La pregunta 6 es obligatoria. De las preguntas 1 a 5 debe contestar sólo 4 de ellas. 1. (5 puntos)resuelva 2 de los siguientes ejercicios: b) n P i=1

Universidad Católica de Valparaíso 2o Prueba de Cátedra de Mat 146 Instituto de Matemáticas Miércoles 19 de mayo, 2010

Tiene de 10 minutos para hacer consultas y 90 para resolver la prueba. Apague los celulares

Trabaje ordenadamente y justi…que todas sus respuestas. Cada pregunta vale 10 puntos.

La pregunta 6 es obligatoria. De las preguntas 1 a 5 debe contestar sólo 4 de ellas.

1. (5puntos)Resuelva 2 de los siguientes ejercicios:

a) n P k=1 k+ 1 2 n k b) n P i=1 2ii+pi+1 32i+1 2pi 21+i c) n P k=1 k Q i=0 1 (i+1)2 k Q i=1 1 i2

2. (10puntos)Determine el coe…ciente de él o los término(s) central(es) en el desarrollo del binomio siguiente x+x 1 n _{sabiendo que el coe…ciente} del 2o _{término aumentado en 15 unidades es el doble del coe…ciente del} antepenúltimo.

3. (5puntos c/u)Pruebe 2 de las siguientes identidades: (a) _(sec(sec_xx _tantan_xx_{) csc})2+1_x = 2 tanx

(b) sin( + )+sin(_{sin( )+sin(3}) cos(2 ) 1_{=2+ )} = 2 cos

(c) ₂ arcsin ₁₊1_x2 = arctan (x)

4. (5puntos c/u)Resuelva 2 de las siguientes ecuaciones: (a) 2 + sin (4x) 2 sin (2x) = 2 cos2_(2x)

6. (5puntos c/u)Determine si son verdaderas o falsas cada una de las sigu-ientes a…rmaciones. Si son verdaderas, ruébelas y si son falsas, de un contraejemplo: (a) 24 X k=2 1 p 5k 1 p 5k+1 5k+1 = 8 33

(b) En el desarrollo de x+x 2 50 _{no existe el término independiente} dex:

(c) La ecuación trigonométriasin (2x) cos (6x) = 9 tiene solución vacía (d) Para cualquier ángulo ₂[0; 2 ].se cumple quearccos (cos ) =

"El principio es la mitad del todo:"P itágoras de Sam os

"Nunca desistas de un sueño. Sólo trata de ver las señales que te lleven a él:"Paulo C o elho: "Si se siembra la semilla con fe y se cuida con perseverancia,

Desarrollo

1. (5puntos)Resuelva 2 de los siguientes ejercicios:

a) n P k=1 k+ 1 2 n k = n P k=1 (k+ 1)! 2! (k 1)! n P k=1 n k 1 k ₁n k = n P k=1 (k+ 1)k 2 n P k=0 n k 1 k ₁n k P0 k=0 n k 1 k ₁n k = 1 2 n P k=1 k2+k (1 + 1)n n 0 1 0 ₁n = 1 2 n(n+ 1) (2n+ 1) 6 + n(n+ 1) 2 2 n_{+ 1} b) n P i=1 2i _i+p_{i+ 1 3}2i+1 ₂p_i 21+i = n P i=1 i 2 n P i=1 3 2 9 2 i + n P i=1 p i+ 1 2pi 21+i = 1 2 n P i=1 i 3 2 9 2 1 9₂ n 1 9₂ ! + n P i=1 p i+ 1 21+i p i 2i ! = 1 2 n(n+ 1) 2 27 4 1 9₂ n 7 2 ! + p n+ 1 21+n 1 2 c) n P k=1 k Q i=0 1 (i+1)2 k Q i=1 1 i2 = n P k=1 k Q i=0 1 (i+1)2 k_Q1 i=0 1 (i+1)2 = n Q i=0 1 (i+1)2 0 Q i=0 1 (i+1)2 = n Q i=0 1 i+1 2 1 = 1 n! 2 1

2. (10puntos)Determine el coe…ciente de él o los término(s) central(es) en el desarrollo del binomio siguiente x+x 1 n _{sabiendo que el coe…ciente} del 2o _{término aumentado en 15 unidades es el doble del coe…ciente del}

Como n es natural, entonces n = 5: Así vemos que hay dos términos centrales y en ambos su coe…ciente es 5

2 = 5! 2! 3! = 5! 3! 2! = 5 3 = 10:

3. (5puntos c/u)Pruebe 2 de las siguientes identidades: (a) _(sec(sec_xx _tantan_xx_{) csc})2+1_x = 2 tanx

En efecto, se tiene que:

(secx tanx)2+ 1 (secx tanx) cscx = sec2_{x 2 secxtanx+ tan}2_{x+ 1}

(secx tanx) 1 sinx

=

2 sec2_{x 2 secxtanx sinx}

secx tanx = 2 secx(secx tanx) sinx

secx tanx =

2 secxsinx = 2 tanx

(b) sin( + )+sin(_{sin( )+sin(3}) cos(2 ) 1_{=2+ )} = 2 cos

En este caso, se puede notar que:

sin ( + ) + sin ( ) cos (2 ) 1 sin ( ) + sin (3 =2 + ) = 2 sin ( ) cos ( ) 2 cos2_{( ) 1 1}

sin ( ) + sin (3 =2) cos + sin cos (3 =2) = 2 cos ( ) (sin ( ) cos ( ))

sin ( ) cos = 2 cos

Para este ejercicio, se puede notar lo siguiente: 2 arcsin

1 1+x2 =

arctanhtan ₂ arcsin ₁₊1_x2

i = arctan 2 4sin 2 arcsin 1 1+x2 cos ₂ arcsin ₁₊1_x2 3 5 = arctan 2 4cos arcsin 1 1+x2 sin arcsin ₁₊1_x2 3 5 = arctan 2 6 6 4 r 1 hsin arcsin ₁₊1_x2 i2 1 1+x2 3 7 7 5 = arctan " 1 +x2 r 1 ₁₊1_x2 2# = arctan " 1 +x2 r x 1+x2 2# = arctan (x)

4. (5puntos c/u)Resuelva 2 de las siguientes ecuaciones: (a) 2 + sin (4x) 2 sin (2x) = 2 cos2_(2x)

Ahora, podemos ver que:

2 + sin (4x) 2 sin (2x) = 2 cos2(2x)₎ 2 + 2 sin (2x) cos (2x) 2 sin (2x) 2 cos2(2x) = 0₎

1 cos2(2x) sin (2x) + sin (2x) cos (2x) = 0₎ sin2(2x) sin (2x) + sin (2x) cos (2x) = 0₎ sin (2x) (sin (2x) 1 + cos (2x)) = 0₎

(sin (2x) 1 + cos (2x)) = 0_{_}sin (2x) = 0₎ sin (2x) + cos (2x) = 1_{_}sin (2x) = 0₎ 1 p 2sin (2x) + 1 p 2cos (2x) = 1 p 2 _sin (2x) = 0) sin 2x+ 4 = 1 p 2 _sin (2x) = 0) 2x+ 4 = 4 + 2k _ 2x+4 = 3 4 + 2k _2x=k ) 2x = 2k _{_}2x= 2 + 2k _2x=k ) x = 4 +k _x= k 2 )Sx= 4 +k ; k 2 :k2Z

(b) p6 cos (6x) +p8 cos (3x) sin (3x) +p2 = 0

Restricción:R

Además, en este caso se tiene que:

p

6 cos (6x) +p8 cos (3x) sin (3x) +p2 = 0₎ p 6 cos (6x) +p2 sin (6x) = p2₎ p 3 2 cos (6x) + 1 2sin (6x) = 1 2 ) sin 6x+ 3 = 1 2 ) 6x+ 3 = + 6 + 2k _ 6x+3 = 2 6 + 2k ) 6x = 5 6 + 2k _6x= 3 2 + 2k ) x = 5 36+ k 3 _x= 4 + k 3 )Sx= 5 36 + k 3 ; 4 + k 3 :k2Z (c) arccosx+ arcsinx= ₂ Restricción:x₂[ 1; 1]:

Aplicando coseno, se tiene que:

arccosx+ arcsinx = _{2 )} cos (arccosx+ arcsinx) = cos _{2 )} cos (arccosx) cos (arcsinx) sin (arccosx) sin (arcsinx) = 0₎

x q 1 [sin (arcsinx)]2 q 1 [cos (arccosx)]2 x = 0₎ x p1 x2 p_{1 x}2 _{x = 0)} 0 = 0₎Sx= [ 1; 1]

5. (10puntos)Desde el piso 18 de un edi…cio se ve en frente y aliniados una casa C y un edi…cio E. La casa es la más próxima tiene dos pisos y su cima se ve bajo un ángulo de depresión de 60 . El edi…cio E tiene 6 pisos y su cúspide se observa bajo un ángulo de depresión de 30 . ¿Calcule la distancia que separa C de E suponiendo que en promedio la altura por piso es de 3 mt.?

En este caso se puede ver que el cuociente entre la distancia desde el edi…cio en que se encuentre el observador y la casa(d(P C))y la diferencia de las alturas entre ambos lugares estan (60o_{) =} 48

d(P C))d(P C) = 16 p

(a) 24 X k=2 1 p 5k 1 p 5k+1 5k+1 = 8 33

Falsopues al no ser términos consecutivos en la sumatoria, no puede llegar y evaluarse en los extremos pues no es telescópica.

(b) En el desarrollo de x+x 2 50 _{no existe el término independiente} dex:

VERDADERO. Sabemos que x+x 2 50₌ P50 k=0 50 k x k _x 2 50 k₌ 50 P k=0 50 k x

3k 100_{:Para que el término independiente exista, entonces}

debe existir algún naturalk; tal que3k 100 = 0_,k= 100 3 2= N;

por lo que la a…rmación es verdadera.

(c) La ecuación trigonométriasin (2x) cos (6x) = 9 tiene solución vacía

VERDADERO. Como el seno y el coseno de cualquier ángulo tiene su valor en [ 1; 1]; entonces _jsin (2x)_j 1_{^ j}cos (6x)_j 1 ₎ sin (2x) cos (6x) 1:

(d) Para cualquier ángulo ₂[0; 2 ].se cumple quearccos (cos ) = FALSO. Para que la funcióncosxsea biyectiva, se restringe su do-minio alintervalo[0; ]:De este modo, si toma por ejemplo el valor

3

2 ;se tendría quearccos cos 3

2 = arccos (0) = 2; por lo que no