Ex. 1ª Evaluación (Temas 1 a 5)

EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

1. (0,8 puntos) Calcula, indicando todos los pasos intermedios:





3 18· 2 2 5 3 24 2 · 24 2

2 2

   

 _  _{ }  _

   .

2. (0,7 puntos) Expresa en notación de intervalos y representa gráficamente el conjunto de números reales que verifican la inecuación 1 x 1 4.

3. a) (0,8 puntos) Calcula y simplifica: 2



 



5 5 4

x

x  x  x  _ x _

 .

b) (0,3 puntos) Enuncia el teorema de factor.

c) (0,9 puntos) Factoriza el polinomio P x( )3x34x213x6. Justifica el resultado.

4. (1 puntos) Dos grifos llenan un depósito en 6 horas. Si por separado uno de ellos tarda la mitad que el otro, ¿cuánto tardaría en llenarlo cada grifo solo?

5. (1 punto) Sea el sistema 4 3

2 3

x y

x ay

   

  

 .

a) (0,7 puntos) Calcula los valores que debe tomar a para que el sistema sea compatible. b) (0,3 puntos) Resuélvelo cuando a = −1.

6. (1 punto) Resuelve la inecuación

2

2

x x

x  . Representa gráficamente el intervalo solución.

7. (1,5 puntos) Representa gráficamente el conjunto de soluciones correspondiente al sistema de

inecuaciones:

3 2 6

6 3

x y

x y

y

 



   

 _{ } 

.

Indica los vértices de la región de soluciones.

8. (1,5 puntos) Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)

2

3

729 9

x

 (0,5 puntos) b) 4log 3





c) 4·5x12·5x1200 (0,5 puntos)

9. (1 punto) Un préstamo se amortiza, en 7 años, mediante una cuota mensual de 250 euros. Si la deuda se contrató a un a un interés anual del 12 %, ¿a cuánto ascendía el préstamo inicial?

Dato: La fórmula que da la amortización anual es:

1 ) 1 (

· ) 1 (

 



 _n n

r r r D

a .

SOLUCIONES

1. (0,8 puntos) Calcula, indicando todos los pasos intermedios:





3 18· 2 2 5 3 24 2 · 24 2

2 2

   

 _  _{ }  _

   .

Solución:

a) 3 18· 2 2





2 2

   

 _  _{ }  _

    =

 

2

2

5

6 36 15 54 24 2

2

_{ } 

 _{ }  _

 

  =

= 6·6 15·3 6 25·24 2 36 45 6





 

 _  _         

  .

2. (0,7 puntos) Expresa en notación de intervalos y representa gráficamente el conjunto de números reales que verifican la inecuación 1 x 1 4.

Solución:

1 x 1 4 12  x 1 42   1 x 1 16  0 x 15 x (0, 15).

3. a) (0,8 puntos) Calcula y simplifica: 2



 



5 5 4

x

x  x  x  _ x _

 .

b) (0,3 puntos) Enuncia el teorema de factor.

c) (0,9 puntos) Factoriza el polinomio P x( )3x34x213x6. Justifica el resultado. Solución:

a) 2



 



5 5 4

x

x  x  x  _ x _

  =





4 3 2 3 2

2 4 1 3

9 30 25 3

5 5 5 4

x

x  x  x _ x  x  x _

  =

= 18 5 12 4 10 3 4 3 3 2 1 3 5 x  x  x 5x  x 5x4 =

5 4 3 2

18 46 1 3

12 3

5 x  x  5 x  x 5x4.

b) (0,3 puntos) Teorema: x a es factor de un polinomio P x( )  P a( )0.

c) (0,9 puntos) Hay que buscar alguna raíz entera de P x( )3x34x213x6. Si la hay, será algún divisor del término independiente: 1;2; ±3, ±6.

Sustituyendo:

Para x = 1: 3 + 4 13 + 6 = 0 x = 1 es raíz.

Las otras dos raíces, x 3 y 2 3

x , son las de la ecuación 3x27x 6 0. 3

7 49 4·3·( 6) 7 121 7 11

2 / 3

6 6 6

x            

 





2 2

3 7 6 3· 3

3 x  x  x _x _

 

También podría escribirse,















3 2 2

( ) 3 4 13 6 3 1 3 1 3 3 2

3

P x  x  x  x  x x _x _ x x x

  .

4. (1 puntos) Dos grifos llenan un depósito en 6 horas. Si por separado uno de ellos tarda la mitad que el otro, ¿cuánto tardaría en llenarlo cada grifo solo?

Solución:

Los dos grifos, en una hora llenan 1

6 del depósito.

Si el grifo de mayor caudal tarda h horas en llenarlo en solitario, el oro grifo tardará 2h horas.

Por tanto, en 1 hora entre los dos grifos llenarían 1 1 2 h h Igualando:

1 1 1

2 6

h h  

2 1 1 3 1

9

2h2h  6 2h   6 h horas. El otro grifo tardará 18 horas en llenar el depósito.

5. (1 punto) Sea el sistema 4 3

2 3

x y

x ay

   

  

 .

a) (0,7 puntos) Calcula los valores que debe tomar a para que el sistema sea compatible. b) (0,3 puntos) Resuélvelo cuando a = −1.

Solución:

4 3

2 3

x y

x ay

   

  

 





4 3

2 1 3

2 2 1

x y

a y E E

   

 _{ }

 _ 

a) Si 1 2

a el sistema es compatible determinado

Su solución, que no se pide, será: 3

2 1

y a



 

3 3

4 2

a x

a

  

 .

b) Si a = –1, el sistema queda: 4 3 4 3 1; 1

2 3 2 1 6 6

x y x y

x y

x y E E x

     

 

     

_{   }  _{ }

6. (1 punto) Resuelve la inecuación

2

2

x x

x  . Representa gráficamente el intervalo solución.

Solución:

2

2

x x x  

2 2 2

2 2

0 0 0

2 2 2

x x x x x

x

x x x

 

     

    hay que estudiar los signos del

numerador y del denominador.

El numerador se anula si x = 0; el denominador, si x = 2. Con esto:

Intervalo (–∞, 0) (0, 2) (3, +∞)

Signo de 2x  + +

Signo de x2 – – +

Signo de 2 2 x

x +  +

Por tanto, el conjunto de soluciones es el intervalo [0, 2)  en x = 0 se da la igualdad.

7. (1,5 puntos) Representa gráficamente el conjunto de soluciones correspondiente al sistema de

inecuaciones:

3 2 6

6 3

x y

x y

y

 



   

 _{ } 

.

Indica los vértices de la región de soluciones. Solución:

La inecuación 3x2y6 determina el semiplano que está a la derecha de la recta 3x2y6. Dos de sus puntos son (2, 0) y (0, –3).

La inecuación x y 6 determina el semiplano que está por debajo (a la izquierda) de la recta x y 6. Dos de sus puntos son (6, 0) y (0, 6).

La inecuación y 3 determina el semiplano que está por encima de la recta y 3.

En todos los casos se incluyen los puntos de las rectas.

Por tanto, la región de soluciones es la indicada en la figura adjunta.

8. (1,5 puntos) Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)

2

3

729 9

x

 (0,5 puntos) b) 4log 3





c) 4·5x12·5x1200 (0,5 puntos) Solución:

a)

2

3

729 9

x

  2 2

 

3 x 9·7293 x 6561log 3 x log 6561  log 3 log 6561 2

x _{ }

 log 6561 4

2·log 3

x  x .

También podría verse que 32x2727362x   2 6 x 4.

b) 4log 3









3 x 10   x 97.

c) 4·5x12·5x1200  4·5 12·5 200 5

x

x_{  }

(multiplicando por 5)  20·5x12·5x 1000  8·5x 10005x 125 x 3.

9. (1 punto) Un préstamo se amortiza, en 7 años, mediante una cuota mensual de 250 euros. Si la deuda se contrató a un a un interés anual del 12 %, ¿a cuánto ascendía el préstamo inicial?

Dato: La fórmula que da la amortización anual es:

1 ) 1 (

· ) 1 (

 

 

n n

r r r D

a .

Solución:

Un interés anual del 12 % equivale a una tasa mensual de r = 0,12/12 = 0,01. El número de meses es n = 7 · 12 = 84.

Por tanto:

84 84

(1 0, 01) ·0, 01 250

(1 0, 01) 1

D 



  





84

250 (1 0, 01) 1 _{326, 680686}

14162,11 (1 0, 01) ·0, 01 0, 023067227

D    

 €