Cap. 4 Variables Aleatorias Contínuas Y Distribuciones De Probabilidad

(1)

ililididaadd eell<<: :--::ra ::rall dede v·,v·, ) )nnees s 4411

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I

I UUnana vvariableariable aaleatorialeatoria ((va) diva) discscretretaa es una cues una cuyoyos s vvalaloreores s ppososiblibleses 00ccoonnsstitutituyeyen n un un conconjujun-

n

--tto o fifinitonito 00 bien bien pupueeden den ser ser puepuesstotoss en lista en una en lista en una ssecuenciecuenciaa infinitinfinita a ((ununaa lislista ta en en llaa cuacuall eexxiis-

s-te un primer

te un primer eelemlementoento, , un segun segundundo o elemelemententoo, , eetc.tc.)).. Una Una variablvariablee aalcatorilcatoriaa euyo conjunteuyo conjuntoo dede valores posibl

valores posiblees s es un ies un intentervrvalo alo cocompmpleleto to de nude numemeroros s no eno ess didisseretaereta j j

Recuerde

Recuerdesse e de acde acueuerdrdo o cocon n el cel capfapftutulloo 3 que 3 que ununa a vavaririaa ble ble aleatorialeatoria a X X eess continuacontinua ssii I)

I) ssuuss valoresvalores popossibliblees s cocompmprerendnden en un sun solo intolo inteer r vvalo alo sosobr br ee la \fnela \fneaa de numer de numer aaciocion n (p(parara a al- al-guna

guna AA

<

B B , , ccuuaalquilquier er numnumeer r oo xx entreentre AA yy BB eess unun vvalor posalor posibiblele) ) a una unaa uniunioon n de inde inter ter vavallosos di

diss junto juntos s y y 22)) PP(X(X ==c)c) ==0 0 ppaarara ccualquiualquieer r nnuummeer r o o cc quque seae sea unun vvalor poalor posisi bl ble d e Xe d e X..

Eje

Eje m p

m p lo

lo

4.4.1 1 EEn el en el esstuditudioo d d ee llaa ecoloecologgf f aa de un lagde un lagoo, , sse mid e mid ee llaa pr pr of of undid undid aad d een n lulugagar r es es sseelleeccccionionaad d osos,, entonces

entonces XX ==llaa profundidad profundidad een esen ese lugar eslugar es ununaa varivariaa ble a ble aleleaattor or iiaa continucontinuaa.. En En eesste te ccasasuu AA es

es llaa profundid profundid aad d mfmfninima en lma en laa regiregioon n mumuesesttrearead d a a yyBB eess llaa pprorofunfundididadad d mmaxaximimaa. . •• Si se sele

Si se selecciccionona a al azal azar ar un coun compmpuesuesto to ququfmfmico ico y se dety se detcrcrmimina na su pH X, esu pH X, entntooncnces es X eX es s ununaa v

vaariabriable le alealeaator tor iia a cocontintinunua a poporqrque ue cucualqalquiuier er vvaalor pH lor pH enentre 0 tre 0 y y 14 14 es poses posibible. le. Si se coSi se cononoccee m

masas sosobrbre e el cel coompuempuesstoto sse.le.leeccccionionado ado ppaarara ssuu aannaalisilisis,s, ententoonncesces el conel conjuntjunto o de pode posibsibleless vvaa --lloresores podrfapodrfa seser r unun ssubilubil11ter ter vavalloo de [0de [0,, 1144]],, ttaal l ccoomo mo 55..55 $$ x x ::5566..5 5 ppeeroro X segX seguuiirfarfa ssiieend nd oo co

connttiinnuuaa.. ••

Sea X

Sea X]a ca]acantid ntid aad d dde te tiiempempoo ququee unun cclientliente e seselleccioeccionadonado aall azar azar ppasasaa eses per per anand d oo que Ieque Ie ccor or - -tteen el pelon el pelo aantnteses d d ee que comieque comiennce ce ssu cortu cortee d d ee pepelloo.. EI primeEI primer r ppeennsasamientmientoo ppoodr dr f f a ser que Xa ser que X es

es ununaa variablevariable aaleatoria continuleatoria continua,a, puespuesto to ququee sse e r r eequiquieer r ee medir medir lla a papar r aa d d eetermterminar inar susu vvalaloorr .. S

Sin in embembar ar ggoo,, exisexisten ten cliecliententes s ssuficientementuficientemente e af af ortunadoortunadoss quque e no tienno tieneen n quque e eses perar perar antanteses de sent

de sentarsarse e en el sien el sillon del peluqllon del peluqueruero. o. AAssf que f que el cael caso so dedebe be seser r P(XP(X ==0)0)

>

OO..CondicionalCondicional en

en ccuauantnto o a loa loss sillonesillones s vadvados, os, aun cuaaun cuandondo, , eel tiel tiempmpo o de ede ess per per aa sera consera contintinuo uo pupuesesto to quque Xe X p

poodrdrfa fa aassumiumir r entoentonces nces cualcualquiequier r valovalor entr r entr ee un tieun tiempo mpo minminimimoo posposii ble ble AA yy un un titiemempo po mmaa --x

ximimoo ppososibliblee BB.. EsEstta a vvariariaa ble ble aalealeatotoria ria nno o eses nini ppur ur aammeentntee didiscscr r eettaa ni pur ni pur aammeentente ccontinuontinuaa s

sininoo queque eses ununaa mmezcezcla la de lde looss d d osos tipostipos. . •• Se podr

Se podr fa fa aar r ggumentumentaar r quque aune aunquque e en pren princincipipio io lalas s vavar iar ia bl bleses ttaaleless ccoommo o aalturaltura,, pepeso so yy tteempmpeeratur a ratur a soson n ccoontinuasntinuas,, en la praen la pracctica tica llasas limitaclimitaciionesones d d ee loloss ininsstrumtrumeentntosos d d ee medimedicciioonn n

nosos restringerestringenn aa un muun mundndo o didisscretcreto o (aun(aunqueque een on ocasionecasioness muymuy f f inamenteinamente ssubdivid ubdivid iidodo)).. SinSin e

embambargorgo, , loloss mmoodelodelos s contcontinuoinuoss a menudo rea menudo re presentan presentan muy muy bien bien de de fofor r mmaa aproximadaaproximada ssi- i-tuac

tuacioneiones s d d eel l mumundndo o rereal y con freal y con frecucuencencia ia eess mamas s fafacil cil tr tr aa baj bajaar r con mcon matatememaatiticascas continuacontinuass ((eel calcl calculo) ulo) que con matque con matememaaticticasas de variablede variabless discretdiscretas as y distry distribucioneibuciones.s.

D

D iiss t

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rr iibb u c i o

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Sup

Supoongngasease ququee lla a vavariableriable XXde interesde interes eses llaapr pr of of unundididad dad d d ee un un llagago en un punto sao en un punto sa br br ee lla a ssu- u- p

peerfirficcieie sesellececcicioonnaaddo o aal l aazazar. Ser. Seaa MM ==llaa pr pr oof f uundndididad ad mmaxaximima a (e(en n mmeetr tr os)os),, asasf quef que ccuuaall- -qu

quiier er nunummeero enro en eel inter l inter vvalalo o [0[0,, MM]]es unes un vavalloor posiblr posible e d d ee XX.. SiSi sese ""discdiscretiretizzaa" " XXmidiend omidiend o llaa pr pr oofundid fundid aad d aal metro masl metro mas cerccercaanono,, ententoonncceess lolos s vavaloreloress popossibleibless son enter son enter osos nnoonegativosnegativos m

meenorenoress ququee 00iguales iguales aaM.M.LLaa disdistribtribucioucion n didisscrecreta ta resresultultaantntee de profundidad de profundidad sse ile ilusustra tra ccaann

un hist

un histogrograma ama de probde probabilabiliidad dad .. Si se traSi se traza za el hiel hisstogratograma ma d d ee momodo do quque el e el areareaa del rectangudel rectangu- -10

10 sobsobre re cualcualquiequier r enteentero ro posposibleible kk sea la propsea la propoorcrcion ion del lagdel lago o cuycuya a prprofofunundid did aad d es (es (aal mel me- -tro mas cerc

tro mas cercaanno)o) kk,,entonceentoncess elel aarerea a tototal d tal d e e totodos dos los reclos recttaannggululos os es 1. es 1. EEn ln laa titigugura ra 44..11 aa)) a

a p paar r eecce e uun pn pososible ible hishistogtogr r aamama.. Si

Si sese mimide de llaa profund profund iid d aad d cocon mn mucuchhoo mmasas preciprecissiioonn yy ssee utiliutiliza za eel l mimissmmoo eje d eeje d e me- me-d

d iciciioon n d d ee llaa figur figur a a 44.1.1 a)a), , ccaad d aa rerecctangulotangulo eenn eel l hihisstogr togr aamma a d d e e pr pr oo b baa bilid a bilid ad d reressultultaanntte e ees s mmu- u-c

(2)

Variables aleatorias

Variables aleatorias contlcontlnuanuass yydistrdistriibuCionebuCionessdede pprobarobabbiilliiddaadd ,,

fi~ura 4

fi~ura 4..Lb)Lb) sse iLustr e iLustr aaun poun possibL~hiibL~hisstogr~~togr~~a;a; tiene unatiene una aa parien~i~ parien~i~ mucho mucho mas mas regulregulaar r ququeeeell

hlstog

hlstograma rama de Lafide Lafigura 4.1agura 4.1a)).. SISI se cse contontmua mua de ede esta manesta manera ra mldmldlenlendo do la pla profrofundundldaldad d mamassyy !!

mas finameme

mas finameme,, LasLasececuenuencia cia reressultultantante e de hide hisstogramastogramas sse apre aproxioxima ma a una una curva curva a mmaas r s r egegululaar r

i

ttaaLcomLcomo o la iLula iLusstrada en la fitrada en la figgura 4.ura 4.LcLc).). CoComo mo en cen caada histoda histogragrama ma el arel areeaa tottotal al d d e e totod d os lo~os lo~

f

rec

rectantangulgulos os eess iguaL aiguaLa II,, eLeLaarea totrea totaal bajo ll bajo laacurva curva regregulaular r tamtambiebien n eses II.. LLaa probabiprobabi IidadIidad dede ~~

que l

que laa ppr r ofund ofund iid d aad d een un punto sn un punto seleeleccccioionad nad oo aLazaLazaar r se se eennccuenuentre tre ententrere aa yyh ees h s ssimplimplccr r nenenn _ _ ,,

te

te~~IIaarereaa bbaa j joo llaa cur cur vva a regregulaular r eentrentre aa yybb..Es de maneEs de manera ra exaexaccttaa una cur vuna cur va a regregululaar r d d eel l titi p paa ilu

ilustrstrado ado en Lafiguen Lafigura ra 44..lclc) ) la la quque ee ess pec peciififica ca un un didisstr tr ii buci6n buci6n de de probabilidad probabilidad continuacontinua..

II /

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-

- - --~

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L

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"

oo

M M c) c) Fig

Figurura a 44..1 1 a) a) HisHisttogrograma ama de de prprobabobabililididad ad de de prprofofunundididad dad medmedidida a al mal metetrro o mas cercano; b) hmas cercano; b) hististoogramagrama de p

de probrobabiabililidad dad de pde profrofundundididad ad medimedida da al al centcentimimetetro ro mas cercano; c) umas cercano; c) un lin limimite te de una secuencde una secuenciia a de hde hististo·o· gramas

gramas discrdiscretosetos..

L

LSeaSea XXununaa variablvariablee aleataleatoria oria contcontiinua.nua. EntoncesEntonces,, ununaa distridistribucion bucion de probde probabilidaabilidadd 00

Cuncio

Cuncion de densn de densidad idad de probabide probabilidadlidad ((fdpfdp))dde e X X eess una una funcifunci6nf 6nf lxlx) ) ttaaLque pLque paara ra d d ooss numer

numeros os cualcualeesquier squier aa aayybbconacona ::55hh , ,

P(

P(aa ::55XX ::55b)b)

==

r

f(f( x) x) d d x x

a

E

Ess dedeccir ir ,, LaLa p probrobaa biLidad biLidad de de queque X X asasumumaa un un vvaalor lor en el en el intintervervaalolo [a[a,, b]b] eses eeLareLarea a soso--

J I

bre

bre eessttee inteinter r vaLovaLo yybbaa jo jo Lagr Lagr aaficfica a de la fude la funcinci6n 6n de d de d eennssidaidad, d, comcomo o se iLse iLustustra ra en en !!aaf f 11 --gur

gura a 4.24.2. . LaLa ggrafrafica ica dedej(j( x x)) a menudoa menudo sse cae canacnace e comcomoo ccur ur vva a d d ee densidad densidad ;; j j __

V

Var ar aa queque f(x f(x)) sea unsea una a funfunci6ci6n n d d ee densidensidad dad de pde probrobaa bilidad bilidad legftimalegftima,, d d ee be be ssatiatissf f aceacer r llasas

dos s

dos siiguienteguientess condicionescondiciones::

1

1.. f( f( x x)) ~~ 0 con tod 0 con tod asas llasas xx

2.

JJ :

:

f(x)f(x) d..td..t ==aarereaa bbaa jo jo llaacurvacurva f( f( x x))

J

=

_LL

Eje

Eje m p

m p lo

lo

4.44.4 LLaa d d ir ir ecci6n de una imperfecci6n de una imperfececcci6i6n n cacan ren ress pecto pecto a a una una linelineaa d d ee ref eref erenrenccia sia sabre abre un obun objetjeto o ccir ir cu-

cu-lar t

lar taal coml como o un nun neeumumaatictico,o, un rotor d un rotor d ee frefrena na a un volana un volante te estestaa, en gener , en gener aal, l, sujeta a incesujeta a incertidurtidumm-

- bre

bre..ConsConsidereiderese se la linla linea de referencea de referencia ia que conectque conectaa el vasel vastago de ltago de laavalvula de un neumativalvula de un neumaticoco ccoonn s

su punu punta ta centr centr aall yysseea a XXel anel angguloulo memedido en eldido en el ssentidentido o d d ee llasasmanecillasmanecillas del relodel reloj caj can n rerespecspecttoo

a la ubic

a la ubicaciaci6n 6n d d ee una imperf una imperf eecci6ncci6n. . Una posiblUna posiblee f f unci6unci6n n de dede densidad de pnsidad de p r r obaobabilbilidaidad d d d ee XX eses

(

( 11

f

f (( x) x) ==JJ 360360 00::55 x x

<

360360 lOd

(3)

;ur va mas :,~,ji~r, total d ,~f <, " '. ii J ,

a proba));!" ., ,k

Ib es sim j .. ,""1.

a r egular ,. ,p o ad cOl1ti~,I..

ana;

b i

his;,.", ' r d sec ue ncia c· i'<'i'

·oba bilid i'

I que par :, . ",

La funci6n de densidad de proba bilidad aparece dibujada en la [lgura 4.3. Claramente j(x)

;.::::O. EI area bajo la curva de densidad es simplemente el area de un rectangulo (altura) (base)

=

C~J(360)

=

1.La probabilidad de que el angulo este entre90° y 180°es

(180 I X IFl80 I

P(90 :sX::S 180) = = - dx = =-4 =0.25

J 90 360 360

1,,;90

La probabilidad de que el angulo de ocurrencia este dentro de90° de la linea de r eferencia

es

---1---

.r

270 360

Como siempr e que 0 :sa :sb :s 360 en el ejemplo 4.4, P(a ::sX :sb) d e pende solo del an-cho b - adel intervalo, se dice que X tiene una distribucion uniforme.

~que una variable aleatoria continua X tiene unadistribuci6n uniforme en el

i

in-te~;;l~ [ A, B] si la funcion d e densid ad de probabilidad de Xes

f( x; A , B) ~{B (~A es el are;; DEFINICION ustr a en i Id. un o b jeto -:',;.'l!-ta a incclT' . " In-1 neUlll atlt¥". · . ,"!!1

lo j conIe" , '\0

)i lidad do t: .'\

A:S x:s B

de 10 contrarioJ

La gnifica de cualquier funcion de densidad de probabilidad uniforme es como la de la fi-gura 4.3 excepto que el intervalo de densidad positiva es[A, B) en lugar de [0, 360).

En el casu discreto, una funcion masa de probabilidad indica como estan distribuidas pequefias "manchas" de masa de probabilidad de varias magnitudes a

10

largo del eje de

medicion. En el casu cominuo, la densidad de proba bilidad esta "disper sa" en fonna conti-nua a 10 largo del intervalo de posibles valor es. Cuando la densidad esta dispersa uniforme-mente a 10 lar go d el inter valo, se obtiene una funci6n de densid ad de probabilidad unifonne

como en la f igur a 4.3. .

Cuando X es una variable aleatoria discr eta, a cada valor posible se Ie asigna una probabilidad positiva. Esto no es cicrto en el caso de una variable aleatoria continua (es decir,

se satisface la segunda condici6n de la definicion) porque el area bajo una curva de densi-dad situada sabre cualquier valor unico es cero:

«

f c+ e

P(X

=

c)

=

-c f (x) d x

=!06

c-e f(x)dx

=

0

EI hecho de queP(X

=

c)

=

0 cuando X es continua tiene una importante consecuen-cia practica: La probabilidad de que X quede en algun intervalo entrea y b no depende de si el limite inferior a 0ellimite superior b esta incluido en el calculo de probabilidad

(4)

SiX es discr eta y tanto a como b son valor es posi bles ( p. ej., X es binomial (.')"

a =5, b =10), entonces cuatro d e estas pr o ba bilidad es son dif erentes.

La cond ici6n d e pr o ba bilid ad cero tiene un analogo fisico. Consid er cse: cir cular s6lid a con area de secci6n tr ansver sal

=

I pulg2 . Cologue la barr a a le I i:. d

eje de medicion ysup6ngase que la densid ad d e la barr a en cualquier puntl' .\I;,',

el valor }(x) d e: una f unci6n d e densidad . Entonces si la barr a se r e bana en 10\ Ill'"

y este segmentu se retira, la cantidad de mas a eliminada es J~ f( x) d x; si ]a bam; exactamenre en eJ punto c, no se elimina masa. Se asigna mas a a segmentos d e ill:.

la barr a per o no a puntos individuales.

Eje m p lo

4.5 "Intervalo d e tiern po" en el f lujo de transito es el tiempo transcurrido entr e elti0!R

un carro termina d e pasar por un punto fijo y el instante en que el siguiente c; :u1"1 ' ,

a pasar por ese punto. Sea X =el inter valo d e tiempo d e d os carros consecuti\:l);. nad os al azar en una autopista dur ante un period a d e tn'tfico intenso. La siguiclli de d ensid ad d e pr o babilidad deX es en esencia el sugerido en "The Statistical Pr o,

Fr eeway Tr aff ic" (T rans p. Res. vol. II: 221-228):

f (x) ={0.15e-O.15(X-0.5) x 2: 0.5 .

°

de 10 contr ano

La gn'itica def ( x) se d a en la f igur a 4.4; no hay ninguna d ensid ad asocia,L; ,. valos d e tiem po de menos d e 0.5 y Ia densid ad del intervalo decr ece con r a pid cl >c cial) a med ida que.r se incrementa a partir de 0.5. Claramente,f (x) 2:0; para dCf I'l)-'

I~"

f(x) d x: =I.se utiliza el r esultado o btenido con calculo integral

I;

e-kr

dx

Entonces

(' 0

f( x) d x = I c x o 0.15e-O.15(x-O.S) d x =0.lS eO .07 S

f '"

e ,·O IS r < 1 .\

J~ m Jm I

=

0. IS e0075 • __ e-( O. 15)(0.5)

=

O .IS !(x)t 0.15

₁

i

I

,

I

I I I I

,.

I

II I 1

I

I I I I

. ... . .. - - . . ..-

I 0

t

2 0.5

La pr o ba bilid ad d e que el intervalo de tiempo sea cuando mucho de 5 segund os C'

P(X ::::: 5)

=

IS

f(x) d x

=

I

5 0.lS e-O.15(x-O .S ldx

-;< 0.5

- I S

I

X ~ S

=O .IS eO .O ,S e-0.15 x d x =0. IS eo.07 S • - __ e-O .15 x

0.5 0.15 r ~n.5

=

e0075(_e-0.75

+

e-O.07 5)

=

1.078(-0.472

+

0.928)

=

0.4':l1

=P(menos d e S seg) =P(X

<

5)

A d ifer encia las distribuciones discretas tales como la binomial, la hi per gcl';;' la binomial negativa, la distr i buci6n d e cualquier varia ble aleatoria continua d;I J ,i "

ral no pued e ser clerivad a mediante simples ar gumentos proba bilisticos. En camhi,' hacer una selecci6n juiciosa de la funci6n de clensid ad de proba bilid ad basad ;1('Ii

mientos pr evios y en los d atos dis ponibles. Af ortunad amente, existen alguna~;la::'

ner ales d e l'unciones d e densidad de probabilid ad que se a justan bien a una ampii:t \

(5)

iderese una h~II'[a a a 10 larg" '.k un to x est;) d ;,J, p o r lias pum\!'. " \ b ia balTa sc os de intely, j"de

: el tiempo ,,' jiqlle

:e carro C0[iH"!Il.o ~cutivos siguientc jcal Propen ,nf :ociad'1 con "'k r -apidez (CXP':1l'D· Ira demostr ,u' q ue :x dx =(!!t.\ 1.5 1.491 ipergeometr i,',\ y la dad a en g,:I1(:-cambio. Sf dc bc lsada en':"1\,':.i -mas f'1miIEI~ " c-amplia va! j,',Lid el capituh , ~k

Ex'1ctamente como en el c'1so discreto, a menudo es util pensar en la poblaci6n de interes como compuesta de valores X en lugar de individuos u objetos. La funci6n de densidad de

pro- b'1bilidad es entonces un modelo de la distribuci6n de valores en esta poblaci6n numeric a ycon

base en este modelo se pueden calcular varias caracterfsticas de la poblaci6n (tal como la media).

1. Sea X la cantidad de tiempo durante 1'1cual un libro puesto en reserva durante dos horas en 1'1biblioteca de una univer-sidad es solicitado en prestamo por un estudiante seleccio-nado y suponga que X tiene la funci6n de densidad

J(x) =

r

0.5x O:=;x :=; 2

l

(

)

de 10 contrario

Calcule las siguientes probabilidades: a. P(X:=; I)

b. p(0.5 :=;X:=; 1.5)

c. P(l.5 <X)

2. Suponga que la temperatura de reacci6n X (en 0c) en cier-to proceso qufmico tiene una distribuci6n uniforme con

A=-5yB=5.

a. Calcule P(X

<

0).

b. Calcule P(-2.5 <X<2.5).

c. Calcule P(-2 :=;X:=;3).

d. Para que k satisfaga - 5

<

k

<

k +4

<

5, calcule

P(k

<

X

<

k

+

4).

3. EI error implicado al hacer una medici6n es una variable aleatoria continua X con funci6n de densidad de probabilidad

f(x' ) = fO.0 937 5(4 - x2

) -2:=; x:=; 2

. 0 \ de 10contr'1rio a. Bosqueje la gnifica de f(x). b. Calcule P(X >0).

c. Calcule P(-I

<

X

<

I).

d. Calcule P(X

<

-0.5 0X

>

0.5).

4. Sea X el esfuerzo vibratorio (Ib/pulg2) en el aspa de una

tur- bina de viento a una velocidad del viento particular en un tunel aerodim'imico. EI articulo "Blade Fatigue Life

Assess-ment with Application to VAWTS" (1. Solar Energy Engr.

1982: 107-111) propone la distribuci6n Rayleigh, con fun-ci6n de densidad de probabilidad

f(x: 8)

= J

;2 • e o' _ ,'1 1 2 .') x >0

l

de 10 contrario

como modelo de la distribuci6n X.

a. Verifique quej(x; 8)es una funci6n de densidad de

probabilidad leg(tima.

b. Suponga que 8 = 100 (un valor sugerido por una gnifica

en el articulo). i,Cwil es la probabilidad de que Xes cuan-do mucho de 200'1 i,Menos de 200'1 i,Por 10menos de 200'1

c :

i,Cual es la probabilidad de que X este entre 100 y 200

(de nuevo con 8= 100)?

d. De una expresi6n para P(X s:; x).

S. Un profesor universitario nunca termina su disertaci6n an-tes del final de la hora y siempre tennina dentro de 2

minu-tos despues de la hora. Sea X = el tiempo que transcurre

l

entre eI final de la hora yel final de la disertaci6n y supon-ga que la funci6n de densidad de probabilidad de X es

f(x) ={kx2 O:=; x:=; 2

o

de 10 contrario

a. Detemline el valor dek y trace la curva de densidad

co-rrespondiente. [Sugerencia: EI area total bajo la gnifica

defix) es I.]

b. i,Cual es la probabilidad de que la disertaci6n termine dentro de un minuto del final de la hora?

c. i,Cmil es la probabilidad de que la disertaci6n continue

despues de la hora durante entre 60 y90 segundos.

d. i,Cuai es la probabilidad de que la disertaci6n continue

durante por 10 menos 90 segundos despues del final de la hora?

6. EI peso de lectura real de una pastilla de estereo ajustado a 3 gramos en un tocadiscos particular puede ser considerado como una variable aleatoria continua X con funci6n de den-sidad de probabilidad

J(x) ={k[l - (x - 3)2] 2 s:; x:=; 4

o

de 10 contrario

a. Trace la grafica defix).

b. Determine el valor de k.

c. i,Cual es la probabilidad de que el peso real de Iectura sea mayor que el peso prescrito?

d. i,Cual es la probabilidad de que el peso real de Iectura este dentro de 0.25 gramos del peso prescrito?

e. i,Cwil es la probabilidad de que el peso real difiera del peso prescrito por mas de 0.5 gramos?

7. Se cree que el tiempo X (min) para que un ayudante de la- boratorio prepare el equipo para cierto experimento tiene

una distribuci6n uniforme con A = 25 yB =35.

a. Determine la funci6n de densidad de probabilidad de X y trace Lacurva de densidad de correspondiente.

b. i,Cual es la probabilidad de que el tiempo de preparacion exceda de 33 min?

c. i,Cual es la probabilidad de que el tiempo de preparacion este dentro de dos min del tiempo medio? [Sugerenciu: ldentifique J .l. en la grafica defix).]

d. Con cualquier a de modo que 25

<

a

<

a

+

2

<

35,

i,cual es la probabilidad de que el tiempo de preparacion

este entre {/ya

+

2 min?

8. Para ir al trabajo, primero tengo que tomar un cami6n cerca

de mi casa y luego tomar un segundo cami6n. Si el tiempo de espera (en minutos) en cada parada tiene una distribucion

uniforme con A =0 y B =5, entonces se puede demostrar

que el tiempo de espera total Y tiene la funci6n de densidad de probabilidad

(6)

{ ' 215 Y O~y<5 fey ) =

3- _

...l-

y 5 ~."~ 10 5 25

o

y<Oov_'> 10

a. Tr ace la grafica d e la f UlIcilin tie Jensid ad d e

pr o ba bili-d ad d e Y . .

b. Verifique que

j:~

fey) d y =I.

c. i,CUlii e s la pr o babilid ad d e q ue e! tiempo d e cs pera to-tal sea cuando mucho de tres minlllos'!

d. i,CUlii es la proba bilid ad d e que el tiempo de es per a total sea cuand o mueho d e oeho minlltos?

e. i,Cual es la pr o ba bilid ad de q ue el tiempo d e esper a to-tal este entr e tr es y oeho minutos?

f. i,Cual es la proba bilid ad d e que cI tiem po d e es per a

to-tal sea de menos d e 2 minutos 0de mas de 6 minutos?

9. Considere de nuevo la f unci6n d e d ensidad de pr o ba bilid ad

de X =intervalo de tiempo dad o en eJ e jemplo 4.5. i,Cual

es la proba bilid ad de que el inter valo d e tiem po sea

a. Cuand o mucho d e seis segund os?

b. De mas d e seis segundos? i,Por 10 menos d e seis segundos1 c. De entre cinco y seis segund os?

Una f amilia de funeionesde d ensid ad de proba bilid au que

ha sid o utilizad a par a a pr oximar la distr i bueion d ef ingr eso. el tamano d e la po blaei6n de una eilld ad yel taman" .Ie f ir . mas es la familia Pareto, L a familia tiene dos par ~illll:lros, ~

k Y 8, am bos> 0y la f unei6n de densid ad d e pr oba bliidau es

r

t

_~

r

Jk.(Jk f(x; k, 8)=

l

X~+I

,

~. ~.

a. Tr ace la gr litica d e f (x; k , 8). ,

b. Veritique que el area total ba jo la gr atica es igll<iiJI. ~

~.

c. Si la varia ble aleator ia X tiene una funcion de d en.,idad " d e pr o ba bilid adj\x; k , 8), can cualquier b > O . " bk nga una ex pr esion par a P(X ~ b).

d. Con 8

<

a

<

b , o btenga una expresi6n par a la pr n babi. lidad P e a ~ X ~ b).

1$ · ~ ,~ :i;'F .u n c io n e s

d e d i s t r i b u c i6 n a c u m u l a ti v a

-- -- - J

. f ~ Y c

v a lo r _e _s _ e _ s p _ e _ ra _ d _ o _ s

. _. ... _

Varios d e los mas importantes conce ptos introducidos en el estudio d e distribuciones d i~cr e-tas tam bien desempefian un importante pa pel en las distribuciones continuas. Def inic:ones amilogas a las del capitulo 3 implican reemplazar la suma por integr acion,

La fllnCl\~!nJe distr ibucion aClIlTIulativaF(x) de una varia ble alcatoria d iscr eta X d a, con l:u:i!quler nurner o es pecif icad o x, la' pro babilid ad P( X :$x), Se o btiene sumand o la funci6n masa d e

pr o- ba bilidaclp(y) a 10largo d e todos 10s valores posibles y que satisf acen y :$ x. La funci6n de

d is-tribuci6n aClImulativade una var ia ble aleatoria continua d a las mismas pr o ba bilidad es P(X ~ x)

y se obtiene integrando la funcion de densid ad d e proba bilidadj(y) entre los Hmites--%yx.

La f uncion de distr ibucion acumulativa F(x) d e una varia ble aleatoria continua ,Y

s e l

d ef ine para todo numero x como

F(x)

=

P(X :$x)

=

r ~ f(Y ) dy.o

J

Concadax, F(x} es el area bajo la cur va de dcnsid ad a la izquicrda d ex. Esto se iluslJa ,'11 .

~ _ f ig~'~ _ 4.5, d ond e F(x) se i~cr ementa conr egularid ad a med ida quex se incrementa .

f( x) ! F (x)

r

F(8i I .

~

F(8)-

--- - - 1

0.5

~

/

; x I _{•. X} . 5 10

t

10 8

L

(7)

e probabiii,(:, j q U e :lUcioll d e! ;'l::rc so, '

y c1la m ~ u'\", ,ii:tir_ ~ lC d ns P'U,l"" ",'os ~ d e pr o bl bi';d Jd

c ';

i'

i

t

tica cs igu," :,I.

Ilcion d e ck n,;,la d

ier b >

n ,

,,1;i':!J~a

buciones

tL'cre-as. D ef in i',::Of leS

da,COil CU':!<;Ld cr ,. _

i6n masa , j",

;'r o-a funci6n d ,' ~h-Iid ad es f 'L\':c :xl

nites --7 _ VI

Sea X el es pesor de una cierta lamina de metal con distribuci6n uniforme en [A, B). La fun-ci6n de densid ad se muestr a en la Figura 4.6. Con x

<

A, F(x)

=

0, como no hay area bajo la grafica de la funci6n d e densidad a la izquierda de lax. Con x 2:B, F(x) =I, puesto que toda el area esta acumulada a la izquierda de lax. Finalmente con A ::; x ::; B ,

I

v= x x f I l' F(x) =

f

fe y) d y =

f - -

dy =-- .Y -00 .~B-A B-A y=A x-A B-A

F (x )

=

{ x ~ A

B-A I

e

F(x )

p ar a ca lcu lar p ro b ab ilid ad es

La importancia d e la funci6n de d istribuci6n acumulativa en este caso, 10 mismo que para

va-V

r ia bles aleator ias discretas, es que las probabilidades de varios inter valos pueden ser calculadas con una f6rmula 0una tabla d e F(x).

Sea X una variable aleatoria continua con funci6n de densidad de probabilidadf(x) Y funci6n de distribuci6n acumulativa F(x). Entonces con cualquier numero a ,

(8)

La figura 4.8 ilustra la segunda parte de esta proposici6n; fa probabilidatl d , ' sombreada bajo la curva de densidad entre a y byes igual a la dif ercnc'. areas sombreadas acumulativas. Esto es diferente de10que es apropiad o [1;1;.'

aleatoria discreta de valor entero (p. ej., binomial 0Poisson): P(a :SX::S b)

=

f i

-cuando ay b son enteros.

//

---I

I

I I

_{, I}

I

i

\

1

Suponga que la funci6n de densidad de probabilidad de la magnitud X d e llll~;,

ca sobre un puente (en newtons) esta dada por

{

1 +

1.

x O ::s x ::s 2 f(x)

=

8 0 8 de 10contrario

f

x

f X ( 1

3 )

F(x)

=

f (y ) d y

=

-

+-

Y -00 () 8 8 d Y =-+x -· x 3 ,' 8 16 { 0 x<O x 3 F(x)

= -

+-

xl O::s x :S2 8 16 1 2

<

x

Las graficas deflx) y F(x) se muestran en la figura 4.9. La probabilid ad Ik ,',' entre 1y 1.5 es PO ::sX::S 1.5)

=

F(1.5) - F(l)

=

[1

(1.5)

+2.

(1.

_{W ]}

-

[1

(l)

+2.

(1 )2 '1

8 16 8 16' J

=

..!2 .

=

0.297 64 [ I 3,' P(X> 1) =1 - P(X:S 1)=1 - F(l)

=

I - - (1)

+-,

(1)2 i 8 16 _,I[ =

I

=

0.688 16 F(x) I

(9)

d esead a C'.ei a re '

.

,

nCIa entr e !asd o ,

I par a una vH riabl

e'

=

F(b) -- I"u . _\

l~

."

Eje m p lo 4.8

(continuaci6n del ejemplo 4.6)

Una vez que se obtiene la f unci6n d e d istr i buci6n acumulativa, cualq uier pr oba bilid ad que implique Xes facil de calcular sin cualquier integraci6n ad icional.

Ob ten cio n d e

f(x )

a p a r t i r d e

F(x )

Para X d iscreta, la f unci6n masa de pro babilidad se o btiene a partir d e la f unci6n d e distri- buci6n acumuIativa consid erando la difer encia entr e dos valor es F(x). EI ana logo continuo

d e una d ifer encia es una d erivad a. EI siguiente resultad o es una consecuencia d el teorema f und amental del calcuIo.

Si X es una varia ble aleatoria continua con funci6n d e d ensidad de pr o ba bilid ad j(x) y funci6n de d istr i buci6n acumulativa F(x), entonces con cad a x hace posible que la d er ivad a F( x) exista, F'(x) = f(x).

Cuando X tiene una d istribuci6n uniforme, F(x) es d eriva ble exce pto conx

=

A Yx

=

B, don-d e Ia gr afica don-d e F(x) tiene esquinas afilad as. Como F(x) =0 con x

<

A YF(x) =1 con x

>

B. F (x) =0 = j(x) con dicha x. Con A

<

x

<

B ,

F'(x) =.~(x -

A )

= =

_ 1 _

=f(x)

dx B-A B- A

Cuando se dice que la caliticaci6n d e un ind ividuo en una prue ba f ue el 85° per centil d e la po blaci6n, significa q ue 85% de tod as las calif icaciones d e la po blaci6n estuvieron pOI' d e- bajo de dicha calif icaci6n y que 15% estuvo arriba. Asimismo, el 40° per centil es la

califi-caci6n que so bre pasa 40% d e tod as las calif icaciones yque es superad a par 60% d e todas las caliticaciones.

Sea pun numer o entere 0y I. EI (lOOp)O percentil d e Ia distr ibuci6n d e una varia ble aleatoria continua X, d enotad a pOI'T/(P), se define como

J

1)(P)

P

=

F (T / (p))

= ~

fey ) d y

De acuerd o con la ex pr esi6n (4.2), T / (p) es ese valor so bre eI e je de med ici6n d e tal suerte que ellOOp% d el ar ea bajo la gnif ica d ej(x) queda a la izquier d a d e T/(P ) y 100(1 - p)% que-d a a la d erecha. POl'10 tanto, 71(0.75), el 75° per centil, es tal que el ar ea ba jo la gr afica d ej(x)

ala izquierd a d e 71(0.75)es 0.75. La figur a 4.10 ilustr a la d efinici6n.

F(x) Ar ea som bread a =P 1 P =F( T/ (p)) ~-- -- -- -- -- -- -- -- -- ~~

/1

/'

:

I I I

(10)

Eje m p lo

4.9 La distribuci6n de la cantidad de grava (en toneladas) vendida por una compania d e m a te . riales para la construcci6n particular en una semana dada es una variable aleatoria COntin\li X con funci6n de densidad de probabilidad

{

1.

(1 - x2) 0 $ x $I

f(x)

=

2

o

de 10contrario

La funci6n de distribuci6n acumulativa de las ventas para cualquier x entre 0 y I es

F(x) =

I X

1.

(l - y Z )

d y

=

1. ( y _

y 3 )

I

y= x =

1.

(x _ X 3)

02 2 3 2 3

y=o

Las gnificas tanto def(x) como de F(x) aparecen en la figura 4.11. El (lOOp)O per ccntil de esta distribuci6n satisface la ecuaci6n

P

=

F(1](p»

=

%

[1](P) - (1]~W]

Para el 50° percentil, P =0.5 y la ecuaci6n que se tiene que resolver es1]3 - 3TI

+

I = = 0 : la soluci6n es 1]

=

1](0.5)

=

0.347. Si la distribuci6n no cambia de una semana a Olr a, en· tonces ala larga 50% de todas las semanas se realizanin ventas de menos de 0.347 tony 50% de mas de 0.347 ton.

F(x)

t

La mediana de una distribuci6n continua, denotada por jl, es el 50° percentil, aSi~Lj'e :

jl satisface 0.5 =F(jl). Es decir, la mitad del area bajo la curva de densidad se en- ,

cuentra a la izquierda dejl y la mitad a la derecha dejl . .

Una distribuci6n continua cuya funci6n de densidad de probabilidad es simetrica. 1 0 cual significa que la gnifica a la izquierda de un punto en particular es una imagen a espej<)de la graf ica a la derecha de dicho punto, tiene una mediana jl igual al punto de simetrl:1. pu e sto que la mitad del area bajo la curva queda a uno u otro lado de este punta. La figura -'I 12

o a

varios ejemplos. A menudo se supone que el error en la medici6n de una cantidad ff sica tie-ne una distribuci6n simetrica.

(11)

om puilf a u, . 'J1e . '

aJeator ia I:"'·,· .!nu~.

;:mana a V; , "il' lS d l~O.3-\" : j \ en <1 . c::; pe j" simelrf ,l, i ,a tigur a · 1

Eje m p lo

4.10

(continuaci6n del ejemplo 4.9)

Val o re s es p er ad o s

Para una variable aleatoria discreta X,E(X) se obtuvo sumando x . p(x) a 10largo de posibles valores de X. Aquf se reemplaza la suma con la integr aci6n y la funci6n masa de probabilidad por la funci6n de densid ad d e pr o babilidad para obtener un pr omedio ponderado continuo.

El valor esperado 0valor medio de una varia ble aleatoria continua X con funci6n de

densidad de probabilidad fix) es

ILx

=

E(X)

=

ro o

x . f( x) d x

.' { 1 .

(l - x2) 0:5 X :5I

j(x) =2

o

de 10 contr ario

Cuando la funci6n de densidad de probabilidadf tx) es pecifica un modelo para la dis-tribuci6n de valores en una poblaci6n numeric a, entonces IL es la media de la po blaci6n, la cual es la medida mas frecuentemente utilizada de la ubicaci6n 0centro de la poblaci6n.

Con frecuencia se desea calcular el valor es per ado de alguna funci6n heX) dela

variable aleatoria X. Si se piensa en heX) como una nueva variable aleator ia Y, se utilizan tecni-cas de estadf stica matematica para derivar la funci6n de densidad de probabilidad de Y y

E(Y) se calcula a partir de la definici6n. Afortunadamente, como en el caso discreto, existe una forma mas facil de calcular E[h(X)].

Si X es una variable aleator ia continua con funci6n de densidad de probabilidadf(x)

yheX) es cualquier funci6n de X, entonces

E[h(X)]

=

ILh(X)

=

f :

hex ) .f (x) d x

Ejem p lo 4.11

Dos especies compiten en una regi6n par el control d e una cantidad limitada de un cierto

re-curso. Sea X =la proporci6n del recurso controlado par la especie 1y suponga que la fun-ci6n de densidad de proba bilidad de X es

f ( x) ={~

O:5 x:5l

de 10 contrario

la clial es una distribuci6n unifoffile en [0, I]. (En su Iibro Ecological Diversit y, E. C. Pielou llama a esto el modelo del " palo roto" para la asignaci6n de recursos, puesto que es analogo

(12)

a la ruptura de un palo en un lugar seleeeionado al azaL) Entonees la especie tJU('

la mayor parte de este reeurso eontrola la eantidad

.

p - x

heX)

=

max(X, I - X)

=

l x

si O:s X

<

l

2 si

l:s

X::s I 2

La cantidad esperada eontrolada por la espeeie que controla la mayor parte e s ,,'·nl'

E[h(X)] =

f "

max(x, I - x ) . f (x ) dx =

f l

max(x, 1- x) . Id x

~ 0

=

f l l 2

(I - x) . I dx

+

fl

x· 1 dx

=

1.

I) 112 4

En el caso disereto, la varianza de X se defini6 como la desviaci6n al cuadrado es p

respecto a J . L y se calcul6 por medio de sumac En este easo de nuevo la integraci6n za a la sumac

La varianza de una variable aleatoria continua X can funei6n de densidacl d e bilidadfix) y valor medio J . L es'"

ul

=VeX) =

r o o

(x - J.L)2 • f(x) dx =E[(X - J.L)2] La desviacion estandar (DE)de X es U _x =VV(X).

La varianza y la desviaei6n estandar dan medidas euantitativas de euanta clispCi

en la clistribuei6n 0 poblaei6n de valores X. La forma mas faeil de ealcular (J' es i.d

f6rmula abreviada.

PROPOSICI6N

L

V_(X_)_=_E_(X_ 2)_-_[E_(_X_)]_" .

Ejemplo 4,12 (continuaci6n . del ejemplo 4.10) E(X2)

=

f X

x2• f(x) dx

=

fl

x2

.1.

(l - x2) dx --" I) 2

f

l 3 0 1 =I)2(x~ - x4) dx =

5

VeX) =

l-

( 1 . ) 2

=~ =

0 . 0 5 9

y (Jx= 0.244-5 8 320

Cuando heX) =aX

+

b, el valor esperado y la varianza de heX) satisfaeen las 1)1

piedades que en el easo disereto: E[h(X)]

=

aJ.L

+

by V[h(X)]

=

a2 ·u2.

Use esta para calcular 10siguiente:

a, P(X:$ 1)

b. P(O.S :$X:$ I)

c. P(X> 0.5)

d. EI tiempo de prestamo media jl [resolver I!.

e. F(x) para obtener la funci6n de densidad /(t)

11. La fund6n .de distribuci6n acumulativa del tiempo de pres-tamo X como se describe en el ejercicio I es

{ X

<

0 x2 F(x) =

'4

0:$x <2 I 2:$x ~I \'! \' i ,. . . h . Sl J l d. i;h " j :.."~ C. C qu. l·t Ii : ~iT { li~ln'-, I I(1;) 7.~ h\\.HlIf (l. i h,

I'"

C. ". d:.! d . i , j dl 15. Se d \ \..':,:(,1,, j;;, 1""',1'

(13)

-ado es per .!.::: lon

:graci6n 1\:' _' 1! p b.

·a dis per \i.)11 !Ia\

(7'2es utilin'· un a

I

---- _ .. _...--! Iver 0.5 =ii-'iI ad./(x) f. E(X). g. V(X)ylT_x

h. Si aI prestatario se Ie cobr a una cantiJad heX) =

X2cuan-do el tiempo de pr estamo es X, calcule el co bro es peraX2cuan-do

E[h(x)].

La funci6n de distribuci6n acumulativa de X (=err or de

12 .

m O O i " 6 :(: : I ~ J { ' : i :O :

' ( : x _ ~ ) ~ : ~ :

2

2 32 3 I 2 Sx a. Calcule P( X

<

0). b. Calcule P( - I <X< 1). c. Calcule P(0 .5

<

X).

d. Verifique que.f(x) esta dada en el ejercicio 3 obteniendo

F'(x).

e. Verifique que

p ..

= O.

13. EIejemplo 4.5 introdujo el conce pto d e intervalod e tiempo

en el f1ujode tr ansito y propuso una distribuci6n particular

para X = el inter valo d e tiempo entr e d os carros

consecuti-vos seleccionad os al azar (s). Suponga que en un eotomo d e lransito dif erente, la distribuci6n del intervalo de tie11) po tiene la fonna { k - t> I f (x) = x4 _•

o

x S)

a. Determine el valor d ek con el cuaI.f(x) es una funci6n de

densidad de probabilidad legitima.

b. Obtenga la funci6n de distribuci6n acumulativa.

c. Use la funci6n de d istribuci6n acumulativa de ( b) para determinar la pr o ba bilidad d e que el inter valo d e tiempo exceda de 2 segundos y tambien la proba bilid ad de que el intervale este entre 2 y 3 segund os.

d. Obtenga un valor medio d el inter valo d e tiempo y su desviaci6n estandar .

e. i,Cual es la probabilidad de que el intervalo d e tiempo quede dentro de una desviaci6n estand ar d el valor medio? 14. EI artfculo "Modeling Sediment and Water Column Interac-tions for Hidr o pho bic Pollutants" (Wat er Resear ch , 1984:

1169-1174) sugiere la distribuci6n uni f or me en el intervale 7.5, 20) como modele de profundidad (em) de la capa de bioturbaci6n en sedimento en una r egi6n.

a. i,Cuales son la media y la varianza d e la prof undidad ? b..:i,Cual es la funci6n de distribuci6n acumulativa de la

profund idad ?

c. i,Cual es la pr o ba bilid ad de que la pr ofundidad o bserva-da sea cuando mucho d e IO? i,Entr e 10 y IS?

d. i,Cual es la probabilidad de que la profundidad observa-d a este dentr o de una d esviaci6n estandar del valor me-dio? i,Dentro de d os desviaciones estandar ?

15. Sea X la cantidad de es pacio ocupado por un articulo colo-cado en un contenedor de un pie] La funci6n de densidad de probabilid ad de X es

f

90x \ I - x) 0

<

x

<

I

f(x) = LOde 10 contrario

a. Dibuje la funci6n de densid ad d e pr o ba bilidad . Luego

obtenga la funci-6n de distribuci6n acumulativa d e X y

J , ...,

diM;",

b. i,Cual es P(X s0.5) r es decir , F(05)]?

c. Con la funci6n de d istribuci6n acumulativa d e (a), i,cual es P(0.25

<

X s0.5)? i,Cual es P(0.25 sXs0.5)? d. i,Cual es el 75° percentil de la distribuci6n?

e. Calcule E(X) y (7'X.

f. i,Cual es la pr o babilid ad de que X este a mas d e una des-viaci6n estandar de su valor medio?

Responda los incisos a)-t) del ejercicio 15 con X

=

tiempo

de disertaci6n des pues d e la hor a d ad o en el ejercicio 5.

Si la distribuci6n de X en el inter valo [ A, Bj es uniforrne.

a. Obtenga una expresi6n para el (IOOp)Opercentil.

b. Calcule E(X), VeX) y ITx'

c. Con II,un entero positivo, calcule E(X").

Sea X el voltaje a la salid a de un micr 6f ono ysuponga que

X tiene una distribuci6n uniforrne en el intervalo d e - I a I. EI voltaje es procesado por un "Iimitador dur o" con val ores de corte de -0.5 y 0.5, de mod o que la salid a d el limitador

es una variable aleatoria Y relacionad a con X por Y = X si

IXIs0.5, Y

=

0.5 si X >5 y Y

=

-0.5 si X

<

-0.5.

a. i,Cual es P(Y =0.5)?

b. Obtenga la funci6n de d istribuci6n acumulativa d e Y y dibujela.

Sea X una var ia ble aleator ia continua con funci6n d e d istri- buci6n acumulativa

F(x)

= {*

[1 :

1 I n ( ~ ) ] :::",

x>4

[Este tipo de funci6n de distribuci6n aeumulativa es sugeri-do en el articulo "Variabilitiy in Measured

Bedload-Tr ans- port Rates" (W ater Resour ces Bull., 1985: 39-48) como

modelo d e eierta variable hidroI6gica.] Determinar :

a. P(X::; I)

b. P(I sXs3)

c. La funci6n de densidad de pr o babilidad d e X

Considere la funci6n de densid ad de probabilidad del tiempo d e es pera total Y d e dos camiones

{ 215Y f ( y) =

l_

-l..

y 5 25 5 sY s10

o

introducida en el ejercicio 8.

a. Calcule y trace la funci6n d e distribuci6n acumulativa

de Y . [Suger encia: Considere por se par ad o 0 s y

<

5 y

5 SY S10 al calcular F(y). Una graficade la funci6n

de densidad de probabilidad debe ser uti!.]

b. Obtenga una ex pr esi6n para el(lOOp )Opercentil. [Suger en-cia: Consid ere par separ ado 0

<

p

<

0.5 y 0.5

<

p

<

I.j

c. Calcule E(Y) y V(Y). i,C6mo se compar an estos valores

con el tiempo de es pera probable y la varianza de un

solo cami6n euando el tiempo esta unif ormemente dis-tribuido en [0, 5j?

21. Un ec610go desea marcar una regi6n de muestr eo circular de 10 m d e radio. Sin embargo, el r adio d e la regi6n r esul-tante en realid ad es una varia ble aleatoria R con funci6n d e densidad de probabilidad

(14)

L~(l - (10- 1 ' )2 ] 9;:;,.;:; II

fer ) =~4

lOd e 10 contr ario

LCual es el ar ea es per ad a d e la region cir cular resultante? 22. La demanda semanal de gas pr o pano (en miles de galones)

d e una instalacion par ticular es una var ia ble aleatoria X con funci6n de d ensid ad de pr o babilid ad

j (

l·

2 I - -:;-) I;:; X ;:; 2

f ( x) =

x-o

d e 10 contrario

a. Ca1cule la funci6n d e d istri buci6n acumulativa de X. b. Obtenga una ex presi6n para el (IOO p)O per centiL LCual

es el valor de jl?

c. Calcule E(X ) y V eX) .

d . Si 1500 galones estan en existencia al principio de la

se-mana y no se es pera ningun nuevo suministro dur ante

la semana, Lcuantos de los 1500 galones se espera que

queden al final d e la semana? ISu ger encia: Sea he x) =

cantidad que queda cuando la d emanda es x.)

23. Si la temperatur a a la cual cierto compuesto se fund e es una

variable aleatoria con valor medio d e 120°Cy desviacion

es-t:indar de 2°C, Lcuales son la temper atur a media y la

desvia-cion est:indar medidas en OF?[Su ger encia: O F =1.8°C

+

32.]

24. La funcion d e d ensid ad de pr o ba bilidad de Pareto de X es

r~~

f ( x; k, 0) =

l

x~+I

introducida en el e jercicio 10. a. Si k

>

I, calcule E(X).

b. iQue se pued e d ecir so br e E(X) si J.: =I?

c. Si k >2, demuestr e que V eX) = kfj2 (k - 1)-2(k -

2r

l_.

d. Si k =2, Lque se puede decir so br e V eX )?

e. LQUe condiciones en cuanto ak son necesarias para

ga-r antizar que E(X") es finito?

25. Sea X la temperatura en °C a la cual ocurr e una r eaccion

qUI-mica y sea Y la temperatura en OF(as 1 q ue Y =1.8X

+

32).

a. Si la mediana d e la ~istribucion Xes jl: ,d cmucstre ~

1.8jl

+

32 es la medlana de la dlstnbuclOl1 Y .

b. LComo esta r elacionado el 90° per centil Jc la d iMr i b. cion Y con el 90Q_{de la distribucion X? Veritiquc suc~}

jetur a.

c. Mas general mente, si Y =£IX

+

h, Lcomo C';13 r elacir ,

nado cualquier percentil de la distribuci6n Y C ( II I elJl e r.

centil corres pond iente d e la distribucion X i

26. Sea X los gastos medicos totales (en miles d e d (llares)~ curr idos por un individuo particular dur ante un ano d a&! Aunque X es una variable aleatoria discr eta. su ponga qll

su distribucion es bastante bien aproximad a pur una dis\!i.

buci6n continua con funcion de d ensid ad d e pr o ba bili~ f ix) =k(l

+

xl2.5)-7 con x ~ O.

a. iCual es el valor de k?

b. Dibuje la funci6n de d ensid ad de pr o ba bilidacl deX .

c. LCmiles son el valor es per ado y la desviaci0n estand a

d e los gastos medicos totales?

d. Un individuo esta cubierto por un plan de ascguramienm. que Ie impone una pr ovision deducible de S500 (aslq ll los primeros $500 d e gastos son pagados por el individuo) Luego el plan pagani 80% de cualquier gasto adicionalq ll

exced a de $500 y el pago maximo por parte d el ind ividoo

(incluida la cantidad deducible) es d e $2500. Sea riaC 3lf

tidad de gastos medicos de este individuo pagaclos por b

compania de seguros. LCual es el valor es perad o de

r.

[Su ger encia: Primer o indague que valor deX corr es poo.. d e al gasto maximo que sale d el bolsillo d e $2500. Lue.,

go escriba una expresi6n para Y como una f uncicindeX.

(la cual implique varios precios dif er entes) y caiculed .

valor esper ado d e la funci6n.)

I

27. Cuando se lanza un dardo a un blanco cir cular. consid er e bi

ubicacion del punto de ater r iza je res pecto al cenlro. SeaX el angulo en gr ados medido con respecto a la horizontal _ y suponga que X esta uniformemente distribuida en1 0 .3 60 } ;1 ·

Defina Y como la variable transformad a Y =iIIX) =

(2'IT/360)X - 'IT, por 10 tanto, Ye s el angulo med id o enf a

-diancs yYesta entre -'IT y 'IT.Obtenga E(Y) y(rro btcniend o

primero E(X) y ax y luego utilizando el hechod c que h (X I

es una funci6n lineal d e X.

,

i

I

-

'

La disuibucion nomlal es la mas importante en toda la probabilidad y estadfstica. Muchas ~ blaciones numericas tienen distribuciones que pueden ser representadas muy tiel mentep e r

una curva normal apropiada. Los ejemplos incluyen estaturas, pesos y otras caracter f sticas f i· sicas (el famoso articulo Biometrica 1903 "On the Laws of Inheritance in Man" discuti6 mu' chos ejemplos de esta clase), errores de medicion en experimentos cientfficos, mediciones antropometricas en fosiles, tiempos de reaccion en experimentos psicologicos, mediciones de inteligencia y a ptitud , calificaciones en varios examenes y numerosas medid as e indicad ores economicos. Incluso cuando la distribucion subyacente es discreta, la curva normal a menu' d o da una excelente aproximacion. Ademas, aun cuando Ias variables individuales no esten

(15)

!X es jl. <k -,i",,"tr e .

listr ibllc; ju } q~

percenti I ,k 1,: '.ii\trib

on

X? Vail,.:,!,' 'u c' .

'Z

. b ,i,C6fli' . <C' rda( i< .

str i bu ci6n j "il01 .' ,

:ib llc i6n X' p c

:n mi les ,I< : .~ .":cir eSj il. I'd ur ante "1. ,iH. da~ : I discreta. "'1'" m g a qil: .

)ximad a p l" tin ,t dislrl,

nsid ad d e p idi,ahilid.1

_,.~

t

~

: probabilid;;d d~X. ~

Ia d esviac'i,":, t\tanli:i

~

plan d e a\C~:li,:l I1 ie n!, ~

lcible de S~\!(: Ia"q~f

.gados por c! I raliliJu v. ~

uier gast<. adklOIl J ! qL,

t

pOl' parte l~l"'!Idividw ~

de $2500. S ,e ;, f I:i can.~

dividuo paf 'I .K h ,., porl J

talor es per acl,,ii,' f'!

t

: valor d eX "il'!esp on·

f

I. ,

10slllo ue $~)!i(, L u e . [

om o un a rUI~c·!."nde.1~

lif er entes) } ' _'cl ic ulee:

) cir cular . c,>!,'.id er e b·

pecto al Cl:,','" Se a \

; peeto a i:J '1;j11/<l!11~.

:Ii stribllid a C'li If ).3 6 0J i

rmad a l' 1 ;1 .'< 1 ' , angulo n1~~'d~•..itIen f a.r IE( Y ) Y (1',. i!lllc'liiond, ~ el hecho lk yllt'h l.l' ~

---- _ .

---!-l

d!stica. tv!l.i< :h a\ pO 'i m uy fi elm cntc p o l ~ lScaracter f\ti~'asf i·

t

Man" discmi,) rnu·

i

tfticos, mcdicioncs

!

icos.med ic!oucs d e ~

d id ~s e indic·;[Jor cS

I

va normal .1 Illenu, ,

livid""'e.' ""

'L

normalmente distr i buid as, las sumas y pr omedios d e las varia bles en cond iciones adecuadas tendr an d e maner a a proximada una d istribuci6n normal; estc cs el contenido d el Teorema del Limite Centr al d iscutido en el siguiente ca pitulo.

Se dice q ue una varia ble alcator ia continua X tiene una distribucion normal con pa-rametr os J1 .Y(T (0J 1 .Ya l" ~ dond e -et:;

<

J1 .

<

00Ya

>

0,si la f llnci6n de densidad de

pro babilidad d e X es

L__ _

f(X;.~~: _o-.- __v _ !2 _ 1 _ 7 T _(T _e _ ..-i__X -_ IJ . _ )_ 'I _ I _ 2 ' _ ~ ' _ ' J _ _ ...r _w__

< _ x _ < _C C

(

4 _ . _3 _ )--..J

De nuevo e denota la base del sistema d e logaritmos natur ales yes a proximad amente igual a 2.71828 Y7 T r e presenta la conocida constante matemar ica con un valor a pr oximado de

3.14159. El enunciado d e que X esta nor malmente distribuida can los par ametr os J1. y (T 2 a

menudo se abrevia como X ~ N (J1 ., (T 2).

Clar amente

fix;

J-L , (T) ~ 0 aunqlle se tiene que utilizar un ar gumento d e calculo un

tanto complicad o par a veriJicar que

r:

f(x; J-L , a) dx =I. Se pued e demostr ar queE (X) =J 1 .

Y VeX) =a2_, _{de mod o que los par ametros son la media y la d esviaci6n estand ar d e X. La}

fi-gur a 4.13 r e presenta gniticas d ef ix; J - L , (T) de varios par es difer entes (J-L , o) Carla curva de densidad es simetr ica con r especto a J - L y acarnpanada, d e mod o que el centro d e la campa-na (punto d e simetrfa) es tanto la med ia de la d istr ibucion como la mediacampa-na. EI valor de(T

es la distancia d esd e J - L hasta los puntas d e inf lexi6n d e la cur va (los puntos d ond e la curva cam bia d e vir al' hacia a ba jo a virar hacia arri ba). Los gr andes val ores d e ( J "pr oducen

gr afi-cas que estan bastante extendid as en tomo a J- L , en tanto que los valores pequefios de if dan

gnif icas con una alta cr esta so br e J - L y la mayor par te d el area bajo de la gnifica bastante cer-ca d e J - L . As! pues, una (T gr ande implica que se puede o bser var muy bien un valor de X

ale- jad o d e J -L , en tanto que dicho valor es bastante im proba ble cuand o (Tes pequef ia.

f ~

j

i \

/ 1 \ ~

/ 1

'-/'

-Par a calcular Pea :SX :Sb) clland o X e s una var ia ble aleatoria nonnal con parametros J - L y(T,

se d e be d etenninar

Ninguna d e las tecnicas estand ar d e integr aci6n pued e ser utilizad a par a evaluar la ex pre-si6n (4.4). En cambio, con J - L =0 y (T

=

I, se calcul6 laex pr esi6n (4.4) por medio d e tec-nicas numericas y se ta bul6 para ciertos valor es d e a y b. Esta tabla tambien pued e ser utilizad a par a calclliar pr o babilid ad es con cualesquiera atr os valores deJ 1. y aconsid erados.

(16)

La distribucion normal con valores de panimetro J . L

=

0 ya

=

I sc [hliHadbk '

cion normal esmndar. Una variable aleatoria que tiene una distribucion m,r n",'

tandar se llama variable aleatoria normal eshindar yse denotar a por Z. La f !:~ de densidad de probabilidad de Z es

I ,

fe z'

0 I)=-- e- z'12

."

V 2 1 T '

La grafica deftz; 0, I) se llama cur va normal estandar (0 z). La f unci6n de cb::

cion acumulativa de Zes P(Z :sz) = f~x f(Y ; 0, I) dy , la cual sera d enolnd ,: po:

La distribucion normal estandar no sirve con frecuencia como moJelo d :? u,'

cion que surge natural mente. En cambio, es una distribucion de r ef er cneia d e L ,

puede obtener informacion sobre otra distribucion normal. La tabla A. 3 d el a pen "

<I>(z) =P(Z ::::.::z), el area bajo la curva d e densid ad normal estandar ala iZCJuier d ac

z

= -

3.49, - 3.48, ... , 3.48, 3.49. La figura 4.14 ilustra el tipo de ar ea aCUllluli!;i' baoilidad) tabulada en la tabla A.3. Con esta tabla. varias probabilid ad cs qUI~imr"

pueden ser calculadas.

Eje m p lo

4.13 Determinense las siguientes probabilidades normales estandar: (a) P(Z 5I ~)1' "

1.25), (c)P(Z:s -1.25) y (d ) P(-0.38::::'::Z:S1.25).

a. P (Z ::::.:: 1.25) =<1>(1.25),una probabilidad tabulada en la tabla A.3 d el :lpclld;(~I:,

terseccion de la fila 1.2yla columna 0.05. EI numer o allf es 0.8944, as! que Pi.?

=

0.8944. La figura 4.15(a) ilustra esta probabilidad .

I;

"

_{1 :}

I I

I 1

~

1 1 j -1 ;;1 ·1₁

I

-l b.

~

_j c. o 1.25 a) cur\,'l ..

/----..",./

'--/ \ / ' l'-./ I i,'-.... _ .~ - ',,->-.

o

1.25 b)

P(Z> 1.25) =I - P(Z:s 1.25) =1 - <1>(1.25). el area bajo la cur va .::a13 '.;'

de 1.25 (un area de cola superior). En ese caso <1>(1.25)

=

0.8944 im plica l jll\"

1.25)

=

0.1056. Como Z es una variable aleatoria continua, P(Z 2: 1.25) C-c f : Vease la figura 4.15(b).

P(Z:s -1.25)

=

<1>(-1.25), un area de cola inferior. Directamente d e blabl<: r',

apendice <1>(-1.25)

=

0.1056. Por simetria de la curva

z ,

esta es la misma

I "'",

del inciso b).

(17)

1a distr ih(:, nOnlla! C'" La f une:; de distrih;;. ia par It>: ) de un;lp. ·:'la. a de la q u~ '" :1 apendic,' da lierda d e . ':,'n lmulatl\':i i,"[0· lue im pliciil Z ;: a la dt'l\:\:ha lica que p( Z > 25) =0 l;j.:'6

d. P(-0.38 :::;Z:::; 1.25) es el area bajo la curva normal estandar sobre el intervalo euyo punta extrema izquierdo es -0.38 y cuyo punto extremo derecho es 1.25. Segun la sec-cion 4.2, si X es una variable aleatoria continua can funsec-cion de distribueion acumulativa

F(x), entonces Pea :::;X:::;b)

=

F(b) -- F(a). Por 10 tanto, P(-0.38 :::;Z:::; 1.25)

=

<P(1.25) - <P(-0.38) =0.8944 - 0.3520 =0.5424. (Yease la figura 4.16.)

Con cualquier p entre 0 y 1, se puede utilizar la tabla A.3 del apendice para obtener el (1O O p)O percentil de la distribucion normal estandar .

Ejemplo

4.14 El 99° percentil de la distribucion normal estandar es el valor sobre el eje horizontal tal que

el area bajo la curva

z

a la izquierda de dicho valor es 0.9900. La tabla A.3 del apendiee da con

z

fija el area bajo la curva normal estandar a la izquierda de z, mientras que aqu! se tiene el area y se desea el valor de z. Este es problema "inverso" a P(Z :::;z) =? as! que la tabla se utiliza a la inversa: Encuentre en la mitad de la tabla 0.9900; la fila y la columna en la que se encuentra identificado el 99° percentil

z.

En este caso 0.9901 queda en la interseecion de la fila 2.3 y la columna 0.03, as! que el 99° percentil es (aproximadamente) z =2.33. (Vease la figura 4.17). Por simetrfa, el primer percentil esta tan debajo de 0 como el 99° esta sabre 0, as! que es igual a -2.33 (l % queda debajo del primero y tambien sobre el 99°). (Yease la figura 4.18.) . , / curva z

/

\

.

\, Area sombreada =0.01 --+1/ \~

I

0

I

(18)

En general, la fila y la columna d e la tabla A.3 d el apendice, d ond e el ingr ~', localizad o identif ican el (lOOp)O per centil ( p. ej., el 67° percentil se ohtienc In, .

0.6700 en el cuerpo de la ta bla;la cual d a Z =0.44). Sip no aparece, a menuclo ',e '

numer o mas cercano a el, aunque la interpolaci6n lineal da una res puesta m;ls pr,:'. 'r

ejemplo, par a encontr ar el 95° per centil, se busca 0.9500 adentro d e la ta bla. Aunqd

no apar ece, tanto 0.9495 como 0.9505 sf , correspondientes a z =1.64 Y 1.65, r ,' , mente. Como 0.9500 esta a la mitad entr e las dos proba bilidades que sf apar ecen. "'. ni 1.645 como el 95° per centil y - 1.645 como el 5° percentil.

No tac io n

Za

En inf er encia estadf stica, se necesitan valores so br e el e je horizontal 7.q ue C!pr.1i'· .

areas d e cola pequefia bajo la cur va nor mal estand ar .

Za denotara el valor sa bre el eje z para el cual 0'del area bajo la cur va z quec b J ;.

recha d e z a' (Yease la figura 4.19.)

Par e jemplo, Zo.1O captur a el area de cola superior 0.10 Y Zo.OI ca ptur a el ar ea d eL',)h! ' "

om .

Como 0' del area bajo la curva Z queda a la d er echa de Za ' I - 0'd el iir ea ( j'l' .

izquierda. POl' 10 tanto,

z a

es eL1000 - 0')0 percentiL de La distribucion nor ma! / .

Par simetrf a el area bajo la curva normal estandar a la izquierda d e -

za

tam b j.;n t':.

valores

z a

en gener al se conocen como valores criticos

z.

La tabla 4.1 incluye lu~ i".. les Z y los valores

za

mas utiles.

Per centil 90 95 97.5 99 99.5 99.9 q~).t;.";

a (area de cola) 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 (J.i jliU·

z a =100(1 - a)" 1.28 1.645 1.96 2.33 2.58 3.08

:;

..'~'~.'

per centil

Eje m p lo

4.15

Zo .os es el J OO(l - 0.05)0 =9SO percentil de la distribuci6n normal estanclar . pur

Zoos =1.645. El ar ea bajo la cur va normal estand ar a la izquierda de - Z005 rambi":; j·

(19)

Ingreso! ' _ ." "G :! e loc al ~/:: 1(10 10 s e u tili?! e! .s prcClsa <)r .unque (i';

''I''

1 5. res pe ..:';,J.

rea qucd" j ;.i!

vo m a l _{esui;uid ( ,} . bien es It. Lm 'e los perccnri-99.95 0.0005 3.27 , curva z " ' .. / _ " '

Area sombreada =0.05

I \

,

Area sombreada =0.05

, \~/ I

~>,!

1 0

Cuando X - N(J.L, <T 2), las probabilidades que implican X se calculan "estandarizando". La

variable estandarizada es

e X -

J.L) < T. Al restar J. L la media cambia de J. L a cero y luego al dividir entre < T cambian las escalas de la variable de modo que la desviaci6n estandar es uno

en lugar de < T . z = X - J . L < T

p e a

:$X :$b) =

p ( a :

J.L :$Z:$b : J.L ) =

< 1 > (

b : J .L ) _

( p (

a : J.L ) P(X:$ a)

=

< t > (

a : J.L) P(X?: b)

=

I-

< t > (

h : J.L )

La idea clave de la proposici6n es que estandarizando cualquier probabilidad que implique X puede ser expresada como una probabilidad que implica una variable aleatoria nOffilal es-tandar Z, de modo que se pueda utilizar la tabla A.3 del apendice. Esto se ilustra en Ia figu-ra 4.21. La proposici6n se comprueba escribiendo la funci6n de distribuci6n acumulativa de Z =(X - J -L ) /< T como

P(Z:$ z) =P(X:$ < TZ

+

J.L) =

r ~ + I '

f(x;J.L, a)d x

Utilizando un resultado del calculo, esta integral puede ser derivada con respecto a

z

para que de la funci6n de densidad de probabilidad deseada fez; 0, 1).

Lr. por 10'1!llD (x - fJ.

(20)

EI tiempo que requiere un conductor para reaccionar alas luces de freno de un \-:d ,: ..

esti desacelerando es critico para evitar colisiones pOI'alcance. EI articulo "Fa~t··l-i;

ke Lamp as a Collision-Prevention Device" (Ergonomics , 1993: 391-3<)5), S U gie- i

tiempo de reacci6n de respuesta en tnifico a una seoal de freno de luces de f r cn\' . puede ser model ado con una distribuci6n normal que tiene un valor medi o Je i ::::;

viaci6n estandar de 0.46 s. i,Cual es la probabilidad de que el tiempo de r eacci6n <".

1.00 s y 1.75 s? Si X denota el tiempo de reacci6n, entonces estandarizando sc 01,;

1.00 - 1.25 0.46

x -

1.25 1.75 - 1.25 :5----:5 ---- -0.46 0.46 P(I 00:5 X:5 I 75)

=

p (

1.00 - l.25 :5 Z:5 1.75 - 1.25) . . OM OM

=

P(-0.54 :5 Z :5 1.09) =<1>(1.09) - (J)(-0.54! .=0.8621 - 0.2946 =0.5675

Esto se ilustra en la figura 4.22. Asimismo, si se yen los 2 s como un tiempo d e reae;.· j,

ticamente largo, la probabilidad de que el tiempo de reacci6n real exceda este va!o; ,

P(X > 2)

=

p ( z

>

2 - 1.25)

=

P(Z> 1.63)

=

1 - <1>(1.63)

=

0.0516 0.46

Estandarizar no lleva nada mas que a calcular una distancia al valor medio y lucg,) ,

sarla como algun numero de desviaciones estandar . POI'10 tanto, si J. t

=

100 Y(T ." tonces x =130 corresponde a z

=

(130 - 100)/15 =30/15

=

2.00. Es decir , LiP i'

desviaciones estandar _{sabre (a la derecha de) el valor media. Asimismo,} _{es ta nd ar lz:.l} 1 ..;

se obtiene (85 - 100)115 =-1.00, pOI'10tanto, 85 esta a una desviaci6n estand m l'

bajo de la media. La tabla z se aplica acualquier distribuci6n normal siempr e q ue Si

se en funci6n del numero de desviaciones estandar de alejamiento del v alor med in.

Eje m p lo

4.17 Se sabe que el voltaje de ruptura de un diodo seleccionado al azar de un tipo par tin'; .'

normalmente distribuido. i,Cual es la probabilidad de que el voltaje de ruptur a I.k ~"