Números reales y complejos

CAPÍTULO

1

Números reales y complejos

No sorprende que un primer capítulo de un libro de Cálculo estudie los números reales, sin embargo, muchos estudiantes creen no tener que profundizar en dichos números por saberlos conocidos. Veamos a continuación un par de resultados curiosos.

Se cumple,

0= (1−1) + (1−1) + (1−1) + (1−1) + (1−1) + (1−1) +··· y por cumplir la propiedad asociativa las operaciones suma y resta, podemos escribir:

0 = 1+ (−1+1) + (−1+1) + (−1+1) + (−1+1) + (−1+1) +··· = 1+0+0+0+0+0+0+0+···

Luego 0=1!

Supongamos ahoraaybnúmeros reales tales quea>by seacsu diferencia, de forma que

a=b+c. Si multiplicamos los dos miembros de la igualdad pora₋bobtenemos:

a(a₋b) = (b+c)(a₋b) de donde se deduce

a2_{−ab−ac=ab−b}2_−bc

a(a₋b₋c) =b(a₋b₋c) y simplificando, se obtienea=b!

Existen varias formas de introducir el cuerpo de los números reales, entre las que se encuen-tran el método de las cortaduras de Dedekind y el método de Cantor, que utiliza el conjunto de las sucesiones de Cauchy de números racionales. Los dos son métodos constructivos y prueban la unicidad del cuerpo de los números reales construido. Sin embargo, el estudio que se adopta en este libro no es constructivo. Introducimos el cuerpo de los números reales axiomáticamente.

Resaltamos el axioma del supremo como el resultado más importante del análisis real, pues de él se deducen las propiedades de ser cuerpo ordenado arquimedianamente y la densidad deQ

enR.

1.1. Números naturales, enteros y racionales

Los conjuntos numéricos básicos para una buena comprensión de este texto, y en general de las Matemáticas, son los números naturales (N), enteros (Z), racionales (Q), reales (R) y finalmen-te los números complejos (C). Tal como los hemos mencionado, cada uno de estos conjuntos contiene al anterior, es decir,

N_⊂Z_⊂Q_⊂R_⊂C

Designamos con la letraNal conjunto de los números naturales.

N={1,2,3, . . .}

Este conjunto tiene una cantidad infinita de elementos y es el conjunto de números que nos permite contar y enumerar las cosas. De él se deriva el importante concepto de numerabilidad.

Una de las características básicas de los números naturales es el principio de inducción, método que permite demostrar una determinada propiedad que hace referencia a los números naturales.

Para demostrar que una proposiciónP(n)es cierta para cualquier número natural (∀n_∈N), el principio de inducción afirma que:

1. SiP(1)es cierto;

2. Si paran=k,P(k)es cierto (hipótesis de inducción), entoncesP(k+1)es cierto, entoncesP(n)es cierta∀n_∈N.

Ejemplo1.1Demostrar que

1+2+···+n=n(n+1)

2 ∀n∈N,n>1

Demostración

1. Si n=1, se cumple1=1(1+1) 2 =1

2. Supongamos que se cumple para k=n₋1

1+2+···+ (n−1) = (n−1)n 2

(hipótesis de inducción) y queremos demostrar que

1+2+···+n=n(n+1) 2

1+2+···+n=1+2+···+ (n₋1) +n=(n−1)n 2 +n= =(n−1)n+2n 2 = n2_−n+2n 2 = n2_+n 2 = n(n+1) 2 Algunos autores consideranN={0,1,2,3, . . .}y expresanN∗_{={1,2,3, . . .}, notación habitual}

cuando se excluye el cero de un conjunto.

Podemos observar que el conjunto de números naturales no tiene estructura de grupo con las operaciones habituales de suma y producto, ya que no existe el opuesto por la suma o por el producto de un número natural. Al final del estudio de los conjuntos numéricos, encontraremos un conjunto que, además de tener estructura de grupo, anillo o cuerpo con ciertas operaciones, nos asegure la existencia de soluciones de una ecuación polinómica cualquiera con coeficientes en dicho conjunto. Lo que se llama ser uncuerpo algebraicamente cerrado, es decir, que todo polinomio a coeficientes en ese cuerpo, tenga todas sus soluciones en ese mismo cuerpo. Esta situación se dará en el conjunto de los números complejos, pero vayamos paso a paso.

En el conjunto de los números naturales ni siquiera podemos resolver una ecuación tan sen-cilla como

x+4=0

ya que su soluciónx=−4 no pertenece a N. Ampliemos pues este conjunto de números in-cluyendo también los negativos, es decir, para cada número natural añadimos su inverso por la suma. Tenemos el conjunto de los números enteros. Denotaremos mediante la letraZal conjunto de números enteros, es decir,

Z={. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}

Si nos fijamos, este conjunto ya contiene elemento inverso con la operación suma. También verifica la propiedad asociativa e incluso la conmutativa. Dispone también de un elemento neutro como es el cero, para esta operación. En definitiva,(Z,+)es un grupo abeliano o conmutativo. Este grupo toma especial importancia en toda la teoría de grupos y anillos, así como en la teoría de Galois, pero no es algo que se deba ver aquí. Pese a lo que se consigue con este nuevo grupo, todavía no tenemos suficiente ya que, ¿qué pasa si queremos resolver la ecuación siguiente?

3x+2=0

Los coeficientes de la ecuación son números enteros, pero en cambio, su solución esx=−2/3 que no es un elemento entero. Entonces, todavía no tenemos suficiente con los números enteros, debemos incluir también, de algún modo, todo tipo de fracciones posibles. Definimos a conti-nuación el conjunto de los números racionales, que se denotará porQy que incluye a todos los elementos de la forma siguiente:

Q=nm

n,dondem∈Z,n∈N∗

o

Fijémonos que consideramos que el término del numerador aporta el signo; por ello le permiti-mos ser deZy en cambio el denominador lo fijamos como positivo (esto podría ser al revés o

incluso permitiendo que ambos términos fuesen deZ) pero eso sí, no podemos permitir que el denominador se anule, ya que el conjunto no estaría bien definido en ese caso. Además tenemos muchos números repetidos por lo que tenemos que identificar todos aquellos que sean el mismo como un solo número.

PropiedadCaraterizaióndeQ

∀p_∈Q _∃m,n_∈Zconm.c.d(m,n) =1 yp=m_n

El conjunto de números racionales puede parecer mucho mayor que el de números naturales pero no deja de ser equipotente con éste, es decir, de tener un número infinito de elementos del mismo orden: numerable. En el capítulo siguiente, en el ejemplo 2.21 veremos una demostración de que esto es así.

En el conjunto de los números racionales ya tenemos soluciones para todo tipo de ecuaciones lineales o de grado uno, sí. Pero, ¿tenemos también todas las soluciones de las ecuaciones de grado superior? La respuesta es negativa. Si queremos resolver, por ejemplo, la ecuación

x2₋2=0

tenemos que su solución esx=±√2, que no es un número que se pueda expresar como una frac-ción de números enteros de forma exacta. Veamos que efectivamente, no es un número racional.

Ejemplo1.2Demostraremos que

√ 2∈/Q.

Demostración

Procederemos por reducción al absurdo. Si√2∈Qentonces

√ 2= p

q Pero entonces tenemos

2= p 2

q2 ⇒2q 2_=p2

⇒p2es par

De modo que entonces p también será par y podremos escribirlo como p=2r para algún r_∈Z, pero2q2_=4r2_{⇒ q}2_=2r2_⇒q2_{será par, con lo que q también será par, pero entonces el}

cociente entre p y q no sería irreductible al tener ambos, denominador y numerador, múltiplos de 2.

Se definen a continuación los números reales, conjunto que incluye todos los números que no se puedan escribir como fracción de dos enteros. Este conjunto numérico merece una sección propia.

1.2. Números reales

Una de las motivaciones por las cuales se definen los números reales es hallar un conjunto nu-mérico para el cual todo polinomio a coeficientes en ese conjunto tenga todas sus raíces también

en ese conjunto. Si consideramos que ya se encontrarán en ellos todos los anteriores y además también incluimos elementos como las raícesn-ésimas de números que no tengan esa raíz como elemento racional, parece que el conjunto quede cerrado. Al final veremos que todavía no es así pero este conjunto numérico será el más habitual en el que se trabaje y es de una relevancia indiscutible.

Definimos el conjunto de los números reales de forma axiomática ya que básicamente intere-san las propiedades de los números reales y no los métodos utilizados para construirlos. Supone-mos que existe un conjunto no vacíoRde elementos, llamadosnúmeros reales, que cumplen los axiomas que enunciamos a continuación. Estos axiomas se clasifican en tres grupos: axiomas de cuerpo, axiomas de orden y el axioma del supremo.

DeniiónCuerpo onmutativo

Dado un conjunto no vacíoRy dos operaciones (aquí las denotamos mediante los signos+ y ·), y seanx,y,z tres números reales arbitrarios. A la terna (R,+,·)la llamaremos cuerpo conmutativo si cumple los axiomas siguientes:

1. asociativa con ambas operaciones:

x+ (y+z) = (x+y) +z x_·(y_·z) = (x_·y)·z

2. conmutativa con ambas operaciones:

x+y=y+x x_·y=y_·x

3. elemento neutro distinto para ambas operaciones:

∃0∈R: 0+x=x

∃16=0,1∈R: 1·x=x _∀x_∈R

4. elemento opuesto con ambas operaciones:

∃ −x_∈R: x+ (−x) =0 ∀x_∈R

∀x_∈R,x₆=0,∃x−1_{∈R: x·x}−1₌₁

5. distributiva:

x_·(y+z) =x_·y+x_·z

En un curso de álgebra se define grupo y anillo para acabar dando la definición de cuerpo y fi-nalmente la de cuerpo conmutativo [B93]. De las propiedades de cuerpo conmutativo se deducen algunos teoremas de gran importancia, por ejemplo:

PropiedadLeyde simpliaióndela suma

PropiedadPosibilidadde sustraión

Dadosa,b_∈R_∃!x:a+x=b. En esta situación,xse escribe comob₋a.

DeniiónAxiomas deorden

Existe una relación 6que establece una ordenación entre los números reales y cumple los axiomas siguientes: 1. Propiedad reflexiva x6x _∀x_∈R 2. Propiedad antisimética Si x6y e y6xentoncesx=y _∀x,y_∈R 3. Propiedad transitiva Six6y ey6z entoncesx6z _∀x,y,z_∈R

Por lo tanto6es una relación de orden.

Además este orden es total y compatible con la estructura algebraica deR. 4. Relación de orden total

x6yoy6x, ∀x,y_∈R

5. El orden es compatible con la suma.

Six6yentoncesx+z6y+z, ∀x,y,z∈R

6. El orden es compatible con el producto.

Six6yentonces x_·z6y_·z _∀x,y,z_∈R z>0

y_·z6x_·z z<0

Esto completa la definición deRcomo un cuerpo conmutativo totalmente ordenado.

Observemos que sixeyson números reales,x<yindica quex6yy x₆=y. También se escribex>ypara indicary6x.

Los números realesxtales quex>0 se denominannúmeros positivosy se denotan por el símboloR+_{. Se cumple la propiedad siguiente.}

Propiedad

1. Six,y_∈R+_{⇒x+y,x·y∈R}+_.

2. ∀x_∈R, x₆=0 tenemos quex_∈R+_o−x∈R+_{, pero no los dos a la vez.} 3. 0_6∈R+_.

Los números reales representan puntos de una recta. La elección del 0 y el 1 (elementos neutros de las operaciones que dan estructura de cuerpo al conjunto de los números reales) determinan unívocamente una escala tal y como se observa en la Figura 1.1.

Figura1.1.Neutrosdesumayproduto..

A partir de ahí todos los números serán escritos a una escala proporcional, es decir, la separación que habrá en la recta real entre los números 8 y 0 será ocho veces la que haya entre los números uno y cero.

Además, cadax_∈Rcorresponde a un único punto de la recta. Y six<yentonces el número realxvendrá representado en la recta a la izquierda del número realy, como ilustra la Figura 1.2. Sia,bson números reales tales quea<b, entonces un puntoxsatisface las desigualdades

a<x<bsi, y solo sixestá entreayb. Al conjunto de todos los puntos comprendidos entreay

bse denominaintervalo. Resultarán conjuntos de fundamental importancia en el Cálculo y en el Análisis matemático en general.

Como ejemplo particular veremos su importancia en la definición del concepto de la integral de Riemann.

Dependiendo de si los intervalos incluyen o no a sus extremos aparecen las definiciones que enunciamos a continuación.

Figura1.2.OrdenenR.

DeniiónIntervalo abierto

Siaybson números reales tales quea<b, definimos el intervalo abierto(a,b)como sigue: (a,b) ={x_∈R:a<x<b_}

DeniiónIntervalo errado

Siaybson números reales tales quea<b, definimos el intervalo cerrado[a,b]como sigue: [a,b] ={x∈R:a6x6b}

DeniiónIntervalo semiabierto

Siaybson números reales tales quea<b, definimos los intervalos semiabiertos(a,b]y[a,b) como sigue:

(a,b] ={x_∈R:a<x6b_} [a,b) ={x_∈R:a6x<b_}

DeniiónIntervalos innitos

Sia_∈Rdefinimos los intervalos infinitos

(−∞,a] ={x_∈R:x6a_} (a,+∞) ={x_∈R:x>a_}

entendiendo que los símbolos+∞y−∞se definen más adelante y de momento son números reales no finitos que cumplen, dadoa_∈R,

si a>0 a 0 = +∞ si a<0 a 0 =−∞ Se cumple R= (−∞,+∞)

y definimos la extensión del cuerpo de los números reales como:

R=R_{∪ {}+∞,−∞_}

Hemos comentado que los números reales son aquellos que cumplen los axiomas de cuerpo conmutativo totalmente ordenado y el axioma del supremo. Para entender el enunciado de este último axioma, debemos dar unas definiciones previas.

DeniiónCota superioreinferior SeanA_⊂R,α yβ números reales. Entonces

1. αes una cota superior deA_{⇔ ∀}x_∈A, x6α 2. βes una cota inferior deA⇔ ∀x∈A, β 6x

Naturalmente estas cotas no tienen por qué existir, o bien puede existir una de ellas y no la otra. En caso de existir diremos que el conjunto estáacotado, otra definición fundamental en la teoría de conjuntos reales.

DeniiónConjuntoaotado

SeaA⊂R. Diremos que el conjuntoAestá acotado si tiene cota superior y cota inferior.

DeniiónMáximo

SeaA_⊂R, entonces se denomina máximo del conjuntoAa un número realMtal que

M_∈A

∀x_∈A x6M

En caso de existir escribiremosM=m´ax(A).

DeniiónMínimo

SeaA_⊂R, entonces se denomina mínimo del conjuntoAa un número realmtal que

m_∈A

∀x_∈A x>m

En caso de existir escribiremosm=m´ın(A).

Estamos ya en condiciones de definir elsupremo de un conjunto, concepto que existirá en con-juntos de números reales acotados superiormente.

DeniiónSupremo

SeaAun conjunto de números reales acotado superiormente. Si existe el mínimo del conjunto de las cotas superiores recibe el nombre de supremo de A. En caso de existir lo notaremos sup(A).

De manera análoga se define el ínfimo de un conjunto.

DeniiónÍnmo

SeaAun conjunto de números reales acotado inferiormente. Si existe el máximo del conjunto de las cotas inferiores recibe el nombre de ínfimo deA. En caso de existir lo notaremos ´ınf(A).

En el caso en que estos supremos e ínfimos se alcancen en el mismo conjuntoA, entonces reci-ben el nombre demáximoymínimorespectivamente, pero no tienen porqué existir en general. Notemos que tanto el supremo como el ínfimo de un conjunto acotado existen siempre.

Ejemplo1.3 El conjunto A={x∈R: 06x61}está acotado superiormente. Ejemplos de cotas superiores son los números=1,2,3, .... Este conjunto tiene máximo,

m´axA=1

Sin embargo, el conjunto B={x∈R: 06x<1}, igualmente acotado superiormente, no tiene máximo. El conjunto B sí tiene supremo,

supB=1

DeniiónAxiomadelsupremoo ompletitud

Todo conjunto no vacíoAde números reales acotado superiormente tiene supremo, es decir,

∃a_∈R: a=supA

El conjunto de los números racionalesQno cumple el axioma del supremo. Del axioma del supremo se deduce el teorema siguiente:

Teorema

Todo conjunto no vacío de números realesAacotado inferiormente tiene un extremo inferior, es decir,

∃L_∈R: L=´ınfA

Demostraión Sea−Ael conjunto de los números opuestos a los deA. El conjunto−A6=/0

y está acotado superiormente, luego del axioma del supremo se deduce que existea_∈Rtal que

a=sup(−A). Luego−a=in f(A).

Algunas de las propiedades fundamentales del supremo que se utilizan para demostrar propieda-des y teoremas importantes del Análisis matemático son las siguientes:

Propiedadde aproximaión

SeaAun conjunto no vacío de números reales yb=sup(A). Entonces,∀a<b,∃x_∈Rtal que

a<x6b.

Demostraión Sabemos quex6b,∀x∈R(ya quebes cota superior de A).

Six6aentoncesasería una cota superior deAmás pequeña que el supremo, y esto lleva a una contradicción. Luegoa<x.

Propiedadaditiva

SeanA,B_⊂Rconjuntos no vacíos. SeaC={x+y:x_∈A,y_∈B_}. SiAyBtienen supremo, entoncesCtiene supremo y se cumple

sup(C) =sup(A) +sup(B)

Propiedadde omparaión

Sean A,B_⊂Rconjuntos no vacíos tales quea6b,∀a_∈A,∀b_∈B. Si el conjuntoB tiene supremo, entoncesAtiene supremo y se cumple

Del axioma del supremo y de la propiedad de aproximación del supremo, se deduce el siguiente resultado.

Propiedad

El conjuntoZ+_{de los enteros positivos no está acotado superiormente.}

A continuación enunciamos la propiedad arquimediana de los números reales. Geométricamente equivale a decir que todo segmento lineal, por largo que sea, puede recubrirse por un número finito de segmentos lineales de longitud dada.

Propiedadarquimediana

Six>0 yy_∈R⇒ ∃n_∈Z+_{tal quenx>y.}

Demostraión Demostrar que existen∈Z

+_{tal quenx>yequivale a demostrar que existe}

n_∈Z+_{tal quen>}y

x. Si no fuera así y

xseria una cota superior deZ+y esto contradice el teorema

anterior.

A continuación se enuncia uno de los resultados más importantes que caracterizan el conjunto de los números reales.

ProposiiónCaraterizaiónde R

Qes denso enR. Es decir,∀x,y_∈Rtales quex<y, entonces existen infinitos números racio-nalesqtales quex<q<y.

Demostraión Se deduce de la propiedad arquimediana.

El concepto de numerabilidad se define en el capítulo siguiente, sin embargo, continuando un comentario anterior, realizado en el estudio de los números racionales, afirmamos que el conjunto

Qes numerable mientras queRno lo es. Adelantamos que un conjunto es numerable si es finito o bien permite establecer una biyección conN. Se puede ver la definición de numerabilidad en la Sección 4.2.

A continuación definimos uno de los conceptos asociados a los números reales más intere-santes: el valor absoluto de un número real, que inducirá las definiciones de norma y de distancia enR.

DeniiónValorabsoluto

Definimos el valor absoluto de un número real como

|x_|=

x six>0

Propiedad

Sixes un número real, se cumple

−|x_|6x6_|x_|

Observemos que|x_|es la distancia dexa 0 tal como se visualiza en el gráfico de la Figura 1.3.

Figura1.3.Valorabsoluto.

Propiedad

Sia_∈R+_{, entonces∀x∈Rse cumple:}

|x_|6a_{⇔ −}a6x6a

|x_|>a_⇔[x<−ao bienx>a]

Luego si un puntox_∈Restá a distancia menor o igual que a del origen, está situado en la recta real entre−aya. Si|x_|>ael número realxestá a distancia mayor queadel origen de coordenadas.

PropiedadPropiedadesde lafuniónvalorabsoluto Para cualquierx,y_∈Rse cumplen las propiedades siguientes:

1. |x|=0⇔x=0 2. | −x|=|x| 3. |x₋y_|=|y₋x_| 4. |xy_|=|x_||y_| 5. x y =| x_| |y_|siy6=0 6. |x+y_|6_|x_|+|y_|(desigualdad triangular) 7. |x_{| − |}y_|6_|x₋y_| 8. _||x_{| − |}y_||6_|x₋y_|

Demostraión Algunas de estas propiedades son inmediatas aplicando la definición de valor

absoluto. Demostramos a continuación las que podrían presentar mayor dificultad. 1. −|x_|6x6_|x_| −|y_|6y6_|y_| −(|x_|+|y_|)6x+y6_|x_|+|y_| |x+y_|6_|x_|+|y_| 2. ||x| − |y||= |x| − |y| si|x|>_|y| |y_{| − |}x_| si|x_|6_|y_| |x_|=|x₋y+y_|61)_|x₋y_|+|y_{| ⇒ |}x_{| − |}y_|6_|x₋y_| |y_|=|y₋x+x_|61)_|y₋x_|+|x_{| ⇒ |}y_{| − |}x_|6_|y₋x_|=|x₋y_|

Ejemplo1.4Escribir en forma de intervalo el conjunto de los números reales que cumplen:

{x_∈R:|3x+5|>2_}

De las propiedades del valor absoluto, se deduce

|3x+5|>2_⇔[3x+5>2o3x+56₋2]

por lo tanto, se debe cumplir una de las dos desigualdades.

3x+5>2_⇔3x>₋3_⇔x>₋1 3x+56₋2_⇔3x6₋7_⇔x6₋7 3

por lo tanto, {x_∈R:|3x+5|>2_}= −∞,−7₃ ∪[−1,+∞) Finalmente enunciamos y demostramos la desigualdad de Cauchy-Schwarz, que será el resultado más fundamental a nivel topológico y de conjuntos en el conjunto de los números reales. Servirá para demostrar la desigualdad triangular de distancias y otros resultados similares.

PropiedadDesigualdadde Cauhy-Shwarz Seana1, . . . ,an,b1, . . . ,bn∈R. Se cumple n

∑

k=1 akbk !2 6 n

∑

k=1 a2 k ! _n

∑

k=1 b2 k ! Hay igualdad siλ =−b_ak k ∀k=1, . . . ,n.

Demostraión Para cualquier número realxse cumple:

n

∑

k=1 (akx+bk)2= n

∑

k=1 a2 kx2+2 n

∑

k=1 akbkx+ n

∑

k=1 b2 k= = n

∑

k=1 a2_k ! x2+2 n

∑

k=1 akbk ! x+ n

∑

k=1 b2_k>0 Si ∑n k=1a 2

k>0, es decir, existe algúnak6=0, tomamosx=− n ∑ k=1akbk n ∑ k=1a 2 k y substituyendo en la igualdad tenemos: n

∑

k=1 akbk !2 − n

∑

k=1 a2_k ! _n

∑

k=1 b2_k ! 60 como queríamos demostrar.

Si ∑n

k=1a 2

k=0, eso implicaak=0 ∀k=1, . . . ,n. En este caso, la igualdad es trivial.

1.3. Números complejos

Considérese la ecuación

aparentemente muy sencilla pero con solucionesx=±√−1 que no son números reales, al no pertenecer a este cuerpo las raíces de números negativos. Es por ello que para conseguir un cuerpo donde todos y cada uno de los polinomios a coeficientes reales (y de hecho también los polinomios a coeficientes complejos) tengan solución, debemos ampliar nuestro conjunto con todas las raíces de números reales negativos. A este conjunto se le conoce con el nombre de

conjunto de números complejosy se denota medianteC.

A principios del siglo XIX, Karl Friedrich Gauss (1777-1855) y William Rowan Hamil-ton (1805-1865) independientemente y casi al mismo tiempo propusieron la idea de definir los números complejos como pares ordenados(a,b)de números reales que tienen unas ciertas pro-piedades. Esta idea es la que se presenta a continuación.

DeniiónNúmero omplejo

Se define el conjuntoCde los números complejos como el producto cartesiano

C=R×R={(a,b):a,b_∈R} es decir, que un número complejo se identifica con un punto del plano.

Siz= (a,b)es un número complejo, diremos queaes la parte real dezy se escribeRe₍z₎y

quebes la parte imaginaria dezque escribiremosIm₍z₎. Diremos quez_{= (}a_,b₎está expresado

en forma cartesiana.

El curso en la plataforma Moodle asociado a este texto, presenta ejercicios interactivos que ayu-dan a la comprensión de los conceptos matemáticos que se van introduciendo en el texto. La Figura 1.4 muestra uno de los ejemplos, en este caso asociado a la representación gráfica de los números complejos en el plano.

DeniiónOperaionessumayproduto

Si(a,b)y(c,d)son dos números complejos, definimos (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) (a,b)·(c,d) = (ac₋bd,ad+bc) Con estas operaciones,(C,+,·)es un cuerpo conmutativo.

A diferencia de lo que ocurre con la definición de la operación suma, la definición del producto de números complejos no parece intuitiva. A continuación se define la expresión binómica de los números complejos y es un buen ejercicio razonar el porqué de la definición del producto de los números complejos.

DeniiónUnidad imaginaria

Se defineicomo el número complejoi= (0,1).

Observamos quei2_{= (0,1)·(0,1) = (−1,0). Como que los números complejos de la forma(a,0)}

Figura1.4.Elplanoomplejo.

complejos que los números reales respecto a sus operaciones de suma y producto, escribiremos (a,0)simplemente comoa.

Por lo tanto,

i2=−1

Observar que√−1=±i, luego, el estudio con números complejos permite trabajar con raíces de números negativos, a diferencia de la situación enR.

Fijémonos que podemos escribir

(a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (b,0)·(0,1) =a+bi

Esta es una forma muy habitual de escribir los números complejos y se denomina forma binómi-ca.

DeniiónNúmero omplejoopuesto

Siz= (a,b)diremos que el opuesto dezes el número complejo −z= (−a,−b)

DeniiónNúmero omplejoonjugado

Siz=a+bidefinimos su conjugado, que escribiremosz, como

z=a₋bi

La Figura 1.5 visualiza uno de los ejemplos interactivos en la plataforma Moodle que permite consolidar los conceptos de número complejo opuesto y conjugado.

Figura1.5.Opuestoyonjugado deunnúmeroomplejo.

Deniióninverso

Siz=a+bi, con(a,b)6= (0,0), se define el número complejo inverso dez, que escribiremos

z−1_{, como}

z−1₌ 1

a+bi

Para definir correctamente el número complejo debemos conocer su parte real y su parte ima-ginaria, 1 a+bi= 1 a+bi· a−bi a₋bi= a−bi a2_+b2= a a2_+b2− b a2_+b2i

Comprobar que (a,b)· _a a2_+b2, −b a2_+b2 = (1,0)

La Figura 1.6 muestra un ejemplo interactivo para consolidar el concepto de inverso de un nú-mero complejo. Este concepto, permite ampliar las operaciones entre complejos ya estudiadas y que se pueden practicar interactivamente tal como ilustra la Figura 1.7.

Figura1.6.Inversodeunnúmeroomplejo.

Deniiónmódulo

Siz=a+bies un número complejo, definimos sumódulo, que escribiremos|z|, como |z_|=pa2_+b2

Observar que|z_|es la distancia deza(0,0). En general, la distancia entre dos números complejos

Figura1.7.Operaionesonnúmerosomplejos.

Propiedad

Sizywson números complejos, se cumple 1. z=z 2. z=z⇔zes real 3. z+w=z+w 4. −z=−(z) 5. z_·w=z_·w 6. z−1_{= (z)}−1_{, siz6=0} 7. |z_|2_=z·z 8. |z_·w_|=|z_{| · |}w_| 9. |z+w_|6_|z_|+|w_|

Ejemplo1.5Demostrar que si z,z

′_{∈C, se verifica que:}

|z_|2+|z′_|2₌1

2(|z+z′|

2₊

Aplicando la propiedad_|z_|2_{=zz, obtenemos:} 1 2(|z+z′| 2₊ |z₋z′_|2_{) =}1 2((z+z′)(z+z′) + (z−z′)(z−z′)) =1 2((z+z′)(z+z′) + (z−z′)(z−z′)) =1 2(zz+zz′+z′z+z′z′+zz−zz′−z′z+z′z′) =1 2(2zz+2z′z′) =zz+z′z′=|z|2+|z′|2 Anteriormente hemos visto que los números reales representan los puntos de una recta mientras que los números complejos son los puntos del plano. La parte real se representa en el eje de abcisas o eje real, y los múltiplos deicomo puntos del eje imaginario, perpendicular al eje real en el origen. A esta representación geométrica se la conoce como el Diagrama de Argand.

Siz= (a,b)yw= (c,d)son dos números complejos, determinan un paralelogramo, tal que dos de sus lados son los segmentos rectilíneos de(0,0)azy de(0,0)aw. El vértice opuesto a(0,0)es el número complejo z+w. Luego la suma de números complejos se corresponde gráficamente con la suma de vectores. Observamos esta representación en la Figura 1.8.

La interpretación geométrica del producto es más complicada y para ayudar a intuir la inter-pretación introducimos una nueva forma de representar los números complejos. El producto de números complejos no es ni el producto escalar de vectores ni el producto vectorial.

Suponemos quezywson dos números complejos diferentes de cero. Observamos que si

z=0 o bienw=0 entoncesz_·w=0.

Para cualquierz_∈C,z₆=0 podemos escribir

z=|z_| z

|z_|

donde|z_|es un número real positivo y z

|z_| es un número complejo de módulo 1, porque

z |z_| =| z_| |z_|=1

Pero, además, cualquier número complejoz=a+bicon|z_|=1 se puede escribir como

z= (cosθ,senθ) =cosθ+isenθ

por lo tanto, cualquier número complejoz6=0 se puede escribir como

z=r(cosθ+isenθ)

conr>0. Esta expresión se denomina forma trigonométrica de un número complejo. El número

res único (es|z_|) peroθno es único; si una posibilidad esθ0, que se denomina argumento y se

Figura1.8.Sumadenúmerosomplejos.

Con el módulo y el argumento se define otra forma de representar los números complejos, la forma polar.

z=rθ

Es interesante el ejemplo interactivo que muestra la Figura 1.9 pues en él podemos practicar las distintas expresiones de un mismo número complejo.

La forma trigonométrica de los números complejos nos ayuda a dar la interpretación geomé-trica del producto.

Sizywson dos números complejos diferentes de cero tales que

z=r(cosθ+isenθ)

w=s(cosφ+isenφ) entonces,

z_·w=rs(cosθ+isenθ)(cosφ+isenφ)

=rs[(cosθcosφ₋senθsenφ) +y(senθcosφ+cosθsenφ)] =rs[cos(θ+φ) +isen(θ+φ)]

Figura1.9.Representaióndenúmerosomplejos.

Por lo tanto, el número complejoz_·wes un número de módulo, el producto de los módulos dezy dewy de argumento, la suma de los argumentos dezyw. Obsérvese la interpretación geométrica en la Figura 1.10.

PropiedadPropiedadesdel argumento

Sizywson dos números complejos, entonces se cumple: 1. arg(zw) =arg(z) +arg(w)

2. arg(z−1_{) =−arg(z), siz6=0}

3. argz w

=arg(z)−arg(w), siw₆=0 por lo tanto, siz=rθyw=sφpodemos escribir

z_·w= (|z_{| · |}w_|)θ+φ z w= rθ sφ =z w θ₋φ

Figura1.10.Produtodenúmerosomplejos.

Para el cálculo de potencias y raíces de números complejos conviene tener la expresión del número en forma trigonométrica o polar, por lo tanto es interesante dado un número complejo saber pasar de la forma binómica o cartesiana a la forma polar o trigonométrica y viceversa.

En el curso de Cálculo en la plataforma Moodle se puede practicar con ejercicios interacti-vos el cambio de expresión de los números complejos, de coordenadas cartesianas a polares y viceversa. Ver Figuras 1.11 y 1.12.

Dada la forma trigonométrica es sencillo encontrar la forma binómica o cartesiana de un número complejo

z=r(cosθ+isenθ) =rcosθ+irsenθ=a+bi= (a,b) siendo

a=rcosθ

b=rsenθ

Supongamos ahora que tenemos un número complejo en forma binómica. Buscamos su módulo y calculamos el argumento.

Figura1.11.Coordenadaspolares. por lo tanto, a=|z_|cosθ b=|z_|senθ Sia=0 entoncesθ=π 2 sib>0 yθ= 3π 2 sib<0. Sia₆=0 entonces b a = senθ cosθ ⇒θ=arctan _b a

Fijémonos que existen dos ángulos en[0,2π)con el mismo valor de la tangente. Para encontrar el valor correcto deθdebemos tener en cuenta los signos deay deb. Siaybtienen el mismo signo, la tangente es positiva y el ánguloθ se encuentra o bien en el primer cuadrante (sia>0 yb>0), o bien en el tercero (sia<0 yb<0).

Las Figuras 1.13 y 1.14 muestran gráficamente estas observaciones.

Si ayb tienen signos diferentes, la tangente es negativa y el ánguloθ se encuentra en el segundo cuadrante (a<0 yb>0) o en el cuarto (a>0 yb<0).

Figura1.12.Coordenadasartesianas.

Ejemplo1.6Expresar en forma polar el número complejo z=1−i

√ 3.

En primer lugar debemos calcular el módulo y el argumento del número complejo z.

|z_|= q (1)2+ (−√3)2=√1+3=√4=2 θ=arctan− √ 3 1 =arctan(− √ 3) Como a=1>0y b=−√3<0 θ=5π 3 y, por lo tanto, z=25π 3

Figura1.13.Cálulodelángulo.

DeniiónExponenialompleja

Six_∈R, se define la exponencial compleja como

eix=cosx+isenx

DeniiónFormaexponenial

Dado un número complejoz, se puede expresar en forma trigonométrica como

z=|z_|(cosθ+isenθ) De la definición de exponencial compleja se deduce

z=|z_|eiθ

y a esta expresión se denomina forma exponencial de un número complejo.

En el curso de Cálculo en la plataforma Moodle se puede practicar esta expresión de los números complejos de manera interactiva.VerFigura 1.15.

Figura1.14.Cálulodelángulo.

PropiedadFórmuladeDe Moivre Seazun número complejo,z₆=0

z=r(cosθ+isenθ) entonces, sin_∈Nse cumple,

zn=|z_|n(cosnθ+isennθ) expresión que se conoce como fórmula de De Moivre.

Demostraión Aplicamos el método de inducción para demostrar la fórmula de De Moivre.

Sin=1, expresando el número complejo en forma trigonométrica, tenemos

z=|z_|(cosθ+isenθ)

Supongamos que la fórmula se cumple para un determinado valorn, veamos si se cumple para

n+1.

zn+1_=zn_{·z = |z|}n_{(cosnθ+isennθ)·|z|·(cosθ+isenθ)} = |z_|n+1_{(cos(n+1)θ+isen(n+1)θ)}

Figura1.15.Númerosomplejosenformaexponenial.

DeniiónRaíz n-ésimade unnúmero omplejo

Si z∈Cyn∈N, se dice que el número complejou es una raíz n-ésima dezsi se cumple

z=un.

PropiedadCálulode raíesn-ésimasomplejas

Todo número complejo no nulo tiene exactamentenraíces n-ésimas complejas, que se calculan de la siguiente manera:

Siz=|z_|(cosθ+isenθ), entonces, losuk∈Ctales queunk=zson

uk= (|z|) 1 n₍cos_θk+isen_θk) con θk=θ+2kπ n k=0,1, . . . ,n−1

Observamos que estos números complejos son todos diferentes, puesto que dos argumentosθk cualesquiera conk=0,1, . . . ,n₋1 difieren en menos de 2π.

Demostraión Seaω=x(cosφ+isenφ)dondes=|ω|. Un número complejoz=r(cosθ+ isenθ)satisface quezn_{=ωsi y solo si se verifica,}

rn(cosnθ+isennθ) =s(cosφ+isenφ)

donde

rn_=s

cosnθ+isennθ=cosφ+isenφ De la primera ecuaciónrn_{=sobtenemos que el módulo será}

r=√ns

y de la segunda ecuación tendremos

nθ=φ+2πk

con lo cual,

θ=θk=φ+_n2πk

Recíprocamente, si consideramosr=√n_{syθ=θk para algúnk, tendremos quez=r(cosθ+}

isenθ)satisface la condiciónzn_=ω.

Ahora nos falta determinar que el número de raícesn-ésimas deω es exactamenten. Ten-dremos suficiente con ver cuáles de estoszson distintos y que en total hayndiferentes. Pero,

θk=φ+2πk n (∗) = φ+2(nq)π+2k′π n = φ n+2qπ+ 2πk′ n

(∗)ya que para algúnq_∈Zentre 0 yn₋1 y algúnk′_{∈Zpodremos escribirk=nq+k}′_(división

euclidiana). Entonces,

cosθk+isenθk=cosθk′+isenθ_k′

Y esto quiere decir que todozque satisfacezn_{=ωse puede escribir como:}

zk=√ns(cosθk+isenθk) parak=0,···,n₋1.

Ejemplo1.7Resolver en el cuerpoCde los números complejos la ecuación z3_−i=1

Este problema se puede reducir al cálculo de las raíces cúbicas de un número complejo. En efecto, de la ecuación dada se deduce que

z=√31+i Expresamos el número1+i en forma trigonométrica:

1+i=√2cosπ 4 +isenπ 4

Por lo tanto, las tres raíces que estamos buscando son los números complejos de módulo

3 q_√ 2=√62 y argumentos: ϕ0= π 4+0·(2π) 4 = π 12 ϕ1= π 4+1·(2π) 4 = 3π 4 ϕ2= π 4+2·(2π) 4 = 17π 12 Estos tres puntos del plano que denominamosz0,z1yz2están sobre una misma circunferencia

centrada en el origen de coordenadas y de radio√6_{2, tal y como se puede visualizar} interactiva-mente en el ejercicio de la plataforma Moodle que muestra la Figura 1.16.

La Figura 1.17 muestra un ejemplo interactivo para practicar con las raíces de números complejos.

Observamos que existen polinomios con coeficientes reales que no tienen solución, por ejem-plox2_{+1=0. El teorema fundamental del álgebra establece el hecho que la introducción del}

número complejo i proporciona soluciones a cualquier ecuación polinómica con coeficientes complejos.

TeoremaTeorema fundamentaldelálgebra Cualquier ecuación

zn_+a

n₋1zn−1+. . .+a0=0, a0,a1, . . . ,an₋1∈C

tiene todas susnsoluciones (contadas con su multiplicidad) en el cuerpo de los complejos.

Ejercicios resueltos

Ejeriio

Determinar el conjunto de los números reales que cumplen: {x_∈R:|x+1|+|x+2|<3}

Figura1.16.Raíesn-ésimasdeunnúmeroomplejo.

Soluión

En este ejercicio tenemos la suma de dos valores absolutos. Para poder trabajar más cómoda-mente, eliminaremos el valor absoluto dex+1 aplicando la definición.

Six+1>0_⇔x>₋1

|x+1|+|x+2|<3⇔x+1+|x+2|<3⇔ |x+2|<2−x

que equivale a

x₋2<x+2<2−x

Estudiamos las dos desigualdades separadamente y consideramos la intersección de los resulta-dos correspondientes.

x+2<2−x⇔2x<0⇔x<0

x₋2<x+2⇔ −2<2 (cierto)

Luego,

Figura1.17.Raíesdeunnúmeroomplejo.

Six+1<0⇔x<−1

|x+1|+|x+2|<3⇔ −x₋1+|x+2|<3⇔ |x+2|<4+x

que equivale a

−4−x<x+2<4+x

Estudiamos las dos desigualdades separadamente y consideramos la intersección de los resulta-dos correspondientes. x+2<4+x_⇔2<4 (cierto) −4−x<x+2⇔ −6<2x_{⇔ −}3<x Por lo tanto, {x_∈R:|x+2|<3+x_}= (−∞,−1)∩(−3,+∞) = (−3,−1) Así pues, {x_∈R:|x+1|+|x+2|<2} ⇔[−1,0)∪(−3,−1) = (−3,0)

Ejeriio

Determinar el conjunto de los números reales que cumplen: {x_∈R:|x2₋6|<|x_|}

Soluión

En esta desigualdad aparecen dos valores absolutos. Eliminaremos el valor absoluto dex apli-cando la definición.

Six>0

|x2₋6|<x

que equivale a

−x<x2₋6<x

luego, estudiamos las dos desigualdades separadamente y consideramos la intersección de los resultados correspondientes. −x<x2₋6⇔x2+x₋6>0⇔(−∞,−3)∪(2,+∞) x2₋6<x_⇔x2₋x₋6<0⇔(−2,3) Por lo tanto, {x_∈R:|x2₋2|<x_}= ((−∞,−3)∪(2,+∞))∩(−2,3) = (2,3) Six<0 |x2₋6_|<|x_{| ⇔ |}x2₋6_|<−x que equivale a x<x2₋6<−x

Estudiamos las dos desigualdades separadamente y consideramos la intersección de los resulta-dos correspondientes. x<x2₋6⇔x2₋x₋6>0⇔(−∞,−2)∪(3,+∞) x2₋6<−x_⇔x2+x₋6<0⇔(−3,2) Por lo tanto, {x_∈R:|x2₋2|<−x_}= ((−∞,−2)∪(3,+∞))∩(−3,2) = (−3,−2) Así pues, {x_∈R:_|x2₋2_|<|x_|}= (−3,−2)∪(2,3) Ejeriio

Calcular los valoresz_∈Ctales quez,3

Soluión Siz=x+yitendremos: |z_|=px2_+y2 3 z = 3 |z_| = 3 p x2_+y2 |2−z_|=|(2−x)−yi_|= q (2−x)2+y2

Igualando las expresiones:

p x2_+y2_=p 3 x2_+y2⇒x 2_+y2₌₃ p x2_+y2₌q_(2−x)2_+y2_⇒x2_+y2₌₄ −4x+x2+y2_⇒ ⇒4x=4⇒x=1

Debemos encontrar el valor deyque cumple

x=1

x2_+y2₌₃

De donde se deduce

1+y2=3⇒y2=2⇒y=±√2

por lo tanto, los números complejos que cumplen las condiciones son:

z1=1+√2i

z2=1−√2i

Ejeriio

Expresar en forma binómica la suma:

S=1+ 1 1+i+ 1 (1+i)2+ 1 (1+i)3+···+ 1 (1+i)20

Soluión

Esta suma corresponde a la suma de los veinte primeros términos de la progresión geométrica de razón 1

1+iluego utilizaremos la fórmula

Sn=a0₁−anr −r siendoa0=1,an= 1 (1+i)20 yr= 1 1+i

Calculamos el módulo y el argumento del número 1+i.

|1+i_|=p12₊₁2₌√_{2; θ=arctan}1

1= π 4 Por lo tanto, aplicando la fórmula de De Moivre:

(1+i)20= (√2)2020π

4 = ( √

2)205π

Calculamos, pues, la expresión binómica de la suma.

S20= 1− 1 (1+i)20 1 1+i 1−₁1_+i = 1− 1 (1+i)21 i 1+i = (1+i)− 1 (1+i)20 i =(1+i)−( √ 2π 4) −20 i · −i −i= −i(1+i) +i(√2−20)₋5π 1 = (1−i) +i√2−20(cos(−5π) +sen(−5π)i) = (1−i) +i(√2)−20(−1) =1−((√2)−20+1)i Ejeriio

Consideramos la ecuación siguiente en el cuerpoCde los números complejos:

z3+ (−1−2i)z2+ (−1+9i)z₋2(1+5i) =0 a) Demostrar que tiene una solución real y calcularla.

b) Buscar las otras soluciones de la ecuación.

c) Demostrar que el triángulo que determinan las tres soluciones de la ecuación es isósce-les.

Soluión

Se trata de resolver una ecuación de tercer grado en el cuerpo de los números complejos. Recor-dar que si un polinomio a coeficientes reales tiene una raíz compleja también es raíz su conjugada. En este caso esto no pasa porque el polinomio tiene coeficientes complejos.

a) Suponemosz=rconrreal. Tendremos:

r3+ (−1−2i)r2+ (−1+9i)r₋2(1+5i) =0 que separando la parte real y la parte imaginaria será:

(r3_−r2_{−r−2) + (−2r}2_+9r−10)i=0

Por lo tanto,rdeberá cumplir las ecuaciones:

r3_−r2_−r−2=0

−2r2_+9r−10=0

Resolviendo la segunda ecuación tenemos quer=2 o bien r=2,5. Pero r=2,5 no cumple la primera ecuación, por lo tanto, la solución real de la ecuación es

r=2

b) Dividimos el polinomio porz₋2. La ecuación que debemos resolver se transforma en:

(z₋2)(z2+ (1−2i)z+ (1+5i)) =0

es decir,z2_{+ (1−2i)z+ (1+5i) =0 que es una ecuación de segundo grado.}

z=−(1−2i)± p (1−2i)2−4(1+5i) 2 = −(1−2i)±√−7−24i 2 = =−(1−2i)±(−3+4i) 2 = −2+3i 1−i

(hemos calculado√−7−24iresolviendo el sistema resultante de plantear la ecuación (a+bi)2=−7−24i, pero también se puede calcular pasando el número−7−24ia forma trigonométrica y calculando la raíz.)

Así, pues, las tres soluciones de la ecuación son:z1=2,z2=−2+3iyz3=1−i.

c) Comprobamos que la distancia dez2az1es la misma que la dez2az3teniendo en cuenta

que la distancia se define comod(z1,z2) =|z1−z2|.

d(z2,z1) =|z2−z1|=|(−2+3i)−2|=| −4+3i|= q (−4)2+32₌₅ d(z2,z3) =|z2−z3|=|(−2+3i)−(1−i)|=| −3+4i|= = q (−3)2+42₌₅

Problemas propuestos

1.1 Definir conjunto ordenado. Dar un ejemplo.

1.2 Expresar en forma de intervalos los siguientes conjuntos de números reales:

a){x∈R: 26_|2x−6|} b){x∈R:|x+1|>|x−2|}

1.3 Expresar en forma de intervalo el siguiente conjunto de números reales

A={x∈R: ||x+1| − |x−1||<1}

1.4 Expresar en forma de intervalo el siguiente conjunto de números reales

x∈R: x2_+6x−1 (x+3)2 <1

1.5 Encontrar el lugar geométrico de los puntosz∈Ctales quez+z<|z|.

1.6 Determinar el lugar geométrico de los puntos del planoz∈Ctales que la razón de distancias deza

los puntos 1 y−1 tiene valor constante 2.

1.7 Encontrar para qué valores den∈N,z= (

√

3+i)nes un número real positivo.

1.8 Calcular(−8)

1

3en el conjunto de los números complejosCy expresar el resultado en forma binómica.

1.9 Seaz∈Cel punto del planoz=

24+23i

10−5i +

1

5i. Calcularz2/3.

1.10Calcular en el cuerpo de los números complejos

6

q_√

2−i√6

1.11Seanz1 yz2 las soluciones de la ecuaciónz

2_{−2z+5=0 en el cuerpo de los números complejos.}

Calcular√3_z

1+z2.

1.12Demostrar que, siz1yz2son las soluciones complejas de la ecuaciónax

2_+bx+c=0(b2_<4ac),

entonces z1

z2y

z2

z1 son números complejos conjugados de módulo 1.

Test de autoevaluación

Creemos interesante para el lector de este texto realizar el test de autoevaluación que se encuentra en la página de Moodle asociada al curso. El estudiante puede visualizar la corrección del test y recomendamos que en caso de no obtener resultados satisfactorios se practique de nuevo con los ejercicios interactivos correspondientes a este capítulo. A continuación se muestra una de las preguntas del test.