otra curvac∗(t) =c(t) +λ(t)e2(t). Demostrar que, a lo largo dec, la funci´on

k

k2₊_τ2 es constante.

13.- Sea c:I →IR3 _{una curva parametrizada regular. Se dice} _c _{es una} _{curva de Bertrand}

si existe una curva c∗(t) = c(t) +λ(t)e2(t) tal que, para todo t, las rectas normales de c

en t y de c∗ en t coinciden.

a) Demostrar que toda curva plana es de Bertrand.

b) Sea cuna curva parametrizada regular cuya curvatura y torsión son distintas de cero en todo punto. Demostrar que c es curva de Bertrand si y sólo si existen números reales a, b, con a= 0, tales que ak+bτ = 1.

14.- Se dice que una curva parametrizada regular enIR3 _{es una} _{h´elice cil´ındrica}_{, o}

simple-mente unahélice, si sus rectas tangentes forman un ángulo constante con alguna dirección fija (llamada eje de la hélice).

a) Suponiendo que la curvatura y la torsión de c son distintas de cero en todo punto, demostrar que c es una hélice si y sólo si k/τ es constante.

b) Demostrar que la curva parametrizada regular definida por c(t) = (at, bt2, t3), con a y b constantes, es una hélice cil´ındrica si y sólo si 4b4 _{= 9a}2_;¿cu´_{al es el eje en este}

caso?

15.- Demostrar que si todas las rectas tangentes a una curva parametrizada regular pasan por un punto ﬁjo, su traza est´a contenida en una recta.

16.- Demostrar que si todas las rectas normales principales de una curva parametrizada 2-regular pasan por un punto ﬁjo, su traza est´a contenida en una circunferencia.

17.- Demostrar que si todos los planos osculadores de una curva parametrizada 2-regular tienen un punto com´un, la curva es plana.

18.- Sea c∗ la proyección ortogonal de una hélice csobre un plano perpendicular al eje de la hélice. Demostrar que e∗₂ es paralelo a e2 y que k∗ =kcosec2(α), donde α es el ángulo

(constante) entre e1 y el eje de la h´elice.

19.- Demostrar que si ces una curva parametrizada regular cuya traza est´a contenida en una esfera de radio r, entonces la curvaturak de c satisface k ≥1/r.

20.- Parametrizaci´on del elipsoide de tres ejes. Sean a, b, c n´umeros reales positivos. El

elipsoide de semiejes a, b, c es el subconjunto de IR3 dado por E₍_a,b,c₎ = (x, y, z)∈IR3 ; x 2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 .

Demuestra queE(a,b,c)es una superﬁcie regular. Construye una carta deE(a,b,c)bas´andote

en la parametrización geográfica de la esfera y en que la aplicaciónϕ:IR3 →IR3 dada por ϕ(x, y, z) = (ax, by, cz) es un difeomorfismo tal que ϕ(S2) =E(a,b,c).

21.- Utiliza la carta geográfica de la esfera para calcular el plano tangente y comprobar que en cada punto es ortogonal al vector posición. ¿Tienen los elipsoides también esta propiedad?

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22.- Sea S2 = {(x, y, z) | (x, y, z) ∈ IR3 y x2 + y2 +z2 = 1}, la esfera de radio 1 y centro el origen de coordenadas de IR3. Se consideran las parametrizaciones X:U1 → S2

y X:U2 →S2, donde

U1 = (0,2π)×(−π/2, π/2), X(u, v) = (cosv cosu,cosvsenu,senv),

U2 ={(x, y) | (x, y)∈IR2 y x2+y2 <1}, X(x, y) =

x, y, 1−x2−_y2_.

Comprueba que el puntop= (3/4,√3/4,1/2) est´a en la imagen de ambas parametriza-ciones.

a) Calcula las bases del plano tangente a S2 en p, TpS2, dadas por las parametriza-ciones X y X. Comprueba que, efectivamente, ambas bases generan el mismo plano.

b) Calcula las aplicaciones “cambio de coordenadas”: X−1◦X y X−1◦X.

23.-Seav ∈IR3_{un vector unitario,}_S_{una superﬁcie regular en}_IR3_y_h:_S _→_IR_{la aplicaci´}_on

deﬁnida porh(p) =< v, p >, para todop∈S. Comprobar quehes diferenciable y calcular dhp(w), w∈TpS.

24.- a) Sea W ⊂ IR3 _{un abierto y sea} _f _: _W _→ _IR _{una funci´}_{on diferenciable;podemos}

definir una aplicación diferenciable gradf:W →IR3 por la expresión: gradf = ∂f ∂x, ∂f ∂y, ∂f ∂z .

Demuestra que si a ∈ IR es un valor regular de f y S = f−1(a) entonces, para todo p∈S, gradf(p) es un vector no nulo ortogonal al plano tangente enp a la superﬁcie,TpS. b) Demuestra que si una superﬁcie se obtiene por el Teorema del valor regular, es orientable.

c) Sea G:V → IR una función diferenciable definida en un abierto V de IR3 que contiene a S, y sea g la restricción de G a S. Encuentra una condici´on necesaria, en términos de gradf, para que g tenga en un punto p de S un máximo o un m´ınimo local. (g tiene en p un máximo (resp. m´ınimo) local si existe un entorno V1 de p en S tal que

para todo p perteneciente a V1, g(p)≥g(p) (resp. g(p)≤g(p)).)

d) Halla los posibles m´aximos y m´ınimos de la funci´on g:S2 _→_IR _{tal que, para todo}

(x, y, z)∈S2, g(x, y, z) = 2x2+y−z2.

25.- Parametrización estereográfica de la esfera.

Como ya sabes, la proyección estereográfica φ:U = S2− {n} → IR2, definida por la expresión: φ(x, y, z) = x 1−z, y 1−z ,

es un homeomorﬁsmo. Demuestra que su inversaX:IR2 _→_S2 _{es una carta de la esfera}_S2

cuya imagen es el abierto U. La expresi´on de X es como sigue: X(u, v) = 2u 1 +u2₊_v2, 2v 1 +u2₊_v2, u2₊_v2₋₁ 1 +u2₊_v2 .

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26.-Calcula los coeficientes de la primera forma fundamental deS2 con respecto a la carta estereográfica X (ejercicio anterior) y util´ızalos para calcular la longitud de las curvas CR: [0,2π]→S2, definidas por CR(t) =X(Rcost, Rsent). Estas curvas son las imágenes por X de circunferencias ¿De qué curvas se trata? Dibuja la curvaCR con R= 1₂.

27.- Dibuja la imagen por la parametrización estereográfica de una recta que pase por el origen de IR2. ¿Qué longitud tiene esta curva? Utiliza la primera forma fundamental para calcular esta longitud y comprobar as´ı si la respuesta es correcta.

28.- Por construcción, la imagen por X (Ejercicio25) de una recta es la intersección, con la esfera, del plano determinado por dicha recta y el polo norte. Dadospy qenIR2, dibuja la imagen de la recta que pasa porpen la dirección del vectorq. Suponiendo quep yq son ortogonales y queq tiene módulo 1, calcula la longitud de la curvac(t) =X(p+tq), t∈IR. 29.- Siendo X la parametrización estereográfica de la esfera, demuestra que, para todo q ∈IR2_{, la aplicaci´}_on _dX

q conserva los ´angulos.

30.- a) ¿Es el conjunto {(x, y, z)∈IR3; z = 0, y x2+y2 <1} una superficie regular? b) ¿Es el conjunto {(x, y, z)∈IR3; z = 0, y x2+y2 ≤1} una superficie regular? 31.-Se considera la parametrización X: ]0,2π[×]−₂1,1₂[→C del cilindro recto C de altura 1 y radio 1, dada por la expresión

X(u, v) = (cosu, sen u, v). Calcula el ´area deC.

32.-Se describe geométricamente lacinta de MöbiusM como “la superficie que se obtiene al hacer girar un segmento de recta alrededor de un eje, al tiempo que dicho segmento gira 180o_{¯ en torno a su punto medio mientras describe el primer giro en torno al eje”.}

Si se toma como eje de giro el eje Oz y un segmento de longitud 1, con centro a una distancia 1 del eje, se puede tomar, para M, la carta

Y(u, v) =

cosu+vcosu

2cosu, sen u+vcos u 2 sen u, vsen u 2 , con (u, v)∈]0,2π[ × ]− 1₂,1₂[.

a) ¿Qu´e parte de la cinta de M¨obius queda sin recubrir por la carta Y?

b) Se consideran, en el rectángulo ]0,2π[ × ]− 1₂, 1₂[ las rectas u= π₂, u =π, u = 3₂π, v=−1/4, v= 0, v= 1/4. Dibuja las imágenes de estas rectas, por la parametrización Y, en la cinta de Möbius.

c) Calcula los coeficientes guv y gvv de la primera forma fundamental de la cinta de Möbius, en la carta Y. El coeficiente guu tiene la expresión

guu = (1 +vcos( u 2))

2₊ v2

4 .

d) Escribe la integral que habr´ıa que calcular para obtener el ´area de la cinta de M¨obius.

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Calculando la integral anterior, por métodos numéricos, se obtiene un valor apro-ximado de 6.353271. A la vista de estos resultados, ¿puede ser esta cinta de Möbius la misma que la del modelo en papel?

e) Calcula la expresi´on del vector unitario normal a M en los puntos de la forma Y(u,0) y util´ızala para demostrar que M no es orientable.

33.- Sea f(x, y, z) = z2. Demostrar que 0 no es un valor regular de f y que, a´un as´ı, f−1(0) es una superﬁcie regular.

34.- Sea S una superficie que viene dada como el grafo de una función diferenciable;esto es, S queda definida por la ecuaciónz =h(x, y), donde h:U →IR es C∞. Puede entonces considerarse la carta X:U →IR3 dada por X(u, v) = (u, v, h(u, v)).

Es f´acil comprobar que q ∈U es un punto cr´ıtico deh si y s´olo si el plano tangente a S en p=X(q) es horizontal.

A partir de ahora supondremos que q ∈ U es un punto cr´ıtico de h y que en S se ha considerado la orientaci´on determinada por la carta X.

a) Calcula las expresiones del operador de Weingarten en p (o sea, −dNp ) y de la segunda forma fundamental en p. (Ayuda: Las derivadas que tienes que calcular son del tipo F(0) con F(t) = √f(t)

a(t) donde a es una funci´on que cumple a(0) = 1 y a

_{(0) = 0;por}

lo tanto se tiene queF(0) =f(0).)

b) Encuentra la condición necesaria y suficiente para que p sea el´ıptico y para que p sea hiperbólico.

35.- a) Demuestra que en el paraboloide de ecuaci´on z =x2+y2 el punto p= (0,0,0) es un punto el´ıptico.

b) Calcula las curvaturas principales, las direcciones principales y las asint´oticas enp. c) Demuestra que todos los puntos deS est´an a un mismo lado del plano af´ın tangente a S en p.

36.- a) Demuestra que en el paraboloide hiperb´olico de ecuaci´on z = x2 ₋_y2 _{el punto}

p= (0,0,0) es un punto hiperb´olico.

b) Calcula las curvaturas principales, direcciones principales y direcciones asint´oticas en este punto. Dibuja las direcciones principales y las direcciones asint´oticas.

c) Demuestra que en cualquier entorno dephay puntos de la superﬁcie a ambos lados del plano af´ın tangente a S en p.

37.-SeaS una superficie que viene dada como la gráfica de una función diferenciable;esto es, z =h(x, y). Demuestra que entonces la curvatura de Gauss tiene la expresi´on

hxxhyy−h2_xy (1 +h2

x+h2y)2 .

38.- En las condiciones del problema 34,

a) Demuestra que, sip es un punto el´ıptico, existe un entorno de pen S tal que todos sus puntos est´an al mismo lado del plano tangente a S en p;esto es, existe un entorno

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donde o bien todos los puntos tienen su tercera coordenada mayor que la depo bien todos ellos la tienen menor.

b) Demuestra que, si pes un punto hiperb´olico, en cualquier entorno dep hay puntos de la superﬁcie a ambos lados del plano tangente a S en p.

c) Demuestra que no se cumple el rec´ıproco de ninguno de los dos resultados anteriores; en concreto, encuentra ejemplos de puntos parabólicos y de puntos planos para los que exista un entorno depenS tal que todos sus puntos estén al mismo lado del plano tangente a S en p y encuentra, también, ejemplos de puntos parabólicos y de puntos planos para los que en cualquier entorno de p haya puntos de la superficie a ambos lados del plano tangente a S en p.

Ayuda: En los apartados a) y b) puedes utilizar el desarrollo de Taylor y para el apartado c) puedes considerar los grafos de las funciones z =x4_±_y2_, _z ₌_x4_±_y4_.

39.-SeaSuna superficie minimal (H = 0) ninguno de cuyos puntos es plano. ¿Qué ángulo forma una dirección asintótica con una principal?

40.- Sea S una superﬁcie de curvatura de Gauss negativa tal que sus dos direcciones asint´oticas son perpendiculares. Demostrar que S es minimal.

41.- Seaα:I →IR3 una curva parametrizada cuya traza está contenida en el planoz = 0, esto es, α(u) = (x(u), y(u),0). Si β:I → IR3 toma el valor constante β(u) = (0,0,1), la superficie reglada X(u, v) = α(u) +v β(u) se denomina cilindro recto sobre α y si β(u) = (0,0,1)−α(u) la superficie se denomina conosobre α de vértice (0,0,1). (En este caso X se considera definida sólo para v menor que 1).

En el caso particular de la curva α(u) = (u, u3,0), dibuja ambas superﬁcies, calcula la curvatura de Gauss, la curvatura media y las curvaturas principales del cilindro sobre α y la curvatura de Gauss del cono sobre α.

42.- El hiperboloide de ecuación x2 +y2 −z2 = 1 es también una superficie reglada: X(u, v) = (cosu,sinu,0) +v(−sinu,cosu,1). Calcula la cur-vatura de Gauss y la curcur-vatura media utilizando la parametrización X. En los puntos de la inter-sección con el plano z = 0 calcula también las cur-vaturas principales, la segunda forma fundamental y las direcciones principales. Represéntalas en el dibujo.

43.- Demuestra que el paraboloide hiperb´olico (z = x2 −y2) admite la siguiente para-metrizaci´on reglada:

X(u, v) = (u,0, u2) +v(1,1,2u).

Calcula la curvatura de Gauss utilizando la parametrizaci´onX y comprueba que, en todo punto del paraboloide hiperb´olico, el valor de la curvatura de Gauss, en ese punto, obtenido

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utilizando esta parametrizaci´on coincide con el que se obtiene utilizando la f´ormula del ejercicio 37.

44.- Demuestra que una condición necesaria para que una superficie regular sea minimal es que todos sus puntos sean hiperbólicos o llanos.

45.- Se considera la superﬁcie de revoluci´on, S, generada por la curva α(v) = (r(v),0, v), al girar alrededor del eje Oz, siendo r(v)>0.

a) Encuentra la ecuación diferencial que debe satisfacer la función r para que la superficie sea minimal.

b) Comprueba que la soluci´on general de esa ecuaci´on es r(v) = _c1

1 cosh(c1(v+c2)).

c) La superﬁcie de revoluci´on resultante, (parac1 = 1, c2 = 0) se denominacatenoide

y la tienes dibujada m´as abajo. Calcula sus curvaturas principales. 46.- La superﬁcie de Enneper puede ser parametrizada como

X(u, v) = (u− u 3 3 +uv 2_{, v}₋ v3 3 +vu 2_{, u}2₋_v2_).

Sin necesidad de calcular expl´ıcitamente todos los valores, demuestra que guv = 0, guu = gvv, Luv = 0, Lvv =−Luu y que, por tanto, es una superﬁcie minimal.

47.- La superﬁcie de Scherk puede ser parametrizada por Y(u, v) = (u, v,ln cosv−ln cosu)),

con (u, v)∈]− π₂,π₂[×]− π₂, π₂[. Demuestra que se trata de una superﬁcie minimal.

-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -1 0 1 -2 -1 0 1 2 -10 0 10 -10 0 10 -5 0 5 -10 0 10 -1 0 1 -1 0 1 -2 0 2 -1 0 1

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48.- Demostrar que en un punto hiperbólico las direcciones principales son bisectrices de los ángulos formados por las direcciones asintóticas.

49.- Demostrar que si una superﬁcie regular es tangente a un plano a lo largo de una curva, entonces los puntos de esta curva son parab´olicos o planos.

50.-SeaC una curva regular contenida en una superﬁcie regularS con curvatura de Gauss K >0. Demostrar que la curvatura k de C en un punto p satisface

k ≥min(|k1|,|k2|),

donde k1 y k2 son las curvaturas principales de S en p.

51.-SeaS una superﬁcie regular cuyas curvaturas principalesk1, k2 satisfacen la condici´on

|k1| ≤ 1, |k2| ≤ 1 en todos los puntos. ¿Es cierto que la curvatura k de una curva de S

satisface tambi´en que k ≤1?

52.- Supóngase que los planos osculadores de una l´ınea de curvatura C ⊂ S, que no es tangente en ningún punto a una dirección asintótica, forman un ángulo constante con los planos tangentes aS a lo largo deC. Demostrar queC es una curva plana. [Demostrar las otras dos “variantes”: Si C es plana y el ángulo citado es constante, entonces C es l´ınea de curvatura, y si C es l´ınea de curvatura plana, entonces ese ángulo es constante.]

53.- Sean S1 y S2 superﬁcies que se cortan a lo largo de una curva regular C, entonces la

curvatura k de C en p∈C est´a dada por

k2sen2θ =λ2₁+λ2₂−2λ1λ2cosθ,

dondeλ1 y λ2 son las curvaturas normales enp, a lo largo de la recta tangente a C, deS1

y S2, respectivamente, y θ es el ´angulo que forman los vectores normales a S1 y S2 enp.

54.- Demostrar que toda superﬁcie compacta tiene alg´un punto el´ıptico.

55.- Demostrar que si todas las rectas normales a una superficie conexa pasan por un punto, la superficie está contenida en una esfera (superficie esférica).

56.- Calcular las l´ıneas asintóticas y las l´ıneas de curvatura del helicoide, cuya parametri-zación está dada por

X(u, v) = (vcosu, vsen u, u), para (u, v)∈IR2_.

57.- Se consideran la catenoide y el helicoide, con las parametrizaciones siguientes: a) Catenoide: para (u, v)∈U1 =]0,2π[×IR,

X(u, v) = (coshvcosu,coshvsen u, v). b) Helicoide: para (u, t)∈U2 =]0,2π[×IR,

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Se considera la aplicaci´on del helicoide en la catenoide dada a trav´es de las parametri-zaciones anteriores mediante Φ =X◦f◦Y−1, siendo f(u, t) = (u,arg sinh(t)). Demuestra que Φ es una isometr´ıa de Y(U2) en X(U1). [SUGERENCIA: Ten en cuenta que si f es un

difeomorfismo de IR2 y X es una parametrización de una superficie S, entonces X ◦f también es una parametrización deS. Ten en cuenta as´ımismo que cosh2x−sinh2x= 1.] 58.- Comprobar que las superficies

X(u, v) = (u cosv, usenv,lnu), X(u, v) = (u cosv, usenv, v),

tienen la misma curvatura de Gauss en los puntos X(u, v) y X(u, v), pero la aplicaci´on X◦X−1 no es una isometr´ıa. Esto prueba que el “rec´ıproco” del teorema de Gauss no se cumple.

59.- Demostrar que la curvatura geodésica de cualquier meridiano en una superficie de revolución es cero.

En los tres ejercicios siguientes se trabajará con el hiperboloide de una hoja, estudiado como superficie reglada en el ejercicio 42. Esta superficie también es una superficie de revolución, admitiendo en concreto la parametrización

X(u, v) = ( 1 +v2_cos_u, _{1 +}_v2_sen _{u, v)}

con u∈]−π, π[, v∈IR.

60.- Escribir las ecuaciones que deben cumplir las funciones u, v para que la curva parametrizadaα(t) =X(u(t), v(t)) sea una geod´esica parametrizada del hiperboloide. ¿Es el meridiano α(t) =X(0, t) una geod´esica parametrizada? ¿Es compatible este resultado con el obtenido en el apartado anterior?

61.- Se consideran las curvas parametrizadas α:IR → S y β: ]− π₂,π₂[→ S, definidas por las expresiones: α(t) = X(t,0) y β(t) = X(t,tant). Dibujar las trazas de estas curvas en el hiperboloide. Demostrar, sin calcularla expl´ıcitamente, que tienen curvatura geodésica nula. ¿Son α y β geodésicas parametrizadas? ¿Son geodésicas sus trazas?

62.- Se considera la superficie de revolución generada por una curva parametrizada de la forma v →(f(v),0, v) al girar alrededor del eje Oz, (f(v)>0, para todov). Encontrar la condición necesaria y suficiente que debe cumplir a para que el paralelo c(t) =X(t, a) = (f(a) cost, f(a) sint, a) tenga curvatura geodésica nula. Suponiendo que la condición en-contrada se satisface para un paralelo ¿Se trata de una geodésica parametrizada? En el caso particular del hiperboloide indicar qué paralelos son geodésicas.

63.- Demostrar que toda curva que sea a la vez geodésica y l´ınea de curvatura es plana. 64.- Demostrar que si una geodésica es una curva plana, entonces es l´ınea de curvatura. 65.- Demostrar que una curva es a la vez l´ınea asintótica y geodésica si y sólo si es un segmento de l´ınea recta.